Аннотация: Это не фантастика и не эзотерика. Это про философию математики.
Античный фантаст Платон придумал "мир идей, вечных прообразов всего существующего в нашем привычном материальном мире. По его представлениям этот мир идеальных сущностей и абсолютного спокойствия пребывает где-то в особой области пространства, неизменный и независящий от мира материального и от человеческих мыслей. По его мнению "Истинно существует только мир идей; явления мира вещей - лишь тени идей, подобные истинно существующему, но сами не имеющие реальности, не имеющие истинного существования"". (ВИКИ).
Злющий как собака Диоген время от времени подкалывал его. Когда Платон философствовал по поводу идей и употреблял такие слова, как "стольность" и "чашность", Диоген неизменно возражал: "Что касается меня, то стол и чашу, Платон, я вижу, а вот стольность и чашность - нет"". ("Диоген. Я - собака.", Библиотека издателя Анхеля де Куатье).
Фантастические идеи Платона об идеальном государстве, управляемом философами, и неудачные попытки воплотить эти мечтания в жизнь закончились для него плачевно - он был продан в рабство, чтобы не умничал, но впоследствии был выкуплен друзьями. Но это так, к слову, к теме нашей беседы политика отношения не имеет.
Однако, как выяснилось позднее, мир непоколебимых и абсолютных идей существует. Но не в какой- то "особой области пространства", и вообще не в пространстве и не во времени. Этот мир называется - Математика.
Странный мир - мир чисел, недоступных пониманию непосвященных форм и объектов, а также операций над этими объектами, представлений, не помещающихся в нашем привычном трехмерном пространстве, и бог знает какой еще чертовщины.
С философской точки зрения этот мир уникален, не похож ни на что, с чем сталкивается человек на протяжении своей жизни. В чем заключается особенность этого мира, мы сейчас и рассмотрим.
Во-первых, этот мир, как и мир платоновских идей, нематериален, но существует не где-то в неизвестной области пространства, а исключительно в сознании познающего его субъекта. И с этой точки зрения СУБЪЕКТИВЕН. Вне сознания, вне разума его нет.
Во-вторых, в то же время мир математики не придуман, не вымышлен, как заполонившие нашу интеллектуальную жизнь многочисленные романы в стиле фэнтэзи, а существует вполне реально, независимо от нашего сознания. Мы можем только открывать для себя его странные объекты и незыблемые законы, но не изобретать их. Этот мир есть самое прочное, жесткое и неизменное из всего, что только существует в природе. Он не терпит произвола, беспочвенных фантазий и вымыслов - всё, что математически доказано, принимает статус абсолютной и непоколебимой истины. Таким образом, приходится признать, что этот мир - одновременно и ОБЪЕКТИВЕН, он существует вне и независимо от нашего сознания. Где бы и в какой форме в нашей огромной вселенной ни появился разум, как только его носитель откроет для себя понятие множества (объектов любой природы, объединенных каким-то общим для всех этих объектов свойством) и понятие числа (как абстрактного атрибута любого множества), мир математики, его объектов и закономерностей, начнет открывать для него свои врата. И что самое поразительное - этот мир окажется для него в точности таким же, как и для нас, людей, населяющих крохотную планетку, которую мы называем Земля.
Есть еще и в-третьих. Совершенно непостижимым образом мир идеальных математических идей тесно связан с нашим материальным физическим миром. Вот как описывает эту связь известный писатель-фантаст-философ Станислав Лем в своей книге "Сумма технологий":
"Процедура теоретической физики, а заодно и прикладной математики такова: эмпирическое утверждение заменяется математическим (то есть определенным математическим символам сопоставляются физические значения, вроде "массы", "энергии" и т.д.), полученное математическое выражение преобразуется в соответствии с законами математики (это чисто дедуктивная, формальная часть процесса), а окончательный результат путем повторной подстановки материальных значений преобразуется в эмпирическое утверждение. Это новое утверждение может предсказывать будущее состояние явления или может выражать некоторые общие равенства (например, что энергия равна произведению массы на квадрат скорости света) или физические законы.
Итак, физику мы переводим на язык математики, с математикой обращаемся по-математически, результат снова переводим на язык физики и получаем соответствие с действительностью (конечно, при условии, что все действия мы производим, опираясь на "доброкачественную" физику и математику). Это, безусловно, упрощение, так как современная физика настолько "пропитана" математикой, что даже исходные положения физики содержат ее в изобилии.
Нам кажется, что из-за универсальности связей Природы эмпирическое знание всегда может быть только "неполным, неточным и ненадежным", по крайней мере при сопоставлении его с чистой математикой, которая "полна, точна и надежна". Следовательно, это неправда, что математика, используемая физикой или химией, чтобы объяснить окружающий мир, рассказывает об этом мире слишком мало, что этот мир "утекает" сквозь ее формулы, неспособные охватить его достаточно всесторонне. Скорее всё обстоит наоборот. Математика говорит о мире (то есть старается говорить) больше, чем можно о нем сказать, и это в настоящее время приносит науке много беспокойств, которые, безусловно, будут в конце концов преодолены."
Простому человеку, не математику, может показаться, что математика придумана и существует для того, чтобы обслуживать естественные науки, инженерное дело, экономику и другие практические сферы человеческой деятельности. На самом деле это не так. Математика развивается исключительно по своим внутренним законам. Одни области математического знания становятся инициаторами и придают движущую силу развитию других областей. А общим вечным двигателем, сообщающим энергию процессу эволюции математических знаний, являются неуемное человеческое любопытство и стремление к красоте абсолютных истин.
Вот как описывает этот процесс Станислав Лем в той же "Сумме технологий":
"Давайте представим себе портного-безумца, который шьет всевозможные одежды. Он ничего не знает ни о людях, ни о птицах, ни о растениях. Его не интересует мир, он не изучает его. Он шьет одежды. Не знает, для кого. Не думает об этом. Некоторые одежды имеют форму шара без всяких отверстий, в другие портной вшивает трубы, которые называет "рукавами" или "штанинами". Число их произвольно. Одежды состоят из разного количества частей. Портной заботится лишь об одном: он хочет быть последовательным. Одежды, которые он шьет, симметричны или асимметричны, они большого или малого размера, деформируемы или раз и навсегда фиксированы. Когда портной берется за шитье новой одежды, он принимает определенные предпосылки. Они не всегда одинаковы, но он поступает точно в соответствии с принятыми предпосылками и хочет, чтобы из них не возникало противоречие. Если он пришьет штанины, то потом уж их не отрезает, не распарывает того, что уже сшито, ведь это должны быть все-же костюмы, а не куча сшитых вслепую тряпок.Готовую одежду портной относит на огромный склад. Если бы мы могли туда войти, то убедились бы, что одни костюмы подходят осьминогу, другие - деревьям или бабочкам, некоторые - людям. Мы нашли бы там одежды для кентавра и единорога, а также для созданий, которых пока никто не придумал. Огромное большинство одеяний не нашло бы никакого применения. Любой признает, что сизифов труд этого портного - чистое безумие.
Точно так же, как этот портной, действует математика. Она создает структуры, но неизвестно чьи. Математик строит модели, совершенные сами по себе (то есть совершенные по своей точности), но он не знает, модели ЧЕГО он создает. Это его не интересует. Он делает то, что делает, так как такая деятельность оказалась возможной. Конечно, математик употребляет, особенно при установлении первоначальных предположений, слова, которые нам известны из обыденного языка. Он говорит, например, о шарах, или о прямых линиях, или о точках. Но под этими терминами он не подразумевает знакомых нам понятий. Оболочка его шара не имеет толщины, а точка - размеров. Построенное им пространство не является нашим пространством, так как оно может иметь произвольное число измерений. <...>
Вероятно также, что часть математики навсегда останется "чистой", или, если хотите, пустой, подобно тому, как пусты одежды на складе сумасшедшего портного. <...>
Начиная с XVI века физики перетряхивают склады с залежами "пустых одежд", создаваемых математикой."
Приведу один пример. Когда в начале ХХ века замечательная женщина-математик Эмми Нётер познакомилась с проблемами, мучившими известных физиков того времени, она поняла: "Это же группы!". (Имеется в виду математическая теория групп, весьма абстрактная область математики, а именно - общей алгебры. Начало этой теории положил гениальный французский математик Эварист Галуа, живший в начале XIX столетия, к сожалению математического сообщества и всего мира погибший на дуэли в возрасте 20 лет). Это озарение привело ее к доказательству на основе уже существовавшей к тому времени, но не имевшей широкого практического применения в естественных науках теории групп, фундаментальной для физики теоремы, названной ее именем, и играющей важную роль в понимании процессов невероятной широты охвата - от квантовой механики до общей теории относительности.
Давайте теперь остановимся на некоторых простых и понятных примерах, свидетельствующих об абсолютной истинности строго доказанных математических фактов и об их независимости от изучающего их субъекта.
Все читатели, даже далекие от математики, слышали о таких математических константах, как "пи" (отношение длины окружности к ее диаметру), "фи" (золотое сечение), "е" (постоянная Эйлера, основание натуральных логарифмов). Эти постоянные величины играют огромную роль в математике и встречаются не только в самых разнх ее областях, но и в реальном мире.
Иногда можно услышать сомнение в абсолютном постоянстве числа "пи", поскольку можно предположить, что в геометриях, отличных от евклидовой, зависимость длины окружности от диаметра может оказаться иной. Это неправильно. Число "пи" в математике определяется не только геометрически, но и может быть вычислено в виде сумм некоторых числовых последовательностей. Таким образом, определение этой константы базируется только на понятии числа и ни на чем больше. Вот несколько формул, с помощью которых можно вычислять "пи":
(значек ^ означает возведение в степень, то есть - в данном случае в квадрат).
Существуют и множество других числовых последовательностей для вычисления числа пи.
Число "фи" или "золотое сечение" определяется следующим образом:
Разделим отрезок на две неравные части. Это сечение будет золотым в том случае, если отношение длины отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части. Для отрезка единичной длины обозначим длину большей части как Х, тогда отношение золотого сечения будет выглядеть так:
1 / Х = Х / (1-Х), откуда по правилу пропорции (произведение внутренних членов равно произведению внешних) получаем уравнение: Х^2 = 1 - Х, или, что то же: Х^2 + Х - 1 = 0. Положительное решение этого уравнения (всего у квадратного уравнения два решения) выглядит так: (SQRT(5) - 1) / 2 = 1.618034... (SQRT означает "квадратный корень"). Это и есть золотое сечение или число фи. Оно встречается в природе повсеместно - погуглите, если интересно. И может быть приближенно вычислено с любой степенью точности многими способами в виде частичной суммы бесконечных последовательностей или, например, цепной дроби вида:
1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + ... и так далее до бесконечности.
Вот еще один пример, иллюстрирующий неожиданный, парадоксальный характер некоторых математических феноменов. Представьте себе квадрат со стороной, равной единице. Длина его диагонали по теореме Пифагора будет равна корню квадратному из двух.
У трехмерного куба длина диагонали равна корню из трех.
Длина диагонали четырехмерного куба равна корню из четырех, и так далее.
С помощью метода математической индукции легко доказывается, что длина диагонали N-мерного куба со стороной единица равна корню квадратному из N.
Из этого факта следует странный на первый взгляд вывод: в бесконечномерном пространстве куб со стороной, равной единице, оказывается объектом неограниченным. По определению, ограниченным называется геометрический объект, который полностью помещается в сферу определенного, сколь угодно большого радиуса. А в бесконечномерном пространстве, оказывается, какого бы огромного радиуса сферу мы не взяли, хоть равного миллиону, хоть миллиарду, да хоть гуголу единиц, куб со стороной, равной всего-то 1, будет выпирать далеко за пределы этой сферы. А всё потому, что его диагональ равна корню квадратному из бесконечности (поскольку размерность пространства бесконечна), и, следовательно, длина этой диагонали также бесконечна. Ничего себе фактик!
А теперь проделаем математический эксперимент, используя программу EXCEL.
В клетках а1 и а2 запишем по единичке. В клетку а3 введем выражение =а1+а2. Скопируем содержимое клетки а3 вниз во все клетка первого столбца до, скажем, клетки с номером 100 (этого заведомо больше, чем нам нужно). В результате получим последовательность чисел, известную как ряд Фибоначчи, названный так по имени итальянского математика XIII века Леонардо Пизанского по прозвищу Фибоначчи. Теперь в клетку b3 запишем =a3/a2, то есть, отношение последующего члена нашего ряда к предыдущему и скопируем эту клетку вниз снова до номера 100. В клетке с3 напишем = b100 (чтобы не лазить каждый раз вниз, отношение а100/а99 всегда будет перед нашими глазами). И число, находящееся в клетке с100, окажется равно 1.618034, то есть тому самому золотому сечению.
Но это еще не всё. Поиграйте с двумя первыми числами ряда, находящимися в клетках а1 и а2, задавая им любые значения, которые придут вам в голову, целые и дробные, положительные и отрицательные, лишь бы оба одновременно не были нулями. К вашему удивлению вы заметите, что результат в клетке с3 будет оставаться постоянным и равным отношению золотого сечения.
Но и это еще не всё. Продолжим эксперимент.
Запишем в клетках d1, d2 и d3 по единичке. В d4 введем выражение =d1+d2+d3 и снова скопируем содержимое этой клетки вниз до d100. Получим новый ряд чисел, в котором каждый последующий член будет равен сумме уже трех предыдущих. В клетку e4 вставим =d4/d3, то есть снова отношение последующего члена ряда к предыдущему. Скопируем это выражение вниз до е100. Так же, как и в прошлый раз, в клетку f1 запишем =e100. Результат будет равен 1.839287. И как бы мы не меняли значения первых трех членов этого ряда в клетках d1, d2 и d3, число в клетке e100 будет оставаться неизменным.
Если проделать аналогичную процедуру с рядом, в котором каждый последующий элемент будет равен сумме четырех предыдущих, то отношение каждого последующего члена к предыдущему будет стремиться к значению 1.927562... И никакая игра с величинами первых четырех членов этого ряда изменить этот результат не сможет.
В случае, когда каждый последующий член ряда равен сумме пяти предыдущих, отношение последующего члена к предыдущему с увеличением номера будет всё ближе подходить к 1.965948... И это тоже будет константа, не зависящая от значений первых пяти чисел, формирующих нашу последовательность.
Можно доказать, что с увеличением числа инициирующих членов последовательности отношения последующего члена к предыдущему будут константами, значения которых асимптотически приближаются к 2, но никогда двойки не достигнут.
Эту закономерность я обнаружил, если память не изменяет, где-то году в 1999м. Написал статью и послал в математический журнал "Fibonacci Quoterly". Через месяц с небольшим получил деликатный ответ от редактора журнала в смысле: "Молодец, правильно всё доказал. Вот только этот результат был уже получен американским математиком Айвеном Флоресом в 1967м году. Копия оригинальной статьи прилагается." Текст статьи Айвена практически один в один совпал с текстом моей статьи.
Для чего я пишу об этом? Для того, чтобы лишний раз подчеркнуть, что в математике результат никак не зависит от автора, этот результат обнаружившего. Кто бы ни исследовал любую математическую проблему, на любом конце земли, любой национальной принадлежности, мужчина или женщина, старый или молодой, на конечный продукт это повлиять никак не может. Вот и выходит, что вся математика, как известная человечеству на сегодняшний день, так и еще неисследованные ее области, уже потенциально существует, строгая и неизменная.
А теперь представьте себе, что любые зеленые человечки с любой планеты, вращающейся вокруг какой-то звезды в любой самой отдаленной от нас галактике, проделав описанные выше вычисления, получат абсолютно такой же результат. Даже если эти человечки будут пользоваться не десятичной, а какой-нибудь другой системой счисления, на результат это никак не повлияет, он останется тем же. И всё потому, что числа 1, 2, 3, ... и так далее, у них будут точно такими же, как и у нас. А значения описанных выше констант ни от чего больше не зависят, только от самих чисел. И то же самое можно утверждать о всей математике: ее законы неизменны для любого разумного существа во всей вселенной. У тебя, дорогой читатель, голова от этого еще не закружилась?