Рерихов Владимир. Три сценария развития экономики и общества

Исследование на тему Точки Парето (равновесия) в экономике

Аннотация. Используя уравнения Вольтерра-Лотка мы моделируем различные сценарии развития экономики и общества.

Ключевые слова. Интернет, точка Парето

Наше исследование посвящено поиску равновесия в экономике, то есть исследованию классических законов известных также как законы "Хищник-Жертва".

До настоящего момента наибольших результатов в этой области добился Джон Нэш в работе, за которую Он получил Нобелевскую премию "за фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр" [1].

На практике такого равновесия не наблюдается - всем знакомый экономический кризис.

Мы используем классическую модель Вольтерра-Лотка для описания возможных сценариев развития экономики (и общества) [2].

Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования реальных систем, зависящих от времени, в частности, для описания и исследования экономических, биологических и других систем.

Их универсальность хорошо известна и по мнению автора в доказательствах не нуждается.

Используя уравнения Вольтерра-Лотка мы находим три различных сценария развития экономики и общества. По мнению автора наблюдаемый в реальности сценарий развития общества (и экономики) относится к случаю, когда имеется негативная нелинейная составляющая (откачка энергии), что выражается в нарастании хаотических явлений в обществе.

Уравнения Вольтерра-Лотка. Случай когда нет нелинейной (иррациональной) составляющей.

В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра--Лотка. Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества.
Пусть x1 и x2 -- число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв x1'/x1 равен a-bx2, a>0, b>0, где a -- скорость размножения жертв в отсутствие хищников, -bx2 -- потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи ( x1=0 ) относительная скорость изменения популяции хищников равна 0x01 graphic

, c>0 , наличие пищи компенсирует убывание, и при x1>0 имеем 0x01 graphic

, d>0.

Таким образом, система Вольтерра--Лотка имеет вид:
0x01 graphic

где a, b, c, d >0.

Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и пр.

Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра--Лотка для a=4, b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x1(0)=3, x2(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3 : 1 , обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины b=2.5 , популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников и когда число жертв достигает величины x1=c/d =2 (в этой точке x2'=0), число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины x2=a/b =1.6 (в этой точке x1'=0).С этого момента начинает расти популяция жертв, через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и ... процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин x1=2, x2=1.6 соответственно (дробные числа здесь не означают "половину волка", величины могут измеряться в сотнях, тысячах и т.п.). Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости -- фазовая кривая (x1(t), x2(t)) -- замкнутая линия. Самая левая точка, этой кривой, - это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка x1=4, x2=1.6 , -- точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает, до нижней точки фазовой кривой,x1=2 , где достигает наименьшего значения, а затем растет до верхней точки фазовой кривой (x1=2, x2=2.5). Фазовая кривая охватывает точку x1=2, x2=1.6.
На языке дифференциальных уравнений это означает, что система имеет стационарное состояние
x1' =0, x2' =0,
которое достигается в точке x1=2, x2=1.6. Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решения x1(t), x2(t) не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.

Рассмотренная модель показывает, что при отсутствии нелинейной составляющей (иррациональности) развитие экономики (как и общества) идет по циклу. Примеры нелинейных составляющих - Интернет, Бог - то что влияет на поведение людей и таким образом делает это поведение иррациональным, не создавая цикличности.

Уравнения Вольтерра-Лотка с логистической поправкой. Случай когда есть нелинейная составляющая

Рассмотрим модель конкурирующих видов с "логистической поправкой":
0x01 graphic

В этом случае поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра a.

Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра--Лотка для позитивного значения параметра а, то есть нет Интернета ( Твиттера и других социальных сетей), то есть нет откачки энергии.

К примеру для a =0.1, a=4, b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x1(0)=3, x2(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения -- в затухающие колебания. При любом начальном условии состояние системы через некоторое время становится близким к стационарному и стремится к нему при 0x01 graphic

Такая позитивная нелинейная составляющая может быть порождена, к примеру, Верой в Бога или другими иррациональными мотивами, которые генерируют позитивную энергию в обществе.

Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра--Лотка для негативного значения параметра а, то есть имеется Интернет (то есть происходит откачка энергии).

Графики решений и фазовая кривая при отрицательном значении параметра a, a =-0.1, приведены ниже.

Как видно, в этом случае стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. В этом случае как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного.

Наблюдаемый хаос новостей и есть наглядное подтверждение данной теории.

Литература

1. Джон Нэш. Некооперативные игры = Non-cooperative Games. -- 1951.

2. П. В. Турчин. Лекция N 14. Популяционная динамика

Оставить комментарий © Copyright Рерихов Владимир (@mail.ru) Размещен: 27/02/2016, изменен: 27/02/2016. 10k. Статистика. Статья: Естествознание		Ваша оценка:
Аннотация: Хотел напомнить, что в экономике как и в обществе (и для человека в том числе) имеется три сценария развития событий: 1. экономика развивается циклично - тогда когда человек как робот, 2. экономика развивается к точке стабильности - когда ведет Высшее я, 3. экономика развивается нестабильно превращаясь в хаос - когда ведет низшее - алчность, страх и так далее. К сожалению статьи загружаются очень плохо здесь - пропадают рисунки и формулы. Уравнения и рисунки можно посмотреть на http://www.exponenta.ru/EDUCAT/CLASS/courses/ode/theme17/theory.asp где обьясняется следующее: Динамика популяций ~ Уравнения Вольтерра-Лотка ~ Уравнения Вольтерра-Лотка с логистической поправкой

Рерихов Владимир : другие произведения.

Три сценария развития экономики и общества