Аннотация: Математическая стать я вскрывающая противоречия допущенные в теории функций действительного переменного
Ошибка Лебега.
Математическая статья вскрывающая противоречия теории функции вещественного (действительного) переменного.
Автор Колосов Ф.Ф.
Параграф 1.
Я обращаюсь к мировому математическому сообществу с целью рассказать о том, что в началах ТФВП (ТФДП) и в теории меры (меры по Лебегу) допущена ошибка. Я заявляю об этом со всей серьёзностью и обращаюсь ко всем теоретикам с этим вопросом.
Итак, рассмотрим известное утверждение вытекающее из ряда теорем ТФВП. Утверждение следующее. Множество рациональных дробей (точнее точек с рациональными координатами) на отрезке или интервале от нуля до единицы является бесконечным счётным множеством. Заявляю со всей ответственностью, что это не так - это утверждение ошибочно. А теперь правильная формулировка. Множество точек с рациональными координатами на отрезке или интервале от нуля до единицы является конечным несчётным множеством. А теперь давайте подумаем почему так происходит. Обратимся к определению рационального числа или рациональной дроби. По определению рациональная дробь это числитель делённый на знаменатель где числитель и знаменатель - конечные натуральные числа. Они могут быть сколь угодно большими но всегда меньшими бесконечности. Рациональная дробь, у которой числитель и знаменатель конечные натуральные числа будет либо конечной десятичной дробью либо даст дробь с конечным периодом. Дробь с бесконечными числителем и знаменателем даст дробь с бесконечным периодом и будет называться иррациональным числом. Но тогда если внимательно вглядеться то становится понятным, что множество точек с рациональными координатами в интервале от нуля до единицы является конечным множеством. Однако, это множество обладает одним интересным свойством - оно не ограничено. То есть оно может содержать сколь угодно много элементов но число этих этих элементов будет всегда меньше бесконечности. И здесь уже видно, что пронумеровать такое множество нельзя. Запускать процесс нумерации в бесконечность у нас нет права (это будет противоречить конечности множества рациональных чисел и самому определению рационального числа). А нумеровать конечным числом индексов тоже не получится, потому-что "сколько не нумеруй - всё будет мало". Из конечного неограниченного множества рациональных точек интервала (0, 1) можно пронумеровать только конечную часть этих точек. То есть это множество не является счётным.
Рассмотрим известный пример с выбрасыванием точек с рациональными координатами из интервала (0, 1). Теория вещественного переменного утверждает, что можно выбросить всё множество рациональных точек из этого интервала и там останутся только точки с иррациональными координатами. Но это не так. Запуская процесс выбрасывания в бесконечность из интервала также уйдут и иррациональные числа и там вообще ничего не останется кроме пустого множества. Предвижу возражение связанное с тем, что каждую точку можно окружить сколь угодно малым интервалом и тогда бесконечно убывающая геометрическая прогрессия даст в сумме этот самый интервал. Получится, например, что 0, 01 = 1. Но это противоречие можно раскрыть если учесть тот факт, что полученное множество не будет счётным. Конечно здесь докладчика могут обвинить в том, что он невнятно излагает свои мысли. Но сейчас мы подошли к тому вопросу, который является предметом полемики и обсуждений. У меня как у докладчика есть соображения на этот счёт и я готов ими поделиться если конечно данный доклад заинтересует кого-то из теоретиков.
Параграф 2.
Вопрос, который мы сейчас рассмотрим был затронут мной в первом параграфе. Но давайте разберём его более подробно. Это будет известная задача, которую приводят студентам, чтобы так сказать ввести их в курс дела. Задача следующая. Необходимо привести пример множества, мера которого равна единице или единица минус сколь угодно малое эпсилон. Думаю, что теоретики узнали этот известный пример. Эта задача может быть решена двумя способами.
Первый способ очень простой. Мы составляем бесконечную последовательность одноточечных множеств точек с рациональными координатами интервала от нуля до единицы. При этом в интервале остаются только точки с иррациональными координатами а бесконечная последовательность одноточечных множеств даёт бесконечную последовательность нулей и в итоге мы получаем всё тот же отрезок от нуля до единицы, мера которого равна единице соответственно.
Второй способ. Я должен напомнить таблицу нумерации рациональных дробей интервала (0, 1). Замечу, что это весь континуум. Она имеет следующий вид.
1-я строка 1/2 1/3 1/4 1/5.... и т. д. в бесконечность
2-я строка 2/3 2/4 2/5 2/6.... и т. д. в бесконечность
3-я строка 3/4 3/5 3/6 3/7.... и т. д. в бесконечность
Эта таблица приведена в десятичной системе исчисления. Таблица допускает стремление знаменателя в бесконечность по горизонтали слева на право и стремление числителя и знаменателя в бесконечность по вертикали сверху вниз. Таблица содержит сократимые. Таблица содержит все точки с рациональными координатами интервала (0, 1) других точек с рациональными координатами в указанном интервале не существует.
Решение состоит в следующем построении. Мы, образно говоря, выписываем числа входящие в таблицу в один бесконечный ряд. Он будет выглядеть следующим образом: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 и т. д.. Затем окружаем первую точку (это будет точка 1/2) сколь угодно малым эпсилон (замечу, что это не бесконечно малая величина а именно сколь угодно малая (0,01; 0,001 и т. д.)) и по сумме бесконечно убывающего геометрического ряда, окружая убывающими интервалами оставшееся бесконечное множество точек получим в итоге интервал например вдвое больший чем заданный. А так как эпсилон предполагается сколь угодно малым меру множества единица минус эпсилон можно считать равной единице.
Первый способ решения является совсем неинтересным и примитивным. Он заведомо ошибочен и это будет понятно из дальнейшего. Нас будет интересовать второй способ. Дело в том, что второй способ решения естественно также содержит ошибку, разобравшись в которой мы увидим много нового а заодно правильно сформулируем одну известную теорему.
Итак, давайте, образно говоря, встанем в начало упомянутого ряда и окружим первую точку 1/2 сколь угодно малым интервалом. Уже на этом первом шаге возникает некоторая странность. Именно: окружая точку 1/2 сколь угодно малым интервалом мы получаем некий малый интервал, который по определению содержит бесконечное множество точек с рациональными координатами. Казалось бы, что в этом нет ничего предрассудительного и мы можем и дальше окружать точки убывающими интервалами. Но дело в том, что продолжая дальше этот процесс начиная с какого-то N мы опять окажемся в интервале, который изначально окружал точку 1/2. У меня вопрос к теоретикам. Может ли геометрическая прогрессия определённая в пространстве R1, то есть на прямой линии содержать вложенные в друг друга интервалы? Говорить о сумме таких интервалов бессмысленно. Само собой понятно, что если мы имеем два интервала, допустим БЭ-1 и БЭ-2 и, к примеру, БЭ-2 вложен в БЭ-1 то их сумма равна БЭ-1. Вложение или пересечение интервалов одной и той же геометрической прогрессии недопустимо! Это противоречит самой геометрии пространства R1! Таким образом мы видим, что то что названо в данной задаче бесконечно убывающей геометрической прогрессией в действительности геометрической прогрессией не является! Предвижу возражение, что мы не будем нумеровать, окружать точки, которые вошли в уже заданный интервал а будем окружать точки, которые этому интервалу не принадлежат. Но это будет противоречить самому смыслу решения задачи. Тогда получится, что мы из нашего ряда точек с рациональными координатами будем выкидывать эти же самые точки, причём в бесконечно больших количествах.
При возрастании нумерации точек число интервалов будет стремиться в бесконечность. Число вложенных интервалов также будет стремиться в бесконечность. А в интервалах и во вложенных интервалах станут возникать бесконечные последовательности и подпоследовательности. При этом каждый сколь угодно малый элемент в этом громадном множестве интервалов будет содержать бесконечное число точек с рациональными координатами. Всё это наводит на мысль, что мы имеем дело с несчётным множеством. Выше упомянутая таблица нумерации рациональных дробей интервала (0, 1), которую современная математика трактует как счётную в действительности счётной не является. Утверждение что данная таблица является счётной - иллюзия. Да в ней указан первый элемент, более того все элементы пронумерованы но она несчётна. Она пронумерована не одним а двумя бесконечными натуральными рядами. (Точнее квадратом натурального ряда.) Если принять во внимание закон взаимно однозначного соответствия то она не может быть пронумерована одним бесконечным натуральным рядом. Таким образом теорема о том, что сумма счётного числа счётных множеств является счётным множеством - ошибочна. А теперь правильная формулировка. Сумма счётного числа счётных множеств есть множество несчётное.
Несколько слов о таблице.Используемая таблица нумерации точек с рациональными координатами интервала (0, 1) в действительности содержит и иррациональные точки. Точнее таблица содержит все точки континуума других точек в нём просто не существует. Я поясню это на примере. Рассмотрим полуинтервал (0, 1/3] где точка 1/3 принадлежит этому полуинтервалу и является его точной верхней границей и интервал ноль и ноль целых и тройка в периуде (0, 0,33....). Оба этих промежутка имеют одинаковый модуль равный 1/3. Но точки 1/3 и 0,33.... разные точки. 1/3 встречается в таблице почти в самом начале. Вопрос: а точка 0,33.... в данной таблице существует? Ответ да - существует. Это ближайшая точка к 1/3 и между этими двумя точками какой-то ещё одной нет. Точка 0,33.... в данной таблице появляется на бесконечной нумерации и имеет уникальный идентификатор это бесконечная последовательность троек делённая на единицу с бесконечной последовательностью нулей. Каждая точка континуума в данной таблице имеет свой, только ей одной присущий уникальный идентификатор и встречается в ней только один раз за исключением сократимых.
О функции Дирихле. Надо понимать, и это важно, что точки с рациональными и иррациональными координатами интервала континуума принципиально неразделимы! Это суть одно и тоже, одно и тоже множество рациональных дробей интервала континуума. Поэтому функции Дирихле не существует.
Как оценить саму мощность континуума? По приближённой оценке она будет равна квадрату бесконечности натурального ряда делённого на два.
Подводя итог скажу следующее. Наложение интервалов в геометрической прогрессии произошло из-за того, что математики пренебрегли законом взаимно однозначного соответствия. Нельзя одним бесконечным рядом нумеровать бесконечное множество таких же рядов. Парадокса Джузеппе - Виталия не существует. Это недоразумение случилось из-за неправильной трактовки рационального числа. Гипотезы континуума - не существует.
Параграф 3
В первом и во втором параграфе я допустил неточность - именно: в них я утверждаю, что таблица нумерации рациональных дробей континуума содержит все точки указанного интервала. Напомню, что данная таблица содержит как рациональные так и иррациональные координаты интервала (0, 1) так как допускает стремление числителя и знаменателя в бесконечность, при этом рациональные и иррациональные точки оказываются принципиально неразделимыми и составляют одно единое множество. Исходя из этого я как докладчик делаю вывод, что данной таблицей нумеруются все точки континуума. Но это не так. В интервале (0, 1) помимо рациональных и иррациональных точек, которые как я уже сказал есть одно и тоже существует ещё одно множество. Это те точки, которые не вошли в таблицу нумерации. Я предлагаю назвать эти точки - точками высшего порядка малости. (Целесообразность появления данного термина будет видна из дальнейшего.) В этом параграфе я постараюсь указать на эти точки и доказать их существование.
Где присутствуют эти точки, которые не вошли в таблицу нумерации по той простой причине, что таблица просто не может их пронумеровать? Скорее всего они распределены по всему континууму но существуют явно в бесконечно малых окрестностях в районе нуля и единицы. Точки лежащие справа и слева от 1/2 расположены симметрично и то, что происходит в районе нуля имеет своё зеркальное отражение в районе единицы. Поэтому в дальнейших рассуждениях для большей наглядности докладчик будет рассматривать левую половину интервала (0, 1) то есть точки лежащие ближе к нулю.
Давайте рассмотрим последовательность интервалов образованных точками конечной части гармонического ряда 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и точка ноль. Таких интервалов будет четыре штуки, именно:
(0, 1/5), (1/5, 1/4), (1/4, 1/3), (1/3, 1/2).
Давайте сравним по модулю первые два интервала.
Модуль (1/5, 1/4) = 1/20,
(0, 1/5) = 1/5.
Добавим точку 1/6 и опять сравним по модулю первые два интервала.
Модуль (1/6, 1/5) = 1/30,
(0, 1/6) = 1/6.
Для наглядности добавим ещё точку 1/7 и проделаем туже процедуру.
Модуль (1/7, 1/6) = 1/42,
(0, 1/7) = 1/7.
Что мы здесь видим? Мы видим, что интервал содержащий своим началом точку ноль стремится к нулю медленнее чем сразу следующий за ним интервал. Буквально если смотреть на последний пример то интервал (0, 1/7) по модулю больше чем (1/7, 1/6). Понятно, что в пределе при стремлении знаменателя в бесконечность мы будем иметь две бесконечно малые величины, причём одна из них будет высшего порядка малости по сравнению с другой. И понятно, что высшего порядка малости будет тот интервал, который непосредственно примыкает к интервалу содержащим своим началом точку ноль. Но тогда логично будет предположить, что бесконечно малая высшего порядка стремится к нулю и что важно она его достигает. Но при этом бесконечно малая низшего порядка то есть интервал содержащий своим началом точку ноль не достигает нуля а обращается в прямом смысле именно в бесконечно малую величину не равную нулю. Данная величина содержит какое-то бесконечное множество точек образующих её бесконечно малый модуль. На это указывает критерий сравнения бесконечно малых, геометрия пространства R1 а также факт расходимости гармонического ряда. У меня вопрос к теоретикам: что это за точки лежащие в бесконечно малом интервале в районе нуля? Мы не можем охарактеризовать их даже гипотетически. Минимальная гипотетическая дробь имеющаяся у нас в распоряжении это 1/беск. где данная бесконечность эквивалентна натуральному ряду. Но мы видим, что интервал (0, 1/ беск.) содержит в себе бесконечное множество точек континуума. Это происходит потому, что при стремлении знаменателя гармонического ряда в бесконечность интервал непосредственно примыкающий к интервалу содержащим своим началом точку ноль как бесконечно малая высшего порядка обращается в ноль. Здесь бесконечность натурального ряда полностью исчерпывает себя дальнейшее возрастание знаменателя невозможно и дальнейшее продвижение к нулю завершается и именно по этой причине невозможно указать какой-то конечный модуль данной бесконечно малой величины. Я рассмотрел этот пример для того чтобы показать, что помимо точек которые входят в таблицу нумерации дробей интервала (0, 1) в континууме существуют ещё точки, которые я предлагаю называть точками высшего порядка малости.
Из всех этих рассуждений можно сделать один вывод, что например выражение ноль умножить на бесконечность, которое обычно приравнивается к нулю или считается лишённым смысла на самом деле имеет определённый смысл. Ноль умноженный на бесконечность - бесконечно малая величина. Потому - что бесконечно малая делённая на ноль даёт бесконечность натурального ряда. (Операция деления на ноль любой конечной величины не определена.)
Следующий вопрос, который мы рассмотрим касается такого понятия как счётные множества. Я как докладчик утверждаю, что данный критерий, то есть критерий счётности не имеет математического смысла. Но прежде чем мы разберём этот вопрос давайте вернёмся к началу, то есть к материалам первого и второго параграфа. Во втором параграфе я утверждаю, что точки с рациональными и иррациональными координатами интервала континуума принципиально неразделимы и представляют собой одно единое множество. Именно этот вопрос я хочу ещё раз уточнить. Для этого я напомню таблицу нумерации или можно ещё сказать таблицу обозначений точек с рациональными координатами интервала (0, 1).
Первая строка: 1/2, 1/3, 1,4, 1/5 и т. д. в бесконечность.
Вторая строка: 2/3, 2/4, 2/5, 2/6 и т. д. в бесконечность.
Третья строка: 3/4, 3/5, 3/6, 3/7 и т. д. в бесконечнесть.
По аналогии выписываются строки, число которых стремится в бесконечность. Таблица приведена в десятичной системе исчисления, таблица содержит сократимые, таблица содержит все точки с рациональными координатами интервала континуума. Других точек с рациональными координатами в указанном интервале не существует.
Теперь обратимся к определению рационального числа или рациональной дроби. По определению рациональная дробь это числитель делённый на знаменатель где числитель и знаменатель натуральные числа. Примерно такое определение рациональной дроби приводится в учебниках. Но здесь необходимо уточнить одну деталь, которая в учебниках почему-то не упоминается. Дело в том, что натуральные числа входящие в данное определение подчинены строгому неравенству - они всегда меньше бесконечности. На первый взгляд кажется, что в этом ничего такого нет но именно из-за того, что теоретики не обратили внимания на этот нюанс и была допущена ошибка оказавшаяся с последствии фатальной. Дробь с конечным числителем и знаменателем даст либо конечную десятичную дробь либо дробь с конечным периодом. Теперь я задаю вопрос - чему равен период рациональной дроби? Ответ - период рациональной дроби - конечная величина. И здесь мы переходим к заключительной стадии рассуждений. Рациональноя дробь может содержать в периоде один символ или два символа. Однако ничто не мешает ей содержать в периоде 10 или 20 символов. Но при возрастании нумерации в таблице появятся дроби с периодами в сто, тясяча, сто тысяч или миллион символов. Всё это суть конечные величины. Далее в таблице появятся дроби с периодами в миллиарды символов а так как таблица допускает стремление числителя и знаменателя в бесконечность периоды дробей входящих в таблицу будут стремиться в бесконечность а эти дроби будут уже называться иррациональными числами. Тоже касается и конечных дробей образно говоря, конечные хвосты которых стремятся в бесконечность. У меня вопрос к теоретикам: или я чего-то неправильно понял или если я всё правильно понял то как такое вообще могло произойти. Теория, которая разработана в ТФВП не существует в природе математики. В резюме докладчик уточнит некоторые вопросы а также укажет причину появления фатальной ошибки.