Аннотация: Разминка для ума, упражнение второе (или Небольшой интеллектуальный trip, который начинается как bad, а заканчивается достижением просветления).
Если вы копали теорию вероятностей на среднюю глубину, то вопрос кажется глупым и неправильным.
А между тем, ошибается ваша интуиция, а в вопросе все верно.
Но по порядку.
1. Одиночная орлянка (обычная орел и решка)
Обычная монетка. Мы ее кидаем и глядим, что выпало: орел или решка?
Один игрок выбирает орла, другой решку. Шансы равны. Игра честная. Тут все просто. (Если для вас с этим все непросто, дальше читать бесполезно.)
2. Двойная орлянка (орел и решка с записью)
Теперь добавляем к нашей монетке доску и мелок. И договариваемся, что будем записывать результаты.
Мы будем кидать монетку, записывать, что выпало, и кидать снова. И будем играть до тех пор, пока не выпадет сочетание "орел, орел" или "решка, орел".
Что выпадет быстрее: "орел, орел" или "решка, орел"?
Если вы много решали задачек про обычную орлянку, то вопрос кажется вам дурацким. А ответ ясен как божий день - да без разницы же!
Ведь любой здравомыслящий человек прочно усвоил: результат нового броска от старых не зависит никак. Только дикие люди из пещер думают, что если выпал орел, то теперь должна выпасть решка! На самом деле, вероятность не меняется. Даже если орел выпал несколько раз подряд (хоть десять!), вероятность выпадения решки в седующем броске никак не увеличивается. Она остается прежней. В точности равной вероятности того, что снова выпадет орел, пусть и в одиннадцатый раз.
Так?
Так-то так, да не так. (Решка, орел) выпадет скорее, чем (орел, орел) - что можно проверить, просто достаточно долго кидая монетку.
3. Обманчивая интуиция
Если в старших классах школы (или младших курсах института) вы проходили основы теории вероятностей, и решали простенькие задачки про орел и решку, то сейчас ваша интуиция просто вопит: ну нет же! Нет! Это не так, и никак не может быть так! При двух бросках монеты возможно четыре сочетания: "орел, орел", "орел, решка", "решка, орел", "решка, решка". И все эти четыре сочетания выпадают совершенно равновероятно!
Так?
Так.
И однако же, если мы играем на то, что выпадет раньше: сочетание "решка, орел" или "орел, орел"? То раньше будет выпадать "решка, орел"! (Разумеется, речь про вероятность, а не про результат отдельной партии, который может оказаться любым.)
Как же так?
Надеюсь, вас переполняет праведное негодование на тугоумие автора. И рвется из души крик: разве автор не понимает, что если события равновероятны, то и встречаться они будут тоже с равной вероятностью?!
4. Итак! Торжественно извлекаем из пустой шляпы... кролика!
А вот и не следует.
События могут быть равновероятны, но при этом одно встречается раньше другого.
Чтобы в этом убедиться, достаточно просто - тупо, в лоб, на пальцах, - перебрать варианты.
Если вас пугает комбинаторика, возникающая при переборах вариантов (мне вот сразу становится грустно и хочется заняться чем-то другим) - не тушуйтесь, комбинаторики как раз и не будет. Варианты недлинные, совсем простые и их вообще-то всего три.
(И да: никакого шулерства, никакого вождения за нос! Ниже все честно, без подвоха. Нет никаких софизмов, - хотя вам пока и может показаться, что это какой-то софизм.)
Вот схема трех возможных вариантов, расшифровка ниже:
Чтобы слова не сливались, орла обозначили 0, решку 1.
Так что же выпадет скорее? 10 или 00?
Оказывается, все возможные партии легко разделить на три класса. Исходя из того, какими будут первые два броска. (И это деление остается в силе, даже если за первые два броска не выпало ни 10, ни 00, и партия должна продолжаться дальше.)
Итак, рассмотрим первый бросок. С равной вероятностью выпадет 0 или 1.
Если выпал 1. Что будет при следующих бросках? Если теперь выпадет 0, то будет 10, то есть 10 выиграл. А если выпал снова 1? Будет 11. Никто не выиграл. Нужен еще один бросок. Если выпал 0, то будет 110, и 10 выиграл. Если снова 1? Будет 111, и нужно кидать дальше... Но уже ясно, да? Сколько бы бросков ни пришлось сделать, в итоге может выиграть только 10. Сочетание 00 никак не может выиграть.
А если при первом броске выпал 0? Если теперь вторым броском выпадет снова 0, то будет 00, и 00 выиграл. Если же после 0 выпадет 1? Сочетание 01 не дает выигрыша никому, надо кидать дальше... И можно сразу заметить, что мы рассматриваем ситуацию, аналогичной той, которую уже рассмотрели. После сочетания 01 либо уже третьим броском (010) выигрывает 10, либо позже, но, рано или поздно (0110, или 01110, или 011110...), все равно выигрывает 10. Сочетание 00 не может выиграить никак.
Собственно, вот мы и перебрали все варианты. Осталось сгруппировать случаи и подсчитать вероятности.
Итак, при начале партии на 1 (вероятность 1/2) или на 01 (вероятность 1/4) выигрывает сочетание 10. (Выигрывает не обязательно за два броска, может быть, потребуется длинная череда бросков, когда будет выпадать подряд много единиц, но в итоге, при первом же выпадении 0, выигрыет именно 10.)
При начале же на 00 (вероятность 1/4) выигрывает сочетание 00.
Сравним вероятности: 3/4 у "10", и 1/4 у "00". То есть 3 против 1.
Простой перебор вариантов дает нам, что вероятность встречи 10 в три раза выше, чем вероятность встретить 00!
Если вы испытываете чувство, будто вас обманывают, но где именно, вы не понимаете, - однако четко ощущаете, что что-то тут не так! - это нормально.
5. Итак, что же тут не так?
Или, точнее, что же кажется не так?
Кажется, что результат, полученный выше - какой-то неправильный. Так быть не должно!
Ведь что же получается? Если, как мы доказали, 10 встречается раньше, чем 00, причем аж в три раза чаще!.. это значит, что вероятность выпадения 10 должна быть выше, чем вероятность выпадения 00? В те же самые три раза?!
Но ведь совершенно очевидно, что шансы на то, что за два броска выпадут сочетания 11, 10, 01, 00 - совершенно равны! Поэтому частота выпадений 10 и 00 равна!
Так как же первое (разница в три раза!) - сочетается со вторым (вероятности равны)?!
Ну в самом деле! С одной стороны, мы железно (тупо перебрав все варианты!) убедились, что 10 будет выпадать раньше в три раза чаще... но интуиция упрямо нашептывает: подожди-ка! Ну ведь не может такого быть! Просто представь, что мы играем не до первого выпадения 10 или 00, а продолжаем игру и дальше. И у нас получается очень длинная лента результатов, где записаны последовательные броски. Тогда, если верить доказательству выше, что же получится? Мы тыкаем в любое место этой ленты... и теперь от этого (произвольного!) места движемся по ленте вперед... и с вероятностью 3 к 1 встречаем 10 раньше, чем 00? Но ведь тогда выходит, что в нашей ленте должно быть в три раза больше больше сочетаний 10, чем сочетаний 00?! Как иначе-то? Но это же прямо противоречит тому, что эти сочетания должны быть равновероятны?!
6. В чем интуиция права, а где обманулась
На самом деле, наша интуиция подсказывает нам немножко про другое. Она говорит так, будто перед нами не двойная орлянка, а несколько другая игра: орлянка на двух монетах.
В чем разница?
А разница такая: пока (всюду выше) мы бросали монетку, записывали результаты, и вели игру, пока два последних результата не давали выигрыш для 10 или 00.
А если играть чуть иначе? Берем две монетки. Договариваемся, что одну считаем первой, а другую второй. Но кидаем их одновременно! И теперь ничего не записываем. Просто смотрим на то, как легли наши монетки, первая и вторая. И сразу сравниваем: дали наши две монетки сочетание 10 или 00? Или какое-то из двух других сочетаний, то есть никто не выиграл? Если выпало 10 или 00, то кто-то выиграл. Если же никто не выиграл, кидаем опять - опять же, обе монетки сразу. И снова глядим только на то, как выпали наши две монетки. Не вспоминая, что там было в прошлый раз. Как такой вариант?
Если играть по этому варианту, с двумя монетками и без записи, то окажется, что наша интуиция совершенно права. Если в эту игру играть до первого выпадения сочетания 10 или 00, то вероятности будут совершенно равны.
Так в чем же подвох? Что же меняется, когда мы от двух монеток - переходим к тому, что кидаем одну монетку, ведем запись, и глядим не только на последний бросок, но и на предпоследний?
Если при игре на двух монетах выпадение 10 или 00 равновероятно, так почему же при бросании одной монеты с записью, сочетание 10 будет выигрывать в три раза чаще, чем 00?! В первом случае ситуация совершенно симметричная, и вероятности равны, 1 к 1; но почему же в варианте с одной монеткой и записью симметрия вдруг пропадает, да нарушается так сильно, что вероятности делаются аж 3 к 1?!
РАСКЛАДЫВЕМ ПО ПОЛОЧКАМ.
7. Куда же деваются те "недостающие" выпадения 00, из-за пропажи которых начинает выигрывать 10?
Вся штука в том, что они никуда не деваются.
Допустим, мы кидаем монетку, записываем результаты, и таким оборазом получили очень длинную ленту. Теперь ткнем в любое ее место, и возьмем два результата подряд. Мы обнаружим, что эти два соседних результата будут давать 00 так же часто, как и 10 (с вероятностью 1/4).
Однако если мы, так же тыкая в произвольное место ленты результатов, будем с этого места играть в нашу игру - двигаться по ленте вперед, пока не встретим 10 или 00, - то 10 будем встречать в три раза чаще, чем 00! (А если двигаться не вперед по ленте, а назад? Все равно. То же самое: 10 будет встречаться чаще, чем 00, и в те же самые три раза.)
Как же это согласуется, одно с другим? Разве такое может быть одновременно?!
Может. И очень просто. Все дело в том, что 10 разбросаны по ленте более равномерно; тогда как 00 более сильно "сгруппированны" друг к другом.
Почему 00 более сильно "сгруппированны" друг с другом?
Конечно же, речь не о том, что какая-то высшая сила принудительно группирует. Речь исключительно о вероятностях. Смотрите:
Допустим, мы ткнули в ленту, и наткнулись на 10. А какова теперь вероятность того, что если мы расширим окрестность (скажем, до четырех результатов: х10х), то в новом куске встретим еще одно сочетание 10? Очевидно, эта вероятность равна нулю. (Возможны четыре варианта, где в центре исходные 01: 0100, 0101,1101,1100. И во всех них сочетание 10 - только в виде нашего исходного сочетания, в середине.) Как было одно, так даже с учетом ближайшей окрестности останется одно.
А если мы теперь наткнулись в ленте на 00? И аналогично рассматрим окрестность х00х? В четырех возможных сочетаниях (0000, 0001, 1001, 1000) мы встретим и новые попадания 00! (В 0000 есть два новых, в 0001 и 1000 по одному новому). Получается, что в ближайшей окрестности от нашего исходного 00 сидит (в среднем!) еще одно 00!
8. Восстановление симметрии
А можно изменить правила игры так, что увидеть "восстановление симметрии" между 00 и 10?
Можно. Достаточно поставить условие, что мы играем не до первой встречи 00 или 10, а до того, как какое-то из этих сочетаний встретится несколько раз. Два раза, или три, и так далее - как договоримся.
Этим мы начнем учитывать вероятности тех "невидимых" прежде выпадений 00 и 10, которые встретились бы, если бы мы продолжали игру и после первого выпадения. Из-за того, что 00 "жмутся" друг к другу, вероятность выигрыша для 00 будет расти, а для 10 уменьшаться.
Так, при игре до двух встреч, шансы изменятся с 3:1 на 5:3, и так далее.
9. А другие сочетания? Мы рассмотрели 10 и 00, а есть же еще 11 и 01?
Легко проверить (аналогично схемке выше):
11 ничья 00,
01 ничья 10,
01 выигрывает у 11,
10 выигрывает у 00,
01 ничья 00,
10 ничья 11.
На самом деле, конечно, не обязательно тупо заучивать, чтобы запомнить все случаи. Есть понятная структура:
Ясно, что 11 и 00 не могут друг у друга выигрывать, и 10 с 01 тоже не могут выигрывать друг у друга. (Если бы могли, то мы, просто поменяв обозначения для орла и решки, получили бы обратный результат, что смехотворно.) Между ними возможна только ничья.
А чтобы выбрать победителя в сочетаниях между дублем и недублем, надо смотреть, где между ними разница: в первом броске или во втором? Если начала одинаковые, будет ничья (01 с 00; 10 с 11). Если же начала разные, то выигрывает недубль (01 у 11; 10 у 00).
10. А интуиция? Почему сбоила интуиция? Доверять интуиции нельзя?!
Интуиция, на самом деле, не сбоила.
Все дело в том, что интуиция не обязана давать правильные подсказки всегда. Интуиция должна давать правильные подсказки лишь для тех случаев, которые аналогичны случаям, на которых вы "нарабатывали" вашу интуицию.
Если вы наработали вашу интуицию для игры в орел и решку на одной монетке без записи, то интуиция даст правильные ответы, если вы будете расширять правила игры не как попало, а лишь "аналогично", - скажем, если станете рассматривать игру с одновременным бросанием двух монеток. Тогда ваша интуиция будет работать четко.
А вот чтобы возникла правильная интуиция для игры в одну монетку, но с учетом предпоследнего броска, - надо какое-то время порассматривать эту самую игру в одну монетку с записью результатов. Когда вы поприкидываете разные вероятности именно в этом варианте правил, - вот тогда у вас и выработается правильная интуиция, подходящая для этого варианта игры.
11. Дальше, дальше! Хочу еще страньшего!
При игре в орел и решку (простую, то есть одинарную), на вероятность выигрыша не влият, на что вы ставите. Выберете вы орла или решку, шансы все равно будут равны.
При игре в двойную орлянку сложнее. Вы можете постараться повлиять на шансы выиграть, - при условии, если ваш соперник не сообразил, что шансы двойных сочетаний друг против друга вовсе не равны, как было в простой орле и решке. Однако если ваш противних знает это, то вы не сможете его обхитрить. Скажем, если он называет недубль, например 01, то вы можете выбрать либо ничейные 10 или 00, либо худшую комбинацию 11. Выиграть вы можете только у дурака, который мало того что не знает теорию, так к тому же еще и невезучий - и выбирая, на что ставить, выбрал не 01 или 10, а один из дублей 11 или 00. Тогда, выбрав правильный недубль, вы сделаете свои шансы в три раза выше.
Но оказывается, если расширять орлянку дальше, скажем, до тройной, то все еще интереснее! Теперь даже если оба игрока знают теорию, все равно игрок, выбирающий вторым, всегда может выиграть! (Речь о шансах, конечно, а не о конкретной одной партии.) Он гарантированно может выбрать комбинацию, у которой шансы встретиться раньше выше, чем у той, которую выбрал первый игрок. (Похоже на то, как было бы в игре камень-ножницы-бумага, если бы игроки выбрасывали руки не одновременно, а по очереди.)
Однако тут мы входим во владения комбинаторики, скучные и серые, - а потому ну его. (Если подробности все же интересны, их легко найти, только надо гуглить не "орел и решку", а "игру Пенни", по имени Уолтера Пенни, первым рассмотревшего ситуацию.)
12. Эй, подождите!
А если в тройную орлянку будут играть трое? И хотя второй игрок выбрал комбинацию лучше, чем у первого, но третий выбрал лучше, чем у второго? Кто же в итоге будет выигрывать чаще? А если игроков будет еще больше? Вот вплоть до восьми! (По числу возможных комбинаций.) Восьмой тогда что, гарантированно выигрывает у всех... кроме первого? Противоречия какие-то же! Что же у них в итоге получится-то?!
Получится другая игра, в которой вероятности надо считать исходя из числа игроков - уже не двух! А сформулированное утверждение верно только для игры двоих.
![[]](/img/b/bastow_g/ht/doublehts.jpg)