На следующий день Кэкэ пригласил гостя прогуляться по окрестностям. Дорожная Пыль с радостью согласился: он полюбил эту северную природу, особенно здесь, рядом с огромным пресноводным энергетическим аккумулятором тепла и ветра, изменившим северные ландшафты, придав им суровый, неприступный и одновременно экзотический вид. Они вышли из дома и почти тут же оказались в еловом лесу, выстланном зеленым мхом. Неспешно двигаясь вверх, уже через несколько минут Кэкэ и Дорожная Пыль оказались на скалистом обрыве, с которого открывался прекрасный вид на дом Кэкэ. Обрыв был выше крыши дома, где-то на уровне семиэтажного здания. Они сели на краю обрыва, наслаждаясь солнцем, воздухом и гранитной бездной.
- Ты, наверное, хочешь от меня узнать что-то не только о мухах? - спросил Кэкэ, глядя вдаль.
- Да. Но я ничего не знаю и поэтому ничего не могу спросить.
- Ты намекаешь на то, чтобы я начал с начала, которого ты не знаешь, и закончил концом, которого ты не ждёшь? Хитёр бобёр, - Кэкэ закатил глаза вверх, как бы рассматривая облака. Пауза длилась недолго. Наконец, он махнул рукой. - Как гуманист, прощу на первый раз тебе эту наглость. Был бы ты магом, тебе несдобровать...
Ты знаешь, что такое математическая теория? Ладно, я тебе напомню. Прежде всего, математическая теория включает в себя набор аксиом. Аксиомы - это недоказуемые истины теории. Мы просто считаем их верными либо в силу их очевидности, либо по соглашению. Потом в математическую теорию входит набор правил, с помощью которых из этих аксиом мы можем получать теоремы - новые истины теории. Обычно под набором правил понимают принятые математиками способы правильного мышления. Какие способы правильного мышления допустимы, а какие - нет, это вопрос философский, и здесь, как водится, у профессионалов нет согласия. Причин к тому много, но итог таков: единого мнения о допустимых способах правильного мышления нет, а значит, нет и единой математики. Есть фрагментированная область математического знания. Ну, да бог с ней.
Представление математического знания в виде аксиом и правил вывода позволяет доказывать новые теоремы, используя которые можно доказывать ещё теоремы; и так до бесконечности, получая всё новые и новые математические истины. Здесь, как обычно, тоже есть место для споров. Одни говорят: раз все истины теории можно получить из аксиом с помощью правил вывода, стало быть, все теоремы теории уже содержатся в аксиомах и лишь извлекаются из них с помощью правил вывода. Другие же утверждают, что доказательством новых истин создается новая информация. Я держусь того мнения, что для Бога имеет место первая ситуация, а для человека - вторая. Что ты завис? Я непонятно объясняю? Хорошо, давай так.
Возьмём геометрию Евклида. Аксиомы и правила вывода позволяют получать теоремы, которые описывают свойства пространства. Мы можем взять любую истину евклидовой геометрии и опытным путём проверить те соотношения, которые она описывает. Говорят, что у этой теории есть модель, в данном случае - окружающее нас пространство. Когда есть модель, в которой выполняются аксиомы теории, в ней автоматически выполняются и все истины, известны они нам или нет. По существу, модель реализует теорию и все ее истины. Тот, кто сумел создать модель, сумел выполнить все истины теории и одноактно представить их. Ты знаешь, кто у нас ведущий специалист по моделям? Не будем всуе упоминать его имя. Если же модели нет, то наш удел - кропотливо, шаг за шагом доказывать всё новые и новые теоремы теории, расширяя свои познания.
Кэкэ наклонился, собрал несколько ягод брусники и закинул их себе в рот.
- Обожаю бруснику! Идеальная приправа к мясу, - удовлетворённо улыбнулся он, - О чём я там говорил? А-а-а! Понятное дело, аксиоматизация любой области знания позволяет представить её в необыкновенно компактном виде. Поэтому элегантность, завершённость и практичность этого подхода сделали его эталоном научной строгости. По этой же причине аксиоматизация различных знаний о нашем мире стала важнейшей задачей науки. Когда я говорю об аксиоматизации некоторых знаний о мире, я смотрю на эту часть мира как на модель некоторой математической теории и пытаюсь сформулировать аксиомы этой теории. Понятно?
- Подожди, Кэкэ, - прервал его Дорожная Пыль. - А с чего это ты вообще решил, что в основе мира должны лежать аксиомы?
- Ну, маги это видят непосредственно. Но можно дать и логическое объяснение.
Наш мир управляется законами. Одни законы являются следствиями других. Поэтому твой вопрос можно переформулировать так: если двигаться от законов следствий к законам причинам, конечна ли будет эта цепочка? Другими словами, придём ли мы к некоторому перечню начальных законов, которые, конечно, и будут аксиомами? Это очень похоже на подобную же схему. Вот смотри. Каждое событие является следствием каких-то других событий. Если взять на какой-то момент времени все события, то возникает вопрос: можно ли, двигаясь от событий следствий к событиям причинам, дойти до каких-то начальных событий, которые являются причиной всех других событий и причиной самих себя. Если да, то эти первособытия вполне можно назвать Богом. Почему нет? Они причина всего сущего и причина самих себя. - Кэкэ замолк и какое-то время рассматривал свои кроссовки. - Что-то меня опять занесло не туда. Мы же говорили о законах. Да? Так вот, что даёт нам уверенность в том, что можно прийти к начальным законам-аксиомам? Во-первых, такую уверенность нам дают успешные попытки аксиоматизации ограниченных частей мира. Скажем, математическая физика - хороший пример попытки аксиоматизации знаний о мире.
Во-вторых, когда мы начинаем развивать любую теорию, двигаясь от аксиом к следствиям, количество следствий будет постоянно увеличиваться. Это означает, если мы, наоборот, пойдем в обратном направлении от законов-следствий к законам-причинам, то число таких законов по мере приближения к аксиомам будет уменьшаться. Но это уменьшение не может происходить бесконечно, и мы, в конце концов, должны упереться в аксиомы. Мы и на самом деле видим, что по мере приближения к пониманию фундаментальных основ мира, число базовых законов сокращается. Хороший признак, не правда ли? Разумеется, если бы мы знали истинные аксиомы мира и имели инструмент, который по ним мог создавать модели, то мы могли б создавать миры, подобно Самому..., - и Кэкэ закатил глаза вверх, показывая туда же большим пальцем.
Дорожная Пыль сосредоточенно слушал его и машинально палочкой подкатывал к своим ногам сосновые шишки.
- Скажи, мне, - прервал он молчание, - в теории, о которой ты говоришь, есть только законы, а мир, - он глубоко вздохнул и взглядом обвёл вокруг себя, - ну, это не только ведь законы. - Он взял ближайшую шишку и протянул её Кэкэ. - На, возьми. Как ты думаешь, сколько законов я сейчас тебе передал?
- А ты приколист, - улыбнулся Кэкэ, - Я же тебе говорю: 'Мир - это модель теории. Мир - это нечто реализующее аксиомы теории и все их следствия'. Это может быть программа на компьютере, как в фильме 'Матрица', или какая-нибудь другая штукенция. Тебе не всё равно, если мы в этом живём, радуемся, страдаем и умираем? Какая разница, что понимается под словом 'материя'? Разве кто-то может сформулировать определение, не зацикливаясь, и не подменяя одно другим'. У одной и той же теории может быть несколько моделей, но они будут функционировать одинаково. Мне этого вполне достаточно.
Но вот теперь пришло время задать себе такой вопрос: насколько произвольно можно выбирать аксиомы из уже, допустим, известного списка, чтобы при наличии необходимого аппарата получать реальные модели мира? Здесь есть несколько важных моментов.
Во-первых, желательно, чтобы аксиомы были независимы. Другими словами, ни одна из выбранных аксиом не должна быть лишней, без которой можно обойтись: этим минимизируется их необходимое число. Хотя, когда они зависимы, ничего страшного тоже не произойдёт.
Во-вторых, аксиомы должны быть непротиворечивы. Это значит, что из выбранных аксиом нельзя вывести некоторую истину и одновременно её отрицание. Понятно, что у противоречивой системы аксиом модели быть не может, так как реальная модель не может быть такой и не такой одновременно. Известно, например, что математическая логика имеет непротиворечивый набор аксиом.
Наконец, необходимо знать, полна или не полна система аксиом. В полной системе аксиом для любого правильно построенного утверждения можно получить доказательство либо его истинности, либо его ложности. То есть, в отношении любого факта теории можно установить, истинен ли он. Например, математическая логика имеет полную систему аксиом. В неполной системе существуют такие факты теории, в отношении которых нельзя установить их истинность или ложность. Это означает, что к исходным аксиомам можно добавить такое недоказуемое утверждение или его отрицание и получить две разные теории: у одной присутствует указанное утверждение, а у другой - его отрицание. Если теперь перейти к модели теории с неполной системой аксиом, то при наличии такого недоказуемого утверждения уже приходится иметь две модели, соответствующие двум новым теориям. Вот и получается, что неполные теории как бы расщепляются на множество теорий и соответственно требуют множество моделей. Ну, что я тебя ещё не утомил? - поинтересовался Кэкэ. - Эти начальные вещи ты должен хорошо понять, чтобы не мучить меня потом лишними вопросами.
Он встал, постоял в задумчивости, потом снова сел, и снова встал. Было видно, что он хочет что-то сказать, но не знает как. Наконец, он сел, подышал на стёкла очков и протёр их вынутым из кармана платком.
- Тут такое дело... Не знаю, стоит ли тебе сейчас говорить об этом...
- Говори, конечно. Я же ради этого и пришёл к тебе.
Кэкэ внимательно посмотрел на Дорожную Пыль, как бы оценивая на глазок его возможности.
- Как бы тебе сказать... Я, видишь ли, по молодости не очень доверял тому, что скажу тебе сейчас. Во-первых, хочу сказать о непротиворечивости. Курт Гёдель показал, что непротиворечивость арифметики нельзя доказать средствами самой арифметики. Но арифметика реализуется в окружающем нас мире и не только в нашем. Значит, она непротиворечива. Это понимают все, хотя доказательства мы пока не знаем. Итак, получается, что оно обязательно есть, хотя и неизвестно нам.
- Так здорово же! В чём проблема?
- Ты наверное плохо понял меня. Давай ещё раз. Арифметика непротиворечива. Так? Это доказательство не может быть получено средствами самой арифметики, но оно как бы есть. Значит, важнейшая информация об арифметике, в данном случае о её непротиворечивости, находится как бы вне арифметики. Но тогда и информация о теории, представляющей мир, зачастую находится вне этой теории. Ты понимаешь, что это такое? Важнейшая информация о мире, который является воплощением некоторой теории, не может быть получена только исследованием этого мира. Для ее получения мы должны обращаться к чему-то более высокому, не от мира сего.
- Ты про Бога, что ли?... Слушай! Может быть это и есть то самое доказательство непротиворечивости арифметики?
- Не понял. Ты о чём? - удивился Кэкэ.
- Ну, как же? Арифметика реализуется в нашем мире? Да! Наш мир существует? Да! Противоречивый мир мог бы существовать? Нет! Значит, арифметика непротиворечива! И все эти рассуждения, как ты видишь, находятся вне арифметики. Ну, как тебе такая мысль?
- Ну, ты даёшь! Во ученичок свалился на мою голову! Не сидится им на помойке и всё тут. Ладно. Мы вернёмся к этому. Обязательно вернёмся. Теперь о неполноте. Тот же самый Курт Гёдель показал, что арифметика неполна. То есть в ней есть такие утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Он даже построил такие утверждения. Так вот, они очень странные. Вернее не так. Они отражают известные логические парадоксы. И по началу создаётся впечатление, что этим всё и ограничивается, и что всё это очень искусственно и не по делу. Шли годы, я знакомился с другими доказательствами, другими интерпретациями. Моё мнение менялось. Сейчас я серьёзно отношусь к этому. Это не выверт и не экзотика. Вот что я хотел тебе сказать. Для того чтобы что-то изменить, нам пришлось бы пересмотреть саму логику. Таких безрассудных смельчаков я не знаю. Это всё равно, что бросить вызов Господу.
- Слушай, у тебя как-то странно получается: говоришь об арифметике, а потом РАЗ (!) и перепрыгиваешь на мир. Не очень-то сопоставимые масштабы. Не кажется тебе? Может быть в этом ошибка?
- Хорошо, давай, ещё раз вернёмся к миру как модели системы аксиом. Возьмём арифметику с ее аксиомами Пеано. Арифметика точно и безусловно реализуется нашим миром. Ты можешь это проверить на яблоках, спичках, калькуляторах или как ещё тебе заблагорассудится. Вообще невозможно себе представить мир, в котором она не выполняется. Если захочешь, я потом как-нибудь тебе это поясню. Итак, аксиомы арифметики входят в множество аксиом мира. И получается, что если уж у арифметики есть эти проблемы, то и в более сложной системе аксиом, включающей арифметику, они есть и подавно. Поэтому любая система аксиом мира неполна. Тут и к бабке ходить не надо. Что это значит для самого мира? Итак, в теории есть недоказуемое утверждение, а значит, в миру ему соответствует неопределённое свойство. Понимаешь? В реальном мире, который соответствует неполной системе аксиом должны быть неопределённости, когда ты принципиально не можешь понять, что же там на самом деле, потому что на самом деле там именно неопределённость Ты мне ничего не хочешь сказать? - спросил Кэкэ и вопросительно посмотрел на Дорожную Пыль. - Ладно,- махнул он рукой, - проехали. Эти неопределённости могут разрешаться с помощью какой-нибудь системы выбора. Что это значит? Это значит, что, как я тебе говорил, недоказуемое утверждение можно добавить к системе аксиом. А можно добавить его отрицание. И мы тогда получим две различных системы аксиом, которым будет соответствовать два уже немного различающихся мира. Но это породит новые недоказуемые утверждения, потому что неполнота системы аксиом означает невозможность вычерпать недоказуемые истины простым их добавлением к аксиомам. В миру это будет отражаться в виде расщепления мира на два новых. Итак, принятие решения по неопределённости удваивает количество миров и порождает в них новые неопределённости. Вот так и происходит развитие мироздания: уточнение, принятие решения, расщепление, появление новых неопределённостей, и так по кругу. Так что существование множества миров в мироздании совершенно необходимая вещь. Да, что я тебя убеждаю?! Ты же сам прямой свидетель этого, - хлопнул себя по коленкам Кэкэ.
Дорожная Пыль хотел спросить что-то важное, но видимо никак не мог сформулировать это. Так часто бывает: хочешь спросить что-то важное, а спрашиваешь какую-то глупость. Наверное это происходит потому, что плохо понятое важное даже при изменении одного слова легко превращается в глупость.
- Вот хочу тебя спросить, - выдавил, наконец, из себя Дорожная Пыль, - Почему бы Господу не иметь одну модель аксиом мира? Очень частную, но одну?
Кэкэ засмеялся, встал и отряхнул с брюк хвойные иголочки.
- Ну, ты фрукт! Сам прошёл между мирами, а тупишь не по-детски. Как бы тебе сказать? Иметь один мир ему не очень интересно, скучновато и невыгодно.
- Не понял?
- Вот смотри. Чтобы запускать спутники, нужны космодром, глобальная система управления, посадочный комплекс и многое другое. Будешь ты пускать один спутник в год или тысячу, всё это надо иметь и оплачивать. Поэтому, если уж ты пускаешь спутники, надо стараться запускать их как можно больше; только так и сэкономишь. Тоже и с мирами. Понял? Конечно, я шучу, но лишь отчасти. Немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц сформулировал принцип максимального разнообразия.
Этот принцип означает, что Господь реализует всё, что может быть реализовано и не противоречит существующему. Этот принцип трансформируется в различных науках по-своему. Например, в биологии - это теория гомологических рядов Вавилова. Это биологическое подтверждение тезиса Лейбница. Вот ещё пример. Математика - весьма абстрактная наука. В ней можно встретить массу теорий, зачастую не связанных с жизнью и имеющих чисто интеллектуальный интерес. Но вот чудо, которое никто не может объяснить. Практически любая математическая теория в конце концов оказывается необходимой для описания каких-либо явлений мира. Фантастика! Замечательное подтверждение тезиса Лейбница! Так что, дорогой, Господь с необходимостью поддерживает множество миров. Ах, да! Миры нужны и для того, чтобы такие, как мы, могли путешествовать по ним. Теперь понял?
- Что-то пить хочется, предусмотрительно перевёл разговор Дорожная Пыль.
- Тогда вставай. Тут рядом родничок из под скалы пробивается. Маленький такой, но вода вкуснющая! Я недавно окопал его и обложил камнями, чтобы вода набиралась. Пошли.
Они прошли буквально сто метров и оказались у скалы, где под ёлкой пробивался родничок. Правда, вода в искусственно созданной ванночке оказалась мутной и непригодной для питья. Кэкэ даже расстроился.
- Вот же гадёныш, - почёсывая подбородок, сказал он. - Сейчас жарко. Так, понимаешь ли, какой-то хорёк приходит сюда купаться. Вон, посмотри, его следы. И купается он так конкретно, что муть стоит несколько часов. Получается я ванночку для него сделал.
- Не расстраивайся - дом-то рядом. Паучка ты от ванны, а хорька ванной спасаешь. Какая разница, согласись? Кэкэ посмотрел на Дорожную Пыль, улыбнулся и они не спеша стали спускаться вниз к дому.