Харт Алекс. Абсолютная и фактическая заполненность разрядов чисел

Абсолютная и фактическая заполненность разрядов чисел

УДК 511

Введение

Человек пользуется числами для измерения чего-либо, наверное, с самого начала своего появления. С появлением письменности разные народы по-разному их обозначали. Единый способ записи чисел принятый в большинстве стран появился с распространением арабских цифр. Данная числовая система является позиционной десятичной системой счисления.

Актуальность

В настоящее время использование позиционных систем счисления для записи чисел практически безальтернативно. При этом в повседневной жизни используется вышеупомянутая десятичная система, а в вычислительной технике - двоичная система. Поэтому изучение свойств чисел связанных с их записью в той или иной системе оправдано.

Цели

Дать определение заполненности разрядов при записи чисел в той или иной позиционной системе счисления. Описать соответствующий математический аппарат для расчета ее показателей.

Научная новизна

В настоящее время существуют различные вариации и обобщения позиционных систем счисления. Например, позиционные системы с отрицательными, нецелочисленными, комплексными основаниями. Такое же свойство чисел, связанное с их записью в той или иной системе, как заполненность разрядов, однако, не изучалось.

С помощью чисел мы измеряем все. Чем больше число, тем больше масштаб того, что мы измеряем. Числовой ряд линеен:

Рис. 1. Ряд неотрицательных целых чисел.

Числа обычно записывают в той или иной позиционной системе счисления, среди которых наиболее применяемой на практике является десятичная система. В мире вычислительной техники используется самая простая двоичная система.

В позиционных системах счисления по мере последовательного увеличения числа 0 на 1, как известно, заполнение разрядов идет циклично. Например, в десятичной системе разряды заполняются цифрами от 0 до 9, и далее, достигнув цифры 9, при дальнейшем увеличении тот или иной разряд обнуляется, увеличивая на 1 вышестоящий разряд.

Таким образом, с помощью записи чисел в определенных системах счисления не только масштаб чего-либо мы можем оценить, но и какую-то еще характеристику. Например, если мы с помощью чисел измеряем время, то этой дополнительной характеристикой может стать та же цикличность.

Предположим мы измеряем время в годах, и каждые 3 года у нас год считается юбилейным. В этом случае, записывая число лет в троичной системе счисления, мы сразу видим, на что оканчивается данное число. Если оно оканчивается на 0, то год юбилейный. Т.е. в этом случае характеристика года будет представлять собой просто остаток от деления на число 3.

Для приведенного выше примера удобно записывать числа не линейно в ряд, а с учетом цикличности на плоскости как показано на рис. 2.

Рис. 2. Расположение чисел на плоскости с учетом цикличности равной 3.

Цикличность расположения чисел на данном рисунке хорошо видна, если их соединить такими линиями:

Рис. 2а. Расположение чисел на плоскости с учетом цикличности равной 3.

При этом линейность чисел при таком их расположении сохраняется:

Рис. 2б. Расположение чисел на плоскости с учетом цикличности равной 3.

В общем случае, когда мы измеряем масштаб чего-то, то эту дополнительную характеристику удобно измерять в процентах. В случае использования 3-х бальной шкалы (троичная система счисления, остаток от деления на 3 может быть равен 0, 1 или 2) понятно, что для остатка от деления равного 0 характеристика в процентах должна быть в интервале 0% - 33.33%, для остатка равного 1 - 33.33% - 66.67%, для остатка равного 2 - 66.67% - 100%.

Процентный интервал значений нашей дополнительной характеристики, по сути, показывает, на сколько заполнен 1-ый разряд соответствующего числа записанного в троичной системе. (Понятно, что этот 1-ый разряд равен остатку от деления исходного числа на число 3.) Мы приходим к понятию заполненности разрядов.

Из приведенных выше трех интервалов процентов меньший процент назовем процентом (минимальной) фактической заполненности разряда 1, а больший процент назовем процентом максимальной фактической заполненности разряда 1.

На рис. 2 каждое число имеет фиолетовую и синюю линии. Наклон фиолетовой линии представляет собой не что иное, как процент минимальной фактической заполненности, а наклон синей - процент максимальной фактической заполненности.

Помимо фактической заполненности существует еще абсолютная заполненность. Это координаты числа на плоскости изображенной на рис. 2.

Для любого числа на рис. 2 выполняется равенство:

Число = Координата "x" (АЗ) + Координата "y" (АН) (1)

где АЗ - абсолютная заполненность числа; АН - абсолютная незаполненность числа.

Таким образом, процент абсолютной заполненности числа можно определить по формуле:

%АЗ = Координата "x" (АЗ) / Число * 100% (2)

где АЗ - абсолютная заполненность; %АЗ - процент абсолютной заполненности.

Приведем данные рис. 2 в виде таблицы:

Как мы писали выше, наклон фиолетовой линии представляет собой процент минимальной фактической заполненности. Если линия будет исходить из точки (0, 0), то она пройдет через точку (фактическая заполненность, фактическая незаполненность). Наклон синей линии представляет собой процент максимальной фактической заполненности. Если линия будет исходить из точки (0, 0), то она пройдет через точку (фактическая заполненность + 1, фактическая незаполненность - 1).

Из таблицы видно, что процент абсолютной заполненности всегда больше или равен проценту максимальной фактической заполненности. При этом справедливы следующие формулы:

%ФЗ_макс = (Остаток + 1) / 3 * 100% (3)

где %ФЗ_макс - процент максимальной фактической заполненности.

%АЗ = ((Остаток + 1) / 3 + (2 * Остаток - Остаток²) / 3 / Число) * 100% (4)

где %АЗ - процент абсолютной заполненности.

Из формул видно, что в случае остатка равного 0 и 2 процент абсолютной заполненности должен быть равен проценту максимальной фактической заполненности, что видно из таблицы 1. А в случае остатка равного 1 процент абсолютной заполненности должен быть больше процента максимальной фактической заполненности, что также видно из таблицы 1.

Выше мы приводили пример измерения времени в годах, и каждый третий год считался юбилейным. Но цикличность времени на этом не исчерпывается. Ведь каждые 9 лет можно считать, что год является юбилейным вдвойне. В этом случае если записывать число лет в троичной системе, юбилейный вдвойне год будет иметь два 0 в конце троичной записи. При этом больший приоритет будет иметь 1-ый разряд, так как если он не равен 0, то год в принципе не будет юбилейным, даже если 2-ой разряд будет равен 0.

Для приведенного примера с двойной цикличностью (по 3 года и по 9 лет) можно разместить соответствующим образом числа на плоскости, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Расположение чисел на плоскости с учетом двойной цикличности равной 3 и 9.

Сравнивая рис. 2 и рис. 3 можно видеть, что абсолютные и фактические показатели заполненности изменились (изменилось расположение чисел и наклон линий). Потому что рис. 2 отображает только заполненность 1-го разряда, а рис. 3 - заполненность разрядов 1 и 2.

Приведем данные рис. 3 в виде таблицы:

Логика заполнения данной таблицы абсолютно такая же, как логика заполнения таблицы 1. Только в таблице 2 приведены данные по заполненности двух разрядов: 1-го и 2-го.

Из таблицы 2 видно, что процент абсолютной заполненности также всегда больше или равен проценту максимальной фактической заполненности.

Как мы понимаем, приведенная выше цикличность времени по 3 года и по 9 лет может быть продолжена до бесконечности. Т.е. к ней можно добавить цикличность по 27, 81, 243, 729 лет и т.д. Соответственно чем больше размер цикла, тем меньше он имеет приоритет, так как если по циклу меньшего размера год не является юбилейным на своем уровне, то тем более он не будет юбилейным для всех циклов большего размера. Например, 738 год (в троичной системе 1000100) будет юбилейным только до уровня 2, до цикла равного 9 годам (9 = 3²).

Если продолжить цикличность до бесконечности, то, как уже понятно, на рисунке аналогичном рис. 2 и рис. 3 для всех чисел синие линии сольются воедино с соответствующими фиолетовыми линиями. Поэтому для расчета показателей заполненности всех разрядов логику построения синих линий (и расчета процента максимальной фактической заполненности) мы немного изменим. Они будут определяться не для бесконечного цикла, а для ближайшего к каждому числу цикла. Например, для числа 2 ближайший цикл равен 3, для числа 5 ближайший цикл равен 9, для числа 18 ближайший цикл равен 27 и т.д.

Расположим числа на плоскости с учетом цикличности всех разрядов.

Рис. 4. Расположение чисел на плоскости с учетом цикличности всех разрядов.

Как видно из рисунка, из каждого числа исходит по две линии: фиолетовая и синяя, наклон которых, как и ранее, соответствует процентам минимальной и максимальной фактической заполненности разрядов. (Если из числа исходят две синие линии, то линией, наклон которой соответствует проценту максимальной фактической заполненности, является линия, которая ближе по своему наклону к оси "y".)

Область плоскости ограниченной углом образованным фиолетовой и синей линиями какого-либо числа можно условно назвать "границей" данного числа. При этом в отличие от рис. 2 и 3 на рис. 4 правее любой фиолетовой линии параллельно ей идет голубая линия. В области расположенной между этими параллельными линиями чисел быть не может. Можно условно назвать область, ограниченную голубой и синей линиями, границей соответствующего числа не включая само это число. А область, ограниченную фиолетовой и синей линиями, - границей соответствующего числа включая само это число.

Например, для числа 0 синяя линия проходит через числа 0 и 26, голубая линия - через числа 1 и 9. Для числа 1 синяя линия проходит через числа 1 и 25, голубая линия - через числа 4 и 10.

Приведем данные рис. 4 в таблице:

Как мы писали выше, приоритет разрядов уменьшается при переходе от 1-го ко 2-му, 3-му и т.д. И несложно догадаться, что фактическая заполненность всех разрядов того или иного числа в троичной системе будет равна результату переворота его троичной записи (колонка 4 таблицы 3).

Из таблицы 3 видно, что процент абсолютной заполненности также всегда больше или равен проценту максимальной фактической заполненности.

Расположить числа на плоскости с учетом заполненности их разрядов можно легко с помощью метода показанного на рис. 5.

Рис. 5. Метод расположения чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов.

Как видно из рисунка, расположить все числа на плоскости можно рекуррентно. Добавление в конец троичной записи какого-либо числа цифры 0 располагает полученное таким способом новое число относительно исходного по вертикали ниже до такого "y", чтобы выполнялось равенство x + y = Число. Добавление в конец троичной записи какого-либо числа цифры 2 располагает полученное таким способом новое число относительно исходного по горизонтали правее до такого "x", чтобы также выполнялось написанное выше равенство. Добавление в конец троичной записи какого-либо числа цифры 1 располагает полученное таким способом новое число ровно посередине между числами, полученными путем добавления цифр 0 и 2.

Выше мы рассматривали понятия абсолютной и фактической заполненности разрядов на примере троичной системы счисления. Очевидно, эти понятия применимы для любой позиционной системы счисления начиная с двоичной и выше. Приведем в таблицах данные по абсолютным и фактическим показателям заполненности разрядов для систем начиная с двоичной и до десятичной.

По сравнению с таблицами 1-3 в этих таблицах добавилась колонка "Уровень". Это количество значащих цифр при записи числа в соответствующей системе счисления. Также это степень, в которую нужно возвести основание системы счисления, чтобы получить величину "Знаменатель".

Запишем формулы для расчета фактической и абсолютной заполненности разрядов произвольного числа "a" в произвольной системе счисления "s". Пусть число "a" при его записи в системе счисления "s" имеет "n" разрядов: r₁, r₂, ..., r_n. r₁ - разряд единиц. В этом случае будут справедливы формулы:

где ФЗ - фактическая заполненность; АЗ - абсолютная заполненность.

Из формул (5) и (6) видно, что (минимальная) фактическая заполненность представляет собой перевернутую запись числа в соответствующей системе счисления.

Из формулы (11) видно, что величина абсолютной заполненности (координата "x" на плоскости) инвариантна относительно переворота записи числа в соответствующей системе счисления. Т.е. например, для десятичных чисел 12 и 21 она будет равна, для чисел 123 и 321 она будет равна (см. таблицы 4-12).

Из вышеприведенных формул можно получить подтверждение, что процент абсолютной заполненности всегда больше или равен проценту максимальной фактической заполненности (неравенство (13)). Рассмотрим несколько случаев с различными "n".

n=0. Единственным 0-разрядным числом является число 0. У него нет ни одного значащего разряда. Для него %ФЗ_макс=1/1*100% и %АЗ=0/0*100%. Т.е. %АЗ может быть любым, в том числе и равным 100%. Поэтому неравенство (13) для случая n=0 будем считать выполненным.

n=1. Для 1-разрядных чисел %ФЗ_макс=(r₁+1)/s*100% и %АЗ=r₁/r₁*100%=100%. Очевидно неравенство (13) будет выполняться.

n=2. Для 2-разрядных чисел %ФЗ_макс=(r₁*s+r₂+1)/s²*100% и %АЗ=(r₁+r₂+r₁*r₂)/(r₁+r₂*s)*100%.

Подставим эти выражения в неравенство (13) и упростим. Получим:

(r₁)²*s + (r₂)²*s + r₁*r₂ + r₁ + r₂*s ≤ r₁*s² + r₂*s² (14)

Как мы понимаем, r₁≤s-1 и r₂≤s-1. Подставим максимальное значение для одного r₁ в первом слагаемом левой части неравенства (14) и максимальное значение для одного r₂ во втором слагаемом и покажем, что неравенство верно даже в этом случае. Получим следующее неравенство:

r₁*s*(s-1) + r₂*s*(s-1) + r₁*r₂ + r₁ + r₂*s ≤ r₁*s² + r₂*s² (15)

Упростив это неравенство, получим r₂+1≤s, что верно. Таким образом, неравенство (13) удовлетворяется для случая n=2.

Приведем рисунок с расположением чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов для двоичной системы:

Рис. 6. Расположение чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов для двоичной системы.

На этом рисунке видна некоторая симметрия синих и фиолетовых линий. Соответствующие фиолетовые линии обозначают, что, начиная с такой-то линии, на плоскости могут располагаться числа, в двоичных записях которых содержится столько-то 0. Соответствующие синие линии обозначают, что, начиная с такой-то линии, на плоскости могут располагаться числа, в двоичных записях которых содержится столько-то 1.

Также при расположении чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов для двоичной системы можно выделить области чисел, двоичные представления которых оканчиваются, например, на "00", "10", "01" и "11".

Рис. 7. Расположение чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов для двоичной системы.

Таким образом, показанное выше расположение чисел на плоскости для любой системы счисления имеет определенную логику и закономерности, продиктованные заполненностью их разрядов. Чем больше разряды заполнены (напомним, что наибольший приоритет в плане заполненности у разряда единиц и далее он снижается при переходе к более старшим разрядам), тем ближе число к оси "x" и дальше от оси "y". Чем меньше разряды заполнены, тем ближе число к оси "y" и дальше от оси "x".

Расположение чисел на плоскости с учетом заполненности разрядов можно представить в виде, так сказать, треугольника.

Рис. 8. Расположение чисел с учетом заполненности их разрядов для двоичной системы в виде треугольника.

Как видно, рис. 8 получен поворотом рис. 7 на 45°.

Вершиной данного треугольника является число 0. Последовательно прибавляя к нему 1 и получая при этом очередное натуральное число, мы тем самым спускаемся по треугольнику как по ступеням ниже и ниже. Для каждого числа имеется своя ступень, на которой оно расположено в зависимости от своей величины. А конкретное расположение числа на этой ступени зависит от заполненности его разрядов.

Мы дали определения понятиям фактической заполненности разрядов (минимальной и максимальной) и абсолютной. Эти три величины могут быть рассчитаны в процентном отношении. При этом процент максимальной фактической заполненности и процент абсолютной заполненности в определенной системе счисления для разных чисел могут повторяться. А процент минимальной фактической заполненности является уникальной величиной для каждого числа, и повторяться не может.

Кроме того, минимальная фактическая заполненность является расширением понятия остатка от деления. По-сути остаток от деления представляет собой фактическую заполненность 1-го разряда. Учитывая же заполненность всех разрядов, мы и приходим к понятию фактической заполненности (минимальной), которая сводится к перевороту записи числа в соответствующей системе счисления. При нахождении остатка от деления мы обращаемся только к 1-му разряду записи числа, который является "главным и единственным", а при расчете фактической заполненности мы обращаемся ко всем разрядам, среди которых 1-ый разряд является "главным, но не единственным".

Остаток от деления определяет отношение одного числа к другому, а фактическая заполненность (минимальная) определяет полное отношение одного числа к другому. Например, число 6 (дв. 110) делится только один раз на 2 (делится на 2¹), а число 12 (дв. 1100) - два раза (делится на 2²). Тем самым "полная делимость" числа 12 на число 2 больше, чем оная числа 6. Значит процент фактической заполненности (минимальной) у числа 12 в двоичной системе должен быть меньше, чем у числа 6, что мы и видим из таблицы 4.

Таким образом, главные показатели заполненности разрядов это фактическая заполненность (минимальная) и процент фактической заполненности (минимальной).

Выводы

1. Даны определения абсолютной и (минимальной и максимальной) фактической заполненности разрядов чисел при записи их в той или иной позиционной системе счисления.

2. Описан математический аппарат для расчета этих показателей.

3. Приведены значения этих показателей для чисел в интервале от 0 до 28 и для систем счисления от 2-ной до 10-ной.

4. Предложен способ расположения чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов.

5. Показано, что минимальная фактическая заполненность является расширением понятия остатка от деления.

Библиографический список:

1. Позиционная система счисления. Интернет ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki/Позиционная_система_счисления

2. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

3. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. - М.: МЦНМО, 2004. - 52 с.

Оставить комментарий © Copyright Харт Алекс (2020pochta2020@inbox.ru) Размещен: 30/11/2023, изменен: 30/11/2023. 25k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 23 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: В данной работе даны определения понятиям абсолютной и фактической заполненности разрядов чисел при записи их в той или иной позиционной системе счисления и описан математический аппарат для расчета этих показателей. Предложен способ расположения чисел на плоскости с учетом заполненности их разрядов.

Харт Алекс : другие произведения.

Абсолютная и фактическая заполненность разрядов чисел