Аннотация: Продолжение иерархии "демонов" от математики (см. первую часть).
Пожалуй, еще Аристотель различал понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Иначе говоря, существующей и становящейся. Как человеку, знакомому с теорией и практикой программирования не понаслышке, такое разделение мне представляется особенно интересно в разрезе теории алгоритмов.
"Метаморфозы, происходящие с трактовкой типа данных, до некоторой степени являются отражением кризиса, начавшегося в математике на рубеже XX века и продолжающегося до сих пор. Как известно, в то время в теории множеств был обнаружен ряд противоречий (парадокс Кантора, парадокс Рассела и др.). Эти парадоксы в значительной мере обусловлены тем, что в теории множеств допускаются "готовые", завершенные бесконечные множества, называемые актуальными бесконечными множествами" [1; c. 6]. Здесь имеется в виду понятие типа, как класса, к которому должна принадлежать та или иная переменная в языках программирования высокого уровня.
Криницкий Н. А. в книге "Алгоритмы вокруг нас" пишет о таких актуальных бесконечностях: "Расходуя ограниченное количество ресурсов на каждом шаге, имеющем фиксированную длительность, построить такое множество ни реально, ни потенциально нельзя. Проверить, обладают ли все элементы такого множества каким-либо свойством, тоже нельзя, так как никакая ограниченная скорость проверки не дает возможности охватить их все. Другое дело, потенциально бесконечное, или потенциально осуществимое множество. Такое множество, в каждый момент конечно, но есть прием, позволяющий добавить к нему всегда еще несколько (а значит, сколько угодно) элементов. Анализ элементов такого множества можно провести исследованием правила, которое позволяет получать все новые и новые элементы этого "конструктивного" множества" [1; cc. 6-7].
Я отношу наше с вами Мировосприятие к компетенции именно демона Брауэра (а не Бэра), так как, несмотря на кажущуюся перспективу охватить нашим сознанием любое (пусть и не бесконечное) множество, осуществить это на самом деле невозможно. До тех пор, пока физики не заглянули в "темные закоулки" микромира, в умах большинства ученых царила эйфория полной уверенности добраться до "самых-самых" элементарных частиц - кирпичиков нашего Мироздания. Тот же Аристотель различал виды бесконечностей, называемых сейчас экстенсивной и интенсивной. Первая из них возникает при последовательном и безграничном добавлении новых предметов, а вторая при безграничном углублении в строение изучаемого объекта. Однако опыты с изучением микрообъектов на квантовом уровне показало несостоятельность возможности бесконечно двигаться "внутрь" материи. Подобная ситуация существует, по всей видимости, и с Мегамиром. Поиск четкой границы Вселенной навряд ли сможет увенчаться успехом, даже отбросив в сторону наши технические ограничения. Подобные трудности возникают, в первую очередь, в логическом плане.
Мы не способны уподобиться демону Бэра и рассматривать любые множества без указания верхней границы. Такая граница в нашем Мировосприятии безусловно существует. Обусловлена она, по всей видимости, некой физической ограниченностью и носит фундаментальный характер. То есть перешагнуть ее, улучшая лишь инструментальные средства, мы не сможем.
Именно этим в первую очередь современная физика отличается от "классической" физики времен Ньютона. Пожалуй, наиболее значимым событием смены парадигм в описании физической картины Мира стало введение в начале XX века специальных фундаментальных констант в уравнения, описывающие характеристики пространства и времени. Так в теории относительности было показано, что скорость света (скорость распространения электромагнитных волн в вакууме) является в нашей Вселенной максимально возможной и не зависит от выбранной системы отсчета. Причем ее абсолютная величина (с=3*10^8[м/с]) оказалась весьма скромной по меркам космических расстояний Мегамира. В квантовой механике такой константой стала постоянная Планка, накладывающая фундаментальные ограничения на возможность изучения объектов микромира при помощи "классических" методов.
Английский физик-теоретик П. А. М. Дирак считал, что "существует предел тонкости наших средств наблюдения и малости сопровождающего возмущения - предел, который присущ природе вещей и никогда не может быть превзойден совершенствованием техники или искусства экспериментатора" (цит. по: [2]; c. 20).
При таком положении дел вопрос о бесконечности микро- и Мегамира становится бессмысленным. Существование даже просто очень маленьких, и очень больших конечных величин в воспринимаемом нами окружающем физическом Мире и то ставится под сомнение. Говорить, скажем, о частице размером менее 10^-100 метров (по крайней мере, в том смысле какой мы вкладываем смысл в понятие "частица") уже неправомочно. Так же вряд ли имеет смысл и вопрос о том, что распложено на таком громадном расстоянии в как 10^100световых лет от нас.
В русском переводе второго издания (1986 г.) английского словаря "DictionaryofComputig" издательства "OxfordUniversityPress", мы находим следующее замечание относительно определения дискретных и аналоговых систем ("D.223. discreteandcontinuossystems"): "Вопрос о принадлежности сигнала (или его источника) к чисто дискретному или чисто аналоговому классу неразрешим, поскольку для постановки соответствующего эксперимента потребуется бесконечно широкая полоса частот (bandwidth) (или бесконечное время), а также бесконечное отношение сигнал/шум (signal-to-noiseratio), которых невозможно достичь в практических условиях" [3].
Здесь под определением практическиеусловия можно подразумевать ограниченное пространство демона Брауэра, который не способен делать "метафизические" заключения о категории непрерывного.
Высказывание Козьмы Пруткова: "Нет столь великой вещи, которую не превзошла бы величиною еще большая. Нет вещи столь малой, в которую не вместилась бы еще меньшая", справедливо больше для жизни демона Бэра, чем для нашей с вами.
Я не утверждаю, что В. И. Ленин глубоко заблуждался, когда говорил о неисчерпаемости атома и электрона. И спустя сто лет не была найдена "самая-самая" элементарная частица строения нашего мироздания. Однако, и наивное представление электрона, как "матрешки", внутри которой наложены другие вместилища для частичек, - также неверно. Электрон, быть может, действительно неисчерпаем, но не в "механическом" понимание этого слова. Просто его исчерпание способно происходить и на другом уровне. Скажем всем известно, что бит - минимальная единица информации. Действительно, он способен принимать только два значения (например, ноль или единица). Но это не означает, что он неделим. Допустим, мы как-то разделили его на две эти составляющие (0 и 1). Бит перестал существовать как единица информации, но превратился в две константы.
То, что можно создать в "чистой" математике не всегда можно найти в воспринимаемой нами физической реальности. Это не должно означать, что реальный "настоящий" Мир обладает тотальным свойством дискретности и ограниченности. Напротив, мне представляется, что как раз противоречия, возникающие при наших попытках "пробиться" на квантовый уровень микрочастиц, вызваны существованием других интерпретаций Мироустройства. Некоторые парадоксы могут быть, на мой взгляд, объяснены исходя из этого предположения. Поговорим об этом несколько позже, а пока еще немного пофантазируем и продолжим движение вдоль рассматриваемой иерархии демонов.
Как было сказано, вслед за демоном Брауэра шествует его более "могучий" коллега - демон Бэра. Рано или поздно он сможет проанализировать множество любого, но конечного объема. При этом он не будет натыкаться на различные преграды. Иными словами, он имеет дело с потенциальными бесконечностями.
Далее, "над ним" находятся еще более могущественные демоны Бореля и Лебега. Они способны работать уже с актуальными бесконечностями.
Первый может охватить все множество натуральных чисел, т. е. начав с первого элемента, способен последовательно шаг за шагом просмотреть всю бесконечность, а не просто наперед заданную область. Другими словами у этого демона нет ограничений во времени. На Востоке в глубокой древности была сложена притча: "Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору, пройдет первой мгновение вечности" (цит. по: [4]; сс. 7-8). Так вот, демон Бореля живет в таком "вечном" времени, сильно отличающемся от нашего. Чтобы продемонстрировать его возможности приведу следующий пример. В 1907 году Брауэр, опираясь на мнения, неоднократно высказывающиеся Кронекером и Пуанкаре, предпринял попытку ввести новый метод работы с бесконечными множествами. Это направление получило название интуицизма. Оно отвергало "чистые доказательства существования" и требовало каждый раз предъявления конкретного примера объекта, обладающего данным свойством. Иными словами, в качестве доказательства чего-либо интуиционисты принимали лишь описание конструкции соответствующего объекта. В частности, они категорически отвергали один из основных законов аристотелевой логики, так называемый закон исключения третьего. Его суть состоит в том, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным (Tertium non datur - третьего не дано).
В одном из докладов об интуиционизме Брауэр привел в качестве примера утверждение, которое тогда нельзя было ни доказать, ни опровергнуть, следующее: "В десятичном разложении числа "пи" идут десять цифр подряд". Действительно, в те времена было известно лишь чуть более семисот десятичных знаков для этого трансцендентного числа, да и то большая часть из них оказалась неверной. Сейчас с помощью ЭВМ вполне возможно доказать приведенное утверждение. Но если заменить число 10 скажем на 101000, то можно быть уверенным, что наша задача вычисления необходимого для проверки этой гипотезы количества десятичных знаков окажется неразрешимой для любых машин, которые когда-либо смогут быть построены. А так как теоретически решить проблему тоже невозможно, то утверждение о наличии в десятичном разложении числа "пи" 10^1000идущих подряд девяток заведомо непроверяемо. Правда, один из математиков, присутствующих на докладе Брауэра, сказал, что хотя мы и не знаем, верно это утверждение или нет, но господь-бог знает. "Я не имею прямой связи с богом", - сухо возразил Брауэр (цит. по: [4]; с. 150).
В данном случае в роли такого "господа-бога" мог бы выступить упомянутый демон Бореля. Число "пи", будучи трансцендентным, представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, т. е. содержит в своем разложении все мыслимые и немыслимые комбинации цифр. Поэтому демон Бореля способен не только подтвердить наличие в десятичном разложении "пи" 10^1000идущих подряд девяток, но найти любую другую еще более сложную последовательность (причем бесконечное число раз!).
Однако и такой "монстр" способен "жить" только в дискретной среде. Всей его вечности не хватит, чтобы проанализировать даже маленький участок непрерывного пространства. Такая задача уже "по зубам" демону Лебега. Не только вечность во времени, но и бесконечность в пространстве для него обычное дело, ибо областью возможного для него являются множества с мощностью континуума.
Грубо говоря, подобные бесконечные множества для этих демонов (Бореля и Лебега) бесконечными (в нашем понимании этого слова) и не являются. Дело в том, что для них это уже просто статические (законченные) сущности.
Но самым удивительным демоном является, безусловно, демон Цермело. Для него нет вообще никаких преград, и любые бесконечные множества ему по силам.
Если в случае предыдущих двух демонов нам было трудно найти им подходящий физический пример, то этому "чудищу" невозможно подыскать и пример математический. Ведь как было сказано ранее, не существует множества самой большой мощности (множества всех множеств)!
Каждый из демонов (кроме демона Цермело) отделен от последующего непроницаемой стенкой. За ней находится трансцендентная (словами Канта) область. Только демон Цермело лишен такого ограничения.
Мы попадаем в первую область - область действия демона Брауэра, имеющего дело с ограниченными и дискретными множествами. Внутри нее расположены объекты, которые хотя и существенно отличаются друг от друга, но лишь в количественном плане. К примеру, современный компьютер находится здесь же, но чуть ниже нас.
Качественный же скачок возможен лишь при переходе через границу "трансцендентности" в область более могущественного демона.
О нечто похожем говорит и Франклин Меррелл-Вольф, когда объясняет раздвоение двойственногосознания человека тем, что оно обладает только двумя функциями, органами или способностями познания, а именно чувственным восприятием и умозрительным постижением ([5]; c. 11). "Ниже прямой простирается область двойственного сознания, а выше - область недвойственности, куда разум не способен проникнуть без помощи со стороны. Я утверждаю, что разум в состоянии самостоятельно превзойти любую ранее достигнутую высоту и что в дальнейшем он никогда не достигнет уровня, который не смог бы затем перерасти. Но выше этой линии ему все же не подняться" ([5]; c. 12). И далее: "разум не в состоянии подняться выше начерченной линии, хотя может превзойти любой уровень, которого уже достиг или достигнет в будущем. Это означает, что, имея в своем распоряжении конечное время, вы всегда способны совершить еще одну операцию сложения. Иными словами, разум может возвыситься до такой степени, что его удаленность от этой прямой окажется меньше любого предопределенного расстояния, каким бы малым оно ни было. Можно возразить, что такие подъемы будут несущественными, так как изменения расстояний слишком малы, но это не совсем так. Подобные свершения могут оказаться очень значительными - я здесь не ставлю никаких ограничений. Таким образом, без посторонней помощи разум может вечно двигаться ввысь - но он никогда не пересечет этой прямой. То есть навсегда останется в области двойственного сознания" ([5]; c. 14).
Франклин Меррелл-Вольф отмечает: "наши рассуждения о наблюдаемой вселенной достоверны только в пределах двойственного сознания. В этом-то и вся сложность. Вы можете сказать: "Я не могу представить себе иное сознание, нечто другое". Да, совершенно верно. Разве ограниченное, двойственное сознание способно вообразить отсутствие двойственности?". И здесь же: "Не стоит даже пытаться определять ТО, что находится за любыми границами. Определения применимы только в мире двойственного сознания, но наши концепции не пригодны для ТОГО, что кроется за любыми пределами, и только при искусном обращении они могут дать легкий намек на ТО" ([5]; c. 29).
Как писал И. В. Гете в "Фаусте" (перевод Б. Л. Пастернака):
"Но у природы крепкие затворы, то что она желает скрыть в тени таинственного своего покрова, не выманить винтами шестерни, ни силами орудья никакого".
Литература:
[1] Замулин А.В. Типы данных в языках программирования и базах данных. - Новосибирск: Наука, 1987. - 152 с.
[2] Пилипенко Н. В. Диалектика необходимости и случайности. - М.: Мысль, 1981. - 263 с.
[3] Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. Е. К. Масловского. - М.: Машиностроение, 1989. - 568 с.
[4] Виленкин Н. Я. В поисках бесконечности. - М.: Наука, 1983. - 160 с.
[5] Франклин Меррел-Вольф. Математика, философия и йога/ Пер с англ. - К.: "София", Ltd., 1999. - 160 с.