Корень: -мах-; суффикс: -а; глагольное окончание: -ть. Значение: делать махи, двигать чем-либо в воздухе попеременно в разные стороны.
Этимология декларируется по М. Фасмеру (переработана неизвестным автором)
(Происходит от праслав. формы, от которой в числе прочего произошли: - вставка) церк.-слав. махати, русск. махать, укр. маха́ти, машíти, белор. маха́ць, болг. ма́хам "машу, киваю, пряду", сербохорв. ма́хати, ма̑ха̑м (ма̑ше̑м), словенск. máhati, máham, чешск. mа́сhаti, словацк. máсhаť, польск. mасhаć, в.-луж. mасhаć, н.-луж. mасhаś. Расширение на -х- от основы ма́ять; ср. лит. móti "махать, кивать". Ср.: е́хать: лит. jóti, jóju "ехать верхом". Сюда же относится чешск. mávati "помахивать", словацк. mávаť - то же. Укр. помах, змах. (???)
Расширение на -х- от основы ма́ять; ср. лит. móti "махать, кивать"; ... Ср. е́хать: лит. jóti, jóju "ехать верхом". Сюда же относится чеш. mávati "помахивать", слвц. mávаt᾽ - то же. Сомнительны сравнения с лит. mosúoti "махать", mostagúoti "размахивать руками", mosterė́ti "махнуть, сделать знак" ..., греч. μαίομαι maíomai, буд. μάσσομαι mássomai "стремлюсь", μάστιξ mástix "плеть" ...
Неубедительно сопоставление с греч. μάχομαι máchomai "сражаюсь", μάχη máchi "борьба" (... перечень авторов), которые, скорее, содержат и.-е. палатальный; ср. μάζακις ̇δόρυ παρθικόν mázakis dóry parthikón (Гесихий), которое, по мнению Лагеркранца (Хеniа Lidéniana 273), из ир.
Не связано также с мять, вопреки Иоклю (AfslPh 28, 5 и сл.; 29, 22). Отсюда маха́ться (напр. веером); см. Бернекер, там же, а также в знач. "ухаживать", которое Мельников (2, 266) пытался истолковать как кальку из франц. s᾽évеntеr. (???)
2) Применение термина в русском языке
а) Словарь русского языка XI-XVII вв. М., 1982 г.
* Махъ. Одно быстрое движение в воздухе. Усмотри камень вержены единымъ махомъ. 1670.
* Махало. Опахало, которым отгоняли насекомых от чаш со святыми дарами (позже в церковном обиходе пользовались чисто символически). (Епифан) пьрьвое вьзъръ на стоящего ошуюю диака, еже махало служьбьное дьрьжаше. Ж. Епиф. Кипрск. Усп. сб. 268. X
* Махание. "зане уши их неслышаху от ратного кричаниа, ни ручного махания внимаху". Флавий. Полон. Иерус. XVI- XI вв.
* Махати. Махать, размахивать (руками). Патер. Син. XI-XII вв.
б) Национальный корпус русского языка
* Андрей Курбский. История о великом князе Московском (1564-1583)
"Ибо уложил онъ таковой совѣтъ со своими, с тѣм войском, ихъже оставил внѣ града на лесѣхъ, и положилъ с ними таковое знамение, а по ихъ языку―ясакъ: егда изнесутъ на высокую вежу, або иногда на град, на высочайшѣе мѣсце хоругов ихъ зѣло великую бусурманскую и начнутъ ею махать, тогда, глаголю,―понеже далося нам знати―ударять со всѣх стран с лѣсов зѣло грозно и прутко во устроению полковъ бусурманы на полки християнские".
* Н. Мартынов. Н. Мартынов Л.С. Волкову (1650-1700): "выслал с члвком с твоим с Ываном а я... гсдрь выслал Шастокова и мѣра гсдрь твоя с мѣрою не спушена толко гсдрь чаюся пудков с восмь будет мах на мах да я ж выслал мяса свинова пуд и масло корове выслал же".
3) Обобщение и вывод
* Термин "махати" (и подобные) употребляется в древнерусской литературе с XI века, в религиозных, переводных исторических (Флавий) произведениях и в актах. Слово оформилось в Восточной Европе в "славянских" языках, в западных европейских языках используют другие термины.
* Этимология Макса Фасмера соответствует политизированному европейскому обществу 40 годов XIX-XX веков (национальные революции). Прошел век, выяснилось, что праславянского и славянского языков (как и других ПРАязыков) мы не знаем, у славян не было письменности. Все лингвистические построения о преемственности языков, праславянский - славянский - русский, только гипотеза, не имеющая под собой логического основания, её невозможно доказать и обосновать, поэтому принимают на веру. Дело обычное даже в науке, тем не менее, основание должно быть указано.
* В основе "славянского" языкового единства заложена идеология и сакральный язык иудеохристианства. Только мощная политическая организация, имеющая своих комиссаров (миссионеров, священнослужителей) на всем социально-культурном пространстве, ежедневно общающаяся с массой прихожан во время проповедей и молитв (утреня, обедня, вечерня), была способна распространить терминологию иудеохристианства и закрепить её в племенных языках. Многократное повторение терминов - основа памяти; термин + образ = общепонятный сигнал, ныне "национальная" культурная традиция.
Вывод
Целесообразно рассмотреть слово в связи с терминологией иврита и библейскими образами.
* Язык евреев Европы идиш (с XIII в.) - МАХ = МАХ מאַך взмах.
б) Источник
* Еврейский и халдейский этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, Вильно, 1878 г.; http://www.greeklatin.narod.ru/hebdict/img/_251.htm
* Лексикон по Стронгу и Дворецкому; https://www.obohu.cz/bible/index.php?styl=WEC&hs=H...
Hомер Стронга: H4222. Оригинал: מחא. Произношение: маха′. Часть речи: Глагол. Этимология: примитивный корень - A(qal): хлопать в ладоши, рукоплескать.
* Лексикон по Стронгу и Дворецкому; https://www.obohu.cz/bible/index.php?styl=WEC&hs=H...
Hомер Стронга: H4223. Оригинал: מחא. Произношение: мэха′. Часть речи: Глагол. Этимология: соответствует H4222 - H(peal): ударять. I(pael): преграждать или блокировать (рукой); перен. противиться. M(hithpeel): быть пригвождённым, быть прибитым гвоздями.
в) Библейский образ
В значении "удар" термин МЕХИ применяется в книгах Библии.
* Иезекииль 25:6: "Так говорит Господь Бог: ты глумишься и радуешься всей душою, глядя на землю Израилеву, хлопаешь в ладоши (ивр. МАХАХА от МАХА) и топаешь ногами от злорадства".
* Даниил 2:34: "Ты видел его, доколе камень не оторвался от горы без содействия рук, ударил (ивр. МЕХИ) в истукан, в железные и глиняные ноги его, и разбил их".
* Иезекииль 26:9 (литературный перевод): "и к стенам твоим придвинет стенобитные машины (ивр. МЕХИ, в подлиннике - удар тарана) и башни твои разрушит секирами своими".
Таким образом, "славянский" термин МАХ удар, взмах, заимствован из лексикона библейского иврита.
Иоанн Экзарх (X в.), болгарский ученый, экзегет (истолкование), переводчик, в работе "Из Шестоднева" передает метод формирования слов-понятий в церковнославянском языке; http://lib.pushkinskijdom.ru/Default.aspx?tabid=2166
* "Эти же шесть слов, господин мой, не сам я сочинил, но иное взял из верных слов Шестоднева святого Василия, а иное по смыслу у него заимствовал, также и у Иоанна, а другое у других: что мне когда-либо приходилось читать, то я и соединил".
* "Таков же и нищий наш ум: не имея у себя дома ничего, строит он из чужих слов, добавляя понемногу из своего нищего дома, но вроде соломы и прутьев - свои слова".