|
|
||
Приведены формулы функций, позволяющие обеспечить смену аналитических выражений в ходе выполнения вычислений без использования логических операций. | ||
А.М. Белов
При исследовании любого процесса любой природы всегда в первую очередь стремятся установить его описывающие функциональные зависимости, т. е. выявить и описать в формальном виде связи между величинами, характеризующими развитие процесса.
Формальное, прежде всего аналитическое описание этих связей предполагает обязательное использование математических методов.
При этом известно, что никакая математическая схема не в состоянии полностью во всех подробностях адекватно описать действительные явления, происходящие в ходе развития процесса. Поэтому традиционно в ходе исследования различных процессов осуществляется выявление основных или существенных особенностей наблюдаемых явлений их схематизация или идеализация и последующее описание при помощи математических методов чаще всего предполагающих использование относительно простых математических моделей. Однако современные требования, предъявляемые к полноте, достоверности и точности исследования процессов практически во всех областях знаний вызывают стремление к более детальному изучению и соответственно описанию явлений, что приводит к быстрому усложнению, используемых для этого математических моделей.
Постепенное движение по пути более детального изучения и описания различных процессов привело в настоящее время, для обеспечения дальнейшего успешного развития процесса познания, к необходимости математического моделирования нестационарных качественно изменяющихся процессов. Причем очевидно, что в будущем значение математического моделирования нестационарных качественно изменяющихся процессов будет только возрастать.
Одной из основных проблем математического моделирования нестационарных качественно изменяющихся процессов является непропорционально быстрый рост сложности и объемов, используемых для этих целей математических моделей, что все чаще приводит к получению математических моделей мало пригодных для практического использования. Причем не улучшает ситуацию даже значительный прогресс вычислительной техники.
Косвенным подтверждением актуальности вопросов, связанных с математическим моделированием нестационарных качественно изменяющихся процессов так же служит большое количество исследований выполненных по этому направлению за последние годы. В результате проведения исследований было предложено большое количество различных путей решения проблем математического моделирования нестационарных качественно изменяющихся процессов.
Для целей настоящего исследования в качестве процесса рассматривается последовательная смена состояний в развитии, наблюдаемых в природе, технике или обществе явлений. При этом состояния характеризуются переменными величинами, а сами эти величины изменяются с течением времени или в зависимости от изменения других величин в соответствии с зависимостями, которые в ходе развития процесса сами претерпевают изменения, включая скачкообразные.
С количественной стороны, рассматриваемые процессы могут характеризоваться взаимной изменяемостью двух и более переменных величин при сохранении неизменности прочих условий реализации процессов, т.е. рассматриваются процессы, в которых устойчиво воспроизводятся все взаимные изменения переменных величин, включая скачкообразные при постоянстве внешних условий развития процессов. При этом для взаимно изменяющихся в ходе развития отдельного процесса величин может быть установлена функциональная зависимость.
Большинство происходящих в природе, технике или обществе процессов соответствуют приведенным характеристикам. Большое количество функциональных зависимостей процессов, рассматриваемого типа было установлено и продолжает устанавливаться в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.
При описании изучаемых процессов для обеспечения использования в дальнейшем результатов исследований необходимо задать функциональные зависимости (функции), проявляющиеся в этих процессах и характеризующие их. Под заданием функции в ходе описания изучаемого процесса понимается установление области определения функции и правил, при помощи которых по данному значению независимой переменной величины или данных значений нескольких независимых переменных величин находится соответствующее значение функции.
Широко применяются в настоящее время способы задания функций таблицей, аналитическое (формулой) и графиком.
В рамках данной статьи рассматривается аналитический способ задания функций. В случаях, когда установленные при исследовании какого либо процесса функции предполагается использовать при выполнении вычислений (использовать в составе других зависимостей, формул), исследовать их методами математического анализа, функции задают аналитически (формулой).
При аналитическом задании функции формула устанавливает, какие вычислительные операции надо произвести над заданными значениями независимых переменных, чтобы найти, соответствующие им значения функции в пределах области ее определения. Существует большое количество различных формул, многие, из которых, широко применяются и перечислены в литературе справочного характера.
Из всего многообразия функций далее будут рассматриваться функции, которые на разных интервалах своей области определения могут описываться разными аналитические выражения (могут быть заданы разными формулами) и допускают наличие точек разрыва. Именно такие функции в аналитическом виде могут полностью и точно описать состояния процессов, в которых характеризуемые их переменные величины изменяются в зависимости от изменения других величин в соответствии с зависимостями, которые в ходе развития процесса сами претерпевают изменения, включая скачкообразные. Эти функции аналитически обычно представляются в виде системы формул (уравнений), каждая из этих формул дополняется пояснением в виде неравенства, определяющего область ее применения.
Нельзя утверждать, что такие системы обеспечивают, в обще принятом смысле, задание какой либо одной отдельно взятой функции аналитически (формулой).
Формула - комбинация математических знаков, выражающее какое-либо предположение. В системах формул сформулировано одновременно несколько предположений. Поэтому такие системы целесообразно рассматривать как, объединенную условиями систему функций. При этом каждая, входящая в систему функция задана отдельной формулой.
Использование системы функций в качестве составных частей других функций, заданных в виде одной формулы неизбежно приводит к преобразованию этих функций в системы функций и соответствующему разбиению области их определения на подобласти. Применение к таким системам методов математического анализа затруднено и не во всех случаях возможно. В связи с этим постоянно разрабатываются методы аппроксимации функций (приближения функций).
Аппроксимацию - приближение функций обычно осуществляют полиномами. Из всех полиномов при приближении функций наибольшее распространение получили алгебраические многочлены и тригонометрические полиномы.
При аппроксимации функции многочлен всегда заменяет ее с некоторой ошибкой. Чем меньше эта ошибка и чем больше изменений претерпевает функция на рассматриваемом интервале, тем более высокой степени многочлен потребуется использовать и тем более трудной задачей является нахождение такого многочлена, а в отдельных случаях это не всегда возможно сделать. По этому на практике аппроксимация многочленами высокой степени встречается редко.
Кроме этого с малой ошибкой заменить функцию, даже используя для этого многочлены высокой степени согласно теореме Вейерштрасса возможно лишь при условии непрерывности заменяемой, функции на рассматриваемом интервале.
Величина допустимой ошибки при приближении той или иной функции по мере накопления экспериментальных сведений и развития соответствующей области знаний, как правило, уменьшается. Как следствие этого процесса все чаще возникают затруднения при попытках с достаточной для практического использования точностью аппроксимировать функции многочленами невысоких степеней.
Как выход из создавшегося положения можно рассматривать выделение отдельных частей из приближаемой функции с последующим проведением аппроксимации отдельно для каждой из этих частей многочленами невысоких степеней. Этот подход получил широкое развитие при приближении, так называемыми, сплайнами или сплайн-функциями. Однако в этом случае вместо одной функции неизбежно будет получена система функций или, полученная одна функция для какого либо одного участка не сможет дать представления обо всей приближаемой функции.
При программировании, например в среде таких математических пакетов, как Mathcad, которые для обеспечения ветвления вычислительных процессов содержат функции, составленные на основе функции Хевисайда и символа Кронекера. Однако функция Хевисайда и символ Кронекера по существу представляют собой обозначения систем логических операций и в развернутом виде сами записываются в виде систем выражений.
Приведенный выше анализ существующих методов описания нестационарных качественно изменяющихся процессов позволяет сделать вывод, что для перехода от системы формул к одной формуле, заменяющей всю систему необходимо найти замену логическим выражениям, используемым в системах формул и определяющих области применения отдельных формул системы.
Для обеспечения описания нестационарных качественно изменяющихся процессов без использования систем выражений (формул, уравнений), составленные для отдельных частей приближаемой функции, аналитические выражения при объединении их в одну формулу должны в зависимости от конкретных значений независимых переменных влиять или не влиять на вычисляемые по формуле результаты. Т. е., в составе такой формулы должны находиться специальные выражения, выполняющие роль ключей непосредственно в ходе выполнения по формуле вычислений без использования логических операций. Далее приводятся примеры формул, обладающих необходимыми свойствами.
Для задания всех функций Y=F(X) теоретически можно предложить использовать следующее одно универсальное уравнение:
Y=[X/X1]*[X1/X]*Y1+[X/X2]*[X2/X]*Y2+...+[X/Xi]*[Xi/X]*Yi, (1)
где [ ]- математический знак, обозначающий целую часть числа, Xi - значения аргумента, Yi - значение функции при X=Xi.
При бесконечно большом значении индекса i это уравнение способно точно задать практически любую функцию.
Поскольку, при выполнении реальных вычислений, значение индекса i всегда оказывается все же конечным, на практике лучше использовать уравнение (2).
Y=[(X1+|X1-X|+|X2-X|)/X2]*[X2/(X1+|X1-X|+|X2-X|)]*f1(X)+
+[(X2+|X2-X|+|X3-X|)/X3]*[X3/(X2+|X2-X|+|X3-X|)]*f2(X)+...
...+[(Xi+|Xi-X|+|Xi+1-X|)/Xi+1]*
*[Xi+1/(Xi+|Xi-X|+|Xi+1-X|)]*fi(X), (2)
где fi(X) - функции, приближенно описывающие изменение значений Y на интервалах между значениями аргументов Xi и Xi+1.
В качестве функций fi(X) можно использовать любые функции, но наиболее удобны для этой цели различные полиномы, причем, если максимальные значения индекса i достаточно большие, то обычно достаточно бывает использовать линейные функции.
В зависимости от вида выражений, выполняющих роль ключей, вид формул (1,2) может изменяться. Эти изменения могут породить целое семейство подобных формул. Например:
Y=f1(X)+A1*(f2(X)-f1(X))+...+Ai*(fi+1(X)-fi(X)), (3)
Y=B1*f1(X)+...+Bi*fi(X), (4)
где Ai и Bi выражения выполняющие роль ключей. Если проанализировать формулы (1-4), то не трудно понять, что выражения выполняющие роль ключей должны иметь возможность принимать всего два значения либо 0, либо 1.
Выражения Ai и Bi так же могут быть представлены различными формулами:
Ai=[Xi*[X/Xi]/X+X/Xi-[X/Xi]], (5)
Ai=(|X-Xi|+X-Xi)/(2*|X-Xi|+q), (6)
Bi=(|X-Xi-1|+X-Xi-1)/(2*|X-Xi-1|+q)-(|X-Xi|+X-Xi)/(2*|X-Xi|+q), (7)
Bi=[Xi-1*[X/Xi-1]/X+X/Xi-1-[X/Xi-1]]-[Xi*[X/Xi]/X+X/Xi-[X/Xi]], (8)
Bi=(|X-Xi-1|+X-Xi-1)*(|Xi-X|+Xi-X)/(4*|X-Xi-1|*|Xi-X|+q), (9)
где - бесконечно малая отличная от нуля величина, необходимая для предотвращения возникновения ситуаций деления на ноль.
Ниже приводится пример сравнения результатов аппроксимации тригонометрическим полиномом зависимости, заданной системой уравнений и замены этой же системы уравнений одной формулой при помощи выражений (3) и (6).
Для проведения сравнений была выбрана относительно простая функциональная зависимость (10), содержащая всего одну точку разрыва.
Y= -1, если -3,14
Наиболее часто для аппроксимации функциональной зависимости (10) используется тригонометрический полином (ряд Фурье) с бесконечно большим количеством членов суммы. В рассматриваемом примере было использовано восемь членов суммы (11).
Y=(4/3,14)*(sinX+sin3X/3+sin5X/5+sin7X/7+
+sin9X/9+sin11X/11+sin13X/13+sin15X/15) (11)
При использовании выражений (3) и (6) систему уравнений (10) или приближающий ее полином (11) можно заменить на формулу (12).
Y=2*(|X|+X)/(2*|X|+10^-15) - 1 (12)
Сравнение выражений (10-12) показывает, что для значений X, принадлежащих области определения функции, значения функций заданных выражениями (10) и (12) полностью совпадают, а значения, использованные для аппроксимации тригонометрического полинома (11) имеют отклонения от значений функции, заданной системой выражений (10).
Причем, если при значениях X близких к -3,14/2 или 3,14/2 значения функции, заданной выражением (11) отличаются от значений функции, заданной системой выражений (10) не более чем на два процента, то при значениях X близких к -3,14 или 0 или 3,14 эти значения будут отличаться на сто процентов. Наличие этих значительных отклонений значений функции принципиально устранить не возможно.
Кроме того, что при использовании выражения (11) получаются менее точно соответствующие описываемому процессу результаты при прочих равных условиях затраты времени на выполнение вычислений при использовании выражения (12) примерно в 2,5 раза меньше чем при использовании выражения (11).
Как по формуле, определяющей любую функцию в ходе ее исследования можно найти область определения этой функции, так и при исследовании формулы, определяющей функцию, обеспечивающую смену аналитических выражений в ходе выполнения вычислений можно найти область определения такой функции. Однако при этом необходимо учитывать то обстоятельство, что отдельные аналитические выражения, составляющие формулу, имеют ограничения по своей способности влиять на результаты вычислений.
Отдельные аналитические выражения, входящие в состав формулы, определяющей функцию, обеспечивающую смену аналитических выражений в ходе выполнения вычислений могут иметь, как полностью совпадающие, так и не полностью совпадающие области определения с областью определения функции.
При описании реальных процессов часто область определения используемой функции не совпадает с множеством значений независимой переменной, при которых значения функции имеют практический смысл.
В этих случаях область определения функции не определяется при исследовании функции, а специально задается. При этом наряду с формулой, определяющей функцию, указывается интервал, определяющий область ее применения, в пределах которого формула имеет смысл.
Задание специальных интервалов, требует сопровождать формулы описаниями (словесными формулировками), что вызывает определенные неудобства. Использование таких формул в составе других выражений приводит к необходимости так же сопровождать эти выражения описаниями, специально определяющими их область определения.
Формулы, сопровождаемые описаниями (словесными формулировками), ограничивающими их область определения в общем виде всегда можно представить в виде системы выражения.
Таким образом, зависимости заданные формулой, даже с использованием всего одной функции, но сопровождаемые словесными формулировками, уточняющими область определения этой формулы, должны быть отнесены к числу зависимостей заданных при помощи системы формул.
Использование формул, определяющих функции, обеспечивающих смену аналитических выражений в ходе выполнения вычислений позволяет обеспечить ограничение области их определения, не прибегая к использованию совместно с этими формулами словесных формулировок.
Например, если в формулах (1,2) отдельные значения Yi или отдельные выражения fi(X) приравнять к заранее оговоренному условному значению W, то можно говорить, что если в результате вычислений по формулам (1,2) будет получено Y=W, то функция вышла за пределы области своего определения.
На основе выражения (4) так же можно записать формулу (13), обеспечивающую задание области определения функции.
Y=W*(1-B)+B1*f1(X)+...+Bi*fi(X), (13)
где W- заранее оговоренное условное значение, сигнализирующее о выходе за пределы области определения функции (может быть, как число, так и буквенное обозначение);
B=(|X-X1|+X-X1)*(|Xi-X|+Xi-X)/(4*|X-X1|*|Xi-X|+q), (14)
где в качестве Xi используется значение аргумента X, соответствующее максимальному значению индекса i.
Так же, если часть выражений fi(X) будет приравнена к W, то функция (13) на этих участках не будет иметь значений.
Выражения подобные выражению (13) для задания их области определения, включая специальные, не требуют использования специальных словесных формулировок или записывать их в виде системы выражений, так как область их определения непосредственно можно определить в ходе анализа формул их выражающих. Кроме этого, если в ходе выполнения вычислений по таким выражениям все же будут использованы значения независимой переменной, находящиеся за пределами областей определения, то будет получаться всегда один результат Y=W. Получение в ходе выполнения вычислений результата Y=W будет сигнализировать о выходе за пределы области определения.
Большинство существующих и вновь устанавливаемых зависимостей являются ограниченными особенно, если рассматривать взаимно влияющие и составляющие их параметры в бесконечности. Часто лишены физического смысла (не существуют) бесконечно большие и отрицательные величины.
В литературе при описании различных процессов уже, как правило, приводится формула, описывающая лишь на отдельном участке рассматриваемый процесс без соответствующего сопровождения ее словесной формулировкой ограничивающей область ее применения. Специалисту, использующему такую формулу, каждый раз приходится самому определять тем или иным способом границы применимости формулы.
По этому задание зависимости формулой, содержащей указания на границы ее применимости можно рассматривать как более корректное.
Необходимо отметить, что практически все известные формулы при использовании их для описания реальных процессов требуют ограничения их области применения. Причем фактическое ограничение области применения формул может происходить, как в явном виде, т. е. сопровождением их соответствующими словесными формулировками, так и по умолчанию, т. е. полагаясь на знания и грамотные действия специалистов их применяющих. В большинстве случаев это связано с тем, что аргумент функции не имеет физического смысла при отрицательных, нулевых значениях или имеет максимально возможное предельное значение, например скорость света в вакууме для скорости движения материального объекта.
Таким образом, если рассматривать любой процесс полностью, а не какую либо его отдельную часть, то можно утверждать, что все реальные процессы являются нестационарными уже в силу того, что существуют области применения формул их описывающих. Для предельных значений аргументов функций описывающих процессы, значения этих функций изменяются скачкообразно. При этом значения функций могут не существовать, стать равными нулю, не изменяться при изменении аргумента или характер поведения функции современной наукой еще не установлен.
Формулы (2-9) могут использоваться для задания периодических функций, но в этом случае для повышения удобства их использования желательно их преобразовать. Эти преобразования в общем однотипные и их можно рассмотреть на примере преобразования выражения (4) в выражение (15), обеспечивающее задание периодической функции:
Y=Bp1*f1(Xp)+...+Bpi*fi(Xp), (15)
где Xp=X-H*[X/H]; H - период функции; Bpi= (|Xp-Xi-1|+Xp-Xi-1)*(|Xi-Xp|+
+Xi-Xp)/(4*|Xp-Xi-1|*|Xi-Xp|+q).
С примерами использования, рассмотренных в настоящей статье формул можно ознакомиться в ряде опубликованных работ:
1. Белов А.М. Неэлементарные функции для описания скачкообразно и качественно изменяющихся процессов // Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта ВНТИЦ ? 70990000105, 1999.
2. Белов А.М. Государственное регулирование научно-технической и инновационной деятельности на территории области // Тула научная: аналитическо-информ. обзор науч.-техн. Сферы Тул. Обл. - Тула: Издательский Дом 'Пересвет', 1999. - С. 184-197.
3. Белов А.М. Функция для описания скачкообразно и качественно изменяющихся процессов // Тульские ученые накануне третьего тысячелетия: Сб. аналит. и информ. материалов. - Тула: Гриф и Ко, 2000. - С. 40-41.
4. Белов А.М. Управление государственными затратами в отрасли 'наука и научное обслуживание' в условиях развития кризисных явлений //Финансово-кредитная и инновационная политика в регионе: Материалы межрегиональной научно-практической конференции. - Тула: филиал ВЗФЭИ в г. Туле, 2000. - С. 37-40.
5. Белов А.М. Организация государственной поддержки научно-технической деятельности на территории Тульской области // Инженерное образование, наука и производство в Тульской области: Сб. аналит. и информ. материалов. - Тула: ТулГУ, 2001. - С. 100-104.
6. Белов А.М. Оценка рационального объема государственной поддержки инновационного проекта // Вестн. администрации Тул. обл. - 1999. - ? 1. - С. 221-224.
7. Белов А.М. Повышение качества оценки ожидаемых результатов
реализаци проектов и программ // Вестн. администрации Тул. обл. -
2001. - ? 1. - С. 274-276.
8. Белов А.М. Научно-технический потенциал области: переходный
период // Вестн. администрации Тул. обл. - 2002. - ? 1. - С. 149-154.
9. Белов А.М. и др. Внедрение безокислительного нагрева в кипящем слое
катализатора под термообработку деталей типа "втулка" для изделий
специального назначения, осваиваемых ГНПП "СПЛАВ"- С.270-277./
В кн.: Научно-технические работы выполненные в 1997-2001 г. при
финансовой поддержке администрации Тульской области: Сб.
информационных материалов/Тула: издательство "Власта", 2002.-327 с.
Наибольшее количество примеров с подробным их разбором приведено
в рукописи книги: Белов А.М. Аналитическое описание нестационарных качественно изменяющихся процессов. - Тула, 2001. - 92 с.: ил. (пока не опубликована, но несколько экземпляров рукописи было распространено)
На основе приведенных в статье методов описания нестационарных качественно изменяющихся процессов было разработано два программных продукта "Автоматизированное формирование формулы приближающей функции" и "Калькулятор функций", которые обеспечивают формирование формул с использованием выражений (2-9) в автоматическом режиме.
Более подробную информацию смотрите на: stob2.narod.ru