А. И. Герцен. Записки одного молодого человека (1840)
1) Википедия/Нагайка
Нагайка - короткая плеть, предмет необходимый для управления лошадью. Чтобы не травмировать животное (шкуру), конец плетеной из сыромятных ремешков нагайки делали в виде "шлепка" (кожаной бляшки) или распускали в виде "хвоста", что смягчало силу удара. ...
Этимология
В лексике, а именно в терминологии казачьей военной атрибутики, усвоенная от народности ногайцы короткая и тяжёлая ременная плеть, которая использовалось как орудие управления конем стала носить название "нагайка" ... Сами ногайцы плеть так не называют, по-ногайски и по-казахски плеть называется камшы, а в киргизском (родственном ногайскому) языке плеть называется камчы.
2) Существующая этимология. Национальный корпус русского языка
а) Викисловарь
Корень: -нагайк-; окончание: -а. Значение: кнут из сплетенных ремешков с коротким кнутовищем (часто с вплетенным грузиком на конце).
Этимология по Максу Фасмеру: "Происходит от тюрк. племенного названия nоɣаi в Крыму и на Кавказе, казах., тат. nоɣаi "казанский татарин"; см. также ниже: нога́йцы. Из русск. заимств. укр. нага́й, нага́йка, польск. nagajka, чеш. nahajka".
б) Национальный корпус русского языка
* Со 2 сентября 1624 (7133) г. по 19 августа 1625 (7134) г. Таможенные книги мелких сборов: пошлины с мягкой рухляди, роговое со скотины, явки с ярыжных и отъезжие пошлины с русских товаров. Сборы Ивана Михайлова и Зенона Амосова (1624-1625): "С Нагайка Иванова с мягкой рухляди с продажи с сорока рублев 13".
* Ф. В. Булгарин. Иван Иванович Выжигин (1829): "Саблю прицеплял он тогда только, когда отправлялся куда-нибудь по должности, а всегдашнее оружие его составляла казачья нагайка со свинцовой пулей, вплетенная в кончик".
* А. А. Бестужев-Марлинский. Вечер на кавказских водах в 1824 году (1830): "Он был у него квартермистр, казначей, камердинер и телохранитель в одном лице; и сомнение ли поляков об удаче варшавской заутрени или робость при виде двух великанов, вооруженных с ног до пояса, только, несмотря на косые взгляды и проклятия, процеженные сквозь зубы, им до сих пор везде давали лошадей, и нагайка Зарубаева, гуляющая без лицеприятия по спинам четвероногих и двуногих служителей почт, доставляла путникам очень скорую езду".
* Н. В. Гоголь. Ночь перед Рождеством (1831-1832): "вот тебе и нагайка: бей, сколько душа пожелает, отдаюсь сам; во всем каюсь; бей, да не гневись только!".
3) Обобщение и вывод
* В русской литературе термин отмечен с XVII века, скорее всего существовал и ранее, однако письменных источников найти не удалось. См. гравюры из ст. Википедии/Поместное войско; на них изображены конные воины XV-XVII вв., часто с нагайками.
Связывать термин с "ногайцами" мы не можем, т.к. отсутствуют письменные источники. Нагайку использовали все тюркские народы, первоначально на территории Днепр-Волга (VIII в.) осели хазары. Хазарский каганат первое государственное образование, письменный язык иврит, религия - иудаизм; основной вид войск - кавалерия. Вероятно в хазарской (тюркской) среде и был сформирован термин.
Вывод
Целесообразно рассмотреть термин в связи с библейскими образами и терминологией. Слово-понятие должно описывать специальный предмет для управления лошадью, что это?, для чего предназначено, как изготовлять предмет и как им пользоваться?
4) Терминология иврита и библейский образ
а) Приведем термин в форму близкую к грамматике иврита, и выделим корень - НАГАЙКА = НАГАЙ+КА. У нас сразу же появляется соответствующий предназначению предмета, корень иврита НАГА бить, разить, ударять, удар, побои; касаться, дотрагиваться.
Общий вид
русск. НАГАЙКА = НАГА+ЙКА = ивр. НАГА(Ъ) נֶגַע бить, разить, удар, побои и т.д. + АКА עָקָה гнет, угнетение; составное слово, предмет для управления лошадью, за счет ударов приведение животного в подчинение.
б) Источник
* Лексикон по Стронгу и Дворецкому; https://www.obohu.cz/bible/index.php?styl=WEC&hs=...
* Лексикон по Стронгу и Дворецкому: https://www.obohu.cz/bible/index.php?hs=H6125&k=S...
Hомер Стронга: H6125. Оригинал: עָקָה. Произношение: ‛ака. Часть речи: Существительное женского рода. Этимология: от H5781 - притеснение.
* См. Еврейский и халдейский этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, Вильно, 1878, с. 294 (НАГА); http://greeklatin.narod.ru/hebdict/img/_294.htm
* См. Еврейский и халдейский этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, Вильно, 1878, с. 365, АКА притеснение, гнет.
б) Библейский образ
* Бытие 32:26: "и, увидев, что не одолевает его, коснулся (ивр. НАГА быть битым) состава бедра его и повредил состав бедра у Иакова, когда он боролся с Ним".
* Бытие 12:17: "Но Господь поразил тяжкими ударами (ивр. НЕГА) фараона и дом его, за Сару, жену Абрамову".
Таким образом, применив к термину библейский иврит, выделив корни, мы нашли содержание слова. НАГАЙ+КА - специальный предмет для нанесения УДАРА по лошади; сконструирован таким образом, что даже при нанесении сильного удара животное не получает телесных повреждений.