Частухин Александр Евгеньевич. Abcd-гипотеза

abcd-гипотеза

УДК 511

Введение

В теории чисел существует множество интересных гипотез. Одной из лучших гипотез, сформулированных в 20 веке, является abc-гипотеза.

Актуальность

Из данной гипотезы вытекает много важных следствий. В частности из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших z, а из неё - справедливость Великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней. Также из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё - справедливость гипотезы Каталана. Поэтому актуален не только поиск доказательства данной гипотезы, но и поиск ее обобщений.

Цели

Сформулировать гипотезу, являющуюся обобщением abc-гипотезы на случай произвольного количества слагаемых k (k ≥ 3).

Научная новизна

В настоящее время большое внимание математического сообщества сосредоточено на доказательстве abc-гипотезы. В частности на проверке доказательства, предложенного в 2012 году японским математиком Мотидзуки. Обобщений же данной гипотезы пока сформулировано не было.

Попробуем прийти к формулировке abc-гипотезы следующим путем. Рассмотрим уравнения вида:

где a, b и c взаимно простые натуральные числа.

Рассмотрим следующие частные случаи уравнения (1) при

где n - натуральное число.

В этом случае уравнение (1) будет иметь следующий вид:

Оценим радикалы (произведения простых делителей) каждого из слагаемых этого уравнения. Получим:

Оценим произведение этих радикалов:

Попробуем теперь сравнить максимальное из слагаемых уравнения (2), т.е. число "c", и произведение этих радикалов.

Как видно, в данном случае число "c" строго больше произведения радикалов слагаемых при n ≥ 2. Определим насколько оно больше в плане показателя:

Как видно, α > 1 при n ≥ 2. При этом при стремлении n к бесконечности α стремится к 1. Показатель степени α называется мерой хитовости abc-тройки чисел.

На основании вышесказанного можно сформулировать abc-гипотезу.

Формулировка abc-гипотезы.

Формулировка 1. Для любого ε > 0 существует константа K(ε), при которой для любых трех взаимно простых натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению (1), выполняется неравенство:

Поскольку числа a, b и с не только взаимно простые, но и попарно взаимно простые, уравнение (13) можно записать так:

Формулировка 2. Для любого ε > 0 существует только конечное число троек взаимно простых натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению (1), для которых выполняется неравенство:

Приведенные две формулировки являются эквивалентными.

В настоящее время известно, что показатель степени α в уравнении (11) имеет максимальное значение приблизительно равное 1.62991. Обозначим его α_макс. Таким образом, можно дать еще такую формулировку abc-гипотезы.

Формулировка 3. Для любых троек взаимно простых натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению (1), выполняется неравенство:

Основными формулировками abc-гипотезы являются формулировки 1 и 2.

Утверждения abc-гипотезы имеют большую силу. В частности из этой гипотезы следует верность Великой теоремы Ферма при n ≥ 6. Покажем это.

Великая теорема Ферма утверждает, что не существует натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению:

при n > 2, n - натуральное число.

Оценим радикалы каждого из слагаемых уравнения (17).

Поскольку a < c и b < c неравенство (16) в этом случае будет иметь следующий вид:

Т.е. уравнение (17) может иметь целочисленные решения только при n < 6. А для случаев n = 3, n = 4 и n = 5 Великая теорема Ферма была доказана уже достаточно давно.

Попробуем теперь вывести гипотезу аналогичную abc-гипотезе только для уравнений из четырех слагаемых (k = 4). Рассмотрим уравнения вида:

где a, b, c и d взаимно простые ненулевые целые числа, max(|a|, |b|, |c|, |d|) = |d|.

Кроме того, уравнение (22) не должно быть составным. (Т.е. его нельзя разложить на два или более уравнения с тем же набором слагаемых. Пример составного уравнения: 2 - 2 + 3 - 3 = 0. Данное уравнение является составным, потому что его можно разложить на два уравнения с тем же набором слагаемых: 2 - 2 = 0 и 3 - 3 = 0.)

Рассмотрим следующие частные случаи уравнения (22) при

где n - натуральное число.

В этом случае уравнение (22) будет иметь следующий вид:

Оценим радикалы каждого из слагаемых этого уравнения. Получим:

Оценим произведение этих радикалов:

Попробуем теперь сравнить максимальное из слагаемых уравнения (22), т.е. |d|, и произведение этих радикалов.

Как видно, в данном случае |d| строго больше произведения радикалов слагаемых при n ≥ 1. Определим насколько это число больше в плане показателя:

Как видно, α > 2 при n ≥ 4. При этом при стремлении n к бесконечности α стремится к 2.

Если пройти аналогичный путь только для уравнений из пяти слагаемых (k = 5), то мы получим результат, что при стремлении n к бесконечности α будет стремиться к 3 (α > 3). Если для шести слагаемых (k = 6), то α будет стремиться к 4 (α > 4). И т.д.

Таким образом, мы можем сформулировать abcd-гипотезу, которая будет являться обобщением abc-гипотезы на случай произвольного количества слагаемых k (k ≥ 3):

где a₁, a₂, ..., a_k взаимно простые ненулевые целые числа.

Формулировка abcd-гипотезы.

Формулировка 1. Для любого ε > 0 существует константа K(ε), при которой для любых взаимно простых ненулевых целых чисел a₁, a₂, ..., a_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (34), выполняется неравенство:

Формулировка 2. Для любого ε > 0 существует только конечное число взаимно простых ненулевых целых чисел a₁, a₂, ..., a_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (34), для которых выполняется неравенство:

Приведенные две формулировки являются эквивалентными.

Как было сказано выше, для k = 3 значение α_макс ≈ 1.62991. Для k = 4 найденное нами максимальное значение α_макс ≈ 2.0929 (уравнение -2³∙3⁸ - 1 + 5⁶ + 2¹²∙3² = 0). Для k = 5 найденное нами максимальное значение α_макс ≈ 2.452589 (уравнение -3¹² - 2⁴∙3³ + 2¹⁰ + 3⁸ + 2¹⁹ = 0). (Для k = 5 мы здесь не учитываем уравнения, аналогичные уравнениям (2) и (23), у которых α_макс ≈ 3 и α_макс > 3.) Можно предположить, что чем больше количество слагаемых k, тем ближе значение α_макс к числу "k - 2". Таким образом, можно дать еще такую формулировку abcd-гипотезы.

Формулировка 3. Для любых взаимно простых ненулевых целых чисел a₁, a₂, ..., a_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (34), выполняется неравенство:

где δ ≈ 1 и δ > 1.

Как мы писали выше, при k = 3 слагаемые уравнения являются не только взаимно простыми, но и попарно взаимно простыми числами. В этом случае произведение радикалов этих чисел равно радикалу их произведения. Но при k > 3 такого равенства нет. Для общего случая k ≥ 3 справедливо неравенство:

Таким образом, заменив произведение радикалов на радикал произведения в неравенствах (35), (36) и (37), можно дать еще такие формулировки abcd-гипотезы.

Формулировка 4. Для любого ε > 0 существует константа K(ε), при которой для любых взаимно простых ненулевых целых чисел a₁, a₂, ..., a_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (34), выполняется неравенство:

Формулировка 5. Для любого ε > 0 существует только конечное число взаимно простых ненулевых целых чисел a₁, a₂, ..., a_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (34), для которых выполняется неравенство:

Формулировка 6. Для любых взаимно простых ненулевых целых чисел a₁, a₂, ..., a_k, удовлетворяющих несоставному уравнению (34), выполняется неравенство:

где δ ≈ 1 и δ > 1.

Утверждения abcd-гипотезы согласно формулировкам 1, 2 и 3, т.е. формулировкам, использующим произведение радикалов, являются более сильными, чем утверждения согласно формулировкам 4, 5 и 6, т.е. формулировкам, использующим радикал произведения.

Как видно из тройки неравенств (35), (36), (37) и тройки неравенств (39), (40), (41), при k = 3 они становятся равными тройке неравенств (14), (15), (16), отражающих классические формулировки abc-гипотезы.

Интересно рассмотреть случай k = 2. При k = 2 может существовать лишь одно уравнение, слагаемые которого являются взаимно простыми ненулевыми целыми числами: уравнение 1 = 1. Произведение радикалов этих слагаемых равно радикалу их произведения и равно 1.

Подставим значения в неравенство (35). Получим:

Очевидно для случая k = 2 вне зависимости от величины ε константу K(ε) можно принять равной 1.

Подставим значения в неравенство (36). Получим:

Взаимно простых двоек чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих уравнению a₁ + a₂ = 0, для которых выполняется неравенство (36), должно быть конечное количество. Поскольку неравенство (43) не выполняется, то при k = 2 количество таких двоек чисел равно 0.

Подставим значения в неравенство (37). Получим:

Для любых взаимно простых двоек чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих уравнению a₁ + a₂ = 0, неравенство (37) должно выполняться. Поскольку неопределенность 1^∞ может быть равна любому числу, будем считать, что неравенство (44) выполняется.

Если подставить значения при k = 2 в неравенства (39), (40), (41), то мы получим такие же неравенства (42), (43), (44).

Таким образом, все формулировки abcd-гипотезы справедливы для k ≥ 2.

Если же применять abcd-гипотезу только для случаев k ≥ 3, то неравенства (37) и (41) можно несколько упростить, подставив в них значение δ = 1:

Основными формулировками abcd-гипотезы являются формулировки 1 и 2, т.е. формулировки использующие произведение радикалов.

Выводы

1. Сформулирована abcd-гипотеза, являющаяся обобщением abc-гипотезы на случай произвольного количества слагаемых k (k ≥ 3).

2. Показана корректность формулировок abcd-гипотезы для тривиального случая при k = 2.

Библиографический список:

1. abc-гипотеза. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза (дата обращения: 23.11.2021).

2. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. -М.: Издательский центр "Академия", 2008. - 272 с.

Оставить комментарий © Copyright Частухин Александр Евгеньевич (2005pochta2005@mail.ru) Размещен: 09/08/2022, изменен: 10/08/2022. 15k. Статистика. Статья: Естествознание Математика Иллюстрации/приложения: 33 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: В данной работе сформулирована гипотеза, являющаяся обобщением abc-гипотезы на случай произвольного количества слагаемых уравнения.

Частухин Александр Евгеньевич : другие произведения.

Abcd-гипотеза