Частухин Александр Евгеньевич. Уровни математических действий над числами. Уровни простоты и иррациональности чисел

Уровни математических действий над числами. Уровни простоты и иррациональности чисел.

УДК 512; 511; 510

Введение

Математические действия над числами, такие как сложение и умножение, известны человечеству, наверное, почти с самого начала его существования. В настоящее время они, а также операция возведения в степень, хорошо изучены. При этом операцию возведения в степень можно выразить через операцию умножения, а операцию умножения можно выразить через операцию сложения. Тем самым можно рассматривать умножение как следующий уровень действия после сложения, а возведение в степень - как следующий уровень действия после умножения. Однако операция возведения в степень в отличие от сложения и умножения не обладает свойством коммутативности, что несколько нарушает данную схему.

Актуальность

Таким образом, актуально изучение коммутативных математических действий в контексте объединения их в некоторую иерархическую модель.

Цели

Объединить математические действия над числами в некоторую общую схему. Ввести понятие уровня коммутативного математического действия.

Научная новизна

Данный подход является новым в математике, и может дать возможность по-новому посмотреть на такие понятия, как простые числа, иррациональные числа и т.д.

Со школы всем известны следующие математические действия над числами:

При этом умножение можно выразить через сложение следующим образом:

А возведение в степень можно выразить через умножение следующим образом:

При этом

Т.е. действие "возведение в степень" не обладает свойством коммутативности. Сложение же и умножение данным свойством обладают.

Кроме того, для всех вышеописанных математических действий есть некоторые особые числа. Например, начальное число (или просто начало, нейтральный или нулевой элемент). Это число, от которого ведется отсчет в данном действии, и которое не влияет на результат. Для сложения это 0:

Для умножения это 1:

Можно ввести также понятие обнуляющего числа. Если данное число участвует в том или ином действии, то результатом данного действия будет это число. Например, для умножения это 0:

Как известно из курса математики, верно следующее выражение:

где Осн - некоторое число, основание степени.

Как видно, степень числа "Осн" в левой части уравнения это сумма, а в правой части мы имеем умножение. Т.е. данное выражение можно использовать при переходе от действия сложения к действию умножения. (В качестве числа "Осн" во всех выражениях мы будем использовать натуральные числа больше 1.)

Т.е. если нам нужно от выражения "a+b" перейти к выражению "a∙b" можно использовать следующую формулу:

Попробуем теперь с помощью такого метода перейти от умножения к следующему по уровню действию:

Как видно, полученное действие над числами похоже на операцию возведения в степень, но несколько отличается от нее, и при этом оно обладает свойством коммутативности.

Т.е. мы, используя операцию возведения в степень по формулам (12) и (14), перешли от сложения к умножению и от умножения к следующему по уровню действию. Кроме того, перейти от начального числа по сложению (0) к начальному числу по умножению (1) можно также с помощью операции возведения в степень:

Итак, с помощью формул перехода от одного математического действия к вышестоящему по уровню действию соберем следующие данные в сводной таблице:

Рассмотрим данную таблицу поподробнее.

Уровень -1. Действие ниже уровня сложения.

С помощью формулы, обратной формуле (12), можно перейти на одно действие ниже, от сложения к действию, находящемуся на один уровень ниже:

Можно легко получить начала на данном уровне и простые числа. Здесь простые числа понимаются в более широком смысле, чем общепринято в математике. Общепринятые простые числа (2, 3, 5, 7...) в данном случае это простые числа уровня 1, уровня умножения (см. табл. 1). Умножая эти числа между собой можно получить остальные числа натурального ряда (не считая числа 1, которое является началом данного действия).

Простым числом уровня 0, уровня сложения, является только одно число 1. Складывая данное число соответствующее количество раз, можно получить любое число натурального ряда (1 + 1 + 1 + ... + 1).

Простым числом уровня -1 является только одно число 0. Его можно получить, понижая уровень сложения таким образом:

Точно также можно получить начальное число уровня -1:

Для данного уровня обратные простые числа и обнуляющие числа являются мнимыми числами, и мы в таблице 1 их не отражали. Обратные простые числа получаются при помощи обратного к данному действия. Для сложения обратным действием является вычитание. Для умножения - деление.

Для сложения единственным обратным простым числом является -1. Перейдем на уровень ниже:

То, что данное число является мнимым, следует из известной в математике формулы:

Уровень 0. Сложение.

Про данное действие мы уже частично написали, и с ним в целом все понятно. В таблице 1 написано, что обнуляющим числом данного уровня является только -∞, т.е.:

Очевидно, данная формула будет справедлива и для +∞. Но в качестве обнуляющих чисел в таблице 1 мы отражали только числа, которые являются началами на предыдущих уровнях. Для уровня сложения началом предыдущих уровней является только число -∞.

Для любого основания "Осн" (2, 3, 4, 5, 6 и т.д., см. табл. 1) для уровня -1 и для уровня 0 мы имеем абсолютно одинаковые особые числа: начала, простые числа и т.д.

Уровень 1. Умножение.

Возведя любое основание в степень 0 (предыдущее начало) мы получим единственное начало данного уровня - 1. Возведя основания в степень 1 (предыдущее простое число) мы получим в качестве кандидатов в простые числа данного уровня эти же основания: 2, 3, 4, 5, 6 и т.д.

Те числа из них, которые можно разложить с помощью данного действия (умножения), простыми числами не будут. В таблице 1 желтым цветом выделены те кандидаты в простые числа, которые можно разложить с помощью данного действия, и которые тем самым простыми числами не являются.

В итоге на данном уровне мы получим простые числа, которые собственно таковыми и являются в математике: 2, 3, 5, 7 и т.д.

Обратными простыми числами на данном уровне будут числа:

и т.д.

Обнуляющими числами на данном уровне будут числа 0 и -∞, являющиеся началами на предыдущих уровнях. При этом -∞ будет являться обнуляющим числом только частично. Потому что при умножении его на отрицательные числа (обратные числа предыдущего уровня: -1, -2, -3, -4 и т.д.) мы получим +∞.

Уровень 2. Действие выше уровня умножения.

Как мы писали выше, данное действие похоже на операцию возведения в степень, но в отличие от нее обладает свойством коммутативности.

Кандидатами в начала на данном уровне будут числа, равные основаниям: 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. А кандидатами в простые числа будут основания, возведенные в степени, являющиеся простыми числами предыдущего уровня (2, 3, 5, 7 и т.д.). Те кандидаты в начала, которые являются простыми числами данного уровня (например, 4 = 2²) или разлагаются с помощью данного действия на простые числа, не будут являться началами данного уровня. И те кандидаты в простые числа, которые разлагаются с помощью данного действия на простые числа (например,

(основание 2)), не будут являться простыми числами данного уровня.

Обратными простыми числами на данном уровне будут числа вида:

и т.д.

Обнуляющим числом данного уровня будет начало предыдущего уровня - 1. Также частично обнуляющими числами будут начала предыдущих уровней: 0 и -∞. Не в любом случае при участии этих чисел в данном действии мы получим их самих же. Например, при участии числа 0 в данном действии с обратными числами предыдущего уровня (

и т.д.) мы получим:

Итоги

Свойства. Все вышеописанные математические действия (любой уровень) обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. В качестве примера покажем дистрибутивность действия ниже уровня сложения:

Порядок выполнения действий. Если выражение записано без скобок, то сначала выполняются действия более высокого уровня, а затем действия меньшего уровня. Т.е. выражение (28) можно записать без скобок:

по аналогии с выражением:

Обратные числа. Из таблицы 1 видно, что для всех уровней математических действий выполняется правило: обратные числа того или иного уровня не могут быть меньше предыдущего начала. Например, для сложения обратные числа: -1, -2, -3, -4 и т.д. Они не меньше числа -∞. Для умножения обратные числа:

и т.д. Они не меньше числа 0. Для действия уровня 2 обратные числа:

и т.д. Они не меньше числа 1.

Простота числа 1. Как известно, в математике число 1 не является простым. Также оно не является составным. Оно представляет собой некий другой класс чисел, состоящий из одного числа, и определение которому не дано. Как мы уже выше писали, простые числа в математике это простые числа уровня 1, уровня умножения. И на этом уровне число 1 является началом, но не простым числом. Но число 1 является единственным простым числом уровня 0, уровня сложения. Тем самым число 1 можно считать сверхпростым. Это единственное натуральное число, которое нельзя разложить на более маленькие натуральные числа с помощью операции сложения.

Что же касается числа 0, то это еще более простое число, чем число 1, если принять во внимание уровень математических действий -1. Оно является самым уникальным.

Уровень иррациональности чисел. Из курса математики известно, что есть числа целые, рациональные, иррациональные и т.д. Но можно ввести такое понятие, как уровень иррациональности чисел.

Посмотрим таблицу 1, колонку "Обратные простые числа". Для уровня 0 это число -1. Если учесть не только простые, но любые обратные числа данного уровня, то мы получим все отрицательные числа: -1, -2, -3, -4 и т.д. Данные числа можно считать иррациональными уровня 0. Почему? Иррациональность - это то, что не поддается какой-то логике, пониманию. Можно видеть на столе 2 яблока, можно видеть на столе 1 яблоко, можно даже видеть на столе 0 яблок, т.е. их отсутствие. Но что такое -1 яблоко? Здесь уже есть некоторая степень иррациональности. Иррациональность уровня 0.

Перейдем к уровню 1. Обратными числами здесь являются числа вида:

и т.д. Это иррациональные числа уровня 1. Данные числа не являются целыми. И это тоже уровень иррациональности. Можно ли быть наполовину беременной?

Перейдем к уровню 2.

и т.д. - данные числа являются иррациональными уровня 2. И в математике данные числа уже являются общепринятыми иррациональными числами.

Как перейти на следующий уровень иррациональности? Возвести основание (например, число 2) в степень предыдущего по уровню иррационального числа. Таким образом, можно получить следующий ряд чисел по мере роста их уровня иррациональности:

-1 - 0-ой уровень

- 1-ый уровень

- 2-ой уровень

- 3-ий уровень

- 4-ый уровень

И т.д.

Выводы

1. Введено понятие уровня коммутативного математического действия над числами.

2. Рассмотрены математические действия от уровня -1 до уровня 2.

3. Рассмотрены обратные числа от уровня 0 до уровня 2.

4. Рассмотрены простые числа от уровня -1 до уровня 2.

5. Введено понятие уровня иррациональности чисел.

Библиографический список:

1. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. -М.: Издательский центр "Академия", 2008. - 272 с.

2. Гашков С.Б. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений: учеб. пособие для студентов вузов с углубленным изучением математики / С.Б. Гашков, В.Н. Чубариков; под ред. В.А. Садовничего. - 3-е изд., испр. -М.: Дрофа, 2005. - 320 с.

3. Арифметика. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Арифметика (дата обращения: 06.04.2023).

4. Число. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Число (дата обращения: 06.04.2023).

Оставить комментарий © Copyright Частухин Александр Евгеньевич (2005pochta2005@mail.ru) Размещен: 27/11/2023, изменен: 27/11/2023. 17k. Статистика. Статья: Естествознание Математика Иллюстрации/приложения: 43 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: В данной работе введены понятия уровня коммутативных математических действий над числами и уровня простоты и иррациональности чисел. Рассмотрены данные понятия от уровня -1, действия ниже уровня сложения, до уровня 2, действия выше уровня умножения.

Частухин Александр Евгеньевич : другие произведения.

Уровни математических действий над числами. Уровни простоты и иррациональности чисел