Леонов Андрей Владимирович : другие произведения.

Книга позора российской науки: история о безуспешной попытке лишить ученых степеней трех авторов "липовых" диссертаций, "профессиональных" ученых

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    История о попытке лишить ученых степеней трех авторов "липовых" диссертаций, "профессиональных" ученых (двух докторов наук и одного кандидата наук) провинциального ВУЗа - ЮРГТУ (НПИ), располагающегося в г. Новочеркасске. Эта история, как и другие истории, рассказываемые в этой книге, ярко иллюстрирует нравы, царящие в российской науке.

   0x01 graphic
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

А.В. Леонов

  
  
  
  
  

Книга позора

российской науки:

история о безуспешной попытке

лишить ученых степеней

трех авторов "липовых" диссертаций,

"профессиональных" ученых

  
  
  

Первое цифровое издание

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Новочеркасск 2020

  
  
  
  
  
  
  
   УДК 001.85
   ББК 72.4(2Рос)
  
   Цифровую версию этой книги можно скачать с домашней странички автора
   f2f.alturl.com (lion.alturl.com) или с библиотеки "Генезис" (gen.lib.rus.ec)
  
  
  
  
  

Вы можете свободно воспроизводить и распространять данную книгу целиком или по частям любым способом, -- в том числе и на коммерческой основе без выплаты вознаграждения автору

11 июня 2020 г. эта книга была передана автором в общественное достояние (Public Domain) по лицензии СС0 1.0 Universal (CC 1.0)

0x01 graphic

No Copyright

To the extent possible under law, Андрей Владимирович Леонов (f2f.alturl.com; lion.alturl.com (redirectors) -- author's site(s); also: GENESIS library (gen.lib.rus.ec)) has waived all copyright and related or neighboring rights to

книга "Книга позора российской науки: история о безуспешной попытке лишить ученых степеней трех авторов "липовых" диссертаций, "профессиональных" ученых"

This work is published from: Russian Federation

  
  
  
  
   Автор: Леонов Андрей Владимирович
  
   Книга позора российской науки: история о безуспешной попытке лишить ученых степеней трех авторов "липовых" диссертаций, "профессиональных" ученых / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Цифровой издание, подготовленное автором, 2020. -- 304 с.
  
   История о попытке лишить ученых степеней трех авторов "липовых" диссертаций, "профессиональных" ученых (двух докторов наук и одного кандидата наук) провинциального ВУЗа -- ЮРГТУ (НПИ), располагающегося в г. Новочеркасске. Эта история, как и другие истории, рассказываемые в этой книге, ярко иллюстрирует нравы, царящие в российской науке.
  
  
  
  
  
   No Copyright;
   Леонов А.В., 2020
  
  
  
  
  

Книга позора российской науки:

история о безуспешной попытке

лишить ученых степеней

трех авторов "липовых" диссертаций,

"профессиональных" ученых

  

Оглавление

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Оглавление

  
   Предыстория
   Что случилось впоследствии
   Переписка
   (20071023) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 23.10.2007 входящий N 01-48/30 от 23.10.2007 (заявитель не располагает вторым экземпляром заявления, заверенным сотрудником Канцелярии ЮРГТУ (НПИ)) -- о выборах 2007 г. (см. R20071102)
   (20071026) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 26.10.2007 (номер письма 34644895074578; вручено 30.10.07) -- о выборах 2007 г. более подробно
   (R20071102) Ответ Ректора ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунина исходящий от 02.11.2017 N 38-3/236 на Заявление А.В. Леонова входящий N 01-48/30 от 23.10.2007 -- о выборах 2007 г. (см. 20071023)
   (20090116C) Заявление А.В. Леонова проректору по образовательной деятельности ЮРГТУ (НПИ) Л.И. Щербаковой от 16.01.2009 (номер письма 34644809021438; вручено 20.01.2009) -- о выборах 2007 г. (см. 20071023, 20071026, R20071102)
   (20071027) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 27.10.2007 (номер письма 34640094683580; вручено 30.10.2007) -- о преступлении
   (20071129) Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 29.11.2007 (номер письма 34640095627675; вручено 03.12.2007) -- о предоставлении информации (см. 20071027, 20071026, 20071023)
   (20080813) Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 13.08.2008 (номер письма 34642804138489; вручено 15.08.08) -- исторические сведения о Тушканове (см. 20071027)
   (20090306) Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 06.03.2009 (номер письма 34640011230293; вручено 11.03.2009) -- оскорбление (см. 20071027)
   (20071106) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.2007) -- о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха
   (R20071126) Ответ Проректора по НРиИД ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко А.В. Леонову (исходящий от 26.11.2007 N 13П-263/02) на Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.07) -- документы для лишения ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха переданы в диссертационные советы (см. 20071106)
   (20071204A) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.01 от 04.11.2007 (ошибочная датировка; в действительности -- от 04.12.2007) (номер письма 34641496042548; вручено 10.12.2007) -- конкретизировать сроки рассмотрения документов о лишении ученых степеней (см. 20071106, R20071126)
   (20071204B) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.02 от 04.11.2007 (ошибочная датировка; в действительности -- от 04.12.2007) (номер письма 34641496042579; вручено 10.12.2007) -- конкретизировать сроки рассмотрения документов о лишении ученых степеней (см. 20071106, R20071126)
   (20071206) Заявление А.В. Леонова Заведующему Канцелярией ЮРГТУ (НПИ) от 07.12.2007 (номер письма 34644896084590; вручено 11.12.2007) -- сообщение об ошибках датировки ранее поступивших заявлений (см. 20071204A, 20071204B)
   (R20071221) Ответ Проректора по НРиИД ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко А.В. Леонову (исходящий от 21.12.2007 N 13П-211/02) на Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.07) -- о прекращении работы диссертационных советов (см. 20071106, R20071126, 20071204A, 20071204B)
   (20080317A) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе Южного Федерального Университета Е.К. Айдаркину от 17.03.2008 (номер письма 34642899046065; вручено 21.03.2008) -- о диссертации В.А. Мохова
   (200810317B) Письмо А.В. Леонова доц. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), к.т.н. В.А. Мохову (номер письма 34642899046072; вручено 20.03.2008) -- о диссертации В.А. Мохова
   (20081016) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 16.10.2008 (номер письма 34642807181048; вручено 22.10.2008) -- о диссертации В.А. Мохова (см. 20081703A, 20081703B)
   (20080904) Заявление А.В. Леонова Проректору по безопасности ЮРГТУ (НПИ) М.В. Сорокину от 04.09.2008 (номер письма 34640005514330; вручено 09.09.2008) -- о нерассмотрении ряда ранее поданных заявлений (см. 20071027, 20071026, 20071106 и др.)
   (20090116A) Заявление А.В. Леонова и.о. Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 16.01.2009 (номер письма 34644809021445; вручено 20.01.2009) -- о нерассмотрении ряда ранее поданных заявлений (см. 20071027, 20071026, 20071106 и др.)
   (20090116B) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009) -- о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. 20071109, R20071126, 20071204A, 20071204B, R20071221)
   (R20090121) Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 21.01.2009 N 13П-14/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009) -- лишение ученых степеней не в компетенции Проректора (см. 20090116B, также: 20071109, R20071126, 20071204A, 20071204B, R20071221)
   (20090601A) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009) -- о закрытии ЮРГТУ (НПИ), некорректно составленное (см. 20071027, 20071026, 20071106)
   (20090601B) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 01.06.2009 (номер письма 34642813083053; вручено 05.06.2009) -- отречение от ЮРГТУ (НПИ), отсылка копии 20090601A (см. 20090601А)
   (R20090609) Уведомление Начальника департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ В. Коряшкина А.В. Леонову (исходящий от 09.06.2009 N А26--185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009) -- продление сроков рассмотрения (см. 20090601A)
   (R20090615) Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ О. Силиной А.В. Леонову (исходящий от 15.06.2009 N А26-06-185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009) -- отказ в рассмотрении заявления как некорректно составленного (см. 20090601A, R20090609)
   (20090708A) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.2009) -- о нерассмотрении заявления о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха в ЮРГТУ (НПИ) (см. 20071106)
   (R20090716) Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ Г. Спирина А.В. Леонову (исходящий от 16.07.2009 N А26-06-259060) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.09) -- Заявление перенаправлено на рассмотрение в Федеральную службу по надзору в сфере образования и науки (см. 20090708А, R20090729(?))
   (20090708B) Заявление А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову М.П от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009) -- о нерассмотрении заявления о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха в ЮРГТУ (НПИ) (см. 20071106, R20090729)
   (20090708C) Заявление А.В. Леонова Андрея Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) -- о нерассмотрении заявления о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха в ЮРГТУ (НПИ) (см. 20071106, R20090729)
   (R20090729) Ответ Заместителя начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Л.В. Логиновой А.В. Леонову (исходящий от 29.07.2009 N ЛЕ-4012/08 01 09 82) в связи с Заявлением А.В. Леонова Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009) -- отписка (см. 20090708B, 20090708C, 20090708A(?))
   (R20090909) Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 09.09.2009 N 13П-260/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009) -- о работе комиссии, созданной из членов диссертационных советов в связи с вопросом о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. 20090116B, также: 20071109, R20071126, 20071204A, 20071204B, R20071221)
   (20090922A) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 22.09.2009 (номер письма 34640018876820; вручено 24.09.2009) -- протест в связи c рассмотрением дела о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. R20090909)
   (20090922B) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.01 при ЮРГТУ (НПИ) А.Н. Ткачеву от 22.09.2009 (номер письма 34640018876944; вручено 24.09.2009) -- протест в связи c рассмотрением дела о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. R20090909)
   (20090922C) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) Н.И. Горбатенко от 22.09.2009 (номер письма 34640018876937; вручено 24.09.2009) -- протест в связи с рассмотрением дела о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. R20090909)
   (20090924A) Заявление А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009) -- о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалёва и Г.К. Птаха (см. R20091103)
   (20090924B) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) -- об ответе Проректора ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова и последующем обращении в ВАК (см. R20090909, 20090924A, 20090708A)
   (R20091001) Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ А. Козыренко (исходящий от 01.10.2009 N А26-06-371535) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) -- о перенаправлении 20090924B в Минобраз (см. 20090924B)
   (R20091103) Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 03.11.2009 N ЛЕ-5345/08-01-09-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009) -- отписка (см. 20090924A, 20090924B, R20091001)
   (20091204) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009) -- об ответе Минобраза (см. R20091103)
   (R20100120) Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 20.01.2010 N ЛЕ-5345/08-01-09) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009) -- отписка (см. 20091204)
   (20091209) Обращение А.В. Леонова к Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009) -- в связи с ответом Минобраза и поведением диссертационных советов (см. R20091103)
   (R20091223) Уведомление Заместителя директора Департамента культуры и образования Правительства РФ А. Заклязьминского А.В. Леонову (исходящий от 23.12.2009 N П44- 43665) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009) -- о перенаправлении Заявления в Минобрнауки (см. 20091209)
   (R20100208) Ответ Директора Департамента государственной научно-технической и инновационной политики Минобрнауки России А.В. Наумова А.В. Леонову (исходящий от 08.02.2010 N 04-ПГ-МОН-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009) -- отписка (см. 20091209, R20091223)
   (20100610) Личные письма А.В. Леонова членам диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 10.06.2010 (46 экз. согласно описи вложения) (номер почтового отправления (бандероли) 34642817902732; вручено 15.06.2010) -- предупреждение
   (20111005) Личные письма А.В. членам диссертационных советов (в составе на июнь 2010) Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 05.10.2011 (46 экз. согласно описи вложения) (номер почтового отправления (бандероли) 34642843024521; вручено 10.10.2011) -- оскорбление (см. 20100610)
   (20120524) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 24.05.2012 -- выборы 2012 г.
   (20120621) Заявление А.В. Леонова Главе Ученого совета ФИТУ ЮРГТУ (НПИ) от 21.06.2012 (номер письма 34644851003260; вручено 25.06.2012) -- выборы 2012 г.
   (20120727) Заявление А.В. Леонова Главе ученого совета ФИТУ ЮРГТУ (НПИ) от 27.07.2012 (номер письма 34642852013028; вручено 31.07.2012) -- выборы 2012 г.
   Приложение A. "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений (критика докторской диссертации О.Ф. Ковалева)
   Предисловие
   1 Условная минимизация функционала для расчета статического магнитного поля в конечноэлементном лагранжевом базисе
   1.1 Функционал для минимизации в трех- и двухмерном случаях
   1.2 Допущение, позволяющее вести интегрирование по конечной области
   1.3 Проекция векторного магнитного потенциала (однокомпонентного) на конечномерный базис и переход к функционалу от конечного числа переменных
   1.4 Минимизация с ограничениями (условная) и без ограничений
   1.5 Минимизация без ограничений (первый шаг)
   1.6 Минимизация без ограничений в конечноэлементном лагранжевом базисе (первый шаг, продолжение)
   1.7 Учет зависимостей между переменными (второй шаг)
   1.8 Редукция полной системы уравнений (третий шаг)
   1.9 Замечания по организации итерационного процесса
   1.10 Использование терминов механики при описании системы уравнений в матричной форме
   2 Разбор примеров неправильной условной минимизации функционала
   2.1 Операции над матрицами.
   2.2 Условная минимизация функционала для расчета магнитного поля в книге "Информатика и компьютерное моделирование в машиностроении"
   2.3 Изложение условной минимизации функционала для расчета магнитного поля в монографии "Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах"
   3 "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников"
   3.1 Название метода содержит в себе противоречие
   3.2 В "комбинированном МКЭ(В)-МВИ" на самом деле нет вторичных источников
   3.3 О.Ф. Ковалев забыл привести подобные слагаемые, выполнив "уничтожающие" друг друга подстановки -- это и есть суть его метода
   3.4 К итерационной схеме, предложенной О.Ф. Ковалевым, можно прийти более естественными путями, чем бесполезные подстановки и неприведение подобных слагаемых
   3.5 Улучшение "постоянной" матрицы (прекондиционер), предложенное О.Ф. Ковалевым не годится для "общего случая"
   3.6 Окончательная формулировка численного метода, предложенного О.Ф. Ковалевым (с некоторыми изменениями) для "общего случая"
   3.7 Замечания
   4 Метод Ньютона и квази- методы Ньютона. Метод итераций и его варианты
   4.1 Представление якобиана и гессиана через оператор Гамильтона
   4.2 Метод Ньютона для систем уравнений
   4.3 Метод Ньютона для минимизации функционала
   4.4 Глобализация сходимости метода Ньютона
   4.5 Квази- методы Ньютона
   4.6 Метод итераций для нелинейных систем и условия его сходимости
   4.7 Связь метода итераций с методом Ньютона. Оптимальный метод итераций
   4.8 Связь более простых методов итерации с квази- методами Ньютона
   4.9 Обсуждение условий сходимости
   5 Разбор численного метода, предложенного О.Ф. Ковалевым
   5.1 Численный метод, предложенный О.Ф. Ковалевым -- это недоформулированный уже известный квази- метод Ньютона (недоформулированный вариант метода итераций)
   5.2 Улучшение метода, предложенное Ковалевым, как прекондиционер
   5.3 Некорректность сопоставлений при оценке выигрыша, даваемого разработанным Ковалевым методом
   5.4 О.Ф. Ковалев для "исследования сходимости" предложенной итерационной схемы использует кусочно-линейные среды, вместо нелинейных, и приходит к выводу, что процесс сойдется в любом случае
   5.5 Сходимость несуществующих "локальных" итерационных процессов, "открытых" О.Ф. Ковалевым
   5.6 Место предложенных О.Ф. Ковалевым комбинированного метода конечных элементов и вторичных источников и модифицированного метода конечных элементов в его диссертационной работе
   Послесловие
   Литература
   Приложение B. Замечания по "методу расщепления" (критика докторской диссертации Г.К. Птаха)
   1 Замечания по "методу расщепления"
   Литература
   Приложение C. Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки (критика кандидатской диссертации В.А. Мохова)
   Предисловие
   1 О выборе интерполирующей функции на отдельном конечном элементе
   2 Об аппроксимации разрывными функциями и "более современном" подходе к аппроксимации функций
   3 Оценка В.А. Моховым погрешности аппроксимации
   4 Глава-напоминание о функциональных пространствах, скалярных произведениях, нормах и метриках.
   5 Пример функции, для которой ошибка аппроксимации возрастает по мере уплотнения конечноэлементной сетки
   6 Пример задачи аппроксимация функции на основе алгоритма адаптивной генерации сетки (начало)
   7 Одна теорема об интерполяции решения краевой задачи непрерывной кусочно-полиномиальной функцией
   8 Пример задачи аппроксимация функции на основе алгоритма адаптивной генерации сетки (продолжение)
   9 Замечания по реализации алгоритма, предложенного В.А. Моховым
   Послесловие
   Литература
   Приложение D. Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры (дополнение к Приложению A)
   1 Минимизация функционала с независимыми переменными (обзор)
   2 Минимизация функционала с зависимостями между переменными (обзор)
   3 Метод неопределенных множителей Лагранжа
   4 Построение "полной" системы уравнений для случая исходной системы вида
   5 Отступление. Использование терминов из области механики для описания системы уравнений в матричной форме
   6 Редукция полной системы уравнений
   7 Построение матриц
   8 Множители Лагранжа и критерий останова итерационного процесса
   9 Итоги. Общий план действий для случая исходной системы вида
   Использованная литература
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Предыстория

  
   В 1996 г. я окончил кафедру "Электронные Вычислительные Машины, системы, комплексы и сети" (ЭВМ) Новочеркасского Политехнического Института (НПИ) по специальности "Вычислительные машины, комплексы, системы и сети" и получил квалификацию "инженер-системотехник". Этот институт много раз переименовывали; строго говоря, в 1996 г. он назывался "Новочеркасский Государственный Технический Университет" (НГТУ), а сейчас называется Южно-Российский Государственный Технический Университет" (ЮРГТУ). В этом учебном заведении нет ничего примечательного -- это обычный провинциальный, как шутят, "заборостроительный университет".
   Несмотря на то, что, по-видимому, у меня были лучшие показатели в выпуске кафедры 1996 г, заведующим кафедры Н.Б. Тушкановым мне не было предложено остаться работать на кафедре или же поступить в аспирантуру при ком-нибудь из работающих на кафедре -- как это принято в приличных заведениях. На кафедре был оставлен работать Олег Юрьевич Дерий, который будет упоминаться далее.
   Каким-то чудом мне удалось устроиться в аспирантуру при одном из докторов наук, работавших тогда на кафедре "Теоретическая Электротехника", а затем перешедшего работать на кафедру "Прикладная Математика", В.И. Астахове. Чтобы защитить кандидатскую, мне надо было хорошо знать эту самую прикладную математику в том объёме, который преподаётся на кафедре "Прикладная Математика"; я, конечно, начал изучать кое-что, но все равно защитить диссертацию не удалось -- я, собственно, не продвинулся в теме исследований никак. Строго говоря, меня надо было выгнать из аспирантуры, но ведь научному руководителю нужно иметь определённое число аспирантов...
   Формально за три года обучения в аспирантуре я написал лишь одну небольшую статью в каком-то сборнике докладов на конференции или в чём-то подобном, но в действительности её написал научный руководитель; я, собственно, окончив аспирантуру, насколько помню, даже не знал, что у меня есть одна опубликованная статья, совместная с научным руководителем.
   В принципе, у меня были неплохие математические способности. Я ходил в двухгодичную подготовительную физико-математическую школу при НПИ и окончил ее (в 1991 г.) одним из лучших, если не первым. (Эта школа, тогда бесплатно, готовила всех желающих советских школьников к поступлению в ВУЗы; что от нее осталось теперь -- не знаю). И когда, учась в аспирантуре, я взял лекции научного руководителя, которые он читал на кафедре "Прикладная математика" (это был курс "Уравнения математической физики", кажется; он был ориентирован на решение задач, связанных с расчётом электромагнитного поля), то понял в них всё. Конечно, там были "всякие интегралы Лебега и гильбертовы пространства", но в минимальном количестве и для понимания текста о них можно было вообще забыть, действуя по аналогии с тем, что уже знаешь из интегро-дифференциального исчисления -- ведь, в конце концов, это была кафедра прикладной математики, а не теоретической. Однако математических знаний для диссертации у меня было явно недостаточно.
   В 1997/1998 учебный год я должен был вести практические занятия по электротехнике у студентов в рамках аспирантской "педагогической практики". Заведующим кафедрой ТОЭ тогда был Г.К. Птах, а лекции по курсу у студентов читал уже не помню кто (кажется, Саввин?). При этом лабораторные занятия вел не он сам, а Ольга Александровна Дроздова, вполне вменяемый преподаватель. И вот по неведомо каким для меня причинам Дроздову решили на кафедре ТОЭ "сожрать".
   За что ее "сожрали"? Я, конечно, не знаю, но давайте применим холмсов дедуктивный метод... Обычно всем неудобны всякие правдорубы, а ещё очевидцы. Но правдорубы редки (да и будь Ольга Александровна правдорубкой, ее бы выгнали уже давно, а не спустя десятилетия работы), а очевидцы -- вот это да, их гораздо больше. Поэтому, я думаю, она была очевидцем чего-то. И это, конечно, не может быть получение взятки или что-то подобное вроде разворовывания чего-то -- к таким вещам в институтах, да и в России вообще, все привычны и смотрят на это, как говорится, толерантно. Так что тут много темного и загадочного и поэтому дедукция упирается в стену... И заметьте, что даже сама Ольга Александровна тут ничего не может сказать: ведь если я прав, если она действительно очевидец чего-то, то у нее, скорее всего, нет второго свидетеля, который подтвердил бы ее слова, и поэтому она сама из свидетеля с легкостью может превратиться в обвиняемую, то есть в клеветника и лжесвидетеля.
   Ну, да ладно. Я не скажу, что студенты были какие-то недалекие -- они были самые обычные, ни что я и Дроздова плохо им преподавали (Ольга Александровна вела лабораторные занятия у меня, когда я учился), но, в конце концов, чтобы "сожрать" Ольгу Александровну преподаватель, читавший студентам лекции, поставил на экзамене множество двоек (в зимнюю сессию). Далее -- я не знаю каким образом -- дело дошло до того, что на заседании Ученого Совета (кажется, факультета), Дроздова была признана профессионально непригодной и затем уволена. Человек работал на кафедре, по-видимому, уже несколько десятилетий -- и вот те на! -- получает клеймо "профессионально непригоден"...
   (Сейчас ей, наверное, уже ближе к семидесяти, чем к шестидесяти, и я думаю: вот бы обрадовалась-то старушка, если бы перед смертью узнала, что была реабилитирована!)
   Вероятно, мне, из-за этого скандала, не дали бы вести практические занятия в весеннем семестре; но зимой я "удачно" сломал ногу и она долго не срасталась; лишь только поэтому, по-видимому, скандал обошел меня стороной. Из-за сломанной ноги я даже не знал, что Дроздова признана "профессиональной непригодной", пока, спустя много времени после описываемых происшествий, не встретил ее на улице.
   Забегая вперед, скажу: когда, уже во время работы на кафедре ЭВМ, студенты написали против меня заявление, в котором говорилось о моём "низком педагогическом уровне", то я сразу решил, что Тушканов, заведующий кафедрой, шантажирует меня тем, что меня "сожрут", то есть, тем, что если я не выполню какие-то его требования, он передаст это заявление дальше по инстанциям и все закончится заседанием Ученого Совета факультета, на котором я буду признан "профессионально непригодным" -- ведь я уже был знаком с нравами НПИ на примере Дроздовой.
   После аспирантуры я пытался устроиться куда-нибудь в НПИ ассистентом, в том числе на кафедру ЭВМ, но меня никуда не взяли; тогда (весной 2000 г.) я устроился "на время" в Вычислительный Центр НПИ инженером; там я занимался, в основном, разработкой баз данных и клиент-серверных приложений.
   В 2001 г., весной или в начале лета, я случайно обнаружил, что на доске объявлений кафедры ЭВМ висит объявление "Требуются ассистенты" и устроился работать на кафедру. Не понимаю, почему открылись эти вакансии. По-видимому, зарплата ассистента была слишком ничтожной, а в это время в экономике начиналось оживление; да и IT-специалисты получали неплохо.
   Я хотел "довести дело до конца", то есть защитить диссертацию и работать преподавателем ВУЗа.
   Зарплата ассистента, повторю, была ничтожна -- ее не хватало даже на еду и одежду. Зарплата старшего преподавателя была ненамного выше; да и доценты с ученой степенью в те времена получали очень мало... Я не брал взяток в буквальном смысле этого слова; как видите, человек просто должен был брать взятки, чтобы существовать на минимуме средств; мне же помогал дед, который получал максимальную большую пенсию как ветеран войны (и как получивший максимальную советскую пенсию, 120 руб.). Он жил долго, был 1919 г. рождения и умер в 2008 г.; и, таким образом, он долго занимался "ограблением пенсионного фонда". Родители мои нищенствовали; отец был безработным с начала девяностых и так и умер в 2005 г. безработным, не дожив до пенсии. Уж не знаю -- почему я так упорно хотел стать ученым -- мне, конечно, надо было искать приличную работу IT-специалиста, а не ошиваться при заборостроительном университете -- но я этого не сделал. А у меня была возможность, правда, всего одна, устроиться в хорошей фирме и получать приличные деньги. (Работа инженером в Вычислительном Центре НПИ приносила столько же денег, сколько и работа ассистентом на кафедре -- то есть, денег не хватало на то, чтобы поесть и одеться.)
   Чуть ли не в первый день работы на кафедре преподаватель, которому я ассистировал, наедине сообщил мне о ситуации на кафедре; всё, конечно, было сказано полунамеками, но из его слов я понял следующее: заведующий кафедры Николай Борисович Тушканов берет взятки, причем столь нагло, что "залазит на территорию" других преподавателей: то есть, берет взятки с "чужих" студентов, а затем оказывает давление на "родных" этим студентам преподавателей, чтобы те поставили студентам хорошую оценку по протекции Тушканова. Из слов преподавателя, сказанных мною наедине, я так же понял, что "посредническими услугами" Тушканова пользуются примерно две трети студентов кафедры. (Другой преподаватель наедине жаловался мне, что Тушканов столь обнаглел, что забирает деньги так, что ему самому ничего не остается.) Этот же преподаватель, у которого я сперва ассистировал, беседовавший со мной наедине, сообщил мне, что понимают предмет лишь единицы и что прилагать усилия можно и нужно лишь к одной трети студентов, а у остальных двух третей путь один -- к Тушканову. Сейчас я просто не могу понять -- почему прочие сотрудники кафедры не объединились и не дали отпор Николаю Борисовичу.
   Впрочем, насколько я смутно помню (тут я точно утверждать ничего не могу из-за скудности сведений и невозможности вспомнить, откуда они у меня) Тушканов был очень "демократичен" в том смысле, что брал со студентов мало -- в большинстве случаев, как я думаю, речь шла о нескольких сотнях рублей, может быть, о пятистах рублях.
   Эх, мне бы, дураку, сразу же бы и уволиться... Ведь всё было сказано с самого начала открытым текстом: куда, дурак, ты полез, в какой гадючник? Кем хочешь стать?
   Была и другая возможность нечестного зарабатывания денег -- выписка так называемых "дополнительных образовательных услуг" (под ними, главным образом, понимались дополнительные часы лабораторных работ и прочие дополнительные занятия; теоретически они могли оказываться многим студентам сразу, одновременно. Эти услуги выписывались сильно отстающим ученикам. Но на практике редко когда эти услуги оказывались и я их, насколько помню, почти никогда не оказывал. Таким образом, "дополнительные образовательные услуги" были просто своего рода "штрафом" для студентов-идиотов, которые много чего не успели сделать вовремя; после уплаты этого "штрафа" отстающий студент сдавал какую-то кипу бумаг с отчетами по лабораторным работам (часто это были копии чужих лабораторных работ) и эти отчеты подписывались.
   Обычно "штраф" составлял несколько сот рублей; редко более пятисот рублей. При этом студент брал в деканате специальную квитанцию (не знаю -- как это точно называется) на проведение определенного количества часов "дополнительных образовательных услуг" и расписывался в этой квитанции, что образовательные услуги были оказаны; на этой же квитанции расписывался и преподаватель; а затем эта квитанция относилась в деканат.
   Конечно, по сути, эти "дополнительные образовательные услуги" были завуалированной взяткой и, с точки зрения закона, мошенничеством, в котором участвует и преподаватель, и студент. Но вот что интересно: в этом случае студент никогда не побежал бы жаловаться на преподавателя хотя бы потому, что он сам был соучастником мошенничества. Выгода была взаимной: идиот-студент не хотел учиться, а преподаватель не хотел больше иметь дела с идиотом-студентом и учить его; поставив свои подписи на квитанции, все с радостью и удовлетворением расходились по своим делам.
   И вот еще что. Преподаватель получал только одну четверть из той суммы, которую студент заплатил за оказание "дополнительных образовательных услуг", а три четверти шли в "казну" университета. Оплата же услуг, насколько я помню, производилась через банк; свою долю преподаватель получал при выплате ему зарплаты, то есть, через бухгалтерию.
   За все годы работы на кафедре я заработал таким образом, через "штрафы", наверное, около пяти тысяч рублей (тогда доллар был где-то по двадцать пять рублей); во всяком случае, не больше семи тысяч рублей. И совесть не слишком мучила меня по этому поводу. Хотя сначала, вообще говоря, мне это было противно и я бы предпочел не оказывать эти услуги, а просто дать пинка идиотам под зад.
   Я должен был выписывать эти услуги еще и потому, что должен был имитировать "работу с отстающими студентами" перед руководством кафедры; кроме того, на кафедру институт спускал план, в котором указывалось, сколько денег должна заработать кафедра за год с помощью различных ухищрений -- от заключения различных договоров со всякими организациями на проведение работ до того же самого оказания "дополнительных образовательных услуг".
   Я никогда не придирался к студентам; чтобы получить "штраф", то есть, "дополнительные образовательные услуги", надо было быть полностью обнаглевшим бездельником. Если студент делал хоть что-то, пусть даже всё сделанное им и было неправильным, я всё равно ставил ему "зачёт" за одну попытку что-то делать. Я, повторю, никогда не брал собственно взяток, кроме завуалированных взяток в виде фиктивного оказания "дополнительных образовательных услуг". Однако однажды я узнал от студента, что кто-то от моего имени собирает деньги на зачет! (Этот чудак пришел ко мне и сказал, что "я деньги уже сдал"...) Я думаю, что этот человек, собиравший от моего имени деньги, по-видимому, студент, был человеком Тушканова. Тогда я громко объявил студентам (и не раз -- я объявлял это, насколько помню, в нескольких группах), что все деньги, которые они должны будут платить, -- это деньги за оказание дополнительных образовательных услуг и что они могут идти и забирать свои деньги обратно у того, кто их собирал.
   Какие-то студенты говорили мне, что Тушканов собирает деньги через какого-то студента. Насколько помню, это был какой-то армянин. И, насколько помню, когда я увидел его, то меня потянуло блевать от этой омерзительной личности. Конечно, для всяких темных делишек нужны темные личности. Но, извините, всему же есть предел! Брать в подручные ТАКОЕ...
   Да, будучи тогда православным, я "забыл" слова Библии: "9 Или не знаете, что неправедные Царства Божия не наследуют? Не обманывайтесь: ни блудники, ни идолослужители, ни прелюбодеи, ни малакии, ни мужеложники, 10 ни воры, ни лихоимцы, ни пьяницы, ни злоречивые, ни хищники -- Царства Божия не наследуют" (1Кор.6:9-10).
   А послушайся я этих слов, то ушел бы с работы и со мной не случилось того, что случилось со мной далее. А то, что случилось со мной далее -- это типичный пример того, что может получиться тогда, когда вы идете на компромисс с собственной совестью.
   Поняв, что по-честному работать нельзя, повторю, надо было просто уйти из этого гадючника, из НПИ, а не пытаться действовать "применительно к подлости". А действовать по-честному в том случае для меня означало: выгнать где-то две трети студентов, начать создавать какой-то профсоюз, который устраивал бы забастовки, требовал смены правительства и смены экономического курса и угрожать "напомнить Францию 1968" -- ведь моей зарплаты не хватало мне даже на еду и одежду, не говоря уже о съеме жилья. Но кем я был? Простым ассистентом без ученой степени.
   В том же 2001 г. сменился заведующий кафедрой -- вместо Николая Борисовича Тушканова им стал Олег Федорович Ковалев; Николай Борисович, 1949 г. рождения, был кандидатом наук и так и не смог написать докторскую диссертацию; а Олег Федорович, 1960 г. рождения, к тому времени только что докторскую диссертацию защитил (в 2001 г.) и, по-видимому, считался тогда относительно молодым и перспективным доктором наук.
   Я думаю, что смешение Тушканова было результатом подковерной борьбы каких-то институтских кланов и что Ковалев был представителем одного из таких кланов; но это лишь мои предположения -- мне ничего неизвестно по этому поводу. С 2003 г. Ковалев был не только заведующим кафедрой ЭВМ, но также и проректором по образовательной деятельности ЮРГТУ (НПИ). Здесь же скажу, что должность заведующего кафедрой Ковалев занимал с 2001 по 2010 год, а что касается должности проректора, то, насколько я помню, в 2007 г. он уже был снят с этого поста.
   Насколько я понимаю ситуацию, Ковалев хотел тогда поскорей получить ученое звание профессора (не путайте ученое звание профессора с должностью профессора кафедры; ученое звание профессора -- это, грубо говоря, почетная награда, выдаваемая государством доктору наук; хотя, конечно, ее выдают и кандидатам наук, но это смотрится очень анекдотично). Но для получения этой награды необходимо, чтобы под руководством доктора (или кандидата) наук было защищено какое-то число кандидатских диссертаций. И, насколько я понимаю, Ковалев искал людей, которые могли бы защитить под его руководством кандидатские диссертации. И я попал в это число. Попал, может быть, случайно.
   Дело было так. Я услышал слова какого-то институтского горлопана о том, что "только дурак в нашем институте не получает двадцати тысяч"; также от кого-то я услышал и слова о том, что где-то кто-то в институте чем-то занимается (по договорам с предприятиями, что ли?) и что можно к ним присоединиться и совершенно законным образом подработать инженерным трудом. Каким-то образом эта возможность в моем уме связалась с тем, что для этого можно попробовать обратиться к Ковалеву; я обратился к нему; и вот, вместо этой инженерной работы он предложил мне заняться написанием кандидатской диссертации под его руководством. Это была новая для меня тема; по сути, это была тема численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных; я в этом тогда почти ничего не понимал. И эта тем была связана с тем, чем занимался сам Олег Федорович в своей докторской диссертации. А, говоря проще, Олег Федорович, не скупясь, поделился со мною результатами своих диссертационных исследований.
   Я начал работу. И вот, к концу 2004 года я понял, что докторская диссертация Ковалева -- "липовая" и неправильная (но толком раскритиковать ее и понять до конца, что же сделал Ковалев, я тогда еще не мог); позже, в 2007 г., летом, мне стало ясно, что Ковалев толком не знал и не понимал, что делает, то есть не знал той области, в которой собирался совершать открытия. По сути, скажу кратко, он предложил в качестве нового численного метода давно известный квази-метод Ньютона, только изуродованный его, Ковалева, невежеством.
   Докторская диссертация Ковалева называется "Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах", но по сути в ней речь идет именно о таких вещах, как численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью квази-методов Ньютона; и название, данное работе ее автором, только лишь затемняет суть того, что "изобрел" этот автор. Ни один человек, знакомый с азами в той области, в которой начал "изобретать" Ковалев, трудясь над совей диссертацией, не допустил бы тех нелепостей, которые допустил он.
   Основные результаты диссертационной работы отражены О.Ф. Ковалевым в его книге [Ковалев2001], экземпляр которой он мне подарил.
   Другим человеком, писавшим диссертацию под руководством Ковалева в то время, был Василий Александрович Мохов, окончивший кафедру ЭВМ годом ранее меня, в 1995 г., и оставленный работать на кафедре. Сейчас он -- сотрудник кафедры ПОВТ НПИ, доцент (и заместитель декана по научной работе); он "имел несчастье" защитить кандидатскую диссертацию под руководством Ковалева в 2005 году. Диссертация Мохова была такой же безграмотной ахинеей, как и докторская диссертация его руководителя.
   Не знаю -- получил ли Олег Федорович Ковалев "общегосударственное" ученое звание профессора, но другой, "местный", знак почести он все-таки получил -- в 2007 г. он был награжден нагрудным знаком "заслуженный профессор ЮРГТУ (НПИ)". Кто еще защищался под его руководством и защищался ли вообще -- не знаю.
   Но не будем забегать вперед с диссертациями
   Весной 2004 г. мне повезло -- мне, всё еще ассистенту, дали читать лекции по дисциплине "Технология администрирования и управления в локальных и корпоративных сетях", которая только что появилась (и, соответственно, никаких наработок по ней на кафедре еще ни у кого не было). Я, конечно, обрадовался -- ведь до этого я только вел лабораторные работы, ведь я, повторю, был лишь ассистентом (и в должности ассистента так и уволился из НПИ в 2007 г.).
   За основу нового курса я взял три книги:
   1. Craig Hunt. TCP/IP Network Administration. -- O'Reilly. Second Edition, 1997
   (Про стек протоколов TCP/IP, маршрутизацию пакетов в сети и прочее)
   2. Cricket Liu, Paul Albitz. DNS and BIND. Third Edition. -- O'Reilly, 1998.
   (Про DNS и, в частности, про маршрутизацию почты)
   3. D. Brent Chapman, Elizabeth D. Zwicky. Building Internet Firewalls. First edition. -- O'Reilly, 1995
   (Про построение фаерволов и безопасную организацию сети вообще)
   Книги были немного устаревшими, но в них содержались основы, которые вовсе не потеряли свое значение и к 2004 г.
   Я сделал из них выжимки, перевел на русский язык и так составил по ним курс лекций. И разработал лабораторные работы к этому курсу. Два летних месяца, весь отпуск, я сидел, переводил и составлял лекции; за это время я успел только наполовину -- так что примерно половину лекций я составлял уже в ходе учебного семестра. Тем не менее, у студентов всегда был файл с содержанием всех тех лекций, которые я уже прочитал к текущему моменту (и даже многих последующих лекций).
   Я хотел сделать хороший курс и достаточно сложный; но, как я думаю, он был не сложнее лучших образцов, по которым я сам учился на кафедре. Этими образцами я считаю следующее: курсовой проект по дисциплине "Организация ЭВМ", в котором разрабатывался специализированный вычислитель, по сути простой процессор, а также элементы сетевого программирования (не помню по какому предмету), при изучении которых изучался стек протоколов IPX/SPX. На мой взгляд, мой курс был значительно проще разработки этого простого процессора.
   На мой взгляд, нельзя было придраться ни к содержанию курса, ни к его сложности.
   Курс был интересный, он почти не пересекался с другими курсами; более того -- он, как видно из того, что составляло его основу, был самым что ни на есть необходимым и важным для инженера-системотехника. Вы можете представить себе выпускника кафедры "Электронные вычислительные машины, системы, комплексы и сети", который в 2004 г. не знает основ стека протоколов TCP/IP и основ маршрутизации пакетов в сетях?
   Но, тем не менее, студенты в массе своей почему-то не стали ходить на лекции и лабораторные занятия. Ну, -- подумал я, -- не хотите -- и не надо. Потом получите по заслугам на зачете и экзамене.
   Видите ли, я -- человек тихий и мирный и неконфликтный; из меня можно "вить веревки"; я никогда не "давил", как давит на учеников "педагог-зверь". И, к тому же, моей зарплаты, как я говорил, не хватало на деньги и одежду. Так по какой причине я должен "бегать" за теми, кому уже за двадцать (а некоторые из них уже завели семьи и детей) и упрашивать их прийти послушать лекции и увещевать, чтобы они делали лабораторные занятия?
   Незадолго до окончания курса лекций, почти в самые последние его дни, Галина Ивановна Макогоненко, кандидат наук и доцент кафедры, заместитель заведующего кафедрой, обнаружила что на моих лекциях присутствует мало студентов и сделала мне выговор. Такая наглость Макогоненко вызвала во мне внутреннее возмущение -- мол, что это за юродство старой ведьмы, которая строит из себя невинность, словно не понимает, что творится кафедре?
   Когда пришло время зачета (это было в последние дни года), студенты своим бездельем окончательно вывели меня из себя. Я хотел провести настоящий зачет и настоящий экзамен, то есть поставить две трети незачетов на зачете и две трети двоек на экзамене. И студенты почуяли это. Кроме того -- я решил выписать отстающим много, сверх обычного, часов "дополнительных образовательных услуг" и действительно оказать эти услуги. Ведь если, скажем, двадцать человек прогуляла более половины лекций, то почему не выписать им столько часов, сколько часов лекций они прогуляли, и затем по-настоящему не собрать их вместе и не прочитать этих лекций? (Читать их я собирался уже после Нового Года, в зимнюю сессию.) В общем, своим бездельем студенты так разозлили меня, что я был вне себя; я не припомню, чтобы когда-либо еще так возмущался. Я не брал и не собирался брать взяток; и это означало, что я просто должен был проставить идиотам и наглецам хорошие оценки на экзамене безо всяких усилий с их стороны. Это возмущало меня и я хотел их примерно наказать через реально проведенные "дополнительные образовательные услуги" в большом объеме.
   Естественно, все шло к тому, что две трети студентов обратятся к Тушканову для "посредничества", чтобы он оказал (разумеется, небесплатно) давление на меня при приеме зачетов и экзаменов. Стоял также вопрос: превращусь ли я в Тушкановскую проститутку, которая дозволяет Тушканову брать взятки со своих студентов и потом под давлением Тушканова ставит им хорошие оценки?
   В то время, в 2004 г., Тушканов, как я уже сказал, не был заведующим кафедрой, причем давно, но все равно имел на кафедре большой неформальный вес. Кафедрой же заведовал Ковалев. И, разумеется, делишки Тушканов не мог обделывать (если он их обделывал) без дозволения и ведома Ковалева.
   В эти дни, незадолго перед зачетами, Тушканов, подошел ко мне и спросил о том, каким образом я намереваюсь ставить оценки на экзаменах студентам. Я не помню, что говорил он в точности, но суть его слов была примерно такая. Я шутливо ответил ему, что буду "оценивать знания студентов объективно" и что, по-видимому, придется поставить много двоек -- больше двух третей, и что я намерен пойти на скандал. Я не помню, что в точности я ему тогда сказал, но суть была такая.
   После этого разговора студенты написали на меня "бумагу", то есть жалобу. И я не удивлюсь, что подговорил их так сделать Николай Борисович Тушканов. Впрочем, утверждать этого не могу -- ведь мне мало что известно по этому поводу.
   Добавлю: я помню, что на праздновании Нового Года на кафедре, бывшем в тот же день, в который разбиралось упомянутое заявление студентов на меня, Николай Борисович предложил мне сходить с ним в ресторан (от чего я отказался). Я не могу расценивать это предложение никак иначе, как свидетельство о том, что Николай Борисович уже договорился со студентами о сумме той благодарности, которую они отдадут ему как плату за оказание на меня давление в проставлении оценок на экзамене; и добрый Николай Борисович решил поделиться со мною частью этой суммы и обговорить то, что я должен делать на экзамене, поподробнее. И, разумеется, не вершине всего этого маячил Ковалев...
   В пользу того, что заявление студентами против меня было написано не без Тушканова (или, по крайней мере, Макогоненко), по моему мнению, говорит тот факт, что студенты жаловались на то, что я веду занятия "на низком педагогическом уровне". Как мне кажется, здесь был прокол: как я думаю, студенты к тому времени еще не могли выучиться говорить на говенном канцелярите всяких педагогов.
   Когда я прочитал копию этого заявления, то меня осенило и я воскликнул: "Ого! Вся тушкановская клиентура подписалась!". Ведь эти неуспевающие идиоты и бездельники, следуя логике, должны были неоднократно прибегать к вышеупомянутым "посредническим услугам" Тушканова.
   Мне говорили, что Ковалев, узнав о написанном на меня заявлении, наорал на студентов: не ваше, мол, дело судить о педагогическом уровне преподавателей... Я думаю, как опытный чиновник и знаток нравов НПИ, он понял, что значат эти слова про низкий педагогический уровень с точки зрения законности: толпа обнаглевших студентов-бездельников и студентов-идиотов выдвигает такое обвинение, которое грозит преподавателю заседанием Ученого Совета, на котором тот будет признан "профессионально непригодным".
   Надо сказать, что ассистенты могут читать лекции только по особому разрешению каких-то там инстанций, -- кажется, Ученого Совета факультета. И, следовательно, Ковалев должен был постараться, чтобы Ученый Совет дал мне возможность читать лекции.
   В конце концов, разбирательства с этим заявлением и всякие прочие дела, которым дало толчок это заявление, привели к тому, что я сошел с ума и попал в дурдом -- уже после Нового Года, в 2005 г; причем лежать мне там в 2005 г. пришлось не один раз, а целых два. О том, что привело меня к сумасшествию, подробнее рассказывается в моем заявлении, которое здесь, в этой книге, помечено "ярлыком" 20071027 (это дата подписания наоборот в формате "год-месяц-день"). И, вероятно, после прочтения вводных глав этой книги, читателю прежде всего следует прочитать именно это заявление.
   В связи с полученным от студентов заявлением на меня, перед самим празднованием на кафедре Нового Года, буквально за час до начала праздника, состоялось, так сказать "заседание кафедры в зауженном составе", на котором происходил разбор этого заявление и принималось решение касательно того, что мне следует делать дальше. Я говорю о "заседании кафедры в зауженном составе" потому, что подавляющее большинство работников кафедры из профессорско-преподавательского состава ничего не знало (или делало вид, что ничего не знает) об этом заседании, на котором они должны бы были присутствовать; вместо этого почти все они бродили где-то рядом, ожидая начала праздника.
   Это "заседание кафедры в зауженном составе" в день празднования сотрудниками кафедры Нового Года с точки зрения закона, как ясно, никак не могло бы состояться, если бы заявление студентов против меня не было бы принято к делопроизводству заведующим кафедрой О.Ф. Ковалевым или его заместителем (Г.И. Макогоненко).
   Собственно, оно не могло быть не принято к делопроизводству начальством, разу уж оно было подано им. И такое заявление, ввиду важности обвинений, по-видимому, не мог принять никто, кроме заведующего кафедрой, если только он не отсутствовал. А если он отсутствовал, то такое заявление мог принять лишь его заместитель, Г.И. Макогоненко. Но Ковалев, заведующий кафедрой, был в то время на рабочем месте. Правда, его почему-то не оказалось на этом "заседании кафедры в зауженном составе".
   По сути только от Ковалева зависело, дать ли мне возможность "раздавить" студентов, то есть поставить им более двух третей двоек, то есть, сделать то, чего эти наглецы, бездельники и идиоты и заслуживали, или же дать Тушканову возможность оказать на меня давление. Почему Ковалев мог дать мне такую возможность? Потому, что я мог предоставить ему сведения о посещаемости моих лекций и об успеваемости; и тогда всем бы стало ясно, что обвинения, выдвигаемые против меня студентами -- клевета.
   В общем, заявление было принято к делопроизводству (это, подчеркну, -- моя версия событий) и на меня стали оказывать давление.
   Как видно из упомянутого заявления, 20071027, мою психику долго, около месяца, "раскачивали", нанося по ней удар за ударом столь часто, что она получала следующий удар, не отойдя от удара предыдущего. В конце концов, как сказано, я оказался в психушке.
   Итак, в 2005 году я был дважды госпитализирован в психиатрическую клинику г. Новочеркасска. В первый раз -- в феврале примерно на полтора месяца (был выписан с диагнозом "реактивное состояние" (F32.2)), во второй раз -- в конце весны примерно на три месяца (был выписан с диагнозом "острое полиморфное психотическое расстройство без симптомов шизофрении" (F23.0) или "острое полиморфное психотическое расстройство с симптомами шизофрении (F23.1)). Что касается последнего, второго, диагноза (F23.0 или же F23.1), то я знаю его со слов докторов, которые сообщили мне его, используя более простую формулировку, а именно: "острое полиморфное психотическое расстройство, но не шизофрения)" (То есть: "F23.0 или F23.1, но не F20").
   Все эти диагнозы я, повторю, знаю слов докторов, которые сообщили мне их, используя более простые формулировки, чем "собственно медицинские формулировки",
   Здесь же отмечу, что "реактивное состояние" (F32.2) "в народе" принято называть "нервным срывом".
   Зимой, весной и летом 2005 г. я не мог работать.
   После лечения, особенно после второго лечения, физическое состояние моё было ужасным. Я думал: как я дальше буду работать и на что жить? Ведь, по сути, мне тяжело бы было даже просто стоять и просить милостыню; я не смог бы делать этого чисто по физическим причинам.
   После первого лечения у меня нарушился сон. Легкие снотворные меня "не брали"; тяжелые же снотворные были слишком "тяжелы" для меня -- проснувшись, я впадал в какое-то тяжкое, мрачное состояние, в котором постоянно маячили мысли о самоубийстве. В общем, состояние после приема сильнодействующих снотворных было таким, что я решил лучше мучиться от бессонницы, но их не пить.
   После второго лечения я ни разу не заснул в течение полугода; ночью я, конечно, лежал с закрытыми глазами -- но заснуть так и не мог. В течение этого же полугода меня постоянно, неотступно преследовали мысли о самоубийстве. В таком состоянии я и работал эти полгода в ЮРГТУ (НПИ) (осенний семестр 2005 г.) "преподавал" или, вернее "ассистировал" -- ведь я, повторю, не продвинулся по работе дальше ассистента.
   Олег Федорович Ковалев, заведующий кафедры, отобрал у меня чтение лекций по дисциплине "Технология администрирования и управления в локальных и корпоративных сетях" и передал его Олегу Юрьевичу Дерию, который заново разработал курс лекций и лабораторных работ; более того -- Ковалев поставил меня "ассистировать" Дерию по этому предмету, а именно вести лабораторные занятия.
   Здесь, однако, мне честно надо сказать: я уже ничего не мог бы понять в написанных мною в прошлом, 2004 г., лекциях по этой дисциплине, а даже если бы и мог, то физически не смог бы стоять и читать что-то студентам целую пару. Тем не менее, я каким-то образом всё-таки ездил в ЮРГТУ (НПИ) и "преподавал" там в полуочумелом состоянии.
   Когда я ходил по корпусам ЮРГТУ (НПИ), то лестничные пролеты влекли и манили меня, так и звали броситься вниз и по-быстрому со всем покончить.
   Но мало-помалу мне становилось лучше. В конце концов, я даже перестал принимать психотропные препараты. В 2007 году я уже был в более-менее приличном состоянии.
   Как уже говорилось, подозревать, что с докторской диссертацией О.Ф. Ковалева что-то не так, я начал уже в 2004 году -- но толком выразить этого не мог. И вот летом 2007 года в моей голове что-то "щелкнуло" и я понял, какой нелепостью была эта диссертация. Более того -- ко мне почему-то вернулась работоспособность и летом же 2007 года я написал брошюру [Леонов2007] -- ""Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений", в которой содержалась критика докторской диссертации О.Ф. Ковалева. (Позже, в 2008 г, в дополнение к этой брошюре я написал другую брошюру, [Леонов2008-3], -- "Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры"; я также издал эту брошюру небольшим тиражом.)
   Я решил нанести по Ковалеву удар. Я распечатал эту брошюру в небольшом количестве экземпляров и не первом осеннем заседании кафедры ЭВМ, бывшем в начале сентября 2007 г., раздал эту брошюру всем сотрудникам кафедры из профессорско-преподавательского состава -- в том числе, разумеется, самому О.Ф. Ковалеву.
   При этом я не собирался увольняться с кафедры -- я думал начать процедуру лишения О.Ф. Ковалева ученой степени, продолжая работу в университете. Однако на том же заседании кафедры выяснились новые обстоятельства, не относящиеся к докторской диссертации Ковалева, из-за которых я и принял решение уволиться из университета.
   Дело в том, что, кажется, весной или летом 2007 г. заканчивались пятигодичные сроки контрактов у меня и у О.Ю. Дерия и, соответственно, чтобы продолжить роботу, мы должны были пройти переизбрание (я должен был пройти переизбрание на должность ассистента 11 разряда, а О.Ю. Дерий -- на должность старшего преподавателя 13 разряда). Мое переизбрание произошло в конце весны 2007 г. и до начала лета переизбрания О.Ю. Дерия не было; поэтому я (уж не знаю почему) думал, что он будет переизбираться осенью 2007 года. (До того, как произойдет избрание или переизбрание "по всем правилам", человек, если его контракт уже окончился, может продолжить работать на должности по приказу Ректора.) Написав летом критику докторской диссертации О.Ф. Ковалева, я решил пойти на "вопиющую наглость" -- выставить свою кандидатуру на должность старшего преподавателя, на которую уже наметили переизбрать О.Ю. Дерия, -- при том, что я уже был переизбран на пять лет на должность ассистента. Но на упомянутом заседании кафедры, бывшем в начале сентября 2007 года, я узнал, что О.Ю. Дерий уже был переизбран на должность старшего преподавателя в начале лета. (Причем, как это выяснилось позже, переизбрание это совершилось с нарушением правил, да и само объявление о конкурсе было очень скандальным -- "не там, где это принято делать у нормальных людей"; оно было запрятано "как иголка в стоге сена".)
   Итак, у О.Ф. Ковалева была возможность по-честному разыграть должность ассистента и должность старшего преподавателя между мной и О.Ю. Дерием; и у меня, при таком честном розыгрыше, были все шансы победить -- ибо научных трудов у меня было больше; и они были хоть и ничтожные по сути, но, все-таки, менее ничтожные, чем труды О.Ю. Дерия. Но Ковалев не стал "играть честно". (К тому же, я заработал репутацию сумасшедшего.)
   Узнав, что перевыборы О.Ю. Дерия уже прошили (на упомянутом заседании кафедры), я "хлопнул дверью" и уволился из университета.
   Уйдя из университета, я подробнее разузнал о том, как происходили выборы О.Ю. Дерия, и, найдя нарушения при проведении выборов, попытался отменить результаты этих выборов, что подразумевало их проведение заново. Этому, то есть отмене выборов по причине допущенных нарушений, посвящены мои заявления, помеченные как 20071023, 20071026 и 20090116С. Но все эти заявления так и не принесли желаемого результата -- то есть, отмены результатов выборов. Обращаться же в суд по этому поводу я не стал.
   Как-то, роясь в библиографическом отделе (отделе каталогов) библиотеки ЮРГТУ (НПИ) среди карточек авторефератов диссертаций, я набрел на карточку автореферата докторской диссертации Г.К. Птаха и ради интереса решил изучить этот автореферат. (Это произошло уже после моего увольнения из ЮРГТУ (НПИ); я имел возможность пользоваться библиотекой ЮРГТУ (НПИ) как сторонний читатель -- в то время библиотека уже начала изыскивать способы подработки; в библиографический же отдел библиотеки тогда вообще мог войти любой человек со стороны.) Я ксерокопировал автореферат и начал его читать. Каково же было мое удивление, когда я осознал, что докторская диссертация Г.К. Птаха по своей сути представляет то же самое, что и диссертация О.Ф. Ковалева в том смысле, что ее "центральной темой" является давно и хорошо известный численный метод, по сути тот же, что и в диссертации О.Ф. Ковалева, -- только "изуродованный". (У О.Ф. Ковалева этот метод тоже был "изуродован"). Здесь, опять же, можно сказать, что мне стало ясно, что Птах толком не знал и не понимал, что делает, то есть не знал той области, в которой собирался совершать открытия.
   Осознав, что докторская диссертация Г.К. Птаха -- "липовая", я написал брошюру [Леонов2008-1] -- "Замечания по "методу расщепления"" с критикой этой диссертации и издал эту брошюру небольшим количеством экземпляров.
   Итак, у меня имелась на руках критика двух "липовых" докторских диссертаций -- О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха; и я задумал начать процедуру лишения этих ученых ЮРГТУ (НПИ) их докторских ученых степеней. Этому и посвящена подавляющая часть переписки с различными инстанциями, приводимой в настоящей книги. Разумеется, как и следовало ожидать, желаемого результата -- лишения ученых степеней "липовых" докторов наук -- не последовало. Однако в ходе этой переписки многие ученые ЮРГТУ (НПИ), заседающие диссертационных советах, а также некоторые чиновники Министерства образования и науки РФ, что называется, "показали свое истинное лицо".
   Вспомнив, что под руководством О.Ф. Ковалева защитил кандидатскую диссертацию В.А. Мохов, упоминавшийся выше, я решил просмотреть и её. Оказалось, что она -- тоже "липовая". Критику этой диссертации я написал в виде брошюры [Леонов2008-2] -- "Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки" и издал её небольшим тиражом.
   Далее я предпринял попытку лишить В.А. Мохова ученой степени, написав соответствующее письмо Проректору по научной работе Южного Федерального Университета (создан на базе Ростовского Государственного Университета) -- смотри заявление, помеченное как 20080317A; но эта попытка не принесла результата.
   Наконец, прошло пять лет; наступил 2012 год, в котором снова должны были состояться выборы на должность старшего преподавателя кафедры ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), которую замещал О.Ю. Дерий. И решил выставить на эту должность свою кандидатуру. Этим выборам посвящены три последних приводимых ниже документа, помеченные как 20120524, 20120621 и 20120727.
   В этот раз, спустя пять лет, О.Ю. Дерий с точки зрения количества и разновидностей научных трудов, (требуемых и учитываемых за последние пять лет) для избрания старшим преподавателем, был немного впереди меня; на выборах, происходивших на кафедре ЭВМ, я не получил ни одного голоса в свою пользу.
   Упомяну, что на этих выборах я для смеха включил в список своих научных трудов под видом рукописной монографии свою книгу "Религиозное изуверство и симптомы нравственного помешательства в иудаизме. Синагога как преступное сообщество" ([Леонов2011]).
   А, вообще говоря, надо сказать, что на том памятном заседании я юродствовал и вел себя как клоун. Мне, так сказать, приятно было навестить старых знакомых -- Олега Федоровича Ковалева, Галину Ивановну Макогоненко и других...
   Кроме того, упомяну здесь следующее. Кажется, в 2008 г. я предпринял две попытки устроиться старшим преподавателем на другие кафедры того же факультета, на котором находится и кафедра ЭВМ, -- но безрезультатно. Все -- и я сам, и все присутствовавшие на заседаниях кафедр, понимали фарсовость ситуации, когда на кафедру имеет наглость ломиться какой-то чужак и конкурировать с тем, кто на ней уже давно работал или с тем, кого уже решили взять.
   Вот, собственно говоря, и все, что я хотел сказать перед тем, как читатель приступит к чтению моей переписки с различными инстанциями по поводу выборов на кафедре ЭВМ в 2007 г. и 2012 г, а также, что самое важное, по поводу лишения ученых степеней О.Ф. Ковалева, Г.К. Птаха и В.А. Мохова.
   Здесь же добавлю, что все упоминавшиеся выше мои брошюры (изначально предназначавшиеся для свободного распространения), [Леонов2007], [Леонов2008-1], [Леонов2008-2] и [Леонов2008-3], 09.06.2009 г. были переданы мной в Общественные Владения (Public Domain) по лицензии CC0 1.0 Universal (CC0 1.0). Содержимое этих брошюр, с небольшими несущественными правками, приводится в конце данной книги.
  

Что случилось впоследствии

  
   После 2005 года приступы психического заболевания не проявлялись у меня аж до 2013 года. Те диагнозы, которые были мне поставлены в 2005 году, были диагнозами полностью обратимых психических заболеваний и поэтому, из-за этого отсутствия повторных приступов, в 2011 году я был снят с динамического наблюдения в психоневрологическом диспансере. Но приступы повторились в 2013 году и в 2019 году.
   В 2013 году (это мне известно со слов докторов психиатрической клиники) мне был поставлен диагноз "шизофрения", то есть, F20; более точный диагноз (согласно принятым международным кодам психических заболеваний) мне неизвестен.
   В 2019 году мне был поставлен диагноз "параноидная шизофрения", то есть, F20.00.
   Кафедру ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) в 2013 году "разогнали". Часть людей перешла работать на другие кафедры, часть -- вообще ушла из института. По какой причине, какая там подковерная борьба там, в университете и на факультете, шла -- это мне неизвестно.
   В 2010 г. О.Ф. Ковалев попался на взятке и был осужден на условный срок; естественно, при этом он был отстранен от руководства кафедрой (и то памятное для меня заседание кафедры в 2012 г. вела Галина Ивановна Макогоненко, и.о. заведующего кафедры). После разгона кафедры ЭВМ он работал на других кафедрах того же самого факультета. Олег Федорович умер рано, не дожив до 56 лет, в 2016 году, будучи профессором кафедры "Автоматика и телемеханика".
   Где сейчас Николай Борисович Тушканов, что он делает -- мне неизвестно. Где сейчас Геннадий Константинович Птах -- мне тоже неизвестно. Неизвестно мне и то, где сейчас и что делает Галина Ивановна Макогоненко.
   Василий Александрович Мохов сейчас -- сотрудник кафедры ПОВТ ЮРГТУ (НПИ), доцент; также он является заместитель декана по научной работе.
   Но вернемся к тому, что Ковалев попался на взятке.
   В Интернете висит один любопытный документ (http://infocourt.ru/car_rostov-sud_rostovobl_yufo/ug/4932739/kovalev-of-osuzhden-za-popytku-polucheniya-vzyatki.html; дата обращения: 08.02.2020):
  
   Начало цитирования
  
   Судья Кравченко С.М. Дело N 7783.
  
   КАССАЦИОННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  
   г. Ростов-на-Дону. 8 декабря 2010 г.
  
   Судебная коллегия по уголовным делам Ростовского областного суда в составе:
   председательствующего Ходакова А.В.,
   судей Юрченко В.И., Тихонова Д.В.
   при секретаре Трескове А.П.
   рассмотрела в судебном заседании от 8 декабря 2010 года
   кассационное представление государственного обвинителя Лозневого В.С. и кассационную жалобу осуждённого Ковалева О.Ф.
   на приговор Новочеркасского городского суда Ростовской области от 17 августа 2010 года, которым
   КОВАЛЕВ Олег Федорович, родившийся 13 октября 1960 года в г. Новочеркасск Ростовской области, ранее не судимый,
   осуждён по ч. 3 ст. 30, ч. 1 ст. 290 УК РФ к 2 годам лишения свободы, с лишением права занимать руководящие должности в государственных образовательных учреждениях и заниматься преподавательской деятельностью сроком на 6 месяцев.
   В соответствии со ст. 73 УК РФ назначенное наказание постановлено считать условным, с испытательным сроком 2 года и возложением обязанности не менять постоянного места жительства без уведомления уголовно-исполнительной инспекции, куда являться на регистрацию.
   До вступления приговора в законную силу мера пресечения в виде обязательства о явке, оставлена без изменения.
   Суд распорядился вещественными доказательствами.
   Заслушав доклад судьи Юрченко В.И., выступление осуждённого Ковалева О.Ф., поддержавшего доводы кассационной жалобы, и мнение прокурора Минькова М.М., не поддержавшего доводы кассационного представления, и полагавшего необходимым приговор оставить без изменения, судебная коллегия
  
   УСТАНОВИЛА:
  
   Ковалев О.Ф. признан виновным и осуждён за то, что работая в должности заведующего кафедры "Электронных вычислительных машин" ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) г. Новочеркасска Ростовской области, являясь должностным лицом, председателем государственной экзаменационной комиссии, 7 апреля 2010 года, примерно в 22 часа 20 минут, возле дома N 83-а по ул. Энгельса в г. Новочеркасске Ростовской области передал Фролову К.А., являющемуся студентом группы 5-2 факультета информационных технологий и управления, ответы на тесты государственного экзамена, который должен был состояться на следующий день, за что получил в виде взятки деньги в сумме 2500 рублей. Однако, довести свой преступный умысел до конца не смог, поскольку был задержан сотрудниками милиции.
   Ковалев О.Ф. вину признал полностью и заявил ходатайство о постановлении приговора без проведения судебного разбирательства.
   Уголовное дело в отношении Ковалева О.Ф. было рассмотрено судом в особом порядке, без проведения судебного разбирательства.
   В кассационной жалобе осуждённый Ковалев О.Ф. просит приговор изменить как чрезмерно суровый, исключив из него указание о лишении его права занимать руководящие должности в государственных образовательных учреждениях и заниматься преподавательской деятельностью сроком на 6 месяцев. Он считает, что хотя суд и привёл в приговоре смягчающие наказание обстоятельства, но при назначении наказания не в полной мере их учёл. Суд не учёл такое обстоятельство, как "активное способствование раскрытию преступления". Лишив его права на преподавательскую работу, а других навыков для заработка денег он не имеет, суд поставил его семью на грань выживания.
   В кассационном представлении государственный обвинитель Лозневой В.С. просит приговор отменить как незаконный в связи с нарушением уголовного закона; неправильного применения уголовно-процессуального закона; в связи с несправедливостью назначенного наказания. Он считает, что Ковалеву О.Ф. назначено чрезмерно мягкое наказание. Суд не учёл тяжесть совершенного преступления, обстоятельства совершённого преступления, личность подсудимого, что является существенным нарушением ст. 379 УПК РФ.
   Проверив материалы уголовного дела, обсудив доводы кассационной жалобы и кассационного представления, судебная коллегия находит приговор подлежащим изменению.
   Суд правильно квалифицировал действия Ковалева О.Ф. по ч. 3 ст. 30, ч. 1 ст. 290 УК РФ по указанным в приговоре признакам.
   Наказание назначено в соответствии с требованиями ч. 7 ст. 316 УПК РФ.
   Доводы государственного обвинителя о чрезмерной мягкости назначенного наказания, судебная коллегия находит несостоятельными, не нашедшими подтверждения в материалах уголовного дела.
   При этом, судебная коллегия соглашается с доводами кассационной жалобы осуждённого Ковалева О.Ф. о том, что суд, при назначении наказания не учёл такое обстоятельство, как его "активное способствование раскрытию преступления".
   Как следует из приговора суда, Ковалев О.Ф. полностью признал свою вину и раскаялся в совершенном деянии, что суд признал смягчающими наказание обстоятельствами.
   Кроме того, из материалов уголовного дела следует, что Ковалев О.Ф. с первого дня расследования уголовного дела, активно способствовал в раскрытии и расследования преступления /т. 1, л.д. 69-70/. В то же время, суд не нашёл обстоятельств, отягчающих наказание.
   В силу изложенного, судебная коллегия полагает необходимым изменить приговор суда, признать в соответствии с п. "и" ч. 1 ст. 61 УК РФ "активное способствование раскрытию и расследованию преступления" Ковалевым О.Ф., в качестве смягчающего наказания обстоятельства.
   С учётом отсутствия отягчающих вину обстоятельств, наказание Ковалеву О.Ф. следует определить с учётом правил ст. 62 УК РФ, и снизить назначенное наказание.
   Суд обоснованно нашёл основания для применения требований, предусмотренных ст. 73 УК РФ к основному наказанию и решил, что исправление Ковалева О.Ф. возможно без изоляции от общества.
   Судебная коллегия не находит законных оснований для исключения из приговора указания о лишении Ковалева О.Ф. права занимать руководящие должности в государственных образовательных учреждениях и заниматься преподавательской деятельностью сроком на 6 месяцев.
   Нарушений, влекущих в соответствии со ст. 379 УПК РФ отмену приговора, из материалов уголовного дела не усматривается.
   На основании изложенного, руководствуясь ст. ст. 377, 378 и 388 УПК РФ, судебная коллегия
  
   ОПРЕДЕЛИЛА:
  
   Приговор Новочеркасского городского суда Ростовской области от 17 августа 2010 года в отношении КОВАЛЕВА Олега Федоровича изменить:
   -- признать смягчающим наказание обстоятельством в соответствии с п. "и" ч. 1 ст. 61 УК РФ "активное способствование раскрытию и расследованию преступления";
   -- смягчить наказание, назначенное Ковалеву О.Ф. по ч. 3 ст. 30, ч. 1 ст. 290 УК РФ до 1 года 8 месяцев лишения свободы.
   В остальной части этот же приговор в отношении КОВАЛЕВА Олега Федоровича оставить без изменения, а кассационную жалобу осуждённого и кассационное представление государственного обвинителя - без удовлетворения.
   Председательствующий
   Судьи:
  
   Конец цитирования
  
   Давайте остановимся на этих вот словах:
   "Ковалев О.Ф. признан виновным и осуждён за то, что работая в должности заведующего кафедры "Электронных вычислительных машин"... являясь должностным лицом, председателем государственной экзаменационной комиссии, 7 апреля 2010 года... передал Фролову К.А., являющемуся студентом группы 5-2 факультета информационных технологий и управления, ответы на тесты государственного экзамена, который должен был состояться на следующий день, за что получил в виде взятки деньги в сумме 2500 рублей".
   Вам не кажется здесь что-то странным? Давайте снова применим холмсов дедуктивный метод. Вот, Фролов К.А. получил за 2500 руб. ответы на тесты госэкзамена. Спросим: а почему бы, если все так и было, этому Фролову не начать самому продавать эти ответы другим студентам -- скажем, по 300 руб. или по 500 руб.? Он бы не остался внакладе. Неужто Ковалев не мог сообразить такой простой вещи, что так поступать нельзя, что нужно продавать ответы сразу всем студентам, чтобы они потом не торговали ответами промеж собой? Вестимо, мог. Тогда логично предположить, что Фролов покупал ответы не только для себя, но и для всех. Но тогда это должны быть не 2500 руб., а значительно больше! Каким же образом получились те жалкие 2500 руб. в материалах следствия? Здесь дедуктивный метод снова упирается в стену. Загадка, тайна.
   Есть здесь и другая тайна. Обычно в таких случаях студенты и преподаватель все-таки находят консенсус и поэтому студенты не обращаются в правоохранительные органы. (Как будто кафедра ЭВМ какая-то особая.) Но тут мы видим нечто очень странное... Кто же "подставил" Ковалева? Что вывело его, обратившегося в милицию, из себя? Чем Ковалев так насолил ему? Тоже загадка, тайна.
  

Переписка

  
   (20071023) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 23.10.2007 входящий N 01-48/30 от 23.10.2007 (заявитель не располагает вторым экземпляром заявления, заверенным сотрудником Канцелярии ЮРГТУ (НПИ)) -- о выборах 2007 г. (см. R20071102)
  
   Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 23.10.2007 входящий N 01-48/30 от 23.10.2007 (заявитель не располагает вторым экземпляром заявления, заверенным сотрудником Канцелярии ЮРГТУ (НПИ))
  
   Начало цитирования
  
   Ректору ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Лунину Л.С.
   Леонова Андрея
   Владимировича
   (бывший сотрудник)
   (д. тел. [личные данные скрыты])
  

Заявление

  
   25 мая 2007 г. на кафедре ЭВМ был объявлен конкурс на замещение должности ст. преп. (13 разряд). Объявление о конкурсе было опубликовано в N 41 от 25 мая информационно-рекламного еженедельника "Дон-инфо. Новочеркасск" (по сведениям из отдела кадров). Это издание содержит, в основном, рекламу и объявления типа "Куплю-продаю", "Ипотека", "Операции с недвижимостью" и т.д. и имеет более полусотни страниц; "Рядовой" номер издания имеет около 7000 объявлений.
   В газете "Кадры индустрии" объявления нет. (Ксерокопия газеты от 24 мая с конкурсными объявлениями прилагается.)
   Я считаю, что, по сути, произошло сокрытие от возможных кандидатов на замещение должности информации о проведении конкурса, то есть, по существу, нарушен сам принцип состязательности.
   Я или другой кандидат не обязаны (если находятся в здравом уме) скупать всю прессу в планетарном масштабе -- ведь по существующим правилам (см. документ "Порядок проведения конкурсного отбора...", который всем хорошо известен) объявление может быть дано в "New York Times" или в "Жэнминь Жибао".
   Податель заявления, например, имеет в 2 раза больше трудов, чем на сегодняшний день зарегистрировано в базе данных Университета у кандидата, прошедшего конкурс (О.Ю. Дерий) (этот список прилагается) и эти труды, мягко говоря, не таковы, как "дежурная" статья, которая также прилагается.
   На основании вышеизложенного прошу провести конкурс заново по инициативе руководства института во избежании судебного разбирательства.
  
   Дата (23.10.2007)
   Подпись
  
   [Заявление имеет три приложения: Приложение A -- ксерокопия части последней страницы газеты "Кадры индустрии", N 41 от 25 мая 2007 г., а именно той части, где по традиции располагаются объявления о конкурсных отборах на замещение вакантных должностей; Приложение B -- список научных трудов О.Ю. Дерия, имевшихся на тот момент в базе данных ЮРГТУ (НПИ); Приложение C -- "дежурная" статья О.Ю. Дерия "Особенности компьютерного управления процессом напыления", напечатанная в источнике: Моделирование. Теория, методы и средства: Материалы VII Международной научно-практической конференции, г. Новочеркасск, 6 апр. 2007 г.: В 3 ч. Часть 1.//Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. -- 76 с.]
   [Приложения не приводятся]
  
   Конец цитирования
  
   Приложения не приводятся.
   Данное заявление было подано не через Почту России, а непосредственно через Канцелярию ЮРГТУ (НПИ); при этом я забыл заверить второй экземпляр заявления, оставляемый у заявителя и, таким образом, у меня нет заверенного сотрудником Канцелярии второго экземпляра заявления. По традиции сотрудник Канцелярии, принимающий заявление, должен сообщить заявителю идентификатор, присвоенный в Канцелярии данному заявлению; и сотрудник канцелярии сделал это -- данное заявление (документ) имеет "внутренний" идентификатор Канцелярии "входящий N 01-48/30 от 23.10.2007".
   На данное Заявление был дан ответ -- смотри (R20071102) Ответ Ректора ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунина исходящий от 02.11.2017 N 38-3/236 на Заявление А.В. Леонова входящий N 01-48/30 от 23.10.2007.
   Отсутствие у меня на руках второго экземпляра заявления, заверенного сотрудником Канцелярии, заставило меня через несколько дней подать другое заявление, уже через Почту России -- Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 26.10.07 (номер письма 34644895074578; вручено 30.10.2007); в этом Заявлении более подробно обосновывается то, почему упомянутый конкурс на замещение должности старшего преподавателя кафедры ЭВМ должен быть проведен заново.
  
   (20071026) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 26.10.2007 (номер письма 34644895074578; вручено 30.10.07) -- о выборах 2007 г. более подробно
  
   Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 26.10.07 (номер письма 34644895074578; вручено 30.10.2007)
  
   Начало цитирования
  
   Ректору ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Лунину Л.С.
   Леонова Андрея
   Владимировича
   (бывшего сотрудника)
  

Заявление

   Данное заявление состоит из двух частей и трех приложений. Список приложений приведен в конце заявления. Заявление имеет шесть страниц. На оборотной стороне каждой страницы оставлен образец почерка заявителя типа "Страница номер такой-то. Всего страниц -- шесть.", а также роспись заявителя.

Часть I

   Далее под "Порядком" понимается следующий документ:
   "Порядок проведения конкурсного отбора на замещение должностей научно-педагогических работников в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский Политехнический Институт)", который действует на момент, которым датировано данное заявление.
   Документ утвержден Ректором ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Луниным Л.С.
   Под "Положением" далее понимается следующий документ:
   "Положение о порядке замещения должностей научно-педагогических работников в высшем учебном заведении Российской Федерации".
   Документ утвержден приказом Министерства образования России от 26.12.2002 г., N 4114.
   Упомянутое Положение служит "правовой базой" для Порядка (наряду с некоторым другими документами); По сути, Порядок является "конкретным применением" Положения.
   Под "директором института" далее, видимо, следует понимать и обычного декана факультета. Такое именование декана факультета вызвано различными реорганизациями, которые претерпел ЮРГТУ (НПИ).
  
   Прежде, чем выдвинуть ряд требований в части I настоящего Заявления, я вынужден сделать несколько замечаний.
  
   Замечание 1 (по пункту 4 Порядка).
   Конкурсный отбор объявляется ...в периодической печати, в т.ч. в газете "Кадры индустрии" или других средствах массовой информации...
   Эта фраза утверждает, что конкурсный отбор может быть объявлен в любом периодическом печатном издании, которое удовлетворяет критерию "массовости". Упоминание газеты "Кадры индустрии" здесь никоим образом не говорит о том, что она является неким "привилегированным" печатным изданием для объявления конкурса; здесь имеется только констатация того факта, что упомянутая газета является средством массовой информации, то есть, удовлетворяет критерию "массовости" как "средство информации" и того факта, что она удовлетворяет критерию "периодичности".
   Напомним, что газета "Кадры индустрии" выходит тиражом 1000 экземпляров два раза в месяц; при этом летом она не выходит более месяца. Таким образом, по сути,
   Конкурсный отбор может быть объявлен в любом периодическом печатном издании с тиражом не менее 1000 экземпляров; при этом для данного издания допустимы перебои в периодичности минимум в один месяц в год.
   Далее мы не будем упоминать про возможность перебоев в периодичности.
   Несомненно, к "периодической печати" относятся не только газеты, выходящие несколько раз в месяц, но и журналы, выходящие раз в месяц и раз в квартал. Сюда же можно отнести и "толстые" ежегодники, но мы этого делать не будем.
   Итак,
   Конкурсный отбор может быть объявлен в любом периодическом печатном издании с тиражом не менее 1000 экземпляров, выходящим не менее четырех раз в год.
   Заметьте, что не оговаривается язык печатного издания и тот язык, на котором может быть объявлен конкурсный отбор. Также не оговариваются город, регион и страна, в которой выходит "печатное издание". Слово "любом", которое мы вставили для ясности, следует понимать в самом широком смысле.
   Таким образом, конкурсный отбор, например, может быть объявлен:
   1. В городской газете города Новочеркасска.
   2. В городской газете города Азова
   3. В краевой газете Краснодарского Края
   4. В газетах "Московский Комсомолец" или "СПИД-инфо"
   5. В газете "New York Times" на английском или в газете "Жэнминь Жибао" на китайском иероглифами.
   6. В маленькой провинциальной газете КНР на китайском иероглифами.
   7. В бразильском журнале для домохозяек на португальском.
   Продолжать, видимо, нет смысла.
   Хочу подчеркнуть - из того, что объявления конкурса нет в привычном месте - газете "Кадры индустрии" - вовсе не следует, что надо лихорадочно просматривать все прочие печатные издания города Новочеркасска, включая чисто рекламные. Возможно, вам более повезет, если вы начнете учить японский язык и иероглифы, переберетесь на Хоккайдо и начнете следить за тем, что происходит в газетах маленьких городков...
  
   Замечание 2 (по пункту 4 Порядка).
   Конкурсный отбор объявляется ректором (проректором по учебной или научной работе, директором института (филиала)) в периодической печати.
   Поскольку объявление конкурсного отбора - прерогатива вышеозначенных лиц, то они несут полную ответственность за то, в какой стране, в каком городе, на каком языке, в каком периодическом печатном издании с тиражом свыше 1000 экземпляров произошло объявление конкурса.
  
   Замечание 3 (по пункту 4 Порядка).
   Конкурсный отбор объявляется ... не менее чем за 2 месяца до его проведения.
   Без комментариев.
  
   Замечание 4 (по пункту 14 Порядка).
   Как ясно из пункта 14 Порядка, конкурсный отбор претендентов на должности "в обычном порядке" проводится на заседании Ученого совета факультета либо заседании Ученого совета университета в зависимости от того, кто и на какую должность избирается. Таким образом, от объявления конкурса в печатном издании до соответствующего заседания Ученого совета (факультета или института) должно пройти не менее двух месяцев.
  
   Замечание 5 (по пункту 14 Порядка).
   В пункте 14 Порядка есть следующее место:
   Ученый совет университета рассматривает также ... конкурсные дела претендентов, в которых были допущены нарушения Положения при проведении конкурсного отбора.
   Это Положение упоминается в Порядке в качестве первого и, вероятно, главного "источника" для Порядка. При этом в 14 пункте Порядка не оговаривается, насколько далеко может зайти нарушение Положения.
   Данные слова я не могу понять иначе, чем следующим образом: если при проведении конкурсного отбора претендент узнал об объявлении конкурса и подал заявление, но при проведении данного конкурса имеются какие-либо нарушения Положения, то Ученый совет ЮРГТУ (НПИ) фактически вправе объявить такие нарушения "ничего не значащими", проголосовать за подавшего заявление кандидата и "утвердить" его кандидатуру, а не проводить вновь конкурсный отбор таким порядком, который оговорен Положением.
   В частности, пункт 3 Положения гласит:
   Конкурсный отбор объявляется ректором (проректором, руководителем филиала) вуза в периодической печати или других средствах массовой информации не менее чем за два месяца до его проведения.
   Как видим, пункт 4 Порядка почти дословно воспроизводит пункт 3 Положения.
   Повторим, 14 пункт Порядка не оговаривает, насколько далеко могут зайти "нарушения Положения при проведении конкурсного отбора". Например, Ученый совет университета может закрыть глаза на то, что конкурсный отбор объявлен не за два месяца до его проведения, а за полтора или за месяц и несколько дней. Интересно также - "признает" ли Ученый совет университет конкурсный отбор, объявленный руководителем кафедры или простым преподавателем?
   Пункт 4 Положения гласит:
   Срок подачи заявления для участия в конкурсном отборе - один месяц со дня опубликования объявления о конкурсе.
   В этом с Положением согласен пункт 6 Порядка. Но Ученый совет университета, в соответствии с пунктом 14 Порядка может сократить срок с месяца до трех или двух недель.
   Возникает вопрос: может ли Ученый совет университета, основываясь на Порядке, вообще не объявлять о проведении конкурсного отбора в средствах массовой информации, а сообщить об этом лишь узкому кругу лиц, установить срок подачи заявлений в один час с 2 до 3 часов ночи, а утром провести конкурсный отбор?! Теоретически, как это следует из пункта 14 Порядка - может. При этом, повторим, конкурсный отбор может быть объявлен самим претендентом!
   Тем не менее, несомненно одно - подобные конкурсы, как бы странно они не выглядели, в соответствии с Порядком может проводить только Ученый совет университета, а не Ученые советы факультетов.
  
   Замечание 6 (по пункту 3 Положения)
   Интересно, что пункт 3 Положения допускает объявление конкурсного отбора не только в периодической печати, но и в "других средствах массовой информации" - например, на Internet-сайтах, зарегистрированных как средство массовой информации. Если бы составители Порядка заимствовали пункт 3 Положения дословно, то возможно было бы создать сайт на арабском языке для верблюдоводов с именем www.(бессмысленный набор букв и цифр).сom, "физически" разместить его за пределами России, зарегистрировать как средство массовой информации (для "других средств" массовой информации даже не требуется периодичность, то есть, обновляемость), а затем неожиданно разместить на нем конкурсное объявление, написанное иероглифами.
  
   Замечание 7 (о необходимости руководствоваться и другими соображениями).
   Пункт 3 Положения, на мой взгляд, является предельно общим указанием, которое "на местах" люди должны применять не бездумно, а руководствуясь также другими "общими" соображениями, здравым смыслом, общеупотребительным значением слов и, в конце концов, совестью.
   Не ясно, предполагали ли составители Положения, что его указания будут использованы именно таким -- "предельно-буквальным" способом в "лучших" традициях талмудизма. Возможно, им просто не приходило в голову, что в ЮРГТУ (НПИ) решат прятать объявления о конкурсе так, что "непривилегированные" претенденты будут вынуждены искать их, как иголку в стогу сена.
   Например, само понятие "конкурс" - "состязание", предполагает, что проводиться соревнование, а соревнование, по понятиям, принятым в обществе (не знаю, какие понятия приняты в обществе ученых ЮРГТУ и прошу мне их разъяснить), подразумевает "честную игру". Прежде всего, ясно и недвусмысленно претенденты на "приз" должны быть оповещены о том, где и когда это соревнование будет проходить. Именно этому, в соответствии со здравым смыслом, и должно служить объявление конкурсного отбора в "периодической печати".
   На мой взгляд, должна существовать конкретная общедоступная газета, отсутствие публикации в которой автоматически делает проведенный конкурсный отбор "недействительным". В "общественном сознании", такой газетой де-факто является университетская газета "Кадры индустрии".
   Существующий Порядок автоматически превращает ряд конкурсов (возможно, "самых деликатесных") в грязную игру, а тех, кто их проводит -- в шулеров-наперсточников, ибо следить за сотнями тысяч печатных изданий на разных языках может только спецслужба крупного государства.
  
   На основании вышеизложенного требую:
  
   1. Внести в Порядок правило, согласно которому при отсутствии объявления о конкурсном отборе в газете "Кадры индустрии" результаты конкурсного отбора автоматически аннулируется, а конкурсный отбор в кратчайшие сроки проводится повторно.
   2. Убрать из Порядка правило, позволяющее Ученому совету университета попирать все правила Положения, из которого заимствованы многие правила Порядка, то есть, фактически лишить его права попирать сам Порядок (смотри пункт 14 Порядка).
   3. Разъяснить общественности, на что опирается пункт 14 Порядка, наделяющий Ученый совет университета подобными полномочиями в ближайшем номере газеты "Кадры индустрии".
   4. В нескольких номерах газеты "Кадры индустрии" (последовательно) немедленно опубликовать список всех сотрудников Университета из числа ППС и занимаемых ими должностей, срок истечения контракта которых завершается 01 марта 2008 года (включительно) и позже, для которых (сотрудников) объявления о конкурсном отборе были даны не в газете "Кадры индустрии".
   5. Появление "должности" в означенном выше списке должно влечь автоматическое аннулирование результатов выборов и проведение повторных выборов на эту должность в кратчайшие сроки по первому же заявлению на имя ректора лица, желающего претендовать на данную должность (именно желающего, а не "имеющего право").
  

Часть II

  
   25 мая 2007 года в информационно-рекламном еженедельнике "Дон-Инфо. Новочеркасск" (N 41 за 2007 года) был объявлен конкурсный отбор на должность старшего преподавателя кафедры ЭВМ ЮРГТУ (НПИ). 26 июня 2007 года состоялось заседание кафедры ЭВМ, на котором была принята рекомендация на занятие должности. Конкурсный отбор был проведен 27 июня 2007 года. К сожалению, мне неизвестно, где происходил конкурсный отбор -- на заседании Ученого совета соответствующего факультета или заседании Ученого совета университета.
   Требую немедленно аннулировать результаты проведения конкурсного отбора на должность старшего преподавателя 13 разряда кафедры ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), который (отбор) был объявлен 25 мая 2007 года в информационно-рекламном еженедельнике "Дон-Инфо. Новочеркасск" (N 41 за 2007 год) по следующим причинам:
   1. По причинам, изложенным в Части I настоящего Заявления -- то есть, по причине фактического сокрытия проведения конкурсного отбора от возможных претендентов, что лишило конкурс "статуса" "честного соревнования".
   2. От объявления конкурса (25 мая) до конкурсного отбора (27 июня) прошло менее двух месяцев; таким образом, имеет место нарушение пункта 4 Порядка. В соответствии с пунктом 14 Порядка, конкурсное дело претендента должен рассматривать Ученый совет университета, а не ученый совет факультета. Если дело претендента рассматривалось на Ученом совете факультета (я предполагаю именно это), то имело место нарушение пункта 14 Порядка -- ученый совет факультета не вправе рассматривать подобные конкурсные дела.
   Требую немедленно провести конкурс на замещение должности старшего преподавателя кафедры ЭВМ 13 разряда повторно, причем объявление конкурса должно быть сделано в ближайшем номере газеты "Кадры индустрии".
   Кроме того, требую:
   1. Требую сообщить, кто объявил конкурсный отбор в информационно-рекламном еженедельнике "Дон-Инфо. Новочеркасск" N41 от 25 мая 2007 года на замещение вакантной должности старшего преподавателя кафедры ЭВМ ЮРГТУ (НПИ). (Имеется в виду пункт 4 и пункт 14 Порядка). Требую указать фамилию, имя, отчество, ученую степень, ученое звание этого лица и занимаемую им должность (на момент объявления конкурса).
   2. Повторюсь: от объявления конкурса (25 мая) до конкурсного отбора (27 июня) прошло менее двух месяцев; таким образом, имеет место нарушение пункта 4 Порядка. В соответствии с пунктом 14 Порядка, конкурсное дело претендента должен рассматривать Ученый совет университета, а не ученый совет факультета. Требую сообщить, где именно проходило рассмотрение конкурсного дела претендента -- на заседании Ученого совета факультета или на заседании Ученого совета университета, а также дать выписку из заседания с указанием присутствующих, видом голосования (тайное/открытое) и результатами голосования при рассмотрении конкурсного дела претендента.
   3. Требую предоставить выписку из заседания кафедры ЭВМ от 26 июня с указанием присутствовавших, отчетом претендента на должность, прошедшего впоследствии конкурсный отбор, видом и результатами голосования по данному претенденту, а также указанием того срока, на который было рекомендовано избрание.
   4. Требую предоставить копию списка научных трудов претендента, прошедшего конкурсный отбор, который был представлен им на этот отбор. Требую заверить копию у секретаря Ученого совета.
   5. Требую предоставить список научных трудов претендента, прошедшего конкурсный отбор, который имелся в базе данных научно-библиографического отдела библиотеки ЮРГТУ (НПИ) на 01 сентября 2007 года, заверенный работником научно-библиографического отдела.
   В случае отказа удовлетворить всем требованиям, изложенным в части II настоящего Заявления, результаты конкурсного отбора будут оспорены в суде.
  
   Список приложений:
  
   Приложение A. Ксерокопия фрагмента страницы газеты "Кадры индустрии" от 24 мая 2007 года с объявлениями конкурсных отборов.
   Приложение B. Ксерокопия фрагмента страницы информационно-рекламного еженедельника "Дон-Инфо. Новочеркасск" N41 от 25 мая 2007 года с объявлением конкурсного отбора на замещение должности старшего преподавателя кафедры ЭВМ ЮРГТУ (НПИ).
   Приложение C. Образец научного творчества претендента, прошедшего конкурсный отбор, объявленный в Приложении B.
   Приложение D. Почтовый адрес для связи с заявителем.
  
   Дата (26.10.07).
   Подпись.
  
   [Приложение А не приводится]
   [Приложение B не приводится]
   [Приложение С не приводится. В нем содержится статья О.Ю. Дерия "Особенности компьютерного управления процессом напыления", напечатанная в источнике: Моделирование. Теория, методы и средства: Материалы VII Международной научно-практической конференции, г. Новочеркасск, 6 апр. 2007 г.: В 3 ч. Часть 1.//Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. -- 76 с.]
  

Приложение D

  
   Со мной, подателем сего заявления, в настоящее время можно связаться по следующему адресу (адрес проживания):
  
   346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
   Леонов Андрей Владимирович
  
   [номер письма 34644895074578; вручено 30.10.2007]
  
   Конец цитирования
  
   По сведениям, полученным мною от сотрудника Отдела кадров ЮРГТУ (НПИ), конкурсное дело претендента (О.Ю. Дерия, единственного претендента) на замещение вакантной должности старшего преподавателя кафедры ЭВМ рассматривалось Ученым советом факультета, а не Ученым советом университета, что в данном случае было нарушением правил -- как это объяснено выше, в Заявлении.
   На данное заявление ответ не был получен; на предшествующее, менее полное и обоснованное, заявление по тому же поводу, (20071023) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 23.10.2007 входящий N 01-48/30 от 23.10.2007, ответ был дан -- смотри (R20071102) Ответ Ректора ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунина исходящий от 02.11.2017 N 38-3/236 на Заявление А.В. Леонова входящий N 01-48/30 от 23.10.2007.
  
   (R20071102) Ответ Ректора ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунина исходящий от 02.11.2017 N 38-3/236 на Заявление А.В. Леонова входящий N 01-48/30 от 23.10.2007 -- о выборах 2007 г. (см. 20071023)
  
   Ответ Ректора ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунина исходящий от 02.11.2017 N 38-3/236 на Заявление А.В. Леонова входящий N 01-48/30 от 23.10.2007
  
   Начало цитирования
  
   Федеральное агентство по образованию
   Государственное образовательное учреждение
   высшего профессионального образования
   Южно-Российский
   государственный технический университет
   (Новочеркасский политехнический институт)
   346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132
   Тел.: (863-52) 2-33-44, 5-55-14
   Факс (863-52) 2-72-69
   Е-mail: ngtu@novoch.ru
   Исходящий
   от 02.11.2007 N 38-3/236
   [Входящий не указан]
  
   Леонову Андрею Владимировичу
   г. Новочеркасск
   [личные данные скрыты]
  
   Изложенные в Вашем заявлении от 23.10.2007 г. факты были проверены. Сообщаем Вам, что конкурс на замещение должности старшего преподавателя кафедры "ЭВМ" был проведен в соответствии с Положением о порядке замещения должностей научно-педагогических работников в высшем учебном заведении Российской Федерации, утвержденным приказом Минобразования РФ от 26.11.2002 г. N 4114 и порядком проведения конкурсного отбора на замещение должностей научно-педагогических работников ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ).
  
   Ректор [Подпись] Л.С. Лунин
  
   [На обратной стороне листа проставлен номер листа -- 012670]
   [На обратной стороне листа имеется неизвестно чья роспись]
  
   Конец цитирования
  
   (20090116C) Заявление А.В. Леонова проректору по образовательной деятельности ЮРГТУ (НПИ) Л.И. Щербаковой от 16.01.2009 (номер письма 34644809021438; вручено 20.01.2009) -- о выборах 2007 г. (см. 20071023, 20071026, R20071102)
  
   Заявление А.В. Леонова проректору по образовательной деятельности ЮРГТУ (НПИ) Л.И. Щербаковой от 16.01.2009 (номер письма 34644809021438; вручено 20.01.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору по образовательной
   деятельности ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д. соц. н. Щербаковой
   Лидии Ильиничне
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное Заявление состоит из трех страниц (приложений не имеется). На обороте каждого листа заявления имеется образец подчерка заявителя вида "Страница номер такой-то. Всего страниц -- три" и подпись заявителя.
  
   Далее под "Порядком" понимается следующий документ:
   "Порядок проведения конкурсного отбора на замещение должностей научно-педагогических работников в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский Политехнический Институт)", который действует на момент, которым датировано данное заявление.
   Документ утвержден Ректором ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Луниным Л.С.
   Под "Положением" далее понимается следующий документ:
   "Положение о порядке замещения должностей научно-педагогических работников в высшем учебном заведении Российской Федерации".
   Документ утвержден приказом Министерства образования России от 26.12.2002 г., N 4114.
   Упомянутое Положение служит "правовой базой" для Порядка (наряду с некоторым другими документами); По сути, Порядок является "конкретным применением" Положения.
  
   В 2007 году на имя различных должностных лиц ЮРГТУ (НПИ) мною был направлен ряд заявлений, на которые до сих пор не получено ответа. Одно из них - на имя бывшего Ректора. Это заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 26.10.2007; номер письма 34644895074578. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007. В данном Заявлении идет речь о порядке проведения конкурсного отбора на замещение должностей научно-педагогических работников в ЮРГТУ (НПИ) "вообще", а также об аннулировании результатов одного конкретного конкурсного отбора в связи с допущенными нарушениями. Соответствующий исходящий документ мной не получено.
   По-видимому, аннулирование результатов конкурсного отбора в административном порядке относится к прерогативам проректора по образовательной деятельности, так как именно он объявляет конкурсный отбор через публикацию в печатных средствах массовой информации. В связи с этим прошу аннулировать конкурсный отбор, упоминаемый в части II вышеупоминаемого заявления, а именно: конкурсный отбор на должность старшего преподавателя кафедры ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), объявленный в информационно-рекламном еженедельнике "Дон-Инфо. Новочеркасск" (N 41 за 2007 года) в связи с допущенными нарушениями, изложенными в упомянутом заявлении, которые заключались в следующем:
   От объявления конкурса (25 мая) до конкурсного отбора (27 июня; по сведениям, полученным от сотрудника отдела кадров, отбор был осуществлен на заседании Ученого Совета ФИТУ) прошло менее двух месяцев; таким образом, имеет место нарушение пункта 4 Порядка ("Конкурсный отбор объявляется ... не менее чем за 2 месяца до его проведения").
   Данное нарушение пункта 4 Порядка является также и нарушением пункта 3 Положения ("Конкурсный отбор объявляется ректором (проректором, руководителем филиала) вуза в периодической печати или других средствах массовой информации не менее чем за два месяца до его проведения".).
   В соответствии с пунктом 14 Порядка ("Ученый совет университета рассматривает также ... конкурсные дела претендентов, в которых были допущены нарушения Положения при проведении конкурсного отбора."), конкурсное дело претендента должен рассматривать Ученый Совет университета, а не Ученый Совет факультета.
   Замечание. Даже если бы подобное конкурсное дело было вынесено на Ученый Совет университета, то результат его все равно можно было обжаловать в административном и судебном порядке, так как даже Ученый Совет университета не может пренебрегать пунктами Положения, обладающего более высоким правовым статусом, чем Устав Университета и Порядок. Конец замечания.
   Ввиду отсутствия ответа на вышеупомянутое заявление за мной сохраняется право обжалования результатов конкурсного отбора не только в административном, но и в судебном порядке (я узнал о допущенном нарушении 5 или 6 сентября 2007 года на заседании кафедры ЭВМ; Заседание кафедры ЭВМ, на котором была дана рекомендация кафедры на замещение вакантной должности, состоялось 26 июня 2007 года, когда я находился в отпуске.) Заявление подписано 26 сентября, а вручено - 30 сентября; таким образом, сроки обжалования результатов конкурсного отбора в административном порядке были соблюдены.
   Прошу аннулировать результаты вышеуказанного конкурсного отбора и провести конкурсный отбор заново ввиду допущенных нарушений.
   Кроме того, прошу содействовать рассмотрению по существу вышеупомянутого заявления в той части, которая касается вас как проректора по образовательной деятельности.
  
   Заявление выставлено на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com .
  
   Замечание. Заявление похожего содержания подавалось мною не по почте, а непосредственно через Канцелярию ЮРГТУ. Это Заявление от 23.10.2007 на имя Ректора. В ответ на данное Заявление мною получен исходящий документ N 38-3/236 от 02.11.2007 за подписью Ректора ЮРГТУ проф., д.т.н. Лунина Л.С. (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Исходящий документ, на мой взгляд, содержит ложное утверждение об отсутствии нарушений при проведении упомянутого конкурсного отбора. Заявление, переданное через Почту России, содержит дополнительные сведения о нарушениях, допущенных при проведении конкурсного отбора. Подача повторного заявления, упомянутого в пункте 2, обусловлена также и тем, что у меня отсутствует заверенная копия заявления от 23.10.2007, а ответ на него составлен так, что стороннему человеку не понятно, о каком именно конкурсном отборе идет речь. Конец замечания.
  
   Кроме того, различным должностным лицам ЮРГТУ (НПИ) мною были посланы "вдогонку" к данному заявлениям другие заявления. Я упомяну лишь одно из них:
   Заявление начальнику Информационно-правового отдела Симавской И.П от 11.12.2007; номер письма 34644896086341. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 14.12.2007. Содержит просьбу сообщить о тех, кто был назначен исполнителями и контролерами исполнителей для ряда входящих документов (в том числе и для заявления, о котором шла речь выше). Заявление направлено по совету сотрудника Канцелярии, де-факто отказавшегося предоставить данную информацию.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (16.01.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34644809021438; вручено 20.01.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20071027) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 27.10.2007 (номер письма 34640094683580; вручено 30.10.2007) -- о преступлении
  
   Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) Л.С. Лунину от 27.10.2007 (номер письма 34640094683580; вручено 30.10.2007)
  
   Начало цитирования
  
   Ректору ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Лунину Л.С.
   Леонова Андрея
   Владимировича
   (бывший сотрудник)
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет четыре приложения. Список приложений приведен в конце заявления. Заявление имеет четыре страницы. На оборотной стороне каждой страницы оставлен образец почерка заявителя типа "Страница номер такой-то. Всего страниц -- четыре.", а также роспись заявителя.
  
   Зимой 2004-2005 года руководством кафедры ЭВМ, по моему мнению, против меня было совершено уголовное преступление, предусмотренное статьями 111 или 118 УК РФ. Показания, которые я могу дать при возбуждении уголовного дела, приведены в Приложении A. Длительный перерыв между совершением преступления и настоящим заявлением объясняется тем, что состояние здоровья не позволяло мне вести уголовное преследование, а других подходящих лиц, которые могли бы представлять мои интересы в суде, я не имел.
   Поскольку преступление относится к разряду тяжких, то после подачи заявления в правоохранительные органы, делу не может быть дан "обратный ход".
   Все попытки примирения с руководством кафедры "до суда" (требования принести мне публичные извинения на заседании кафедры от лица руководства кафедры и зафиксировать их в письменном виде) были отвергнуты зав. каф. ЭВМ проф. д.т.н. Ковалевым О.Ф.
   В ходе попыток "примириться" я был вынужден прибегнуть к "общественному мнению" и поместил проект заявления в правоохранительные органы на своем сайте, но и это не возымело действия. Проект заявления был также "неформально" передан мною проректору проф. д.т.н. А.Н. Ткачеву через одного из секретарей (получил ли А.Н. Ткачев проект - не знаю).
   На мой взгляд, все мои попытки уладить это дело "неформально" окончились неудачно и я вынужден обратиться к руководству Университета через канцелярию с просьбой "официально" поставить руководство кафедры в известность о моем требовании принесения извинений. Во всяком случае, я считаю необходимым "зарегистрированным" документом уведомить руководство Университета о готовящемся судебном процессе.
   Я требую от руководства кафедры ЭВМ, чтобы мне были принесены извинения по пунктам, упомянутым в приложении A. Кроме того,
   1. Извинения должны быть принесены публично, на заседании кафедры (при этом, разумеется, я не требую вносить их в протокол заседания).
   2. Извинения должны быть зафиксированы в трех экземплярах на бумаге (с подписями), нотариально заверены и переданы мне.
   Под "руководством кафедры" я понимаю следующих лиц (должности указаны на 2005 год):
   1. О.Ф. Ковалев, зав. каф. ЭВМ, проф. д.т.н., проректор ЮРГТУ.
   2. Г.И. Макогоненко, зам. зав. каф. ЭВМ, доцент, к.т.н.
   3. Н.Б. Тушканов, проф., к.т.н., бывший зав. каф. ЭВМ.
   Последний в настоящее время работает в кисловодском филиале Сев.-Кав. ГТУ.
  
   Что касается извинений, то от руководства Университета меня вполне устроит следующий ответ: "руководство Университета сочло нецелесообразным вмешиваться в предполагаемую судебную тяжбу между вами и руководством кафедры ЭВМ".
   Вне зависимости от того, будут ли мне принесены извинения или нет, требую ответить мне на ряд вопросов, а также предоставить в мое распоряжение ряд заверенных копий документов. Для этого, возможно, придется организовать "внутреннее расследование". Упомянутые документы и информация не должны составлять никакой тайны для государственного учреждения. Вопросы и перечень документов приводится ниже.
   Для понимания следующей части настоящего Заявления необходимо ознакомиться с Приложением A.
  
   Вопросы в связи с Эпизодом 1 из Приложения A
  
   "Организационное мероприятие", описанное в Эпизоде 1 Приложения А больше всего походит на заседание конфликтной комиссии. Далее это мероприятие будет называться просто Комиссия. Работа подобных Комиссий и ее результаты в государственном учреждении не могут быть тайной. В связи с этим требую ответа на вопросы:
  
   1. В связи с чем и кем была создана Комиссия? Как она "официально" называлась? Как на нее можно "официально" сослаться?
   2. Кто определял состав Комиссии? Каков был этот состав? Кто был председателем комиссии? Кем был назначен или как избран ее председатель?
   3. Была ли работа Комиссии как-то юридическую базу или была юридически ничтожной?
   4. Остались ли от работы Комиссии какие-то "официальные" документы: велся ли при работе комиссии протокол (или, возможно был составлен другой документ), в котором отражена суть этой работы, имеется ли в материалах работы Комиссии заявление студентов на меня, ксерокопия моего отчета о посещаемости занятий и успеваемости студентов?
   5. На чье имя студентами было написано заявление, рассматривавшееся на Комиссии?
   6. Какие обвинения были выдвинуты против меня? К каким выводам пришла Комиссия и какие решения приняла? В частности, есть ли вина с моей стороны и в чем она заключается?
   7. Что выяснила комиссия относительно моего "педагогического уровня"? Высокий он, низкий или "средний, обычный"?
   8. Почему на комиссии, на которой, по сути, разбиралось мое соответствие занимаемой должности, отсутствовал зав. каф. ЭВМ проф., д.т.н. Ковалев О.Ф.?
   9. Было ли "официально" оповещен профессорско-преподавательский состав кафедры о создании Комиссии (было ли вывешено объявление и за сколько дней до начала работы Комиссии), имели ли право лица из профессорско-преподавательского состава присутствовать на работе Комиссии и были ли они приглашены на заседание Комиссии? Ведь многие из них в это время сидели за праздничным столом в смежной комнате в ожидании начала празднования Нового Года или попросту бродили по коридорам.
   10. Почему я не был заранее оповещен о создании Комиссии и времени ее работы (хотя бы за день) и почему мне не была передана заверенная хотя бы подписью зав. кафедры ксерокопия заявления, а также не было дано достаточно времени, чтобы оправдаться, подготовить документы и т.д.?
   11. Для какой цели были собраны студенты в аудитории (если мне не изменяет память, почти все из тех, кто подписал Заявление)? Результаты работы комиссии до них мог бы довести зав. каф. или зам. зав. каф. на следующий день. Все, что студенты могли сказать, они уже сказали в своем заявлении.
   12. В дополнение к п.11. Возможно, все студенты были приглашены на заседание комиссии. Почему в этом случае работа Комиссии происходила в кабинете зав. каф., а не в соседней аудитории, где находились студенты?
   13. Почем Комиссия приняла к рассмотрению столь абсурдное и смешное (с моей точки зрения) заявление? Ведь заседавшие в Комиссии могли посоветовать изменить пункты обвинения в заявлении.
  
   Прочие требования в связи с Эпизодом 1 из Приложения A
  
   Для того, чтобы признать данную Комиссию моей галлюцинацией потребуется лжесвидетельствование в суде около полусотни человек из числа студентов групп 5-2 и 5-2а ФСТиР выпуска 2005 года (в том числе и тех, кто не подписывал заявления), а также многих сотрудников кафедры ЭВМ (не только участников комиссии). Так, например, на заседании кафедры ЭВМ от 06 сентября 2007 года я спрашивал О.Ф. Ковалева о результатах работы этой комиссии и ее существование им не отвергалось.
   В том случае, если данная Комиссия не будет объявлена моей галлюцинацией (вне зависимости от того, была эта Комиссия (или что иное) юридически безупречной или нет), помимо ответов на вышеперечисленные вопросы, требую выслать мне заверенные ксерокопии следующих документов:
   1. Заявление на меня студентов (насколько помню, в нем два листа)
   2. Прочих документов (всех), в которых отражена работа Комиссии.
   Если окажется, что заявление утеряно, прошу восстановить его содержимое (хотя бы приблизительно) на основе свидетельств участников комиссии (лично я к тому, что написано в Эпизоде 1 Приложения А больше ничего добавить не могу), предупредив их, что я могу потребовать восстановления содержания путем обращения в суд и вызова студентов, подписавших заявление, в качестве свидетелей.
   Заверенную копию "восстановленного" заявления требую выслать мне.
   Если от участников комиссии будет получен отказ восстановить содержание заявления "по памяти", требую заверить отказ нотариально и выслать мне.
  
   Вопросы и требования в связи с Эпизодом 3 из Приложения A
  
   Далее экзаменационная комиссия, упомянутая в Эпизоде 3 Приложения A будет сокращенно обозначаться ЭК. Под первой ЭК будет обозначаться комиссия, принимавшая первый экзамен (по времени) у одной из групп, а второй ЭК - комиссия, принимавшая второй (по времени) экзамен у другой группы. К сожалению, я не помню, какая из групп должна была сдавать экзамен первой. Более того, мне не ясно, первая и вторая ЭК- это одно и то же или нет, то есть, создавалась ли для приема второго экзамена отдельная комиссия. Я предполагаю, что первая ЭК была создана "задним числом".
  
   Требую ответить на вопросы:
  
   1. По чьей инициативе, кем и когда (если можно, с точностью до минут) была создана ЭК для приема первого экзамена? Кто входил в комиссию?
   2. Какая дата (возможно, и время), стоят на документе, передающей комиссии полномочия принимать первый экзамен вместо меня. На какое время распространялись данные полномочия?
   3. Чем была обоснована необходимость создания ЭК для приема первого экзамена? Была ли какая-нибудь служебная записка, просьба или что-то подобное, содержащее данное обоснование?
   4. В какое время первая ЭК начала работу?
   5. Создавалась ли вторая ЭК? Если да, то прошу ответить для нее на вопросы 1-3.
   6. Каким являлся "уровень" моего "педагогического мастерства" на основе объективных данных - результатах работы комиссии (комиссий), отраженных в оценках, проставленных в экзаменационных ведомостях?
   7. В связи с ответом на вопрос 6 требую пояснить: были ли претензии к моему "педагогическому уровню", отраженном в заявлении студентов, обоснованными или нет?
  
   Прошу выслать заверенные ксерокопии всех документов, в которых отражены формирование и работа комиссии (комиссий), в том числе: документов, подразумеваемых вышеприведенными вопросами, зачетных ведомостей групп 5-2 и 5-2а и моего заявления на имя зав. каф. О.Ф. Ковалева об отказе принимать экзамены в сложившейся ситуации.
   В случае отсутствия моего заявления прошу восстановить его "по воспоминаниям" О.Ф. Ковалева, применив процедуру, описанную выше - вплоть до нотариально заверенного отказа восстановить приблизительное содержание заявления. Это заявление было передано мной через студента и его, скорее всего, видели и читали множество других студентов.
  
   Требования в связи с Эпизодом 4 из Приложения A
  
   Требую выслать мне заверенную ксерокопию моего заявления на имя зав.каф. ЭВМ проф., д.т.н. Ковалева О.Ф., упомянутую в Эпизоде 4 Приложения А.
  
   Прошу мотивировать отказ в предоставлении информации и заверенных копий документов.
  

Список приложений

  
   Приложение A. Примерный вариант показаний со справочным материалом. Документ на 12 страницах. На оборотной стороне каждой страницы образец почерка типа "Страница номер такой-то. Всего страниц - двенадцать." и подпись.
   Приложение B. Распечатка скана фрагмента листа, на котором заявитель подготавливал отчет по плохо успевающим студентам перед заседанием Комиссии в 2004 году. Пометки синим цветом сделаны позднее, в 2007 году.
   Приложение С. Просьба о прекращении делопроизводства по двум заявлениям, поданным непосредственно через канцелярию, а не через почту. С датой и подписью.
   Приложение D. Почтовый адрес для связи с заявителем.
  
   Замечание. Не все, кто вошел в список в приложении B, подписались под заявлением с обвинениями против меня (ориентировочно не подписалось человека 2-3, может быть, 3-4; впрочем, точно сказать не могу). Для учета этого при усреднении данных по группе 5-2a было убрано три "достаточно плохих" записи. Приложение B - это не список подписавшихся, а список плохо успевающих.
  
   Дата (27.10.2007)
   Подпись
  

Приложение А

Примерный вариант показаний

  
   В зимнюю сессию 2004-2005 года руководством кафедры ЭВМ на меня было оказано давление при попытке объективно оценить знания студентов по предмету "Технология администрирования и управления в локальных и корпоративных сетях", который я читал и по которому вел лабораторные занятия в осеннем семестре 2004 года. В частности, в 2004 году, перед проведением зачета руководством кафедры было принято заведомо неправосудное и абсурдное (по моему мнению) обвинение меня от студентов с последующим разбором его "комиссией", а несколько недель спустя, в 2005 году, после того, как зав. каф. ЭВМ и проректором ЮРГТУ О.Ф. Ковалевым было заявлено (менее чем за полтора часа до официального начала экзамена, без предъявления обвинений и без возможности оправдаться), что на экзамене, который я должен принимать, будет присутствовать "комиссия" с непонятным статусом, я отказался принимать экзамен. Возможно, после этого "комиссии" был придан "официальный статус" "задним числом", что в точности мне не известно. Подробнее об оказанном на меня давлении будет сказано ниже. Этот, а также ряд других травмирующих психику "эпизодов" привели, по моему мнению, к развитию у меня психического заболевания.
   В феврале 2005 я был, по вполне справедливой просьбе родных помещен в Новочеркасскую психоневрологическую больницу (Орджоникидзе, 23), в котором находился около полутора месяцев. Я был выписан с диагнозом "реактивное состояние". К сожалению, излечение не было окончательным, и в конце весны 2005 года я был помещен на лечение туда же повторно по собственной просьбе. Второй раз я находился на излечении около трех месяцев. Диагноз, с которым я выписан, мне неизвестен.
   Здесь я должен сделать отступление и дать справку, чтобы "ввести в дело" читающего это заявление.
   Реактивное состояние - психическое заболевание, которое возникает вследствие какого-либо происшествия, сильно травмирующего психику. Оно может случиться практически с любым человеком. Это редкий (и, пожалуй, единственный) случай психического заболевания, после которого больной может "полностью восстановиться". Реактивное состояние может длиться до нескольких лет и проявляться в довольно "сильных" формах.
   При поступлении в психоневрологическую больницу во второй раз лечащим врачом было сказано, что у меня (скорее всего) "недолеченное" реактивное состояние же Я думаю, все "возобновилось" из-за того, что после выписки мне нужно было еще какое-то время попить "тяжелые" психотропные препараты, а я пил "легкие". Из разговоров с лечащим врачом в психоневрологической больнице в присутствии родственников (матери) "ближе к выписке" мне стало известно, что лечащий врач затрудняется поставить диагноз и что окончательно все проясниться только, может быть, через несколько лет.
   Затруднения в постановке диагноза я никоим образом не ставлю в вину лечащему в врачу, напротив - это, по моему мнению, свидетельствует о честности, свойственной профессионалам. У меня нет никаких претензий к психиатрам, разве только что к государству, которое довело медицину (как и образование) до нищенского состояния.
   После прошествия двух лет, скорее всего, можно сказать, что "второй раз" у меня было недолеченное реактивное состояние по следующим причинам: заболеванию предшествовала психическая травма (даже целый ряд их на протяжении более месяца), во-вторых, в моем роду нет психических больных ни со стороны отца, ни со стороны матери, и в-третьих, (я конечно, говорю субъективно), я почти пришел в норму.
   Разумеется, здесь я "забегаю вперед экспертов", но вынужден это сделать для "введения в тему". Просто как всякий больной, я кое-что читал про свою болезнь. Я повторяю, нисколько не претендую на роль эксперта.
   Несколько недель при нахождении в психоневрологической больнице во второй раз и несколько месяцев после выписки из нее в конце лета 2005 и осенью 2005 я был на грани самоубийства. По этому поводу одним из ведущих прием психиатров психневрологического диспансера (Комитетская 62), где я состою на учете, мне было предложено лечь в больницу в третий раз, от чего я отказался. Вероятно, своими заявлениями я не очень изумил психиатров и в больницу в таких случаях помещают только в том случае, если суицидальные попытки были на самом деле. У меня же их не было.
   Приблизительно до февраля 2006 года я принимал нейролептики и антидепрессанты, отпускаемые по рецепту врача. Далее, в связи с "реформами здравоохранения" был перебой с выпиской и получением дорогостоящих лекарств, из-за чего я пережил своеобразную "ломку" и был вынужден перейти на дешевые лекарства, отпускаемые без рецепта врача. Это было к лучшему, так как сразу же закончилась депрессия, которую, видимо, вызывали "тяжелые" психотропные препараты (все хорошо к месту и ко времени). К маю 2006 году я прекратил употребление и "легких" лекарств и не употребляю их до настоящего времени. Кстати, лечащим врачом психоневрологической больницы мне было сказано о том, что "тяжелые" препараты мне следует принимать "минимум полгода" после выписки. Я, так сказать, "уложился в срок".
   (Я сознаю, что употребляя здесь слова "тяжелые" и "легкие" я провожу ассоциацию с наркотиками)
   До конца 2006 года мое здоровье медленно восстанавливалось. К Новому Году я мог ходить "не через силу", к весне 2007 года я уже вполне мог "слегка" заниматься "умственным трудом". Летом 2007 года работоспособность возвратилась ко мне в полном объеме.
   Психотропные лекарства, видимо, действуют на разных людей по-разному. Некоторые, постоянно глотая таблетки, могут выполнять даже достаточно тяжелую физическую работу. Меня же они "притравили" очень сильно.
   Я считаю, что руководством кафедры ЭВМ в 2004-2005 против меня было совершено уголовное преступление, подпадающее под статью 111 УК РФ (умышленное причинение тяжкого вреда здоровью). "Умысел" мне видится в следующем: руководители кафедры, много лет прожившие в "научной среде" (ряд из них является учеными во втором поколении) и проработавшие на руководящих должностях, просто не могут себе не представлять, чем могут закончиться подобные обвинения, причем заведомо неправосудные, -- инфарктами и инсультами. Возможно, про реактивные состояния они не знали. Возможно, они надеялись, на то, что мне тогда было всего 30 лет и я восприниму это как слон укол булавкой. Но не представлять себе возможных последствий, хоть и, по их мнению, маловероятных, они попросту не могли. Они должны были хорошо знать, как подобные обвинения и подобное давления воспринимаются мной субъективно, хотя, скорее всего, они не хотели доводить дело до "логического конца" -- заседания Ученого Совета, на котором будет признана моя профессиональная непригодность (смотри ниже), а просто возжелали меня "попугать". Итак, скорей всего, они должны были знать о том риске, которому они собрались подвергнуть мое здоровье.
   Под "руководством кафедры ЭВМ" я подразумеваю следующих лиц (должности указаны на 2005 год):
   1. Олег Федорович Ковалев, зав. каф. ЭВМ, профессор кафедры, проректор ЮРГТУ;
   2. Галина Ивановна Макогоненко, зам. зав. каф. ЭВМ, доцент кафедры;
   3. Николай Борисович Тушканов, профессор кафедры
   Николай Борисович Тушканов включен в этот список потому, что, на мой взгляд, в то время он имел на кафедре большой "неформальный" вес, будучи долгое время зав. каф. ЭВМ до избрания на эту должность О.Ф. Ковалева. Г.И. Макогоненко была зам. зав. каф. при Н.Б. Тушканове и осталась зам. зав. каф. при О.Ф. Ковалеве. О.Ф. Ковалев же в те годы появлялся на кафедре достаточно редко, исполняя обязанности проректора ЮРГТУ. Кроме того, в те годы Н.Б. Тушканов являлся зав. каф. аналогичного "направления" в каменском филиале ЮРГТУ.
   Я сознаю, что в ходе процесса статья 111 легко может быть изменена на ст. 118 (причинение тяжкого или средней тяжести вреда здоровью по неосторожности) для всех или для некоторых из обвиняемых и не возражаю против этого, но, разумеется, только в случае приведения достаточного на то обоснования.
   В случае возбуждения уголовного дела по ст. 111 заранее указываю на отягчающие обстоятельства:
   _Преступление совершено против лица в связи с осуществлением данным лицом служебной деятельности (ст. 111, п. 2б)
   _ Преступление совершено группой лиц или группой лиц по предварительному сговору (ст. 111, п. 3а).
   В случае возбуждения уголовного дела по ст. 118 также заранее указываю на отягчающие обстоятельства:
   _Преступление совершенно вследствие ненадлежащего исполнения обвиняемыми своих профессиональных обязанностей (ст. 118 п.2).
   Далее я сообщаю о ряде эпизодов, в которых на меня оказывалось давление, более подробно.
   1. "Комиссия" принимает и рассматривает заведомо ложное обвинение от студентов.
   Далее речь идет о студентах групп 5-2 и 5-2 ФСТиР ЮРГТУ(НПИ), выпуск которых состоялся в 2005 году.
   В осеннем семестре 2004 года я вел лекции и лабораторные занятия по курсу "Технология управления и администрирования в локальных и корпоративных сетях". После прогула лекций и лабораторных занятий, а также невыполнения последних, студенты, услышав мои угрозы проставить им всем незачет к положенному сроку и заставить выполнить все по-настоящему, обратились с "заявлением" на меня в деканат. Под заявлением с обвинениями в мой адрес подписалось около двух третей студентов каждой из групп.
   Вот как выглядели мои обвинители из студентов на тот момент, когда им грозило проставление незачетов и когда их "заявление" разбирала "комиссия":
   "Средний обвинитель" группы 5-2 (подписалось около 16 человек)
   Посетил 4-5 лекций из 25
   Посетил 5 лаб. работ из 16
   Сдал 1 лаб. работу из 8
   Выполнил 0 дом. заданий из 1
   Написал 0 контр. опросов из 4
   "Средний обвинитель" группы 5-2а (подписалось около 21 человека)
   Посетил 6 лекций из 25
   Посетил 3 лаб. работы из 16
   Сдал 0 лаб. работ из 8
   Выполнил 0 дом. заданий из 1
   Написал 0 контр. опросов из 4
   По словам Н.Б. Тушканова, сказанным позже, он "перехватил" это заявление и направил его рассмотрение на кафедру, чтобы избежать крупномасштабного скандала.
   К сожалению, я не располагаю копией заявления, так что мне приходится его цитировать по памяти. Основные "пункты" заявления были следующие:
   1. Преподавание велось на низком педагогическом уровне
   2. Имело место высокая сложность изложения материала
   3. Высокая сложность излагаемого материала вызвала массовое непосещение лекций (занятий)
   4. Мы не знаем, как будем сдавать зачеты и экзамены и боимся "вылететь".
   5. Нам собираются выписать слишком много дополнительных образовательных услуг.
   Пункт 3 просто смехотворен. Что можно сказать относительно 2 пункта?! Если никуда не ходить и ничего не учить, то и простое может показаться очень сложным. Тем более, что я заранее предупреждал о необходимости распечатать текст лекций и перечитать не только то, что я говорил за доской, но и прочитать некоторые дополнительные главы и места, которые не затрагивались собственно на лекциях.
   Тем не менее, пункт 1 очень серьезен -- в принципе, это заявление о том, что я, как педагог, не соответствую своему месту (не как ученый или инженер, а именно как педагог - что-либо исследовать или что-либо конструировать -- это одно, а учить - это другое). Проще говоря, здесь ставился вопрос о моем профессиональном несоответствии. При принятии обвинений это, насколько мне известно, могло мне грозить заседанием Ученого совета с последующим признанием в профнепригодности, то есть, в накладывании "клейма" на всю жизнь.
   Что касается 5 пункта -- то да, я вполне законно решил дополнительно заработать, оказывая дополнительные образовательные услуги. Я не понимаю, почему, если студент не сдал ни одной лабораторной работы, я не могу выписать ему 34 или 36 часов дополнительных образовательных услуг и провести для него (в группе с другими студентами, не выполнившими ничего) курс лабораторных работ заново. Я собирался устроить студентам "зимний семестр", ибо их наглость и вызывающее поведение перешло все границы (смотри статистику по "среднему обвинителю"). Я собирался выписывать по 12 часов "средним прогульщикам" и 20 часов -- "злостным". При этом я открыто заявлял, что если за эти часы работа не будет сделана, то будут выписаны новые образовательные услуги, пока, наконец, они не сделают то, что от них требуется. Тем не менее, даже если выбранная стратегия поведения в этом вопросе была и неправильная и даже противозаконная, то жаловаться на нее можно было бы лишь в том случае, если я бы действительно выписал хотя бы одну "бумажку" с дополнительными образовательными услугами по этому курсу. Но таких бумажек попросту не существует и не существовало!
   Сейчас я считаю это свое "тогдашнее" желание "подзаработать" неправильным. На таких людях нельзя делать деньги никоим образом. Они заслуживают исключительно пинка под зад, который, если я вновь окажусь на подобной работе, буду с радостью им отвешивать.
   Тем не менее, такое смехотворное заявление было принято к рассмотрению руководством кафедры с последующим его "разбором" в узком кругу! "Разбор" заявления "в узком кругу" не был остановлен даже после того, как я привел вышеизложенные факты о посещении студентами лекций и лабораторных занятий и выполнении (невыполнении) ими лабораторных работ. Надо ли говорить о том, что само принятие подобного "заявления" был заведомо неправосудным действием? Надо ли говорить о том, что руководство кафедры изначально заведомо действовало в интересах виновной стороны, то есть, студентов?
   Хочу отметить особо -- речь не шла о том, что я выдвигал какие-то завышенные требования и придирался к выполненной работе. Речь шла о том, чтобы заставить людей ходить на занятия и что-то, пусть и неправильно, но делать.
   Мне хочется сообщить о некоторых "интересных деталях" самого заявления как "официального документа".
   Во-первых, он был на двух листах, причем, по сути, текст заявления располагался на одном, а подписи - на другом (если мне не изменяет память, на листе с подписями располагался только конец последнего предложения заявления). Данные листы, мягко говоря, не были "прошнурованы, пронумерованы и скреплены печатью". Возможно, некоторым "подписантам" дали только лист для подписей, даже не сообщив о сути обвинений или сообщив их только в краткой форме - ибо текст настолько смешон, что, я думаю, многие под ним просто бы не подписались. Такое "строение" документа, очевидно, позволяло легко добавлять или менять дополнительные листы с обвинением и одновременно превращало весь документ, по моему мнению, в "филькину грамоту".
   Во-вторых, мне показался странным тот факт, что обвинение на меня написано от руки, а не набрано, скажем в Word'е, а затем распечатано на лазерном принтере. По моему мнению, человек, пишущий заведомо несправедливое обвинение, предпочел бы сделать это с помощью "техники", и не оставлять образцов своего почерка. Он предпочел бы оставить лишь свою подпись -- как и остальные "подписанты". Честно говоря, все это наводит на размышления о многом, но это всего лишь размышления...
   Интересным было и само предъявление мне обвинения. Я шел на кафедральное празднование Нового Года и прибыл на кафедру за полтора-два часа до начала торжества. Внезапно мне сказали (по-моему, это была Г.И. Макогоненко), что на меня студентами написана "бумага". Самое интересное заключается в том, что мне не было предъявлено обвинение, то есть, сама бумага, и, видимо, ее предъявлять мне не собирались. С большим трудом мне удалось вытребовать ее у Г.И. Макогоненко. Оказалось также, что 303 аудитория энергетического корпуса битком забита подписавшими бумагу студентами! Тут произошло непредвиденное. Прочитав бумагу, я вышел к студентам и попунктно разобрал ее, приговаривая при этом, что людям, пишущим подобную ахинею действительно не место в университете, так как, проучившись пять лет они не могут даже толком составить "заяву"... К счастью, у меня оказались с собой бумаги с успеваемостью студентов, и я смог показать руководству кафедры, что подписавшиеся под обвинениями не имеют на эти обвинения никакого права (смотри то, как выглядит "средний обвинитель"). Было очевидно, что дело надо "сворачивать", но руководство кафедры все равно приняло заявление студентов к рассмотрению!
   Когда я подошел к доске 303 аудитории, чтобы дать ответ студентам на их заявление, то мне показалось странным следующее: за первым столом, прямо передо мной, сидело двое студентов, которые, насколько мне помнится, вообще не появлялись ни на каких занятиях. Это "психологически" показалось мне странным: обычно такие люди должны стремиться отсесть куда-нибудь подальше -- хотя бы в "середину", чтобы не вызывать излишнего раздражения и не привлекать к себе излишнего внимания.
   Для рассмотрения "бумаги" было собрано какое-то "заседание кафедры в зауженном составе", где присутствовали: Н.Б. Тушканов, Г.И. Макогоненко и еще один человек, к которому я не имею никаких притензий и поэтому не хочу упоминать его имя в этом документе. Вряд ли это заседание кафедры даже имело какую-то "юридическую базу" - теперь оно напоминает мне "малый совнарком", в котором заседал Остап Бендер. Интересно, что пока шло "заседание в зауженном составе" в кабинете зав. каф., другие сотрудники кафедры (насколько я помню) попросту бродили вокруг праздничного стола в преподавательской, сидели, говорили, что-то готовили... Впрочем, возможно, я что-то путаю...
   По идее, председательствовать на собрании должна был Г.И. Макогоненко, как зам. зав. каф., однако, инициатива в действиях принадлежала Н.Б.Тушканову, так что я не понимаю, кто же там был председателем. Естественно, это "заседание" происходило с ведома и согласия О.Ф. Ковалева, который на собрании не присутствовал, хотя речь, по сути, шла о профессиональной пригодности одного из подчиненных ему сотрудников.
   В основном, речи сводились к тому, что требования к студентам следует занизить, что определенная лабораторная работа не нужна, что нельзя требовать выполнения лабораторных работ, если нет указаний к их выполнению в печатном (электронном) виде - и это, напомню, при том, что курс был только-только разработан и читался впервые, так что я просто физически не мог удовлетворить всем требованиям. Разумеется, выдвигались и требования, чтобы я снизил количество часов выписываемых образовательных услуг. После окончания "заседания" с непонятными выводами я вышел к студентам в 303 аудиторию и снизил таки количество выписываемых часов - по-моему до 4-6-8.
   Фактически, по моему мнению, комиссия дала понять студентам, что мое мнение ничего не стоит, что если что -- меня раздавит руководство кафедры и оно всегда радо выслушать жалобы на меня. Студенты, на мой взгляд, это поняли очень хорошо.
   На следующий день (насколько я помню), при приеме зачета, я специально, чтобы против меня не было выдвинуто никакого обвинения, связанного с деньгами, заявил студентам, что мною не будет выписано с них ни единого часа дополнительных образовательных услуг, что и было выполнено.
   После "заседания" началось празднование Нового Года. Руководство кафедры попросту нанесло подлый удар в спину человеку, шедшему на праздник. Они не выдали ему заранее обвинительные "бумаги", не дали достаточно времени, чтобы подготовить ответ, и не согласовали с ним время "разборок".
  
   2. Назначение Г.И. Макогоненко совместного дежурства по общежитию с Н.Б. Тушкановым
  
   Время от время сотрудники кафедр дежурят по двое в общежитиях, где обитают их студенты. 3 января 2005 года я пришел на кафедру и увидел, что на 7 января назначено мое совместное дежурство в студенческом общежитии с Н.Б. Тушкановым. График дежурств, насколько я помню, составляла Г.И. Макогоненко, причем уже после "заседания кафедры в малом составе", на котором разбиралась "бумага", написанная на меня студентами. Я имел неприязненные отношения с Николаем Борисовичем и раньше (смотри ниже), но после упомянутого "заседания" я уже не мог не смотреть на него без тошноты. Я не думаю, что Г.И. Макогоненко не догадывалась об этом. Случайно ли это сделано? Не знаю. Но я прошу понять меня правильно -- я уже не мог не воспринимать это как попытку Н.Б. Тушканова "потолковать по душам" о грядущем экзамене. Я не желал дежурить с Н.Б. Тушкановым вместе и открыто, в довольно грубой форме, сообщил об этом О.Ф. Ковалеву и Г.И. Макогоненко по телефону.
  
   3. Оказание давления при приеме экзамена (создание "комиссии" с непонятным статусом).
  
   За день до экзамена Г.И. Макогоненко предложила мне "выписать" ряду студентов "дополнительные образовательные услуги". Заранее зная, что оказать я их не смогу, я отказался. Я считаю, что в случае, если бы я их выписал, и не оказал, данный факт мог бы использоваться руководством кафедры для давления на меня при проведении экзамена. Кроме того, при проставлении зачетов я обещал ребятам, что по данному предмету мною не будет выписано ни одного часа дополнительных образовательных услуг. После того, как я отказался выписывать дополнительные образовательные услуги, которые заведомо не мог оказать, Г.И. Макогоненко заявила мне, что в том случае, если я их не выпишу, экзамен будет принимать комиссия. Данное заявления я воспринял как пустую угрозу.
   В день экзамена, приблизительно менее чем за полтора часа до экзамена (не помню, какой экзамен был первым - для группы 5-2 или 5-2а) зав.каф. и проректором О.Ф. Ковалевым мне было сообщено, что на экзамене будет присутствовать "комиссия".
   Обычно "комиссия" на экзамен назначается по причине какой-либо вины преподавателя, а не просто так. То есть, для создания настоящей комиссии должны быть веские основания - в частности, хоть какие-то заявления о чем-то с подписями кого-то. При этом, естественно, перед назначением комиссии "провинившемуся" должны быть предъявлены обвинения (копии документов), дана возможность оправдаться, должно быть какое-то подобие объективного суда, который принимает решение - создавать комиссию или нет. Ничего этого не было. Я заподозрил, что "комиссия" - это "липа" и всех ее членов, как и всякий уважающий себя человек, я имею полное право выгнать из аудитории пинком под зад. Тем не менее, я осознавал, что пинком под зад мне придется выгонять людей, стоящих на лестнице намного ступеней выше меня и в количестве двух-трех человек сразу. Я осведомился у О.Ф. Ковалева о том, какой статус имеет собираемая "комиссия". Ответом было молчание. После этого я задал риторический вопрос о том, какой же "вес" лично я буду иметь в этой комиссии и сообщил, что в случае присутствия подобной комиссии просто не явлюсь на экзамен. Я не помню, что мне ответил Ковалев, но смысл сводился к тому, что "комиссия" все равно будет.
   Я счел, что в таких условиях экзамен превращается в фарс и решил не идти на прием экзамена. Что хотела выявить комиссия?! Что студенты плохо знают материал? Но я и так собирался им ставить незачеты и двойки и открыто об этом говорил. Может быть, она наоборот, хотела мне доказать, что студенты, несмотря на все материал знают хорошо, а я ошибаюсь? Но ведь предмет был новым (я в краткий срок создал этот курс) и толком дискутировать о его содержимом вряд ли кто в комиссии мог -- ведь они, в отличие от студентов, даже не видели конспектов и не представляли, какие требования я выдвигал и что должны были знать студенты!
   Далее я написал на имя О.Ф. Ковалева заявление примерно следующего содержания: "В сложившихся условиях, когда недоверие мне как педагогу, высказано не только студентами, но и руководством кафедры, признаю обвинения обоснованными. В связи с этим считаю себя не вправе принимать экзамены и зачеты и прошу назначить для их приема комиссию". Это заявление я передал через студентов руководству кафедры и ушел. Это заявление, скорее всего, видело и читало множество студентов.
   В конце концов, О.Ф. Ковалев был вынужден придать "комиссии" "официальный статус". Не знаю точно, как это было сделано - возможно, "задним числом". Эта комиссия принимала экзамен вместо меня. Поскольку условия были чрезвычайные - мне не было предъявлено никаких обвинений и не было дано никакой возможности оправдаться, я вправе был считать, что комиссия, принимавшая экзамен была создана по моей просьбе в "чрезвычайной" же ситуации. Иначе говоря, я считаю, что руководство кафедры и в том числе, О.Ф. Ковалев попросту не вправе обвинять меня в том, что я не явился на экзамен.
   В составе комиссии, которой был придан "официальный" статус, в частности, были следующие люди:
   Макогоненко Галина Ивановна, зам. зав. кафедры, доцент.
   Дерий Олег Юрьевич, старший преподаватель.
   Помимо них был еще один человек, имя которого не хочу упоминать в этом документе, так как не имею к нему никаких притензий. Скорее всего, он был назначен сюда, чтобы придать "комиссии" "объективность" и, возможно, просто для того, чтобы меня с ним поссорить.
   Кроме того, "неформально" на приеме экзамена присутствовал Николай Борисович Тушканов, профессор кафедры.
   Разумеется, подобная комиссия не могла быть создана без ведома и согласия зав. каф. ЭВМ, проректора ЮРГТУ О.Ф. Ковалева.
   Интересно, что оценки, полученные студентами, оказались "среднестатистическими" или близкими к таковым. Самое смешное заключается в том, что если подходить к этому дело формально, то оказывается, что мое так называемое "педагогическое мастерство" (очень не люблю эти слова) оказывается очень даже хорошим - оно даже выдержало так называемую "объективную проверку". Редкий преподаватель может похвалиться тем, что его студенты хорошо сдали экзамен "строгой комиссии", да еще без участия самого преподавателя, да еще при обвинении его в "низком педагогическом мастерстве". Ситуация сложилась просто анекдотическая.
  
   4. Меня заставили написать объяснительную записку о том, что я без уважительной причины не явился на прием экзамена.
  
   В начале февраля 2005 (точно не помню) О.Ф. Ковалев потребовал от меня, чтобы я написал ему объяснительную записку, в которой бы я признался, что не явился на прием экзамена без уважительной причины. Я был очень утомлен "эпопеей" с приемом экзаменов и, кроме того, искренне не понимал, зачем такая записка может понадобиться О.Ф. Ковалеву -- ведь первая мысль, которая может придти тому, кому эта записка будет предъявлена -- это мысль о том, что на меня пытались оказать давление при приеме экзамена. Поэтому, не особо раздумывая, я написал эту записку. До настоящего дня она хранится где-то в сейфе в кабинете зав. каф. ЭВМ.
   Видимо, О.Ф. Ковалев считает себя опытным шантажистом и в свое время (прошло уже больше двух лет) все еще намеревается пустить эту записку в ход.
  
   5. Прием зачетов и экзаменов у студентов
  
   После того, как на меня оказали давление и мой авторитет "пошатнули", мне было достаточно тяжело принимать зачеты у студентов, которые фактически стали моими врагами. Мне тяжело было разыгрывать "комедию" с приемом зачета, когда и я и студенты прекрасно знали, что за этим "приемом" стоит давление руководства кафедры.
   При приеме экзаменов руководство кафедры снова повело себя странно: несмотря на то, что для приема экзамена была сформирована комиссия, меня заставили принимать экзамены у "отставших" студентов, а комиссия затем просто "соглашалась" с моими оценками. По правде сказать, здесь я не испытывал ничего тягостного - к тому времени я, видимо, уже сильно устал. В настоящее время этот "прием экзамена" при воспоминаниях вызывает у меня чувство брезгливости по отношению к людям, которые "подтерлись собственным знаменем".
   Вот, собственно, и все "эпизоды".
  
   Вдобавок к этому нужно сказать следующее. В 1996 году, когда я и О.Ю. Дерий заканчивали обучение на кафедре, О.Ю. Дерий был оставлен Н.Б. Тушкановым работать на кафедре, а я -- нет. Я не хочу вдаваться в то, кто прав, кто виноват, кто лучше, кто хуже - я просто хочу отметить, что с тех пор у меня сложилось неприязненное отношение к ним обоим. На кафедре я появился в 2001 году, когда висело объявление "требуются ассистенты" и никому ничем на кафедре ЭВМ не обязан. Я считаю Олега Юрьевича своим давним соперником и Н.Б. Тушканов это, скорее всего, прекрасно понимал. Между ними и мной была так называемая "холодная война", не выходившая за рамки приличия.
   Возможно, этот факт также послужил мотивом к оказанию на меня давления при приеме экзаменов и зачетов. Впрочем, утверждать этого не могу.
   Кроме того, еще в конце 2003 -- начале 2004 года я "открыл", что "центральная тема" докторской диссертации О.Ф. Ковалева, мягко говоря, не только не имеет никакой новизны, но и просто может опозорить его как ученого. По моему мнению, на самом деле О.Ф. Ковалев "открыл" давно известный численный метод, причем еще умудрился "недоформулировать" его до конца.
   Интересно, что, по сути, сам О.Ф. Ковалев согласился со мной в следующих совместных статьях:
   1. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Здесь О.Ф. Ковалев "увидел", как предложенную им в диссертационной работе итерационную схему для решения нелинейных уравнений можно записать проще (на мой взгляд).
   2. Сходимость метода итераций с точки зрения квази-методов Ньютона. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-17 [1-3 июня 2004 г.] : сб. трудов XVII Междунар. науч. конф.: В 10 т. / Костромской гос. технол. ун-т. -- Кострома : Изд-во КГТУ, 2004. -- Т. 1, секц. 1. -- С. 112-113
   А здесь он "увидел", что эта итерационная схема - довольно "обыденный" квази- метод Ньютона.
   Статьи "детские" и содержат много ошибок.
   Возможно, из-за этого Ковалев затаил на меня обиду и попытался получить на меня "компромат". Впрочем, утверждать этого я не могу.
   Летом 2007 года, "восстановившись" после болезни я написал и напечатал небольшую книжку, которая первоначально задумывалась как полемика с О.Ф. Ковалевым, но потом я стал ее рассматривать и как "задел" для нескольких методических пособий. В этой книжке я рассмотрел "суть" диссертационной работы О.Ф. Ковалева более подробно. Вот ссылка на книгу:
   Леонов А.В. "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. - 108 с.
   Книжку изначально предполагалось выложить для свободного доступа в Internet'е, поэтому тираж был малым -- только для того, чтобы "можно было дать ссылку". Скачать книжку в настоящее время можно по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.
  
   Интересно, что мне так и не удалось добиться никаких "результатов работы комиссий" от руководства кафедры даже спустя несколько лет. То есть, я не получил ответа на такие вопросы: хорошо ли я учил студентов или плохо, были ли справедливы предъявленные мне обвинения или нет, кто виноват, и, главное - по какой причине я был отстранен от чтения лекций с осеннего семестра 2005 года по настоящее время. Подобные вопросы были заданы мной публично О.Ф. Ковалеву на заседании кафедры 6 сентября 2007 года. Единственный "официальный" ответ, который я получил от Ковалева следующий: я отстранен от чтения лекций потому, что не явился на прием экзамена без уважительной причины. Такой ответ я могу считать лишь уходом от вопроса.
   Кстати, осенью 2005 года О.Ю. Дерий "получил мой предмет" -- он стал читать лекции, а я был поставлен ему "ассистировать", то есть вести лабораторные занятия. По существу, О.Ю. Дерий разработал этот курс "заново", хотя у меня он уже был готов. Подобное "подчинение" меня О.Ю. Дерию в то время, когда я только что вышел из психоневрологической больницы (и несколько месяцев находился на грани самоубийства -- про это, правда, руководство кафедры не знало), я считаю просто циничным издевательством над человеком, по отношению к которому оно (руководство) совершило уголовное преступление.
  
   Итак, по моему мнению, нанесенные мне психические травмы, полученные в результате приема руководством кафедры ЭВМ заведомо неправосудных решений, и неправосудного же оказания на меня давления, привели к возникновению у меня психической болезни - по меньшей мере, "реактивного состояния", что нанесло тяжелый вред моему здоровью.
   На основании вышеизложенного прошу возбудить уголовное дело по ст. 111 УК РФ в отношении следующих лиц:
   Ковалева Олега Федоровича
   Макогоненко Галины Ивановны
   Тушканова Николая Борисовича
   Если для возбуждения уголовного дела по ст. 111 лицо, принимающее данное заявление и решение по нему, не найдет достаточно оснований, прошу возбудить уголовное дело против этих же лиц по ст. 118 УК РФ. В последнем случае во время суда я буду добиваться изменения статьи обвинения с 118 на 111 УК РФ.
   О.Ф. Ковалев и Г.И. Макогоненко в настоящее время работают на кафедре ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), ул. Просвещения 132, г. Новочеркасск. Их домашние адреса могут быть получены у секретаря кафедры или в отделе кадров ЮРГТУ.
   Н.Б. Тушканов в настоящее время является заведующим кафедрой "Прикладная информатика" кисловодского филиала Северо-Кавказского государственного технического университета. Адрес филиала: ул. Умара Алиева Замковая 91/51, г. Кисловодск, Ставропольский край. (Именно так: "ул. Умара Алиева Замковая 91/51"). О месте проживания Н.Б. Тушканова в г. Кисловодске мне ничего неизвестно. Дополнительная информация об этом, скорее всего, может быть получена у Ольги Тушкановой, невестки Н.Б. Тушканова, которая в настоящее время работает на кафедре ЭВМ ЮРГТУ (НПИ).
   Олег Юрьевич Дерий, который, по моему мнению, может выступить в этом деле в качестве свидетеля о порядке создания и о работе комиссии, принимавшей экзамен, в настоящее время работает на кафедре ЭВМ ЮРГТУ (НПИ).
   Я, Андрей Владимирович Леонов, податель сего заявления, работаю на кафедре ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) и проживаю по адресу: г. Новочеркасск, [личные данные скрыты].
   Я не хочу привлекать к этому делу много свидетелей. По моему мнению, сами обвиняемые могут выступить в качестве свидетелей по следующим причинам:
   Во-первых, они, большей частью, "заседали в комиссиях", причем таких, работа которых в государственном учреждении не может составлять никакой тайны и должна находиться в "свободном доступе".
   Во-вторых, указанные лица не находятся в родстве и поэтому, отказавшись давать показания о "работе в комиссиях" относительно себя, обязаны дать показания о "работе в комиссиях" других "заседавших".
   Студентов групп 5-2 и 5-2а выпуска 2005 года прошу привлекать для дачи показаний только в том случае, если окажется, что фигурировавшие выше документы (их заявление и моя просьба о создании комиссии) были уничтожены и только для восстановления их содержания. У меня нет к ним (бывшим студентам) никаких претензий и я не намерен выдвигать против них никаких обвинений. Обвинения, которые могут быть им выдвинуты с моей стороны -- это обвинения, которые выдвигаются в частном порядке. Поскольку они действовали "по молодости" и, кроме того, некоторыми лицами мне были принесены извинения, я считаю конфликт улаженным еще до всякого суда и, повторяю, не намерен выдвигать против них никаких обвинений. Прошу работников правоохранительных органов разъяснить это бывшим студентам, если их все-таки придется привлекать для дачи показаний. Кроме того, если таковое случится, прошу работников правоохранительных органов разъяснить бывшим студентам разницу между публичным и частным порядком уголовного преследования и о сути преступлений, которые подпадают под тот и другой порядок. Повторяю: в данном документе я заявляю, что считаю конфликт со студентами давно улаженным и, поэтому отказываюсь от выдвижения против них обвинений.
   Вероятно, мне следует дать объяснение, почему я не возбудил уголовное дело сразу же, осенью 2005 года: я находился в заторможенном состоянии под действием психотропных препаратов, затем долго от них отходил и, наконец, мне было просто неприятно вспоминать о происшедшем. Других же подходящих лиц, которые могли бы представлять мои интересы в суде, я не имел. Поэтому мне было необходимо дожидаться выздоровления. Кроме того, достаточно долго я просто не осознавал, что против меня совершено преступление.
  

Выдержки из УК РФ

  
   Раздел VII. ПРЕСТУПЛЕНИЯ ПРОТИВ ЛИЧНОСТИ
  
   Глава 16. ПРЕСТУПЛЕНИЯ ПРОТИВ ЖИЗНИ И ЗДОРОВЬЯ
  
   Статья 111. Умышленное причинение тяжкого вреда здоровью
   1. Умышленное причинение тяжкого вреда здоровью, опасного для жизни человека, или повлекшего за собой потерю зрения, речи, слуха либо какого-либо органа или утрату органом его функций, прерывание беременности, психическое расстройство, заболевание наркоманией либо токсикоманией, или выразившегося в неизгладимом обезображивании лица, или вызвавшего значительную стойкую утрату общей трудоспособности не менее чем на одну треть или заведомо для виновного полную утрату профессиональной трудоспособности, --
   наказывается лишением свободы на срок от двух до восьми лет. (часть первая в ред. Федерального закона от 25.06.1998 N 92-ФЗ)
   2. Те же деяния, совершенные:
   а) в отношении лица или его близких в связи с осуществлением данным лицом служебной деятельности или выполнением общественного долга;
   б) с особой жестокостью, издевательством или мучениями для потерпевшего, а равно в отношении лица, заведомо для виновного находящегося в беспомощном состоянии;
   в) общеопасным способом;
   г) по найму;
   д) из хулиганских побуждений;
   е) по мотиву национальной, расовой, религиозной ненависти или вражды;
   ж) в целях использования органов или тканей потерпевшего, -
   наказываются лишением свободы на срок от трех до десяти лет.
   3. Деяния, предусмотренные частями первой или второй настоящей статьи, если они совершены:
   а) группой лиц, группой лиц по предварительному сговору или организованной группой;
   б) в отношении двух или более лиц;
   в) неоднократно или лицом, ранее совершившим убийство, предусмотренное статьей 105 настоящего Кодекса, -
   наказываются лишением свободы на срок от пяти до двенадцати лет.
   4. Деяния, предусмотренные частями первой, второй или третьей настоящей статьи, повлекшие по неосторожности смерть потерпевшего, --
   наказываются лишением свободы на срок от пяти до пятнадцати лет.
  
   Статья 118. Причинение тяжкого или средней тяжести вреда здоровью по неосторожности
   1. Причинение тяжкого вреда здоровью по неосторожности --
   наказывается штрафом в размере от ста до двухсот минимальных размеров оплаты труда или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от одного до двух месяцев, либо обязательными работами на срок от ста восьмидесяти до двухсот сорока часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо ограничением свободы на срок до трех лет, либо арестом на срок от трех до шести месяцев.
   2. То же деяние, совершенное вследствие ненадлежащего исполнения лицом своих профессиональных обязанностей, -
   наказывается ограничением свободы на срок до четырех лет либо лишением свободы на срок до двух лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового.
  
   С вопросами применения ст. 111 и переквалификации ее в ст. 118 УК РФ можно ознакомиться в дипломной работе одного из юристов по ссылке
   http://revolution.allbest.ru/dl/25/00008852.zip
  
   Цитата оттуда:
   "Некоторые вопросы при квалификации преступлений против здоровья человека могут возникать также в связи с таким признаком причинения тяжкого вреда здоровью, как психическое расстройство. УК РФ и Правила не дают определения психических расстройств и не указывают, какие именно психические расстройства образуют состав причинения тяжкого вреда здоровью человека. Это обстоятельство вызвало появление в юридической литературе различных суждений о характере психического расстройства как признаке указанного состава преступления.
   Одни авторы заявляли, что психическое расстройство, приобретенное потерпевшим вследствие причинения ему телесного повреждения, образует состав тяжкого вреда здоровью, если оно постоянное или временное, излечимое или неизлечимое, но обязательно тяжелое или серьезное (См.: Пионтковский А.А., Меньшагин В.Д. Курс советского уголовного права. Особенная часть. -- Т. I. -- М., 1963. -- с. 578). Другие под психически расстройством в рассматриваемом аспекте понимали любое стойкое расстройство психической деятельности независимо от того, серьезное оно, тяжкое или легкое (См.: Орехов В.В. Борьба с телесными повреждениями по советскому уголовному праву: Автореф. дис.: канд. юрид. наук. -- М., 1960. -- с. 15.). Иное мнение высказал А.П. Филиппов, по мнению которого, "психическое заболевание дает основание для признания повреждения тяжким, если такое заболевание является неизлечимым, хроническим" (См.: Филиппов А.П. Расследование и предупреждение телесных повреждений. -- М., 1964. -- с. 63.) Большинство же отечественных криминалистов к тяжкому вреду относили не только хронические психические заболевания, но и временные, излечимые.
   Последняя точка зрения представляется единственно правильной, так как любое другое решение проблемы привело бы к сужению сферы применения соответствующей нормы, что, безусловно, ослабило бы уголовно-правовую охрану здоровья человека. Более того, необходимо учитывать, что даже "нетяжелое", "несерьезное" или "временное" (излечимое) психическое заболевание может иметь серьезные последствия для потерпевшего - осложнения, рецидивы, отрицательное влияние на трудоспособность и т.п. Поэтому уголовный закон (ч.1 ст.111 УК РФ) и Правила не классифицируют психические расстройства в зависимости от их тяжести, продолжительности и излечимости. Следовательно, причинение психического расстройства любой тяжести и продолжительности, излечимого или неизлечимого должно быть отнесено к причинению тяжкого вреда здоровью человека". Конец цитаты.
  

Приложение B

(Список плохоуспевающих)

  
   Группа 5-2.
   [Лекций (25) -- Д/З (1) -- Занятий по Л/Р (16) -- Сдано Л/Р (8) -- Опросы (4)]
   Барановский 4 -- 0 -- 4-- 5 -- 0
   Батищев 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Близнюк 3 -- 0 --3 -- 3 -- 0
   Бокова 5 -- 0 -- 8 -- 0 -- 0
   Калачев 5 -- 0 -- 7 -- 0 -- 0
   Куканова 10 -- 0 -- 6 -- 0 -- 0
   Линь Цзюнь 4 -- 0 -- 3 -- 0 -- 0
   Оброткин 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Погребняк 6 -- 0 -- 7 -- 0 -- 0
   Рабченок 10 -- 0 -- 10 -- 0 -- 0
   Сахно 8 -- 0 -- 10 -- 0 -- 0
   Сидоренко 2 -- 0 -- 5 -- 3 -- 0
   Сизов 1 -- 0 -- 4 -- 3 -- 0
   Шмойлов 9 -- 0 -- 5 -- 2 -- 0
   Элизбарян 7 -- 0 -- 2 -- 0 -- 0
   Яковенко 0 -- 0 -- 1 -- 0 -- 0
  
   Группа 5-2а.
   [Лекций (25) -- Д/З (1) -- Занятий по Л/Р (16) -- Сдано Л/Р (8) -- Опросы (4)]
   Агирбов 11 -- 0 -- 5 -- 0 -- 0
   Бабакина 10 -- 0 -- 4 -- 0 -- 0
   Вакуленко 9 -- 0 -- 3 -- 0 -- 0
   Вертелецкий 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Власов 2 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Герасимова 12 -- 0 -- 5 -- 0 -- 0
   Горбачев 6 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Дацко 4 -- 0 -- 1 -- 0 -- 0
   Жданкин 11 -- 0 -- 6 -- 0 -- 0
   Завадский 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Зинченко 5 -- 0 -- 2 -- 1 -- 0
   Игнатьев 4 -- 0 -- 3 -- 0 -- 0
   Кикова 11 -- 0 -- 7 -- 0 -- 0
   Коваленко 12 -- 0 -- 5 -- 0 -- 0
   Кононенко 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Мартыненко 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
   Орлов 0 -- 0 -- 1 -- 0 -- 0
   Пивной 1 -- 0 -- 3 -- 0 -- 0
   Рылов 3 -- 0 -- 2 -- 0 -- 0
   Сивяков 12 -- 0 -- 6 -- 0 -- 0
   [С]идоров 6 -- 0 -- 5 -- 0 -- 0
   [?]мазов 8 -- 0 -- 3 -- 0 -- 0
   [Хр]енкова 4 -- 0 -- 2 -- 0 -- 0
   [Ш]атохин 0 -- 0 -- 0 -- 0 -- 0
  

Приложение С

  

Просьба о прекращении делопроизводства по двум заявлениям, поданным непосредственно через канцелярию, а не через почту.

  
   На Ваше имя мною были поданы два заявления непосредственно через канцелярию, а не через почту. Это вызвано тем, что я недостаточно знаком с тонкостями делопроизводства. Если бы в канцелярии была какая-нибудь "памятка подателю заявления", в котором подателю заявления разъясняются его права, порядок подачи заявления и заверения копий, то я, несомненно, сразу же воспользовался услугами почты. Приношу извинения за доставленные неудобства.
   Первое заявление идентифицировано (по сообщению работника канцелярии) как "01-48/30 23.10.07", а второе -- не знаю; оно похоже по содержанию на настоящее заявление и подано мною (и подписано) 25.10.07. Ответы на эти заявления меня не интересуют, так как я не могу представить всем заверенную в канцелярии копию этих документов. Просьба не ссылаться на ответы на эти заявления в ответах на мои заявления, поступившие позднее. В противном случае я буду вынужден еще раз подать заявления, явно указав в них требование не ссылаться на ответы на два вышеуказанных заявления. Если возможно, прошу прекратить по ним делопроизводство на основании данного приложения.
  

Приложение D

(адрес для связи с заявителем)

  
   Со мной, подателем сего заявления, в настоящее время можно связаться по следующему адресу (адрес проживания):
  
   346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
   Леонов Андрей Владимирович
  
   [номер письма 34640094683580; вручено 30.10.2007]
  
   Конец цитирования
  
   Касательно этого заявления добавлю: я точно помню, что Мартыненко, находящийся в списке плохоуспевающих (Приложение B) не подписывал заявления против меня.
  
   На это заявление ответа, естественно, получено не было -- даже какой-либо отписки для видимости соблюдения правил делопроизводства. Не было получено ответа и на заявление, которое в Приложении C упоминается как Заявление от 25.10.07.
   Заявление, помеченное в Приложении С как "входящее N 01-48/30 от 23.10.07" -- это, напомним, заявление, связанное с отменой результатов конкурса на замещение должности старшего преподавателя кафедры ЭВМ, первое из двух поданных мною; на него был приведен ранее.
  
   (20071129) Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 29.11.2007 (номер письма 34640095627675; вручено 03.12.2007) -- о предоставлении информации (см. 20071027, 20071026, 20071023)
  
   Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 29.11.2007 (номер письма 34640095627675; вручено 03.12.2007)
  
   Начало цитирования
  
   Зав. каф. "Электронные
   вычислительные машины"
   проф., д.т.н. Ковалеву О.Ф.
   Леонова Андрея Владимировича
   (бывшего сотрудника)
  

Заявление

  
   Прошу Вас представить мне информацию в виде копий (ксерокопий) ряда нижеперечисленных документов с заверением подлинности (должность, подпись, расшифровка подписи, дата).
   1. Заявление с обвинениями против меня, выдвинутыми студентами групп V-2 и V-2а выпуска 2005 года. Заявление принято Вами в конце декабря 2004 г. Прошу заверить все страницы копии (ксерокопии) этого документа.
   2. Мое заявление на Ваше имя с просьбой создать комиссия или назначить заместителя для приема экзаменов у означенных групп в связи с тем, что мне было высказано недоверие студентами и руководством кафедры.
   3. Мое заявление на Ваше имя, в котором сообщается, что я не явился на прием экзамена у означенных групп без уважительной причины.
   4. Протокол заседания кафедры от 26 июня 2007 г. (ориентировочно), на котором кафедра давала рекомендацию для проведения конкурсного отбора на должность старшего преподавателя 13 разряда. В частности, меня интересуют следующие части Протокола:
   а). Отчет кандидата, прошедшего конкурсный отбор
   б). Результаты голосования и вид голосования по данному кандидату
   в). Список присутствовавших на заседании
   Обязуюсь возместить затраты на копирование (ксерокопирование) в случае предъявления мне такового требования.
  
   Адрес заявителя: 346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
   Дом. телефон: [личные данные скрыты]
   Email: andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (29.11.2007)
   Подпись
  
   [номер письма 34640095627675; вручено 03.12.2007]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20080813) Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 13.08.2008 (номер письма 34642804138489; вручено 15.08.08) -- исторические сведения о Тушканове (см. 20071027)
  
   Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 13.08.2008 (номер письма 34642804138489; вручено 15.08.08)
  
   Начало цитирования
  
   Зав. каф. ЭВМ ФИТУ
   ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Ковалеву О.Ф.
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Не имея в настоящее время никакого отношения к ЮРГТУ (НПИ) и кафедре ЭВМ, хочу сообщить Вам об удивительном происшествии, случившемся (насколько мне не изменяет память) в 2003 году, которое, по моему мнению, может представлять немалый интерес для историографов науки.
   Весной 2003 года, работая ассистентом кафедры ЭВМ, я имел наедине беседу с бывшим заведующим кафедрой ЭВМ к.т.н. Николаем Борисовичем Тушкановым. Насколько я помню, в то время Н.Б. Тушканов был заведующим кафедрой аналогичного профиля в каменском филиале ЮРГТУ, а на кафедре ЭВМ ЮРГТУ работал то ли доцентом, то ли старшим научным сотрудником.
   По словам Н.Б. Тушканова, группа студентов кафедры ЭВМ (из групп 2-2 и/или 2-2а выпуска 2005 года) обратились через него, как через посредника, ко мне с просьбой провести ряд дополнительных занятий по дисциплине "Архитектура и конфигурирование ЭВМ", на которых я должен был бы выступить в роли частного репетитора. При этом Н.Б. Тушканов предложил свои посреднические услуги в сборе со студентов платы за репетиторство.
   Как известно, репетиторство -- деятельность, не составляющая никакого преступления. Эта деятельность достаточно широко развита в нашем городе -- например, в виде подготовки школьников к поступлению в ВУЗ. В данном случае, хотя дополнительный заработок мне бы вовсе и не помешал, я предпочел отказаться от предложения, так как сам должен был оценивать результаты своей работы, что не совсем хорошо выглядит с моральной стороны.
   Возвращаясь к этой истории спустя годы, хочу отметить уникальность происшедшего: Н.Б. Тушканов, по-видимому, стал первым в ЮРГТУ (и, вероятно, первым в странах бывшего СССР, а, может быть, и во всем мире) заведующим кафедрой, предложившим ассистенту свои услуги подручного по сбору денег со студентов.
   Прошу Вас, учитывая уникальность происшедшего, занести данный случай в анналы истории кафедры ЭВМ и всего Университета. В частности, прошу отобразить это событие на страничках сайта ЮРГТУ, посвященных истории кафедры ЭВМ, а также передать копию данного Заявления в Музей ЮРГТУ.
  
   Адрес прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2008)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (13.08.2008)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34642804138489; вручено 15.08.08]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20090306) Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 06.03.2009 (номер письма 34640011230293; вручено 11.03.2009) -- оскорбление (см. 20071027)
  
   Заявление А.В. Леонова Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) О.Ф. Ковалеву от 06.03.2009 (номер письма 34640011230293; вручено 11.03.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Зав. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ)
   уголовному выблядку
   проф., д.т.н. Ковалеву
   Олегу Федоровичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Сегодня, 06.03.2009, между 1330 и 1400 часами, в присутствии многочисленных свидетелей, я назвал Вас уголовным выблядком. Первый раз -- на каф. ЭВМ, в присутствии сотрудников кафедры, второй раз -- в "нижней" лаборатории под кафедрой, в присутствии сотрудников и многочисленных студентов.
   Ныне я еще раз заявляю, что вы являетесь уголовным выблядком.
   Надеюсь, для отстаивания своей чести и своего достоинства в суде Вам хватит как настоящего заявления, так и свидетельств очевидцев, которые наверняка не забыли сообщить Вам о случившемся.
  
   Адрес прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131
  
   06.03.2009, 15 ч. 00 мин.
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34640011230293; вручено 11.03.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было. Обращения в суд не последовало.
  
   (20071106) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.2007) -- о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха
  
   Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.2007)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору по научной работе
   ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Павленко А.В.
   Леонова Андрея
   Владимировича
   (бывший сотрудник)
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет четыре приложения. Список приложений приведен в конце заявления. Заявление имеет две страницы. На оборотной стороне каждой страницы оставлен образец почерка заявителя типа "Страница номер такой-то. Всего страниц -- две.", а также роспись заявителя.
  
   Согласно п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, утвержденном постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 "Об утверждении единого реестра ученых степеней и ученых званий и положения о порядке присуждения ученых степеней" лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций.
   На основании Приложения А прошу Вас, как проректора по научной работе, рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства об отмене присужденной ученой степени доктора технических наук Ковалеву Олегу Федоровичу.
   Ковалев О.Ф. защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора технических наук "Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах". Защита работы состоялась 19 декабря 2001 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 в ЮРГТУ (НПИ) (по сведениям из автореферата к диссертации).
   Краткая суть Приложения A: "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников", являющийся центральной темой диссертационной работы О.Ф. Ковалева, является (если его "доформулировать") давно и хорошо известным квази- методом Ньютона (квази- методом Ньютона, получающимся из метода хорд аппроксимацией якобиана с помощью матрицы жесткости).
   Кроме того, на основании Приложения B прошу Вас, как проректора по научной работе, рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства об отмене присужденной ученой степени доктора технических наук Птаху Геннадию Константиновичу.
   Птах Г.К. защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора технических наук "Развитие методов расчета электромагнитных процессов в электромеханических системах". Защита работы состоялась 25 декабря 2003 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.01 в ЮРГТУ (НПИ) (по сведениям из автореферата к диссертации).
   Краткая суть Приложения B: "Метод расщепления", являющийся одной из центральных тем диссертационной работы Г.К. Птаха, если его "доформулировать", является тем же, что и "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" и почти в точности его повторяет.
   В случае экспертизы приложений A и B прошу не привлекать к ней тех, кто рецензировал монографии, в которых отражены основные результаты диссертационных исследований вышеуказанных лиц, а также тех, кто являлся их научными консультантами и официальными оппонентами, так как отрицательные результаты подобной экспертизы могут быть легко оспорены.
   В частности, прошу не привлекать к экспертизе:
   проф., д.т.н. Ткачева А.Н. Причина -- являлся официальным оппонентом О.Ф. Ковалева.
   проф., д.т.н. Бахвалова Ю.А. Причина -- являлся рецензентом монографии О.Ф. Ковалева (В приложении A на нее ссылаются как на [КОВАЛЕВ2001]) и научным консультантом Г.К. Птаха.
   Если указанная экспертиза состоится, прошу указать экспертов, принимавших в ней участие (с указанием ученых степеней и званий, а также должностей и мест работы) и мнения этих экспертов.
  

Список приложений

  
   Приложение A. Распечатка (двусторонняя) на 27 листах нижеуказанной книги:
   Леонов А.В. Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. - Новочеркасск.: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. - 108 с.
   (Книгу можно скачать по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.)
   Приложение B. Замечания по "методу расщепления" Г.К. Птаха. На пяти страницах. На оборотной стороне каждой страницы оставлен образец почерка заявителя типа "Страница номер такой-то. Всего страниц -- пять", а также роспись заявителя.
   Приложение C. DVD-диск в конверте с Приложениями A и B в электронной форме.
   Приложение D. Почтовый адрес для связи с заявителем.
  
   Замечание. Для сохранности при транспортировке приложение C помещено между листами Приложения A.
  
   Дата (06.11.2007)
   Подпись
   [Приложение A не приводится]
   [Приложение B не приводится]
   [Приложение C не приводится]
  

Приложение D

  
   Со мной, подателем сего заявления, в настоящее время можно связаться по следующему адресу (адрес проживания):
  
   346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
   Леонов Андрей Владимирович
  
   [номер письма 34644895077449; вручено 09.11.2007]
  
   Конец цитирования
  
   (R20071126) Ответ Проректора по НРиИД ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко А.В. Леонову (исходящий от 26.11.2007 N 13П-263/02) на Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.07) -- документы для лишения ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха переданы в диссертационные советы (см. 20071106)
  
   Ответ Проректора по НРиИД ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко А.В. Леонову (исходящий от 26.11.2007 N 13П-263/02) на Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.07)
  
   Начало цитирования
  
   Федеральное агентство по образованию
   Государственное образовательное учреждение
   высшего профессионального образования
   Южно-Российский
   государственный технический университет
   (Новочеркасский политехнический институт)
   346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132
   Тел.: (863-52) 2-33-44, 5-55-14
   Факс (863-52) 2-72-69
   Е-mail: ngtu@novoch.ru
   Исходящий
   от 26.11.2007 N 13П-263/02
   [Входящий не указан]
  
   346448,
   г. Новочеркасск Ростовской области,
   [личные данные сркыты]
   Леонову Андрею Владимировичу
  
   Ваше заявление с приложениями A, B, C, Д, направленное на мое имя, передано для рассмотрения в диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Результаты будут сообщены Вам после рассмотрения в диссертационных советах.
  
   Проректор по НРиИД [Подпись] А.В. Павленко
  
   [На обратной стороне листа проставлен номер листа -- 012559]
  
   Конец цитирования
  
   (20071204A) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.01 от 04.11.2007 (ошибочная датировка; в действительности -- от 04.12.2007) (номер письма 34641496042548; вручено 10.12.2007) -- конкретизировать сроки рассмотрения документов о лишении ученых степеней (см. 20071106, R20071126)
  
   Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.01 от 04.11.2007 (ошибочная датировка; в действительности -- от 04.12.2007) (номер письма 34641496042548; вручено 10.12.2007)
  
   Начало цитирования
  
   Главе диссертационного совета
   Д 212.304.01
   при ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   В соответствии с исходящим документом 13П-263/02, подписанным Проректором по НРиИД А.В. Павленко и отправленным в ответ на входящий документ с номером письма 34644895077449, в диссертационный совет, в котором Вы являетесь Главой, передано содержимое письма с номером 34644895077449. Прошу рассмотреть полученные документы и возбудить ходатайство о лишении ученой степени доктора технических наук Птаха Г.К.
   Прошу сообщить конкретные сроки рассмотрения полученных документов и сообщить результат с указанием мнений отдельных членов диссертационного совета.
   Прошу ответить на данное Заявление регистрируемым почтовым отправлением с уведомлением о вручении.
  
   Почтовый адрес для связи с Заявителем (является адресом прописки и фактического проживания):
   346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
  
   Дата (04.11.2007)
   Подпись
  
   [номер письма 34641496042548; вручено 10.12.2007]
   [Датировка ошибочна; действительная дата -- 04.12.2007; об этой ошибке сообщено в Заявлении А.В. Леонова Заведующему Канцелярией ЮРГТУ (НПИ) от 07.12.2007 (номер письма 34644896084590; вручено 11.12.2007)]
  
   Конец цитирования
  
   На данное заявление ответа получено не было.
  
   (20071204B) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.02 от 04.11.2007 (ошибочная датировка; в действительности -- от 04.12.2007) (номер письма 34641496042579; вручено 10.12.2007) -- конкретизировать сроки рассмотрения документов о лишении ученых степеней (см. 20071106, R20071126)
  
   Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.02 от 04.11.2007 (ошибочная датировка; в действительности -- от 04.12.2007) (номер письма 34641496042579; вручено 10.12.2007)
  
   Начало цитирования
  
   Главе диссертационного совета
   Д 212.304.02
   при ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   В соответствии с исходящим документом 13П-263/02, подписанным Проректором по НРиИД А.В. Павленко и отправленным в ответ на входящий документ с номером письма 34644895077449, в диссертационный совет, в котором Вы являетесь Главой, передано содержимое письма с номером 34644895077449. Прошу рассмотреть полученные документы и возбудить ходатайство о лишении ученой степени доктора технических наук Ковалева О.Ф.
   Прошу сообщить конкретные сроки рассмотрения полученных документов и сообщить результат с указанием мнений отдельных членов диссертационного совета.
   Прошу ответить на данное Заявление регистрируемым почтовым отправлением с уведомлением о вручении.
  
   Почтовый адрес для связи с Заявителем (является адресом прописки и фактического проживания):
   346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
  
   Дата (04.11.2007)
   Подпись
  
   [номер письма 34641496042579; вручено 10.12.2007]
   [Датировка ошибочна; действительная дата -- 04.12.2007; об этой ошибке сообщено в Заявлении А.В. Леонова Заведующему Канцелярией ЮРГТУ (НПИ) от 07.12.2007 (номер письма 34644896084590; вручено 11.12.2007)]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20071206) Заявление А.В. Леонова Заведующему Канцелярией ЮРГТУ (НПИ) от 07.12.2007 (номер письма 34644896084590; вручено 11.12.2007) -- сообщение об ошибках датировки ранее поступивших заявлений (см. 20071204A, 20071204B)
  
   Заявление А.В. Леонова Заведующему Канцелярией ЮРГТУ (НПИ) от 07.12.2007 (номер письма 34644896084590; вручено 11.12.2007)
  
   (Заявление приводится фрагментарно)
  
   Начало цитирования
  
   Заведующему канцелярией
   ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   Леонова Андрея Владимировича
  

Заявление

  
   В ряде входящих документов за моей подписью имеется ряд ошибок (в частности, и ошибок в датировке подписи), а именно:
   <...>
   3. Входящий документ с номером письма 34641496042548. (Заявление на имя главы диссертационного совета Д 212.304.01. по поводу докторской диссертации Птаха Г.К.) Подпись ошибочно датирована не декабрем (12 месяц), а ноябрем (11 месяц) 2007 года
   4. Входящий документ с номером письма 34641496042579. (Заявление на имя главы диссертационного совета Д 212.304.02. по поводу докторской диссертации Ковалева О.Ф.) Подпись ошибочно датирована не декабрем (12 месяц), а ноябрем (11 месяц) 2007 года.
   <...>
   Прошу приобщить настоящее Заявление (копии настоящего заявления) к делам, заведенным в связи с поступлением вышеуказанных входящих документов, а также проинформировать Исполнителей и Контролеров Исполнителей о допущенных мной ошибках.
   Почтовый адрес для связи с Заявителем (является адресом прописки и фактического проживания):
   346448 г. Новочеркасск Ростовской обл.
   [личные данные скрыты]
  
   Дата (07.12.2007)
   Подпись
  
   [номер письма 34644896084590; вручено 11.12.2007]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (R20071221) Ответ Проректора по НРиИД ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко А.В. Леонову (исходящий от 21.12.2007 N 13П-211/02) на Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.07) -- о прекращении работы диссертационных советов (см. 20071106, R20071126, 20071204A, 20071204B)
  
   Ответ Проректора по НРиИД ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко А.В. Леонову (исходящий от 21.12.2007 N 13П-211/02) на Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено 09.11.07)
  
   Начало цитирования
  
   Федеральное агентство по образованию
   Государственное образовательное учреждение
   высшего профессионального образования
   Южно-Российский
   государственный технический университет
   (Новочеркасский политехнический институт)
   346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132
   Тел.: (863-52) 2-33-44, 5-55-14
   Факс (863-52) 2-72-69
   Е-mail: ngtu@novoch.ru
   Исходящий
   от 21.12.2007 N 13П-211/02
   [Входящий не указан]
  
   346448,
   г. Новочеркасск Ростовской области,
   [личные данные скрыты]
   Леонову Андрею Владимировичу
  
   Сообщаем, что согласно приказам Минобрнауки России от 09.01.2007 г. N 2 и от 19.04.2007 г. N 120 деятельность диссертационных советов, указанных в Вашем заявлении на мое имя, прекращена с 15 ноября с.г.
   В связи с этим, решения по результатам работы комиссий, созданных по рассмотрению вашего заявления, могут быть приняты диссертационными советами после возобновления их деятельности.
  
   Проректор по НРиИД [Подпись] А.В. Павленко
  
   [На обратной стороне листа проставлен номер листа -- 013341]
  
   Конец цитирования
  
   (20080317A) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе Южного Федерального Университета Е.К. Айдаркину от 17.03.2008 (номер письма 34642899046065; вручено 21.03.2008) -- о диссертации В.А. Мохова
  
   Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе Южного Федерального Университета Е.К. Айдаркину от 17.03.2008 (номер письма 34642899046065; вручено 21.03.2008)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору по научной работе
   Южного Федерального Университета
   проф., к.биол.н. Айдаркину Е.К.
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет два приложения. Список приложений приведен в конце заявления. Заявление имеет две страницы. На оборотной стороне каждой страницы оставлен образец почерка заявителя типа "Страница номер такой-то. Всего страниц -- две.", а также роспись заявителя.
  
   Согласно п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, утвержденном постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 "Об утверждении единого реестра ученых степеней и ученых званий и положения о порядке присуждения ученых степеней" лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций.
   На основании Приложения А прошу Вас, как проректора по научной работе, рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства об отмене присужденной ученой степени кандидата технических наук Мохову Василию Александровичу.
   Мохов В.А. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук "Разработка алгоритмов прямого синтеза аппроксимирующих искусственных нейронных сетей". Согласно сведениям из автореферата диссертации, защита состоялась 20 октября 2005 года на заседании диссертационного совета К212.208.04 Южно-Российского регионального центра информатизации Ростовского государственного университета (начало заседания -- 11 часов) по адресу 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корп. 2, ЮГИНФО РГУ, аудитория 206. (Названия учреждений даны момент защиты диссертации).
   В случае экспертизы приложения A прошу не привлекать к ней научного руководителя и официальных оппонентов, так как отрицательные результаты подобной экспертизы могут быть легко оспорены.
   Если указанная экспертиза состоится, прошу указать экспертов, принимавших в ней участие (с указанием ученых степеней и званий, а также должностей и мест работы) и мнения этих экспертов.
  
   Краткое содержание Приложения A (список основных претензий к вышеупомянутой диссертации):
  
   1. Критерий, используемый для остановки измельчения конечноэлементной сетки при проведении адаптивной аппроксимации неверен.
   2. При переходя к "правильному" критерию аппроксимация функции полиномами второй степени становится ненужной.
   3. Разработанный В.А. Моховым алгоритм аппроксимации полиномами второй степени (рассматриваемый сам по себе) содержит недостатки, главные из которых следующие: значение ряда коэффициентов принимается произвольным, чего нельзя делать при аппроксимации функции, о которой заранее ничего неизвестно; аппроксимирующая функция в общем случае терпит разрывы на границах конечныx элементов.
   4. Устранение указанных в п. 3 недостатков ведет к давно известной аппроксимации, использующей лагранжевы треугольники второго порядка.
   5. Оценка погрешности аппроксимации выполнена ошибочным образом. Ограничения, наложенные на аппроксимируемую функцию для достижения гарантированной точности аппроксимации нелепы. Более сложный случай оценки погрешности аппроксимации, когда аппроксимирующая функция является проекцией элемента одного функционального пространства на другое пространство, не рассматривается.
  

Список приложений

  
   Приложение A. Распечатка (односторонняя) на 27 листах следующей рукописной работы:
   Леонов А.В. Недостатки и ошибки одного метода аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки. 2008 г.
   На указанных листах надпись "Приложение А" отсутствует.
   К моменту получения данного Заявления работа будет доступна для скачивания по ссылке с сайта http://lion.altul.com
   Приложение B. DVD-диск с Приложениям A в электронной форме.
   Для сохранности при транспортировке приложение B помещено между листами Приложения A.
  

Адрес прописки и фактического проживания заявителя:

   346448 г. Новочеркасск
   [личные данные скрыты]
  

Предпочитаемый почтовый адрес для связи с заявителем:

   346448, г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу
   (срок истечения аренды а/я по текущему договору -- 31.12.2008)
  
   Дата (17.03.2008)
   Подпись
  
   [Приложение A не приводится]
   [Приложение B не приводится]
  
   [номер письма 34642899046065; вручено 21.03.2008]
  
   Конец цитирования
  
   Предполагалось, что Проректор по научной работе Южного Федерального Университета (созданного на базе Ростовского Государственного Университета) передаст документы, содержащиеся в письме, в соответствующий диссертационный совет для последующего лишения В.А. Мохова ученой степени кандидата наук. Но этого, очевидно, не произошло.
   На данное Заявление не было получено никакого ответа.
  
   (200810317B) Письмо А.В. Леонова доц. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), к.т.н. В.А. Мохову (номер письма 34642899046072; вручено 20.03.2008) -- о диссертации В.А. Мохова
  
   Письмо А.В. Леонова доц. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ), к.т.н. В.А. Мохову (номер письма 34642899046072; вручено 20.03.2008)
  
   Копии всех документов (без подписей), содержащихся в письме с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе Южного Федерального Университета Е.К. Айдаркину от 17.03.2008 (номер письма 34642899046065; вручено 21.03.2008), были высланы доц. каф. ЭВМ ЮРГТУ (НПИ) Василию Александровичу Мохову (номер письма 34642899046072; вручено 20.03.2008) через Канцелярию ЮРГТУ (НПИ).
   Ответа на письмо А.В. Мохову мною получено не было -- хотя мой обратный адрес должен быть ему известен хотя бы из соответствующей надписи на почтовом конверте, в котором были посланы упомянутые документы.
  
   (20081016) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 16.10.2008 (номер письма 34642807181048; вручено 22.10.2008) -- о диссертации В.А. Мохова (см. 20081703A, 20081703B)
  
   Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Павленко от 16.10.2008 (номер письма 34642807181048; вручено 22.10.2008)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору по научной работе
   ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Павленко А.В.
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление состоит из одной страницы и имеет одно приложение -- Приложение A -- упоминающуюся ниже брошюру.
  
   Уведомляю Вас о том, что 17.03.2008 на имя Проректора по научной работе Южного Федерального Университета мною направлено заявление с рядом материалов, касающихся кандидатской диссертации к.т.н., доц. каф. ЭВМ Мохова Василия Александровича, с просьбой рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства о лишения ученой степени на основании п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, утвержденном постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 "Об утверждении единого реестра ученых степеней и ученых званий и положения о порядке присуждения ученых степеней". Предполагалось, что материалы, содержащиеся в заявлении, будут переданы в соответствующий диссертационный совет (при одном из НИИ, входящих в состав Южного Федерального Университета)
   На вышеупомянутое заявление можно сослаться следующим образом: заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по образовательной деятельности Южного Федерального Университета Айдаркина Е.К. от 17.03.2008 с номером письма 34642899046065; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 20.03.2008.
   На данное заявление не поступило никакого ответа, несмотря на превышение сроков, общепринятых в делопроизводстве.
   В случае заинтересованности Вас и руководства ЮРГТУ (НПИ) рассмотрением данного заявления по существу, Вы можете связаться с руководством Южного Федерального Университета и выяснить обстоятельства, связанные с рассмотрением данного заявления более подробно.
   В качестве приложения к настоящему заявлению приводится брошюра, отпечатанная с файла, по которому был создан макет для следующей брошюры:
   А.В. Леонов. Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки.; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 32 с.
   Данная брошюра содержит критический разбор кандидатской диссертации В.А. Мохова "Разработка алгоритмов прямого синтеза аппроксимирующих искусственных нейронных сетей" и практически полностью идентична Приложению A упоминавшегося выше заявления.
  
   Дата (16.10.2008)
   Подпись
  
   Адрес прописки заявителя: 346448 г. Новочеркасск [личные данные скрыты]
   Адрес для почтовой связи: 346448 г. Новочеркасск а/я 131.
  
   [Приложение A не приводится]
  
   [номер письма 34642807181048; вручено 22.10.2008]
  
   Конец цитирования
  
   Ответа на данное Заявление получено не было.
  
   (20080904) Заявление А.В. Леонова Проректору по безопасности ЮРГТУ (НПИ) М.В. Сорокину от 04.09.2008 (номер письма 34640005514330; вручено 09.09.2008) -- о нерассмотрении ряда ранее поданных заявлений (см. 20071027, 20071026, 20071106 и др.)
  
   Заявление А.В. Леонова Проректору по безопасности ЮРГТУ (НПИ) М.В. Сорокину от 04.09.2008 (номер письма 34640005514330; вручено 09.09.2008)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору ЮРГТУ (НПИ)
   по безопасности
   Сорокину Михаилу
   Владимировичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное Заявление состоит из трех страниц (приложений не имеется). На обороте каждого листа заявления имеется образец подчерка заявителя вида "Страница номер такой-то. Всего страниц -- три" и подпись заявителя.
  
   В 2007 году на имя различных должностных лиц ЮРГТУ (НПИ) мною был направлен ряд заявлений, на которые до сих пор не получено ответа. Прошу Вас содействовать рассмотрению нижеупоминающихся заявлений по существу -- по крайней мере, трех первых заявлений.
  
   1. Заявление на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 27.10.2007; номер письма 34640094683580. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007. В данном Заявлении идет речь о событиях на кафедре ЭВМ, имевших место зимой 2004-2005 годов. Соответствующий исходящий документ мной не получен.
   Замечание. Разумеется, здесь не идет речь о том, что руководство ЮРГТУ должно взять на себя функции суда и либо привлечь руководство кафедры ЭВМ к уголовной ответственности, либо привлечь к уголовной ответственности за клевету меня. Речь идет о проведении "внутрикорпоративного расследования", которое закончится "внутрикорпоративно" же или о создании какого-то подобия "суда чести", "приговор" которого ни к чему не обязывает с точки зрения действующего закона. По крайней мере, мне хотелось бы выяснить, как выглядят описываемые мною происшествия с точки зрения существующих "официальных бумаг". Пора уже определиться -- какие документы существуют и были приняты к делопроизводству, а какие -- "плоды моих галлюцинаций". Конец замечания.
   2. Заявление на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 26.10.2007; номер письма 34644895074578. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007. В данном Заявлении идет речь о порядке проведения конкурсного отбора на замещение должностей научно-педагогических работников в ЮРГТУ (НПИ) "вообще", а также об аннулировании результатов одного конкретного конкурсного отбора в связи с допущенными нарушениями. Соответствующий исходящий документ мной не получен.
   Замечание. Заявление похожего содержания подавалось мною не по почте, а непосредственно через Канцелярию ЮРГТУ. Это Заявление от 23.10.2007 на имя Ректора. В ответ на данное Заявление мною получен исходящий документ N 38-3/236 от 02.11.2007 за подписью Ректора ЮРГТУ проф., д.т.н. Лунина Л.С. (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Исходящий документ, на мой взгляд, содержит ложное утверждение об отсутствии нарушений при проведении упомянутого конкурсного отбора. Заявление, фигурирующее здесь под пунктом 2, содержит дополнительные сведения о нарушении, допущенном при проведении конкурсного отбора. Подача повторного заявления, упомянутого в пункте 2, обусловлена также и тем, что у меня отсутствует заверенная копия заявления от 23.10.2007, а ответ на него составлен так, что стороннему человеку не понятно, о каком именно конкурсном отборе идет речь. Конец замечания.
   3. Заявление на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007. В данном заявлении идет речь о лишении ряда лиц ученых степеней на основании ходатайств диссертационных советов. "Конечный" исходящий документ, который бы "поставил точку" в данном вопросе мною не получен; имеется ряд "промежуточных" исходящих документов:
   а. Исходящий документ 13П-263/02 от 26.11.2007 за подписью Проректора по научной работе А.В. Павленко (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Данный документ информирует меня о том, что мое Заявление, фигурирующее здесь под пунктом 3, передано для рассмотрения в диссертационные советы Д.212.304.01 и Д.212.304.02.
   б. Исходящий документ 13П-211/02 от 21.12.2007 за подписью Проректора по научной работе А.В. Павленко (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Данный документ информирует меня о прекращении деятельности вышеуказанных диссертационных советов с 15.11.2007 согласно соответствующему приказу Минобрнауки России и о том, что "решения по результатам работы комиссий, созданных по рассмотрению вашего заявления, могут быть приняты диссертационными советами после возобновления их деятельности".
   Насколько мне известно, вышеуказанные диссертационные советы уже возобновили свою работу.
  
   Кроме того, различным должностным лицам ЮРГТУ (НПИ) мною были посланы как бы "вдогонку" к данным заявлениям другие заявления. Я упомяну лишь некоторые из них:
   Заявление начальнику Информационно-правового отдела Симавской И.П от 11.12.2007; номер письма 34644896086341. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 14.12.2007. Содержит просьбу сообщить о тех, кто был назначен исполнителями и контролерами исполнителей для входящих документов, фигурирующих здесь под пунктами 1 и 2. Заявление направлено по совету сотрудника Канцелярии, де-факто отказавшегося предоставить данную информацию.
   Заявление главе диссертационного совета Д.212.304.02 от 04.11.2007 (мною поставлена ошибочная дата -- на самом деле речь идет о 04.12.2007); номер письма 34641496042579. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 13.12.2007. В заявлении идет речь о конкретизации сроков рассмотрения заявления, фигурирующего здесь под пунктом 3 (имеется в виду диссертационная работа О.Ф. Ковалева).
   Заявление главе диссертационного совета Д.212.304.01 от 04.11.2007 (мною поставлена ошибочная дата - на самом деле речь идет о 04.12.2007); номер письма 34641496042548. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 13.12.2007. В заявлении идет речь о конкретизации сроков рассмотрения заявления, фигурирующего здесь под пунктом 3 (имеется в виду диссертационная работа Г.К. Птаха).
   Замечание. Согласно существующим правилам делопроизводства большая разница во времени в датах, проставленных под заявлением и на штемпелях почтовых отделений на конверте, требует лишь "приобщения к делу" конверта и нисколько не влияет на рассмотрение заявления по существу. Кроме того, мною были направлены явные уведомления об ошибочной датировке -- смотри Заявление на имя заведующего канцелярией ЮРГТУ от 07.12.2007 с номером письма 34644896084590; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 11.12.2007. Конец замечания.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2008)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (04.09.2008)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34640005514330; вручено 09.09.2008]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20090116A) Заявление А.В. Леонова и.о. Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 16.01.2009 (номер письма 34644809021445; вручено 20.01.2009) -- о нерассмотрении ряда ранее поданных заявлений (см. 20071027, 20071026, 20071106 и др.)
  
   Заявление А.В. Леонова и.о. Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 16.01.2009 (номер письма 34644809021445; вручено 20.01.2009)
  
   Начало цитирования
  
   И. о. ректора ЮРГТУ (НПИ)
   Передерию Владимиру
   Георгиевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное Заявление состоит из трех страниц (приложений не имеется). На обороте каждого листа заявления имеется образец подчерка заявителя вида "Страница номер такой-то. Всего страниц -- три" и подпись заявителя.
  
   В 2007 году на имя различных должностных лиц ЮРГТУ (НПИ) мною был направлен ряд заявлений, на которые до сих пор не получено ответа. Прошу Вас содействовать рассмотрению нижеупоминающихся заявлений по существу - по крайней мере, трех первых заявлений.
  
   1. Заявление на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 27.10.2007; номер письма 34640094683580. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007. В данном Заявлении идет речь о событиях на кафедре ЭВМ, имевших место зимой 2004-2005 годов. Соответствующий исходящий документ мной не получен.
   Замечание. Разумеется, здесь не идет речь о том, что руководство ЮРГТУ должно взять на себя функции суда и либо привлечь руководство кафедры ЭВМ к уголовной ответственности, либо привлечь к уголовной ответственности за клевету меня. Речь идет о проведении "внутрикорпоративного расследования", которое закончится "внутрикорпоративно" же или о создании какого-то подобия "суда чести", "приговор" которого ни к чему не обязывает с точки зрения действующего закона. Мне хотелось бы выяснить, как выглядят описываемые мною происшествия с точки зрения существующих "официальных бумаг". Пора уже определиться -- какие документы существуют и были приняты к делопроизводству, а какие - "плоды моих галлюцинаций". Конец замечания.
   2. Заявление на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 26.10.2007; номер письма 34644895074578. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007. В данном Заявлении идет речь о порядке проведения конкурсного отбора на замещение должностей научно-педагогических работников в ЮРГТУ (НПИ) "вообще", а также об аннулировании результатов одного конкретного конкурсного отбора в связи с допущенными нарушениями. Соответствующий исходящий документ мной не получен.
   Замечание. Заявление похожего содержания подавалось мною не по почте, а непосредственно через Канцелярию ЮРГТУ. Это Заявление от 23.10.2007 на имя Ректора. В ответ на данное Заявление мною получен исходящий документ N 38-3/236 от 02.11.2007 за подписью Ректора ЮРГТУ проф., д.т.н. Лунина Л.С. (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Исходящий документ, на мой взгляд, содержит ложное утверждение об отсутствии нарушений при проведении упомянутого конкурсного отбора. Заявление, фигурирующее здесь под пунктом 2, содержит дополнительные сведения о нарушении, допущенном при проведении конкурсного отбора. Подача повторного заявления, упомянутого в пункте 2, обусловлена также и тем, что у меня отсутствует заверенная копия заявления от 23.10.2007, а ответ на него составлен так, что стороннему человеку не понятно, о каком именно конкурсном отборе идет речь. Конец замечания.
   3. Заявление на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007. В данном заявлении идет речь о лишении ряда лиц ученых степеней на основании ходатайств диссертационных советов. "Конечный" исходящий документ, который бы "поставил точку" в данном вопросе мною не получен; имеется ряд "промежуточных" исходящих документов:
   а. Исходящий документ 13П-263/02 от 26.11.2007 за подписью Проректора по научной работе А.В. Павленко (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Данный документ информирует меня о том, что мое Заявление, фигурирующее здесь под пунктом 3, передано для рассмотрения в диссертационные советы Д.212.304.01 и Д.212.304.02.
   б. Исходящий документ 13П-211/02 от 21.12.2007 за подписью Проректора по научной работе А.В. Павленко (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Данный документ информирует меня о прекращении деятельности вышеуказанных диссертационных советов с 15.11.2007 согласно соответствующему приказу Минобрнауки России и о том, что "решения по результатам работы комиссий, созданных по рассмотрению вашего заявления, могут быть приняты диссертационными советами после возобновления их деятельности".
   Насколько мне известно, вышеуказанные диссертационные советы уже возобновили свою работу.
  
   Кроме того, различным должностным лицам ЮРГТУ (НПИ) мною были посланы как бы "вдогонку" к данным заявлениям другие заявления. Я упомяну лишь некоторые из них:
   Заявление начальнику Информационно-правового отдела Симавской И.П от 11.12.2007; номер письма 34644896086341. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 14.12.2007. Содержит просьбу сообщить о тех, кто был назначен исполнителями и контролерами исполнителей для входящих документов, фигурирующих здесь под пунктами 1 и 2. Заявление направлено по совету сотрудника Канцелярии, де-факто отказавшегося предоставить данную информацию.
   Заявление главе диссертационного совета Д.212.304.02 от 04.11.2007 (мною поставлена ошибочная дата - на самом деле речь идет о 04.12.2007); номер письма 34641496042579. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 13.12.2007. В заявлении идет речь о конкретизации сроков рассмотрения заявления, фигурирующего здесь под пунктом 3 (имеется в виду диссертационная работа О.Ф. Ковалева).
   Заявление главе диссертационного совета Д.212.304.01 от 04.11.2007 (мною поставлена ошибочная дата - на самом деле речь идет о 04.12.2007); номер письма 34641496042548. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 13.12.2007. В заявлении идет речь о конкретизации сроков рассмотрения заявления, фигурирующего здесь под пунктом 3 (имеется в виду диссертационная работа Г.К. Птаха).
   Замечание. Согласно существующим правилам делопроизводства большая разница во времени в датах, проставленных под заявлением и на штемпелях почтовых отделений на конверте, требует лишь "приобщения к делу" конверта и нисколько не влияет на рассмотрение заявления по существу. Кроме того, мною были направлены явные уведомления об ошибочной датировке - смотри Заявление на имя заведующего канцелярией ЮРГТУ от 07.12.2007 с номером письма 34644896084590; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 11.12.2007. Конец замечания.
   Заявления, упомянутые в пп. 1-3 выставлены на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, ул. [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (16.01.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34644809021445; вручено 20.01.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное заявление ответа получено не было.
  
   (20090116B) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009) -- о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. 20071109, R20071126, 20071204A, 20071204B, R20071221)
  
   Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору по научной работе
   ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Савостьянову
   Александру Петровичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное Заявление состоит из двух страниц (приложений не имеется). На обороте каждого листа заявления имеется образец подчерка заявителя вида "Страница номер такой-то. Всего страниц -- две" и подпись заявителя.
  
   В 2007 году на имя различных должностных лиц ЮРГТУ (НПИ) мною был направлен ряд заявлений, на которые до сих пор не получено ответа. Одно из них - на имя бывшего проректора по научной работе; это заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007. В данном заявлении идет речь о лишении ряда лиц ученых степеней на основании ходатайств диссертационных советов. "Конечный" исходящий документ, который бы "поставил точку" в данном вопросе мною не получен; имеется ряд "промежуточных" исходящих документов:
   а. Исходящий документ 13П-263/02 от 26.11.2007 за подписью Проректора по научной работе А.В. Павленко (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Данный документ информирует меня о том, что мое Заявление, фигурирующее здесь под пунктом 3, передано для рассмотрения в диссертационные советы Д.212.304.01 и Д.212.304.02.
   б. Исходящий документ 13П-211/02 от 21.12.2007 за подписью Проректора по научной работе А.В. Павленко (в данном исходящем документе отсутствует номер соответствующего входящего документа). Данный документ информирует меня о прекращении деятельности вышеуказанных диссертационных советов с 15.11.2007 согласно соответствующему приказу Минобрнауки России и о том, что "решения по результатам работы комиссий, созданных по рассмотрению вашего заявления, могут быть приняты диссертационными советами после возобновления их деятельности".
   Насколько мне известно, вышеуказанные диссертационные советы уже возобновили свою работу.
   Прошу Вас, как нового проректора по научной работе, рассмотреть ранее поданное вышеупомянутое заявление по существу.
   Замечание. Данное заявление выставлено на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com. Конец замечания.
   Кроме того, различным должностным лицам ЮРГТУ (НПИ) мною были посланы "вдогонку" другие заявления:
   Заявление главе диссертационного совета Д.212.304.02 от 04.11.2007 (мною поставлена ошибочная дата -- на самом деле речь идет о 04.12.2007); номер письма 34641496042579. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 13.12.2007. В заявлении идет речь о конкретизации сроков рассмотрения заявления, фигурирующего здесь под пунктом 3 (имеется в виду диссертационная работа О.Ф. Ковалева).
   Заявление главе диссертационного совета Д.212.304.01 от 04.11.2007 (мною поставлена ошибочная дата -- на самом деле речь идет о 04.12.2007); номер письма 34641496042548. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 13.12.2007. В заявлении идет речь о конкретизации сроков рассмотрения заявления, фигурирующего здесь под пунктом 3 (имеется в виду диссертационная работа Г.К. Птаха).
   Замечание. Согласно существующим правилам делопроизводства большая разница во времени в датах, проставленных под заявлением и на штемпелях почтовых отделений на конверте, требует лишь "приобщения к делу" конверта и нисколько не влияет на рассмотрение заявления по существу. Кроме того, мною были направлены явные уведомления об ошибочной датировке -- смотри Заявление на имя заведующего канцелярией ЮРГТУ от 07.12.2007 с номером письма 34644896084590; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 11.12.2007. Конец замечания.
   Прошу содействовать рассмотрению по существу также и двух последних упоминаемых заявлений.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (16.01.2009)
   Подпись.
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление от А.П. Савостьянова получено два ответа:
   -- Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 21.01.2009 N 13П-14/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009)
   и, спустя довольно долгое время,
   -- Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 09.09.2009 N 13П-260/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009)
  
   (R20090121) Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 21.01.2009 N 13П-14/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009) -- лишение ученых степеней не в компетенции Проректора (см. 20090116B, также: 20071109, R20071126, 20071204A, 20071204B, R20071221)
  
   Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 21.01.2009 N 13П-14/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Федеральное агентство по образованию
   Государственное образовательное учреждение
   высшего профессионального образования
   Южно-Российский
   государственный технический университет
   (Новочеркасский политехнический институт)
   346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132
   Тел.: (863-52) 2-33-44, 5-55-14
   Факс (863-52) 2-72-69
   Е-mail: ngtu@novoch.ru
   Исходящий
   от 21.01.2009 N 13П-14/02
   [Входящий не указан]
  
   346 428
   г. Новочеркасск Ростовской области,
   [личные данные скрыты]
   Леонову Андрею Владимировичу
  
   По Вашему заявлению от 16.01.09 считаю необходимым сообщить, что диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней. Ученые степени докторов наук присуждены решением ВАК Минобразования России.
   Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе.
  
   Проректор по научной работе [Подпись] А.П. Савостьянов
  
   [На обратной стороне листа проставлен номер листа -- 016822]
  
   Конец цитирования
  
   (20090601A) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009) -- о закрытии ЮРГТУ (НПИ), некорректно составленное (см. 20071027, 20071026, 20071106)
  
   Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Президенту РФ
   Медведеву Дмитрию
   Анатольевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   В рамках готовящейся программы по сокращению числа ВУЗов предлагаю закрыть Южно-Российский Государственный Технический Университет (Новочеркасский Политехнический Университет), располагающийся по адресу: 346448, г. Новочеркасск Ростовской обл. ул. Просвещения 132.
   Длительное общение с работниками и руководством этого заведения убедило меня в том, что большей частью они представляют из себя уголовных выблядков, тех, кто их покрывает и их холуев (смотри ссылки на ряд заявлений). Впрочем, возможно, это мнение субъективно.
   В качестве информационного обеспечения для закрытия могу предложить "разгром" двух нелепых докторских диссертаций ученых ЮРГТУ; диссертационные советы при ЮРГТУ, в которых защищались эти диссертации, фактически отказались инициировать процедуру лишения ученой степени авторов (смотри заявление 2).
   В своих действиях я руководствуюсь большей частью местью и не скрываю этого; копия этого заявления направлена руководству ЮРГТУ.
   Вот только ряд заявлений:
   1. Заявление на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 27.10.2007; номер письма 34640094683580. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007.
   2. Заявление на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 26.10.2007; номер письма 34644895074578. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 30.10.2007
   3. Заявление на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007.
   Эти заявления выставлены на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com.
   (В 2009 году мной были направлены аналогичные заявления новому руководству ЮРГТУ по тем же поводам, но безрезультатно.)
   Буду рад, если смогу способствовать уничтожению этого гадючника.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (01.06.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На это Заявления получено два ответа:
   -- Уведомление Начальника департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ В. Коряшкина А.В. Леонову (исходящий от 09.06.2009 N А26--185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009)
   и
   -- Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ О. Силиной А.В. Леонову (исходящий от 15.06.2009 N А26-06-185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009)
   Из последнего Уведомления явствует, что данное Заявление не было рассмотрено по существу как некорректно составленное.
  
   (20090601B) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 01.06.2009 (номер письма 34642813083053; вручено 05.06.2009) -- отречение от ЮРГТУ (НПИ), отсылка копии 20090601A (см. 20090601А)
  
   Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 01.06.2009 (номер письма 34642813083053; вручено 05.06.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Ректору ЮРГТУ (НПИ)
   Передерию Владимиру
   Георгиевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет одно Приложение -- Приложение А, на оборотной стороне которого стоит подпись и расшифровка подписи заявителя.
  
   Прошу более не считать меня выпускником и бывшим сотрудником ЮРГТУ (НПИ).
   Кроме того, высылаю Вам копию (смотри Приложение А) своего заявления, направленного в приемную Президента РФ.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (01.06.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [Приложение A не приводится; оно представляет из себя неподписанную копию следующего Заявления: Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009)]
  
   [номер письма 34642813083053; вручено 05.06.2009)]
  
   Конец цитирования
  
   На данное заявление ответа получено не было. Обращения в суд не последвало.
  
   (R20090609) Уведомление Начальника департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ В. Коряшкина А.В. Леонову (исходящий от 09.06.2009 N А26--185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009) -- продление сроков рассмотрения (см. 20090601A)
  
   Уведомление Начальника департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ В. Коряшкина А.В. Леонову (исходящий от 09.06.2009 N А26--185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Администрация Президента
   Российской Федерации
   Управление
   Президента Российской Федерации
   по работе с обращениями граждан
   ул. Ильинка, д. 23, Москва,
   Российская Федерация, 103132
   Исходящий
   от 09.06.2009 N А26--185147
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   а/я 131
   г. Новочеркасск, Донской
   Ростовская область
   Российская Федрация, 346448
  
   Ваше обращение на имя Президента Российской Федерации получено.
   В соответствии с частью 2 статьи 12 Федерального закона от 2 мая 2006 года N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" срок рассмотрения Вашего обращения, установленный частью 3 статьи 8 указанного Федерального закона, продлен на 15 дней.
   О дальнейшем ходе рассмотрения обращения Вам будет сообщено дополнительно.
  
   Начальник департамента письменных
   обращений граждан [Подпись] В. Коряшкин
  
   [На страницу нанесен штрих-код (без расшифровки)]
   [На странице проставлен номер листа (?) -- 185147]
  
   Конец цитирования
  
   (R20090615) Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ О. Силиной А.В. Леонову (исходящий от 15.06.2009 N А26-06-185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009) -- отказ в рассмотрении заявления как некорректно составленного (см. 20090601A, R20090609)
  
   Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ О. Силиной А.В. Леонову (исходящий от 15.06.2009 N А26-06-185147) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 01.06.2009 (номер письма 34642813083046; вручено 08.06.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Администрация Президента
   Российской Федерации
   Управление
   Президента Российской Федерации
   по работе с обращениями граждан
   ул. Ильинка, д. 23, Москва,
   Российская Федерация, 103132
   Исходящий
   от 15.06.2009 N А26-06-185147
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   а/я 131
   г. Новочеркасск, Донской
   Ростовская область
   Российская Федрация, 346448
  
   Ваше обращение на имя Президента Российской Федерации получено и в Администрации Президентской Федерации рассмотрено.
   В соответствии с ч. 3 ст. 11 Федерального закона от 2 мая 2006 года N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" обращения, содержащие некорректные высказывания, оскорбительные выражения и угрозы при рассмотрении в органах государственной власти и органах местного самоуправления оставляются без ответов по существу поставленных вопросов.
   Обращаем Ваше внимание на недопустимость злоупотребления правом на обращение!
  
   Консультант департамента письменных
   обращений граждан [Подпись] О. Силина
  
   [На страницу нанесен штрих-код (без расшифровки)]
   [На странице проставлен номер листа (?) -- 185147]
  
   Конец цитирования
  
   (20090708A) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.2009) -- о нерассмотрении заявления о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха в ЮРГТУ (НПИ) (см. 20071106)
  
   Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Президенту РФ
   Медведеву Дмитрию
   Анатольевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Мною был произведен разбор двух нелепых докторских диссертаций, защищенных в диссертационных советах Д.212.304.01 и Д.212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ); соответствующие документы с просьбой о лишении лиц, защитивших эти диссертации, ученых степеней были направлены в указанные диссертационные советы. На эти документы можно сослаться следующим образом:
   Заявление Леонова Андрея Владимировича на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007.
   О том, что документы были получены диссертационными советами, свидетельствует исходящий документ за подписью вышеупомянутого Проректора по образовательной деятельности 13П-263/02 от 26.11.07.
   Впоследствии диссертационные советы планово прекратили работу с 15.11.2007 (об этом я также получил уведомление -- исходящий документ 13П-211.02 от 21.12.07 за подписью вышеупомянутого Проректора).
   Несмотря на то, что работа вышеуказанных диссертационных советов давно возобновлена, я так и не получил ответа.
   Напомню, что согласно п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, утвержденном постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 "Об утверждении единого реестра ученых степеней и ученых званий и положения о порядке присуждения ученых степеней" лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций.
   По-видимому, указанные диссертационные советы применяют тактику замалчивания -- лишить ученой степени, сколь бы нелепой не была диссертация, нельзя, если прошло более 10 лет с момента ее защиты.
   Прошу способствовать рассмотрению вышеупомянутого заявления по существу. Заявление выставлено на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com
   Кроме того, если будут возбуждены ходатайства о лишении ученых степеней, в рамках реализации программы по сокращению числа ВУЗов прошу содействовать закрытию Южно-Российского Государственного Технического Университета (Новочеркасского Политехнического Института) -- ЮРГТУ (НПИ), -- находящегося по адресу: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132; также прошу содействовать закрытию упомянутых диссертационных советов.
  
   Место прописки заявителя: 346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты: andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (08.07.2009)
   Подпись
  
   [номер письма 34640016596035; вручено 13.07.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное заявление был получен ответ:
   Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ Г. Спирина А.В. Леонову (исходящий от 16.07.2009 N А26-06-259060) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.09)
  
   (R20090716) Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ Г. Спирина А.В. Леонову (исходящий от 16.07.2009 N А26-06-259060) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.09) -- Заявление перенаправлено на рассмотрение в Федеральную службу по надзору в сфере образования и науки (см. 20090708А, R20090729(?))
  
   Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ Г. Спирина А.В. Леонову (исходящий от 16.07.2009 N А26-06-259060) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 08.07.2009 (номер письма 34640016596035; вручено 13.07.09)
  
   Начало цитирования
  
   Администрация Президента
   Российской Федерации
   Управление
   Президента Российской Федерации
   по работе с обращениями граждан
   ул. Ильинка, д. 23, Москва,
   Российская Федерация, 103132
   Исходящий
   от 16.07.2009 N А26-06-259060
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   а/я 131
   г. Новочеркасск, Донской
   Ростовская область
   Российская Федрация, 346448
  
   Сообщаем, что Ваше обращение, поступившее на имя Президента Российской Федерации, рассмотрено и в соответствии с ч. 3 ст. 8 Федерального закона от 2 мая 2006 года N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения граждан Российской Федерации" направлено на рассмотрение в Федеральную службу по надзору в сфере образования и науки для принятия решения и ответа Вам по существу вопроса(ов).
  
   Консультант департамента письменных
   обращений граждан [Подпись] Г. Спирин
  
   [На страницу нанесен штрих-код (без расшифровки)]
   [На странице проставлен номер листа (?) -- 259060]
  
   Конец цитирования
  
   (20090708B) Заявление А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову М.П от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009) -- о нерассмотрении заявления о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха в ЮРГТУ (НПИ) (см. 20071106, R20090729)
  
   Заявление А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову М.П от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Председателю ВАК МОиН РФ
   Кирпичникову Михаилу
   Петровичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Мною был произведен разбор двух нелепых докторских диссертаций, защищенных в диссертационных советах Д.212.304.01 и Д.212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ); соответствующие документы с просьбой о лишении лиц, защитивших эти диссертации, ученых степеней были направлены в указанные диссертационные советы. На эти документы можно сослаться следующим образом:
   Заявление Леонова Андрея Владимировича на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007.
   О том, что документы были получены диссертационными советами, свидетельствует исходящий документ за подписью вышеупомянутого Проректора по образовательной деятельности 13П-263/02 от 26.11.07.
   Впоследствии диссертационные советы планово прекратили работу с 15.11.2007 (об этом я также получил уведомление -- исходящий документ 13П-211.02 от 21.12.07 за подписью вышеупомянутого Проректора).
   Несмотря на то, что работа вышеуказанных диссертационных советов давно возобновлена, я так и не получил ответа.
   Напомню, что согласно п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, утвержденном постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 "Об утверждении единого реестра ученых степеней и ученых званий и положения о порядке присуждения ученых степеней" лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций.
   По-видимому, указанные диссертационные советы применяют тактику замалчивания -- лишить ученой степени, сколь бы нелепой не была диссертация, нельзя, если прошло более 10 лет с момента ее защиты.
   Прошу способствовать рассмотрению вышеупомянутого заявления по существу. Заявление выставлено на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com
   Кроме того, если будут возбуждены ходатайства о лишении ученых степеней, в рамках реализации программы по сокращению числа ВУЗов прошу содействовать закрытию Южно-Российского Государственного Технического Университета (Новочеркасского Политехнического Института) -- ЮРГТУ (НПИ), -- находящегося по адресу: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132; также прошу содействовать закрытию упомянутых диссертационных советов.
  
   Место прописки заявителя: 346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты: andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (15.07.2009)
   Подпись
  
   [номер письма 34640016596028; вручено 15.07.09]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление получен ответ:
   Ответ Заместителя начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Л.В. Логиновой А.В. Леонову (исходящий от 29.07.2009 N ЛЕ-4012/08 01 09 82) в связи с Заявлением А.В. Леонова Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009)
  
   (20090708C) Заявление А.В. Леонова Андрея Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) -- о нерассмотрении заявления о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха в ЮРГТУ (НПИ) (см. 20071106, R20090729)
  
   Заявление А.В. Леонова Андрея Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Руководителю Рособрнадзора
   Глебовой Любови
   Николаевне
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Мною был произведен разбор двух нелепых докторских диссертаций, защищенных в диссертационных советах Д.212.304.01 и Д.212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ); соответствующие документы с просьбой о лишении лиц, защитивших эти диссертации, ученых степеней были направлены в указанные диссертационные советы. На эти документы можно сослаться следующим образом:
   Заявление Леонова Андрея Владимировича на имя проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007; номер письма 34644895077449. Согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007.
   О том, что документы были получены диссертационными советами, свидетельствует исходящий документ за подписью вышеупомянутого Проректора по образовательной деятельности 13П-263/02 от 26.11.07.
   Впоследствии диссертационные советы планово прекратили работу с 15.11.2007 (об этом я также получил уведомление -- исходящий документ 13П-211.02 от 21.12.07 за подписью вышеупомянутого Проректора).
   Несмотря на то, что работа вышеуказанных диссертационных советов давно возобновлена, я так и не получил ответа.
   Напомню, что согласно п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, утвержденном постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 "Об утверждении единого реестра ученых степеней и ученых званий и положения о порядке присуждения ученых степеней" лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций.
   По-видимому, указанные диссертационные советы применяют тактику замалчивания -- лишить ученой степени, сколь бы нелепой не была диссертация, нельзя, если прошло более 10 лет с момента ее защиты.
   Прошу способствовать рассмотрению вышеупомянутого заявления по существу. Заявление выставлено на всеобщее обозрение на сайте http://lion.alturl.com
   Кроме того, если будут возбуждены ходатайства о лишении ученых степеней, в рамках реализации программы по сокращению числа ВУЗов прошу содействовать закрытию Южно-Российского Государственного Технического Университета (Новочеркасского Политехнического Института) - ЮРГТУ (НПИ), -- находящегося по адресу: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132; также прошу содействовать закрытию упомянутых диссертационных советов.
  
   Место прописки заявителя: 346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты: andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (08.07.2009)
   Подпись
  
   [номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009]
  
   Конеццитирования
  
   На данное Заявление получен ответ:
   Ответ Заместителя начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Л.В. Логиновой А.В. Леонову (исходящий от 29.07.2009 N ЛЕ-4012/08 01 09 82) в связи с Заявлением А.В. Леонова Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009)
  
   (R20090729) Ответ Заместителя начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Л.В. Логиновой А.В. Леонову (исходящий от 29.07.2009 N ЛЕ-4012/08 01 09 82) в связи с Заявлением А.В. Леонова Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009) -- отписка (см. 20090708B, 20090708C, 20090708A(?))
  
   Ответ Заместителя начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Л.В. Логиновой А.В. Леонову (исходящий от 29.07.2009 N ЛЕ-4012/08 01 09 82) в связи с Заявлением А.В. Леонова Руководителю Рособрнадзора Л.Н. Глебовой от 08.07.2009 (номер письма 346400165960402; вручено 15.07.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 08.07.2009 (номер письма 34640016596028; вручено 15.07.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Министерство образования и науки
   Российской Федерации
   Федеральная служба по надзору
   в сфере образования и науки
   Управление аттестации научных и
   научно-педагогических работников
   ул. Садовая-Сухаревская, 16, Москва, Россия
   К-51, ГСП-4, 127994
   Телефон: (495) 608-61-21
   Факс: (495) 608-61-61
   Исходящий
   от 29.07.2009 N ЛЕ-4012/08-01-09-82
   [Входящий не указан]
  
   г. Новочеркасск, а/я 131, 346448
   А.В. Леонову
  
   Управление аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки получило Ваше заявление в адрес председателя Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки М.П. Кирпичникова (регистрация от 16.07.2009 N 355), а так же в адрес руководителя Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Л.Н. Глебовой (регистрация от 17.07.2009 N Ле-4012) и сообщает, что затронутые в Вашем заявлении вопросы будут рассмотрены в установленном порядке.
  
   Заместитель начальник Управления
   Аттестации научных и научно-
   Педагогических работников [Подпись] Л.В. Логинова
  
  
   Конец цитирования
  
   (R20090909) Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 09.09.2009 N 13П-260/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009) -- о работе комиссии, созданной из членов диссертационных советов в связи с вопросом о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. 20090116B, также: 20071109, R20071126, 20071204A, 20071204B, R20071221)
  
   Ответ Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова А.В. Леонову (исходящий от 09.09.2009 N 13П-260/02) в связи с Заявлением А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено 20.01.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Федеральное агентство по образованию
   Государственное образовательное учреждение
   высшего профессионального образования
   Южно-Российский
   государственный технический университет
   (Новочеркасский политехнический институт)
   346428, г. Новочеркасск Ростовской обл.,
   ул. Просвещения 132
   тел. (86352) 22-33-44, 25-55-14
   тел./факс (863-52) 22-72-69
   е-mail: ngtu@novoch.ru
   Исходящий
   от 09.09.2009 N 13П-260/02
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   346448 г. Новочеркасск,
   [личные данные скрыты]
  

Уважаемый Андрей Владимирович!

  
   Приносим извинения за задержку с ответом на Ваше письмо от 16.01.09 г., которая связана с рядом объективных обстоятельств, таких как: перерегистрация диссертационных советом Д 212.304.01 (приказ Рособрнадзора N 2048-1222 от 12.10.2007) и Д 212.304.02 (приказ Рособрнадзора N 1986-1414 от 14.11.08 г.); смена руководства университета и председателя диссертационного совета Д 212.304.02 (приказ Рособрнадзора от 06.03.09 г. N 413-194/1414).
   В настоящее время диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02 работают в штатном режиме. Созданная приказом ректора N 1-351 от 2.09.09 г. комиссия из числа членов названных советов изучила содержание Ваших писем в адрес руководства ЮРГТУ (НПИ), материалы аттестационных дел соискателей учёной степени доктора наук Ковалёва О.Ф. (защита диссертации состоялась 19.12.01 г.) и Птаха Г.К. (защита диссертации состоялась 25.12.03 г.) не обнаружила нарушений установленного порядка присуждения учёных степеней. Все необходимые этапы экспертизы диссертационных работ Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К. проведены в соответствии с требованиями ВАК, отзывы на диссертации и авторефераты положительны, официальные оппоненты, являющиеся ведущими специалистами по профилю диссертаций, положительно оценили содержание диссертаций, во всех выступлениях, зафиксированных в стенограммах заседаний советов, содержится информация о положительной оценке диссертаций. Процедурных нарушений в ходе заседаний советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 также не обнаружено. Так как нарушение установленного порядка является единственным мотивом для возбуждения диссертационным советом ходатайства о лишении ученой степени, предусмотренным п. 44 "Положения о порядке присуждения ученых степеней", диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не имеют оснований для возбуждения перед ВАК ходатайств о лишении ученых степеней Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К.
   Считаем, что публичный характер проведения экспертиз диссертаций до момента их защит и открытый характер заседаний советов по защитам диссертаций давал Вам возможность выступить с критикой выносимых Ковалёвым О.Ф. и Птахом Г.К. на защиту научных результатов диссертационных исследований. Научная дискуссия, которая заключается в критике Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов, и арбитром в этом споре должна выступать не администрация вуза, а научная общественность.
  
   Проректор по научной работе [Подпись] А.П. Савостьянов
  
   [Ответ (мелким шрифтом) располагается на одной странице]
   [На обратной стороне листа проставлен номер листа -- 001421]
  
   Конец цитирования
  
   (20090922A) Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 22.09.2009 (номер письма 34640018876820; вручено 24.09.2009) -- протест в связи c рассмотрением дела о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. R20090909)
  
   Заявление А.В. Леонова Проректору по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянову от 22.09.2009 (номер письма 34640018876820; вручено 24.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Проректору по научной работе
   ЮРГТУ (НПИ)
   проф., д.т.н. Савостьянову
   Александру Петровичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет одиннадцать страниц. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Мною был получен исходящий документ 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Савостьянова (номер и дата подписи соответствующего входящего документа в специально отведенном для этого поле не указаны), в котором сообщаются результаты работы комиссии, созданной приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерия N 1-351 от 02.09.09 из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Этот документ имеет очень скандальное содержание. Прежде всего, я вынужден сделать ряд замечаний.
   Во-первых документ 13П/260-02 от 09.09.09 представлен как исходящий в ответ на входящий документ - мое заявление от 16.01.09 (имеется в виду Заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова от 16.01.09; номер письма 3464480921251; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 20.09.09). Напомню, что на документ с н/п 3464480921251 ответ я уже получил -- это документ 13П - 14/02 от 21.01.09 за подписью того же Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова. Этот документ очень короток:
   "По вашему заявлению от 16.01.09 считаю необходимым сообщить, что диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней. Ученые степени докторов наук присуждены решением ВАК Минообразования России.
   Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе"
   Я прекрасно знал, что пересматривать принятые решения по данному вопросу не в компетенции проректора по научной работе. К сожалению, я "неточно выразился" - в документе с н/п 3464480921251 я просил Вас рассмотреть по существу ранее поданное мною заявление - заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя вашего предшественника - проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007). Последнее письмо тоже было написано "несколько неточно" - там я просил "рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства об отмене присужденной ученой степени" для ряда лиц, тоже прекрасно зная, что это не в компетенции проректора по научной работе. Но сделал я это намеренно: если попросить чиновника сделать что-то, что не в его компетенции, то он обязан переслать документы тому, в чью компетенцию входит это "что-то". Если же написать "с виду более грамотно" - не "попросить рассмотреть вопрос", а, скажем, "попросить содействовать рассмотрению вопроса", то, если это "что-то" не входит в компетенцию чиновника, он получает возможность отказать - заметьте - отказать не в рассмотрении, а в содействии рассмотрению, ничего при этом не пересылая "куда надо" - ему достаточно просто объяснив заявителю, что это "что-то" вне его компетенцию. Начиная переписку с диссертационными советами Д 212.304.01 и Д 212.304.02, я решил делать это через проректора по научной работе. Может быть, я был неправ, перегружая его, но, тем не менее, я считал, что проректор по образовательной деятельности должен быть в курсе подобных дел. Чтобы не писать одно и то же много раз и в диссертационные советы, и проректору, я намеренно использовал несколько неточные выражения. Как видим, Павленко А.В. из контекста письма понял, куда нужно было переправить письмо, чтобы исполнить свой долг и передал его в соответствующие диссертационные советы, после чего информировал меня об этом в соответствующем исходящем документе -- 13П - 263/02 от 26.11.2007. А А.В. Савостьянов из контекста письма не понял, что я прошу у него попросту "побеспокоить" глав диссертационных советов, молчащих к тому времени -- 16.01.09 -- уже более года, используя для этого свой авторитет проректора по научной работе. Однако вместо этого почему-то А.В. Савостьянов, хоть это и не входило в его компетенцию, взялся категорически говорить от своего имени о том, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней", хотя подобные заявления должны делать диссертационные советы, а не проректор по научной работе.
   Напомню, что документ н/п 3464480921251 является всего лишь напоминанием о необходимости рассмотрения документа с н/п 34644895077449; Поэтому и ответы на документ с н/п 34644895077449 являются всего лишь ответами на документ с н/п 3464480921251, который, напомню, был подписан еще 06.11.2007 (вручен 09.11.2007).
   Итак, теперь у меня целых два ответа на мое Заявление с н/п 3464480921251, а следовательно, и на исходное заявление с н/п 34644895077449. Первое, пришедшее раньше -- юридически ничтожно. Второе -- юридически состоятельно. Оно было датировано 09.09.09. До получения ответа на исходное заявления прошло более одного года и восьми месяцев. Чем же была вызвана столь большая задержка? 13П/260-02 от 09.09.09 ссылается на плановое прекращение работы диссертационных советов для перерегистрации. Что ж, причина справедливая. Но этот же 13П/260-02 от 09.09.09 стыдливо умалчивает о том, когда эти советы возобновили свою работу. Еще там же говориться о смене руководства университета и смене главы диссертационного совета Д 212.304.02. Я не совсем понимаю - к чему упоминать об этом?! Как смена руководства университета повлияла на работу диссертационных советов? И как смена главы одного диссертационного совета повлияла на работоспособность другого диссертационного совета? И как долго происходит смена главы диссертационного совета в ЮРГТУ? Насколько длительность смены существенна по сравнению со сроком в 1 год и 8 месяцев? Как известно, на март 2008 года в Д 212.304.01 уже планировалась защита кандидатской диссертации - смотри инофрмацию по ссылке
   http://www.npi-tu.ru/index.php?lang=rus&id=204&pid=334
   Чем таким занимался глава возобновившего свою деятельность Д 212.304.01 проф., д.т.н. А. Н. Ткачев с марта 2008 по сентябрь 2009, что бы не позволило ему рассмотреть поступившее заявление?
   Все же я думаю, не последнюю роль в том, что после юридически ничтожного ответа проректора по научной работе А.В. Савостьянова, члены диссертационных советов все-таки соблаговолили дать еще один ответ, юридически состоятельный, -- через того же А.В. Савостьянова - сыграли мои обращения в Рособрнадзор, ВАК и в администрацию Президента РФ. Подозреваю, что без них рассмотрение моих заявлений затянулось бы аж до самого истечения срока давности, установленного для диссертаций, после чего поднимать вопрос о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха стало бы попросту невозможно.
   Далее. В 13П/260-02 от 09.09.09 пишется: "Научная дискуссия, которая заключается в критике Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов, а арбитром в этом споре должна выступать не администрация ВУЗа, а научная общественность."
   К чему это было написано? Как видно из моего заявления с н/п 34644895077449, моей целью было именно лишение ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха, а не дискуссия в журналах. Напомню, что победа в дискуссии даже в ведущих рецензируемых научных журналах не влечет автоматического лишения ученой степени проигравшей стороны, так как редакции этих журналов попросту не обладают необходимыми полномочиями. Для лишения ученой степени, как правило, необходимо возбуждение ходатайства соответствующим диссертационным советом. Чтобы инициировать возбуждение ходатайства, необходимо направлять свои заявления именно в диссертационный совет. Что я и сделал через проректора по научной работе. Кем бы я выглядел, направив подобное заявление, например, в редакцию журнала "Известия ВУЗов. Электромеханика"?!
   Далее. Я не заставлял выступать арбитром администрацию ВУЗа -- это также глупо, как и направлять заявления о лишении ученой степени в редакцию журналов. И не мог бы заставить при всем своем желании. Я, как написано, сделал так, чтобы администрация ВУЗа в лице проректора по научной работе передала соответствующие документы в соответствующие диссертационные советы и время от времени контролировала сроки исполнения, установленные для рассмотрения заявлений. Это д.т.н. А.П. Савостьянов превысил свои полномочия и стал категорически утверждать в исходящем документе 13П -- 14/02 от 21.01.09, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней.", несмотря на то, что делать такие заявления, как уже говорилось, -- прерогатива соответствующих диссертационных советов; далее, правда, А.П. Савостьянов (видимо, для обеспечения собственной безопасности) дописал, что "Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе". Так зачем же тогда он чуть выше говорил, о том, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней."?
   Еще меня упрекают в том, что я не обратился к "научной общественности". Я, как сказано, передал документы в диссертационные советы в которых, как известно, и заседает ни что иное, как "научная общественность", причем в одном из предельно-концентрированных своих видов.
   Еще в 13П/260-02 от 09.09.09 говорится о нарушении мною т.н. "научной этики". И это после того, как ученые ЮРГТУ мне не отвечали больше года и восьми месяцев! Уж сами О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах, соблюдая научную этику, наверняка бы могли ответить мне в личном письме, разбив мои доводы, и представить доказательства того, что мое выводы ошибочны в диссертационные советы. Поэтому слова ученых ЮРГТУ о научной этике звучат для меня странно и дико. После же получения 13П/260-02 от 09.09.09 эти слова звучат для меня странно и дико вдвойне.
   Соблюдая научную этику, О.Ф. Ковалев мог бы сообщить на заседании комиссии, созданной приказом Ректора, что он ранее, по крайней мере формально, вполне согласился с моими взглядами на сделанные им открытия - смотри следующие совместные работы О.Ф. Ковалева и А.В. Леонова:
   1. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Здесь О.Ф. Ковалев "увидел", как предложенную им в диссертационной работе итерационную схему для решения нелинейных уравнений можно записать проще.
   2. Сходимость метода итераций с точки зрения квази-методов Ньютона. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-17 [1-3 июня 2004 г.] : сб. трудов XVII Междунар. науч. конф. : В 10 т. / Костромской гос. технол. ун-т. -- Кострома : Изд-во КГТУ, 2004. -- Т. 1, секц. 1. -- С. 112-113
   А здесь он "увидел", что эта итерационная схема -- довольно "обыденный" квази- метод Ньютона.
   Статьи "детские" и содержат много ошибок, но, тем не менее, все там достаточно прозрачно.
   Соответственно, и Г.К. Птах, соблюдая этику, мог бы сообщить комиссии, что первая из упомянутых работ использовала ту же итерационную схему, что и он, причем на год раньше защиты им диссертации. Откуда мог узнать Птах про эту работу, спросите вы? Напомню слова 13П/260-02 от 09.09.09: "Считаем, что публичный характер проведения экспертиз диссертаций до момента их защит и открытый характер заседаний советов по защитам диссертаций давал вам возможность выступить с критикой выносимых Ковалевым О.Ф. и Птахом Г.К. научных результатов диссертационных исследований".
  
   Итак, двинемся к самой сути исходящего документа 13П/260-02 от 09.09.09, который наглядно показывает тот идеал "научной этики", которого придерживаются ученые ЮРГТУ.
   Напомню ряд выдержек из документа "Положение о порядке присуждений ученых степеней" (Утверждено постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74; положения приводятся в редакции Постановлений Правительства РФ от 12.08.2003 N 490, от 20.04.2006 N 227, от 04.05.2008 N 330, от 02.06.2008 N 424):
   Раздел II ("Критерии, которым должны отвечать диссертации, представленные на соискание ученой степени") пункт 8: "Диссертация на соискание ученой степени доктора наук должна быть научно-квалификационной работой, в которой на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение, либо решена крупная научная проблема, имеющая важное социально-культурное или хозяйственное значение, либо изложены научно обоснованные технические, экономические или технологические решения, внедрение которых вносит значительный вклад в развитие экономики страны и повышение ее обороноспособности."
   Раздел II пункт 9 : "Диссертация должна быть написана единолично, содержать совокупность новых научных результатов и положений, выдвигаемых автором для публичной защиты, иметь внутреннее единство и свидетельствовать о личном вкладе автора в науку. Предложенные автором новые решения должны быть строго аргументированы и критически оценены по сравнению с другими известными решениями.
   В диссертации, имеющей прикладное значение, должны приводиться сведения о практическом использовании полученных автором научных результатов, а в диссертации, имеющей теоретическое значение, -- рекомендации по использованию научных выводов."
   Раздел VII ("Лишение (восстановление) ученых степеней") пункт 44: "Лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией, как правило, на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций."
   Далее на вышеупомянутый документ будем ссылать просто как на "Положение".
   Таким образом, если защищенная докторская диссертация не соответствует п. II.8 и п. II.9 "Положения" (то есть, говоря словами "Положения", если нарушены критерии, которым должна отвечать диссертация, представляемая на соискание ученой степени), то (опять же говоря словами самого "Положения") имеет место нарушение установленного порядка присуждения ученых степеней, который и введен в действие настоящим "Положением". Следовательно, в этом случае в полной мере применим п. VII.44 "Положения", оговаривающий возможность лишения ученой степени.
   Говоря об оценке представленной работы на соответствие п. II.8 и п. II.9 "Положения", очевидно, следует иметь в виду объективную оценку, учитывающую уровень развития науки на момент защиты диссертации.
   Курс философии, читаемый студентам негуманитарных специальностей, представляет процесс научного познания как процесс движения по направлению к "абсолютной истине" от одной "относительной истины" к другой "относительной истине", но более "более полной", не только включающей первую как "частный случай" (возможно, приближенно), но и позволяющей, по меньшей мере, если не объяснить, то предсказать ряд явлений, которые не могла предсказать предыдущая "относительная истина". В этом смысле новая "относительная истина" является "более близкой" к "абсолютной истине"; сама же "абсолютная истина" для человеческого разума считается недостижимой. Кроме того, "абсолютная истина" содержится в "относительной истине" в виде своеобразных "вкраплений": "дважды два четыре", "в невырожденном треугольнике три угла" и т.д...
   В связи с этим могут возникать случаи, когда на данном уровне развития науки некоторая новая теория может включать себя все, что включает в себя старая теория и давать некоторые новые верные "предсказания", но при этом быть неверной (в смысле основывающейся на неверных представлениях). В одно и то же время с этой теорией могут конкурировать другие теории, основывающиеся на верных представлениях. (Разумеется, о "верности" или "неверности" представлений мы здесь говорим с позиций будущего; во время построения этих теорий может быть совсем не очевидным, каким представлениям следует отдать предпочтение). Если впоследствии неверная теория будет отвергнута, то вряд ли следует лишать ее автора ученой степени, ибо эта теория вполне соответствовала научным представлениям своего времени, была создана для того, чтобы превзойти их и включить их как "частный случай" (возможно, приближенный), по меньшей мере дав при этом дополнительную возможность предсказания каких-то событий, чего не могли сделать другие существовавшие на тот момент теории.
   Вряд ли следует лишать ученой степени того, кто выполнил независимые исследования "несколько позже", ничего не зная о том, что кто-то сделал то же самое. Или того, кто независимо сделал то же самое значительно позже, но при этом прообраз "того же самого" был намеренно засекречен.
   Ученой степени следует лишать того, кто, провозглашая, что действует в рамках уже известной на тот момент "относительной истины", являет в своих научных исследованиях ее фактическое незнание, пренебрегает ей, совершает множество ошибок, использует подтасовки и обман - может быть даже, непреднамеренно или из лучших побуждений.
   Возникает трудность - кто должен гарантировать соответствие диссертации (говоря шире -- какой-нибудь научной теории) известной на текущей момент "относительной истине". Грубо говоря, это гарантируется всеми людьми, использующими научные методы в познании какой-либо части физического мира, всеми их трудами и всей совокупностью научной литературы, гарантируется наличием уже известных "вкраплений" абсолютной истины в истину относительную и возможностью логических умозаключений с использованием этих "вкраплений", которые опять-таки должны привести к "вкраплению" абсолютной истины -- то есть, возможностью в определенных пределах иметь дело не с "относительной истиной", а с "частью абсолютной истины". При этом все равно нет страховки от ошибки. Ни один ученый коллектив, ни один диссертационный совет не может заявить о себе как о стопроцентом гаранте. И если диссертация декларирует, что "остается в рамках" известных на текущий момент научных представлений, но при этом тем или иным образом нарушает их и им не соответствует, то всякий, обнаруживший это, вправе обратиться в соответствующий диссертационный совет (или напрямую в ВАК) (см. п. VII. 44) c просьбой о возбуждении ходатайства о лишении ученой степени (или просто с просьбой о лишении ученой степени, если речь идет об обращении в ВАК напрямую). Грубо говоря, обратившимся может быть и ученик начальной школы, обнаруживший доктора физико-математических наук, открывшего, что "2*2=5" и каким-то странным образом получившим за это ученую степень, пройдя все проверки и собрав все необходимые положительные отзывы и рецензии. В этом случае, по-видимому, при лишении ученой степени следует уделить особое внимание тому, как была защищена подобная диссертация.
   Напомню, что в Заявлении гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.07. (Номер письма 34644895077449. Вручено по доверенности 09.11.07.), касавшемся лишения ученых степеней д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха, речь шла о том, что их диссертационные работы не соответствуют именно п. II.8 и п. II.9 Положения; то есть здесь дело касается того случая, когда, как сказано выше, ученый "провозглашая, что действует в рамках уже известной на тот момент "относительной истины", являет в своих научных исследованиях ее фактическое незнание, пренебрегает ей, совершает множество ошибок, использует подтасовки и обман - может быть даже, непреднамеренно или из лучших побуждений." Это видно как из текста вышеупомянутого Заявления, так и из содержания Приложения A и Приложения B к нему, в которых диссертационные работы д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха рассматриваются подробнее. Речь шла о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения". Претензии к содержанию диссертации д.т.н. О.Ф. Ковалева были, как сказано, разобраны в Приложении A, которое представляло из себя распечатку следующей книги:
   Леонов А.В. Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. -- Новочеркасск.: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. -- 108 с. Книгу можно скачать по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.
   Как сказано в аннотации к книге,
   "Данная работа может рассматриваться как методическое пособие по численным методам решения систем нелинейых уравнений и по условной минимизации функционала.
   Предназначена для инженеров, аспирантов и ученых, работающих в области математического моделирования электромагнитных полей и в области численных методов."
   То есть, я, автор, заведомо не претендовал на изложение на какой-то новой теории, противоречащей или выходящей за рамки общеизвестной на данный момент "относительной истины".
   Перед этим в аннотации говорилось:
   "Рассматривается метод расчета магнитного поля, получивший известность как "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников". Показывается, что данный метод не связан ни с методом вторичных источников, ни с методом конечных элементов, ни с построением математической модели, а является достаточно простым, причем недоформулированным до конца, квази- методом Ньютона для решения систем нелинейных уравнений."
   То есть, я, автор, рассматривал упомянутый метод исключительно с позиций "общеизвестной относительной истины", преподаваемой студентам в курсах, связанных с такими вещами, как расчет электромагнитного поля, условная минимизация функционала, метод конечных элементов, численные методы решения уравнений в частных производных, численные методы решения линейных и нелинейных уравнений и линейная алгебра. Оставаясь в рамках "общеизвестных вещей", я, по-моему, имел полное право излагать материал, не очень заботясь о ссылках (так, например, поступают авторы учебников по дифференциальному и интегральному исчислению, - они не особо заботятся о ссылках для теорем). Необходимый теоретический материал для разбора диссертаций был мною дан в 1 и 4 главах книги. Тем не менее, поскольку, по-видимому, может встать вопрос о том, что написанное в этих главах есть "что-то новое и неизвестное прежде", то я вынужден дать ссылки сейчас.
   Первая глава книги была посвящена условной минимизации функционала в конечноэлементном лагранжевом базисе и применению при этом метода неопределенных множителей Лагранжа. Я не знаю даже, нужно ли тут давать ссылки?! Условную минимизацию, метод конечных элементов и метод неопределенных множителей Лагранжа приведены в множестве книг, а также, за исключением метода конечных элементов, стандартных вузовских учебников. Впрочем, что касается метода конечных элементов, то здесь я выделю следующий курс лекций, в котором содержится подробное описание процедуры сборки матриц:
   1. Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5629 "Numerical Methods for Partial Differential Equations" (Численные методы решения уравнений в частных производных"), прочитанный осенним семестром 2003 года в Мichigan Technological University (Мичиганском Технологическом Университете).
   Домашняя страничка курса (курс доступен для скачивания):
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5629fall2003
   Что касается метода неопределенных множителей Лагранжа, то следует упомянуть, что он мною рассматривается "применительно к линейной алгебре" - именно в таком виде, в каком он реализован в PDETool Matlab'a. Поэтому здесь можно порекомендовать следующее:
   2. Исходный код функции pdenonlin PDETool Matlab'а (например, R2008a)
   3. Докуметнация (в формате .pdf) и help Matlab'a к PDETool (например, help R2008a и Маtlab Documentation CD от R6.1 -- см. файл pde.pdf с книжкой "Partial Differencial Equation Toolbox")
   В качестве пособия по линейной алгебре к данной главе (и по итерационным методам для линейных систем) можно взять, например,
   4. Г. Стренг. Линейная алгебра. -- М.: Мир, 1980.
   В качестве пособия по минимизации функционала можно взять
   5. К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и технике. -- М.: Мир, 1985
   Именно эти книги и послужили основой для написания 1 главы. Глава 4 служит введением в квази- (то есть, приближенные) методы Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Для ее написания использовалась следующая литература:
   6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -- М.: Наука, 1966. -- 664с.
   7. Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5630 "Numerical optimization" ("Численные методы оптимизации"), прочитанный весенним семестром 2003 года в Мichigan Technological University (Мичиганском Технологическом Университете).
   Домашняя страничка курса (курс доступен для скачивания):
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5630spring2003
   8. Jose Mario Martinez. Practical quasi-Newton methods for solving nonlinear systems. Journal of Computational and Applied Mathematics. Volume 124 , Issue 1-2 (December 2000) pp. 97 - 121.
   Таким образом, заключения в моей книги делаются именно на основании упомянутых источников.
   В Приложении B ("Замечания по "методу расщепления" Г.К. Птаха") содержался разбор диссертации д.т.н. Г.К. Птаха, основывавшихся на этих же источниках. Что касается предложенного Г.К. Птахом численного метода, то диссертация Г.К. Птаха, по-видимому, представляла из себя явный плагиат из диссертации О.Ф. Ковалева, а также из следующего небольшого сообщения на конференции, опубликованного примерно за год до защиты Г.К. Птахом докторской диссертации (это сообщение уже упоминалось нами ранее):
   Ковалев О.Ф., Леонов А.В. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Как уже упомянуто, в моем заявлении речь шла о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения" в том смысле, в каком их понимают ученые ЮРГТУ. Тем не менее, насколько явствует из направленного мне исходящего документа 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ А.В. Савостьянова, созданная приказом ректора N 1-351 от 02.09.09 комиссия из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 (в котором защищался Г.К. Птах) и Д 212.304.02 (в котором защищался О.Ф. Ковалев) занялась поиском исключительно "процессуальных нарушений" в ходе состоявшейся ранее защиты (причем понимаемых "слишком узко"), исключив из своих задач объективное рассмотрение содержания и смысла диссертационных работ, несмотря на явно указанные мною ошибки. Комиссия не опровергла ни одного моего доказательства ложности того или иного положения диссертационных работ (хотя прошло более полутора лет с момента подачи мною первого заявления). Так, например, мною доказывалось, что О.Ф. Ковалев пришел к своей "оригинальной" схеме в некотором смысле случайно - просто потому, что забыл привести подобные слагаемые при минимизации функционала (приведению подобных слагаемых, напомню, учат еще в школе); эта итерационная схема не представляла из себя ничего нового -- это был квази-метод Ньютона, получающийся при аппроксимации якобиана матрицей жесткости. Только О.Ф. Ковалев умудрился еще и "изуродовать" этот столь простой и давно известный метод, ухудшив его сходимость. О.Ф. Ковалев попросту собрался делать научные открытия в той области, о которой знал недостаточно; если бы он имел представление о том, что "творится" в этой области, то попросту никогда бы не посмел выдавать свою итерационную схему за научное достижение. Г.К. Птах же не ограничился только тем, что совершил плагиат "метода Ковалева"; он сделал еще более поразительные открытия в области численных методов: Геннадий Константинович решил, что итерационный метод, используемый при решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении системы нелинейных алгебраических уравнений, совместно с численным методом, используемым для решения системы нелинейных алгебраических уравнений, образуют как бы "единый сложный (составной) итерационный метод решения системы нелинейных уравнений". По такой логике, единый сложный (составной) метод решения системы нелинейных уравнений представляет собой и метод Ньютона, "внутри" которого системы линейных алгебраических уравнений решаются, например, методом Гаусса или по формулам Краммера. Разумеется, этого было недостаточно, и Г.К. Птах пошел дальше: он, как и О.Ф. Ковалев, "изуродовал" свой "составной метод", решив прекращать "внутренний" итерационный процесс (решающий СЛАУ) через наперед заданное число циклов (причем весьма малое), а не "тогда, когда надо" -- то есть не тогда, когда норма невязки стала достаточно малой, или, на худой конец, когда соседние приближенные решения стали "достаточно близкими". Этим во "внешний" итерационный процесс (решающий систему нелинейных уравнений) вносились ничем не обоснованные возмущения, которые, как правило, вносятся лишь тогда, когда итерационный процесс "попал в область плохой сходимости". Изуродованный Г.К. Птахом метод даже не обладал средствами глобализации сходимости, но при этом, "проведя анализ сходимости", Г.К. Птах утверждал, что итерационный процесс гарантированно сойдется! И все бы это было не так смешно, если бы главой Д 212.304.01 не был проф., д.т.н. А.Н. Ткачев, зав. каф. "Прикладная математика".
   Как видим, ни я, ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах не претендовали на "выход за рамки" общепринятой на сегодня "относительной научной истины". И даже на сложные новые выводы из нее. Речь шла о том, что О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах не знают элементарных вещей в той области, в которой собрались совершать открытия. Тем не менее, напомню, в ответе 13П/260-02 от 09.09.09 почему-то говорится о том, "критика Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов." У неискушенного читателя может возникнуть мнение, что тут речь идет о конкуренции каких-то спорных теорий, выходящих за рамки современных представлений, -- таких, что сейчас, исходя из современного уровня знаний, невозможно отдать какой-либо теории предпочтение (и при этом новые теории имеют сравнимую "дополнительную" предсказательную силу). На самом же деле все обстоит совсем не так. О чем дискутировать на страницах ведущих рецензируемых научных журналов?! О том, что О.Ф. Ковалев не привел подобные слагаемые и не знает, как осуществляется сборка матриц при использовании метода конечных элементов? О том, что Г.К. Птах совершил плагиат?! О том, что ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах не знают основ в области численных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений?!
   Но вернемся к комиссии. Она свела объективную оценку содержания и смысла диссертационной работы к проблеме "наличия или отсутствия подписей нужных людей под нужными бумагами", не заботясь о том, насколько эта работа соответствует объективной реальности. "То, что подписали нужные люди под нужными бумагами - это и есть истина, несмотря на то, какие бы доводы ни приводил кто-нибудь иной, не входящий в число нужных людей и, посему, не могущий ставить нужные подписи; а раз то, что подписали нужные люди под нужными бумагами и есть по определению истина, то нечего и удосуживаться с разбором аргументов противников нужных людей, имеющих право ставить нужные подписи под нужными бумагами, ибо, по определению, то, что говорят эти противники есть ложь" - вот что заявила Комиссия. Процитирую документ 13 П/260-02:
   [Комиссия] "... не обнаружила нарушений установленного порядка присуждения ученых степеней. Все необходимые этапы экспертизы диссертационных работ Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К. проведены в соответствие с требованиями ВАК, отзывы на диссертации и авторефераты положительны, официальные оппоненты, являющиеся ведущими специалистами по профилю диссертаций, положительно оценили содержание диссертаций, во всех выступлениях, зафиксированных в стенограммах заседаний советов содержится информация о положительной оценке диссертаций. Процедурных нарушений в ходе заседаний советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 также не обнаружено. Так как нарушение установленного порядка является единственным мотивом для возбуждения диссертационным советом ходатайства о лишении ученой степени, предусмотренным п.44 "Положения о порядке присуждения ученых степеней", диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не имеют оснований для возбуждения перед ВАК ходатайство о лишении ученых степеней Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К.".
   То есть, комиссия сказала: тот, кто утверждает, что 2*2=5 вполне может стать доктором физико-математических наук и в этом не следует видеть ничего странного -- просто для этого нужные люди могут поставить нужные подписи под нужными бумагами; скажем, за деньги, сговорившись с претендентом на звание доктора. И это будет, несмотря на подкуп, самый настоящий доктор наук -- в том смысле, что, если сговор не доказан, то, поскольку процедура присуждения ученой степени прошла без "процессуальных нарушений", никто не сможет лишить его звания. По такой логике нет смысла обращаться в диссертационный совет с просьбой лишить новоиспеченного доктора ученой степени, доказывая, что 2*2=4, а не 5. "Мы и сами это знаем, но что ж поделаешь -- процедура была соблюдена; как помутнение какое нас нашло; уж ты поищи-ка лучше наличие сговора да докажи это. В суде" - могут заявить при этом члены диссертационного совета. Аналогично, какой-нибудь другой доктор каких-нибудь других наук может даже не утруждать себя даже измышлением того, что 2*2=5, изобретая, таким образом, альтернативную таблицу умножения, а просто заняться плагиатом чужих научных трудов.
   Документ 13 П/260-02 от 09.09.09, по сути говорит о том, что "группа нужных товарищей", собравшись, может объявить "полноценной диссертацией" все, что угодно (даже заведомо для них ложную и несостоятельную работу), вопреки всякой "объективной реальности". Документ говорит о том, что мнение "группы нужных товарищей" - первично, а объективная реальность - если уж не вторична по отношению к мнению "нужных товарищей", то, по крайней мере, "параллельна ему".
   При этом ученое сообщество превращается в закрытое сообщество, вообще говоря, не связанное с наукой как таковой; прием же новых членов в это сообщество осуществляется по прихоти того, кто в нем уже состоит, так как, очевидно, точно таким же образом, как "неполноценная диссертация" может быть объявлена "полноценной", так и наоборот.
   Что ж. Мне остается только поблагодарить безымянную комиссию, созданную приказом Ректора N 1-351 от 02.09.09 из числа членов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Созданную неизвестно как и отчитавшуюся неизвестно перед кем. А также тех неприметных людей, кто одобрил ее работу неизвестно каким числом голосов при неизвестно каких особых мнениях. Поблагодарить хотя бы за столь откровенный и исчерпывающий ответ, проливающий свет на нравы, царящие в российской науке вообще и в ЮРГТУ (НПИ) в частности. Теперь мы знаем: если перед нами ученый со степенью российского кандидата или доктора наук, то первое, что следует помнить - это то, что наличие у него ученой степени, вообще говоря, не согласуется с общепринятыми представлениями и даже объективной реальностью; второе, что следует помнить: ученого вполне оправданно можно и нужно подозревать в том, что он - ученый только в том смысле, что ему "нужные люди выдали нужные корочки", а его научные достижения на самом деле - полная ахинея. А раз ахинея, то третье, что следует подозревать - это то, что выдача корочки, вероятно, была связана с какой-нибудь совершенной ученым подлостью, близостью к нужным людям, подкупом, холуйством и т.д...
   Это не я клевещу-измышляю -- это говорят сами российские ученые -- смотри исходящий документ 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Савостьянова, в котором сообщаются результаты работы комиссии, созданной приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерием N 1-351 от 02.09.09 из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02.
  
   Поскольку сведения о комиссии в 13П/260-02 от 09.09.09 очень скудны, я даже не могу быть уверен -- знали ли вообще все рядовые члены диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 о том, какое скандальное решение она приняла и даже более того -- я не могу быть уверен в том, знали ли они все о самом существовании данной комиссии. В связи с этим прошу ознакомить всех членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 с материалами ее работы и ее заключениями, а также с исходящим документом 13П/260-02 от 09.09.09, чтобы дать возможность членам упомянутых диссертационных советов выразить свой протест в связи с появлением столь скандального документа, как 13П/260-02 от 09.09.09, ибо этот документ затрагивает репутацию всех без исключения членов диссертационных советов, а не только лишь их глав -- А. Н. Ткачева (глава Д 212.304.01) и Н.И. Горбатенко (глава Д 212.304.02)
   Кроме того, ввиду вышеизложенного, я никоим образом не могу считать, что мои вышеупомянутые заявления были рассмотрены по существу и настоятельно требую их рассмотрения по существу.
  
   Данное заявление имеет одиннадцать страниц. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (22.09.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [В данном Заявлении "исходящий 13П-260/02 от 09.09.09" неверно назван "исходящим 13П/260-02 от 09.09.09"]
  
   [номер письма 34640018876820; вручено 24.09.2009]
  
   Конец цитирования
  
   Ответа на данное Заявление получено не было.
  
   (20090922B) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.01 при ЮРГТУ (НПИ) А.Н. Ткачеву от 22.09.2009 (номер письма 34640018876944; вручено 24.09.2009) -- протест в связи c рассмотрением дела о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. R20090909)
  
   Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.01 при ЮРГТУ (НПИ) А.Н. Ткачеву от 22.09.2009 (номер письма 34640018876944; вручено 24.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Главе Д 212.304.01 при ЮРГТУ (НПИ)
   (зав. каф. Прикладной математики)
   проф., д.т.н. Ткачеву Александру
   Николаевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет одиннадцать страниц. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Мною был получен исходящий документ 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Савостьянова (номер и дата подписи соответствующего входящего документа в специально отведенном для этого поле не указаны), в котором сообщаются результаты работы комиссии, созданной приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерия N 1-351 от 02.09.09 из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Этот документ имеет очень скандальное содержание. Прежде всего, я вынужден сделать ряд замечаний.
   Во-первых документ 13П/260-02 от 09.09.09 представлен как исходящий в ответ на входящий документ -- мое заявление от 16.01.09 (имеется в виду Заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова от 16.01.09; номер письма 3464480921251; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 20.09.09). Напомню, что на документ с н/п 3464480921251 ответ я уже получил - это документ 13П - 14/02 от 21.01.09 за подписью того же Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова. Этот документ очень короток:
   "По вашему заявлению от 16.01.09 считаю необходимым сообщить, что диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней. Ученые степени докторов наук присуждены решением ВАК Минобразования России.
   Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе"
   Я прекрасно знал, что пересматривать принятые решения по данному вопросу не в компетенции проректора по научной работе. К сожалению, я "неточно выразился" -- в документе с н/п 3464480921251 я просил Вас рассмотреть по существу ранее поданное мною заявление -- заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя вашего предшественника -- проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007). Последнее письмо тоже было написано "несколько неточно" - там я просил "рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства об отмене присужденной ученой степени" для ряда лиц, тоже прекрасно зная, что это не в компетенции проректора по научной работе. Но сделал я это намеренно: если попросить чиновника сделать что-то, что не в его компетенции, то он обязан переслать документы тому, в чью компетенцию входит это "что-то". Если же написать "с виду более грамотно" -- не "попросить рассмотреть вопрос", а, скажем, "попросить содействовать рассмотрению вопроса", то, если это "что-то" не входит в компетенцию чиновника, он получает возможность отказать -- заметьте -- отказать не в рассмотрении, а в содействии рассмотрению, ничего при этом не пересылая "куда надо" -- ему достаточно просто объяснив заявителю, что это "что-то" вне его компетенцию. Начиная переписку с диссертационными советами Д 212.304.01 и Д 212.304.02, я решил делать это через проректора по научной работе. Может быть, я был неправ, перегружая его, но, тем не менее, я считал, что проректор по образовательной деятельности должен быть в курсе подобных дел. Чтобы не писать одно и то же много раз и в диссертационные советы, и проректору, я намеренно использовал несколько неточные выражения. Как видим, Павленко А.В. из контекста письма понял, куда нужно было переправить письмо, чтобы исполнить свой долг и передал его в соответствующие диссертационные советы, после чего информировал меня об этом в соответствующем исходящем документе -- 13П - 263/02 от 26.11.2007. А А.В. Савостьянов из контекста письма не понял, что я прошу у него попросту "побеспокоить" глав диссертационных советов, молчащих к тому времени -- 16.01.09 -- уже более года, используя для этого свой авторитет проректора по научной работе. Однако вместо этого почему-то А.В. Савостьянов, хоть это и не входило в его компетенцию, взялся категорически говорить от своего имени о том, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней", хотя подобные заявления должны делать диссертационные советы, а не проректор по научной работе.
   Напомню, что документ н/п 3464480921251 является всего лишь напоминанием о необходимости рассмотрения документа с н/п 34644895077449; Поэтому и ответы на документ с н/п 34644895077449 являются всего лишь ответами на документ с н/п 3464480921251, который, напомню, был подписан еще 06.11.2007 (вручен 09.11.2007).
   Итак, теперь у меня целых два ответа на мое Заявление с н/п 3464480921251, а следовательно, и на исходное заявление с н/п 34644895077449. Первое, пришедшее раньше -- юридически ничтожно. Второе -- юридически состоятельно. Оно было датировано 09.09.09. До получения ответа на исходное заявления прошло более одного года и восьми месяцев. Чем же была вызвана столь большая задержка? 13П/260-02 от 09.09.09 ссылается на плановое прекращение работы диссертационных советов для перерегистрации. Что ж, причина справедливая. Но этот же 13П/260-02 от 09.09.09 стыдливо умалчивает о том, когда эти советы возобновили свою работу. Еще там же говориться о смене руководства университета и смене главы диссертационного совета Д 212.304.02. Я не совсем понимаю -- к чему упоминать об этом?! Как смена руководства университета повлияла на работу диссертационных советов? И как смена главы одного диссертационного совета повлияла на работоспособность другого диссертационного совета? И как долго происходит смена главы диссертационного совета в ЮРГТУ? Насколько длительность смены существенна по сравнению со сроком в 1 год и 8 месяцев? Как известно, на март 2008 года в Д 212.304.01 уже планировалась защита кандидатской диссертации -- смотри инофрмацию по ссылке
   http://www.npi-tu.ru/index.php?lang=rus&id=204&pid=334
   Чем таким занимался глава возобновившего свою деятельность Д 212.304.01 проф., д.т.н. А. Н. Ткачев с марта 2008 по сентябрь 2009, что бы не позволило ему рассмотреть поступившее заявление?
   Все же я думаю, не последнюю роль в том, что после юридически ничтожного ответа проректора по научной работе А.В. Савостьянова, члены диссертационных советов все-таки соблаговолили дать еще один ответ, юридически состоятельный, -- через того же А.В. Савостьянова -- сыграли мои обращения в Рособрнадзор, ВАК и в администрацию Президента РФ. Подозреваю, что без них рассмотрение моих заявлений затянулось бы аж до самого истечения срока давности, установленного для диссертаций, после чего поднимать вопрос о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха стало бы попросту невозможно.
   Далее. В 13П/260-02 от 09.09.09 пишется: "Научная дискуссия, которая заключается в критике Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов, а арбитром в этом споре должна выступать не администрация ВУЗа, а научная общественность."
   К чему это было написано? Как видно из моего заявления с н/п 34644895077449, моей целью было именно лишение ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха, а не дискуссия в журналах. Напомню, что победа в дискуссии даже в ведущих рецензируемых научных журналах не влечет автоматического лишения ученой степени проигравшей стороны, так как редакции этих журналов попросту не обладают необходимыми полномочиями. Для лишения ученой степени, как правило, необходимо возбуждение ходатайства соответствующим диссертационным советом. Чтобы инициировать возбуждение ходатайства, необходимо направлять свои заявления именно в диссертационный совет. Что я и сделал через проректора по научной работе. Кем бы я выглядел, направив подобное заявление, например, в редакцию журнала "Известия ВУЗов. Электромеханика"?!
   Далее. Я не заставлял выступать арбитром администрацию ВУЗа -- это также глупо, как и направлять заявления о лишении ученой степени в редакцию журналов. И не мог бы заставить при всем своем желании. Я, как написано, сделал так, чтобы администрация ВУЗа в лице проректора по научной работе передала соответствующие документы в соответствующие диссертационные советы и время от времени контролировала сроки исполнения, установленные для рассмотрения заявлений. Это д.т.н. А.П. Савостьянов превысил свои полномочия и стал категорически утверждать в исходящем документе 13П - 14/02 от 21.01.09, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней.", несмотря на то, что делать такие заявления, как уже говорилось, -- прерогатива соответствующих диссертационных советов; далее, правда, А.П. Савостьянов (видимо, для обеспечения собственной безопасности) дописал, что "Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе". Так зачем же тогда он чуть выше говорил, о том, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней."?
   Еще меня упрекают в том, что я не обратился к "научной общественности". Я, как сказано, передал документы в диссертационные советы в которых, как известно, и заседает ни что иное, как "научная общественность", причем в одном из предельно-концентрированных своих видов.
   Еще в 13П/260-02 от 09.09.09 говорится о нарушении мною т.н. "научной этики". И это после того, как ученые ЮРГТУ мне не отвечали больше года и восьми месяцев! Уж сами О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах, соблюдая научную этику, наверняка бы могли ответить мне в личном письме, разбив мои доводы, и представить доказательства того, что мое выводы ошибочны в диссертационные советы. Поэтому слова ученых ЮРГТУ о научной этике звучат для меня странно и дико. После же получения 13П/260-02 от 09.09.09 эти слова звучат для меня странно и дико вдвойне.
   Соблюдая научную этику, О.Ф. Ковалев мог бы сообщить на заседании комиссии, созданной приказом Ректора, что он ранее, по крайней мере формально, вполне согласился с моими взглядами на сделанные им открытия -- смотри следующие совместные работы О.Ф. Ковалева и А.В. Леонова:
   1. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Здесь О.Ф. Ковалев "увидел", как предложенную им в диссертационной работе итерационную схему для решения нелинейных уравнений можно записать проще.
   2. Сходимость метода итераций с точки зрения квази-методов Ньютона. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-17 [1-3 июня 2004 г.] : сб. трудов XVII Междунар. науч. конф. : В 10 т. / Костромской гос. технол. ун-т. -- Кострома : Изд-во КГТУ, 2004. -- Т. 1, секц. 1. -- С. 112-113
   А здесь он "увидел", что эта итерационная схема -- довольно "обыденный" квази- метод Ньютона.
   Статьи "детские" и содержат много ошибок, но, тем не менее, все там достаточно прозрачно.
   Соответственно, и Г.К. Птах, соблюдая этику, мог бы сообщить комиссии, что первая из упомянутых работ использовала ту же итерационную схему, что и он, причем на год раньше защиты им диссертации. Откуда мог узнать Птах про эту работу, спросите вы? Напомню слова 13П/260-02 от 09.09.09: "Считаем, что публичный характер проведения экспертиз диссертаций до момента их защит и открытый характер заседаний советов по защитам диссертаций давал вам возможность выступить с критикой выносимых Ковалевым О.Ф. и Птахом Г.К. научных результатов диссертационных исследований".
  
   Итак, двинемся к самой сути исходящего документа 13П/260-02 от 09.09.09, который наглядно показывает тот идеал "научной этики", которого придерживаются ученые ЮРГТУ.
   Напомню ряд выдержек из документа "Положение о порядке присуждений ученых степеней" (Утверждено постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74; положения приводятся в редакции Постановлений Правительства РФ от 12.08.2003 N 490, от 20.04.2006 N 227, от 04.05.2008 N 330, от 02.06.2008 N 424):
   Раздел II ("Критерии, которым должны отвечать диссертации, представленные на соискание ученой степени") пункт 8: "Диссертация на соискание ученой степени доктора наук должна быть научно-квалификационной работой, в которой на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение, либо решена крупная научная проблема, имеющая важное социально-культурное или хозяйственное значение, либо изложены научно обоснованные технические, экономические или технологические решения, внедрение которых вносит значительный вклад в развитие экономики страны и повышение ее обороноспособности."
   Раздел II пункт 9 : "Диссертация должна быть написана единолично, содержать совокупность новых научных результатов и положений, выдвигаемых автором для публичной защиты, иметь внутреннее единство и свидетельствовать о личном вкладе автора в науку. Предложенные автором новые решения должны быть строго аргументированы и критически оценены по сравнению с другими известными решениями.
   В диссертации, имеющей прикладное значение, должны приводиться сведения о практическом использовании полученных автором научных результатов, а в диссертации, имеющей теоретическое значение, -- рекомендации по использованию научных выводов."
   Раздел VII ("Лишение (восстановление) ученых степеней") пункт 44: "Лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией, как правило, на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций."
   Далее на вышеупомянутый документ будем ссылать просто как на "Положение".
   Таким образом, если защищенная докторская диссертация не соответствует п. II.8 и п. II.9 "Положения" (то есть, говоря словами "Положения", если нарушены критерии, которым должна отвечать диссертация, представляемая на соискание ученой степени), то (опять же говоря словами самого "Положения") имеет место нарушение установленного порядка присуждения ученых степеней, который и введен в действие настоящим "Положением". Следовательно, в этом случае в полной мере применим п. VII.44 "Положения", оговаривающий возможность лишения ученой степени.
   Говоря об оценке представленной работы на соответствие п. II.8 и п. II.9 "Положения", очевидно, следует иметь в виду объективную оценку, учитывающую уровень развития науки на момент защиты диссертации.
   Курс философии, читаемый студентам негуманитарных специальностей, представляет процесс научного познания как процесс движения по направлению к "абсолютной истине" от одной "относительной истины" к другой "относительной истине", но более "более полной", не только включающей первую как "частный случай" (возможно, приближенно), но и позволяющей, по меньшей мере, если не объяснить, то предсказать ряд явлений, которые не могла предсказать предыдущая "относительная истина". В этом смысле новая "относительная истина" является "более близкой" к "абсолютной истине"; сама же "абсолютная истина" для человеческого разума считается недостижимой. Кроме того, "абсолютная истина" содержится в "относительной истине" в виде своеобразных "вкраплений": "дважды два четыре", "в невырожденном треугольнике три угла" и т.д...
   В связи с этим могут возникать случаи, когда на данном уровне развития науки некоторая новая теория может включать себя все, что включает в себя старая теория и давать некоторые новые верные "предсказания", но при этом быть неверной (в смысле основывающейся на неверных представлениях). В одно и то же время с этой теорией могут конкурировать другие теории, основывающиеся на верных представлениях. (Разумеется, о "верности" или "неверности" представлений мы здесь говорим с позиций будущего; во время построения этих теорий может быть совсем не очевидным, каким представлениям следует отдать предпочтение). Если впоследствии неверная теория будет отвергнута, то вряд ли следует лишать ее автора ученой степени, ибо эта теория вполне соответствовала научным представлениям своего времени, была создана для того, чтобы превзойти их и включить их как "частный случай" (возможно, приближенный), по меньшей мере дав при этом дополнительную возможность предсказания каких-то событий, чего не могли сделать другие существовавшие на тот момент теории.
   Вряд ли следует лишать ученой степени того, кто выполнил независимые исследования "несколько позже", ничего не зная о том, что кто-то сделал то же самое. Или того, кто независимо сделал то же самое значительно позже, но при этом прообраз "того же самого" был намеренно засекречен.
   Ученой степени следует лишать того, кто, провозглашая, что действует в рамках уже известной на тот момент "относительной истины", являет в своих научных исследованиях ее фактическое незнание, пренебрегает ей, совершает множество ошибок, использует подтасовки и обман -- может быть даже, непреднамеренно или из лучших побуждений.
   Возникает трудность -- кто должен гарантировать соответствие диссертации (говоря шире - какой-нибудь научной теории) известной на текущей момент "относительной истине". Грубо говоря, это гарантируется всеми людьми, использующими научные методы в познании какой-либо части физического мира, всеми их трудами и всей совокупностью научной литературы, гарантируется наличием уже известных "вкраплений" абсолютной истины в истину относительную и возможностью логических умозаключений с использованием этих "вкраплений", которые опять-таки должны привести к "вкраплению" абсолютной истины -- то есть, возможностью в определенных пределах иметь дело не с "относительной истиной", а с "частью абсолютной истины". При этом все равно нет страховки от ошибки. Ни один ученый коллектив, ни один диссертационный совет не может заявить о себе как о стопроцентом гаранте. И если диссертация декларирует, что "остается в рамках" известных на текущий момент научных представлений, но при этом тем или иным образом нарушает их и им не соответствует, то всякий, обнаруживший это, вправе обратиться в соответствующий диссертационный совет (или напрямую в ВАК) (см. п. VII. 44) c просьбой о возбуждении ходатайства о лишении ученой степени (или просто с просьбой о лишении ученой степени, если речь идет об обращении в ВАК напрямую). Грубо говоря, обратившимся может быть и ученик начальной школы, обнаруживший доктора физико-математических наук, открывшего, что "2*2=5" и каким-то странным образом получившим за это ученую степень, пройдя все проверки и собрав все необходимые положительные отзывы и рецензии. В этом случае, по-видимому, при лишении ученой степени следует уделить особое внимание тому, как была защищена подобная диссертация.
   Напомню, что в Заявлении гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.07. (Номер письма 34644895077449. Вручено по доверенности 09.11.07.), касавшемся лишения ученых степеней д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха, речь шла о том, что их диссертационные работы не соответствуют именно п. II.8 и п. II.9 Положения; то есть здесь дело касается того случая, когда, как сказано выше, ученый "провозглашая, что действует в рамках уже известной на тот момент "относительной истины", являет в своих научных исследованиях ее фактическое незнание, пренебрегает ей, совершает множество ошибок, использует подтасовки и обман - может быть даже, непреднамеренно или из лучших побуждений." Это видно как из текста вышеупомянутого Заявления, так и из содержания Приложения A и Приложения B к нему, в которых диссертационные работы д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха рассматриваются подробнее. Речь шла о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения". Претензии к содержанию диссертации д.т.н. О.Ф. Ковалева были, как сказано, разобраны в Приложении A, которое представляло из себя распечатку следующей книги:
   Леонов А.В. Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. -- Новочеркасск.: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. -- 108 с. Книгу можно скачать по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.
   Как сказано в аннотации к книге,
   "Данная работа может рассматриваться как методическое пособие по численным методам решения систем нелинейых уравнений и по условной минимизации функционала.
   Предназначена для инженеров, аспирантов и ученых, работающих в области математического моделирования электромагнитных полей и в области численных методов."
   То есть, я, автор, заведомо не претендовал на изложение на какой-то новой теории, противоречащей или выходящей за рамки общеизвестной на данный момент "относительной истины".
   Перед этим в аннотации говорилось:
   "Рассматривается метод расчета магнитного поля, получивший известность как "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников". Показывается, что данный метод не связан ни с методом вторичных источников, ни с методом конечных элементов, ни с построением математической модели, а является достаточно простым, причем недоформулированным до конца, квази- методом Ньютона для решения систем нелинейных уравнений."
   То есть, я, автор, рассматривал упомянутый метод исключительно с позиций "общеизвестной относительной истины", преподаваемой студентам в курсах, связанных с такими вещами, как расчет электромагнитного поля, условная минимизация функционала, метод конечных элементов, численные методы решения уравнений в частных производных, численные методы решения линейных и нелинейных уравнений и линейная алгебра. Оставаясь в рамках "общеизвестных вещей", я, по-моему, имел полное право излагать материал, не очень заботясь о ссылках (так, например, поступают авторы учебников по дифференциальному и интегральному исчислению, - они не особо заботятся о ссылках для теорем). Необходимый теоретический материал для разбора диссертаций был мною дан в 1 и 4 главах книги. Тем не менее, поскольку, по-видимому, может встать вопрос о том, что написанное в этих главах есть "что-то новое и неизвестное прежде", то я вынужден дать ссылки сейчас.
   Первая глава книги была посвящена условной минимизации функционала в конечноэлементном лагранжевом базисе и применению при этом метода неопределенных множителей Лагранжа. Я не знаю даже, нужно ли тут давать ссылки?! Условную минимизацию, метод конечных элементов и метод неопределенных множителей Лагранжа приведены в множестве книг, а также, за исключением метода конечных элементов, стандартных вузовских учебников. Впрочем, что касается метода конечных элементов, то здесь я выделю следующий курс лекций, в котором содержится подробное описание процедуры сборки матриц:
   1. Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5629 "Numerical Methods for Partial Differential Equations" (Численные методы решения уравнений в частных производных"), прочитанный осенним семестром 2003 года в Мichigan Technological University (Мичиганском Технологическом Университете).
   Домашняя страничка курса (курс доступен для скачивания):
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5629fall2003
   Что касается метода неопределенных множителей Лагранжа, то следует упомянуть, что он мною рассматривается "применительно к линейной алгебре" -- именно в таком виде, в каком он реализован в PDETool Matlab'a. Поэтому здесь можно порекомендовать следующее:
   2. Исходный код функции pdenonlin PDETool Matlab'а (например, R2008a)
   3. Докуметнация (в формате .pdf) и help Matlab'a к PDETool (например, help R2008a и Маtlab Documentation CD от R6.1 -- см. файл pde.pdf с книжкой "Partial Differencial Equation Toolbox")
   В качестве пособия по линейной алгебре к данной главе (и по итерационным методам для линейных систем) можно взять, например,
   4. Г. Стренг. Линейная алгебра. - М.: Мир, 1980.
   В качестве пособия по минимизации функционала можно взять
   5. К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985
   Именно эти книги и послужили основой для написания 1 главы. Глава 4 служит введением в квази- (то есть, приближенные) методы Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Для ее написания использовалась следующая литература:
   6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -- М.: Наука, 1966. - 664с.
   7. Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5630 "Numerical optimization" ("Численные методы оптимизации"), прочитанный весенним семестром 2003 года в Мichigan Technological University (Мичиганском Технологическом Университете).
   Домашняя страничка курса (курс доступен для скачивания):
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5630spring2003
   8. Jose Mario Martinez. Practical quasi-Newton methods for solving nonlinear systems. Journal of Computational and Applied Mathematics. Volume 124 , Issue 1-2 (December 2000) pp. 97 - 121.
   Таким образом, заключения в моей книги делаются именно на основании упомянутых источников.
   В Приложении B ("Замечания по "методу расщепления" Г.К. Птаха") содержался разбор диссертации д.т.н. Г.К. Птаха, основывавшихся на этих же источниках. Что касается предложенного Г.К. Птахом численного метода, то диссертация Г.К. Птаха, по-видимому, представляла из себя явный плагиат из диссертации О.Ф. Ковалева, а также из следующего небольшого сообщения на конференции, опубликованного примерно за год до защиты Г.К. Птахом докторской диссертации (это сообщение уже упоминалось нами ранее):
   Ковалев О.Ф., Леонов А.В. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Как уже упомянуто, в моем заявлении речь шла о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения" в том смысле, в каком их понимают ученые ЮРГТУ. Тем не менее, насколько явствует из направленного мне исходящего документа 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ А.В. Савостьянова, созданная приказом ректора N 1-351 от 02.09.09 комиссия из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 (в котором защищался Г.К. Птах) и Д 212.304.02 (в котором защищался О.Ф. Ковалев) занялась поиском исключительно "процессуальных нарушений" в ходе состоявшейся ранее защиты (причем понимаемых "слишком узко"), исключив из своих задач объективное рассмотрение содержания и смысла диссертационных работ, несмотря на явно указанные мною ошибки. Комиссия не опровергла ни одного моего доказательства ложности того или иного положения диссертационных работ (хотя прошло более полутора лет с момента подачи мною первого заявления). Так, например, мною доказывалось, что О.Ф. Ковалев пришел к своей "оригинальной" схеме в некотором смысле случайно -- просто потому, что забыл привести подобные слагаемые при минимизации функционала (приведению подобных слагаемых, напомню, учат еще в школе); эта итерационная схема не представляла из себя ничего нового -- это был квази-метод Ньютона, получающийся при аппроксимации якобиана матрицей жесткости. Только О.Ф. Ковалев умудрился еще и "изуродовать" этот столь простой и давно известный метод, ухудшив его сходимость. О.Ф. Ковалев попросту собрался делать научные открытия в той области, о которой знал недостаточно; если бы он имел представление о том, что "творится" в этой области, то попросту никогда бы не посмел выдавать свою итерационную схему за научное достижение. Г.К. Птах же не ограничился только тем, что совершил плагиат "метода Ковалева"; он сделал еще более поразительные открытия в области численных методов: Геннадий Константинович решил, что итерационный метод, используемый при решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении системы нелинейных алгебраических уравнений, совместно с численным методом, используемым для решения системы нелинейных алгебраических уравнений, образуют как бы "единый сложный (составной) итерационный метод решения системы нелинейных уравнений". По такой логике, единый сложный (составной) метод решения системы нелинейных уравнений представляет собой и метод Ньютона, "внутри" которого системы линейных алгебраических уравнений решаются, например, методом Гаусса или по формулам Краммера. Разумеется, этого было недостаточно, и Г.К. Птах пошел дальше: он, как и О.Ф. Ковалев, "изуродовал" свой "составной метод", решив прекращать "внутренний" итерационный процесс (решающий СЛАУ) через наперед заданное число циклов (причем весьма малое), а не "тогда, когда надо" -- то есть не тогда, когда норма невязки стала достаточно малой, или, на худой конец, когда соседние приближенные решения стали "достаточно близкими". Этим во "внешний" итерационный процесс (решающий систему нелинейных уравнений) вносились ничем не обоснованные возмущения, которые, как правило, вносятся лишь тогда, когда итерационный процесс "попал в область плохой сходимости". Изуродованный Г.К. Птахом метод даже не обладал средствами глобализации сходимости, но при этом, "проведя анализ сходимости", Г.К. Птах утверждал, что итерационный процесс гарантированно сойдется! И все бы это было не так смешно, если бы главой Д 212.304.01 не был проф., д.т.н. А.Н. Ткачев, зав. каф. "Прикладная математика".
   Как видим, ни я, ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах не претендовали на "выход за рамки" общепринятой на сегодня "относительной научной истины". И даже на сложные новые выводы из нее. Речь шла о том, что О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах не знают элементарных вещей в той области, в которой собрались совершать открытия. Тем не менее, напомню, в ответе 13П/260-02 от 09.09.09 почему-то говорится о том, "критика Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов." У неискушенного читателя может возникнуть мнение, что тут речь идет о конкуренции каких-то спорных теорий, выходящих за рамки современных представлений, -- таких, что сейчас, исходя из современного уровня знаний, невозможно отдать какой-либо теории предпочтение (и при этом новые теории имеют сравнимую "дополнительную" предсказательную силу). На самом же деле все обстоит совсем не так. О чем дискутировать на страницах ведущих рецензируемых научных журналов?! О том, что О.Ф. Ковалев не привел подобные слагаемые и не знает, как осуществляется сборка матриц при использовании метода конечных элементов? О том, что Г.К. Птах совершил плагиат?! О том, что ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах не знают основ в области численных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений?!
   Но вернемся к комиссии. Она свела объективную оценку содержания и смысла диссертационной работы к проблеме "наличия или отсутствия подписей нужных людей под нужными бумагами", не заботясь о том, насколько эта работа соответствует объективной реальности. "То, что подписали нужные люди под нужными бумагами - это и есть истина, несмотря на то, какие бы доводы ни приводил кто-нибудь иной, не входящий в число нужных людей и, посему, не могущий ставить нужные подписи; а раз то, что подписали нужные люди под нужными бумагами и есть по определению истина, то нечего и удосуживаться с разбором аргументов противников нужных людей, имеющих право ставить нужные подписи под нужными бумагами, ибо, по определению, то, что говорят эти противники есть ложь" -- вот что заявила Комиссия. Процитирую документ 13 П/260-02:
   [Комиссия] "... не обнаружила нарушений установленного порядка присуждения ученых степеней. Все необходимые этапы экспертизы диссертационных работ Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К. проведены в соответствие с требованиями ВАК, отзывы на диссертации и авторефераты положительны, официальные оппоненты, являющиеся ведущими специалистами по профилю диссертаций, положительно оценили содержание диссертаций, во всех выступлениях, зафиксированных в стенограммах заседаний советов содержится информация о положительной оценке диссертаций. Процедурных нарушений в ходе заседаний советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 также не обнаружено. Так как нарушение установленного порядка является единственным мотивом для возбуждения диссертационным советом ходатайства о лишении ученой степени, предусмотренным п.44 "Положения о порядке присуждения ученых степеней", диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не имеют оснований для возбуждения перед ВАК ходатайство о лишении ученых степеней Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К.".
   То есть, комиссия сказала: тот, кто утверждает, что 2*2=5 вполне может стать доктором физико-математических наук и в этом не следует видеть ничего странного -- просто для этого нужные люди могут поставить нужные подписи под нужными бумагами; скажем, за деньги, сговорившись с претендентом на звание доктора. И это будет, несмотря на подкуп, самый настоящий доктор наук -- в том смысле, что, если сговор не доказан, то, поскольку процедура присуждения ученой степени прошла без "процессуальных нарушений", никто не сможет лишить его звания. По такой логике нет смысла обращаться в диссертационный совет с просьбой лишить новоиспеченного доктора ученой степени, доказывая, что 2*2=4, а не 5. "Мы и сами это знаем, но что ж поделаешь -- процедура была соблюдена; как помутнение какое нас нашло; уж ты поищи-ка лучше наличие сговора да докажи это. В суде" -- могут заявить при этом члены диссертационного совета. Аналогично, какой-нибудь другой доктор каких-нибудь других наук может даже не утруждать себя даже измышлением того, что 2*2=5, изобретая, таким образом, альтернативную таблицу умножения, а просто заняться плагиатом чужих научных трудов.
   Документ 13 П/260-02 от 09.09.09, по сути говорит о том, что "группа нужных товарищей", собравшись, может объявить "полноценной диссертацией" все, что угодно (даже заведомо для них ложную и несостоятельную работу), вопреки всякой "объективной реальности". Документ говорит о том, что мнение "группы нужных товарищей" -- первично, а объективная реальность -- если уж не вторична по отношению к мнению "нужных товарищей", то, по крайней мере, "параллельна ему".
   При этом ученое сообщество превращается в закрытое сообщество, вообще говоря, не связанное с наукой как таковой; прием же новых членов в это сообщество осуществляется по прихоти того, кто в нем уже состоит, так как, очевидно, точно таким же образом, как "неполноценная диссертация" может быть объявлена "полноценной", так и наоборот.
   Что ж. Мне остается только поблагодарить безымянную комиссию, созданную приказом Ректора N 1-351 от 02.09.09 из числа членов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Созданную неизвестно как и отчитавшуюся неизвестно перед кем. А также тех неприметных людей, кто одобрил ее работу неизвестно каким числом голосов при неизвестно каких особых мнениях. Поблагодарить хотя бы за столь откровенный и исчерпывающий ответ, проливающий свет на нравы, царящие в российской науке вообще и в ЮРГТУ (НПИ) в частности. Теперь мы знаем: если перед нами ученый со степенью российского кандидата или доктора наук, то первое, что следует помнить -- это то, что наличие у него ученой степени, вообще говоря, не согласуется с общепринятыми представлениями и даже объективной реальностью; второе, что следует помнить: ученого вполне оправданно можно и нужно подозревать в том, что он -- ученый только в том смысле, что ему "нужные люди выдали нужные корочки", а его научные достижения на самом деле -- полная ахинея. А раз ахинея, то третье, что следует подозревать -- это то, что выдача корочки, вероятно, была связана с какой-нибудь совершенной ученым подлостью, близостью к нужным людям, подкупом, холуйством и т.д...
   Это не я клевещу-измышляю -- это говорят сами российские ученые -- смотри исходящий документ 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Савостьянова, в котором сообщаются результаты работы комиссии, созданной приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерием N 1-351 от 02.09.09 из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02.
  
   Поскольку сведения о комиссии в 13П/260-02 от 09.09.09 очень скудны, я даже не могу быть уверен - знали ли вообще все рядовые члены диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 о том, какое скандальное решение она приняла и даже более того -- я не могу быть уверен в том, знали ли они все о самом существовании данной комиссии. В связи с этим прошу ознакомить всех членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 с материалами ее работы и ее заключениями, а также с исходящим документом 13П/260-02 от 09.09.09, чтобы дать возможность членам упомянутых диссертационных советов выразить свой протест в связи с появлением столь скандального документа, как 13П/260-02 от 09.09.09, ибо этот документ затрагивает репутацию всех без исключения членов диссертационных советов, а не только лишь их глав -- А. Н. Ткачева (глава Д 212.304.01) и Н.И. Горбатенко (глава Д 212.304.02)
   Кроме того, ввиду вышеизложенного, я никоим образом не могу считать, что мои вышеупомянутые заявления были рассмотрены по существу и настоятельно требую их рассмотрения по существу.
  
   Данное заявление имеет одиннадцать страниц. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (22.09.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [В данном Заявлении "исходящий 13П-260/02 от 09.09.09" неверно назван "исходящим 13П/260-02 от 09.09.09"]
  
   [номер письма 34640018876944; вручено 24.09.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20090922C) Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) Н.И. Горбатенко от 22.09.2009 (номер письма 34640018876937; вручено 24.09.2009) -- протест в связи с рассмотрением дела о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. R20090909)
  
   Заявление А.В. Леонова Главе диссертационного совета Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) Н.И. Горбатенко от 22.09.2009 (номер письма 34640018876937; вручено 24.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Главе Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ)
   (зав. каф. ИИиМТ ФИТУ)
   проф., д.т.н. Горбатенко Николаю
   Ивановичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет одиннадцать страниц. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Мною был получен исходящий документ 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Савостьянова (номер и дата подписи соответствующего входящего документа в специально отведенном для этого поле не указаны), в котором сообщаются результаты работы комиссии, созданной приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерия N 1-351 от 02.09.09 из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Этот документ имеет очень скандальное содержание. Прежде всего, я вынужден сделать ряд замечаний.
   Во-первых документ 13П/260-02 от 09.09.09 представлен как исходящий в ответ на входящий документ -- мое заявление от 16.01.09 (имеется в виду Заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова от 16.01.09; номер письма 3464480921251; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 20.09.09). Напомню, что на документ с н/п 3464480921251 ответ я уже получил -- это документ 13П - 14/02 от 21.01.09 за подписью того же Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова. Этот документ очень короток:
   "По вашему заявлению от 16.01.09 считаю необходимым сообщить, что диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней. Ученые степени докторов наук присуждены решением ВАК Минобразования России.
   Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе"
   Я прекрасно знал, что пересматривать принятые решения по данному вопросу не в компетенции проректора по научной работе. К сожалению, я "неточно выразился" - в документе с н/п 3464480921251 я просил Вас рассмотреть по существу ранее поданное мною заявление -- заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя вашего предшественника -- проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 09.11.2007). Последнее письмо тоже было написано "несколько неточно" -- там я просил "рассмотреть вопрос о возбуждении ходатайства об отмене присужденной ученой степени" для ряда лиц, тоже прекрасно зная, что это не в компетенции проректора по научной работе. Но сделал я это намеренно: если попросить чиновника сделать что-то, что не в его компетенции, то он обязан переслать документы тому, в чью компетенцию входит это "что-то". Если же написать "с виду более грамотно" -- не "попросить рассмотреть вопрос", а, скажем, "попросить содействовать рассмотрению вопроса", то, если это "что-то" не входит в компетенцию чиновника, он получает возможность отказать -- заметьте -- отказать не в рассмотрении, а в содействии рассмотрению, ничего при этом не пересылая "куда надо" -- ему достаточно просто объяснив заявителю, что это "что-то" вне его компетенцию. Начиная переписку с диссертационными советами Д 212.304.01 и Д 212.304.02, я решил делать это через проректора по научной работе. Может быть, я был неправ, перегружая его, но, тем не менее, я считал, что проректор по образовательной деятельности должен быть в курсе подобных дел. Чтобы не писать одно и то же много раз и в диссертационные советы, и проректору, я намеренно использовал несколько неточные выражения. Как видим, Павленко А.В. из контекста письма понял, куда нужно было переправить письмо, чтобы исполнить свой долг и передал его в соответствующие диссертационные советы, после чего информировал меня об этом в соответствующем исходящем документе -- 13П - 263/02 от 26.11.2007. А А.В. Савостьянов из контекста письма не понял, что я прошу у него попросту "побеспокоить" глав диссертационных советов, молчащих к тому времени -- 16.01.09 -- уже более года, используя для этого свой авторитет проректора по научной работе. Однако вместо этого почему-то А.В. Савостьянов, хоть это и не входило в его компетенцию, взялся категорически говорить от своего имени о том, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней", хотя подобные заявления должны делать диссертационные советы, а не проректор по научной работе.
   Напомню, что документ н/п 3464480921251 является всего лишь напоминанием о необходимости рассмотрения документа с н/п 34644895077449; Поэтому и ответы на документ с н/п 34644895077449 являются всего лишь ответами на документ с н/п 3464480921251, который, напомню, был подписан еще 06.11.2007 (вручен 09.11.2007).
   Итак, теперь у меня целых два ответа на мое Заявление с н/п 3464480921251, а следовательно, и на исходное заявление с н/п 34644895077449. Первое, пришедшее раньше -- юридически ничтожно. Второе -- юридически состоятельно. Оно было датировано 09.09.09. До получения ответа на исходное заявления прошло более одного года и восьми месяцев. Чем же была вызвана столь большая задержка? 13П/260-02 от 09.09.09 ссылается на плановое прекращение работы диссертационных советов для перерегистрации. Что ж, причина справедливая. Но этот же 13П/260-02 от 09.09.09 стыдливо умалчивает о том, когда эти советы возобновили свою работу. Еще там же говориться о смене руководства университета и смене главы диссертационного совета Д 212.304.02. Я не совсем понимаю -- к чему упоминать об этом?! Как смена руководства университета повлияла на работу диссертационных советов? И как смена главы одного диссертационного совета повлияла на работоспособность другого диссертационного совета? И как долго происходит смена главы диссертационного совета в ЮРГТУ? Насколько длительность смены существенна по сравнению со сроком в 1 год и 8 месяцев? Как известно, на март 2008 года в Д 212.304.01 уже планировалась защита кандидатской диссертации -- смотри инофрмацию по ссылке
   http://www.npi-tu.ru/index.php?lang=rus&id=204&pid=334
   Чем таким занимался глава возобновившего свою деятельность Д 212.304.01 проф., д.т.н. А. Н. Ткачев с марта 2008 по сентябрь 2009, что бы не позволило ему рассмотреть поступившее заявление?
   Все же я думаю, не последнюю роль в том, что после юридически ничтожного ответа проректора по научной работе А.В. Савостьянова, члены диссертационных советов все-таки соблаговолили дать еще один ответ, юридически состоятельный, -- через того же А.В. Савостьянова -- сыграли мои обращения в Рособрнадзор, ВАК и в администрацию Президента РФ. Подозреваю, что без них рассмотрение моих заявлений затянулось бы аж до самого истечения срока давности, установленного для диссертаций, после чего поднимать вопрос о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха стало бы попросту невозможно.
   Далее. В 13П/260-02 от 09.09.09 пишется: "Научная дискуссия, которая заключается в критике Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов, а арбитром в этом споре должна выступать не администрация ВУЗа, а научная общественность."
   К чему это было написано? Как видно из моего заявления с н/п 34644895077449, моей целью было именно лишение ученых степеней О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха, а не дискуссия в журналах. Напомню, что победа в дискуссии даже в ведущих рецензируемых научных журналах не влечет автоматического лишения ученой степени проигравшей стороны, так как редакции этих журналов попросту не обладают необходимыми полномочиями. Для лишения ученой степени, как правило, необходимо возбуждение ходатайства соответствующим диссертационным советом. Чтобы инициировать возбуждение ходатайства, необходимо направлять свои заявления именно в диссертационный совет. Что я и сделал через проректора по научной работе. Кем бы я выглядел, направив подобное заявление, например, в редакцию журнала "Известия ВУЗов. Электромеханика"?!
   Далее. Я не заставлял выступать арбитром администрацию ВУЗа -- это также глупо, как и направлять заявления о лишении ученой степени в редакцию журналов. И не мог бы заставить при всем своем желании. Я, как написано, сделал так, чтобы администрация ВУЗа в лице проректора по научной работе передала соответствующие документы в соответствующие диссертационные советы и время от времени контролировала сроки исполнения, установленные для рассмотрения заявлений. Это д.т.н. А.П. Савостьянов превысил свои полномочия и стал категорически утверждать в исходящем документе 13П - 14/02 от 21.01.09, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней.", несмотря на то, что делать такие заявления, как уже говорилось, -- прерогатива соответствующих диссертационных советов; далее, правда, А.П. Савостьянов (видимо, для обеспечения собственной безопасности) дописал, что "Пересматривать принятые решения не в компетенции проректора по научной работе". Так зачем же тогда он чуть выше говорил, о том, что "диссертационные работы Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. защищены в соответствии с Положением о порядке присуждения ученых степеней."?
   Еще меня упрекают в том, что я не обратился к "научной общественности". Я, как сказано, передал документы в диссертационные советы в которых, как известно, и заседает ни что иное, как "научная общественность", причем в одном из предельно-концентрированных своих видов.
   Еще в 13П/260-02 от 09.09.09 говорится о нарушении мною т.н. "научной этики". И это после того, как ученые ЮРГТУ мне не отвечали больше года и восьми месяцев! Уж сами О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах, соблюдая научную этику, наверняка бы могли ответить мне в личном письме, разбив мои доводы, и представить доказательства того, что мое выводы ошибочны в диссертационные советы. Поэтому слова ученых ЮРГТУ о научной этике звучат для меня странно и дико. После же получения 13П/260-02 от 09.09.09 эти слова звучат для меня странно и дико вдвойне.
   Соблюдая научную этику, О.Ф. Ковалев мог бы сообщить на заседании комиссии, созданной приказом Ректора, что он ранее, по крайней мере формально, вполне согласился с моими взглядами на сделанные им открытия -- смотри следующие совместные работы О.Ф. Ковалева и А.В. Леонова:
   1. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Здесь О.Ф. Ковалев "увидел", как предложенную им в диссертационной работе итерационную схему для решения нелинейных уравнений можно записать проще.
   2. Сходимость метода итераций с точки зрения квази-методов Ньютона. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-17 [1-3 июня 2004 г.] : сб. трудов XVII Междунар. науч. конф. : В 10 т. / Костромской гос. технол. ун-т. -- Кострома : Изд-во КГТУ, 2004. -- Т. 1, секц. 1. -- С. 112-113
   А здесь он "увидел", что эта итерационная схема - довольно "обыденный" квази- метод Ньютона.
   Статьи "детские" и содержат много ошибок, но, тем не менее, все там достаточно прозрачно.
   Соответственно, и Г.К. Птах, соблюдая этику, мог бы сообщить комиссии, что первая из упомянутых работ использовала ту же итерационную схему, что и он, причем на год раньше защиты им диссертации. Откуда мог узнать Птах про эту работу, спросите вы? Напомню слова 13П/260-02 от 09.09.09: "Считаем, что публичный характер проведения экспертиз диссертаций до момента их защит и открытый характер заседаний советов по защитам диссертаций давал вам возможность выступить с критикой выносимых Ковалевым О.Ф. и Птахом Г.К. научных результатов диссертационных исследований".
  
   Итак, двинемся к самой сути исходящего документа 13П/260-02 от 09.09.09, который наглядно показывает тот идеал "научной этики", которого придерживаются ученые ЮРГТУ.
   Напомню ряд выдержек из документа "Положение о порядке присуждений ученых степеней" (Утверждено постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74; положения приводятся в редакции Постановлений Правительства РФ от 12.08.2003 N 490, от 20.04.2006 N 227, от 04.05.2008 N 330, от 02.06.2008 N 424):
   Раздел II ("Критерии, которым должны отвечать диссертации, представленные на соискание ученой степени") пункт 8: "Диссертация на соискание ученой степени доктора наук должна быть научно-квалификационной работой, в которой на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение, либо решена крупная научная проблема, имеющая важное социально-культурное или хозяйственное значение, либо изложены научно обоснованные технические, экономические или технологические решения, внедрение которых вносит значительный вклад в развитие экономики страны и повышение ее обороноспособности."
   Раздел II пункт 9 : "Диссертация должна быть написана единолично, содержать совокупность новых научных результатов и положений, выдвигаемых автором для публичной защиты, иметь внутреннее единство и свидетельствовать о личном вкладе автора в науку. Предложенные автором новые решения должны быть строго аргументированы и критически оценены по сравнению с другими известными решениями.
   В диссертации, имеющей прикладное значение, должны приводиться сведения о практическом использовании полученных автором научных результатов, а в диссертации, имеющей теоретическое значение, -- рекомендации по использованию научных выводов."
   Раздел VII ("Лишение (восстановление) ученых степеней") пункт 44: "Лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией, как правило, на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций."
   Далее на вышеупомянутый документ будем ссылать просто как на "Положение".
   Таким образом, если защищенная докторская диссертация не соответствует п. II.8 и п. II.9 "Положения" (то есть, говоря словами "Положения", если нарушены критерии, которым должна отвечать диссертация, представляемая на соискание ученой степени), то (опять же говоря словами самого "Положения") имеет место нарушение установленного порядка присуждения ученых степеней, который и введен в действие настоящим "Положением". Следовательно, в этом случае в полной мере применим п. VII.44 "Положения", оговаривающий возможность лишения ученой степени.
   Говоря об оценке представленной работы на соответствие п. II.8 и п. II.9 "Положения", очевидно, следует иметь в виду объективную оценку, учитывающую уровень развития науки на момент защиты диссертации.
   Курс философии, читаемый студентам негуманитарных специальностей, представляет процесс научного познания как процесс движения по направлению к "абсолютной истине" от одной "относительной истины" к другой "относительной истине", но более "более полной", не только включающей первую как "частный случай" (возможно, приближенно), но и позволяющей, по меньшей мере, если не объяснить, то предсказать ряд явлений, которые не могла предсказать предыдущая "относительная истина". В этом смысле новая "относительная истина" является "более близкой" к "абсолютной истине"; сама же "абсолютная истина" для человеческого разума считается недостижимой. Кроме того, "абсолютная истина" содержится в "относительной истине" в виде своеобразных "вкраплений": "дважды два четыре", "в невырожденном треугольнике три угла" и т.д...
   В связи с этим могут возникать случаи, когда на данном уровне развития науки некоторая новая теория может включать себя все, что включает в себя старая теория и давать некоторые новые верные "предсказания", но при этом быть неверной (в смысле основывающейся на неверных представлениях). В одно и то же время с этой теорией могут конкурировать другие теории, основывающиеся на верных представлениях. (Разумеется, о "верности" или "неверности" представлений мы здесь говорим с позиций будущего; во время построения этих теорий может быть совсем не очевидным, каким представлениям следует отдать предпочтение). Если впоследствии неверная теория будет отвергнута, то вряд ли следует лишать ее автора ученой степени, ибо эта теория вполне соответствовала научным представлениям своего времени, была создана для того, чтобы превзойти их и включить их как "частный случай" (возможно, приближенный), по меньшей мере дав при этом дополнительную возможность предсказания каких-то событий, чего не могли сделать другие существовавшие на тот момент теории.
   Вряд ли следует лишать ученой степени того, кто выполнил независимые исследования "несколько позже", ничего не зная о том, что кто-то сделал то же самое. Или того, кто независимо сделал то же самое значительно позже, но при этом прообраз "того же самого" был намеренно засекречен.
   Ученой степени следует лишать того, кто, провозглашая, что действует в рамках уже известной на тот момент "относительной истины", являет в своих научных исследованиях ее фактическое незнание, пренебрегает ей, совершает множество ошибок, использует подтасовки и обман -- может быть даже, непреднамеренно или из лучших побуждений.
   Возникает трудность -- кто должен гарантировать соответствие диссертации (говоря шире -- какой-нибудь научной теории) известной на текущей момент "относительной истине". Грубо говоря, это гарантируется всеми людьми, использующими научные методы в познании какой-либо части физического мира, всеми их трудами и всей совокупностью научной литературы, гарантируется наличием уже известных "вкраплений" абсолютной истины в истину относительную и возможностью логических умозаключений с использованием этих "вкраплений", которые опять-таки должны привести к "вкраплению" абсолютной истины -- то есть, возможностью в определенных пределах иметь дело не с "относительной истиной", а с "частью абсолютной истины". При этом все равно нет страховки от ошибки. Ни один ученый коллектив, ни один диссертационный совет не может заявить о себе как о стопроцентом гаранте. И если диссертация декларирует, что "остается в рамках" известных на текущий момент научных представлений, но при этом тем или иным образом нарушает их и им не соответствует, то всякий, обнаруживший это, вправе обратиться в соответствующий диссертационный совет (или напрямую в ВАК) (см. п. VII. 44) c просьбой о возбуждении ходатайства о лишении ученой степени (или просто с просьбой о лишении ученой степени, если речь идет об обращении в ВАК напрямую). Грубо говоря, обратившимся может быть и ученик начальной школы, обнаруживший доктора физико-математических наук, открывшего, что "2*2=5" и каким-то странным образом получившим за это ученую степень, пройдя все проверки и собрав все необходимые положительные отзывы и рецензии. В этом случае, по-видимому, при лишении ученой степени следует уделить особое внимание тому, как была защищена подобная диссертация.
   Напомню, что в Заявлении гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.07. (Номер письма 34644895077449. Вручено по доверенности 09.11.07.), касавшемся лишения ученых степеней д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха, речь шла о том, что их диссертационные работы не соответствуют именно п. II.8 и п. II.9 Положения; то есть здесь дело касается того случая, когда, как сказано выше, ученый "провозглашая, что действует в рамках уже известной на тот момент "относительной истины", являет в своих научных исследованиях ее фактическое незнание, пренебрегает ей, совершает множество ошибок, использует подтасовки и обман -- может быть даже, непреднамеренно или из лучших побуждений." Это видно как из текста вышеупомянутого Заявления, так и из содержания Приложения A и Приложения B к нему, в которых диссертационные работы д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха рассматриваются подробнее. Речь шла о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения". Претензии к содержанию диссертации д.т.н. О.Ф. Ковалева были, как сказано, разобраны в Приложении A, которое представляло из себя распечатку следующей книги:
   Леонов А.В. Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. -- Новочеркасск.: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. -- 108 с. Книгу можно скачать по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.
   Как сказано в аннотации к книге,
   "Данная работа может рассматриваться как методическое пособие по численным методам решения систем нелинейых уравнений и по условной минимизации функционала.
   Предназначена для инженеров, аспирантов и ученых, работающих в области математического моделирования электромагнитных полей и в области численных методов."
   То есть, я, автор, заведомо не претендовал на изложение на какой-то новой теории, противоречащей или выходящей за рамки общеизвестной на данный момент "относительной истины".
   Перед этим в аннотации говорилось:
   "Рассматривается метод расчета магнитного поля, получивший известность как "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников". Показывается, что данный метод не связан ни с методом вторичных источников, ни с методом конечных элементов, ни с построением математической модели, а является достаточно простым, причем недоформулированным до конца, квази- методом Ньютона для решения систем нелинейных уравнений."
   То есть, я, автор, рассматривал упомянутый метод исключительно с позиций "общеизвестной относительной истины", преподаваемой студентам в курсах, связанных с такими вещами, как расчет электромагнитного поля, условная минимизация функционала, метод конечных элементов, численные методы решения уравнений в частных производных, численные методы решения линейных и нелинейных уравнений и линейная алгебра. Оставаясь в рамках "общеизвестных вещей", я, по-моему, имел полное право излагать материал, не очень заботясь о ссылках (так, например, поступают авторы учебников по дифференциальному и интегральному исчислению, -- они не особо заботятся о ссылках для теорем). Необходимый теоретический материал для разбора диссертаций был мною дан в 1 и 4 главах книги. Тем не менее, поскольку, по-видимому, может встать вопрос о том, что написанное в этих главах есть "что-то новое и неизвестное прежде", то я вынужден дать ссылки сейчас.
   Первая глава книги была посвящена условной минимизации функционала в конечноэлементном лагранжевом базисе и применению при этом метода неопределенных множителей Лагранжа. Я не знаю даже, нужно ли тут давать ссылки?! Условную минимизацию, метод конечных элементов и метод неопределенных множителей Лагранжа приведены в множестве книг, а также, за исключением метода конечных элементов, стандартных вузовских учебников. Впрочем, что касается метода конечных элементов, то здесь я выделю следующий курс лекций, в котором содержится подробное описание процедуры сборки матриц:
   1. Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5629 "Numerical Methods for Partial Differential Equations" (Численные методы решения уравнений в частных производных"), прочитанный осенним семестром 2003 года в Мichigan Technological University (Мичиганском Технологическом Университете).
   Домашняя страничка курса (курс доступен для скачивания):
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5629fall2003
   Что касается метода неопределенных множителей Лагранжа, то следует упомянуть, что он мною рассматривается "применительно к линейной алгебре" -- именно в таком виде, в каком он реализован в PDETool Matlab'a. Поэтому здесь можно порекомендовать следующее:
   2. Исходный код функции pdenonlin PDETool Matlab'а (например, R2008a)
   3. Докуметнация (в формате .pdf) и help Matlab'a к PDETool (например, help R2008a и Маtlab Documentation CD от R6.1 -- см. файл pde.pdf с книжкой "Partial Differencial Equation Toolbox")
   В качестве пособия по линейной алгебре к данной главе (и по итерационным методам для линейных систем) можно взять, например,
   4. Г. Стренг. Линейная алгебра. -- М.: Мир, 1980.
   В качестве пособия по минимизации функционала можно взять
   5. К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и технике. -- М.: Мир, 1985
   Именно эти книги и послужили основой для написания 1 главы. Глава 4 служит введением в квази- (то есть, приближенные) методы Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Для ее написания использовалась следующая литература:
   6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -- М.: Наука, 1966. -- 664с.
   7. Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5630 "Numerical optimization" ("Численные методы оптимизации"), прочитанный весенним семестром 2003 года в Мichigan Technological University (Мичиганском Технологическом Университете).
   Домашняя страничка курса (курс доступен для скачивания):
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5630spring2003
   8. Jose Mario Martinez. Practical quasi-Newton methods for solving nonlinear systems. Journal of Computational and Applied Mathematics. Volume 124 , Issue 1-2 (December 2000) pp. 97 - 121.
   Таким образом, заключения в моей книги делаются именно на основании упомянутых источников.
   В Приложении B ("Замечания по "методу расщепления" Г.К. Птаха") содержался разбор диссертации д.т.н. Г.К. Птаха, основывавшихся на этих же источниках. Что касается предложенного Г.К. Птахом численного метода, то диссертация Г.К. Птаха, по-видимому, представляла из себя явный плагиат из диссертации О.Ф. Ковалева, а также из следующего небольшого сообщения на конференции, опубликованного примерно за год до защиты Г.К. Птахом докторской диссертации (это сообщение уже упоминалось нами ранее):
   Ковалев О.Ф., Леонов А.В. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   Как уже упомянуто, в моем заявлении речь шла о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения" в том смысле, в каком их понимают ученые ЮРГТУ. Тем не менее, насколько явствует из направленного мне исходящего документа 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ А.В. Савостьянова, созданная приказом ректора N 1-351 от 02.09.09 комиссия из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 (в котором защищался Г.К. Птах) и Д 212.304.02 (в котором защищался О.Ф. Ковалев) занялась поиском исключительно "процессуальных нарушений" в ходе состоявшейся ранее защиты (причем понимаемых "слишком узко"), исключив из своих задач объективное рассмотрение содержания и смысла диссертационных работ, несмотря на явно указанные мною ошибки. Комиссия не опровергла ни одного моего доказательства ложности того или иного положения диссертационных работ (хотя прошло более полутора лет с момента подачи мною первого заявления). Так, например, мною доказывалось, что О.Ф. Ковалев пришел к своей "оригинальной" схеме в некотором смысле случайно -- просто потому, что забыл привести подобные слагаемые при минимизации функционала (приведению подобных слагаемых, напомню, учат еще в школе); эта итерационная схема не представляла из себя ничего нового - это был квази-метод Ньютона, получающийся при аппроксимации якобиана матрицей жесткости. Только О.Ф. Ковалев умудрился еще и "изуродовать" этот столь простой и давно известный метод, ухудшив его сходимость. О.Ф. Ковалев попросту собрался делать научные открытия в той области, о которой знал недостаточно; если бы он имел представление о том, что "творится" в этой области, то попросту никогда бы не посмел выдавать свою итерационную схему за научное достижение. Г.К. Птах же не ограничился только тем, что совершил плагиат "метода Ковалева"; он сделал еще более поразительные открытия в области численных методов: Геннадий Константинович решил, что итерационный метод, используемый при решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении системы нелинейных алгебраических уравнений, совместно с численным методом, используемым для решения системы нелинейных алгебраических уравнений, образуют как бы "единый сложный (составной) итерационный метод решения системы нелинейных уравнений". По такой логике, единый сложный (составной) метод решения системы нелинейных уравнений представляет собой и метод Ньютона, "внутри" которого системы линейных алгебраических уравнений решаются, например, методом Гаусса или по формулам Краммера. Разумеется, этого было недостаточно, и Г.К. Птах пошел дальше: он, как и О.Ф. Ковалев, "изуродовал" свой "составной метод", решив прекращать "внутренний" итерационный процесс (решающий СЛАУ) через наперед заданное число циклов (причем весьма малое), а не "тогда, когда надо" - то есть не тогда, когда норма невязки стала достаточно малой, или, на худой конец, когда соседние приближенные решения стали "достаточно близкими". Этим во "внешний" итерационный процесс (решающий систему нелинейных уравнений) вносились ничем не обоснованные возмущения, которые, как правило, вносятся лишь тогда, когда итерационный процесс "попал в область плохой сходимости". Изуродованный Г.К. Птахом метод даже не обладал средствами глобализации сходимости, но при этом, "проведя анализ сходимости", Г.К. Птах утверждал, что итерационный процесс гарантированно сойдется! И все бы это было не так смешно, если бы главой Д 212.304.01 не был проф., д.т.н. А.Н. Ткачев, зав. каф. "Прикладная математика".
   Как видим, ни я, ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах не претендовали на "выход за рамки" общепринятой на сегодня "относительной научной истины". И даже на сложные новые выводы из нее. Речь шла о том, что О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах не знают элементарных вещей в той области, в которой собрались совершать открытия. Тем не менее, напомню, в ответе 13П/260-02 от 09.09.09 почему-то говорится о том, "критика Вами результатов диссертационных исследований соискателей после защиты диссертации, также возможна, но она должна проводиться с соблюдением научной этики на страницах ведущих рецензируемых научных журналов." У неискушенного читателя может возникнуть мнение, что тут речь идет о конкуренции каких-то спорных теорий, выходящих за рамки современных представлений, - таких, что сейчас, исходя из современного уровня знаний, невозможно отдать какой-либо теории предпочтение (и при этом новые теории имеют сравнимую "дополнительную" предсказательную силу). На самом же деле все обстоит совсем не так. О чем дискутировать на страницах ведущих рецензируемых научных журналов?! О том, что О.Ф. Ковалев не привел подобные слагаемые и не знает, как осуществляется сборка матриц при использовании метода конечных элементов? О том, что Г.К. Птах совершил плагиат?! О том, что ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах не знают основ в области численных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений?!
   Но вернемся к комиссии. Она свела объективную оценку содержания и смысла диссертационной работы к проблеме "наличия или отсутствия подписей нужных людей под нужными бумагами", не заботясь о том, насколько эта работа соответствует объективной реальности. "То, что подписали нужные люди под нужными бумагами -- это и есть истина, несмотря на то, какие бы доводы ни приводил кто-нибудь иной, не входящий в число нужных людей и, посему, не могущий ставить нужные подписи; а раз то, что подписали нужные люди под нужными бумагами и есть по определению истина, то нечего и удосуживаться с разбором аргументов противников нужных людей, имеющих право ставить нужные подписи под нужными бумагами, ибо, по определению, то, что говорят эти противники есть ложь" -- вот что заявила Комиссия. Процитирую документ 13 П/260-02:
   [Комиссия] "... не обнаружила нарушений установленного порядка присуждения ученых степеней. Все необходимые этапы экспертизы диссертационных работ Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К. проведены в соответствие с требованиями ВАК, отзывы на диссертации и авторефераты положительны, официальные оппоненты, являющиеся ведущими специалистами по профилю диссертаций, положительно оценили содержание диссертаций, во всех выступлениях, зафиксированных в стенограммах заседаний советов содержится информация о положительной оценке диссертаций. Процедурных нарушений в ходе заседаний советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 также не обнаружено. Так как нарушение установленного порядка является единственным мотивом для возбуждения диссертационным советом ходатайства о лишении ученой степени, предусмотренным п.44 "Положения о порядке присуждения ученых степеней", диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не имеют оснований для возбуждения перед ВАК ходатайство о лишении ученых степеней Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К.".
   То есть, комиссия сказала: тот, кто утверждает, что 2*2=5 вполне может стать доктором физико-математических наук и в этом не следует видеть ничего странного -- просто для этого нужные люди могут поставить нужные подписи под нужными бумагами; скажем, за деньги, сговорившись с претендентом на звание доктора. И это будет, несмотря на подкуп, самый настоящий доктор наук -- в том смысле, что, если сговор не доказан, то, поскольку процедура присуждения ученой степени прошла без "процессуальных нарушений", никто не сможет лишить его звания. По такой логике нет смысла обращаться в диссертационный совет с просьбой лишить новоиспеченного доктора ученой степени, доказывая, что 2*2=4, а не 5. "Мы и сами это знаем, но что ж поделаешь - процедура была соблюдена; как помутнение какое нас нашло; уж ты поищи-ка лучше наличие сговора да докажи это. В суде" -- могут заявить при этом члены диссертационного совета. Аналогично, какой-нибудь другой доктор каких-нибудь других наук может даже не утруждать себя даже измышлением того, что 2*2=5, изобретая, таким образом, альтернативную таблицу умножения, а просто заняться плагиатом чужих научных трудов.
   Документ 13 П/260-02 от 09.09.09, по сути говорит о том, что "группа нужных товарищей", собравшись, может объявить "полноценной диссертацией" все, что угодно (даже заведомо для них ложную и несостоятельную работу), вопреки всякой "объективной реальности". Документ говорит о том, что мнение "группы нужных товарищей" - первично, а объективная реальность -- если уж не вторична по отношению к мнению "нужных товарищей", то, по крайней мере, "параллельна ему".
   При этом ученое сообщество превращается в закрытое сообщество, вообще говоря, не связанное с наукой как таковой; прием же новых членов в это сообщество осуществляется по прихоти того, кто в нем уже состоит, так как, очевидно, точно таким же образом, как "неполноценная диссертация" может быть объявлена "полноценной", так и наоборот.
   Что ж. Мне остается только поблагодарить безымянную комиссию, созданную приказом Ректора N 1-351 от 02.09.09 из числа членов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Созданную неизвестно как и отчитавшуюся неизвестно перед кем. А также тех неприметных людей, кто одобрил ее работу неизвестно каким числом голосов при неизвестно каких особых мнениях. Поблагодарить хотя бы за столь откровенный и исчерпывающий ответ, проливающий свет на нравы, царящие в российской науке вообще и в ЮРГТУ (НПИ) в частности. Теперь мы знаем: если перед нами ученый со степенью российского кандидата или доктора наук, то первое, что следует помнить - это то, что наличие у него ученой степени, вообще говоря, не согласуется с общепринятыми представлениями и даже объективной реальностью; второе, что следует помнить: ученого вполне оправданно можно и нужно подозревать в том, что он - ученый только в том смысле, что ему "нужные люди выдали нужные корочки", а его научные достижения на самом деле - полная ахинея. А раз ахинея, то третье, что следует подозревать - это то, что выдача корочки, вероятно, была связана с какой-нибудь совершенной ученым подлостью, близостью к нужным людям, подкупом, холуйством и т.д...
   Это не я клевещу-измышляю -- это говорят сами российские ученые -- смотри исходящий документ 13П/260-02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.В. Савостьянова, в котором сообщаются результаты работы комиссии, созданной приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерием N 1-351 от 02.09.09 из числа членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02.
  
   Поскольку сведения о комиссии в 13П/260-02 от 09.09.09 очень скудны, я даже не могу быть уверен -- знали ли вообще все рядовые члены диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 о том, какое скандальное решение она приняла и даже более того - я не могу быть уверен в том, знали ли они все о самом существовании данной комиссии. В связи с этим прошу ознакомить всех членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 с материалами ее работы и ее заключениями, а также с исходящим документом 13П/260-02 от 09.09.09, чтобы дать возможность членам упомянутых диссертационных советов выразить свой протест в связи с появлением столь скандального документа, как 13П/260-02 от 09.09.09, ибо этот документ затрагивает репутацию всех без исключения членов диссертационных советов, а не только лишь их глав -- А. Н. Ткачева (глава Д 212.304.01) и Н.И. Горбатенко (глава Д 212.304.02)
   Кроме того, ввиду вышеизложенного, я никоим образом не могу считать, что мои вышеупомянутые заявления были рассмотрены по существу и настоятельно требую их рассмотрения по существу.
  
   Данное заявление имеет одиннадцать страниц. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (22.09.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [В данном Заявлении "исходящий 13П-260/02 от 09.09.09" неверно назван "исходящим 13П/260-02 от 09.09.09"]
  
   [номер письма 34640018876937; вручено 24.09.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление ответа получено не было.
  
   (20090924A) Заявление А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009) -- о лишении ученых степеней О.Ф. Ковалёва и Г.К. Птаха (см. R20091103)
  
   Заявление А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Председателю ВАК МОиН РФ
   Кирпичникову Михаилу
   Петровичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет семь страниц и шестнадцать приложений (Приложение A -- Приложение P; пронумерованы латинскими буквами). В области нижнего колонтитула каждой страницы заявления, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка (в Приложениях подпись с расшифровкой отсутствуют). Список приложений приведен в тексте заявления.
  
   Список приложений:
  
   Приложение A. Распечатка с цифрового варианта макета следующей книги (в которой ведется разбор докторской диссертации О.Ф. Ковалева):
   Леонов А.В. "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007 -- 108 с.
   Доступна для скачивания с сайта автора http://lion.alturl.com
   Приложение B. Распечатка с цифрового варианта макета следующей брошюры (в которой ведется разбор докторской диссертации Г.К. Птаха):
   Леонов А.В. Замечания по "методу расщепления". -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии, 2008 -- 8 с.
   Доступна для скачивания с сайта автора.
   Приложение C. Распечатка с цифрового варианта макета следующей брошюры (является дополнением к книге, указанной в Приложении A):
   Леонов А.В. Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры. -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008 -- 24с.
   Доступна для скачивания с сайта автора.
   Приложение D. Фрагмент (с. 3 - с. 63, выходные данные, аннотация) следующей монографии (критикуемой в книге, указанной в Приложении A):
   О.Ф. Ковалев. Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах. -- Ростов н/Д.: Изд - во СКНЦ ВШ, 2001. -- 220с.
   Фрагмент монографии приведен в размерах, необходимых для разбора критики.
   Приложение Е. Фрагмент (с. 299 - с. 305, выходные данные, аннотация с указанием вклада авторов по главам) следующей книги (критикуемой в книге, указанной в Приложении A):
   А.Г. Никитенко, И.И. Левченко, В.П. Гринченков, А.Н. Иванченко, О.Ф. Ковалев. Информатика и компьютерное моделирование в электроаппаратостроении: Учебное пособие для вузов по специальности "Электрические и электронные аппараты" -- М.: Высшая школа, 1999. -- 375с.
   Фрагмент книги приведен в размерах, необходимых для разбора критики.
   Приложение F. Распечатка скана следующего автореферата (критикуется в книге, указанной в Приложении А):
   О.Ф. Ковалев. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск: Издательство ОВД ЮРГТУ (НПИ), 2001. -- 40с.
   Приложение G. Распечатка скана следующего автореферата (критикуется в брошюре, указанной в Приложении B):
   Г.К. Птах. Развитие методов расчета электромагнитных процессов в электромеханических системах. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск: Типография ЮРГТУ (НПИ), 2003. -- 40с.
   Приложение H. Распечатка следующей статьи (сообщения на конференции):
   Ковалев О.Ф., Леонов А.В. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   В этой работе, по меньшей мере формально, О.Ф. Ковалев согласился с возможностью иной, более простой, записи предложенной им в диссертационной работе итерационной схемы; Г.К. Птах в своей диссертационной работе (защищенной позднее) использует ту же схему, что и здесь.
   Работа содержит ошибки.
   Приложение I. Распечатка следующей статьи (сообщения на конференции):
   Ковалев О.Ф., Леонов А.В. Сходимость метода итераций с точки зрения квази-методов Ньютона. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-17 [1-3 июня 2004 г.] : сб. трудов XVII Междунар. науч. конф. : В 10 т. / Костромской гос. технол. ун-т. -- Кострома : Изд-во КГТУ, 2004. -- Т. 1, секц. 1. -- С. 112-113.
   В этой работе, по меньшей мере формально, О.Ф. Ковалев согласился с тем, что предложенная им в диссертационной работе итерационная схема (в более простом варианте записи -- см. Приложение H), представляет из себя давно и хорошо известный квази- метод Ньютона.
   Приложение J. Копия (нотариально незаверенная) Заявления гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.2007 (номер письма 34644895077449; вручено по доверенности 09.11.2007).
   Содержит просьбу о возбуждении ходатайств о лишении ученых степеней д.т.н. Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К. Заявление передано А.В. Павленко в соответствующие диссертационные советы - смотри Приложение K.
   Приложение К. Копия (нотариально незаверенная) Заявления гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Савостьянова А.П. от 16.01.2009 (номер письма 3464480921452; вручено по доверенности 20.01.09).
   Содержит напоминание о необходимости рассмотреть Заявление, указанное в Приложении J.
   Приложение L. Копия (нотариально незаверенная) юридически ничтожного ответа (так как ответ должен быть от имени диссертационных советов) Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Савостьянова А.П. 13П - 14/02 от 21.01.2009 на Заявление, указанное в Приложении K.
   Поскольку Заявление, указанное в Приложении K -- всего лишь напоминание о необходимости ответа на Заявление, указанное в Приложении J, то исходящий документ 13П - 14/02 от 21.01.2009, по сути, является юридически ничтожным ответом на Заявление, указанное в приложении J.
   Приложение M. Копия (нотариально незаверенная) юридически состоятельного ответа Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Савостьянова А.П. 13П - 260/02 от 09.09.2009 на Заявление, указанное в Приложении К. В 13П - 260/02 от 09.09.2009 А.П. Савостьянов информирует о результатах работ комиссии из членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02, созданной приказом N 1-351 от 02.09.2009 Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Передерия В.Г.
   Поскольку Заявление, указанное в Приложении K -- всего лишь напоминание о необходимости ответа на Заявление, указанное в Приложении J, то исходящий документ 13П - 260/02 от 09.09.2009, по сути, является ответом на Заявление, указанное в приложении J.
   Приложение N. Текст однотипных Заявлений гражданина Леонова Андрея Владимировича от 22.09.2009 на имя следующих должностных лиц ЮРГТУ (НПИ):
   Проректора по научной работе проф., д.т.н. Савостьянова А.П. (номер письма 34640018876920; уведомление о вручении еще не получено);
   Главы Д 212.304.01 проф., д.т.н. Ткачева А.Н. (номер письма 34640018876944; уведомление о вручении еще не получено);
   Главы Д 212.304.01 проф., д.т.н. Горбатенко Н.И. (номер письма 34640018876937; уведомление о вручении еще не получено);
   Заявления содержат протест в связи со скандальным, на взгляд заявителя, содержанием документа, указанного в Приложении M, и подробный разбор этого документа, а также требование рассмотрения по существу заявлений, указанных в Приложениях J и К. Кроме того, эти заявления содержат ссылки на источники, по которым писались главы 1я и 4я книги, указанной в Приложении A.
   В том случае, если письма с этими заявлениями пропадут в пути, заявления будут посланы по почте повторно.
   Приложение O. DVD -- диск с цифровой версией настоящего заявления и Приложений A-N.
   Приложение P. Копия Приложения O.
  
   Справка.
   Критика докторской диссертации д.т.н. О.Ф. Ковалева велась по монографии -- см. Приложение D и по автореферату к диссертации -- см. Приложение F. Изложение материала в указанной монографии и в диссертационной работе практически идентично.
   Ссылка на диссертационную работу:
   Ковалев О.Ф. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск, 2001. -- 425с.
   По сведениям из автореферата к диссертации (см. Приложение F) защита работы состоялась 19.12.2001 в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 в ЮРГТУ (НПИ).
   В настоящее время главой Д 212.304.02 является проф., д.т.н. Горбатенко Николай Иванович (зав. каф. Информационно-измерительной и медицинской техники (ИИиМT))
   Критика докторской диссертации д.т.н. Г.К. Птаха велась по автореферату к диссертации -- см. Приложение G.
   Ссылка на диссертационную работу:
   Птах Г.К. Развитие методов расчета электромагнитных процессов в электромеханических системах. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск, 2003. -- 310с.
   По сведениям из автореферата к диссертации (см. Приложение G) защита работы состоялась 25.12.2003 в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.01 в ЮРГТУ (НПИ).
   В настоящее время главой Д 212.304.01 является проф., д.т.н. Ткачев Александр Николаевич (зав. каф. Прикладной математики (ПМ))
   Адрес Южно-Российского Государственного Технического Университета (Новочеркасского Политехнического Института) (ЮРГТУ (НПИ)):
   346428 ул. Просвещения 132, г. Новочеркасск Ростовской области.
   Сайт ЮРГТУ (НПИ): http://www.npi-tu.ru
   Конец справки.
  
   В связи с долгим нерассмотрением ряда моих Заявлений по существу Главами Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) (см. Приложения J и К) на имя председателя ВАК мною было направлено Заявление, в частности, содержавшее просьбу содействовать рассмотрению вышеупомянутых заявлений по существу (смотри заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Председателя ВАК Кирпичникова Михаила Петровича от 08.07.2009 (номер письма 3464001659602; согласно имеющемуся уведомлению о вручении вручено по доверенности 15.07.2009).
   В "исходном" заявлении -- см. Приложение J -- речь шла о лишении ученых степеней д.т.н. Ковалева О.Ф. и д.т.н. Птаха Г.К. на основании ходатайств соответствующих диссертационных советов в связи с несоответствием их диссертационных работ п. II.8 и п. II.9 "Положения о порядке присуждения ученых степеней" (далее -- просто "Положения") в соответствии с п. VII.44 данного Положения.
   Приведем ряд выдержек из документа "Положение о порядке присуждений ученых степеней" (Утверждено постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74; положения приводятся в редакции Постановлений Правительства РФ от 12.08.2003 N 490, от 20.04.2006 N 227, от 04.05.2008 N 330, от 02.06.2008 N 424):
   Раздел II ("Критерии, которым должны отвечать диссертации, представленные на соискание ученой степени") пункт 8: "Диссертация на соискание ученой степени доктора наук должна быть научно-квалификационной работой, в которой на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение, либо решена крупная научная проблема, имеющая важное социально-культурное или хозяйственное значение, либо изложены научно обоснованные технические, экономические или технологические решения, внедрение которых вносит значительный вклад в развитие экономики страны и повышение ее обороноспособности."
   Раздел II пункт 9 : "Диссертация должна быть написана единолично, содержать совокупность новых научных результатов и положений, выдвигаемых автором для публичной защиты, иметь внутреннее единство и свидетельствовать о личном вкладе автора в науку. Предложенные автором новые решения должны быть строго аргументированы и критически оценены по сравнению с другими известными решениями.
   В диссертации, имеющей прикладное значение, должны приводиться сведения о практическом использовании полученных автором научных результатов, а в диссертации, имеющей теоретическое значение, -- рекомендации по использованию научных выводов."
   Раздел VII ("Лишение (восстановление) ученых степеней") пункт 44: "Лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией, как правило, на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций."
   Таким образом, если защищенная докторская диссертация не соответствует п. II.8 и п. II.9 "Положения" (то есть, говоря словами "Положения", если нарушены критерии, которым должна отвечать диссертация, представляемая на соискание ученой степени), то (опять же говоря словами самого "Положения") имеет место нарушение установленного порядка присуждения ученых степеней, который и введен в действие настоящим "Положением". Следовательно, в этом случае в полной мере применим п. VII.44 "Положения", оговаривающий возможность лишения ученой степени.
   В критическом разборе диссертационных работ О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха (см. Приложения A и B) мною, в частности, показывалось, что (цитирую Приложение N): "О.Ф. Ковалев пришел к своей "оригинальной" схеме в некотором смысле случайно - просто потому, что забыл привести подобные слагаемые при минимизации функционала (приведению подобных слагаемых, напомню, учат еще в школе); эта итерационная схема не представляла из себя ничего нового -- это был квази-метод Ньютона, получающийся при аппроксимации якобиана матрицей жесткости. Только О.Ф. Ковалев умудрился еще и "изуродовать" этот столь простой и давно известный метод, ухудшив его сходимость. О.Ф. Ковалев попросту собрался делать научные открытия в той области, о которой знал недостаточно; если бы он имел представление о том, что "творится" в этой области, то попросту никогда бы не посмел выдавать свою итерационную схему за научное достижение. Г.К. Птах же не ограничился только тем, что совершил плагиат "метода Ковалева"; он сделал еще более поразительные открытия в области численных методов: Геннадий Константинович решил, что итерационный метод, используемый при решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении системы нелинейных алгебраических уравнений, совместно с численным методом, используемым для решения системы нелинейных алгебраических уравнений, образуют как бы "единый сложный (составной) итерационный метод решения системы нелинейных уравнений". По такой логике, единый сложный (составной) метод решения системы нелинейных уравнений представляет собой и метод Ньютона, "внутри" которого системы линейных алгебраических уравнений решаются, например, методом Гаусса или по формулам Краммера. Разумеется, этого было недостаточно, и Г.К. Птах пошел дальше: он, как и О.Ф. Ковалев, "изуродовал" свой "составной метод", решив прекращать "внутренний" итерационный процесс (решающий СЛАУ) через наперед заданное число циклов (причем весьма малое), а не "тогда, когда надо" -- то есть не тогда, когда норма невязки стала достаточно малой, или, на худой конец, когда соседние приближенные решения стали "достаточно близкими". Этим во "внешний" итерационный процесс (решающий систему нелинейных уравнений) вносились ничем не обоснованные возмущения, которые, как правило, вносятся лишь тогда, когда итерационный процесс "попал в область плохой сходимости". Изуродованный Г.К. Птахом метод даже не обладал средствами глобализации сходимости, но при этом, "проведя анализ сходимости", Г.К. Птах утверждал, что итерационный процесс гарантированно сойдется!"
   В конце концов, от диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 пришел юридически состоятельный ответ за подписью проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. А.П. Савостьянова -- см Приложение M, который имеет достаточно скандальный характер (разбору этого документа посвящено Приложение N): комиссия, созданная приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) N 1-351 от 02.09.09 из числа членов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не опровергла ни одного моего доказательства ложности того или иного положения диссертационных работ; этого же не сделали и сами авторы диссертационных работ -- хотя с момента подачи исходного заявления прошло более года и восьми месяцев. Вместо этого, как видно из ответа -- см. Приложение М -- комиссия занялась поиском "процессуальных нарушений" в смысле поиска наличия "нужных подписей под нужными бумагами" на момент защиты диссертационных работ, не касаясь явно указанных мною ошибок и нелепостей в этих работах. Но ведь в моем исходном заявлении (см. Приложение J) речь шла именно о содеражании диссертаций, о сути диссертационных исследований, а не о том, что в ходе защиты диссертации были допущены "процессуальные нарушения" в том смысле, в каком их понимают ученые ЮРГТУ (НПИ).
   Судя по ответу (см. Приложение M), можно заключить, что речь идет о каких-то спорных на сегодняшний день теориях, -- таких, что сейчас трудно отдать предпочтение какой-либо из них (при этом, естественно, эти теории "выходят за рамки" общепринятых на сегодняшний день представлений, обобщая их, и имеют некоторую дополнительную -- причем сравнимую, -- предсказательную силу по сравнению с уже существующими теориями, построенными исключительно на общепринятых на сегодняшний день представлениях. На самом же деле все обстоит иначе. Ни О.Ф. Ковалев, ни Г.К. Птах, ни я не претендавали на выход за рамки общепринятых ныне представлений. Речь шла о том, что О.Ф. Ковалев и Г.К. Птах не знают достаточно элементарных вещей в той области, в которой собрались совершать открытия.
   Как уже сказано, упомянутая комиссия свела объективную оценку содержания и смысла диссертационной работы к проблеме "наличия или отсутствия подписей нужных людей под нужными бумагами", не заботясь о том, насколько эта работа соответствует объективной реальности. "То, что подписали нужные люди под нужными бумагами -- это и есть истина, несмотря на то, какие бы доводы ни приводил кто-нибудь иной, не входящий в число нужных людей и, посему, не могущий ставить нужные подписи; а раз то, что подписали нужные люди под нужными бумагами и есть по определению истина, то нечего и удосуживаться с разбором аргументов противников нужных людей, имеющих право ставить нужные подписи под нужными бумагами, ибо, по определению, то, что говорят эти противники есть ложь" -- вот что заявила Комиссия. Процитирую документ 13 П/260-02 от 09.09.2009 за подписью проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ):
   [Комиссия] "... не обнаружила нарушений установленного порядка присуждения ученых степеней. Все необходимые этапы экспертизы диссертационных работ Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К. проведены в соответствие с требованиями ВАК, отзывы на диссертации и авторефераты положительны, официальные оппоненты, являющиеся ведущими специалистами по профилю диссертаций, положительно оценили содержание диссертаций, во всех выступлениях, зафиксированных в стенограммах заседаний советов содержится информация о положительной оценке диссертаций. Процедурных нарушений в ходе заседаний советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 также не обнаружено. Так как нарушение установленного порядка является единственным мотивом для возбуждения диссертационным советом ходатайства о лишении ученой степени, предусмотренным п.44 "Положения о порядке присуждения ученых степеней", диссертационные советы Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не имеют оснований для возбуждения перед ВАК ходатайство о лишении ученых степеней Ковалева О.Ф. и Птаха Г.К.".
   То есть, комиссия сказала: тот, кто утверждает, что 2*2=5 вполне может стать доктором физико-математических наук и в этом не следует видеть ничего странного -- просто для этого нужные люди могут поставить нужные подписи под нужными бумагами; скажем, за деньги, сговорившись с претендентом на звание доктора. И это будет, несмотря на подкуп, самый настоящий доктор наук -- в том смысле, что, если сговор не доказан, то, поскольку процедура присуждения ученой степени прошла без "процессуальных нарушений", никто не сможет лишить его звания. По такой логике нет смысла обращаться в диссертационный совет с просьбой лишить новоиспеченного доктора ученой степени, доказывая, что 2*2=4, а не 5. "Мы и сами это знаем, но что ж поделаешь - процедура была соблюдена; как помутнение какое нас нашло; уж ты поищи-ка лучше наличие сговора да докажи это. В суде" -- могут заявить при этом члены диссертационного совета. Аналогично, какой-нибудь другой доктор каких-нибудь других наук может даже не утруждать себя даже измышлением того, что 2*2=5, изобретая, таким образом, альтернативную таблицу умножения, а просто заняться плагиатом чужих научных трудов.
   Документ 13 П/260-02 от 09.09.09, по сути говорит о том, что "группа нужных товарищей", собравшись, может объявить "полноценной диссертацией" все, что угодно (даже заведомо для них ложную и несостоятельную работу), вопреки всякой "объективной реальности". Документ говорит о том, что мнение "группы нужных товарищей" -- первично, а объективная реальность -- если уж не вторична по отношению к мнению "нужных товарищей", то, по крайней мере, "параллельна ему".
  
   В связи со столь скандальным ответом диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02, позорящим, по моему мнению, российскую науку, прошу на основании настоящего заявления рассмотреть вопрос о лишении О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха ученых степеней доктора технических наук в альтернативном порядке, предусмотренным п. VII.44 Положения, а именно: без ходатайств диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02. Кроме того, прошу рассмотреть вопрос о закрытии упомянутых диссертационных советов -- в том числе и в связи с появлением такого скандального документа, как документ, указанный в Приложении M.
  
   Данное заявление имеет семь страниц и шестнадцать приложений (Приложение A -- Приложение P; пронумерованы латинскими буквами). В области нижнего колонтитула каждой страницы заявления, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка (в Приложениях подпись с расшифровкой отсутствуют). Список приложений приведен в тексте заявления.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (24.09.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [Приложения к данному Заявлению (Приложение A -- Приложение P; пронумерованы латинскими буквами) не приводятся]
   [В данном Заявлении в одном месте "исходящий 13П-260/02 от 09.09.09" неверно назван "исходящим 13П/260-02 от 09.09.09"]
  
   [номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление пришел ответ:
   Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 03.11.2009 N ЛЕ-5345/08-01-09-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009)
  
   (20090924B) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) -- об ответе Проректора ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова и последующем обращении в ВАК (см. R20090909, 20090924A, 20090708A)
  
   Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Президенту РФ
   Медведеву Дмитрию Анатольевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет две страницы и одно приложение (Приложение A) -- исходящий документ 13П - 260/02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова. В области нижнего колонтитула каждой страницы заявления, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   В связи с долгим нерассмотрением ряда моих заявлений (связанных с возбуждением ходатайств перед ВАКом о лишении ряда ученых ученых степеней) по существу Главами диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при Южно-Российском Государственном Техническом Университете (Новочеркасском Политехническом Институте) (ЮРГТУ (НПИ)), я был вынужден обратиться в администрацию Президента РФ -- см. заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Президента РФ Д.А. Медведева от 08.07.09 (н/п 34640016596035; вручено по доверенносит 13.07.09). Это заявление было перенаправлено администрацией Президента в Рособрнадзор.
   Мною получен ответ от глав упомянутых диссертационных советов через проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) -- см. Приложение A. Этот ответ, рассматриваемый в контексте, столь скандален, что я вынужден сделать ряд разъяснений, ибо в ответе, который вернется в администрацию Президента из Рособрнадзора (который получит его из ЮРГТУ (НПИ)) все, скорее всего, будет представлено в извращенном свете.
   Сторонний наблюдатель из Приложения A может решить, что речь идет о о каких-то спорных на сегодняшний день теориях, выходящих за рамки общепринятых представлений -- таких, что сейчас трудно отдать предпочтение какой-либо из них. На самом деле все обстоит иначе. Ни авторы критикуемых диссертаций, ни я не претендовали на выход за рамки "общепринятых ныне представлений". Речь шла о том, что авторы диссертационных работ не знают достаточно элементарных вещей в той области, в которой собрались совершать открытия. Как видно из Приложения А, комиссия, созданная приказом Ректора ЮРГТУ (НПИ) N 1-351 от 02.09.09 из числа членов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 не опровергла ни одного моего доказательства ложности того или иного положения диссертационных работ; этого же не сделали и сами авторы диссертационных работ. Вместо этого комиссия занялась поиском "процессуальных нарушений" в смысле поиска наличия "нужных подписей под нужными бумагами" на момент защиты диссертационных работ, не касаясь явно указанных мною ошибок и нелепостей в этих работах. По такой логике нет смысла обращаться в диссертационный совет с просьбой лишить новоиспеченного доктора ученой степени, доказывая, что 2*2=4, а не 5, как утверждается в его защищенной диссертации.
   Документ из Приложения А, по сути говорит о том, что "группа нужных товарищей", собравшись, может объявить "полноценной диссертацией" все, что угодно (даже заведомо для них ложную и несостоятельную работу), вопреки всякой "объективной реальности". Документ говорит о том, что мнение "группы нужных товарищей" -- первично, а объективная реальность -- если уж не вторична по отношению к мнению "нужных товарищей", то, по крайней мере, "параллельна ему".
   В связи с вышеизложенным я был вынужден обратится в ВАК с просьбой о лишении ряда ученых, упомянутых в Приложении A, ученых степеней "напрямую", минуя возбуждение ходатайств в соответствующих диссертационных советах. Такая альтернативная возможность предусматривается п. VII.44 "Положения о порядке присуждений ученых степеней", в котором говориться о том, что ходатайство диссертационного совета требуется лишь как правило.
   Мое заявление на имя Председателя ВАК от 24.09.09 отослано одновременно с данным письмом.
   Прошу приобщить данное заявление к делу, заведенному в канцелярии в связи с получением моего предшествующего заявления от 08.07.09 с н/п 34640016596035.
  
   Данное заявление имеет две страницы и одно приложение (Приложение A) -- исходящий документ 13П - 260/02 от 09.09.09 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова. В области нижнего колонтитула каждой страницы заявления, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (24.09.2009)
   Подпись
  
   [Приложение А не приводится]
  
   [номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление получен ответ:
   Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ А. Козыренко (исходящий от 01.10.2009 N А26-06-371535) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009)
  
   (R20091001) Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ А. Козыренко (исходящий от 01.10.2009 N А26-06-371535) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) -- о перенаправлении 20090924B в Минобраз (см. 20090924B)
  
   Уведомление Консультанта департамента письменных обращений граждан Управления Президента РФ по работе с обращениями граждан Администрации Президента РФ А. Козыренко (исходящий от 01.10.2009 N А26-06-371535) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Администрация Президента
   Российской Федерации
   Управление
   Президента Российской Федерации
   по работе с обращениями граждан
   ул. Ильинка, д. 23, Москва,
   Российская Федерация, 103132
   Исходящий
   от 01.10.2009 N А26-06-371535
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   а/я 131
   г. Новочеркасск, Донской
   Ростовская область
   Российская Федрация, 346448
  
   Сообщаем, что Ваше обращение, поступившее на имя Президента Российской Федерации, находится на рассмотрении в Министерстве образования и науки Российской Федерации
  
   Консультант департамента письменных
   обращений граждан [Подпись] А. Козыренко
  
   [На страницу нанесен штрих-код (без расшифровки)]
   [На странице проставлен номер листа (?) -- 371535]
  
   Конец цитирования
  
   (R20091103) Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 03.11.2009 N ЛЕ-5345/08-01-09-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009) -- отписка (см. 20090924A, 20090924B, R20091001)
  
   Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 03.11.2009 N ЛЕ-5345/08-01-09-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 24.09.2009 (номер письма 34640018878429; вручено 28.09.2009) и Заявлением А.В. Леонова Председателю ВАК Министерства образования и науки РФ М.П. Кирпичникову от 24.09.2009 (номер письма 34640018878436; вручено 29.09.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Министерство образования и науки
   Российской Федерации
   Федеральная служба по надзору
   в сфере образования и науки
   Управление аттестации научных и
   научно-педагогических работников
   ул. Садовая-Сухаревская, 16, Москва, Россия
   К-51, ГСП-4, 127994
   Телефон: (495) 608-61-21
   Факс: (495) 608-61-61
   Исходящий
   от 03.11.2009 N ЛЕ-5345/08-01-09-105
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   [личные данные скрыты],
   г. Новочеркасск, 346448
  

Уважаемый Андрей Владимирович!

  
   Ваше письмо от 24.09.2009 г. на имя Президента Российской Федерации Д.А. Медведева поступило на рассмотрение в Федеральную службу по надзору в сфере образования и науки.
   Указанное письмо вместе с Вашим заявлением от 24.09.2009 на имя Председателя ВАК Минобрнауки России академика РАН М.П. Кирпичникова были рассмотрены на экспертных советах по управлению, вычислительной технике и информатике и энергетике, электрификации и энергетическому машиностроению.
   По существу Ваших обращений экспертными советами было отмечено следующее. В соответствии с п. 49 Положения о порядке присуждения ученых степеней. Утвержденного постановлением Правительством Российской Федерации от 30.01.2002 г. N 74, апелляция на решения Высшей аттестационной комиссии по вопросам присуждения ученых степеней и выдачи диплома кандидата наук может быть подана не позднее 2-месячного срока со дня вынесения соответствующего решения.
   Таким образом, срок подачи апелляций по диссертациям Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К., ученые степени которым были присуждены в 2002 г. и 2004 г. соответственно, истёк.
   В соответствии п. 44 Положения о порядке присуждения ученых степеней, лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией, как правило, на основании диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций.
  
   Начальник Управления [Подпись] Н.И. Аристер
  
   Конец цитирования
  
   (20091204) Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009) -- об ответе Минобраза (см. R20091103)
  
   Заявление А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009)
  
   Начало цитаты
  
   Президенту РФ
   Медведеву Дмитрию
   Анатольевичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Заявление

  
   Данное заявление имеет три страницы и одно приложение (Приложение A) -- распечатка скана исходящего документа Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Ле-5345/08-01-09-105 от 03.11.2009 за подписью начальника управления аттестации научных и научно-педагогических работников Н.И. Аристера. В области нижнего колонтитула каждой страницы заявления, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Далее на Приложение A будем ссылаться просто как на Ответ. На "Положение о порядке присуждения ученых степеней" будем ссылаться просто как на Положение.
  
   В связи с моим предшествующими заявлениями, направленными в администрацию президента, а именно: заявлением от 08.07.2009 (н/п 34640016596035, вручено 13.07.2009) и заявлением от 24.09.2009 (н/п 34640018878429, вручено 28.09.2009) сообщаю, что мною получен Ответ (см. Приложение А), аналог которого, по-видимому, будет перенаправлен в администрацию президента. В связи с этим, я считаю необходимым сделать ряд замечаний в свое оправдание и прокомментировать полученный ответ. Напомним, речь идет о лишении ряда лиц ученых степеней и связанной с этим перепиской с диссертационными советами и ВАКом.
  
   Как видно из абзацев 3 и 5 Ответа, в рассмотрении ВАКом вопроса о лишении ряда лиц ученых степеней отказано на основании того, что
   1) Истекли сроки, в которые я мог бы подать апелляцию в соответствующие диссертационные советы или в ВАК (см п. 49 Положения);
   2). Отсутствуют ходатайства о лишении ученых степеней от соответствующих диссертационных советов, которые требуются -- но лишь, как правило (см. п. 44 Положения). (Срок подачи таких ходатайств еще не истек)
   3) И, самое главное, по умолчанию дается понять, что ВАК не намерен использоваться альтернативным порядком лишения ученых степеней - без ходатайств соответствующих диссертационных советов (так сказать, действуя "не как правило") - несмотря на то, что эта возможность предусматривается Положением, хотя подробно не расписывается. В рамках, предоставляемых этой возможностью, ВАК, по-видимому, может создать какую-нибудь "специальную комиссию" или передать дело в другой диссертационный совет. (Срок действий "не как правило" также еще не истек). Впрочем, поступать так или нет -- законное право ВАКа.
   Вроде бы, все выглядит благопристойно, но это лишь часть правды.
   Итак, п. 49 Положения говорит о сроке апелляции в 2 месяца, а п. 45 -- о десятилетнем сроке, втечение которого ВАК может лишить ученой степени, как правило, на основании ходатайства соответствующего диссертационного совета. Иначе говоря: после истечения срока апелляции "совне", ВАК и диссертационные советы (или даже только один ВАК, действуя "не как правило") еще долгое время сами могут запустить процедуру лишения ученой степени "изнутри себя". Что может быть побудительной причиной для этого? Например, такой причиной может стать то, что кто-нибудь влиятельный в ВАКе обнаружит факт плагиата, факт того, что диссертация содержит множество ошибок, подтасовок и так далее.
   Однако, что должно произойти, если на этот плагиат, на эти ошибки и подтасовки выйдет не само влиятельное лицо из ВАКа, а ему укажет на все это кто-нибудь другой "извне" - например, отослав в ВАК соответствующее заявление? По-видимому, ВАК (или диссертационный совет) может рассматривать это заявление как апелляцию и, если истекли ее сроки подачи, отклонить данное заявление. Что и произошло. Но возможно и иное: ВАК может "переозвучить" факты, изложенные в заявлении от своего имени и инициировать процедуру лишения ученой степени "изнутри". Этого, как мы видим, не произошло.
   Поступать так или иначе -- все это целиком лежит на совести чиновников ВАКа (и ученых, заседающих в диссертационных советах). Существующий закон, как видим, позволяет рассматривать заявление как апелляцию и, соответственно, отклонять ее, не вдаваясь в суть заявления -- просто указав на тот факт, что сроки рассмотрения апелляций прошли, хотя заявление и может содержать истинные сведения об обнаруженных подтасовках, плагиате и ошибках. Однако, ясно, что действовать так небезопасно с точки зрения имиджевых соображений -- что если изложенные в заявлении факты верны? Ведь тогда действия чиновников ВАКа (и ученых из диссертационных советов) будут выглядеть не слишком красиво -- ведь они обо всем знали, вполне могли начать процедуру лишения ученой степени "изнутри корпорации", но при этом решили "не сдавать" своего собрата-ученого, несмотря на все то, что он натворил. Поэтому им желательно бы не просто говорить об истечении сроков, но и показать ложность доводов того, кто указывает на ошибки. Но как это сделать, если его доводы верны? Сделать подтасовки и еще больше опозориться, поставив под ними свои подписи? Поэтому, по-видимому, остается к словам об истечении сроков добавить для солидности слова о том, что "вопрос рассматривался множеством умных-умных ученых на умных-умных комиссиях" -- правда, не указывая каких именно ученых и того, к каким выводам они пришли. Именно так и поступили с моими заявлениями. Процитирую Ответ:
   "Указанное письмо вместе с Вашим заявлением ... были рассмотрены на экспертных советах по управлению, вычислительной технике и информатике и энергетике, электрификации и энергетическому машиностроению".
   "И что?" -- хочется спросить мне. Что же решили эти экспертные советы? В качестве ответа разных умных советов мне приводят не опровержение моих доводов, а... п. 49 и п. 44 Положения! Разве в этих экспертных советах рассматриваются толкования законов?! Чтобы привести это в ответ вовсе нет нужды собирать советы -- достаточно для солидности ответить какому-нибудь законоведу; более того -- чтобы процитировать п. 49 и п.44 Положения и "отбиться" от меня, нет нужды и в нем!
   Кстати. Ответ удивил меня еще и тем, что, как явствовало из направленных мною в ВАК материалов, дело касалось численных методов, которыми занимается прикладная математика. К чему тут говорить об экспертных советах по управлению, вычислительной технике и прочему, что упомянуто выше?
   Кроме того, Ответ подписан начальником управления аттестации научных и научно-педагогических работников Н.И. Аристером. Его научная степень не указана. Неизвестно даже, специалистом-ученым в какой области он является. Еще в Ответе фигурирует имя академика РАН М.П. Кирпичникова, председателя ВАК, на имя которого было направлено мое заявление, но не говорится, кто же именно заседал в экспертных советах, которые рассматривали поднятый вопрос и мнения заседавших. Был ли там, например, тот же академик М.П. Кирпичников и можно ли говорить о том, что присланный мне Ответ отражает хотя бы его мнение?! Не есть ли это свидетельство о том, что никто из серьезных людей в ВАКе (а именно он, а не управление аттестации ответственен за инициирование процедуры лишения ученой степени "изнутри" ВАКа) не хочет лишний раз "марать руки" своими подписями, защищая нелепые диссертации?!
   Подчеркну: я не получал опровержений ни одного из моих доводов ни от авторов критикуемых диссертационных работ, ни от диссертационных советов, в которых они защищались, ни от ВАКа, ни от вышеупомянутых экспертных советов.
   Более того: все они не берут на себя смелость утверждать, что диссертационные работы не содержат указанных мною ошибок.
   Отказ в возбуждении процедуры лишения ученых степеней, как уже сказано, основывается трех причинах: истечение срока апелляции, отстутствие ходатайств диссертационных советов и нежелание использовать альтернативные процедуры лишения ученых степеней. При этом, возможно, сами члены ВАКа, составляя мне Ответ, прекрасно осознавали ложность критиковавшихся работ, а также то, что они вполне могли бы "переозвучить" факты, изложенные в заявлении от своего имени и "запустить" процедуру лишения ученых степеней "изнутри" ВАКа.
  
   Тем не менее, я прекрасно осознаю, что решение ВАКа по поставленному мною вопросу вполне законно -- с точки зрения закона к членам ВАКа не может быть предъявлено никаких претензий. К ним можно предъявить претензии с точки зрения "традиционной" морали, но никак не законодательства Российской Федерации. В конце концов, законодательство Российской Федерации -- это продукт творчества депутатов и правительства, избираемых народом и именно ему через своих представителей решать -- какая наука нужна, а какая -- нет и какие цели она должна преследовать. В сложившейся ситуации попросту нелепо не учитывать то мнение, которое уже было ими высказано и реализовано; поэтому всякие дальнейшие действия по лишению лжеученых их степеней в рамках существующей системы считаю бессмысленным и бесперспективным занятием ибо, как видно из описанного случая, фактически лженаука поддерживается в Российской Федерации на законодательном уровне.
  
   Прошу приобщить данное заявление к делу, заведенному в связи с поступлением моих предшествующих вышеупомянутых заявлений с н/п 34640016596035 и н/п 34640018878429.
  
   Данное заявление имеет три страницы и одно приложение (Приложение A) -- распечатка скана исходящего документа Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Ле-5345/08-01-09-105 от 03.11.2009 за подписью начальника управления аттестации научных и научно-педагогических работников Н.И. Аристера. В области нижнего колонтитула каждой страницы заявления, кроме последней, имеется подпись заявителя и ее расшифровка.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009; предполагается продление)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (04.12.2009)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [Приложение A не приводится]
  
   [номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009]
  
   Конец цитаты
  
   На данное Заявление получен ответ:
   Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 20.01.2010 N ЛЕ-5345/08-01-09) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009)
  
   (R20100120) Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 20.01.2010 N ЛЕ-5345/08-01-09) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009) -- отписка (см. 20091204)
  
   Ответ Начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки РФ Н.И. Аристера А.В. Леонову (исходящий от 20.01.2010 N ЛЕ-5345/08-01-09) в связи с Заявлением А.В. Леонова Президенту РФ Д.А. Медведеву от 04.12.2009 (номер письма 34640021001531; вручено 08.12.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Министерство образования и науки
   Российской Федерации
   Федеральная служба по надзору
   в сфере образования и науки
   Управление аттестации научных и
   научно-педагогических работников
   ул. Садовая-Сухаревская, 16, Москва, Россия
   К-51, ГСП-4, 127994
   Телефон: (495) 608-61-21
   Факс: (495) 608-61-61
   Исходящий
   от 20.01.2010 N ЛЕ-5345/08-01-09
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   [личные данные скрыты],
   г. Новочеркасск, 346448
  
   На Ваше письмо
   От 04.12.2009
  

Уважаемый Андрей Владимирович!

  
   Как Вам сообщалось ранее, в соответствии с п. 44 "Положения...", лица, которым ученые степени присуждены с нарушением установленного порядка, могут быть лишены этих степеней Высшей аттестационной комиссией, как правило, на основании ходатайств диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций. Исключение из правил возможно в случае если диссертационный совет прекратил свою деятельность.
   Диссертационные советы, где прошли защиты диссертационных работ Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К., в настоящее время работают в штатном режиме и нет оснований делать исключения из правил по пункту 44.
   Диссертации Ковалёва О.Ф. и Птаха Г.К. были защищены по специальностям относящимся к компетенции экспертных советов ВАК Минобрнауки России по управлению, вычислительной технике и информатике и по энергетике электрификации и энергетическому машиностроению, потому рассмотрение Ваших писем осуществлялось названными экспертными советами.
   Одновременно обращаем Ваше внимание на то, что в соответствии со ст. 1248 Гражданского кодекса Российской Федерации (часть IV) споры, связанные с оспориванием интеллектуальных прав, рассматриваются судом.
  
   Начальник Управления [Подпись] Н.И. Аристер
  
   Конец цитирования
  
   (20091209) Обращение А.В. Леонова к Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009) -- в связи с ответом Минобраза и поведением диссертационных советов (см. R20091103)
  
   Обращение А.В. Леонова к Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Председателю Правительства
   Российской Федерации
   Путину Владимиру
   Владимировичу
   Леонова Андрея
   Владимировича
  

Обращение

  
   Данное обращение имеет две страницы. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись автора и ее рукописная расшифровка.
  
   Положение о порядке присуждения ученых степеней, принятое Постановлением Правительства Российской Федерации от 30.01.2002 N74 (далее -- просто "Положение") предусматривает возможность лишения ученых степеней. Этот вопрос, в частности, оговаривается п. 49, п. 47, п. 45 и п. 44 Положения, которые касаются и того, каким образом может быть запущена процедура лишения ученой степени:
   1 В двухмесячный срок через подачу апелляции на решение диссертационного совета (п. 47) или решение президиума ВАКа (п. 49);
   2. В десятилетний (п. 45) срок по инициативе (ходатайству) соответствующего диссертационного совета или по инициативе президиума ВАКа -- даже при отсутствии ходатайства соответствующего диссертационного совета, которое требуется лишь как правило -- то есть, вообще говоря, необязательно (п. 44).
  
   В связи с вышеизложенным встает вопрос: что произойдет, если спустя два месяца кто-то через заявление уведомит диссертационный совет или президиум ВАКа (разумеется, с соответствующими доказательствами) о том, что некоторая диссертация содержит подтасовки, ошибки и плагиат и, поэтому, ее автора необходимо лишить ученой степени.
   Положение позволяет трактовать такое уведомление двояко: как апелляцию или как простое сообщение сведений, с которыми вдальнейшем диссертационный совет или президиум ВАКа может поступить, как ему заблагорассудиться. В первом случае, очевидно, по истечении двухмесячного срока апелляция не может быть рассмотрена. Во втором случае заявление может быть как проигнорировано (закон не оговаривает возможности запуска процедуры лишения ученой степени на основании такого заявления), так и фактически пущено в ход, а именно: изложенные в заявлении факты диссертационный совет или президиум ВАКа может "заново озвучить от своего имени" и, через это, все-таки запустить процедуру лишения ученой степени.
   Выбор того, как поступить в данном случае, целиком лежит на совести ученых, заседающих в диссертационных советах и в ВАКе. Иначе говоря, существующее Положение предоставляет им возможность действовать, руководствуясь корпоративной солидарностью и нежеланием признавать собственные ошибки и, по истечении двухмесячного срока, не рассматривать заявления с доказательствами того, что та или иная диссертационная работа содержит подтасовки, ошибки и плагиат и, соответственно, не запускать процедуру лишения автора этой работы ученой степени (при этом президиум ВАКа даже может прекрасно сознавать ложность работы и то, что он вправе лишить ее автора ученой степени, так как еще не истек десятилетний срок, о котором говорит п. 45 Положения). Такое решение диссертационного совета или президиума ВАКа будет вполне законным и, с точки зрения закона, ни президиум ВАКа, ни диссертационный совет ни в чем нельзя упрекнуть.
   В качестве прецедентов укажу на поведение диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 в связи с рассмотрением ими фактов, изложенных в моем заявлении на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) от 06.11.2007 (н/п 34644895077449; вручено по доверенности 09.11.2007), а также на поведение президиума ВАКа в связи с этими же фактами, изложенными в моем заявлении на имя Председателя ВАКа от 24.11.2009 (н/п 34640018878436; вручено по доверенности 29.09.2009). Как явствует из соответствующих исходящих документов -- 13П-260/02 от 09.09.2009 за подписью Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) А.П. Савостьянова и Ле-5345/08-01-09-105 от 03.11.2009 за подписью начальника управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Н.И. Аристера, несмотря на приведенные мною доказательства ложности диссертационных работ ряда лиц, инициирования процедуры лишения ученых степеней (ни ВАКом, ни диссертационными советами) не произошло, хотя десятилетний срок, о котором говорит п. 45 Положения еще не истек. (Адрес ЮРГТУ (НПИ): 346428, ул. Просвещения 132, г. Новочеркасск Ростовской обл.)
  
   Сложившуюся ситуацию нельзя признать нормальной. Такие действия, хотя они и не противоречат Положению, -- то есть, действующему законодательству, -- позорят российскую науку.
   В связи с вышеизложенным прошу Правительство РФ рассмотреть вопрос о внести в действующее Положение изменений, которые исключили бы впредь возможность подобного поведения диссертационных советов и президиума ВАКа и обязали бы их рассматривать по существу поступающие к ним заявления с доказательствами наличия ошибок, подтасовок и плагиата в диссертационных работах и, соответственно, в необходимых случаях, инициировать процедуру лишения авторов этих диссертационных работ ученых степеней на основании данных заявлений -- хотя бы в десятилетний срок, о котором говорит п. 45 Положения. Кроме того, прошу рассмотреть вопрос об увеличении вышеупомянутого десятилетнего срока.
  
   Данное обращение имеет две страницы. Приложений нет. В области нижнего колонтитула каждой страницы, кроме последней, имеется подпись автора и ее рукописная расшифровка.
  
   Место прописки заявителя:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск а/я 131, Леонову Андрею Владимировичу.
   (текущий договор аренды a/я действует до 31.12.2009; предполагается продление)
   Адрес электронной почты:
   andrew.o.lion@gmail.com
  
   Дата (09.12.09)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Обращение было получено два ответа:
   -- Уведомление Заместителя директора Департамента культуры и образования Правительства РФ А. Заклязьминского А.В. Леонову (исходящий от 23.12.2009 N П44- 43665) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009)
   и
   -- Ответ Директора Департамента государственной научно-технической и инновационной политики Минобрнауки России А.В. Наумова А.В. Леонову (исходящий от 08.02.2010 N 04-ПГ-МОН-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009)
  
   (R20091223) Уведомление Заместителя директора Департамента культуры и образования Правительства РФ А. Заклязьминского А.В. Леонову (исходящий от 23.12.2009 N П44- 43665) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009) -- о перенаправлении Заявления в Минобрнауки (см. 20091209)
  
   Уведомление Заместителя директора Департамента культуры и образования Правительства РФ А. Заклязьминского А.В. Леонову (исходящий от 23.12.2009 N П44- 43665) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Аппарат Правительства Российской Федерации
   Москва
   Исходящий
   от 23.12.2009 N П44-43665
   [Входящий не указан]
  
   Минобрнауки России
  
   Леонову А.В.
   а/я 131
   г. Новочеркасск, 346448
  
   В соответствии со статьей 8 Федерального закона от 2 мая 2006 г. N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" направляем поступившее в Аппарат Правительства Российской Федерации обращение.
   Автор: Леонов А.В.
   Просим рассмотреть и о результатах сообщить заявителю.
  
   Приложение: вх. N П-99299 от 17.12.2009 г. на 2 л. в первый адрес, без возврата в Аппарат Правительства Российской Федерации
  
   Заместитель директора
   Департамента культуры и образования
   Правительства Российской Федерации [Подпись] А. Заклязьминский
  
   [В левом нижнем углу страницы имеется надпись, указывающая номер телефона Щукина И.А. (исполнителя?): "Щукин И.А. 605-52-96"]
  
   Конец цитирования
  
   (R20100208) Ответ Директора Департамента государственной научно-технической и инновационной политики Минобрнауки России А.В. Наумова А.В. Леонову (исходящий от 08.02.2010 N 04-ПГ-МОН-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009) -- отписка (см. 20091209, R20091223)
  
   Ответ Директора Департамента государственной научно-технической и инновационной политики Минобрнауки России А.В. Наумова А.В. Леонову (исходящий от 08.02.2010 N 04-ПГ-МОН-105) в связи с Заявлением А.В. Леонова Председателю Правительства РФ В.В. Путину от 09.12.2009 (номер письма 34640021005201; вручено 14.12.2009)
  
   Начало цитирования
  
   Министерство образования и науки
   Российской Федерации
   (Минобрнауки России)
   Департамент государственной
   научно-технической и инновационной политики
   ул. Тверская, д. 11, г. Москва,
   ГСП-3, 125993
   Телефон: 629-07-45
   Факс: 629-62-06
   E-mail: d04@mon.gov.ru
   Исходящий
   от 08.02.2010 N 04-ПГ-МОН-105
   [Входящий не указан]
  
   Леонову А.В.
   346448, г. Новочеркасск,
   [личные данные скрыты]
  
   Департамент государственной научно-технической и инновационной политики Минобрнауки России рассмотрел Ваше обращение, поступившее из Аппарата Правительства Российской Федерации, и сообщает.
   В соответствии с действующим Положением о порядке присуждения ученых степеней, утвержденное постановлением Правительства Российской Федерации от 30 января 2002 г. N 74 (далее -- Положение) Высшая аттестационная комиссия и диссертационные советы определяют соответствие диссертаций критериям, установленным названным Положением. Диссертационные советы несут ответственность за качество и объективность экспертизы диссертаций, за обоснованность принимаемых решений. Поэтому, в соответствии с пп. 44-49 Положения, экспертные советы ВАК Минобрнауки России вопросы лишения (восстановления), а также рассмотрения апелляций осуществляют с учетом ходатайств и заключений диссертационных советов, на заседании которых состоялась защита диссертаций. Исключение из правил возможно в случае если диссертационный совет прекратил свою деятельность.
   Десятилетний срок рассмотрения аттестационных вопросов обусловлен, кроме целесообразности, установленным сроком хранения личных аттестационных дел, который регламентируется Перечнем типовых документов, образующихся в деятельности госкомитетов, министерств, ведомств и других учреждений, организаций, предприятий с указанием сроков хранения в редакции ЦЭПК Росархива от 29 января 1998 г.
   Изложенные в Вашем письме предложения по изменению Положения о порядке присуждения ученых степеней будут рассмотрены наряду с другими предложениями при пересмотре нормативных документов в области аттестации научных и научно-педагогических работников.
  
   Директор Департамента [Подпись] А.В. Наумов
  
   [Ответ располагается на двух страницах, каждая -- на отдельном листе.]
   [На первой и второй страницах в левом нижнем углу имеются надписи: "Леонов А.В.-04"]
   [На второй странице в левом нижнем углу имеется надпись, сообщающая номер телефона Евтеева К.А. (исполнителя?): "Евтеев К.А. 629-65-87"]
  
   Конец цитирования
  
   (20100610) Личные письма А.В. Леонова членам диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 10.06.2010 (46 экз. согласно описи вложения) (номер почтового отправления (бандероли) 34642817902732; вручено 15.06.2010) -- предупреждение
  
   Личные письма А.В. Леонова членам диссертационных советов Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 10.06.2010 (46 экз. согласно описи вложения) (номер почтового отправления (бандероли) 34642817902732; вручено 15.06.2010)
  
   Начало цитирования
  
   Членам Д 212.304.01 (Ткачеву А.Н., Колпахчьяну П.Г., Астахову В.И., Басану С.Н., Бахвалову Ю.А., Богдану А.В., Гайтову Б.Х., Засыпкину А.С., Ковалеву О.Ф., Кужекову С.Л., Нагаю В.И., Надтоке И.И., Некрасову С.А., Павленко А.В., Пахомину С.А., Петрушину А.Д., Платонову В.В., Птаху Г.К., Пятибратову Г.Я., Свешникову В.И., Тропину В.В., Щербакову В.Г.),
   Членам Д.212.304.02 (Горбатенко Н.И., Фандееву Е.И., Иванченко А.Н., Бахвалову Ю.А., Булгакову А.Г., Водянику Г.М., Глебову Н.А., Зарифьяну А.А., Засыпкину А.С., Кабелькову А.Н., Ковалеву О.Ф., Кривину В.В., Кужекову С.Л., Лачину В.И., Никитенко Н.Ф., Павленко А.В., Паничу А.Е., Петракову В.А., Сысоеву Ю.С., Ткачеву А.Н., Хазановичу Г.Ш., Чернову А.В., Шошиашвили М.Э., Лубенцову В.Ф)
   Леонова Андрея Владимировича
   Адрес для "бумажной" почты: 346448 г.Новочеркасск-48 a/я 50
   Еmail: andrew.o.lion@gmail.com
   Место прописки: 346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
  
   Личное письмо
  
   Согласно исходящему документу 13п/260-02 от 09.09.09 за подписью проректора по научной работе А.П. Савостьянова приказом Ректора N1-351 от 02.09.09 была создана комиссия из членов диссертационного совета, в котором Вы состоите. Работа данной комиссии состояла в оценке вопиюще безграмотных диссертационных работ д.т.н. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха, защищенных в Д 212.304.01 и Д 212.304.02, на основании материалов, переданных мною через проректора по научной работе в указанные советы (см. мое заявление от 06.11.07 на имя Проректора по научной работе А.В. Павленко; н/п 34644895077449, вручено 09.11.07, а также исходящий 13П-263/02 от 26.11.07 от упомянутого А.В. Павленко).
   Я предполагал, что диссертационные советы возбудят ходатайство о лишении Г.К. Птаха и О.Ф. Ковалева ученых степеней на основании соответствующего "Положения о порядке присуждения ученых степеней". Тем не менее, этого не произошло, хотя диссертационные советы имели все основания так поступить. "Своих" решили не сдавать.
   Таким образом, ученые ЮРГТУ наглядно показали, какого именно рода учеными они являются и как к ним следует относиться. Вы должны понимать - ходатайства о лишении ученой степени возбуждают диссертационные советы и сделанное "членами комиссии" (я не знаю как она формировалась, кто в ней состоял, перед кем она отчитывалась и кто одобрил ее работу) я вправе считать сделанным от имени всех членов диссертационных советов Д 212.304.01 и Д.212.304.02. И после того, что произошло я попросту не могу относится к ним иначе, чем "ученым проституткам", "шлюхам от науки" и тому подобное.
   Буду рад узнать, что я ошибаюсь. Возможно, вы ничего не знали об упомянутой комиссии и ее работе по существу или даже оспаривали результаты ее работы. В этом случае прошу Вас заявить официальный протест (в виде заявления, поданного через канцелярию ЮРГТУ) в связи со скандальной работой комиссии и сообщить мне в личном письме об этом. Вы должны понимать -- скандальные результаты работы комиссии могут быть использованы против Вас лично -- для подрыва Вашей научной репутации.
   Ознакомиться с полным комплектом документов по данному вопросу можно на моем сайте http://lion.alturl.com или заказать их у меня по электронной почте.
  
   Дата (10.06.2010)
   Подпись
  
   [В данном письме "исходящий 13п-260/02 от 09.09.09" ошибочно назван "исходящим 13п/260-02 от 09.09.09"]
  
   [номер почтового отправления (бандероли) 34642817902732; вручено 15.06.2010]
   [46 экз. согласно описи вложения]
  
   Конец цитирования
  
   На эти личные письма не было получено никакого ответа.
  
   (20111005) Личные письма А.В. членам диссертационных советов (в составе на июнь 2010) Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 05.10.2011 (46 экз. согласно описи вложения) (номер почтового отправления (бандероли) 34642843024521; вручено 10.10.2011) -- оскорбление (см. 20100610)
  
   Личные письма А.В. членам диссертационных советов (в составе на июнь 2010) Д 212.304.01 и Д 212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 05.10.2011 (46 экз. согласно описи вложения) (номер почтового отправления (бандероли) 34642843024521; вручено 10.10.2011)
  
   Начало цитирования
  
   Членам Д 212.304.01 в составе на июнь 2010 г. (Ткачеву А.Н., Колпахчьяну П.Г., Астахову В.И., Басану С.Н., Бахвалову Ю.А., Богдану А.В., Гайтову Б.Х., Засыпкину А.С., Ковалеву О.Ф., Кужекову С.Л., Нагаю В.И., Надтоке И.И., Некрасову С.А., Павленко А.В., Пахомину С.А., Петрушину А.Д., Платонову В.В., Птаху Г.К., Пятибратову Г.Я., Свешникову В.И., Тропину В.В., Щербакову В.Г.),
   Членам Д.212.304.02 в составе на июнь 2010 г. (Горбатенко Н.И., Фандееву Е.И., Иванченко А.Н., Бахвалову Ю.А., Булгакову А.Г., Водянику Г.М., Глебову Н.А., Зарифьяну А.А., Засыпкину А.С., Кабелькову А.Н., Ковалеву О.Ф., Кривину В.В., Кужекову С.Л., Лачину В.И., Никитенко Н.Ф., Павленко А.В., Паничу А.Е., Петракову В.А., Сысоеву Ю.С., Ткачеву А.Н., Хазановичу Г.Ш., Чернову А.В., Шошиашвили М.Э., Лубенцову В.Ф)
   Леонова Андрея Владимировича
   Адрес для "бумажной" почты на 2011 г.:
   346448 г. Новочеркасск-48 a/я 5
   Адрес прописки:
   346448 г. Новочеркасск, [личные данные скрыты]
  
   Личное письмо
  
   В связи с полученным Вами ранее личным письмом от меня -- а именно, экземпляром Личного письма А.В. Леонова членам Д 212.304.01 и Д.212.304.02 при ЮРГТУ (НПИ) от 10.06.2010 (46 экз. согласно описи вложения); номер почтового отправления (бандероли) 34642817902732; вручено по доверенности 15.06.2010 -- сообщаю:
   Поскольку Вами не был заявлен официальный протест (в виде заявления, поданного через Канцелярию ЮРГТУ), о котором говорится в вышеупомянутом письме, и я не был оповещен об этом в личном письме - несмотря на то, что с момента получения вышеупомянутого письма членам Д 212.304.01 и Д.212.304.02 к настоящему моменту прошло более года -- мне ничего не остается, как констатировать тот факт, что вы являетесь "ученой проституткой" -- то есть, "шлюхой от науки".
   Напомню также: сделанное "членами комиссии", о которой говорится в вышеупомянутом письме членам Д 212.304.01 и Д.212.304.02 следует рассматривать как сделанное от имени всех членов данных диссертационных советов и Ваше молчание является свидетельством в пользу того, что Ваше мнение по затронутым вопросам совпадает с мнением (выводами) этой комиссии.
  
   Дата (05.10.2011)
   Подпись
  
   К сожалению, среди тех, кому было направлено это письмо, оказался и В.И Астахов, аспирантом которого я был.
  
   [номер почтового отправления (бандероли) 34642843024521; вручено 10.10.2011]
   [46 экз. согласно описи вложения]
  
   Конец цитирования
  
   Никакого ответа на данные личные письма получено не было. Никакого обращения в суд не последовало.
   Возможно, на момент вручения писем некоторых из членов упомянутых диссертационных советов уже не было в живых; но Канцелярия ЮРГТУ (НПИ) не проинформировала меня о невозможности доставки писем таким адресатам и поэтому такое "обращение к мертвым" всецело лежит на совести Канцелярии ЮРГТУ (НПИ).
  
   (20120524) Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 24.05.2012 -- выборы 2012 г.
  
   Заявление А.В. Леонова Ректору ЮРГТУ (НПИ) В.Г. Передерию от 24.05.2012
  
   Начало цитирования
  
   Ректору ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   Передерию В.Г.
   346448 г. Новочеркасск,
   ул. Просвещения 132
  
   Леонова Андрея Владимировича
   Паспорт [личные данные скрыты]
   Прописан
   г. Новочеркасск,
   [личные данные скрыты]
   (почтовый индекс 346448)
   тел. (моб.) [личные данные скрыты]
   тел. (родных) [личные данные скрыты]
   email: andrew.o.lion@gmail.com
  

Заявление

  
   Прошу допустить меня к участию в конкурсе на замещение вакантной должности старшего преподавателя кафедры "Электронные вычислительные машины", объявленному в газете "Кадры индустрии" N 18 (2386) от 14.05.2012 (согласно информации, приведенной в указанном источнике, данная должность вакантна с 01.07.2012).
   Список научных трудов прилагаю.
  
   Дата (24.05.2012)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [Второй экземпляр заявления, оставляемый у заявителя, заверен сотрудником отдела кадров: "Принято 24.05.2012 г. [Подпись]"]
  
   Конец цитирования
  
   В этот раз, спустя пять лет, О.Ю. Дерий с точки зрения количества и разновидностей научных трудов, (требуемых и учитываемых за последние пять лет) для избрания старшим преподавателем, был немного впереди меня; на выборах, происходивших на кафедре ЭВМ, я не получил ни одного голоса в свою пользу.
  
   (20120621) Заявление А.В. Леонова Главе Ученого совета ФИТУ ЮРГТУ (НПИ) от 21.06.2012 (номер письма 34644851003260; вручено 25.06.2012) -- выборы 2012 г.
  
   Заявление А.В. Леонова Главе Ученого совета ФИТУ ЮРГТУ (НПИ) от 21.06.2012 (номер письма 34644851003260; вручено 25.06.2012)
  
   Начало цитирования
  
   Главе ученого совета
   Факультета информационных
   технологий
   ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   ул. Просвещения 132,
   г. Новочеркасск, 346428
  
   Леонова Андрея Владимировича
   паспорт [личные данные скрыты]
   прописан [личные данные скрыты],
   г. Новочеркасск
   (почтовый индекс 346448)
  

Заявление

  
   Данное заявление состоит из трех страниц. Все страницы, кроме последней, дополнительно подписаны в области нижнего колонтитула, а именно: приведены написанные от руки, фамилия, имя и отчество заявителя, а также его роспись.
  
   На заседании кафедры ЭВМ ФИТ ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ), происходившем 20.06.2012 рассматривался вопрос о даче рекомендаций участникам конкурсного отбора на замещение вакантной должности старшего преподавателя; я был одним из возможных кандидатов. В связи с этим прошу проследить за тем, чтобы в протоколе заседания кафедры, а также в выписках из него, предоставленных на заседание ученого совета, на котором будет производится или производиться конкурсный отбор, присутствовала нижеприводимая информация, которую я попросил занести в протокол заседания кафедры, и которую я озвучил, когда мне было предоставлено слово на заседании кафедры; эта информация в распечатанном виде была также передана мною секретарю кафедры ЭВМ.
  
   Начало информации
  
   Леонов Андрей Владимирович, 1974 года рождения, окончил НГТУ в 1996 году по специальности "Вычислительные машины, системы, комплексы и сети" (каф. ЭВМ ФСТРиР; квалификация - инженер-системотехник). В 1996 году поступил в очную аспирантуру при НГТУ на специальность "Теоретическая электротехника". Обучение в аспирантуре завершил без защиты диссертации.
   В 2000 и 2001 годах работал инженером-электроником и инженером-программистом в Информационно-вычислительном центре (ИВЦ) НГТУ. Позднее (по 2005 г.) по совместительству работал инженером-программистом в ИВЦ ЮРГТУ и на кафедре ЭВМ ЮРГТУ.
   С сентября 2001 по октябрь 2007 года работал ассистентом на кафедре ЭВМ ЮРГТУ.
   Зимой 2004-2005 года руководство кафедры ЭВМ, по мнению А.В. Леонова, совершило против него уголовное преступление: после попытки объективно оценить знания студентов он повергся систематической травле со стороны руководства кафедры ЭВМ. Эта травля привела, по мнению А.В. Леонова, к развитию у него психического расстройства; в первый раз он был госпитализирован в психоневрологический диспансер г. Новочеркасска с диагнозом "реактивное состояние" на срок полтора месяца, во второй раз, несколько месяцев спустя -- на три месяца с диагнозом "полиморфное психическое расстройство".
   О травле и обстоятельствах, которыми она сопровождалась, -- смотри Заявление Леонова Андрея Владимировича на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 27.10.07; номер письма 34640094683580. вручено по доверенности 30.10.07.
   Данное Заявление, насколько известно А.В. Леонову, осталось без ответа и без всяких последствий для участников упомянутых в нем происшествий.
   Весной 2007 года от А.В. Леонова, по его утверждению, фактически было скрыто проведение конкурса на замещение вакантной должности ст. преп. каф. ЭВМ 13 разряда, в результате чего в конкурсе победил О.Ю. Дерий, имевший гораздо меньше научных трудов.
   Об обстоятельствах проведения данного конкурса, а также об обжаловании его результатов в административном порядке -- смотри Заявление Леонова Андрея Владимировича на имя Ректора ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Лунина Л.С. от 26.10.07; номер письма 34644895074578; вручено по доверенности 30.10.07.
   Данное Заявление также осталось без ответа.
   В связи с описанными выше событиями -- то есть, систематической травлей в 2004-2005 году и фактическим сокрытием конкурса А.В. Леонов счел более невозможным работать в качестве ассистента вместе с подобными шуллерами и, в частности, ассистировать О.Ю. Дерию, вследствие чего уволился по собственному желанию в сентябре 2007 года.
   В 2011 году снят с динамического наблюдения в психоневрологическом диспансере, после чего более туда не обращался; согласно действующим правилам это означает, что на текущий момент моя учетная карточка должна быть сдана в архив.
   После увольнения в 2007 году и до настоящего времени нигде не работал.
   Общий пдагогический стаж работы -- 6 лет, научный стаж -- 9 лет.
  
   Научная работа и методическая работа
  
   Количество научных работ за последние пять лет -- 9; из них 8 печатных и одна рукописная монография.
   Общее количество научных работ -- 24; из них 2 авторских свидетельства на программнные продукты, прошедшие отраслевую регистрацию и одна рукописная монография.
   А.В. Леонов вел научные исследования в области численных методов решения систем нелинейных уравнений и, в частности, вел работу над диссертацией по означенной тематике; предположительное название диссертационной работы было: "Квази-методы Ньютона для распараллеливания вычислений и решения топологически и физически близких краевых задач". В частности, о характере ведшейся работе над диссертацией можно судить по работам под N 17 и N 18 в списке научных трудов. Данные работы доступны в цифровом виде по ссылкам с домашней странички Леонова А.В. http://lion.alturl.com (они входят в число работ, опубликованных за последние 5 лет).
   С вышеупомянутой рукописной монографией можно ознакомиться на другой домашней страничке Леонова А.В. - http://f2f.alturl.com/hp .
   Работы под N 16 и N 23 представляют из себя критический разбор и разгром докторских диссертационных работ д.т.н. О.Ф. Ковалева и д.т.н. Г.К. Птаха. В частности, данные работы были направлены в соответствующие диссертационные советы и в ВАК как приложения к соответствующим заявлениям с просьбой инициировать процедуру лишения ученой степени доктора наук указанных лиц. Смотри следующие заявления:
   Заявление гражданина Леонова Андрея Владимировича на имя Проректора по научной работе ЮРГТУ (НПИ) проф., д.т.н. Павленко А.В. от 06.11.07. Номер письма 34644895077449. Вручено по доверенности 09.11.07.
   Заявление гражданина Леонова А. В. на имя Председателя ВАК МОиН РФ Кирпичникова М.П. от 24.09.2009. Номер письма 34640018878436. Вручено по доверенности 29.09.2009.
   При этом, в частности, не было получено никакого опровержения моей критики указанных диссертационных работ -- ни со стороны авторов этих работ, ни со стороны диссертационных советов, в которых они защищались, что, по моему мнению, свидетельствует в пользу верности критического разбора упомянутых диссертационных работ.
   Упомянутые выше заявления приведены на моей домашней страничке http://lion.altrul.com.
  
   Конец информации
  
   Кроме того, прошу проверить, чтобы в проколе заседания кафедры было отражено то, что мой соперник на выборах -- О.Ю. Дерий, а также и.о. зав. каф. ЭВМ Макогоненко Г.И. отказались мне предоставить список научных трудов О.Ю. Дерия, заверенный надлежащим образом (как для снятия с него копии, так и просто для того, чтобы убедится в верности озвученных на заседании сведений о научных трудах О.Ю. Дерия); данный факт я попросил занести в протокол заседания кафедры.
  
   Данное заявление состоит из трех страниц. Все страницы, кроме последней, дополнительно подписаны в области нижнего колонтитула, а именно: приведены написанные от руки, фамилия, имя и отчество заявителя, а также его роспись.
  
   Дата (21.06.2012)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34644851003260; вручено 25.06.2012]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление не было получено ответа
  
   (20120727) Заявление А.В. Леонова Главе ученого совета ФИТУ ЮРГТУ (НПИ) от 27.07.2012 (номер письма 34642852013028; вручено 31.07.2012) -- выборы 2012 г.
  
   Заявление А.В. Леонова Главе ученого совета ФИТУ ЮРГТУ (НПИ) от 27.07.2012 (номер письма 34642852013028; вручено 31.07.2012)
  
   Начало цитирования
  
   Главе ученого совета
   Факультета информационных
   технологий
   ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ)
   ул. Просвещения 132,
   г. Новочеркасск, 346428
  
   Леонова Андрея Владимировича
   паспорт [личные данные скрыты]
   прописан [личные данные скрыты],
   г. Новочеркасск
   (почтовый индекс 346448)
   Предпочитаемый адрес для почтовой связи:
   346448 г. Новочеркасск - 48 а/я 5.
  

Заявление

  
   В связи с проведением заседания Ученого Совета ФИТ 31 августа 2012 года, на котором будет производится конкурсный отбор на замещение вакантной должности ст. преп. каф. ЭВМ (о чем я получил соответствующее уведомление от Секретаря Ученого Совета), я, как один из участников конкурсного отбора уведомляю, что не буду замещать эту вакантную должность в любом случае и поэтому прошу либо снять мою кандидатуру на основании настоящего заявления -- в том случае, если это не подорвет законность процедуры избрания, либо же, если это ставит под угрозу законность процедуры избрания, прошу тех, кто, возможно, проголосовал бы за меня проголосовать против -- также на основании настоящего заявления, так как я не хочу создавать дополнительных трудностей в делопроизводстве ЮРГТУ (НПИ).
  
   Дата (27.07.2012)
   Подпись
   Расшифровка подписи
  
   [номер письма 34642852013028; вручено 31.07.2012]
  
   Конец цитирования
  
   На данное Заявление не было получено ответа.
  

Приложение A. "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений (критика докторской диссертации О.Ф. Ковалева)

  
   Критика докторской диссертации О.Ф. Ковалева была выполнена в форме следующей брошюры, изданной как частный заказ небольшим количеством экземпляров:
  
   Автор: Леонов А.В.
   "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (частный заказ), 2007. -- 108 с.
  
   Распечатка содержимого этой брошюры посылалась мной в различных заявлениях с просьбой лишить О.Ф. Ковалёва ученой степени, а именно в ряде тех заявлений, которые были приведены выше.
   Брошюра имеет следующую аннотацию:
   "Рассматривается метод расчета магнитного поля, получивший известность как "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников". Показывается, что данный метод не связан ни с методом вторичных источников, ни с методом конечных элементов, ни с построением математической модели, а является достаточно простым, причем недоформулированным до конца, квази- методом Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
   Данная работа может рассматриваться как методическое пособие по численным методам решения систем нелинейных уравнений и по условной минимизации функционала.
   Предназначена для инженеров, аспирантов и ученых, работающих в области математического моделирования электромагнитных полей и в области численных методов".
  
   Изначально брошюра предназначалась для свободного распространения -- в частности, в ней написано следующее уведомление: "Вы можете свободно воспроизводить и распространять данную работу целиком или по частям любым способом, в том числе и на коммерческой основе без выплаты вознаграждения автору".
  
   09.06.2020 (время -- московское) данная брошюра была передана мною в Общественные Владения (Public Domain) по лицензии CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
  
   0x01 graphic
   To the extent possible under law, Андрей Владимирович Леонов has waived all copyright and related or neighboring rights to брошюра: "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (частный заказ), 2007. -- 108 с. (критический разбор докторской диссертации О.Ф. Ковалева). This work is published from: Russian Federation.
   Скачать данную брошюру можно с сайта автора f2f.alturl.com (lion.alturl.com) или с библиотеки "Генезис" (gen.lib.rus.ec).
  
   В настоящей книге текст брошюры печатается с небольшими изменениями, касающимися исправления грамматических и пунктуационных ошибок, а также незначительных недоработок в стилистике.
  

Предисловие

  
   В данной работе рассматривается численный метод, получивший известность как "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" (КМ КЭ-ВИ). Метод предложен О.Ф. Ковалевым и подробно изложен в монографии [КОВАЛЕВ2001]. Читателю, он, скорее всего, известен из публикации в журнале [КОВАЛЕВ2000]. Создателем метода он рассматривался как метод расчета магнитного поля, то есть, не как численный метод решения "произвольной" системы линейных уравнений, а как метод, связанный с построением математической модели для расчета магнитного поля.
   В данной работе показывается, что то КМ КЭ-ВИ не связан ни с методом вторичных источников, ни с методом конечных элементов, ни с построением математической модели, а является достаточно простым, причем недоформулированным до конца, квази- методом Ньютона (или, если рассматривать его с другой стороны, вариантом метода итераций), то есть предложенный метод является численным методом решения систем нелинейных алгебраических уравнений (безотносительно того, как эта система была получена).
   Метод "доформулируется" и ему (условно) дается название "модифицированный метод простых итераций". Показывается, что этот метод (напомним, его же можно рассматривать как квази- метод Ньютона) использует достаточно простую и хоршо известную аппроксимацию якобиана с помощью матрицы жесткости решаемой системы нелинейных алгебраических уравнений.
   В работе прослеживается ход мысли О.Ф. Ковалева при получении им недоформулированного модифицированного метода простых итераций. При этом оказывается необходимым рассмотрение условной минимизации функционала для расчета магнитного поля. Хотя метод простых итераций легко может быть получен из знаний в области численных методов (квази- методов Ньютона и вариантов метода итераций) О.Ф. Ковалев использовал достаточно странный путь, связанный с минимизацией указанного функционала, при которой осуществляются ненужные взаимно уничтожающие друг друга подстановки, и не приводятся получающиеся в результате этих подстановок подобные слагаемые. Мы вынуждены показать абсурдность вывода данного метода из минимизации функционала.
   Далее предложенный О.Ф. Ковалевым (после несколько иной записи) метод рассматривается с точки зрения квази- методов Ньютона и вариантов метода итераций. Для этого мы поместили главу, вводящую читателя в данную тематику.
   Отметим, что работа О.Ф. Ковалева [КОВАЛЕВ2001] изобилует многими ошибками и просто нелепостями, так что мы часто будем вынуждены останавливаться и разбирать их.
   Глава 1 нашей работы посвящена изложению условной минимизации функционала для расчета статического магнитного поля в конечноэлементном лагражнжевом базисе, а глава 4 -- методу Ньютона, квази- методам Ньютона, методу итераций и его различным вариантам, а также связи между вышеупомянутыми методами. Если вам эти темы известны, то вам, скорее всего, можно не читать данные главы -- разве только ознакомиться с используемыми обозначениями.
   В главе 2 разбираются неправильные примеры условной минимизации функционала, в частности, и на примере [КОВАЛЕВ2001].
   В главе 3 начинает рассматриваться непосредственно сам метод КМ КЭ-ВИ. В частности, здесь показывается, что его название не соответствует его сути и проводится окончательная формулировка того, что предлагает О.Ф. Ковалев. Иначе говоря, здесь окончательно формулируется "недоформулированный модифицированный метод простых итераций".
   В главе 5 продолжает рассмотрение "недоформулированного модифицированного метода простых итераций" с позиций квази- методов Ньютона и вариантов метода простых итераций (данным вопросам, напомним, посвящена 4 глава). Здесь метод доформулируется так, что из него получается просто "модифицированный метод простых итераций", показывается некорректность сравнения данного метода с методом простых итераций по скорости, критикуется "анализ сходимости", выполненный О.Ф. Ковалевым.
   При написании данной работы, поскольку она является лишь критикой [КОВАЛЕВ2001], мы старались не касаться того, что встречающиеся интегралы следует рассматривать как интегралы Лебега, о том, что хорошо бы рассмотреть соболевские производные и пространства Соболева (обобщенные производные и пространства Гильберта), обсудить, в каком смысле мы понимаем решение и т.д. Это обусловлено тем, что данные вопросы не рассматривались и в [КОВАЛЕВ2001]. Приносим извинения требовательному читателю. Мы должны предупредить, что без понимания вышеописанных вещей обойтись не удастся: так, когда конечноэлементный базис построен на основе треугольных конечных элементов, то вычисленный на основе векторного магнитного потенциала вектор магнитной индукции, в общем случае, будет "рваться" на границах конечных элементов (он будет константой на каждом конечном элементе). В итоге у нас получаться интегралы от разрывных функций, которые никоим образом не могут быть интегралами Римана. Данный вопрос здесь "обойден" тем, что, грубо говоря, предложен способ вычисления такого интеграла, в котором используются только интегралы Римана.
   Для понимания работы не требуется особых познаний ни в области вариационных методов, ни в области численных методов, ни в области теории поля (тем не менее, начальные знания необходимы). Вся необходимая "теория" собрана в главах 1 и 4. Некоторые "продвинутые" знания (по сравнению с университетским курсом для нематематических специальностей) требуются только в области линейной алгебры и в области условной минимизации функционала (требуемый метод неопределенных множителей Лагранжа можно найти практически в любом "серьезном" ВУЗовском учебнике дифференциального и интегрального исчисления). В двух последних случаях полученные формулы можно просто "принять на веру". Работа вполне доступна для понимания студента старших курсов нематематических специальностей и не должна вызвать никакого затруднения у инженеров.
   Надеюсь, что обозначения в книге достаточно понятны. Единственные соглашения, которые использовалось -- это то, что вектор по умолчанию является вектор-столбцом и что в результате взятия градиента всегда получается вектор-строка.
  

1 Условная минимизация функционала для расчета статического магнитного поля в конечноэлементном лагранжевом базисе

  

1.1 Функционал для минимизации в трех- и двухмерном случаях

  
   Задачу расчета стационарного магнитного поля в нелинейных безгистерезисных средах с помощью векторного магнитного потенциала 0x01 graphic
можно свести к задаче минимизации функционала:
   0x01 graphic
,
   где
   0x01 graphic
- величина, имеющая размерность плотности энергии, определяемая для каждой точки пространства.
   Здесь 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Как обычно, в случае магнитостатической задачи принимаем, что 0x01 graphic
   Источник -- [СИЛЬВЕСТЕР1986, ШИМОНИ1964].
   Остановимся подробнее на первом члене функционала. Хотя он и имеет размерность энергии (подынтегральное выражение имеет размерность плотности энергии), его нельзя целиком ассоциировать с энергией магнитного поля. Это энергия, которую надо затратить, чтобы привести систему в рассматриваемое стационарное состояние некоторым "привилегированным" способом. Энергия созданного магнитного поля составляет лишь часть первого члена. Оставшаяся часть идет на обратимые или необратимые затраты энергии на тепловыделение и упругую деформацию (смотри примечания редакции к [ШИМОНИ1964]).
   Рассмотрим несколько более подробно характеристики вышеупомянутого "привилегированного" способа приведения системы в стационарное состояние.
   Заметим, что в подынтегральном выражении для 0x01 graphic
0x01 graphic
-- немая "векторная" переменная. Так же обозначается и верхний предел интегрирования. Это может внести путаницу, однако при таких обозначениях более понятен физический смысл. Далее мы выразим 0x01 graphic
через 0x01 graphic
и заменим немую векторную переменную 0x01 graphic
в подынтегральном выражении на 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Это выражение есть ни что иное, как криволинейный интеграл. Рассмотрим, например, более простой двумерный случай и дадим ему "механическую" интерпретацию. Сопоставим нижнему и верхнему пределам интегрирования точки -- начало координат 0x01 graphic
и точку с координатам 0x01 graphic
соответственно. Изменению магнитной индукции от 0x01 graphic
до0x01 graphic
сопоставим движение "тела" от точки 0x01 graphic
к точке 0x01 graphic
. При этом будем считать, что на тело, находящееся в точке 0x01 graphic
действует сила 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
. Тогда интегрирование даст работу упомянутой силы по некоторому пути.
   Разумеется, существует множество возможных путей. Встает вопрос -- какой путь выбрать для определения 0x01 graphic
? Из физических соображений (природа устроена так, что минимизирует затраты энергии) можно предположить что "нужный" путь минимизирует 0x01 graphic
. Иначе говоря, чтобы двинуться в минимизации исходного функционала дальше, нам нужно решить еще одну вариационную задачу -- задачу минимизации 0x01 graphic
путем выбора наиболее выгодного энергетически пути (в "механической" интерпретации). В использованной литературе [СИЛЬВЕСТЕР1986, ШИМОНИ1964] эта задача явно не ставится и не решается. Тем не менее, в [СИЛЬВЕСТЕР1986] неявно считается, что таким путем является прямой путь, что ожидается интуитивно (хоть это и не является доказательством).
   При рассмотрении данного функционала возникает трудность: как быть с петлями и с возвратами?! Может ли при движении по петле или при "замкнутом" движении "вперед-назад" работа "силы" быть отрицательной? Ведь если это так, то, "совершая обороты" по петле много раз, либо много раз двигаясь "вперед-назад", можно сделать значение интеграла сколь угодно малым (отрицательным). Из смысла интеграла -- плотности энергии -- следует, что ее не нельзя сделать меньшей, чем ноль. Значит, работа силы при упомянутых траекториях либо равна нулю, либо положительна. В последнем случае такие траектории следует просто исключить из рассмотрения как очевидно менее выгодные. Если же работа равна нулю, то движение по петле либо "вперед-назад" можно не учитывать при интегрировании. Таким образом, для простоты рассмотрения, можно оставить только траектории без возвратов и петель. Это нисколько не повлияет на полученный результат.
   Утверждение о том, что природа будет "использует" прямой путь (случай с петлями и возвратами мы рассмотрели выше) означает в переводе с "механического" на "магнитостатический" язык следующее: став отличным от нулевого вектора, вектор 0x01 graphic
будет далее сохранять свое направление; при этом 0x01 graphic
не может уменьшаться. Эти два утверждения справедливы для любой точки пространства.
   "Привилегированный" способ приведения системы в стационарное состояние, очевидно, должен удовлетворять двум вышеприведенным требованиям. Это --необходимые требования к способу. Вопросы о том, каков этот способ (и достижим ли он на практике) нами не рассматриваются, так как это уведет нас далеко в сторону.
   Замечание. Отметим несколько соображений (возможно, неверных), по которым такой "привилегированный" способ может оказаться неосуществимым на практике. При переведении магнитостатической системы из одного стационарного состояния в другое возникает переменное магнитное поле, которое порождает переменное электрическое поле, которое порождает переменное магнитное и так далее. Это порожденное электрическим полем магнитное поле налагается на исходное магнитное поле. В результате могут быть нарушены выдвинутые выше требования к изменению 0x01 graphic
. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое создает в проводниках вихревые токи. В результате выделяется тепло. Минимальный "путь" изменения 0x01 graphic
, скорее всего, подразумевает и минимальное тепловыделение. В результате возможен следующий вывод: чтобы устранить перечисленные выше "препятствия" необходимо производить переход из одного состояния в другое очень медленно; в пределе - бесконечно медленно. Эти соображения, естественно, являются лишь наводящими и требуют дальнейших исследований. Конец замечания.
   Замечание. Подчеркнем, что 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(соответственно, при замене немой переменной, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
) вовсе не обязаны ни быть параллельными, ни быть сонаправленными. Не путайте это с сонаправленностью 0x01 graphic
и 0x01 graphic
в изотропных средах. Речь идет об определенном способе изменения 0x01 graphic
(одном-единственном "нужном" из множества тех, которые реализуются), при котором эти условия выполняются. Конец замечания.
   Найденные требования к способу перевода системы из одного стационарного состояния в другое позволяют упростить выражение
   0x01 graphic
   Перейдем от 0x01 graphic
к ее проекции 0x01 graphic
на локальную координатную ось, которая проходит через рассматриваемую точку и имеет одинаковое направление с вектором0x01 graphic
в этой точке. Ввиду вышеупомянутых требований 0x01 graphic
и 0x01 graphic
всегда сонаправлены, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и поэтому скалярное произведение векторов 0x01 graphic
в интегральной сумме можно заменить произведение скалярных величин 0x01 graphic
. Кроме того, поскольку, как сказано, 0x01 graphic
знак взятия модуля в знаменателе можно опустить. При таком переходе нижний предел интегрирования изменится с 0x01 graphic
на просто 0x01 graphic
, a верхний -- с 0x01 graphic
на 0x01 graphic
. В итоге получим:
   0x01 graphic
.
   Формула верна для любой точки пространства.
   В итоге исходный функционал можно записать в следующем виде:
   0x01 graphic
.
   Физический смысл "немой" переменной 0x01 graphic
в подынегральном выражении -- это 0x01 graphic
.
   Данная формула верна для трехмерного пространства. При расчете двухмерного стационарного магнитного поля векторный магнитный потенциал 0x01 graphic
является, по сути, скалярной величиной (имеет только одну отличную от нуля компоненту). Он направлен перпендикулярно плоскости, в которой производится расчет. Эту компоненту будем обозначать просто 0x01 graphic
, без всяких дополнительных индексов. Токи проводимости 0x01 graphic
при этом также имеют только одну отличную от нуля компоненту и могут рассматриваться как скалярные величины. Они направлены перпендикулярно плоскости, в которой производится расчет. Вышеупомянутую компоненту 0x01 graphic
будем также обозначать просто 0x01 graphic
, безо всяких индексов. (Вектор 0x01 graphic
в этом случае имеет только тангенциальную составляющую.) Подробный вывод вышеописанных утверждений опустим.
   В принятых обозначениях исходный функционал для двумерного случая выглядит следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Компоненты вектора для двумерного случая 0x01 graphic
вычисляются так:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
   Соответственно, 0x01 graphic
или, что то же самое, 0x01 graphic
.
  

1.2 Допущение, позволяющее вести интегрирование по конечной области

  
   Исходный функционал вычисляется интегрированием по всему пространству (двухмерный функционал -- по бесконечной плоскости). На практике область интегрирования ограничивают и считают ее конечной. Принимается, что на границе области и за ее пределами 0x01 graphic
.
   Предположим, что с помощью минимизации функционала рассчитывается некоторое устройство, окруженное воздухом или пустотой. Пусть это устройство имеет характерный размер 0x01 graphic
. В этом случае расчетная область, как правило, простирается на несколько 0x01 graphic
от границ устройства (от одного до пяти). Такое приближение, естественно, снижает точность расчетов, но для большинства инженерных расчетов оно оказывается приемлемым.
   Кроме того, рассчитываемые устройства могут иметь ферромагнитные детали, специально приспособленные для, так сказать, "концентрации в них силовых линий магнитного поля" (магнитопроводы). Эти магнитопроводы, как правило, либо замкнуты, либо почти замкнуты. Из-за этого в них концентрируется большая часть энергии магнитного поля, что также увеличивает точность расчетов при принятом приближении о том, что магнитное поле существует в ограниченной области.
  

1.3 Проекция векторного магнитного потенциала (однокомпонентного) на конечномерный базис и переход к функционалу от конечного числа переменных

  
   Вернемся к "двухмерному" функционалу
   0x01 graphic
,
   где под 0x01 graphic
теперь будет пониматься некоторая ограниченная область двумерного пространства (плоскости).
   Сделаем замечание об обозначении 0x01 graphic
, так как, посмотрев на него, можно придти к заключению, что 0x01 graphic
есть функция 0x01 graphic
в некоторой точке пространства и с изменением точки пространства изменится и 0x01 graphic
. На самом деле это, конечно, не так, как это явствует из рассмотрения правой части. 0x01 graphic
зависит от распределения 0x01 graphic
во всем пространстве, по которому осуществляется интегрирование. 0x01 graphic
меняется с изменением "распределения" 0x01 graphic
по всему пространству. Именно в таком смысле и следует понимать обозначение 0x01 graphic
. (Если интегралы в функционале понимать в смысле Лебега, то можно "безнаказанно" поменять значение 0x01 graphic
на множестве меры нуль (например, на конечном множестве кривых); в этом случае, чтобы изменился 0x01 graphic
, необходимо поменять 0x01 graphic
, например, на множестве точек с ненулевой площадью.)
   Таким образом, 0x01 graphic
-- функционал от значений 0x01 graphic
на несчетном множестве точек и, следовательно, он зависит от несчетного множества переменных. Численные методы, которые используются для минимизации функционалов (по крайней мере, в нашем случае), предполагают, что функционал зависит от конечного множества переменных (зависимых или независимых). Итак, если обозначить вектор-столбец этих переменных как 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- число (конечное) переменных, то перед нами встает необходимость перехода от задачи минимизации функционала 0x01 graphic
к задаче минимизации функционала 0x01 graphic
. При этом в общем случае, разумеется, должна произойти потеря точности.
   Переход осуществляют следующим образом: поле 0x01 graphic
приближенно представляют в виде
   0x01 graphic
.
   Здесь:
   0x01 graphic
(0x01 graphic
) -- линейно независимые функции. с аргументами 0x01 graphic
(но не 0x01 graphic
);
   0x01 graphic
- переменные, которые не зависят от 0x01 graphic
.
   Если 0x01 graphic
линейно независимы по определению, то 0x01 graphic
могут зависеть друг от друга. Возможны самые различные уравнения, выражающие эту зависимость. Отметим также, что некоторые 0x01 graphic
могут быть константами. Ситуация, когда 0x01 graphic
-- константа, рассматривается как частный случай уравнения связи между 0x01 graphic
, которое имеет вид 0x01 graphic
.
   Вводя по аналогии с вектором-столбцом 0x01 graphic
вектор-столбец0x01 graphic
, представление 0x01 graphic
можно записать в следующем виде:
   0x01 graphic
.
   Векторы 0x01 graphic
, как правило, образуют базис в некотором (функциональном) пространстве. Поэтому, когда получают представление 0x01 graphic
, говорят о том, что выполняют проекцию 0x01 graphic
на такой-то базис (базис в пространстве таком-то).
   После выполнения проекции 0x01 graphic
нам надо выяснить, как теперь выглядят 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и, соответственно, 0x01 graphic
.
   0x01 graphic
.
   Введем вектор-столбец 0x01 graphic
. Компонентами этого вектора являются производные по 0x01 graphic
компонент вектора 0x01 graphic
. Об этом нам напоминает индекс 0x01 graphic
. (Можно ввести операцию, которую условно можно назвать "дифференцирование вектора-столбца"; эта операция ставит в соответствие вектору 0x01 graphic
вектор 0x01 graphic
. Мы будем обозначать ее 0x01 graphic
. Таким образом, 0x01 graphic
.)
   Тогда 0x01 graphic
можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Очевидно, 0x01 graphic
.
   Далее,
   0x01 graphic
   Если ввести вектор-столбец 0x01 graphic
(аналогично можно получить выражение 0x01 graphic
), то 0x01 graphic
запишется следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Очевидно, 0x01 graphic
.
   Следовательно,
   0x01 graphic
.
   Что касается того, каковы же базисные функции 0x01 graphic
, то пока мы не будем ничего конкретизировать. Проекция 0x01 graphic
может быть обычным рядом Фурье (двумерным), разложением по полиномам, проекцией на конечноэлементный лагранжев базис или, возможно, чем-то иным.
   Итак, после выполнения проекции 0x01 graphic
имеем:
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Мы обозначали символом 0x01 graphic
как "точный" (одномерный) векторный потенциал, так и его проекцию на конечномерный базис. Из контекста вполне ясно, о чем идет речь в том или ином случае.
  

1.4 Минимизация с ограничениями (условная) и без ограничений

  
   Минимизация функционала от конечного числа переменных бывает двух видов. При наличии уравнений связи между переменными вида 0x01 graphic
(то есть, когда переменные зависимые) минимизация называется условной (потому что имеются дополнительные условия -- уравнения связи) или, что то же самое, минимизацией с ограничениями (constrained minimization). Минимизация при отсутствии зависимости между переменными (при отсутствии уравнений связи типа 0x01 graphic
) называется либо просто минимизацией функционала (без всяких добавлений) либо минимизацией без ограничений (unconstrained minimization). Каждое "дополнительное" уравнение вида 0x01 graphic
теоретически позволяет нам исключить одно из неизвестных.
   Легко понять, что нам необходимо вести условную минимизацию: ведь необходимо найти не просто 0x01 graphic
, которое доставляет минимум 0x01 graphic
, но такое0x01 graphic
, которое на границе области интегрирования принимает нулевое значение. Например, если проекция 0x01 graphic
выполнялась на конечноэлементный лагранжев базис, то ограничения выразятся в том, что некоторые 0x01 graphic
будут иметь нулевое значение (смысл 0x01 graphic
в этом случае -- значение 0x01 graphic
в 0x01 graphic
-том узле (точке) конечноэлементной сетки; часть узлов будет находиться на границе области интегрирования и, естественно, соответствующие 0x01 graphic
равны нулю; само уравнение связи 0x01 graphic
в этом случае выглядит предельно просто: 0x01 graphic
, то есть 0x01 graphic
). При других проекциях данное ограничение может выглядеть иначе.
   При условной минимизации возникают дополнительные трудности. Необходимое условие достижения функционалом стационарной точки (экстремума или седловой точки), на котором и строятся дальнейшие действия по минимизации, предполагает, что переменные должны быть независимы. Очевидное решение проблемы - "назначить" независимые переменные, выразить зависимые переменные через независимые, переписать функционал так, чтобы он был функционалом только от независимых переменных и далее осуществить его минимизацию. Но такое очевидное решение не всегда подходит. Оно может быть либо просто трудным, либо нежелательным по тем или иным причинам - хотя бы по причинам красоты изложения (вернее, ее отсутствия), большой сложности, отсутствия универсальности, трудности численной реализации и т.д. Если мы не хотим действовать "напрямую", то нам следует провести условную минимизацию, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
   Скажем несколько слов об "очевидном" методе.
   Легко действовать, когда 0x01 graphic
или 0x01 graphic
. Здесь необходима лишь подстановка и группировка слагаемых. Затем, если необходимо (для красоты и простоты) можно перенумеровать переменные.
   Легко понять, как действовать, когда, например, 0x01 graphic
. В таких случаях (если перенумеровать переменные так, чтобы 0x01 graphic
стало 0x01 graphic
) 0x01 graphic
. Это функция 0x01 graphic
переменной. Ее надо подставить в функционал и функционал тоже станет функцией не 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
переменных. После этого функционал можно минимизировать -- теперь это будет минимизация без ограничений. Приведенный пример легко обобщить на тот случай, когда константами являются несколько 0x01 graphic
.
   Нередко, вероятно, действуя интуитивно (и неверно), рассуждают следующим образом (здесь мы несколько забегаем вперед): осуществим минимизацию так, как будто бы никаких ограничений не было. Затем, получив систему алгебраических уравнений, посмотрим, как она изменится, если бы те или иные переменные были константами, то есть, выполним учет ограничений. Уравнение, соответствующее выражению 0x01 graphic
можно объявить "лишенным смысла", так как, по сути, при его составлении вычисляется производная по константе. Это может навести на мысль о том, что все уравнения, соответствующие подобным выражениям , следует исключить из системы. Но 0x01 graphic
в 0x01 graphic
(и другие "переменные-константы") следует оставить, чтобы выполнять подстановку известной(ых) "переменной(ых)" в другие уравнения. Обобщая на случай нескольких "постоянных" переменных можно сказать следующее: после того как будет получена система алгебраических уравнений, учет ограничений выразится в том, что сначала из системы будут удалены "бессмысленные" уравнения, а затем будет произведена подстановка известных "неизвестных". При такой подстановке, грубо говоря, столбцы матрицы левой части, "ответственные" за известные "неизвестные" будут удалены из матрицы, и затем, после умножения их на соответствующие им известные "неизвестные", "вычтены" из вектора правой части. (Для определенности оговорим, что 0x01 graphic
-тое уравнение системы получается от взятия производной по 0x01 graphic
.)
   На эти рассуждения можно возразить так: необходимое условие, при котором функционал имеет стационарную точку, подразумевает, что все переменные независимы изначально. Нельзя двигаться дальше, если это требование не выполнено.
   Тем не менее, результат, по крайней мере, для нашего функционала и наших простых зависимостей, при вышеописанном способе действий получается правильный. Это не должно нас удивлять -- в соответствии с законами логики из ложных посылок может следовать все, что угодно, то есть, как ложные утверждения (что ожидается интуитивно), так и истинные.
   Говорить о том, что можно поступать вышеописанным способом можно только после того, как будет проведена "правильная" минимизация, (например, такая, при которой изначально исключаются зависимые переменные или описываемая далее условная минимизация с использованием неопределенных множителей Лагранжа) и будет обнаружено совпадение результатов при действии правильным и "неправильным "способами. При этом надо указывать на то, что действие само по себе (например, убрать такую-то строку) это одно, а его обоснование -- другое. Итак, сам вышеприведенный способ действий как "алгоритм" имеет право на существование (но обоснование этих действий неверно!).
   Как было упомянуто, нужный нам алгоритм условной минимизации для простых ограничений (когда переменная просто равна некоторой константе) может быть получен и без использования метода неопределенных множителей Лагранжа. Следует заметить, однако, что метод неопределенных множителей Лагранжа является универсальным. Он позволяет стандартно "обрабатывать" сложные зависимости между переменными. (Как бы вы, например, поступили, если бы встретили множество ограничений вида 0x01 graphic
?) Естественно, что этот метод годен и для нелинейных зависимостей 0x01 graphic
, однако мы ограничимся лишь линейными.
   Итак, из-за упомянутых достоинств, при условной минимизации мы решили выбрать метод неопределенных множителей Лагранжа. Здесь нет смысла излагать этот метод. Как правило, он излагается в учебниках по дифференциальному и интегральному исчислению (к сожалению, при этом не всегда говорят, что это метод неопределенных множителей Лагранжа). Мы приведем только окончательные результаты (далее на них будем ссылаться как на "три шага"), которые следуют из применения метода к нашему случаю:
   Во-первых, необходимо провести минимизацию функционала так, как если бы все переменные были независимыми и получить в результате систему алгебраических уравнений.
   Во-вторых, необходимо "произвести учет" того, что некоторые переменные являются зависимыми. На этом этапе система уравнений станет больше и в ней появятся неопределенные множители Лагранжа.
   Собственно говоря, после этого систему уже можно решать (это будет так называемая "полная" система). Однако при этом нами будут найдены не только неизвестные, но и множители Лагранжа. Кроме того, некоторые из "неизвестных", возможно, будут известны нам еще до решения системы. Мы не заинтересованы ни в нахождении известных неизвестных, ни в нахождении множителей Лагранжа. Собственно говоря, множители Лагранжа потому и названы неопределенными, что для решения задачи их находить необязательно; как правило, от таких множителей избавляются. Поэтому появляется "в-третьих".
   В-третьих, необходимо произвести редукцию полной системы, полученной ранее. В результате получается "редуцированная" система. Она меньше исходной на столько уравнений, сколько ограничений наложено. В нашем случае она будет содержать только "настоящие" неизвестные (перенумерованные). После решения этой системы легко восстанавливается вектор всех неизвестных -- как "неизвестных", так и "известных", где все они имеют исходные номера.
   Помните -- здесь и далее предполагается, что имеется линейная зависимость между неизвестными -- то есть зависимость вида "линейная комбинация неизвестных равна константе".
   Пункты (шаги) второй и третий будут описаны далее. Сейчас для нас главным является следующее: необходимо выполнить минимизацию функционала так, как будто все переменные являются независимыми, то есть, выполнить минимизацию без ограничений.
  

1.5 Минимизация без ограничений (первый шаг)

  
   Как известно из курса дифференциального и интегрального исчисления, при минимизации функционала без ограничений необходимым условием того, что данная точка есть стационарная точка, является следующее условие: 0x01 graphic
. Иначе говоря, все частные производные вида 0x01 graphic
в такой точке равны нулю.
   Напомним, что все векторы у нас по умолчанию -- вектор-столбцы; при этом, однако, мы считаем, что в результате действия оператора 0x01 graphic
на скалярную функцию получается вектор-строка.
   Условие 0x01 graphic
иногда переписывают применительно к полному дифференциалу. Как известно, 0x01 graphic
. Введем вектор-столбец 0x01 graphic
. Тогда 0x01 graphic
. 0x01 graphic
описывает изменение 0x01 graphic
при малом изменении аргумента 0x01 graphic
с точностью до членов порядка 0x01 graphic
.
   Очевидно, что если 0x01 graphic
, то и 0x01 graphic
. И наоборот, если 0x01 graphic
(с точностью до членов порядка 0x01 graphic
) то, поскольку 0x01 graphic
- произвольный вектор, делаем заключение, что все 0x01 graphic
, то есть, что 0x01 graphic
.
   Итак, эти два условия -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
эквивалентны.
   Понятно, почему переменные должны быть независимыми: пусть функционал имеет всего одну стационарную точку -- минимум; при поиске стационарной точки не должно быть никакого "стеснения": мы минимизируем функционал на всем пространстве (на всей области определения) и нам должны быть доступны все возможные комбинации переменных. Если же наложены ограничения, то нам доступны не все комбинации переменных -- из области определения мы пропускаем ряд подобластей. На этих подобластях может находиться точка, на которой функционал минимален. Иначе говоря, при наличии ограничений мы можем просто "выкинуть" точку, где все 0x01 graphic
и поэтому полный дифференциал и градиент (при наличии ограничений) в оставшейся "допустимой" области никогда не будут равными нулю. Минимизация при этом, естественно, не даст никакого результата.
   Пусть вышеописанный функционал зависит всего от двух переменных -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Предположим также, что, если не накладывать никаких дополнительных ограничений, он достигает минимума в точке 0x01 graphic
. (Эта точка, напомним, является единственной стационарной точкой.) В этой точке 0x01 graphic
. Если мы наложим ограничение 0x01 graphic
, то "попасть" в эту точку не сможем. Когда 0x01 graphic
, мы будем вынуждены вычислять частные производные в точке 0x01 graphic
. В этой точке градиент функционала будет отличен от нуля.
   Стационарные точки -- это седловые точки или точки экстремума (то есть минимума или максимума). Определение того, с чем же мы имеем дело, требует дополнительных исследований. Однако часто известно (например, из физических соображений), что тот или иной функционал имеют минимум. В этих случаях дополнительных исследований не проводят. (Иногда задачи ставятся так, что необходимо найти просто стационарную точку или точку экстремума.)
   В нашем случае предполагается заранее, что минимум существует. К сожалению, автору не пришлось встречать развернутых соображений по этому поводу (для линейных сред дела обстоят лучше). Практика показывает, что это предположение вполне оправдано.
   Итак,
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Возьмем частную производную от функционала "в общем виде" -- то есть, производную 0x01 graphic
. После этого попытаемся понять, какая система уравнений в матричной форме эквивалентна уравнению 0x01 graphic
. Если это сразу сделать не удастся, мы распишем подробно случай с малым количеством неизвестных и повторим попытку.
   0x01 graphic
;
  
   Рассмотрим подробнее член 0x01 graphic
. Его можно расписать следующим образом (в соответствии с правилом взятия производной от сложной функции):
   0x01 graphic
.
   Здесь, при последнем переходе, использовалась хорошо известная формула Ньютон-Лейбница, описывающая вид производной от определенного интеграла по верхнему пределу.
   Наконец, запишем
   0x01 graphic
.
   (Здесь можно упрощенно считать, что 0x01 graphic
)
   Получим:
   0x01 graphic
.
  
   0x01 graphic
.
   Вспомним, что 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Производные этих величин по 0x01 graphic
берутся аналогично взятию производной по 0x01 graphic
от 0x01 graphic
.
   Тогда
   0x01 graphic
.
   Подставляя это в выражение для функционала, получим:
  
   0x01 graphic
.
   0x01 graphic
.
   Подставим это в подынтегральное выражение, разобьем интеграл на несколько интегралов (вынесем суммирование за знак интеграла). Кроме того, вынесем из-под знака интеграла 0x01 graphic
, так как оно не зависит от 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. В результате получим:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Каждая 0x01 graphic
, напомним, должна равняться нулю. Следовательно, выражение 0x01 graphic
эквивалентно 0x01 graphic
выражениям (переносим член с минусом в правую часть)
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
.
   Введем матрицу 0x01 graphic
, элемент которой 0x01 graphic
вычисляется по формуле
   0x01 graphic
.
   Введем также вектор-столбец 0x01 graphic
, компоненты 0x01 graphic
которого вычисляются по формуле
   0x01 graphic
.
   Тогда вышеприведенные 0x01 graphic
выражений можно представить в матричной форме:
   0x01 graphic
.
   Заметим, что 0x01 graphic
зависит от 0x01 graphic
: в самом деле, для вычисления 0x01 graphic
нам надо знать 0x01 graphic
, который является функцией 0x01 graphic
- вспомните выражение 0x01 graphic
. Так что правильнее писать не 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
. Итак,
   0x01 graphic
.
   Тем не менее, для простоты мы часто будем писать 0x01 graphic
.
   Полученное матричное выражение, очевидно, эквивалентно выражению 0x01 graphic
. Вектор, при котором последнее обращается в тождество, одновременно является решением системы0x01 graphic
и наоборот.
   Замечание. Введем матрицу 0x01 graphic
таким образом, чтобы 0x01 graphic
. Такую матрицу можно получить из уже известных нам матриц следующим способом:
   0x01 graphic
.
   Тогда кратко можно записать
   0x01 graphic
.
   Подробнее такой способ действий будет рассмотрен далее. Пока же отметим, что на самом деле здесь имеется не обычный интеграл, а особый интегральный оператор, ставящий в соответствие одной матрице другую.
   Конец замечания.
   Подведем итоги. Для определения минимума нам нужно решить систему
   0x01 graphic
, где0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Правда, таким образом, так сказать, "в лоб" при использовании конечноэлементного базиса не действуют. Обычно идут "окольным путем", в результате которого получается та же самая система 0x01 graphic
.
  

1.6 Минимизация без ограничений в конечноэлементном лагранжевом базисе (первый шаг, продолжение)

  
   Теперь самое время сделать предположение о том, какой базис мы используем.
   Во-первых, мы будем использовать конечноэлементный базис. Как правило, при изложении метода конечных элементов используют треугольные и четырехугольные конечные элементы, с узлами, располагающимися в вершинах (таким образом, число узлов равно числу вершин). Однако, возможны и "дополнительные узлы", располагающиеся на ребрах элементов в точках, которые не являются вершинами элемента: например, четырехугольный конечный элемент может иметь восемь узлов: четыре узла в вершинах и четыре узла, располагающиеся в центрах ребер. Последние узлы, разумеется, не являются узлами конечноэлементной сетки, так как не являются вершинами какого-либо конечного элемента. Тем не менее, эти узлы, равноправно с "настоящими" узлами коненоэлементной сетки используются при вычислениях. Все узлы (и те, которые являются узлами сетки, и те, которые не являются) будем называть "расчетными". Термин же "узел конечноэлементной сетки" будем использовать по его "прямому" назначению. Расчетные узлы, не являющиеся узлами конечноэлементной сетки, будем называть дополнительными.
   Как уже было сказано, при изложении метода конечных элементов, как правило, выбирают такие базисные функции, при которых дополнительные узлы не используются. Мы будем следовать этой традиции. Итак, у нас имеются только узлы, являющиеся узлами сетки конечных элементов.
   Свяжем с каждым узлом 0x01 graphic
конечноэлементной сетки базисную функцию 0x01 graphic
, которая принимает отличные от нуля значения только на объединении множества конечных элементов, "окружающих" этот узел; за пределами же объединения данная функция тождественно равна нулю.
   Замечание. При наличии дополнительных узлов под 0x01 graphic
следует понимать любой узел - в том числе и дополнительный. Конец замечания.
   Выдвинем требование линейной независимости базисных функций.
   Далее, предположим, что наш базис является лагранжевым. Из этого предположения следует, в частности, и необходимая нам линейная независимость.
   Функция 0x01 graphic
лагранжева базиса принимает единичное значение в узле 0x01 graphic
(в том узле, с которым она "связана") и нулевое значение во всех остальных узлах. (Это и есть определение лагранжева базиса).
   Таким образом, на объединении конечных элементов, окружающих узел 0x01 graphic
, 0x01 graphic
принимает нулевое значение на всех узлах, кроме "центрального" 0x01 graphic
-того. За пределами объединения, напомним, 0x01 graphic
и так тождественно равна нулю.
   Отметим, что 0x01 graphic
-- "глобальные" функции в том смысле, что они определены на всей области интегрирования функционала.
   Из того, что базис является лагранжевым, следует простая интерпретация 0x01 graphic
: это значение проекции функции на базис в 0x01 graphic
-том узле. Очевидно, без 0x01 graphic
нельзя "сконструировать" такую функцию, которая принимала бы в 0x01 graphic
-том узле ненулевое значение. Это факт и гарантирует линейную независимость функций лагранжева базиса.
   Самый простой лагранжев базис получается, когда используются треугольные конечные элементы с тремя узлами, расположенными в вершинах. В этом случае базисные функции 0x01 graphic
имеют вид пирамид (поэтому их называют "пирамидальными функцииями" -- tent functions); перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды "попадает" прямо в узел 0x01 graphic
. В общем случае, этот перпендикуляр не является гранью пирамиды (узел 0x01 graphic
не принадлежит периметру основания пирамиды).
   Легко заметить, что в пределах конечного элемента проекция функции зависит только от значений проекции этой функции в узлах, входящих в данный конечный элемент и от базисных функций, связанных с этими узлами. Другие базисные функции на данном элементе равны нулю и, следовательно, не могут внести никакого "вклада", какие бы значения не были в связанных с ними узлах. Следовательно, зная значения проекции функции в узлах конечного элемента и связанные с этими узлами базисные функции, мы можем вычислить ("восстановить") значения проекции функции на всем конечном элементе.
   В случае "пирамидального" базиса для треугольных элементов проекция функции на любом конечном элементе представляет из себя плоскость, получающуюся "суммированием" трех плоскостей, которые получаются после масштабирования по высоте (умножения на 0x01 graphic
) трех пирамидальных функций0x01 graphic
(каждая из пирамидальных функций представлена на конечном элементе соответствующей плоскостью).
   Вернемся к минимизации функционала в конечноэлементном лагранжевом базисе. Итак,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Для получения системы уравнений мы двинемся "обходным путем", упоминавшимся выше. По-прежнему будем предполагать, что у нас нет дополнительных узлов, а имеются только такие узлы, которые одновременно являются и узлами конечноэлементной сетки.
   Мы можем сразу определить, какой из 0x01 graphic
равен нулю, а какой -- нет: результат интегрирования может отличаться от нуля только в том случае, если области, где 0x01 graphic
и 0x01 graphic
могут быть не равны нулю, пересекаются. (Производные этих базисных функций фигурируют в подынтегральном выражении.) Обозначим замыкание области, где 0x01 graphic
и 0x01 graphic
одновременно могут быть не равны нулю 0x01 graphic
(таким образом, 0x01 graphic
-- замкнутая область, хотя соответствующий знак мы и не пишем). При этом будем предполагать, что, по определению, мера 0x01 graphic
больше нуля -- то есть, 0x01 graphic
определяется не для всех пар узлов 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Очевидно, мера 0x01 graphic
больше нуля, если узлы 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- смежные (соединяются ребром). (При наличии дополнительных узлов -- лежат на одном ребре -- стороне какого либо конечного элемента.)
   Интегрирование по 0x01 graphic
заменим интегрированием по 0x01 graphic
.
   Предположим, что некоторый 0x01 graphic
может быть ненулевым. Вычислим его. Напомним,
   0x01 graphic
   Интеграл можно разбить на сумму интегралов по конечным элементам, объединение которых составляет 0x01 graphic
. Конечноэлементная сетка (без дополнительных узлов!) строится таким образом, что элементов, образующих 0x01 graphic
не больше двух если 0x01 graphic
; если 0x01 graphic
, то их может быть произвольное (конечное) число. Если сетку рассматривать как граф, то данное высказывание будет звучать так: две смежные (различные!) вершины соединяет лишь одно ребро; из вершины может исходить произвольное (конечное) число ребер. Упомянутые элементы будем идентифицировать с помощью индекса 0x01 graphic
.
   Индекс 0x01 graphic
"считает" только те элементы, в которых одной из сторон является "ребро графа между вершинами (узлами) 0x01 graphic
и 0x01 graphic
", а не все конечные элементы подряд. "Нумеруемые" 0x01 graphic
элементы составляют только 0x01 graphic
, а не всю область 0x01 graphic
.
   В каждом из слагаемых область интегрирования будем обозначать 0x01 graphic
.
   Внимание! При принятых сейчас обозначениях конечный элемент идентифицируется трем числам -- 0x01 graphic
,0x01 graphic
и 0x01 graphic
; 0x01 graphic
привязано к 0x01 graphic
,0x01 graphic
в том смысле, что при их изменении один и тот конечный элемент ("физически") может получить для идентификации другой индекс 0x01 graphic
.
   Ясно, что для указания на конкретный элемент достаточно просто пронумеровать их всех, даже не вдаваясь в то, какие узлы сетки являются его вершинами (то есть, достаточно использовать один индекс). При этом, чтобы связать набор номеров конечных элементов, по которым производится интегрирование, с узлами 0x01 graphic
,0x01 graphic
(как это было прежде), необходимо построить список конечных элементов. Содержимое списка (номера в этом списке) будет зависеть от 0x01 graphic
,0x01 graphic
. Далее мы так и поступим.
   Итак, мы имеем:
   0x01 graphic
, (0x01 graphic
).
   Сделаем небольшую поправку, как обсуждалось выше. Предположим, что все конечные элементы пронумерованы и идентифицируется индексом, который мы, как и раньше, будем обозначать 0x01 graphic
.
   В новых обозначениях мы должны вести суммирование не по всем конечным элементам 0x01 graphic
, а только по тем, в которых одной из сторон является "ребро графа между вершинами (узлами) 0x01 graphic
и 0x01 graphic
". Обозначим множество таких конечных элементов 0x01 graphic
. Тогда вышеприведенная формула запишется следующим образом:
   0x01 graphic
, (0x01 graphic
).
   Выражение 0x01 graphic
означает: "по всем 0x01 graphic
, входящим в множество 0x01 graphic
". Индекс 0x01 graphic
теперь, повторим, идентифицирует все имеющиеся конечные элементы. (В новых обозначениях мы интегрируем по 0x01 graphic
-- по 0x01 graphic
-тому конечному элементу.)
   Рассмотрим каждое из слагаемых суммы. Мы будем обозначать их следующим образом:0x01 graphic
. Помните, теперь индекс 0x01 graphic
-- просто элемент множества (списка), которое может выглядеть, например, для случая треугольных элементов так: 0x01 graphic
. (Или, если 0x01 graphic
, так: 0x01 graphic
.) При этом выражение0x01 graphic
следует понимать в смысле "вклад в 0x01 graphic
от интегрирования по 0x01 graphic
конечному элементу", выражение 0x01 graphic
-- "вклад в 0x01 graphic
от интегрирования по 0x01 graphic
конечному элементу" и т.д. Итак,
   0x01 graphic
.
   Внимание! В этой формуле 0x01 graphic
зависит от 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
по-прежнему выражается следующим образом: 0x01 graphic
-- то есть, зависит от всех глобальных базисных функций и значений искомой величины во всех "глобальных" узлах. На самом деле, конечно, ненулевые слагаемые в этой сумме покомпонентных произведений векторов возможны лишь для тех слагаемых, которые связаны с базисными функциями, которые привязаны к узлам, являющимся вершинами конечного элемента. Но мы по-прежнему оставляем в сумме все слагаемые, даже нулевые.
   Для каждого отдельно взятого конечного элемента введем свою, "локальную" нумерацию вершин, которая ведется независимо от глобальной нумерации узлов. Далее, введем на каждом из этих элементов свой лагранжев базис таким же образом, как мы это делали в "глобальном масштабе". То есть, каждый отдельно взятый конечный элемент мы будем рассматривать как отдельную же область расчета (которая состоит только из одного этого конечного элемента). При таком введении локальных базисных функций каждая локальная базисная функция какого-либо элемента будет "представлять" на этом конечном элементе некоторую глобальную базисную функцию (то есть на данном элементе эти функции будут равны), - а именно ту, которая "физически" связана с тем же узлом (вершиной), что и упомянутая локальная базисная функция. При этом "локальный" номер вершины, естественно, не обязан совпадать с "глобальным" номером узла.
   Локальную базисную функцию будем обозначать 0x01 graphic
. Верхний индекс 0x01 graphic
идентифицирует элемент, на котором эта функция определена, а нижний индекс 0x01 graphic
обозначает, с какой локальной вершиной элемента связана эта функция. (Итак, 0x01 graphic
-- это локальный номер вершины.)
   Здесь и далее для "чего-то глобального" мы будем использовать нижние индексы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, а для "чего-то локального" -- индексы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Условимся, что локальные базисные функции образуют вектор-столбец локальных базисных функций 0x01 graphic
. Аналогично "глобальному" случаю, мы введем векторы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, которые получаются "дифференцированием" вектора 0x01 graphic
.
   Введем функцию 0x01 graphic
, которая для заданного конечного элемента 0x01 graphic
отыскивает соответствие между глобальным номером узла 0x01 graphic
и локальным номером вершины 0x01 graphic
этого конечного элемента: 0x01 graphic
. При этом условимся, что комбинация 0x01 graphic
должна быть допустимой -- то есть, узел 0x01 graphic
должен быть вершиной конечного элемента 0x01 graphic
в действительности. Обозначение функции 0x01 graphic
-- от "Local", "Локальный".
   Глобальные функции, используемые в рассмотренном выше интеграле можно выразить через локальные базисные функции элемента, по которому ведется интегрирование. Связь имеет следующий вид:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Помните -- локальные базисные функции определены только на отдельном конечном элементе. Вышеприведенные равенства имеют смысл только для конечного элемента 0x01 graphic
!
   В подынтегральном выражении используются не сами функции, а их частные производные. Связав сами функции, мы связали и их частные производные. Следовательно,
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Опять напомним, в данной формуле 0x01 graphic
зависит от 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
по-прежнему определяется выражением 0x01 graphic
. Выразим 0x01 graphic
(а, значит, и 0x01 graphic
) через локальные базисные функции.
   Как сказано выше, в пределах конечного элемента 0x01 graphic
можно выразить только через базисные функции (глобальные), связанные с вершинами этого элемента и значениями искомой величины в этих вершинах. На конечном элементе 0x01 graphic
глобальные базисные функции "представлены" соответствующими им локальными базисными функциями, так что мы можем получить 0x01 graphic
(в пределах элемента!) комбинированием локальных базисных функций, умноженных на некоторые коэффициенты: 0x01 graphic
.
   Выражение 0x01 graphic
можно рассматривать как произведение вектора локальных базисных функций 0x01 graphic
на "вектор локальных переменных" 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Итак, у нас появился 0x01 graphic
-- вектор локальных переменных. Определим значения компонент этого вектора. Для этого надо найти связь между 0x01 graphic
и соответствующей ему компонентой глобального вектора неизвестных 0x01 graphic
.
   Введем функцию 0x01 graphic
, обратную функции 0x01 graphic
. Функция 0x01 graphic
ставит в соответствие локальной вершине 0x01 graphic
конечного элемента 0x01 graphic
глобальный узел (вершину) 0x01 graphic
конечноэлементной сетки: 0x01 graphic
. Обозначение 0x01 graphic
взято от слова "Global" -- "Глобальный". С использованием введенной функции искомая связь выглядит следующими образом:
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
или, раскрывая индекс, 0x01 graphic
.
   Итак, мы нашли выражение для 0x01 graphic
, куда входят только "локальные" величины - вектор 0x01 graphic
и вектор 0x01 graphic
.
   Проводя выкладки, аналогичные тем, которые были в "глобальном" случае, получим следующее выражение для 0x01 graphic
на конечном элементе 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
.
   Далее всюду, где 0x01 graphic
находится в подынтегральном выражении, связанном с интегрированием по отдельному конечному элементу будем предполагать, что данная величина выражается именно таким образом -- через "локальные" величины, связанные с данным конечным элементом.
   Помните, что используемая здесь "производная от вектора" - довольно необычная вещь. На самом деле это особый оператор, ставящий в соответствие одному вектору другой по определенному правилу! Термин "производная от вектора" дает краткость, но забирает точность.
   Вернемся к формуле для 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Анализ формулы показывает, что для вычисления всех возможных 0x01 graphic
для каждого конечного элемента 0x01 graphic
нам потребуются значения интеграла 0x01 graphic
при всех возможных 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Этот факт можно "перефразировать" следующим образом: для каждого конечного элемента 0x01 graphic
необходимо вычислить "локальную" (то есть, связанную только с этим конечным элементом) матрицу 0x01 graphic
, элементы которой 0x01 graphic
выражаются следующей формулой:
   0x01 graphic
   Как видно из вышеприведенных формул, 0x01 graphic
можно выразить через один из элементов только что введенной матрицы 0x01 graphic
следующим образом:
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Это можно записать и так (раскрывая нижние индексы):
   0x01 graphic
   В итоге получим:
   0x01 graphic
.
   Предположим (для простоты) что все матрицы 0x01 graphic
вычислены заранее и нам остается только брать уже готовые значения их элементов. Далее будет показано, что нет необходимости держать наготове все матрицы 0x01 graphic
одновременно, а можно ограничиться лишь одной, "текущей".
   Вернемся к вычислению 0x01 graphic
.
   Если множество 0x01 graphic
-- пустое (узлы несмежные), то, очевидно, в соответствии с формулой, мы получим 0x01 graphic
. (Представьте, что к сумме прибавлен нуль; если суммирования не происходит, то только этот нуль и останется: 0x01 graphic
). Чтобы не путаться с нулем, запишем результат подробнее:
   0x01 graphic
.
   На основании приведенной формулы можно легко описать основные шаги вычисления матрицы 0x01 graphic
в предположении, что все матрицы 0x01 graphic
вычислены заранее:
   (1) Последовательно перебираем элементы 0x01 graphic
и для каждого элемента выполняем следующую процедуру:
   (2) Определяем, ноль этот элемент (узлы 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- несмежные) или может иметь ненулевое значение (узлы смежные). В первом случае вычисление 0x01 graphic
закончено, 0x01 graphic
. Во втором случае
   (3) запускается процедура вычисления 0x01 graphic
.
   Вышеупомянутая процедура вычисления 0x01 graphic
имеет следующие этапы:
   (1) Определяем множество конечных элементов, в которых одной из сторон является "ребро графа между вершинами (узлами) 0x01 graphic
и 0x01 graphic
".
   (2) Для каждого из таких элементов вычисляем значение интеграла. Поскольку, как уже сказано, предполагается, что локальные матрицы 0x01 graphic
перед этим вычислены, значение интеграла можно получить из готовой локальной матрицы 0x01 graphic
(формула приведена выше).
   (3) Полученные значения интеграла для всех элементов суммируются.
   Из алгоритма видно, что 0x01 graphic
"строится" (получается) на основе множества прежде вычисленных локальных матриц 0x01 graphic
. Такой процесс построения 0x01 graphic
называется "сборкой" ("assembling") матрицы 0x01 graphic
.
   Сразу бросается в глаза недостаток предложенного метода сборки: нам придется одновременно хранить множество локальных матриц 0x01 graphic
. Один элемент локальной матрицы может понадобиться в начале процесса сборки, а другой элемент этой же матрицы - в самом конце. Тем не менее, можно заметить, что каждый элемент используется ровно один раз. Возникает вопрос: нельзя ли как-то изменить алгоритм сборки так, чтобы локальная матрица после ее вычисления сразу же "использовалась без остатка", а затем ресурсы, отведенные под хранение матрицы, освобождались и мы переходили к вычислению следующей локальной матрицы? Тогда нам можно было бы одновременно хранить не все локальные матрицы, а только одну, "текущую".
   Иначе говоря, если считать, что в вышеприведенном алгоритме сборка идет "сверху вниз", то нам необходим алгоритм сборки "снизу вверх": в нем в "самом главном цикле" мы будем перебирать не 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
.
   Такой алгоритм существует. Он предполагает, что изначально имеется матрица 0x01 graphic
, проинициализированная нулями. Каждый ее элемент можно рассматривать как своеобразный аккумулятор, в котором накапливаются "вклады" различных локальных матриц 0x01 graphic
.
   Для разработки нового алгоритма нам надо проследить "путь", по которому элемент 0x01 graphic
"вливается" как составная часть в соответствующий элемент 0x01 graphic
. Искомый "путь" задается следующей формулой:
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   или, подробно расписывая индексы,
   0x01 graphic
.
   Тогда нужный нам алгоритм сборки "снизу вверх" будет выглядеть так: (1) 0x01 graphic
инициализируется нулями. (2) Ведется перебор по всем локальным матрицам 0x01 graphic
. При этом для каждой 0x01 graphic
начинается, в свою очередь, (3) перебор по всем возможным элементам 0x01 graphic
-- по 0x01 graphic
. Во время этого последнего перебора (4.) для каждого 0x01 graphic
выполняется следующая операция 0x01 graphic
.
   Последнюю операцию можно трактовать следующим образом: происходит увеличение "аккумулятора" 0x01 graphic
на 0x01 graphic
.
   Такой алгоритм сборки, как правило, и реализуется численно.
   Заметим, что матрица 0x01 graphic
(и матрицы 0x01 graphic
) является симметричной. Этот факт может помочь при вычислении 0x01 graphic
(и 0x01 graphic
): достаточно вычислять только элементы, находящиеся на главной диагонали и выше ее.
   Аналогичным образом обстоят дела со сборкой вектора 0x01 graphic
. При этом также появится множество локальных векторов 0x01 graphic
.
   Сборка "сверху вниз" (когда одновременно должны сосуществовать все 0x01 graphic
) определяется следующими выкладками:
   0x01 graphic
. Итак,
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- замыкание области, где 0x01 graphic
отлична от нуля, 0x01 graphic
-- множество конечных элементов, для которых узел 0x01 graphic
является вершиной.
   Для вычисления всех 0x01 graphic
для каждого конечного элемента 0x01 graphic
необходимо вычислить интегралы вида 0x01 graphic
для всех возможных значений 0x01 graphic
. Это можно "перефразировать" так: для каждого конечного элемента 0x01 graphic
необходимо вычислить вектор-столбец 0x01 graphic
, элементы которого определяются следующей формулой:
   0x01 graphic
.
   На первых порах для простоты будем полагать, что все 0x01 graphic
получены заранее. В этом случае алгоритм вычисления0x01 graphic
будет выглядеть следующим образом:
   (1) Находим все элементы, для которых узел 0x01 graphic
является вершиной (формируем 0x01 graphic
).
   (2) "Вычисляем" для каждого из элементов интеграл вида 0x01 graphic
. Результат уже известен -- это 0x01 graphic
. И, наконец,
   (3) суммируем найденные значения интегралов.
   Алгоритм, действующий "снизу вверх", который, как правило, и реализуется на практике, выглядит следующим образом:
   (1) Инициализируем 0x01 graphic
нулями.
   (2) Ведем перебор по всем 0x01 graphic
.
   (3) Для каждого 0x01 graphic
ведем перебор по 0x01 graphic
, в ходе которого
   (4) для каждого 0x01 graphic
выполняем операцию 0x01 graphic
.
   В этом случае, напомним, в текущий момент можно "держать наготове" только одну матрицу 0x01 graphic
.
   Итак, при использовании конечноэлементного лагранжева базиса уравнение 0x01 graphic
получается "обходным" путем. Сначала вычисляются "локальные" матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, а затем на их основе с помощью специальной процедуры, называемой "сборка" получаются глобальные матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(для каждой из этих матриц существует своя процедура сборки).
   Рассмотрим следующий случай: мы осуществляем минимизацию функционала без ограничений на области, которую "покрывает" один-единственный конечный элемент. Пусть локальная и глобальная нумерации узлов совпадают (каждый узел имеет одинаковые локальные и глобальные номера). В этом случае совпадают также и локальные ( вектор 0x01 graphic
) и глобальные (вектор 0x01 graphic
) базисные функции. При этом совпадают также глобальный вектор неизвестных 0x01 graphic
и локальный вектор неизвестных 0x01 graphic
-- в том смысле, что неизвестные из этих векторов, имеющие одинаковые индексы, связаны с "физически" одинаковыми вершинами. Если сделать эти вектора одинаковыми, то очевидно, совпадут матрицы 0x01 graphic
(у нас только одна такая матрица) и 0x01 graphic
. Совпадут также 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Видимо, из-за вышеописанного факта в обозначении локальных и глобальных матриц и векторов, как правило, соблюдают преемственность -- у локальных векторов и матриц лишь появляется индекс, показывающий, о каком конечном элементе идет речь.
   При введении указанных локальных матриц и векторов следует всегда помнить, что мы не ведем никакой "локальной минимизации" -- то есть множества "маленьких" минимизаций в пределах каждого конечного элемента. Поэтому и результат "глобальной" минимизации вовсе не складывается и множества "локальных" минимизаций. Единственная минимизация, которую мы ведем -- это минимизация по всем переменным, входящим в глобальный вектор 0x01 graphic
. Множество локальных векторов и матриц появляется лишь как следствие "приема", применяемого при вычислении глобальных матрицы 0x01 graphic
и вектора 0x01 graphic
.
   Таким образом, при составлении "глобальной системы" уравнений имеется два этапа: получение ("теоретическое") системы уравнений 0x01 graphic
, в которой присутствуют лишь глобальные базисные функции и вычисление компонент матрицы левой части и вектора правой части с помощью вспомогательного приема, заключающегося во введении локальной нумерации узлов и локальных базисных функций для каждого конечного элемента. Этот вспомогательный прием более ориентирован на практику, чем на теорию. Компоненты матрицы левой части и вектора правой части системы 0x01 graphic
с глобальными базисными функциями можно вычислить и без вышеупомянутого приема.
   При изложении минимизации функционала в конечноэлементном лагранжевом базисе должны быть отдельно отражены оба этих этапа.
   Некоторые авторы почему-то излагают первый этап -- минимизацию функционала - на основе одного-единственного конечного элемента. То есть, они видимо, предполагают (по крайней мере, у тех, кто их читает, такая мысль справедливо может возникнуть), что существует какая-то минимизация для каждого отдельного конечного элемента и из множества этих минимизаций каким-то образом складывается "глобальная минимизация". Это как, вы понимаете, совершенно несправедливо.
   Несмотря на то, что результат при таком неправильном изложении получается похожий (только нужно поменять локальный вектор правой части, локальный вектор переменных и локальную матрицу правой части на глобальные!), читателю должно быть ясно - такие действия ошибочны в своей основе и просто бессмысленны.
   После получения уравнения 0x01 graphic
первый шаг минимизации с ограничениями считается завершенным.
   Перед тем, как двинуться дальше, обговорим одну деталь. Как видно из вышеизложенного, расположение уравнений (их нумерация) неважна. Однако далее, при рассмотрении условной минимизации, удобно ввести в систему уравнений определенный порядок. Далее для определенности будем считать, что 0x01 graphic
-тое уравнение системы получается из взятия производной от функционала по 0x01 graphic
-той переменной глобального вектора неизвестных.
  

1.7 Учет зависимостей между переменными (второй шаг)

  
   Доселе мы вели изложение так, как будто бы у нас велась минимизация без условий. Теперь вспомним, что на самом деле у нас имеются ограничения и, соответственно, нам необходимо учесть этот факт.
   Ограничения, которые имеются у нас (типа "переменная равна константе") соответствуют граничным условиям Дирихле для краевых задач в частных производных. Тем не менее, мы рассмотрим более широкий класс ограничений - типа "линейная комбинация неизвестных равна константе". На практике, при расчете магнитного поля, такие ограничения более сложного вида не встречаются. Тем не менее, для рассмотрения метода неопределенных множителей Лагранжа все равно какой тип ограничений будет рассматриваться. Поэтому мы будем рассматривать более общий тип ограничений.
   Запишем ограничения в матричном виде:
   0x01 graphic
.
   Матрица 0x01 graphic
имеет столько строк, сколько имеется ограничений указанного выше вида. Количество уравнений связи (ограничений) будем обозначать 0x01 graphic
. Порядок строк (нумерация уравнений) в данной системе не важен. Это, напомним, не относится к системе 0x01 graphic
! Если поменять порядок расположения строк в системе 0x01 graphic
, то в системе 0x01 graphic
придется осуществить перенумерацию неизвестных и, если быть точным, перенумерацию множителей Лагранжа.
   Отметим, что мы излагаем только алгоритм того, как следует учитывать ограничения, а не то, почему надо делать именно так. Алгоритм является следствием метода неопределенных множителей Лагранжа. Бессмысленно говорить сейчас о том, почему для частного случая ограничений вида "линейная комбинация неизвестных равна константе" этот метод выглядит именно так -- если вы знаете метод неопределенных множителей Лагранжа, то с легкостью поймете почему. Если же вы не знаете метода, то говорить об этом, повторим, нет смысла.
   Наличие ограничений скажется на системе 0x01 graphic
, полученной при предположении, что этих ограничений нет в том, что справа появится дополнительное слагаемое -- вектор 0x01 graphic
. Тогда данная система запишется следующим образом:
   0x01 graphic
.
   При ограничениях рассматриваемого нами типа вектор 0x01 graphic
выражается через матрицу 0x01 graphic
и вектор-столбец неопределенных множителей Лагранжа 0x01 graphic
следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Вектор неопределенных множителей Лагранжа 0x01 graphic
содержит, как явствует из названия неопределенные множители Лагранжа. Далее множители Лагранжа выступают как дополнительные подлежащие определению переменные. Эти множители называются неопределенными потому, что, как правило, нам неважно их значение. По этой причине от множителей Лагранжа стараются избавиться. Эта операция будет рассмотрена нами далее, на третьем шаге. Тем не менее, в нашем случае эти множители все-таки понадобятся, и мы покажем, как их вычислить после того, как система уравнений от них уже избавилась.
   Итак, вместо системы 0x01 graphic
при минимизации с ограничениями мы имеем две совместных системы уравнений:
   0x01 graphic
.
   По смыслу, вектор 0x01 graphic
должен рассматриваться как вектор "дополнительных" переменных. Поэтому его следует перенести в левую часть. При этом появится знак минус:
   0x01 graphic
.
   Эта система может быть переписана в следующем виде (получаем из двух систем одну):
   0x01 graphic
.
   Обозначения достаточно прозрачны и мы не будем подробно на них останавливаться.
   Полученная система называется "полной". Сокращенно ее будем записывать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Индекс 0x01 graphic
-- от "full" -- "полная".
   Обозначения здесь также легко понятны и мы на них не останавливаемся.
   Договоримся, что систему 0x01 graphic
(без индексов) мы будем называть "исходной". Итак, от исходной системы мы перешли к полной системе.
   Как уже говорилось, полную систему уже можно решать начинать -- результат будет правильный. Тем не менее, в этой системе присутствуют неопределенные множители Лагранжа, от которых стараются избавиться. Кроме того, некоторые из неизвестных исходной системы на самом деле уже известны -- они задают значения искомой функции на границе. Поэтому можно сделать следующий шаг -- редукцию полной системы.
   В результате редукции у нас останется система, в которой лишь 0x01 graphic
уравнений. В исходной системе, напомним 0x01 graphic
уравнений, а в полной -- 0x01 graphic
. Таким образом, при редукции каждое из уравнений связи используется для устранения одного из неизвестных и, кроме того, при проведении редукции мы избавляемся от множителей Лагранжа.
  

1.8 Редукция полной системы уравнений (третий шаг)

  
   Рассмотрим матрицу 0x01 graphic
размерности 0x01 graphic
. Это матричный оператор, выполняющие отображение из 0x01 graphic
-мерного евклидова пространства 0x01 graphic
в 0x01 graphic
-мерное эвклидово пространство 0x01 graphic
. Нуль-пространство матрицы 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
, а ортогональное дополнение к 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
. (Здесь для обозначений взяты латинские буквы "N" и "R" соответственно; шрифт -- "Blackadder ITC".)
   Напомним, что нуль-пространство матрицы 0x01 graphic
0x01 graphic
-- это пространство, содержащее все векторы 0x01 graphic
, для которых справедливо выражение 0x01 graphic
. Любой вектор из этого пространства, как следует из этой формулы, отображается матричным оператором 0x01 graphic
на нулевой вектор. Ортогональное дополнение к 0x01 graphic
, обозначаемое здесь 0x01 graphic
-- это пространство из множества векторов, которые ортогональны к любому вектору из 0x01 graphic
.
   Напомним, что 0x01 graphic
. Здесь знаком "0x01 graphic
" обозначена операция, которая называется "сумма подпространств". Иначе говоря, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
являются подпространствами евклидова пространства 0x01 graphic
и в сумме дают все 0x01 graphic
(0x01 graphic
-- ортогональное дополнение 0x01 graphic
до 0x01 graphic
).
   Используя более привычные для линейной алгебры термины, отметим, что пространство 0x01 graphic
-- это ни что иное, как пространство строк матрицы 0x01 graphic
или, что то же самое, пространство столбцов матрицы 0x01 graphic
.
   Обозначение "0x01 graphic
" -- от "null", а "0x01 graphic
" -- от "row" - "строка".
   Построим для каждого из подпространств -- для0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- базисы. По принятому соглашению все векторы у нас -- векторы-столбцы; это касается и базисных векторов. Все базисные векторы (и 0x01 graphic
, и 0x01 graphic
) имеют размерность 0x01 graphic
. Не путайте размерность используемых здесь базисных векторов с размерностями пространств! Например, если рассматривается евклидово пространство 0x01 graphic
(0x01 graphic
), то 0x01 graphic
может иметь размерность, например, девяносто, но векторы базиса 0x01 graphic
будут иметь сто компонент. Если говорить применительно к трехмерному случаю (0x01 graphic
), то это будет звучать так: из того, что нуль-пространство представляет из себя "одномерную" прямую, проходящую через центр координат, вовсе не следует, что вектор, задающий эту прямую, должен также иметь одну компоненту (прямая является "линейной оболочкой" вектора). Вектор будет иметь три компоненты.
   Далее, на основании построенных базисов в 0x01 graphic
и 0x01 graphic
построим две матрицы -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
соответственно. Матрица 0x01 graphic
образована из векторов базиса 0x01 graphic
, а матрица 0x01 graphic
-- из векторов базиса 0x01 graphic
. Обозначения достаточно понятны -- они указывают на связь с подпространствами.
   Любой вектор 0x01 graphic
евклидова пространства 0x01 graphic
можно представить в виде суммы линейных комбинаций векторов базиса 0x01 graphic
и векторов базиса 0x01 graphic
. Используя введенные обозначения, этот факт можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- "проекция" 0x01 graphic
на 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- "проекция" 0x01 graphic
на 0x01 graphic
.
   Вернемся к системе
   0x01 graphic
.
   Предположим, что мы уже вычислили 0x01 graphic
и 0x01 graphic
для 0x01 graphic
. Если вектор 0x01 graphic
имеет 0x01 graphic
компонент, а число уравнений связи равно 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
, напомним, будет иметь размерность 0x01 graphic
. Применительно к нашему случаю 0x01 graphic
будет иметь размерность 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
. Размерность 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
.
   Уравнение 0x01 graphic
системы позволяет найти вектор 0x01 graphic
. Подставим разложение 0x01 graphic
в это уравнение:
   0x01 graphic
.
   Выражение 0x01 graphic
-- ни что иное, как некоторый вектор, принадлежащий нуль-пространству 0x01 graphic
, полученный комбинированием базисных векторов 0x01 graphic
. Как было сказано, матричный оператор 0x01 graphic
отображает такой вектор на нулевой вектор 0x01 graphic
. То есть, 0x01 graphic
. Опуская нулевой вектор получим следующее уравнение:
   0x01 graphic
   Введем символ "0x01 graphic
" -- символ операции решения системы линейных алгебраических уравнений. Пусть 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
- вектор неизвестных. Тогда, используя введенный символ, будем писать: 0x01 graphic
.
   Договоримся, о том, что мы понимаем под решением системы линейных алгебраически уравнений с "численной" точки зрения: в том случае, когда 0x01 graphic
не является квадратной матрицей, под решением понимается решение по методу наименьших квадратов; если 0x01 graphic
-- квадратная матрица, то решение получается, например, методом исключения Гаусса. Для обозначения решения методом исключения Гаусса и решения по методу наименьших квадратов можно ввести различные символы, но мы ограничимся комментариями.
   Найдем из полученного уравнения 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
   Подставим выражение 0x01 graphic
в уравнение 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Второй член правой части -- 0x01 graphic
-- достаточно громоздок. Для упрощения последующих уравнений введем вектор 0x01 graphic
.
   Замечание. Если бы мы решали эту же задачу (двумерную) методом Галеркина (через переход к слабой форме уравнения в частных производных), то появление 0x01 graphic
было бы обусловлено наличием краевых условий Дирихле; именно от "Дирихле" мы и взяли 0x01 graphic
в нижнем индексе. Конец замечания.
   Итак,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Это уравнение выражает вектор всех переменных через вектор независимых переменных 0x01 graphic
и вектор-константу, учитывающий имеющиеся ограничения.
   Подставим это выражение для 0x01 graphic
в первое уравнение системы -- в 0x01 graphic
(далее не будем писать, что 0x01 graphic
зависит от 0x01 graphic
):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Уравнение 0x01 graphic
по-прежнему избыточно: хотя теперь в нем имеется вектор неизвестных 0x01 graphic
, в котором только независимые переменные, но множители Лагранжа по-прежнему остались. Для того, чтобы избавится от них, это уравнение необходимо умножить на 0x01 graphic
слева:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Как известно, 0x01 graphic
. Легко понять, что 0x01 graphic
-- нулевая матрица размерности 0x01 graphic
. В самом деле, каждый из столбцов матрицы 0x01 graphic
матричный оператор 0x01 graphic
отображает на нулевой вектор евклидова пространства 0x01 graphic
, так как, по построению, матрица 0x01 graphic
состоит из базисных векторов 0x01 graphic
. Соответственно 0x01 graphic
-- нулевая матрица, имеющая размерность 0x01 graphic
. После умножения 0x01 graphic
на вектор неопределенных множителей Лагранжа 0x01 graphic
(размерность 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
) мы получим нулевой вектор размерности 0x01 graphic
.
   В итоге мы пришли к следующему матричному уравнению (нулевой вектор опущен):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Полученная система не содержит ни зависимых переменных, ни множителей Лагранжа. Эта система состоит из 0x01 graphic
линейно независимых уравнений, которые позволяют определить вектор независимых переменных 0x01 graphic
.
   Данная система называется также редуцированной системой и может быть записана в виде
   0x01 graphic
,
   где, очевидно, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Индекс "r" -- от слова "reduced" -- "редуцированная".
   Напомним, что индекс "N" в 0x01 graphic
"образовался" от матрицы 0x01 graphic
, связанной с 0x01 graphic
, а не от константы 0x01 graphic
, которая задает общее количество неизвестных (зависимых и независимых).
   Отметим также, что если матрица 0x01 graphic
симметричная, то и матрица 0x01 graphic
симметричная; это же относится и к положительной определенности.
   Легко заметить, что в лучшем случае (если имеются только зависимости вида "переменная такая-то равна константе такой-то") независимые переменные при редуцировании системы окажутся перенумерованными. В худшем случае (если будут присутствовать зависимости вида "линейная комбинация неизвестных (с ненулевыми коэффициентами!) равна константе") дело будет значительно сложнее. Очевидно, что, решив редуцированную систему 0x01 graphic
и получив 0x01 graphic
, нам необходимо перейти от 0x01 graphic
обратно к вектору 0x01 graphic
, в котором будут иметься только "понятные и привычные" нам переменные с "понятными и привычными" номерами. Необходимая для этого формула уже имеется:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Если нас интересуют множители Лагранжа, то, зная 0x01 graphic
, мы можем их найти, например, по методу наименьших квадратов из уравнения 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
   При решении системы нелинейных уравнений мы начинаем с некоторого приближения вектора неизвестных. Будем обозначать решение системы 0x01 graphic
, а приближение этого решения на 0x01 graphic
-- том шаге итерационного процесса -- 0x01 graphic
. Начальное приближение, соответственно, будем обозначать 0x01 graphic
Этот вектор содержит "понятные и привычные" переменные (компоненты) с "понятными и привычными" номерами. Когда мы имеем дело с редуцированной системой переменных, то мы, очевидно, должны перейти от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
-- редуцированному начальному приближению (надеюсь, введенное обозначение достаточно понятно). Напомним, что вместо 0x01 graphic
в наших обозначениях мы можем писать 0x01 graphic
-- это одно и то же. Такой переход основывается на уже имеющейся формуле 0x01 graphic
. Мы имеем:
   0x01 graphic
,
   откуда получаем:
   0x01 graphic
.
   Решение ищется по методу наименьших квадратов.
   Для 0x01 graphic
-того приближения (приближения на 0x01 graphic
-том шаге), очевидно,
   0x01 graphic
.
  

1.9 Замечания по организации итерационного процесса

  
   Для определенности оговорим условия, при которых мы будем останавливать итерационный процесс в предположении, что текущий вектор неизвестных достаточно близок к решению.
   Есть два основных (в смысле их распространенности) критерия, по которым мы судим о том, что близко "подошли" к решению 0x01 graphic
:
   1. Можно считать, что мы близко подошли к 0x01 graphic
, если норма разности векторов неизвестных на 0x01 graphic
-том и 0x01 graphic
-ом шагах достаточно мала (меньше некоторого наперед заданного числа 0x01 graphic
или равна ему).
   Применительно к полной системе это можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Применительно к редуцированной системе --
   0x01 graphic
.
   Индексы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
указывают на связь с редуцированной или с полной системой уравнений соответственно. Заметьте -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- разные числа! О том, как именно вычисляется норма (как она называется), мы не уточняем
   Сразу виден недостаток такого подхода: из того, что "соседние" приближения решения 0x01 graphic
близки вовсе не следует, что мы находимся близко к 0x01 graphic
! Возможно, итерационный процесс просто медленно сходится (по крайней мере, на некоторой "плохой области", к которой эти приближения принадлежат). Следовательно, использовать данный критерий для остановки вычислений (по достижении нужного результата) нельзя, если нет дополнительных данных о скорости сходимости итерационного процесса; данный факт приводит к тому, что становятся необходимыми дополнительные исследования, которые не всегда имеет смысл проводить.
   2. Можно считать, что текущий вектор неизвестных достаточно хорошо аппроксимирует решение 0x01 graphic
, если норма вектора невязок системы уравнений 0x01 graphic
(при подстановке в систему данного вектора неизвестных) достаточно мала (меньше некоторого наперед заданного значения 0x01 graphic
или равна ему). Невязкой уравнения 0x01 graphic
, напомним, называется разность его правой и левой частей. Для полной системы этот критерий останова запишется так:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   а для редуцированной так:
   0x01 graphic
. 0x01 graphic
.
   Как и в предыдущем случае, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- разные числа! Индексы указывают на связь с полной или с редуцированной системой уравнений. По-прежнему, мы не конкретизируем, какая норма используется.
   Именно такой критерий и следует использовать при принятии решения о том, достаточно ли близко мы находимся к решению или нет, если мы не хотим проводить никаких дополнительных исследований.
   Итак, у нас имеется два "правильных" критерия -- для полной системы и для редуцированной. Какой из них использовать?! Ясно, что если система полная, то надо использовать критерий для полной системы -- зачем проводить редукцию только для того, чтобы найти норму невязки? Если же мы используем редуцированную систему, то для использования в этом случае критерия для полной системы дополнительные затраты невелики -- надо всего лишь найти множители Лагранжа.
   Давайте для определенности договоримся, что под критерием останова мы будем понимать критерий останова для полной системы -- даже если мы используем редуцированную систему. Ввиду этого соглашения критерий останова будем писать просто:
   0x01 graphic
,
   подразумевая при этом, что 0x01 graphic
.
   Итак, с учетом принятого соглашения, неопределенные множители Лагранжа придется вычислять -- для определения нормы невязки полной системы.
   Как было показано, для построения редуцированной системы на основании матрицы 0x01 graphic
необходимо построить матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. В том случае, когда 0x01 graphic
содержит строки только с одним ненулевым элементом такое построение выполнить очень просто. Данный случай может рассматриваться отдельно и иметь отдельную же численную реализацию. При этом, естественно, следует предусмотреть и общий случай -- когда строки 0x01 graphic
содержат несколько ненулевых элементов. В рассматриваемой нами задаче (и при рассмотрении краевых задач для уравнений в частных производных) такие "общие случаи", как правило, не возникают.
   Покажем, как можно построить матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
в простейшем случае. Предположим, что 0x01 graphic
имеет следующий вид:
   0x01 graphic
.
   В этом случае мы используем 0x01 graphic
чтобы сказать: такие-то переменные (вторая, третья и четвертая -- нумерация с единицы) равны таким-то константам.
   Для данного 0x01 graphic
матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
будет выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
  

1.10 Использование терминов механики при описании системы уравнений в матричной форме

  
   При описании систем алгебраических уравнений, записанных в матричной форме, по заведенной традиции часто используют термины из области механики -- даже в том случае, если никакой "механической" интерпретации имеющимся уравнениям придать нельзя.
   Так, если имеется система
   0x01 graphic
,
   то матрицу левой части 0x01 graphic
называют "матрица жесткости", а вектор правой части 0x01 graphic
называют "вектор нагрузки".
   Если данная система получена в результате минимизации без ограничений и мы хотим от минимизации без ограничений перейти к минимизации с ограничениями, то, как уже сказано, мы должны добавить к 0x01 graphic
вектор 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   В "механических" терминах 0x01 graphic
называют "вектор сил реакции" или даже просто "силы реакции".
   Аналогично, при решении слабой формы краевых задач (описываемых уравнениями в частных производных) методом Галеркина вдобавок к упомянутым векторам и матрице возникает "матрица масс".
  

2 Разбор примеров неправильной условной минимизации функционала

  

2.1 Операции над матрицами.

  
   Введем дифференциальный оператор 0x01 graphic
, который ставит в соответствие одной матрице другую, той же размерности, таким образом, что элементы последней матрицы образуются путем дифференцирования соответствующих элементов первой матрицы. Здесь под дифференцированием элементов понимается дифференцирование их по какой-либо одной из переменных (всех по одной и той же). Действие оператора 0x01 graphic
на матрицу 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
или 0x01 graphic
(предполагается, что компоненты матрицы -- функции от 0x01 graphic
). Итак, 0x01 graphic
, где компоненты 0x01 graphic
вычисляется по правилу 0x01 graphic
.
   Введем интегральный оператор 0x01 graphic
, который ставит в соответствие одной матрице другую, той же размерности, таким образом, что элементы последней матрицы образуются путем интегрирования соответствующих элементов первой матрицы. Действие оператора 0x01 graphic
на матрицу 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
или по аналогии с обычным интегрированием 0x01 graphic
(в качестве примера взято интегрирование по площади). Итак, 0x01 graphic
, где компоненты 0x01 graphic
вычисляются по правилу 0x01 graphic
.
   Напомним, что существует операция "умножения матрицы на число". При этом, чтобы получить результат, на данное число надо умножить все элементы матрицы.
   Введем операцию получения из матрицы вектор-строки, состоящей из всех элементов заданной строки исходной матрицы. Договоримся, что в результате данной операции будет получаться вектор-строка. Результат действия данной операции на матрицу 0x01 graphic
, когда надо получить 0x01 graphic
-тую строку данной матрицы, будем записывать в виде 0x01 graphic
. Символы "0x01 graphic
", стоящие в индексе, говорят о том, что берутся все элементы 0x01 graphic
-той строки матрицы 0x01 graphic
.
   Введем операцию получения из матрицы вектор-столбца, состоящего из всех элементов заданного столбца исходной матрицы. Договоримся, что в результате данной операции будет получаться вектор-столбец. Результат действия данной операции на матрицу 0x01 graphic
, в случае, когда надо получить 0x01 graphic
-тый столбец данной матрицы, будем записывать в виде 0x01 graphic
. Здесь символы "0x01 graphic
", стоящие в индексе, говорят о том, что берутся все элементы 0x01 graphic
-того столбца матрицы 0x01 graphic
.
   Введенные операции понадобятся нам в дальнейшем. С операцией "дифференцирования вектора" вы уже встречались.
  

2.2 Условная минимизация функционала для расчета магнитного поля в книге "Информатика и компьютерное моделирование в машиностроении"

  
   Рассмотрим пример неправильного изложения условной минимизации функционала для расчета магнитного поля с использованием конечноэлементного лагранжева базиса, приведенный в книге "Информатика и компьютерное моделирование в машиностроении". На эту книгу мы ссылаемся как на источник [НИКИТЕНКО1999]. В написании книги приняло участие пять авторов; в соответствии с алфавитом этот источник следовало бы обозначать как [ГРИНЧЕНКОВ1999], но мы оставили порядок авторов, соответствующий порядку, приведенному на обложке книги.
   Условная минимизация в [НИКИТЕНКО1999] рассматривается в главе 4 -- "Алгоритмы и программы расчета элементов электрических аппаратов на ЭВМ". Ошибки, которые имеются в этой главе, встретятся нам в дальнейшем при рассмотрении монографии [КОВАЛЕВ2001]. Глава 4 [НИКИТЕНКО1999], посвященная расчету магнитного поля, написана не О.Ф. Ковалевым, а рядом других авторов этой книги. О.Ф. Ковалеву в [НИКИТЕНКО1999] принадлежит глава, посвященная совсем другой теме. Возможно, именно из этой книги берут свое начало и ошибки в [КОВАЛЕВ2001].
   Сама глава 4 [НИКИТЕНКО1999] может служить иллюстрацией того, как будет выглядеть рассматривавшаяся нами минимизация в конечноэлементном лагранжевом базисе в том случае, когда в качестве базисных функций используются пирамидальные функции. В данной работе рассматривается не только вариационный метод расчета магнитостатического поля, но и метод Галеркина, основывающийся на переходе к слабой форме уравнения в частных производных для соответствующей краевой задачи; мы остановимся только на вариационном методе.
   Во-первых, функционал, для которого осуществляется минимизация (рассматриваем только двумерный случай) записан неправильно, то есть он отличен от функционала, взятого нами из книги [СИЛЬВЕСТЕР1986]. В последней книге функционал для двумерного случая, напомним, выглядит следующим образом (в наших обозначениях):
   0x01 graphic
.
   Напомним также, что мы имеем дело с нелинейным случаем.
   В книге [НИКИТЕНКО1999] исходный функционал, для которого производится минимизация, выглядит так (для нелинейного случая! Обозначения мы заменили на наши):
   0x01 graphic
.
   Это формула (4.168) из [НИКИТЕНКО1999, стр. 301]. Мы переименовали немые переменные 0x01 graphic
и 0x01 graphic
в первом и втором слагаемых выражения в скобках (в первом слагаемом переименовывали 0x01 graphic
, а во втором -- 0x01 graphic
). Здесь читатель встретился с 0x01 graphic
и уже, наверное, заинтересовался: что это такое? Интуитивно ожидается не какое-то 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
или 0x01 graphic
(может быть, просто 0x01 graphic
). Однако в этой формуле 0x01 graphic
-- константа! Это явствует из того, как с данным множителем в [НИКИТЕНКО1999, глава 4] обращаются дальше. Именно поэтому мы добавили к 0x01 graphic
индекс 0x01 graphic
(от "linear" -- "линейный"). Пусть индекс напоминает, что 0x01 graphic
данного функционала всюду -- величина, не зависящая от 0x01 graphic
. Иначе говоря, здесь предполагается, что среда линейная, хотя на самом деле заведомо известно, что она нелинейная. Невероятно! При взятии производных (при минимизации) с 0x01 graphic
поступают как с обычной константой; также нигде 0x01 graphic
не записывается как функция какой-то переменной.
   Вышеизложенные особенности позволяют догадаться, как получился данный функционал: это ничто иное, как функционал для линейных сред, только несколько необычно записанный! Покажем это.
   Как известно, для расчета магнитостатического поля вариационным методом в случае линейных (кусочно-линейных) сред необходимо осуществить минимизацию следующего функционала [СИЛЬВЕСТЕР1986]:
   0x01 graphic
.
   Выразим 0x01 graphic
через 0x01 graphic
(0x01 graphic
) и подставим в функционал:
   0x01 graphic
.
   Распишем 0x01 graphic
через квадраты его компонент :
   0x01 graphic
.
   Дальше обычно выражают компоненты вектора магнитной индукции через производные векторного магнитного потенциала и останавливаются, так как после этого можно сразу начинать минимизацию. Но мы двинемся дальше.
   Справедливо следующее выражение:
   0x01 graphic
.
   Чтобы убедиться в этом, достаточно взять определенный интеграл в правой части.
   Аналогично,
   0x01 graphic
.
   Подставим полученные выражения в функционал и получим:
   0x01 graphic
.
   Как и было обещано, мы получили формулу (4.168) из [НИКИТЕНКО1999, стр. 301]. Применив функционал для кусочно-линейных сред для случая нелинейных сред, все-таки логично ожидать, что авторы далее будут поступать так, как будто бы магнитная проницаемость все-таки зависит от вектора магнитной индукции и, наконец, укажут какова же эта зависимость в каждом из слагаемых функционала. Но они по-прежнему продолжают поступать так, как будто бы среда кусочно-линейная, то есть так, как будто бы указанной зависимости вовсе нет (смотри формулы (4.174), (4.175) и (4.176) из этого же источника).
   Подчеркнем: для функционала, связанного с кусочно-линейными средами нет необходимости делать подстановки 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Это вызовет только дополнительные сложности. Видимо, авторы просто хотели получить выражение, которое было бы похоже на "настоящий" функционал для нелинейных сред, взяв неподходящий для этого случая функционал для кусочно-линейных сред. Получив "похожее" выражение, они столкнулись с тем, что правильный ответ все равно не получится: ведь магнитную проницаемость все равно придется считать функцией вектора магнитной индукции (и, соответственно, векторного магнитного потенциала). Далее, наверное, кто-то случайно обнаружил, что если вопреки здравому смыслу считать, что среда кусочно-линейная, то ответ получается "правильный" (здесь нужны оговорки применительно к тому, что написано в источнике; они будут сделаны ниже; пока же читателю должно быть очевидно, что этот ответ годится только для кусочно-линейных сред!). Две ошибки скомпенсировали друг друга. Как уже говорилось, из ложных посылок может следовать все, что угодно - в том числе и правильные выводы-результаты.
   Наконец, когда "правильный" ответ получен, почему-то решили, что и его вывод был правильным.
   Поскольку "правильный" ответ получен, то далее, особо не задумываясь над тем, что по смыслу вывода этого ответа среда должна быть кусочно-линейной, эти же формулы стали применять и к нелинейным средам!
   Иначе говоря, авторы утверждают следующее: чтобы получить результаты минимизации неизвестно какого функционала (ведь он-то авторами не приведен!) для нелинейных сред, необходимо взять результат, полученный при минимизации функционала для линейных сред и поменять в нем магнитную проницаемость на ту, которую надо -- на нелинейную. Откуда это следует?! Результат получен правильный, но где же тот "правильный" функционал и "правильный" вывод?
   Есть, правда, еще одно соображение, как неправильным путем мог быть получен правильный ответ. Процитируем [НИКИТЕНКО1999, стр. 301], где, после введения пирамидальных базисных функций (глобальных) пишут:
   "Такой выбор интерполяционных функций первого порядка подразумевает постоянство индукции и удельного магнитного сопротивления на площади каждого треугольника".
   Возможно, авторы решили, что, хотя у нас среда и нелинейная, но, поскольку при проекции на базис из пирамидальных функций искомая функция -- векторный магнитный потенциал - получает кусочно-линейную аппроксимацию, из-за чего вектор магнитной индукции на каждом из конечных элементов, а, значит, и магнитная проницаемость, будут постоянным (вектор магнитной индукции получается из частных производных векторного магнитного потенциала), то можно а) при минимизации пользоваться функционалом для линейных сред и б) считать магнитную проницаемость на конкретном конечном элементе независимой от векторного магнитного потенциала в вершинах этого элемента. Это я оставлю без комментариев. Я все же думаю, что до такого дело не дошло. Неверность первого предположения очевидна. Что касается второго, то, напомним,
   0x01 graphic
, где 0x01 graphic
.
   Откуда
   0x01 graphic
.
   Из формулы видно, что производная от магнитной проницаемости зависит от 0x01 graphic
! Этому никак не мешает тот факт, что при аппроксимации векторного магнитного потенциала пирамидальными функциями 0x01 graphic
и на самом деле будет постоянным на всех конечных элементах.
   Я писал, что ответ следует считать "правильным" с оговорками. Дело в том, что авторы 4 главы [НИКИТЕНКО1999] проводят множество "локальных" минимизаций по отдельным конечным элементам, а "глобальную" минимизацию (взятие производных по всем переменным, которые мы все условно считаем независимыми -- смотри первый шаг) строят на основе множества "локальных" минимизаций. Иначе формулы (4.173-4.176) понять, видимо, никак нельзя. В главах про минимизацию без ограничений я уже делах замечание по этому поводу (смотри выше): у нас есть только одна "глобальная" минимизация, а никаких "локальных" минимизаций нет. Изложение минимизации без ограничений следует разбить на два этапа: минимизация в "общем виде" и методы сборки матриц и векторов, полученных на первом этапе. Упоминание о том, что у нас имеется конечноэлементный лагранжев базис можно сделать в самом конце первого этапа! Локальные же базисные функции и локальную нумерацию узлов следует вводить на втором этапе. При этом смысл делаемого не потеряется, а, наоборот, только прояснится. Мысль о том, что есть какая-то "локальная" минимизация может зародиться только при неправильном понимании того, что делается на втором этапе. На втором этапе, напомним, появляются локальные матрицы и векторы, на основе которых строятся (собираются) глобальные матрица масс и вектор нагрузки; при этом ни о какой минимизации в пределах одного отдельно взятого конечного элемента нет и речи! Авторы же 4 главы ведут минимизацию в границах одного отдельно взятого треугольного конечного элемента, а затем, на основе этой минимизации пытаются объяснить, как все получается в "глобальном масштабе". Именно в этих уравнениях -- (4.174-4.176) -- они обращаются с коэффициентом относительной магнитной проницаемости как с константой, из-за чего неправильно получается "правильный" результат. Чтобы результат стал правильным по-настоящему, надо перейти от локальной минимизации (которой на самом деле быть не должно) к "глобальной".
   Мы покажем, как обращаются с 0x01 graphic
в упомянутом источнике на примере формулы (4.175). При этом мы будем использовать наши обозначения и, чтобы не путать читателей, вместо несуществующей "локальной" минимизации будем вести правильную минимизацию -- по всем переменным в предположении, что все они независимые. Итак, производная в "общем виде" -- по переменной 0x01 graphic
будет выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   Далее продолжать нет смысла.
   Повторим, что в источнике [НИКИТЕНКО1999] есть минимизация по каждому отдельному конечному элементу. Перебираются все элементы и всякий раз, когда рассматривается конкретный конечный элемент, вся расчетная область представляется состоящей из одного этого элемента. При этом получается множество "маленьких", "локальных" функционалов. Их в наших обозначениях следовало бы записывать как 0x01 graphic
. Индекс 0x01 graphic
, напомним, -- номер конечного элемента. Авторы 4 главы приводят форму, связывающую минимизацию множества "локальных" функционалов и минимизацию "глобального" функционала. Мы тоже приведем эту формулу; при этом нам желательно использовать наши же обозначения. И тут возникает трудность: авторы 4 главы, по сути, ввели только глобальную нумерацию конечных элементов и узлов сетки; локальная нумерация вершин треугольных элементов отсутствует! Аналогично, эти авторы вводят только глобальные базисные функции (они у них названы координатными функциями - смотри стр. 301)! Смотри, например, рис. 4.28 на стр. 300 и формулу (4.170). Поскольку минимизация рассматривается авторами на примере "локальной" минимизации, то им потребовалось перенумеровать "глобально" всего три вершины одного треугольного конечного элемента. Причем вместо конкретных номеров они обозначили эти вершины буквами 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Когда дело доходит до рассмотрения "локального" функционала 0x01 graphic
, где имеет место локальная нумерация вершин, то эти вершины обозначаются теми же самыми буквами -- 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, и 0x01 graphic
! То есть, глобальными номерами! Очевидно, что если "наполнить" эти символы конкретным "цифровым" содержанием, то у нас в лучшем случае найдется лишь один конечный элемент, в котором локальные и глобальные номера будут совпадать. Естественно, в таких условия авторы не ставили вопрос о нахождении соответствия между локальными и глобальными номерами вершин, и не вводили функции 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(или их аналоги). При этом ничего толком изложить нельзя -- даже то, как, по их мнению, из "локальных" минимизаций получается минимизация глобальная; читатель уже видел, насколько важны эти функции при описании сборки. Нам придется проделать недоделанную работу за авторов. Итак, как это ни кажется странным, "локальные" функционалы есть, а локальной нумерации вершин и локальных базисных функций в 4 главе [НИКИТЕНКО1999] нет!
   Для точности сделаем замечание: то, что мы условно называем "локальным" функционалом 0x01 graphic
(и о чем говорим, что его нет!) в [НИКИТЕНКО1999, стр. 303] называется "вклад треугольника (то есть треугольного конечного элемента) 0x01 graphic
в общий функционал 0x01 graphic
". Но если внимательно посмотреть на формулы (4.174-4.176), где берутся производные по локальным переменным от этого "вклада", то становится ясно: это ни что иное, как "локальный" функционал. Как вы понимаете, поскольку такого функционала нет, то он не может вносить никакого вклада. Вклад вносят локальные матрицы масс и векторы нагрузки в глобальную матрицу масс и вектор нагрузки.
   Теперь, наконец, попытаемся записать формулу (в наших обозначениях). Перед этим, учитывая замечания, введем локальную нумерацию вершин для каждого элемента и локальные базисные функции. Введем столь необходимые функции 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Далее распишем более подробно "локальную" систему уравнений -- как если бы локальная минимизация в самом деле имела место:
   0x01 graphic
.
   Здесь, напомним, локальная матрица жесткости зависит от локального вектора неизвестных: 0x01 graphic
. Договоримся также, что (как и в "правильном" случае) локальный вектор неизвестных формируется по следующему правилу: 0x01 graphic
. Наконец, можно двинуться дальше:
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- количество треугольных конечных элементов; иначе говоря, авторы 4 главы предполагают суммирование по всем конечным элементам! Именно так!
   Внимательно присмотревшись к выражению 0x01 graphic
видно, что в числителе функционал локальный, но дифференцирование происходит по глобальной переменной! Это бессмыслица, но именно такую формулу дали авторы 4 главы. Это и неудивительно - ведь у них, как сказано, локальных неизвестных попросту нет. Похоже, что единственный способ придать этой формуле разумный вид -- перейти от глобальной переменной к соответствующей ей локальной и суммирование вести только по тем конечным элементам, для которых функция 0x01 graphic
имеет смысл, то есть для тех, для которых узел конечноэлементной сетки 0x01 graphic
действительно является вершиной. Мы уже знакомы с множеством таких элементов -- это множество 0x01 graphic
. Итак,
   0x01 graphic
.
   Чтобы двинуться дальше, давайте запишем производные через имеющиеся у нас локальные и глобальные матрицы - ведь в результате мы все равно должны получить систему алгебраических уравнений. Очевидно, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Отсюда:
   0x01 graphic
.
   Это уравнение содержит указание на то, каким образом следует осуществлять сборку 0x01 graphic
-той строки матрицы жесткости и вектора нагрузки.
   Для вектора нагрузки выражение получается сразу же (из членов, которые не умножаются на неизвестные):
   0x01 graphic
   Для матрицы жесткости все несколько сложнее:
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- индекс, связанный с локальными номерами вершин конечного элемента 0x01 graphic
.
   Из формулы видно, что слева стоят только "глобальные" индексы и неизвестные, а справа имеется "локальный" индекс 0x01 graphic
и локальные неизвестные. Избавимся от локального индекса и локальных неизвестных. Введем для каждого конечного элемента 0x01 graphic
множество 0x01 graphic
, состоящее из глобальных номеров узлов, соответствующих локальным номерам вершин элемента 0x01 graphic
. Такое множество формируется с помощью функции 0x01 graphic
; при этом 0x01 graphic
просто пробегает все возможные значения. В этом случае мы можем записать:
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- "глобальный" индекс, пробегающий все возможные значения из 0x01 graphic
.
   Ранее, при описании процедуры сборки матрицы жесткости, мы начинали с того, что рассматривали, как получается один-единственный элемент матрицы жесткости. В этом уравнении речь идет о целой строке сразу. Это значительно усложняет задачу: нам нужно опять вернуться к одному-единственному элементу; при этом, надо решить, как для следует группировать слагаемые. Ответ на этот вопрос нам уже известен: слагаемые надо группировать так, чтобы каждая группа слагаемых составляла 0x01 graphic
-- это, напомним, множество номеров конечных элементов, для которых глобальные узлы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
являются вершинами, лежащими (вместе) на одной из сторон. При этом 0x01 graphic
должно быть "ответственно" за номер строки в матрице жесткости, а 0x01 graphic
-- за тот или иной узел, смежный с узлом 0x01 graphic
(при этом, напомним, 0x01 graphic
может быть равно 0x01 graphic
).
   Чтобы получить правильный, привычный нам ответ, остается только перегруппировать слагаемые в последнем выражении, используя введенные нами множества 0x01 graphic
. Для этого нам будет необходимо ввести еще одно множество -- 0x01 graphic
; оно состоит из глобального номера вершины 0x01 graphic
и глобальных номеров всех вершин, смежных с этой вершиной. Итак,
   0x01 graphic
.
   Введение 0x01 graphic
вызвано тем, что выражения 0x01 graphic
должны быть "осмысленными" -- то, есть глобальный узел 0x01 graphic
на самом деле должен являться и локальной вершиной конечного элемента 0x01 graphic
.
   Из полученного выражения видно, что 0x01 graphic
. Если вершины 0x01 graphic
и 0x01 graphic
смежны либо тождественны, то сумма может быть ненулевой; в противном случае данный элемент матрицы жесткости равен нулю.
   Мы получили одинаковые выражения для вычисления матрицы жесткости и вектора нагрузки как при следовании правильным путем, так и неправильным. Видно, что авторы 4 главы, даже следуя неправильным путем, явно поторопились остановиться с выкладками. Из того, что они написали понять что-либо трудно. Напомним, они даже не ввели ни локальной нумерации вершин, ни локальных базисных функций. Такое изложение может только запутать. Напомним читателю, что из того, что мы получили правильный результат, вовсе не следует, что путь его получения был правильный.
   Итак, авторы 4 главы [НИКИТЕНКО1999]:
   -- Для минимизации взяли не тот функционал, который надо; при этом выкладки проводили с ошибкой, почему-то считая магнитную проницаемость в нелинейных средах постоянной.
   -- Вместо "глобальной" проводили множество "локальных" минимизаций, которых на самом деле быть не должно; иначе говоря, "минимизация в общем виде", без сборки матриц, изложена ими неправильно.
   -- Процедуру сборки матриц также изложили неверно, основываясь на "локальных минимизациях". При этом, даже несмотря на то, что, идя неверным путем, можно было получить верный результат, они остановились на таком месте, с которого дальнейшие выкладки ("неправильные") обозреть трудно, если заранее не знать, как нужно действовать правильно.
   -- "Выбросили" материал о том, что у нас имеется минимизация с ограничениями о том, каким образом эти ограничения надо учитывать, чтобы получился правильный результат.
   -- Наконец, они даже не упомянули о том, что интегралы, которые они используют при минимизации, есть интегралы Лебега, а не Римана! Это, видимо, вызвано тем, что они рассматривали только "локальную" минимизацию, где этот вопрос можно обойти. Тем не менее, в случае пирамидальных базисных функций (глобальных) мы имеем кусочно-линейную аппроксимацию искомой функции; при взятии производных на границах конечных элементов могут, в общем случае, быть разрывы; интеграл же Римана определяется только для непрерывных функций.
   Очевидно, что человек, просто разобравшийся в сборке матриц (даже не реализуя эти алгоритмы на практике! И даже действуя "неправильным" путем!), просто не смог бы при изложении алгоритма сборки ограничиться написанием формулы
   0x01 graphic
,
   не вводя при этом ни локальной нумерации узлов, ни локальных базисных функций.
   Если пытаться написать правильно работающую программу, то понимание того, как надо реализовать алгоритм сборки придет "естественным образом". В [НИКИТЕНКО1999] приведено описание программного комплекса для расчета магнитного поля; в этом комплексе должны быть и части, ответственные за сборку матриц. Как и следует ожидать из наличия в учебнике только "лаконичной" формулы0x01 graphic
, автор программы не является одним из авторов данного учебника - его имя дано в сносках.
  

2.3 Изложение условной минимизации функционала для расчета магнитного поля в монографии "Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах"

  
   При изложении минимизации функционала в [КОВАЛЕВ2001] используется оператор 0x01 graphic
, который, по сути, представляет из себя ни что иное, как несколько модифицированный оператор Гамильтона 0x01 graphic
. Напомним, что в результате действия оператора 0x01 graphic
, по нашему соглашению, получается вектор-строка. Если после применения оператора Гамильтона мы транспонируем результат, то получим в точности то, что дает применение оператора 0x01 graphic
. Итак,
   0x01 graphic
.
   Это наводит нас на мысль о том, что, по крайней мере для скалярных функций, следует ввести оператор 0x01 graphic
, который действует по правилу 0x01 graphic
и является просто иной записью оператора 0x01 graphic
-- записью через оператор Гамильтона. Оператор 0x01 graphic
вполне привычен для механики, но, для избежания путаницы, мы будем использовать "альтернативную" запись этого оператора - либо как 0x01 graphic
, либо через обычный 0x01 graphic
с последующим транспонированием результата.
   Обсудим подробнее, почему мы решили использовать либо 0x01 graphic
, либо 0x01 graphic
с последующим транспонированием. По аналогии с 0x01 graphic
кто-то может попытаться применить оператор 0x01 graphic
не только к скаляру, но и к вектору -- ведь этот оператор -- "брат" оператора Гамильтона. Вполне понятно, что такое 0x01 graphic
-- это дивергенция 0x01 graphic
. Но что такое 0x01 graphic
? По аналогии со случая для скаляра 0x01 graphic
можно договориться, что 0x01 graphic
, так как при транспонировании скаляра (матрицы размерности 0x01 graphic
) "ничего не происходит". Вполне понятно, что такое 0x01 graphic
-- это ротор 0x01 graphic
. Но что такое 0x01 graphic
? Опять придется договариваться. Пусть, как и раньше, 0x01 graphic
. Иначе говоря, если мы договорились, что при векторном произведении векторов у нас получается вектор-столбец, то при 0x01 graphic
у нас будет получаться вектор-строка (и наоборот).
   Кроме того, само обозначение данного дифференциального оператора, если сделать этот оператор применимым к векторам, может легко привести к ошибке:0x01 graphic
кто-то может начать вычислять по аналогии с 0x01 graphic
и записать 0x01 graphic
, хотя в этом случае 0x01 graphic
(равно числу компонент вектора 0x01 graphic
), так как это ничто иное, как дивергенция 0x01 graphic
.
   В связи с этим договоримся, что оператор 0x01 graphic
будет применяться только к скалярным величинам. Насколько это возможно, мы будем использовать вместо 0x01 graphic
привычный всем оператор Гамильтона 0x01 graphic
, выполняя при этом последующее транспонирование результата, либо 0x01 graphic
.
  
   Проведем минимизацию функционала так, как это делается в [КОВАЛЕВ2001], стр. 20, используя наши обозначения. При этом мы будем все расписывать гораздо подробнее, чем в оригинале. Заметьте, что О.Ф. Ковалев берет для минимизации функционал для линейных сред, в то время, как у нас среда заведомо нелинейная! С таким странным выводом мы уже встречались в [НИКИТЕНКО1999]. Как и в [НИКИТЕНКО1999] О.Ф. Ковалевым минимизируется не глобальный функционал, а некоторый несуществующий на самом деле локальный. Здесь мы будем минимизировать глобальный функционал. Итак, имеется исходный функционал ([КОВАЛЕВ2001], формула (1.2))
   0x01 graphic
.
   Вместо попытки вычислить произвольную компоненту 0x01 graphic
, мы вычисляем сразу все компоненты:
   0x01 graphic
.
   В вышеприведенной формуле мы "вносим оператор Гамильтона под знак интеграла". При этом -- заметьте -- происходит переход от обычных интегралов к "интегралам от матриц" -- то есть, к особым интегральным операторам, ставящим в соответствие одной матрице другую.
   Будем обращаться с 0x01 graphic
как с обычной производной (это надо делать "до определенных пределов" - помните, 0x01 graphic
-- это вовсе не обычная производная!):
   0x01 graphic
  
   Легко видеть, что 0x01 graphic
. Для этого надо расписать произведение векторов как сумму их компонент и взять от этой суммы градиент. Аналогично, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Зададимся вопросом: что будет, если в выражении 0x01 graphic
"двинуть" оператор Гамильтона дальше? Иначе говоря, верно ли выражение 0x01 graphic
? Здесь мы предполагаем, что в данном случае с оператором Гамильтона можно поступить как с обычной частной производной -- ведь, как легко видеть, 0x01 graphic
. К таким действиям нас подталкивает и правило дифференцирования произведения функции на константу: 0x01 graphic
(мы можем провести аналогию между константой 0x01 graphic
и 0x01 graphic
).
   Легко видеть, что использование таких аналогий приведет к неверному результату: на самом деле 0x01 graphic
, а не полученному ранее результату 0x01 graphic
. (Здесь 0x01 graphic
-- количество компонент вектора 0x01 graphic
.) Этот пример иллюстрирует то, что с оператором Гамильтона следует поступать осторожно. Он, конечно, дифференциальный оператор, но с ним нельзя поступать так, как будто мы берем обычную производную.
   Поясним, почему 0x01 graphic
. Вектор 0x01 graphic
-- это вектор, определенный для каждой точки евклидова пространства 0x01 graphic
такой, что 0x01 graphic
-тая компонента 0x01 graphic
равна в "конкретной" точке евклидова пространства 0x01 graphic
0x01 graphic
-той координате этой точки -- 0x01 graphic
. При взятии дивергенции берутся частные производные по координатам 0x01 graphic
-тым: 0x01 graphic
.
   Как правило, при введении оператора Гамильтона, сразу же предупреждают о тех опасностях, которые таит его использование. В том случае, когда речь не идет о хорошо известных формулах, результаты действий с оператором Гамильтона по образу обычного дифференцирования следует рассматривать лишь как "наводящие соображения" и обязательно выполнять проверку полученного результата.
   Вернемся к минимизации функционала. Итак,
   0x01 graphic
. Напомним, что на самом деле "интеграл" берется от суммы матриц и на самом деле это не привычный интеграл, а интегральный оператор, ставящий по определенному правилу одной матрице другую; 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
здесь скалярные множители, которые умножаются на вектора-строки 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
соответственно. Очевидно, вместо того, чтобы транспонировать конечный результат, можно транспонировать вышеупомянутые вектора-строки (при этом знаки транспонирования при этих векторах исчезнут, так как исходные вектора 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
будут транспонированы дважды и вернутся в "исходное состояние"):
   0x01 graphic
.
   Докажем следующее тождество: 0x01 graphic
. В результате действий в левой и правой частях тождества получаются некоторые вектора-столбцы. Для левой части 0x01 graphic
-тая компонента вектора-столбца (левого) выражается следующим образом: 0x01 graphic
. Для правой части вычисления несколько более сложные. Выражение0x01 graphic
-- это матрица размерности 0x01 graphic
; будем обозначать ее 0x01 graphic
; компонента этой матрицы 0x01 graphic
, очевидно, имеет следующий вид: 0x01 graphic
. Напомним, 0x01 graphic
-- индекс строки. Произведение 0x01 graphic
-той строки 0x01 graphic
на 0x01 graphic
представляет из себя 0x01 graphic
-тую строку вектора правой части и выглядит так: 0x01 graphic
. Это ни что иное, как иначе записанное уже знакомое нам выражение 0x01 graphic
. Таким образом, элементы векторов-столбцов левой и правой части исходного выражения совпадают. Следовательно, 0x01 graphic
.
   Аналогично можно доказать, что 0x01 graphic
.
   Подставим найденные нами тождества в уравнение:
   0x01 graphic
.
   Разобьем интеграл на два и приведем подобные слагаемые-матрицы (при векторе 0x01 graphic
):
   0x01 graphic
.
   Читатель может спросить: а почему мы решили проверять на истинность именно выражение 0x01 graphic
, а не какое-либо другое? На это есть два ответа: во-первых, нам уже известен ответ. Чтобы получить правильный ответ, необходимо, чтобы соблюдалось именно такое тождество. Во-вторых, поскольку у нас имеется два слагаемых - 0x01 graphic
-- вполне естественно было бы "привести подобные слагаемые". Единственным одинаковым "множителем" является 0x01 graphic
. Чтобы привести подобные слагаемые, вполне естественно пойти следующим путем: представить 0x01 graphic
в виде 0x01 graphic
и аналогичные действия выполнить над вторым слагаемым. После этого подобные слагаемые приводятся легко. Простой анализ показывает: чтобы при умножении чего-то на 0x01 graphic
получался вектор-столбец такой же размерности, как и 0x01 graphic
, необходимо, чтобы это "что-то" было квадратной матрицей 0x01 graphic
. Эта матрица, очевидно, должна получаться из произведения двух векторов 0x01 graphic
(при этом мы можем проводить операции транспонирования). Известна лишь одна подходящее произведение -- 0x01 graphic
, которое и "опробуется".
   Нам остается выполнить последнее преобразование. Если бы 0x01 graphic
было обычным интегралом, то 0x01 graphic
можно было бы легко вынести как константу. К сожалению, это не так, однако такой аналог подает нам идею: можно попытаться вынести 0x01 graphic
"из-под знака интеграла". На самом деле, конечно, речь идет о том, чтобы попытаться проверить на истинность тождество
   0x01 graphic
.
   Здесь, напомним, 0x01 graphic
-- интегральный оператор, ставящий в соответствие одной матрице другую. Отметим, что 0x01 graphic
-- это ни что иное, как уже встречавшаяся нам матрица 0x01 graphic
. Иначе говоря, необходимо доказать, что
   0x01 graphic
.
   В конечном счете, слева и справа получаются вектора-столбцы. Запишем выражения для 0x01 graphic
-тых компонент этих векторов и убедимся, что они совпадают.
   Для левого вектора результат можно записать сразу: 0x01 graphic
. Перейдем к вектору, получающемуся в левой части. Отметим, что его 0x01 graphic
-тая строка получается от умножения 0x01 graphic
-той строки матрицы 0x01 graphic
на вектор 0x01 graphic
. Нужная нам 0x01 graphic
-тая строка имеет следующий вид: 0x01 graphic
. В результате умножения ее на 0x01 graphic
получим 0x01 graphic
, то есть, выражение, аналогичное выражению в левой части. Таким образом, тождество доказано. Перепишем полученный результат, используя тождество:
   0x01 graphic
.
   Итак,
   0x01 graphic
,
   откуда получаем искомую систему алгебраических уравнений
   0x01 graphic
.
   Это есть ни что иное, как "исходная" система 0x01 graphic
, только несколько иначе записанная - с использованием "интегралов" от матриц. На основании вышеприведенной системы можно найти выражения для элементов матрицы жесткости и вектора нагрузки:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Результат совпадает с полученным ранее. Отметим, что выражения для отдельных элементов матриц в [КОВАЛЕВ2001] не приведены.
   Напомним, что мы рассматривали линейный случай. Как и в случае с 4 главой [НИКИТЕНКО1999], здесь предполагается, что достаточно рассмотреть линейный случай, а для перехода к нелинейным средам можно считать в полученном результате магнитную проницаемость функцией вектора магнитной индукции.
   На мой взгляд, изложение с использованием "интегралов" от матриц и оператора Гамильтона, "вносимого под знак интеграла" (с последующим транспонированием результата) является слишком сложным и мудреным. Непонятно, почему в [КОВАЛЕВ2001] решили пойти по такому пути. Следует заметить, что изложение этого пути в [КОВАЛЕВ2001] отличается такой же "лаконичностью", как и описание сборки матрицы жесткости и вектора нагрузки в [НИКИТЕНКО1999]. Мы приведем (в наших обозначениях) то, как этот вопрос освещен в [КОВАЛЕВ2001] (помните -- там описывается не глобальная минимизация, а локальная (множество локальных), которой на самом деле нет):
   0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   И все! Смотри [КОВАЛЕВ2001, стр. 20, ненумерованные преобразования между формулами 1.3 и 1.4]. При этом вместо знака "минус" почему-то стоит "плюс", а 0x01 graphic
-- квадрат скаляра -- записывается более сложным путем: 0x01 graphic
(видимо, в смысле 0x01 graphic
)
   Возможно, такая краткость вызвана тем, что для получения "правильного" результата пришлось бы действовать "неправильно" -- то есть, выводя формулы для нелинейного случая, странным образом "явно" считать магнитную проницаемость постоянной. Поэтому слишком подробное изложение привело бы читателя в замешательство.
   В результате получается множество уже упоминавшихся "локальных" функционалов 0x01 graphic
; все они минимизируются. После этого получается множество локальных матриц масс 0x01 graphic
и векторов нагрузки 0x01 graphic
. Так как О.Ф. Ковалев, видимо, считает, что и на самом деле имеется множество "маленьких" локальных минимизаций, то он записывает множество уравнений вида
   0x01 graphic
,
   где
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   (Смотри [КОВАЛЕВ2001], формула (1.4) на стр. 20; при этом почему-то опущена плотность тока 0x01 graphic
).
   Далее необходимо осуществить сборку глобальной матрицы жесткости и глобального вектора нагрузки. Вот как этот процесс описывается О.Ф. Ковалевым: "Полная система уравнений образуется путем суммирования систем уравнений (1.4) отдельных уравнений". Иначе говоря, глобальная матрица жесткости и глобальный вектор нагрузки получаются из множества локальных матриц жесткости и векторов нагрузки "путем суммирования". Причем, слова "путем суммирования" следует понимать буквально, то есть:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   При формуле (1.4) таких выражений нет, но то, что имеется в формулах (1.27) там же сомнений не оставляет -- именно так и надо понимать слова "путем суммирования"! Читатель видит, что это -- явная нелепость. Если количество конечных элементов, на которые разбита область больше, чем один, то в вышеприведенных формулах слева и справа попросту не будут совпадать размерности. Здесь можно сказать только одно: автор, написавший подобную бессмыслицу, попросту не представляет себе, как ведется сборка. Он не писал, по крайней мере, те части своего пакета прикладных программ, которые ответственны за сборку и даже не пытался разобраться в том, как эта сборка осуществляется.
   Сформировав таким странным образом то, что выше мы называли "исходная система", автор даже не говорит о том, что необходимо перейти от нее к редуцированной системе, произведя "учет" имеющихся ограничений.
   Интересно, как О.Ф. Ковалев пришел к такой странной "схеме" сборки матрицы жесткости и вектора нагрузки? В [КОВАЛЕВ2001] на стр. 19 есть "таинственная" фраза: "В силу свойства аддитивности функционал... возможно определить как сумму по отдельным конечным элементам". Может быть, отсюда? О величине, характеризующей нечто говорят, что она "аддитивная" если ее можно вычислить как сумму соответствующих величин, характеризующих составные части этого "нечто". Проще говоря, аддитивную величину можно выразить интегралом. Когда О.Ф. Ковалев говорит, что функционал аддитивен, он говорит о том, что его (функционал) можно рассматривать как интеграл по определенной области и этот интеграл можно вычислить как сумму интегралов по подобластям -- и больше ничего. С этим не поспоришь. Но из этого факта никак не следуют столь нелепые формулы сборки. Может быть, О.Ф. Ковалев выводит свои схемы сборки и даже само существование несуществующих "локальных" минимизаций из "своего понимания" аддитивности исходного функционала?
  

3 "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников"

  

3.1 Название метода содержит в себе противоречие

  
   "Метод конечных элементов (МКЭ)" заключается в том, что искомую функцию представляют в виде разложения по некоторому конечноэлементному лагранжеву базису. Вот собственно, и все. Но такое представление приближения искомой функции дает значительную выгоду -- при этом исходную задачу нахождения функции, неизвестной во всей области определения, можно (тем или иным способом) попытаться свести к задаче определения конечного числа коэффициентов разложения.
   Сказать только то, что используется "метод конечных элементов" -- это значит сказать мало. Необходимо указать контекст, в котором используется MKЭ -- ведь метод граничных элементов (МГЭ) -- это тоже, по сути, МКЭ, только в нем функция ищется "на границе" некоторой подобласти, а не в ней самой. В нашем случае "контекстом", в рамках которого упоминается "метод конечных элементов", является либо метод Галеркина в конечноэлементном базисе, либо некоторый вариационный метод (метод, минимизирующий функционал), также использующий конечноэлементный базис для представления искомой функции. Отметим, что метод Галеркина не обязан использовать конечноэлементный базис; это же относится и к вариационным методам.
   Метод Галеркина в качестве "отправной точки" предполагает наличие некоторой краевой задачи. Как правило, это задача ставится с использованием некоторого уравнения в частных производных. На первом шаге метода Галеркина происходит переход от исходной задачи к этой же задаче, но записанной в "слабой форме" с помощью интегральных уравнений. К сожалению, в случае расчета магнитного поля с помощью векторного магнитного потенциала у нас имеется "хорошее" уравнение в частных производных только для двухмерной задачи. Вариационный же метод в нашем случае универсален -- соответствующий функционал для минимизации имеется и в двухмерном и в трехмерном случаях. Поэтому далее метод Галеркина в конечноэлементном базисе рассматриваться не будет.
   Замечание. Запись краевой задачи в слабой форме иногда также называют "записью в вариационной форме". В данной работе такая терминология не используется. Мы будем говорить только "слабая форма краевой задачи". Конец замечания.
   Замечание. Подробный разбор решения задачи в "слабой форме" немедленно привел бы к необходимости ввода интеграла Лебега, соболевских производных и пространств Соболева (обобщенных производных и гильбертовых пространств), обсуждения того, что мы понимаем под решением слабой формы краевой задачи и как оно связано с "классическим" решением. Возникнет необходимость рассмотрения того, каким образом надо вести учет граничных условий Дирихле, Неймана и смешанных граничных условий и т.д. Конец замечания.
   Итак, под "МКЭ" будет пониматься вариационный метод, использующий для представления искомой функции конечноэлементный лагранжев базис. Под понятием "вариационный метод" мы подразумеваем именно "вариационный метод" -- то есть, минимизацию некоторого функционала, а не решение "слабой формы" краевой задачи.
   МКЭ находит решение задачи сразу во всех узлах сетки. Имеются методы, которые находят сначала распределение некоторой величины в ограниченных областях пространства (маленьких по сравнению со всем пространством, для которого производится расчет -- например, на определенных поверхностях или в сравнительно малых объемах) и затем, на основе найденного распределения некоторой величины (некоторых величин) ищется решение во всех остальных интересующих нас точках пространства. Таковы, например, упоминавшийся метод граничных элементов (MГЭ) и метод вторичных источников (МВИ). В таких методах и в методах, подобных им, задача сводится к решению некоторого интегрального уравнения. Поскольку в [КОВАЛЕВ2001] МКЭ (более точно -- вариационный метод, использующий конечноэлементный базис) комбинируется с МВИ, то мы остановимся сейчас на МВИ подробнее.
   В МВИ необходимо осуществить переход от исходной задачи, в которой присутствуют микроскопические источники поля к задаче такой, в которой микроскопические источники поля отсутствуют, а присутствуют только макроскопические. При этом мы переходим также от задачи расчета поля с "обычными" материалами, способными электризоваться и намагничиваться, причем, возможно, нелинейно, к задаче расчета поля в среде с электрическими и магнитными свойствами вакуума. При переходе дополнительные макроскопические источники поля вводят таким образом, чтобы в задаче, к которой мы переходим, сохранялось некоторое поле, тождественное полю исходной задачи. К сожалению, здесь не идет речь о сохранении тождества всех полей, характеризующих электромагнитное поле. Например, если мы рассматриваем магнитостатическую задачу, то можно сохранить либо 0x01 graphic
, либо 0x01 graphic
, но не оба поля сразу.
   Для того, чтобы осуществить упомянутый переход, необходимо вычислить распределение "дополнительных" источников поля путем решения определенной системы интегральных уравнений (эти интегральные уравнения и составляют "суть" МВИ). Наконец, после того, как необходимое распределение источников поля найдено, мы с легкостью можем выполнить требуемый переход к расчету поля в среде со свойствами вакуума, но с "дополнительными" источниками.
   Эти "дополнительные" макроскопические источники поля получили название "вторичных источников". Это же название носит и сам метод.
   Поскольку теперь все источники поля (и первичные и вторичные) известны, мы можем найти поле в любой точке "интегрированием по источникам поля".
   К вторичным "источникам поля", которые остаются в среде со свойствами вакуума относятся следующие: объемные и поверхностные токи, объемные электрические и (фиктивные) объемные магнитные заряды; простые и двойные слои электрических зарядов; простые и двойные слои (фиктивных) магнитных зарядов; простые и двойные слои токов. И все. Отметим, что все эти источники -- макроскопические. В оригинале МВИ микроскопических вторичных источников попросту НЕТ!
   Замечание. "В оригинале" МВИ специально не подчеркивается то, что все "вторичные" источники -- макроскопические. Но он содержит "исчерпывающий перечень" источников, приведенный выше, из которого следует, что все вторичные источники -- макроскопические. Конец замечания.
   Замечание. Рассмотрим магнитостатическую задачу. При этом, как известно, поле 0x01 graphic
создается всеми токами, то есть, в 0x01 graphic
есть две составляющие: связанная с микроскопическими токами (молекулярными и "доменными") и макроскопическими токами ("обычными" токами проводимости и переноса). Интенсивность микроскопических источников магнитного поля характеризуется вектором намагниченности 0x01 graphic
. Помимо 0x01 graphic
, существует другой вектор, описывающий магнитное поле -- 0x01 graphic
. Это вектор специально "формируется" так, что в нем "учитывается" влияние только макроскопические источников (в случае магнитостатической задачи, напомним, 0x01 graphic
; здесь справа стоят макроскопические токи). Между тремя упомянутыми векторами имеется связь
   0x01 graphic
.
   В простых случаях (которые обычно и рассматриваются в курсе теоретической электротехники) с достаточной степенью точности полагают, что
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
-- коэффициент магнитной восприимчивости, который, вообще говоря, нелинеен.
   Из двух последних уравнений легко получить
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- это ничто иное, как относительная магнитная проницаемость 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Как правило, мы имеем дело с нелинейной зависимостью 0x01 graphic
, а не нелинейной зависимостью коэффициента магнитной восприимчивости.
   Конец замечания.
   Повторим еще раз -- все источники поля в МВИ (точнее говоря после того, как мы применили МВИ) -- макроскопические.
   К сожалению, у О.Ф. Ковалева "свое" понимание МВИ. Так, в [КОВАЛЕВ2001], стр. 32 читаем: "Согласно положениям метода вторичных источников... нелинейные свойства сред представляются дополнительными источниками поля -- намагниченностью вещества".
   Во-первых, те источники поля, о которых тут говорит Ковалев -- это не "намагниченность вещества", а микроскопические источники поля -- молекулярные и "доменные" токи. А вектор намагниченности характеризует интенсивность упомянутых источников.
   Во-вторых, те "дополнительные источники поля", которыми "представляются нелинейные свойства сред" -- это не микроскопические, а макроскопические источники, перечисленные выше.
   И, в-третьих, говоря более точно, не "нелинейные свойства сред" "представляются" "дополнительными источниками поля", а происходит переход от задачи, в которой присутствуют кусочно-линейные и (или) нелинейные среды, к задаче, в которой имеется только среда со свойствами вакуума, но присутствуют дополнительные макроскопические источники поля, распределение которых таково, что некоторые из полей новой задачи тождественны соответствующим полям исходной задачи.
   Интересно, что при изложении МВИ на стр. 12 в [КОВАЛЕВ2001] говорится только о макроскопических источниках поля (поверхностных и объемных магнитных зарядах и поверхностных токах), а микроскопические источники, интенсивность которых характеризуется вектором намагниченности, не упомянуты. То есть, как бы получается два разных МВИ! Не значит ли это, что О.Ф. Ковалеву все равно - что же представляет из себя "оригинальный" МВИ на самом деле?!
   Напомним, что под "МКЭ" можно понимать две отличающиеся вещи -- метод Галеркина в конечноэлементном базисе и вариационный метод, использующий конечноэлементный базис. Чтобы отличать эти два разные "МКЭ" будем говорить далее о "МКЭ(Г)" и "МКЭ(В)" соответственно. Теперь перейдем к обсуждению того "комбинированного метода", который предложил О.Ф. Ковалев.
   О.Ф. Ковалев назвал свой метод "комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников", сокращенно -- "комбинированный МКЭ-МВИ". При этом он подразумевал "МКЭ(В)-МВИ". Первое недоразумение, связанное с названием, заключается в том, что если вы скажете просто "комбинированный МКЭ-МВИ", то человек, знакомый с расчетами с помощью этих методов магнитного поля, скорее всего предположит, что имеет место не комбинирование МКЭ(В) с МВИ, а комбинирование МКЭ(Г) с МВИ. Поясним, в чем тут дело. Как было изложено выше, при использовании МКЭ(В) функционал минимизируется во всей области (конечной), в которой нас интересует решение, а не в какой-то части области и решение при минимизации, соответственно, находится сразу во всем пространстве. Но если решение по методу МКЭ(В) находится сразу во всем пространстве, то к чему нам вообще нужен МВИ? Чтобы еще раз найти его? Зачем нам при этом определять "вторичные источники", если ответ и так известен через МКЭ(В)? Иными словами, МКЭ(В) "просчитает" сразу все подобласти, не оставив на долю МВИ ничего "неизвестного". Если МВИ комбинируется с МКЭ(Г), то, наверное, будет возможно определить отдельные области, за которые несет ответственность либо только МКЭ(Г), либо только МВИ. Но и здесь нас все равно ждет сюрприз: нам будет необходимо найти все вторичные источники! То есть, тот факт, что какая-то подобласть считается по МКЭ(Г) вовсе не означает, что нам будет необходимо находить меньше вторичных источников, чем при МВИ. Но если надо находить все вторичные источники, то зачем нам вообще нужен МКЭ(Г)? Возможно, впрочем, что комбинирование МКЭ(Г)-МВИ даст эффект в каких-то очень специализированных случаях, но в "общем случае" такое комбинирование выглядит нелепо. Комбинирование же МКЭ(В) с МВИ -- двойная нелепость. Здесь О.Ф. Ковалев, видимо, хотел создать что-то по аналогии с комбинированием метода конечных элементов с методом граничных элементов. Методы МКЭ и МГЭ действительно "комбинируются" хорошо. На роль "кандидата" в комбинирование О.Ф. Ковалев выбрал МВИ (вместо МГЭ) и, к сожалению, пришел к такому методу, у которого даже само название звучит странно.
   Итак, само название "комбинированный МКЭ-МВИ" звучит нелепо и настораживающее, если под МКЭ (В и Г) и МВИ понимать действительно обычные МКЭ (В и Г) и МВИ. И тут вполне разумно поднять вопрос: "а не понимает ли автор метода под названием "комбинированный МКЭ-МГЭ" что-то свое?".
  

3.2 В "комбинированном МКЭ(В)-МВИ" на самом деле нет вторичных источников

  
   Если мы внимательно просмотрим введение "комбинированного МКЭ(В)-МВИ" в [КОВАЛЕВ2001], стр. 32-25, то увидим, что конечные элементы там есть, а "вторичных источников" -- нет! Нет переформулирования исходной задачи (хотя бы для некоторой подобласти) в задачу для среды со свойствами вакуума, в которой присутствуют перечисленные выше "обычные" "вторичные источники". Под "вторичными источниками" О.Ф. Ковалев понимает, напомним, ни что иное, как микроскопические источники поля (молекулярные и "доменные" токи), интенсивность которых характеризуется вектором намагниченности! Смотри формулы (1.15-1.18) там же. В формуле (1.17), видимо, плотность микроскопических источников ("вторичных" в терминологии О.Ф. Ковалева) забыли проинтегрировать по площади. Разумеется, микроскопические источники можно назвать "вторичными" в том смысле, что они появляются в результате действия макроскопических источников, которые, в данном случае, осуществляют намагничивание. Но такое название всем привычных микроскопических источников только вводит в заблуждение.
   Итак, если какое-то "комбинирование" и имеет место, то метод, более правдоподобно, следовало бы назвать "комбинированный метод конечных элементов и микроскопических источников". Данное "комбинирование", как мы видим, заключается в простом применении формулы 0x01 graphic
для выражения магнитной проницаемости через вектор магнитной индукции и вектор намагниченности. Вряд ли такую простую подстановку можно назвать "комбинированием методов".
   Далее читатель, вероятно, ожидает, что О.Ф. Ковалев все-таки составил какое-то новое уравнение, в котором присутствует в качестве неизвестной функции распределение магнитной проницаемости 0x01 graphic
и предлагает найти сначала распределение 0x01 graphic
, а затем0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Читатель уже ожидает уравнение для 0x01 graphic
, в котором все остальные величины известны... Например, в [СИЛЬВЕСТЕР1986] решается аналогичная задача; там получается интегральное уравнение Фредгольма II рода. О.Ф. Ковалев, вероятно, вывел какое-то другое уравнение?
  

3.3 О.Ф. Ковалев забыл привести подобные слагаемые, выполнив "уничтожающие" друг друга подстановки -- это и есть суть его метода

  
   Действительность разочаровывает: если мы посмотрим [КОВАЛЕВ2001], стр. 35, формула (1.27), то увидим, что там магнитной проницаемости 0x01 graphic
... попросту нет! Магнитной проницаемости нет, а система уравнений подозрительно походит... на аналогичную для нахождения векторного магнитного потенциала. Куда делась 0x01 graphic
? Она могла деться только в одном случае - если, сделав подстановку 0x01 graphic
, О.Ф. Ковалев произвел... обратную подстановку, выразив 0x01 graphic
через 0x01 graphic
и 0x01 graphic
! Так и есть. Эта подстановка выполняется на стр. 34 -- смотри ненумерованную формулу между преобразованиями (1.22) и (1.23).
   Но, спросит читатель, если подстановки "уничтожают" друг друга, то почему же результат -- формулы (1.27) -- отличен от того, что мы получили, минимизируя функционал без всяких бессмысленных действий? Ответ поражает простотой: автор "комбинированного МКЭ-МВИ" попросту... не привел подобные слагаемые! На самом деле в формуле (1.27) есть описка (описка ли? об этом мы поговорим ниже). Если ее исправить, то неприведенные подобные слагаемые будут видны "невооруженным глазом" и вполне закономерно можно ставить вопрос: что это? Зачем эта нелепость?
   Таким образом, и "методом микроскопических источников" этот метод назвать нельзя. Ведь сначала они вводятся, а затем -- убираются! Единственное название, которое мне приходит на ум--- это "комбинированный метод бесполезных подстановок и неприведения подобных слагаемых" ("комбинированный МБПП-МНППС"). Отучают пользоваться такими методами еще в школе.
   Далее мы выведем формулу, аналогичную (1.27), используя открытый О.Ф. Ковалевым комбинированный МБПП-МНППС. Но сделаем это несколько иначе, чем делал сам О.Ф. Ковалев, ибо его вывод слишком путаный и неверный. Сделаем по этому поводу несколько замечаний.
   Во-первых, проекция на конечноэлементный базис выполняется после первой ненужной подстановки (1.15), а вторая ненужная подстановка (смотри ненумерованную формулу между преобразованиями (1.22) и (1.23)) выполняется уже не при самой неизвестной функции, а при ее проекции на конечноэлементный базис. Гораздо логичнее проекцию вектора неизвестных функционала на конечноэлементый базис выполнять тогда, когда преобразования функционала уже завершены, то есть, когда выполнены обе подстановки (и, разумеется, не сделано приведние подобных слагаемых).
   Во-вторых, как мы увидим далее, у нас будут выражения вида 0x01 graphic
, в которых "немая" переменная имеет физический смысл модуля вектора магнитной индукции. О.Ф. Ковалев проводил выводы не так строго и у него вместо этого выражения имеются выражения вида 0x01 graphic
, в которых "немая" переменная, очевидно, имеет физический смысл проекции вектора магнитной индукции на некоторую координатную ось. Правда, не оговаривается на какую, но легко понять, что эта ось должна быть сонаправлена с вектором магнитной индукции, то есть, мы приходим к тому же модулю вектора магнитной индукции. Однако то, что знак модуля явно не записан, запутывает дело.
   Из нашей формулы мы можем получить
   0x01 graphic
.
   Отсюда сразу видно, что если мы захотим разбить интеграл 0x01 graphic
на два интеграла (как это сделано у О.Ф. Ковалева), то это надо делать по-разному для разных сред: для диамагнетиков 0x01 graphic
, а для парамагнетиков и ферромганетиков 0x01 graphic
. Аналогично, дополнительный трудности возникнут и при обратной подстановке. Мы попытаемся избежать подобного усложнения вывода и сделаем обе подстановки под знаком модуля.
   В-третьих, используемая О.Ф. Ковалевым формула (1.24) неверна, а переход, который в ней делается, попросту не нужен, даже если его записать правильно. Остановимся на преобразовании (1.24) подробнее. Это преобразование предполагает, что, что выполняется равенство
   0x01 graphic
.
   Если попытаться записать то, что здесь делается внятно, то мы увидим, что это ни что иное, как неправильно и не до конца записанный переход, описываемый ниже.
   Вначале мы имеем 0x01 graphic
. Очевидно, что 0x01 graphic
. Введем функцию 0x01 graphic
такую, что 0x01 graphic
. Тогда можно записать, что
  
   0x01 graphic
.
   Наконец, сделаем подстановку 0x01 graphic
. При этом нижний предел останется прежним, а верхний изменится на 0x01 graphic
. В результате
   0x01 graphic
.
   При последнем переходе мы заменили одну "немую" переменную на другую.
   Итак,
   0x01 graphic
.
   Заметьте - справа используется 0x01 graphic
, а не 0x01 graphic
-- это две разные функции.
   О.Ф. Ковалев заимствовал эти преобразования в [CИЛЬВЕСТЕР1986], где они также не были доведены до конца. В последней книге предполагалось, что подобные преобразования упростят получение "конечной" системы уравнений. На мой взгляд, это не так. Рассматривая минимизацию функционала, мы легко обошлись без этих преобразований. Кроме того, после того, как минимизация завершена, все равно будет необходимо вернуться от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
, так как 0x01 graphic
-- достаточно непривычная функция. Использование подобных преобразований может окончательно запутать читателя. Кстати, О.Ф. Ковалев не делает никакого различия между этими двумя функциями; именно поэтому формула (1.24) неверна. Кроме того, поскольку преобразования не были завершены, формула (1.25), в которой берется производная от интеграла по верхнему пределу, выглядит слишком запутанно (в ней подразумевается, что выполнен аналог нашего перехода 0x01 graphic
).
   В-четвертых, при выводе О.Ф. Ковалев использует оператор 0x01 graphic
, то есть, применительно к нашим обозначениям, 0x01 graphic
, который он вносит под знак интеграла в выражении для функционала (а не расписывает 0x01 graphic
покомпонентно). Такой способ действий мы уже обсуждали. "Внесение 0x01 graphic
под знак интеграла" означает переход от обычных интегралов к интегральным операторам, действующим на матрицы, то есть ведет к появлению "интегралов от матриц". На мой взгляд, это только усложняет вывод. Как и в случае "простой" минимизации (без ненужных подстановок) О.Ф. Ковалев предельно лаконичен при выкладках, когда "работает" 0x01 graphic
.
   В-пятых (и это главное), после того, как мы уже осуществили минимизацию, результат минимизации функционала "препарированного" ненужными подстановками и несокращением подобных слагаемых можно записать сразу же, по сути, вообще не выполняя никаких вычислений.
   Итак, у нас имеется исходный функционал для минимизации
   0x01 graphic
.
   Физический смысл немой переменной 0x01 graphic
в подынтегральном выражении -- это модуль вектора магнитной индукции 0x01 graphic
, а смысл интеграла 0x01 graphic
-- плотность энергии, которая характеризует, сколько энергии надо затратить, чтобы привести малый объем пространства вокруг точки, в которой берется интеграл, в "конечное состояние" неким привилегированным способом.
   Воспользуемся первой составной частью метода бесполезных подстановок и неприведения подобных слагаемых -- методом бесполезных подстановок. В соответствии с этим методом, необходимо минимум две подстановки -- "прямая", и "обратная", которая уничтожает результаты первой.
   Подставим 0x01 graphic
в выражение для плотности энергии (осуществим первую бесполезную подстановку). При этом мы, заметьте, предполагаем, что 0x01 graphic
зависит от 0x01 graphic
.
   0x01 graphic
.
   Теперь надо выполнить вторую подстановку, которая "уничтожит" результаты первой. Из 0x01 graphic
получим 0x01 graphic
. Отсюда:
   0x01 graphic
.
   Здесь мы воспользовались второй составной частью комбинированного метода бесполезных подстановок и неприведения подобных слагаемых -- неприведением подобных слагаемых.
   Я думаю, поскольку 0x01 graphic
, нет нужды объяснять, почему
   0x01 graphic
   и почему можно записать
   0x01 graphic
.
   В итоге
   0x01 graphic
.
   Наконец, опять перейдем к "немой" переменной 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Автор этого комбинированного метода, видимо, еще недостаточно поиздевался над читателем, поэтому продолжим. Давайте сразу же аналитически возьмем интеграл, который прибавляется, а затем вычитается: 0x01 graphic
. Отсюда
   0x01 graphic
.
   Подставим найденное выражение в функционал. При этом он примет следующий вид:
   0x01 graphic
.
   Сокращений, разумеется, проводить не будем и далее -- как того и требует комбинированный метод. Это и есть то "препарирование" исходного функционала, к которое "открыл" О.Ф. Ковалев и которое в дальнейшем наведет его на мысль об его "оригинальной" итерационной схеме.
   Здесь мне хочется сделать отступление. Рассматривая минимизацию "без излишеств", мы видели, что О.Ф.Ковалев выбрал в качестве отправной точки рассуждения не тот функционал -- функционал для линейных сред, в результате чего ответ пришлось "подгонять". Здесь функционал выбран правильно -- для нелинейных сред. Итак, О.Ф. Ковалев берет два разных функционала для изложения, по сути, одного и того же, и получает одинаковый ответ. Разве это не должно его заинтересовать? Разве не должен он задаться вопросом: какой же функционал "правильный"? Ведь это легко проверить, проделав достаточно простые выводы. Легко убедиться, что функционал для линейных сред дает ошибки при попытке использовать его для нелинейных сред. Можно понять, если бы во всех местах был использован функционал для нелинейных сред. Но почему присутствует сразу два варианта -- верный и неверный? Не значит ли это, что О.Ф. Ковалеву попросту все равно какой из функционалов использовать? И не значит ли это, что он попросту неспособен проделать достаточно простые выкладки, а монографию писал, попросту "надергивая" формулы из разных "умных книг"? Но вернемся...
   Напомним, у нас уже достаточно знаний, чтобы сразу же записать результат минимизации данного функционала, не производя никаких вычислений.
   Как обычно, выполняем проекцию вектора неизвестных на некоторый базис, выполняем минимизацию, полагаем, что выбранный базис является конечноэлементным лагранжевым базисом, вводим локальные базисные функции и локальную нумерацию узлов для каждого конечного элемента и т.д. В результате при минимизации член 0x01 graphic
функционала приведет к появлению матрицы 0x01 graphic
(зависящей от вектора неизвестных -- 0x01 graphic
)) такой, что
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Здесь, напомним, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, то есть, 0x01 graphic
вычисляется "локально". Множество 0x01 graphic
формируется следующим образом: пусть глобальные узлы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
лежат на одном и том же "ребре" графа, образуемого конечноэлементной сеткой; тогда 0x01 graphic
состоит из индексов конечных элементов, для которых это "ребро" является также и одной из сторон.
   Член 0x01 graphic
приведет к появлению вектора 0x01 graphic
такого, что
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Осталось разобраться с незнакомым нам членом 0x01 graphic
(на самом деле у нас их два, с разным знаком). Разумеется, чтобы понять, какую матрицу даст этот член, можно действовать "напрямую". Но можно вспомнить, что 0x01 graphic
, то есть, что, по сути, мы имеем дело с членом 0x01 graphic
, а это "почти" уже встречавшееся выражение 0x01 graphic
-- только надо положить в нем 0x01 graphic
. Тогда мы можем сразу же записать результат: мы получим матрицу 0x01 graphic
, такую, что
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   В итоге мы придем к следующей системе уравнений:
   0x01 graphic
,
   то есть,
   0x01 graphic
   Здесь надо заметить, что у О.Ф. Ковалева выражения для локальных матриц имеют другой вид. Мы определяли матрицы, записывая, как будет выглядеть произвольный элемент матрицы. О.Ф. Ковалев определяет локальные матрицы через "интегрирование" других матриц. Мы уже встречались с таким подходом. Чтобы записать результаты в новом виде необходимо ввести (для каждого конечного элемента) матрицу
   0x01 graphic
.
   Тогда можно записать
   0x01 graphic
   Напомним, что у нас уже имеется вектор 0x01 graphic
и мы можем записать
   0x01 graphic
.
   Наконец, нам надо вычислить 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   К сожалению, записав эти выражения, О.Ф. Ковалев не указывает, как же все-таки будет выглядеть "отдельно взятый" элемент локальных матриц. Мы проделали эту работу самостоятельно.
   При проведении вышеизложенных выкладок О.Ф. Ковалев "по традиции" на самом деле ведет минимизацию некоторого "локального функционала". Мы не следовали этим путем. Еще раз напомним: на самом деле НЕТ никаких "локальных" минимизаций и соответствующих им уравнений 0x01 graphic
. Хотя О.Ф. Ковалев, по традиции, ведет изложение таким образом, будто бы они есть.
   Приведем полученные результаты "компактно". Если не использовать "интегралов" от матриц (как поступаем мы), то результат запишется так:
   0x01 graphic
,
   где
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Если используются "интегралы" от матриц, то
   0x01 graphic
,
   где
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Если мы откажемся от использования "метода неприведения подобных слагаемых" и все-таки приведем слагаемые, то получим то же, что получили при изложении безусловной минимизации без всяких "изощрений". Это свидетельствует в пользу того, что преобразования были сделаны нами правильно.
   Запишем в наших обозначениях то, что получил, пользуясь "методом бесполезных подстановок и неприведения подобных слагаемых" сам изобретатель метода - смотри [КОВАЛЕВ2001], формулы (1.27) на стр. 35:
   0x01 graphic
,
   где
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
.
   Первая строчка выглядит именно так как вы видели -- 0x01 graphic
! Перед 0x01 graphic
стоит минус, а 0x01 graphic
не вычитается. Тем не менее, улучшенный вариант метода -- смотри формулу (1.28) там же -- говорит о том, что это всего лишь описки. Так что давайте не будем придираться и запишем результат так:
   0x01 graphic
,
   где
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
.
   Как видим, локальные матрицы вычислены правильно, но сборка глобальных матриц на основе локальных ведется неправильным образом. Повторим: если у нас более одного конечного элемента (а сетка из одного конечного элемента -- нелепость), то в уравнениях, описывающих процесс сборки, левые и правые части даже будут иметь разную размерность.
   Еще раз отметим: такой фантастический алгоритм сборки наводит на мысль, что О.Ф. Ковалев, по крайней мере самостоятельно, не писал важнейшие части своего пакета прикладных программ и не пытался разобраться в том, как работают соответствующие части этого пакета. Человек, который писал сборку глобальных матриц самостоятельно, либо человек, который просто разобрался в том, как она ведется, никогда не посмел бы привести подобные нелепости. Если в книге [НИКИТЕНКО1999] еще как-то можно попытаться "реанимировать" имеющиеся формулы (чем мы и занимались), то эти формулы "реанимации" не поддаются.
   Далее О.Ф. Ковалев проделывает еще один странный и нелепый шаг: не осуществив переход к полной системе и последующую редукцию полной системы, он сразу начинает итерационный процесс, используя "исходную" систему! То есть, он поступает так, как будто бы имеет место безусловная минимизация, хотя на самом деле она условная! Мы не можем двигаться "так быстро". Итак, из исходной системы мы получаем полную, а из полной -- редуцированную:
   0x01 graphic
.
   Теперь надо заняться тем, чтобы подобрать для ее решения подходящую итерационную схему.
   Как видите, мы применяем "метод несокращения подобных слагаемых" до самого численного решения полученной системы!
   ДАЛЕЕ БУДЕМ ПОДРАЗУМЕВАТЬ, ЧТО РЕШАЕМАЯ СИСТЕМА -- РЕДУЦИРОВАННАЯ И ЗНАЧОК "r" В ИНЕДЕКСЕ ПРИ МАТРИЦАХ И ВЕКТОРАХ ПИСАТЬ НЕ БУДЕМ.
   Итак, нам необходимо решить (редуцированную) систему
   0x01 graphic
.
   Помните, что согласно изложению О.Ф. Ковалева надо "забыть" сделать переход к редуцированной системе! Может быть, О.Ф. Ковалев самостоятельно не писал и код, ответственный за редукцию системы, а, как говорилось, заимствовал программу, которая делала эту операцию тихо и незаметно для него?!
  

3.4 К итерационной схеме, предложенной О.Ф. Ковалевым, можно прийти более естественными путями, чем бесполезные подстановки и неприведение подобных слагаемых

  
   Для решения системы 0x01 graphic
О.Ф. Ковалев предлагает использовать вариант метода итераций. В общем виде метод итераций для решения системы 0x01 graphic
 задается формулой 0x01 graphic
. Этот метод использует так называемые "последовательные приближения". Перед тем, как запустить итерационный процесс, нам необходимо записать систему, эквивалентную исходной, в виде 0x01 graphic
. О.Ф. Ковалев предлагает сделать следующий переход к системе
   вида 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
   Итак, мы переходим к уравнению
   0x01 graphic
   И организуем итерационный процесс по правилу
   0x01 graphic
.
   Перепишем это же несколько иначе (О.Ф. Ковалев это преобразование не выполняет!):
   0x01 graphic
.
   Это и есть "новая" итерационная схема, предложенная Ковалевым. Человеку, знакомому с методом Ньютона и квази- методами Ньютона здесь все настолько ясно, что дальше и говорить не о чем: это квази- мтеод Ньютона для решения системы 0x01 graphic
, полученный из модифицированного метода Ньютона с помощью аппроксимации якобиана вектор-функции 0x01 graphic
матрицей 0x01 graphic
(впереди стоит знак минус - он нужен) с "отключенными" средствами глобализации сходимости. Пытаться удивить этим - это все равно, что требовать себе награды за открытие того факта, что "все мы говорим прозой". Квази- методы Ньютона, различные варианты метода итераций и их связь между собой будут рассмотрены далее.
   Вместо такого простого перехода, когда все становится ясно (в том числе и то, какой же должна быть матрица 0x01 graphic
, чтобы сходимость была наилучшей при заданных требованиях к сложности вычисления матрицы, аппроксимирующей якобиан), О.Ф. Ковалев выполняет другой переход -- он вводит матрицу 0x01 graphic
и пишет:
   0x01 graphic
,
   после чего организует итерационный процесс
   0x01 graphic
.
   При этом, он так и не дает ответа на вопрос: какой же должна быть матрица 0x01 graphic
?
   Как неявно следует из работы Ковалева [КОВАЛЕВ2001], к сложности вычисления 0x01 graphic
выдвигаются следующее требования: вычисление 0x01 graphic
не должно быть существенно сложнее вычисления матрицы жесткости 0x01 graphic
. Квази- методы Ньютона сразу же дают ответ на то, какова же должна быть 0x01 graphic
: матрица 0x01 graphic
должна равняться матрице 0x01 graphic
, то есть матрице жесткости, вычисленной для начального приближения 0x01 graphic
.
   Как видим, нам незачем использовать "комбинированный метод бесполезных подстановок и неприведения подобных слагаемых" вообще! Достаточно получить не нелепую систему 0x01 graphic
, а обычную 0x01 graphic
, редуцировать ее, после этого вообще забыть о какой-либо связи системы 0x01 graphic
(здесь она редуцированная; по договоренности индекса "r" писать не будем) c тем, как она была получена (может быть, она вообще -- пример, не имеющий никакой связи с реальностью) и затем начать решать ее указанным квази- методом Ньютона
   0x01 graphic
,
   то есть решать, опираясь только на знания в области численных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений.
   В дальнейшем мы увидим, что итерационная схема 0x01 graphic
легко может быть получена не только как квази- метод Ньютона, но и как вариант метода итераций (не "метода простых итераций", а более общего "метода итераций").
   Как было сказано, чтобы прийти к итерационной схеме, предложенной О.Ф. Ковалевым, не нужно строить сиcтему 0x01 graphic
, а достаточно обычной системы 0x01 graphic
. Иначе говоря, О.Ф. Ковалев пришел к итерационной схеме 0x01 graphic
не оттого, что он пытался сознательно построить определенный квази- метод Ньютона или определенным вариант метода итераций, а потому, что попросту... "забыл" привести подобные слагаемые, выполнив уничтожающие друг друга подстановки. Тут, правда впору усомниться -- действительно ли он пришел к схеме 0x01 graphic
случайно из-за незавершения преобразований или он проводил рассуждения специальным образом так, чтобы тот факт, что предположенная им итерационная схема -- всего лишь хорошо известный квази- метод Ньютона (или, что то же самое, вариант метода итераций) как можно меньше бросался в глаза.
   Еще раз отметим -- О.Ф. Ковалев не дает ответа на вопрос о том, каков же должен быть оптимальный (при заданных затратах ресурсов на его вычисление) 0x01 graphic
. Почему? Потому, что О.Ф. Ковалев этого не знает или потому, что, скажи он, что надо брать в качестве 0x01 graphic
0x01 graphic
-- и всем все станет ясно?
   Вернемся к 0x01 graphic
. О.Ф. Ковалев, как сказано, не сообщает, какова же должна быть эта матрица в общем случае -- когда имеется произвольная система нелинейных алгебраических уравнений 0x01 graphic
, безотносительно того, какова же была история ее получения. Вместо этого он дает лишь определенные рекомендации по выбору 0x01 graphic
на тот случай, если решалась задача расчета статического магнитного поля. Иначе говоря, предложенная итерационная схема даже не рассмотрена в "общем случае"! Это поистине удивительно. Каковы же рекомендации по выбору 0x01 graphic
? А вот какие (мы переписываем формулы, задающие сборку 0x01 graphic
):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   При этом, как пишет О.Ф. Ковалев в [КОВАЛЕВ2001], стр. 36: "Так как это поле является сильно отличающимся от истинного решения, то сходимость может оказаться неудовлетворительной". Под "этим полем" здесь подразумевается вектор 0x01 graphic
, который следует сделать как можно более близким к решению системы. "Сильно отличается" -- это еще слабо сказано! Ведь при вычислении 0x01 graphic
мы заменяем магнитную среду (в том числе ферромагнитную -- с относительной магнитной проницаемостью в десятки тысяч)... вакуумом с проницаемостью, равной единице! Поэтому неудивительно, что "сходимость может оказаться неудовлетворительной". Удивительно будет, если она окажется удовлетворительной!
   Итак, О.Ф. Ковалев дает лишь рекомендации по выбору 0x01 graphic
для расчета статического магнитного поля и при этом признает, что "сходимость может оказаться неудовлетворительной". А при наличии ферромагнетиков она, следует ожидать, таковой и будет. Иначе говоря, ценность таких рекомендаций -- ноль. Для "общего случая" можно попросту можно сказать, что 0x01 graphic
-- это "некоторая матрица"; а если мы рассчитываем магнитное поле -- то можно еще добавить, что когда мы берем 0x01 graphic
и присутствуют ферромагнитные материалы, то следует ожидать плохой сходимости. Хороши рекомендации!
   Это и есть метод расчета статического магнитного поля на основе минимизации функционала, предложенный О.Ф. Ковалевым.
   Мы несколько видоизменим этот метод.
   Итак, мы имеем систему
   0x01 graphic
   Представим 0x01 graphic
в виде
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
-- некоторая постоянная матрица, а 0x01 graphic
-- "переменное дополнение" 0x01 graphic
до 0x01 graphic
. Далее под 0x01 graphic
мы будем понимать ни что иное, как 0x01 graphic
. Тогда
   0x01 graphic
.
   Итак, предложенное О.Ф. Ковалевым уравнение для организации итерационного процесса можно записать в виде
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Такую запись мы будем использовать в дальнейшем. Соответственно, итерационная схема запишется следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Вы снова видите -- чтобы получить такую схему, не надо "мучиться" с "методом бесполезных подстановок и неприведения подобных слагаемых". Достаточно минимизировать функционал, перейти к полной системе и редуцировать ее. Далее, для вполне обычной редуцированной системы (индекс, напоминающий о том, что система -- редуцированная не пишем)
   0x01 graphic
   следует выполнить разложение 0x01 graphic
и разрешить систему относительно 0x01 graphic
, в результате чего получается та же самая система
   0x01 graphic
   и, соответственно, тот же самый (только несколько иначе записанный) итерационный процесс
   0x01 graphic
.
   Итак, предложенный О.Ф. Ковалевым "новый" "комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников", грубо говоря, не имеет никакого отношения ни к конечным элементам, ни к вторичным источникам -- даже в том странном понимании вторичных источников, которое предложил автор метода (он называл вторичными источниками микроскопические источники). Этот метод полностью относится к области численных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений.
   Таким образом, следует отделить "бузину в огороде" от "дядьки в Киеве". Повторим: все, написанное О.Ф. Ковалевым про минимизацию функционала для расчета статического магнитного поля попросту не нужно, так как метод, предложенный им, целиком относится к численным методам и может рассматриваться безотносительно того, как была получена исходная система 0x01 graphic
. Именно так -- система 0x01 graphic
, а не система с неприведенными подобными слагаемыми, которая выглядит анекдотично.
  

3.5 Улучшение "постоянной" матрицы (прекондиционер), предложенное О.Ф. Ковалевым не годится для "общего случая"

  
   Далее мы рассмотрим улучшение исходного метода, предложенное О.Ф. Ковалевым для расчета магнитостатических задач.
   Формулу
   0x01 graphic
   можно записать так
   0x01 graphic
.
   Член 0x01 graphic
можно рассматривать как некое начальное приближение 0x01 graphic
, которое корректируется в ходе итерационного процесса. Так О.Ф. Ковалев и делает. Иначе можно сказать, что 0x01 graphic
следует рассматривать как некоторое 0x01 graphic
. О.Ф. Ковалев предлагает подобрать 0x01 graphic
так, чтобы 0x01 graphic
было близко к решению, в идеале -- чтобы 0x01 graphic
и было решением. Тогда коррекция, за которую ответственен второй член правой части 0x01 graphic
будет минимальна (если 0x01 graphic
-- решение, то, очевидно, 0x01 graphic
и мы получим решение за один шаг). Если требуется маленькая коррекция, то логично ожидать, что она будет выполнена за меньшее число шагов.
   Внимание! Хотя О.Ф. Ковалев говорит примерно то, что вы прочитали в предшествующем абзаце, однако, он не говорит о том, что, найдя нужную матрицу 0x01 graphic
, необходимо стартовать с 0x01 graphic
, предварительно вычислив его! Это странно. Таким образом, следует различать начальное приближение, с которого стартует итерационный процесс, и некий вектор, который мы могли бы вычислить как 0x01 graphic
. На самом деле Ковалев вычисляет, основываясь на эвристическом правиле, приведенном ниже, только 0x01 graphic
, а затем стартует, скажем, с нулевого начального приближения. Полное непонимание того, что происходит! Правда, как вы видите, если стартовать с нулевого начального приближения, то на первом же шаге мы придем к "0x01 graphic
", то есть, теперь, к "0x01 graphic
". Но мы не обязаны стартовать с нулевого начального приближения (хотя это и широко распространено, когда неизвестно, "откуда начать")! А с какого же начального приближения надо стартовать, если мы таким образом вычислили 0x01 graphic
Ковалев не говорит!
   Помните про это, когда мы обсуждаем предложенное им улучшение.
   Итак, для подбора близкого к решению начального приближения 0x01 graphic
необходимо, хотя бы приблизительно представить, каким будет 0x01 graphic
. Зная это, мы можем легко вычислить 0x01 graphic
и тем самым решим задачу поиска подходящего начального приближения и соответствующего 0x01 graphic
(отметим, что 0x01 graphic
рассматривается в рассуждениях О.Ф. Ковалева всего лишь как некое 0x01 graphic
, а не как приближение якобиана).
   Еще раз подчеркнем: Ковалев вычисляет только 0x01 graphic
, а стартует с произвольного начального приближения.
   Приведем цитату, в которой описывается эвристика для определения. 0x01 graphic
. В [КОВАЛЕВ2001] на стр. 36-37 приводится улучшение метода для случая расчета магнитостатического поля. На стр. 36 О.Ф. Ковалев толкует то, что он делает, в терминах "уменьшения вторичных источников" в правой части уравнения. Но, во-первых, мы такую терминологию отбросили как несоответствующую действительности, а, во-вторых, давно пора отказаться от "истории" того, как была получена система уравнений и говорить в терминах обычных численных методов. Так что здесь мы про "вторичные источники" упоминать больше не будем. Далее на стр. 37 пишется: "Известно..., что оптимально спроектированная электромагнитная система в большинстве случаев отвечает условию 0x01 graphic
... Таким образом, если при построении системы уравнений нелинейная среда характеризуется параметром 0x01 graphic
, а не 0x01 graphic
, то начальное (линейное) приближение решения будет соответствовать оптимальному магнитному режиму электромагнитной системы. При таком построении алгоритма расчет идеально спроектированной системы будет выполнен за первую же итерацию. В реальных случаях в силу распределенности характеристик поля строго выполнить условие идеальности не представляется возможным и с помощью вторичных источников будет выполнена коррекция неидеальности".
   Попытаемся сказать это же более ясно: как правило, разработчики проектируют электромагнитные устройства так, что они работают "на колене кривой намагничивания", то есть ферромагнитные материалы при работе устройства имеют магнитную проницаемость, соответствующую "колену" кривой намагничивания, которая описывает зависимость между векторами магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Мы можем надеяться на то, что рассчитываемое нами устройство также будет удовлетворять этому правилу (хотя бы приблизительно). Таким образом, мы можем сделать предположение о том, какова же будет магнитная проницаемость в каждом из конечных элементов (она будет приблизительно на колене кривой намагничивания, если проектировщик сработал хорошо), а, следовательно, мы можем собрать матрицу 0x01 graphic
, а затем определить, какому 0x01 graphic
эта матрица соответствует, по формуле 0x01 graphic
. Напомним, 0x01 graphic
при этом рассматривается как некоторое 0x01 graphic
. Поступая таким образом для определения 0x01 graphic
, мы, очевидно, выполняем линеаризацию задачи (смотри рис. 1.5б на стр. 36 [КОВАЛЕВ2001]; здесь ведутся рассуждения об "энергии вторичных источников", но на самом деле это -- ни что иное, как линеаризация).
   О.Ф. Ковалев предлагает брать в качестве магнитной проницаемости, на которую, как ожидается, спроектировано устройство, максимальную магнитную проницаемость -- 0x01 graphic
.
   Тут, однако, нас поджидает неудача: метод надо изложить надо так, чтобы он годился для "общего" случая. А в общем случае мы не можем надеяться на то, что нам заведомо будет известно что-либо такое, из чего мы можем найти "хорошее" начальное приближение способом, описанным О.Ф. Ковалевым. То есть, при расчете магнитостатической задачи мы, вообще говоря, не можем предполагать, что все ферромагнетики будут иметь магнитную проницаемость "где-то на колене кривой намагничивания". Таким образом, при обсуждении "общего случая" мы не можем надеяться на разработанное улучшение -- даже когда мы имеем дело с системой уравнений, полученной для решения магнитостатической задачи.
   Итак, в общем случае, при решении магнитостатической задачи, поскольку 0x01 graphic
рассматривается О.Ф. Ковалевым всего лишь как некоторое 0x01 graphic
, а не как аппроксимация якобиана, в рамках метода, предложенного О.Ф. Ковалевым о 0x01 graphic
, можно сказать только одно: это просто матрица, полученная следующим образом: 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- некоторый вектор, а какой -- точно неизвестно. В случае магнитостатической задачи можно сказать также, что 0x01 graphic
-- матрица линеаризованной задачи, в которой предполагается, что каждый конечный элемент имеет свою постоянную магнитную проницаемость -- от минимальной до максимальной, которая "предусматривается" средой. Какая же проницаемость должна быть, чтобы процесс сходился наилучшим образом (при заданных "вычислительных ресурсах" для определения 0x01 graphic
) -- неизвестно.
   Далее улучшение, предложенное О.Ф. Ковалевым, будет рассмотрено как прекондиционер -- то есть, как алгоритм выбора начального приближения, более подробно.
  

3.6 Окончательная формулировка численного метода, предложенного О.Ф. Ковалевым (с некоторыми изменениями) для "общего случая"

  
   Пока же мы можем записать "метод Ковалева" для решения "обычной" системы 0x01 graphic
 для "общего случая" таким образом: если у нас имеется система нелинейных алгебраических уравнений 0x01 graphic
, то надо ввести представление ("расщепление") матрицы 0x01 graphic
: 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- неизвестно какая "постоянная" матрица, и организовать итерационный процесс
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   В частном случае (заметьте -- сейчас мы предполагаем это только как частный случай, то есть, возможны и другие способы получения 0x01 graphic
), 0x01 graphic
можно получать следующим образом: 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- некоторый вектор неизвестных.
   Отметим еще раз: в предложенном методе неизвестно, какова должна быть 0x01 graphic
для того, чтобы сходимость метода была оптимальной; равным образом, если мы решили формировать 0x01 graphic
по правилу 0x01 graphic
, нам неизвестно, каким же должен быть оптимальный с точки зрения сходимости 0x01 graphic
.
   Метод налагает ограничение на сложность вычисления 0x01 graphic
: она должна быть на уровне сложности сборки матрицы жесткости 0x01 graphic
.
   Вышеприведенное определение имеет место для "общего случая". Если система 0x01 graphic
 получена при минимизации функционала энергии для решения нелинейной магнитостатической задачи с использованием конечноэлементного лагранжева базиса, то матрицы и векторы будут иметь следующий вид:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
(0x01 graphic
),
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
(0x01 graphic
),
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
(0x01 graphic
),
   0x01 graphic
.
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
  
   Здесь 0x01 graphic
-- это некоторое (неизвестно какое) распределение магнитной проницаемости над конечным элементом 0x01 graphic
. При этом в каждой точке конечного элемента 0x01 graphic
может принимать значение от минимального до максимального для данной среды. Это 0x01 graphic
можно представить в виде функции некоторого распределения 0x01 graphic
над данным элементом (то есть, по сути некоторой функции "локального" вектора неизвестных); 0x01 graphic
не обязательно должна быть константой для данного конечного элемента.
   Заметим: совсем неочевидно, что 0x01 graphic
, сконструированные таким образом (когда 0x01 graphic
принимает значения из диапазона от минимального до максимального для среды конкретного конечного элемента), приведут к получению оптимальной с точки зрения сходимости матрицы 0x01 graphic
: матрица 0x01 graphic
"в идеале" должна быть якобианом, а для вычисления якобиана надо брать частные производные в точке начального приближения.
   Напомним еще раз: создатель этого метода так и не указал правильно, как же надо собирать матрицы и вектор нагрузки; здесь мы исправили этот недостаток. Кроме того, он забыл указать, что после сборки матриц необходимо перейти к полной системе и осуществить ее редукцию. В результате получится система 0x01 graphic
 в которой все матрицы и векторы будут "редуцированными". То есть, ко всем матрицам и векторам следует, в соответствии с нашими обозначениями, приписать индекс "r".
   Далее (мы продолжаем изложение метода) редуцированную систему 0x01 graphic
 необходимо переписать в виде, удобном для использования "метода последовательны приближений"
   0x01 graphic
,
   и, наконец, организовать итерационный процесс
   0x01 graphic
.
   Еще раз напомним: теперь мы имеем дело с матрицами и векторами редуцированной системы.
   На этом мы закончим формулирование метода, предложенного О.Ф. Ковалевым. Как видно, мы записали его несколько иначе, чем этот делал автор, но суть осталась той же. Записывая метод иначе, мы "отделили" метод от "истории" того, как формируется исходная система уравнений и показали, что не имеет смысла проводить "странную" минимизацию, при которой делаются бессмысленные подстановки, а подобные слагаемые не сокращаются. Как видит читатель, для изложения сути метода нет смысла обращаться ни к методу конечных элементов, ни к методу вторичных источников.
   Сформулировав таким образом метод, мы все-таки должны ответить на вопрос: а какой же должна быть 0x01 graphic
, чтобы сходимость была оптимальной (при заданных ограничениях на сложность вычисления 0x01 graphic
)?. Этому вопросу посвящена следующая часть настоящей работы, в которой предложенная итерационная схема рассматривается с точки зрения квази- методов Ньютона и различных вариантов метода итераций.
  

3.7 Замечания

  
   Когда мы записываем систему 0x01 graphic
в виде 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, а затем переносим 0x01 graphic
в правую часть и получаем
   0x01 graphic
,
   то мы говорим, что просто готовимся записать исходную систему в виде, удобном для организации итерационного процесса. Иначе говоря, наши действия имеют отношение исключительно к области численных методов, а не к области построения математической модели.
   Когда аналогичным образом поступает О.Ф. Ковалев, то он говорит, что при этом меняются источники поля! (Появляются "вторичные источники".) Иначе говоря, он утверждает, что при переносе слагаемого в правую часть уравнения меняется математическая модель. Это достаточно странное утверждение. Если идти таким путем до конца, то следует признать, что математическая модель меняется и на каждом шаге итерационного процесса: ведь матрица 0x01 graphic
-- своя для каждого шага. Заметьте -- здесь мы фактически имеем дело с результатами "алгебраизации" математических моделей. Чтобы получить сами математические модели для каждого шага, необходимо восстановить их по результатам алгебраизации (которая подразумевает аппроксимацию), а это, из-за того, что мы имеем дело с аппроксимацией, можно сделать неединственным образом.
   Понятно, что математическая модель нам нужна только одна (в нашем случае это попросту исходный функционал). После ее получения мы выполняем алгебраизацию уравнений, описывающих эту модель и получаем систему нелинейных алгебраических уравнений (без несокращенных слагаемых!). Затем с этой системой "разбираются" численные методы.
   Мнение О.Ф. Ковалева о появлении новых источников поля, приведенное выше, очень странно.
   И в конце еще одно замечание. Мы видим, что добавление слагаемого и его последующее его вычитание образует, по мнению О.Ф. Ковалева новый метод. О.Ф. Ковалев добавлял и вычитал слагаемое, "связанное с расчетом магнитного поля". Но совершенно очевидно, что это может быть слагаемое, вообще никак не связанное с расчетами магнитного поля. Пусть, например, при вычислении слагаемого, которое добавляется, а затем вычитается, использовалась постоянная Планка и преобразования Лоренца. Мне хочется спросить читателя: образует ли добавление и вычитание такого слагаемого новый метод -- "комбинированный квантово-реляционный метод конечных элементов"? И сколько "комбинированных" методов можно создать таким образом?
  

4 Метод Ньютона и квази- методы Ньютона. Метод итераций и его варианты

  

4.1 Представление якобиана и гессиана через оператор Гамильтона

  
   При изучении теории поля, после того, как дано определение градиента, дивергенции и ротора, как правило, вводят оператор Гамильтона 0x01 graphic
, с помощью которого удобно представлять взятие градиента, дивергенции и ротора в декартовой системе координат. Кроме того, "квадрат" оператора Гамильтона в декартовой системе координат равен оператору Лапласа. В этой привычной всем области оператор Гамильтона действует либо на скалярную функцию (получаем градиент скалярной функции), либо на вектор; в последнем случае -- либо по правилу скалярного умножения вектора на вектор (получаем дивергенцию вектора), либо по правилу векторного произведения векторов (получаем ротор вектора).
   В области, связанной с изучением метода Ньютона и квази- методов Ньютона, оператору Гамильтона находится еще одно применение -- здесь, по сути, вводится операция взятия градиента от вектор-функции; эта операция, как вы догадались, также может быть записана с помощью оператора Гамильтона. Упомянутая операция -- ни что иное, как всем известное взятие якобиана от вектор-функции.
  
   Представление якобиана как "градиента" вектор-функции
   Пусть у нас имеется функция 0x01 graphic
, зависящая от переменных 0x01 graphic
, из которых можно образовать вектор-столбец 0x01 graphic
. Тогда сокращенно можно записать: 0x01 graphic
. Как обычно, градиент 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
. Напомним, что по используемой нами договоренности все векторы, если явно не оговорено иное, суть вектора-столбцы; при этом мы особо оговорили, что градиент функции -- это вектор-строка.
   Образуем из малых приращений 0x01 graphic
вектор 0x01 graphic
.
   C учетом введенных обозначений полный дифференциал 0x01 graphic
в точке 0x01 graphic
запишется следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Пока мы не сделали ничего особенного -- мы просто записали выражение для полного дифференциала в точке 0x01 graphic
в "векторной" форме.
   Что будет, если вместо 0x01 graphic
у нас будет вектор-функция 0x01 graphic
и нам захочется вычислить ее "полный дифференциал"? Под полным дифференциалом 0x01 graphic
, который мы будем обозначать 0x01 graphic
, очевидно, следует понимать вектор-столбец полных дифференциалов 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Зададимся вопросом, какова должна быть матрица, чтоб после умножения на нее справа вектора 0x01 graphic
мы получили в результате 0x01 graphic
? После недолгих раздумий становится понятно, что 0x01 graphic
-тая строка такой матрицы должна состоять из компонент градиента функции 0x01 graphic
. В символической форме этот факт можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
, как следует из вышесказанного, символически представляет не отдельный элемент вектора-столбца размерности 0x01 graphic
, а целую строку матрицы размерности 0x01 graphic
. Иначе говоря, если обозначить матрицу 0x01 graphic
0x01 graphic
, то 0x01 graphic
.
   "Символически" матрицу 0x01 graphic
можно рассматривать как результат действия оператора Гамильтона на вектор-функцию, но не по правилу взятия дивергенции, а по правилу, похожему на взятие градиента: 0x01 graphic
.
   Итак, мы вводим новую операцию -- взятие градиента от вектор-функции, используя для обозначения этой операции оператор Гамильтона 0x01 graphic
. Как известно, вектор есть частный случай вектор-функции; если вектор-функция -- обычный вектор, то его компоненты при вращении системы координат должны преобразовываться по определенным правилам. Как видим, очень легко запутаться, каким же образом должен действовать оператор Гамильтона на вектор или на вектор-функцию -- по правилу взятия градиента (разработанному нами сейчас), или по правилу взятия дивергенции. В простейшем случае, чтобы понять с чем мы имеем дело в том или ином уравнении -- с матрицей или со скаляром -- может быть вполне достаточно простого анализа размерностей. Тем не менее, все равно легко запутаться. Договоримся, что когда мы берем градиент от вектор-функции, то над оператором Гамильтона будем ставить "черточку": 0x01 graphic
. Оператор 0x01 graphic
действует на непосредственно стоящую за ним вектор-функцию (либо выражение в скобках, которое дает вектор-функцию). В результате действия оператора на вектор-функцию размерности 0x01 graphic
получается матрица размерности 0x01 graphic
.
   С учетом введенных обозначений можем записать:
   0x01 graphic
.
   Если мы распишем покомпонентно матрицу 0x01 graphic
, то увидим, что она -- ничто иное, как якобиан 0x01 graphic
.
   Мы пришли к тому, что якобиан (от вектор-функции) можно представить в виде градиента вектор-функции, а вычисление якобиана можно "естественным образом" символически обозначать действием оператора Гамильтона на упомянутую вектор-функцию:
   0x01 graphic
.
   Часто бывает необходимо выполнить обращение якобиана, то есть, найти матрицу, обратную якобиану (в конкретной точке). Вычисление якобиана с его последующим обращением обозначают следующим образом: 0x01 graphic
. Применительно к введенной операции 0x01 graphic
, операцию вычисления якобиана и его последующего обращения по аналогии будем обозначать 0x01 graphic
. Итак,
   0x01 graphic
.
   Обозначения взятия якобиана через оператор Гамильтона позволяет обойтись меньшим числом скобок, которые "загромождают" выражения.
  
   Представление взятия гессиана (хессиана) как действия "оператора Гамильтона в квадрате" (0x01 graphic
).
   При проведении неограниченной минимизации функционала с помощью метода Ньютона удобно ввести операцию взятия "гессиана" (или "хессиана", в зависимости от того, как это слово предпочитают произносить) от функции ("скалярной"). В нашем случае, когда в результате действия оператора Гамильтона на скалярную функцию мы получаем градиент функции, записываемый как вектор-строка, гессиан -- это якобиан транспонированного градиента функции.
   Минимизируемый функционал будем обозначать символом 0x01 graphic
. Взятие гессиана от 0x01 graphic
обозначают 0x01 graphic
. В соответствии с данным определением,
   0x01 graphic
.
   Используя оператор Гамильтона, это же можно записать так:
   0x01 graphic
.
   Введем в дополнение к оператору 0x01 graphic
оператор 0x01 graphic
, который действует следующим образом:
   0x01 graphic
   При этом заранее оговоримся, что 0x01 graphic
, в отличие от 0x01 graphic
, действует только на скалярные функции. Иначе говоря, 0x01 graphic
-- это оператор взятия градиента от скалярной функции с последующим транспонированием результата. В предыдущих главах обсуждались вопросы, связанные с "расширением" действия этого оператора на вектор (скалярным и векторным "умножением" этого оператора на вектор); чтобы не умножать трудностей введением таких операций и не вносить путницу с аналогичными действиями оператора 0x01 graphic
, давайте договоримся, что 0x01 graphic
действует только на скалярные функции.
   С учетом нового оператора можно записать:
   0x01 graphic
.
   Будем обозначать оператор 0x01 graphic
символом 0x01 graphic
. Здесь можно провести аналогию с "квадратом" оператора Гамильтона 0x01 graphic
, который есть ни что иное, как оператор Лапласа 0x01 graphic
(разумеется, в декартовой системе координат). Условно можно сказать, что оператор 0x01 graphic
-- это "иначе вычисляемый" квадрат оператора Гамильтона. Здесь двойка в индексе "намекает" на "квадрат" (то есть на то, что необходимо применять оператор Гамильтона дважды), а 0x01 graphic
-- на необходимость транспонирования после первого применения оператора. Черточка напоминает нам, что второй раз оператор Гамильтона действует на вектор-функцию по правилу "взятия градиента".
  
   Более простое написание введенных операторов
   Вообще говоря, используя сокращения, вместо 0x01 graphic
можно писать просто 0x01 graphic
, а вместо 0x01 graphic
просто 0x01 graphic
; при этом, разумеется, необходимо следить за контекстом, чтобы не спутать первый оператор с привычным оператором Гамильтона (для которого не рассматривается его действие на вектор-функцию по правилу взятия от нее градиента), а второй оператор -- с оператором Лапласа.
   Итак, можно писать:
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
.
   Повторим: такое применение оператора Гамильтона имеет узкую область использования -- рассмотрение метода Ньютона и квази- методов Ньютона, так что всегда можно понять, о чем идет речь.
   Замечание. Можно договориться, что якобиан берется не от вектора-функции-столбца, а просто от упорядоченного набора функций, то есть, в том числе и от вектора-функции-строки. Поскольку важно упорядочивание, а не то, горизонтально или вертикально оно выполнено, то можно также договориться, что 0x01 graphic
, при применении его к вектор-функции-строке вначале автоматически транспонирует ее. В этом случае, поскольку "черточка" над оператором Гамильтона -- всего лишь "напоминание", 0x01 graphic
.
  

4.2 Метод Ньютона для систем уравнений

  
   Вернемся к формуле полного дифференциала для скалярной функции:
   0x01 graphic
   Предположим, что 0x01 graphic
в точке 0x01 graphic
не нуль. Насколько нам нужно сдвинуться с точки 0x01 graphic
(какой должен быть 0x01 graphic
), чтобы 0x01 graphic
? Используя вместо дифференциалов приращения можно получить следующее уравнение для определения 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Для приближенного определения 0x01 graphic
, очевидно, необходимо приравнять правую часть нулю:
   0x01 graphic
.
   Поскольку компонент 0x01 graphic
много, а уравнение одно, то однозначно 0x01 graphic
(если оно существует) мы определить не сможем. Но если у нас будет столько же уравнений, сколько и компонент 0x01 graphic
, то есть надежда, что искомый вектор определиться единственным образом.
   Вспомним, что мы имеем выражение, аналогичное 0x01 graphic
, но для вектор-функции:
   0x01 graphic
.
   Проведем для случая 0x01 graphic
аналогичные рассуждения. (Здесь 0x01 graphic
-- некоторый вектор) Предположим, нам нужно найти 0x01 graphic
такое, что при 0x01 graphic
0x01 graphic
. Мы можем записать (точно), что 0x01 graphic
. Переходя от полных дифференциалов к приращениям, получим приближенное уравнение 0x01 graphic
. Для приближенного определения 0x01 graphic
приравниваем правую часть нулю (нулевому вектор-столбцу):
   0x01 graphic
.
   Отсюда получаем:
   0x01 graphic
.
   При этом, разумеется, матрица 0x01 graphic
должна быть неособенной (невырожденной).
   Итак, при переходе от точки 0x01 graphic
к 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
мы ожидаем, что в последней точке 0x01 graphic
. Иначе говоря, мы ожидаем, что 0x01 graphic
-- решение системы уравнений 0x01 graphic
. Так бы и было на самом деле, если бы система 0x01 graphic
была линейной. Например, если 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
не зависит от 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
и 0x01 graphic
есть решение 0x01 graphic
. Здесь решение находится вне зависимости от того, каков вектор 0x01 graphic
. В случае нелинейной системы решение 0x01 graphic
мы можем получить таким образом только случайно, на что надеяться не следует. Дело в том, что градиенты 0x01 graphic
хорошо описывают поведение соответствующих нелинейных функций только вблизи точки, в которой они взяты (0x01 graphic
). В лучшем случае мы можем надеяться на то, что 0x01 graphic
лежит достаточно близко к решению 0x01 graphic
-- настолько, что 0x01 graphic
хорошо описывают поведение 0x01 graphic
по крайней мере в 0x01 graphic
-- окрестности 0x01 graphic
и поэтому, сместясь на 0x01 graphic
, мы приблизимся к решению в том смысле, что норма 0x01 graphic
будет меньше нормы 0x01 graphic
.
   Для определенности мы выберем квадратичную норму; на нее будет указывать нижний индекс "0x01 graphic
". Эта норма определяется следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Это ни что иное, как 0x01 graphic
-норма вектора-столбца, которая встретится нам позже, только иначе обозначенная.
   Итак, при определенных допущениях, мы можем надяется, что
   0x01 graphic
.
   Далее, если мы все еще далеки от решения (то есть, если норма выше пороговой), то мы можем повторять вышеописанные действия до тех пор, пока норма не станет меньше или равной пороговой. После этом мы будем считать, что находимся достаточно близко к "истинному" решению и наше приближенное решение может быть использовано при вычислениях вместо истинного с допустимой погрешностью.
   Итак, потенциально возможно много "шагов", в ходе которых мы будем приближаться к решению. Обозначим 0x01 graphic
, получаемое на 0x01 graphic
-ом шаге как0x01 graphic
. В таких обозначениях итерационный процесс Ньютона можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
   или
   0x01 graphic
.
   Для запуска итерационного процесса необходимо указать начальное приближение 0x01 graphic
. "Нулевого шага" у нас нет, нумерация шагов идет с единицы.
   По аналогии с методом Ньютона для минимизации функционала (который будет рассмотрен ниже) 0x01 graphic
называют "направлением спуска", хотя, как вы видите, на самом деле его было бы правильнее здесь назвать "направлением уменьшения нормы вектора-функции 0x01 graphic
".
   Приведенные выше соображения оказываются справедливыми. Условия, при которых данный итерационный процесс гарантированно сходится, приведены, например, в [ДЕМИДОВИЧ1966]. Предельно грубо говоря, они звучат так: "чтобы процесс сошелся, начальное приближение должно быть достаточно близким к решению". Подробное исследование сходимости итерационного процесса Ньютона приведено там же.
  

4.3 Метод Ньютона для минимизации функционала

  
   Пусть перед нами стоит задача безусловной минимизации функционала 0x01 graphic
. Для этой цели легко приспособить уже имеющийся метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений: условие минимума функционала0x01 graphic
, если рассматривать его покомпонентно, как раз дает нам систему в общем случае нелинейных уравнений.
   Чтобы получить вектор-функцию-столбец транспонируем левую и правую части равенства и получим систему 0x01 graphic
. Используя оператор 0x01 graphic
, эту же систему запишем как
   0x01 graphic
.
   Итак, система готова; теперь надо построить для нее итерационный процесс 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
будет, очевидно, выглядеть следующим образом: 0x01 graphic
. Оператор 0x01 graphic
нам уже встречался -- это оператор "получения" гессиана из функции, который мы также обозначали как 0x01 graphic
. Оператор, который берет гессиан, а затем выполняет его обращение, будем обозначать 0x01 graphic
. С учетом принятых обозначений итерационный процесс запишется так:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
   или
   0x01 graphic
.
   По определению 0x01 graphic
есть направление спуска в точке 0x01 graphic
для функционала 0x01 graphic
, если справедливо неравенство
   0x01 graphic
,
   то есть, если 0x01 graphic
имеет отрицательную проекцию на вектор градиента. Как видно из определения, для одной и той же точки 0x01 graphic
может быть множество направлений спуска.
   При безусловной минимизации функционала 0x01 graphic
в формуле 0x01 graphic
-- вектор, задающий "продвижение вперед" на текущем шаге итерационного процесса -- также называют "направлением спуска", даже в том случае, если при "продвижении" на 0x01 graphic
функционал на самом деле возрастет.
   Градиент функционала 0x01 graphic
хорошо описывает поведение функционала 0x01 graphic
в некоторой (малой) окрестности точки 0x01 graphic
. Если 0x01 graphic
-- направление спуска (это подразумевает, что 0x01 graphic
), то, двигаясь в направлении 0x01 graphic
, всегда можно найти точку, в которой функционал меньше, чем в исходной точке, для которой определен градиент: так как 0x01 graphic
, то если 0x01 graphic
сонаправлено 0x01 graphic
, по определению направления спуска 0x01 graphic
. Это же равенство должно сохраняться и в том случае, если вместо дифференциалов использовать достаточно малые приращения; то есть, неравенство 0x01 graphic
будет выполняться, если подобрать достаточно малое 0x01 graphic
.
   Именно из констатации этого факта, видимо, и пошло название "направление спуска".
   Выясним, при каких условиях направление 0x01 graphic
, вычисляемое по правилу 0x01 graphic
, является направлением спуска для функционала 0x01 graphic
в точке 0x01 graphic
"в действительности", а не только по традиции именования.
   По определению направления спуска должно выполняться неравенство 0x01 graphic
или
   0x01 graphic
   Напомним, если 0x01 graphic
-- положительно определенная матрица, то и 0x01 graphic
положительно определенная матрица. Отсюда следует, что для выполнения данного неравенства необходимо, чтобы 0x01 graphic
(обращенный гессиан) был положительно определен. Если матрица 0x01 graphic
положительно определена, то положительно определена и матрица 0x01 graphic
-- и наоборот; Таким образом, необходимым условием соблюдения неравенства является положительная определенность гессиана 0x01 graphic
.
   Выше мы переходили от задачи минимизации функционала (безусловной) к задаче решения методом Ньютона системы уравнений 0x01 graphic
. Возможен и обратный переход -- задаче решения методом Ньютона системы 0x01 graphic
можно сопоставить задачу минимизации (безусловной) некоторого функционала. Разумеется, функционал, который можно сопоставить системе 0x01 graphic
, неединственен. Тем не менее, системе 0x01 graphic
, как правило, ввиду его простоты, сопоставляют функционал
   0x01 graphic
.
   Если вектор 0x01 graphic
-- решение 0x01 graphic
, то он доставляет минимум (ноль) 0x01 graphic
и наоборот, если 0x01 graphic
доставляет минимум (ноль) 0x01 graphic
, то он должен являться решением системы 0x01 graphic
.
   При движении к минимуму функционала в ходе итерационного процесса мы одновременно уменьшаем норму 0x01 graphic
вектора-функции (системы) 0x01 graphic
.
   В дальнейшем нам понадобиться значение 0x01 graphic
для введенного выше функционала. Вычислим его.
   0x01 graphic
.
   Рассмотрим 0x01 graphic
-тую строку выражения 0x01 graphic
(вы, наверное, уже догадались -- 0x01 graphic
). Очевидно, эту строку можно записать так: 0x01 graphic
.
   Отсюда следует, что
   0x01 graphic
.
   Или, транспонируя левую и правую части,
   0x01 graphic
.
   Покажем, что при организации итерационного процесса для минимизации 0x01 graphic
мы получим тот же самый итерационный процесс, что и для решения системы 0x01 graphic
.
   Нам надо организовать итерационный процесс
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
   Иначе 0x01 graphic
можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Подставим 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Вычислим 0x01 graphic
. Напомним, что 0x01 graphic
-- это "постоянная" матрица, вычисляемая в точке 0x01 graphic
-- наподобие того, как в некоторой заданной точке вычисляется производная. После того, как обычная производная в точке вычислена, с ней обращаются как с обычной константой; аналогично происходит и в данном случае. Сказанное поясним следующим примером: пусть 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
, то есть 0x01 graphic
. Если мы хотим вычислить 0x01 graphic
в точке 0x01 graphic
(или какой-либо другой) то нам, очевидно, не надо вычислять вторую производную 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Последнее выражение мы можем записать и так: 0x01 graphic
. Иначе говоря, 0x01 graphic
-- это на самом деле 0x01 graphic
. Итак, мы выяснили, что 0x01 graphic
(0x01 graphic
) -- это "постоянная" матрица. Справедливо следующее тожество: 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- матрица, не зависящая от 0x01 graphic
. Данное тождество будет доказано ниже. Соответственно,
   0x01 graphic
   Как известно из курса линейной алгебры, 0x01 graphic
, поэтому
   0x01 graphic
.
   Учитывая произведенные преобразования, мы можем записать, что
   0x01 graphic
.
   Так как 0x01 graphic
, окончательно запишем:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Иначе говоря, мы пришли к исходному итерационному процессу по методу Ньютона для системы 0x01 graphic
, несмотря на то, что фактически производим минимизацию функционала 0x01 graphic
, составленного на основе системы 0x01 graphic
.
   Для того, чтобы вышеприведенное доказательство было полным, нам необходимо доказать тождество 0x01 graphic
.
   Запишем построчно выражения для матриц, получающихся слева и справа. Соответствующая 0x01 graphic
-тая строка якобиана
   0x01 graphic
.
   Найдем 0x01 graphic
-тую строку матрицы 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Как видим, матрицы слева и справа совпадают построчно; следовательно, тождество 0x01 graphic
доказано.
   При вычислении с помощью данного тождества мы действуем по аналогии с дифференцированием произведения константы на функцию.
   Как видно из вышесказанного, при конструировании "искусственного функционала" 0x01 graphic
мы фактически приходим к тому же итерационному процессу, что и при решении системы 0x01 graphic
, так как получаемое при минимизации функционала 0x01 graphic
выражение для "направления спуска" аналогично выражению для "направления спуска" (фактически -- "направлению уменьшения нормы 0x01 graphic
"), используемому при решении системы 0x01 graphic
, а именно: 0x01 graphic
.
   Выясним, является ли это 0x01 graphic
, используемое при минимизации функционала, "настоящим" направлением спуска -- то есть, выясним, действительно ли 0x01 graphic
при условии, что 0x01 graphic
-- ненулевой вектор (вектор-строка):
   0x01 graphic
.
   Итак, 0x01 graphic
. Это значит, что если 0x01 graphic
-- не решение 0x01 graphic
(и, соответственно, не глобальный минимум 0x01 graphic
), то 0x01 graphic
есть "настоящее" направление спуска, двигаясь вдоль которого (по крайней мере, на достаточно малое расстояние) всегда можно уменьшить функционал 0x01 graphic
.
   При выводе вышеприведенной формулы подразумевалось, что 0x01 graphic
должен существовать, то есть, что 0x01 graphic
неособенная (невырожденная матрица). Перечислим еще раз условия, которые обеспечивают то, что 0x01 graphic
является "настоящим" направлением спуска: 0x01 graphic
-- ненулевой вектор (иная формулировка этого же утверждения: 0x01 graphic
-- не решение системы 0x01 graphic
) и якобиан 0x01 graphic
-- неособенная матрица.
   Замечание. Не забывайте, что последние выводы этой главы мы делали для "особого" функционала, получаемого на основе уравнения 0x01 graphic
. Для других функционалов эти выводы не доказаны. Конец замечания.
  

4.4 Глобализация сходимости метода Ньютона

  
   Вернемся к методу Ньютона для решения систем 0x01 graphic
. Как было сказано, итерационный процесс
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
   сойдется, если начальное приближение 0x01 graphic
будет выбрано достаточно близко к решению 0x01 graphic
. При выборе 0x01 graphic
зачастую приходится действовать наугад. Часто в качестве 0x01 graphic
вообще выбирают "стандартный" нулевой вектор. При этом, естественно, вероятность того, что итерационный процесс сойдется, падает. При неудачном выборе мы можем попасть не на глобальный минимум, а на локальный; можем попасть в локальный или глобальный максимум или в седловую точку; можем попасть в "плохие" области, где очень медленная сходимость; этих областей мы могли бы избежать, если бы выбрали правильное приближение. Наконец, если мы находимся далеко от решения, после очередного шага итерации мы можем обнаружить, что невязка не уменьшилась, а, наоборот, -- увеличилась! Итак, при выборе плохого начального приближения прежде, чем мы окажемся достаточно близко к решению, в той области, где имеет место "хорошая" сходимость, нас подстерегает множество опасностей. Для того чтобы, повысить шансы на то, что итерационный процесс сойдется, используют так называемые "средства улучшения сходимости в глобальном масштабе" -- "global convergence tools". Хотя "средства" стоит во множественном числе, фактически речь идет об одном "средстве" -- о введении коэффициента, с помощью которого, по существу, можно регулировать длину шага итерационного процесса 0x01 graphic
(0x01 graphic
умножается на этот коэффициент). Этот коэффициент мы так и будем называть -- "коэффициент длины шага". Коэффициент длины шага обозначается, как правило, символом 0x01 graphic
. Коэффициент 0x01 graphic
принимает значения 0x01 graphic
.
   Смысл введения этого коэффициента заключается в том, чтобы не уходить от исходной точки "слишком далеко" -- в такую точку, где норма 0x01 graphic
окажется большей, чем в исходной точке.
   Введение 0x01 graphic
обосновывается следующим утверждением: двигаясь из точки 0x01 graphic
в направлении 0x01 graphic
(естественно, здесь подразумевается, что 0x01 graphic
-- ненулевой вектор) можно найти такую точку (0x01 graphic
), в которой норма 0x01 graphic
будет меньше, чем норма 0x01 graphic
в исходной точке. Обоснуем справедливость этого утверждения.
   Для начала заметим, что это утверждение не то же, что достаточно очевидное похожее утверждение для минимизации функционала. Оно, напомним, гласит: если двинуться вдоль направления спуска на достаточно малое расстояние, то можно прийти в точку, где функционал меньше, чем в исходной точке. Наше утверждение не столь очевидно; тем не менее, его доказательство основывается на использовании похожего положения для функционала, построенного на основе системы 0x01 graphic
.
   Построим функционал 0x01 graphic
на основе имеющейся системы 0x01 graphic
и запустим итерационный процесс для его минимизации:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (минимизируем 0x01 graphic
)
   Как было показано, направление спуска 0x01 graphic
на 0x01 graphic
- том шаге для такого функционала можно также записать следующим образом: 0x01 graphic
. Иначе говоря, 0x01 graphic
для минимизации функционала полностью совпадает с направлением спуска (направлением уменьшения нормы 0x01 graphic
) итерационного процесса Ньютона для решения системы 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, (решаем 0x01 graphic
)
   если при старте обоих итерационных процессов задать одинаковые начальные приближения.
   Предположим, оба итерационных процесса стартовали, используя начальное приближение 0x01 graphic
. Процесс минимизации функционала будем условно называть "первым", а процесс решения системы -- "вторым". Как было показано, если 0x01 graphic
не является решением 0x01 graphic
и если 0x01 graphic
-- неособенная (невырожденная) матрица, то 0x01 graphic
-- "настоящее" направление спуска, двигаясь вдоль которого (при этом не уходя от исходной точки слишком далеко) всегда можно найти такую точку, в которой функционал 0x01 graphic
будет меньше, чем в исходной точке 0x01 graphic
. Обозначим такую точку 0x01 graphic
; чтобы достичь 0x01 graphic
мы, очевидно, сдвинулись на 0x01 graphic
.
   Замечание. Всегда можно подобрать такое 0x01 graphic
, что 0x01 graphic
. Если функционал уменьшается при продвижении на 0x01 graphic
, то, очевидно, можно подобрать такое 0x01 graphic
, что функционал уменьшится при продвижении на 0x01 graphic
. Это следует из простого рассуждения: если градиент 0x01 graphic
достаточно хорошо описывает поведение функции на большем удалении, то он должен хорошо описывать поведение функции и на меньшем удалении. Коэффициенты длины шага, большие единицы, как правило, не рассматриваются: считают, что градиент функционала 0x01 graphic
на удалении, большем, чем 0x01 graphic
заведомо плохо описывает поведение функционала. Это предположение вполне разумно и оно используется в качестве эвристики. Конец замечания.
   Итак, при продвижении на 0x01 graphic
от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
функционал уменьшается: 0x01 graphic
. Но в соответствии с тем, как функционал определен, это значит, что при продвижении на 0x01 graphic
уменьшается норма 0x01 graphic
! То есть, 0x01 graphic
. Это значит, что перейдя в точку 0x01 graphic
мы "приблизимся" к решению системы 0x01 graphic
и при проведении второго итерационного процесса.
   Подытожим: ведя второй процесс и находясь в начальной точке 0x01 graphic
, всегда можно найти такое 0x01 graphic
, что, сдвинувшись с 0x01 graphic
на 0x01 graphic
, мы попадем в точку более близкую к решению в том смысле, что норма 0x01 graphic
там будет меньше, чем в исходной точке. Легко понять, что если найдено такое 0x01 graphic
(обозначим его 0x01 graphic
), то можно найти и 0x01 graphic
, удовлетворяющее этому же условию: для этого достаточно, например, взять 0x01 graphic
для первого итерационного процесса: при этом также будет иметь место неравенство 0x01 graphic
   Из сказанного ясно, что, проводя первый шаг "второго" процесса, нам нет нужды привязывать его к первому шагу "первого" процесса -- достаточно просто вести поиск 0x01 graphic
, который уменьшит норму 0x01 graphic
; таких 0x01 graphic
существует столько же, сколько и в первом процессе, а критерий поиска, ориентированный на уменьшение нормы ничем не хуже критерия, ориентированного на уменьшение функционала.
   Предположим, что мы нашли для первого шага второго процесса 0x01 graphic
(обозначим его 0x01 graphic
) и "пришли" в точку 0x01 graphic
. Далее начинается второй шаг второго итерационного процесса, в ходе которого будет выполнена операция 0x01 graphic
. Очевидно, что второму шагу второго итерационного процесса можно сопоставить первый шаг "нового" первого итерационного процесса, в котором используется начальное приближение 0x01 graphic
, а не 0x01 graphic
. Повторяя рассуждения, аналогичные вышеприведенным, можно доказать следующее утверждение: "находясь в начальной (для второго шага) точке 0x01 graphic
, всегда можно найти такое 0x01 graphic
, что, сдвинувшись с 0x01 graphic
на 0x01 graphic
, мы попадем в точку более близкую к решению в том смысле, что норма 0x01 graphic
там будет меньше, чем в исходной точке 0x01 graphic
; при этом, если имеется 0x01 graphic
, удовлетворяющее вышеописанным условиям, то всегда можно найти "другое" 0x01 graphic
, меньшее исходного, которое также будет удовлетворять этим условиям". (Здесь верхний индекс обозначает не степень, а номер шага.)
   Понятно, что подобные рассуждения можно провести для любого шага итерационного процесса Ньютона для решения системы 0x01 graphic
. В итоге мы получим следующее утверждение:
   Пусть 0x01 graphic
не является решением системы 0x01 graphic
и матрица 0x01 graphic
не является особенной (вырожденной). Тогда всегда возможно найти такое 0x01 graphic
, что 0x01 graphic
; то есть, всегда возможно получить следующее, (0x01 graphic
)-ое, приближение решения (в смысле уменьшения нормы 0x01 graphic
)
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   такое, что выполняется 0x01 graphic
. При этом всегда можно найти другие коэффициенты длины шага, меньшие, чем найденный 0x01 graphic
.
   Итак, мы перешли от "обычного" метода Ньютона к методу Ньютона с "инструментом улучшения сходимости в глобальном масштабе" (то есть с подбором длины шага), который записывается следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Замечание. Говоря "возможно найти другие коэффициенты длины шага, меньшие чем 0x01 graphic
" мы не говорим ничего больше -- в частности, мы НЕ утверждаем, что ВСЕ числа, меньшие, чем 0x01 graphic
уменьшат норму. Такого следует ожидать, только если это 0x01 graphic
дает "очень-очень" маленькую длину шага -- такую, при которой градиент функционала "очень-очень" хорошо описывает поведение функционала. Конец замечания.
   Теперь перед нами встает вопрос поиска подходящего коэффициента 0x01 graphic
, который уменьшит норму 0x01 graphic
. Имеется несколько алгоритмов такого поиска. Мы опишем самый простой -- алгоритм линейного поиска ("line search"). Он предельно прост: сначала берется 0x01 graphic
и проверяется -- не уменьшается ли при этом норма 0x01 graphic
; если уменьшается, то поиск завершается, если нет, то берется 0x01 graphic
в два раза меньшее, чем предыдущее, снова выполняется проверка и так далее... Процесс останавливается либо тогда, когда первое подходящее 0x01 graphic
найдено, либо тогда, когда безрезультатно закончилось некоторое наперед заданное число попыток. Даже если линейный поиск завершился неудачно, это вовсе не значит, что перед исходной точкой нет непрерывного участка, все точки которого уменьшают норму 0x01 graphic
-- просто он настолько мал, что мы до него не дошли (и при вычислениях с данной разрядностью может быть, дойти никогда не сможем).
   Как явствует из изложения, коэффициент 0x01 graphic
подбирается для каждого шага отдельно, то есть он разный на разных шагах.
   Замечание. Не путайте гарантированную возможность уменьшить норму 0x01 graphic
на каждом шаге итерационного процесса (при соблюдении ряда оговоренных условий) с гарантированной возможностью достичь точки (в принципе или за приемлемое время), которая является решением 0x01 graphic
! Можно сконструировать такую систему и выбрать такое начальное приближение, что итерационный процесс будет вечно (или просто неприемлемо большое время) "топтаться" на небольшом участке, постоянно при этом уменьшая норму 0x01 graphic
! Конец замечания.
   Как сказано выше, возможность уменьшить норму невязки на текущем шаге итерационного процесса можно лишь при соблюдении определенных условий -- 0x01 graphic
не должно быть решением системы 0x01 graphic
и матрица 0x01 graphic
не должна быть особенной (вырожденной). С первым условием все ясно -- чтобы оно "не мешало" достаточно ввести проверку (если они уже не введена) -- не является ли начальное приближение решением (остальные приближения и так проверяются после их получения при выяснении стоит ли останавливать итерационный процесс или нет). Но что делать, если матрица 0x01 graphic
оказалась вырожденной? Если якобиан вычисляется в точке 0x01 graphic
(начальное приближение), то, очевидно, следует попробовать другое начальное приближение; этот же рецепт сгодится и в том случае, когда мы уже провели какое-то число шагов итерационного процесса -- возможно, при выборе нового начального приближения мы будем "идти" к решению по другому пути, на котором нам не встретятся плохие места с особенным 0x01 graphic
. Помимо этого, во всех случаях, можно попытаться внести в 0x01 graphic
небольшое возмущение -- то есть, добавить к нему произвольный малый вектор. При этом мы надеемся, что "уйдем" с плохой области. Такие возмущения и выборы новых начальных приближений можно выполнять и в том случае, когда мы попали в область с плохой сходимостью ("топчемся на месте"), хотя при этом 0x01 graphic
и не является особенной матрицей.
   Поскольку метод минимизации функционала методом Ньютона основывается на методе Ньютона для решения системы 0x01 graphic
(система 0x01 graphic
получается из условия равенству нулю частных производных функционала в точке минимума: 0x01 graphic
), то для метода Ньютона для минимизации функционала также можно применить "средство глобализации сходимости". При этом мы приходим к итерационной схеме
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Коэффициент 0x01 graphic
напомним, подбирается для каждого шага отдельно. При подборе 0x01 graphic
в данном случае необходимо проверять функционал -- уменьшился ли он или нет.
  

4.5 Квази- методы Ньютона

  
   Существует несколько определений квази- методов Ньютона. Мы будем использовать одно из распространенных.
   Квази- методы Ньютона для решения системы 0x01 graphic
-- это методы, построенные на основе метода Ньютона, в которых вместо точного (насколько это возможно для численных методов) значения якобиана 0x01 graphic
может быть использовано приближенное его значение.
   Квази- методы применяются в том случае, когда сходимость достаточно хорошая и вместо трудновычисляемого якобиана можно использовать его приближение, которое вычисляется существенно проще.
   При таком очень общем определении даже метод Ньютона рассматривается как частный случай квази- методов Ньютона. Одним из квази- методов Ньютона является модифицированный метод Ньютона, в котором на всех шагах итерационного процесса используется якобиан, вычисленный на первом шаге; здесь, очевидно, приближенное значение якобиана используется на всех шагах, кроме первого, на котором используется точное (насколько это возможно для используемых численных методов) значение. Модифицированный метод Ньютона называют также методом хорд. Как компромисс между методом Ньютона и методом хорд существует метод Шаманского, в котором якобиан точно вычисляется через некоторое (точно не задаваемое) количество шагов, а в промежутке между точными вычислениями используется старое значение якобиана -- как в методе хорд. В "нижнем пределе", когда якобиан вычисляется на каждом шагу, метод Шаманского дает метод Ньютона, а в "верхнем пределе", когда вычисление якобиана производится всего одни раз (имеет место точное вычисление якобиана через бесконечное число шагов), метод Шаманского дает метод хорд.
   Вышеприведенные методы (Ньютона, хорд и Шаманского) достаточно хорошо известны и при их упоминании их называют "по имени", обычно не упоминая о том, что их можно рассматривать как частный случай квази- методов Ньютона. При упоминании "квази- метод Ньютона" имеют, как правило, в виду не перечисленные методы, а такие методы, в которых вместо точных значений якобианов всегда используется их приближенное значение. Такие методы могут быть достаточно сложными (например, метод Брудена), но нас будет интересовать наиболее простая их разновидность.
   Пусть у нас имеется система нелинейных уравнений, которую необходимо решить:
   0x01 graphic
.
   Как известно, разницу левой и правой частей уравнения называют невязкой (можно договориться, что невязка -- разница правой и левой частей; нет никакой разницы, как ее определить). Образуем вектор невязок 0x01 graphic
. Это вектор, очевидно, равен нулевому вектору: 0x01 graphic
. Итак, от исходной системы 0x01 graphic
мы перешли к системе 0x01 graphic
. Эта последняя система имеет такой вид, что для ее решения можно применить метод Ньютона или квази- методы Ньютона.
   Метод Ньютона задается итерационной схемой
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Все квази- методы Ньютона для решения систем можно сокращенно записать в виде
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
   или
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
-- некоторое приближение якобиана.
   Итак, чтобы "получить" квази- метод Ньютона нам необходимо "придумать" аппроксимацию 0x01 graphic
Осуществим линеаризацию 0x01 graphic
в точке 0x01 graphic
. В результате получим "постоянную" матрицу 0x01 graphic
, которая не зависит от 0x01 graphic
. Тогда 0x01 graphic
. Мы легко сможем продолжить преобразования:
   0x01 graphic
.
   Итак, 0x01 graphic
. Якобиан невязки системы нелинейных алгебраических уравнений можно приближенно представить матрицей жесткости, умноженной на минус единицу. Приближение тем лучше, чем "линейнее" ведет себя 0x01 graphic
в окрестности 0x01 graphic
.
   При такой аппроксимации итерационный процесс квази- метода Ньютона будет выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Мы получили "направление спуска", вычисляемое по формуле 0x01 graphic
, то есть направление, отличное от направления спуска метода Ньютона. В связи с этим возникает вопрос: при каких условиях это направление будет "настоящим" направлением спуска? То есть, если мы сопоставим задаче решения системы 0x01 graphic
задачу минимизации функционала 0x01 graphic
, то, спрашивается: при каких условиях 0x01 graphic
будет направлением спуска для 0x01 graphic
?
   Из определения направления спуска следует, что должно соблюдаться условие
   0x01 graphic
,
   или, раскрывая 0x01 graphic
,
   0x01 graphic
.
   Такое неравенство будет иметь место, если "матрица" 0x01 graphic
будет отрицательно определена (вы уже встречались с анализом подобного рода условий).
   Заметьте, что мы определили 0x01 graphic
 как разницу между правой и левой частями уравнения 0x01 graphic
. Если бы мы поступили наоборот, то в неравенстве слева появился знак минуса. Соответственно, такое неравенство было бы справедливо при положительно определенной матрице 0x01 graphic
.
   Аналогично, для общего случая, когда вместо 0x01 graphic
используется 0x01 graphic
, мы можем сказать, что 0x01 graphic
будет "настоящим" направлением спуска, если матрица 0x01 graphic
 будет отрицательно определена.
   С практической точки зрения полученное условие бесполезно: для того, чтобы определить, положительно ли или отрицательно определена матрица 0x01 graphic
, надо вычислить 0x01 graphic
. Но ведь мы потому и стали использовать квази- методы Ньютона, что стремились избежать вычисления якобианов! Такие сложно проверяемые условия просто никто не будет использовать. Тем не менее, интуитивно понятно, что выполнения равенства следует ожидать, если приближенное равенство 0x01 graphic
выполняется с достаточной степени точностью.
   Запишем полученный нами квази- метод Ньютона одним выражением, раскрыв при этом 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Данный квази- метод Ньютона решения систем 0x01 graphic
 не имеет специального названия, если говорить в терминах квази- методов Ньютона. Поэтому дадим ему "описательное" имя: квази- метод Ньютона, получающийся из метода Ньютона через аппроксимацию якобиана матрицей жесткости (взятой с обратным знаком).
   Этот метод не представляет из себя ничего нового и интересного: если имеется какой-либо итерационный метод, в котором используется точное вычисление якобиана, то на его основе сразу же можно построить множество квази- методов Ньютона, используя уже известное множество аппроксимаций якобиана. Аппроксимация же якобиана с помощью матрицы жесткости -- достаточно простая, хорошо и давно известная вещь.
   Давайте немного преобразуем формулу, задающую итерационный процесс:
   0x01 graphic
.
   Если это выражение вам ничего не напоминает, то давайте "выключим" средство улучшения глобальной сходимости, то есть давайте положим 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Мы получили ни что иное, как хорошо известный метод простых итераций! Таким образом, метод простых итераций есть, по сути, квази- метод Ньютона получающийся из метода Ньютона аппроксимацией якобиана матрицей жесткости (и "выключением" средства улучшения глобальной сходимости).
   Зачастую при описании метода итерации "вводят улучшение", то есть "включают" средство улучшения глобальной сходимости:
   0x01 graphic
.
   При этом вопрос о том, откуда берется эта формула обходят молчанием, придавая ему статус "инженерного приема, проверенного практикой". Сам коэффициент 0x01 graphic
называют иначе -- "коэффициентом релаксации" (а что "релаксируется", то есть, "ослабляется", -- как правило, не говорят). Но, как вы видите, на самом деле это коэффициент длины шага некоторого квази- ньютоновского итерационного процесса. Выражение 0x01 graphic
-- это упрощенная запись выражения 0x01 graphic
, в котором "все становится на свои места".
   Давайте определим еще один квази- метод Ньютона, который получается из модифицированного метода Ньютона (метода хорд) аппроксимацией якобиана матрицей жесткости:
   0x01 graphic
.
   Запишем этот метод несколько иначе. Представим 0x01 graphic
в виде 0x01 graphic
и затем упростим выражение:
   0x01 graphic
.
   "Выключим" средство улучшения глобальной сходимости, положив 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Это, как мы уже видели, приблизительно и есть метод, "открытый" О.Ф. Ковалевым (в несколько иной записи). Мы сказали "приблизительно" потому, что О.Ф. Ковалев, по сути, не оговорил то, какой же должна быть матрица, которая здесь обозначается как 0x01 graphic
, чтобы сходимость была наилучшей при заданных огранич6ениях на сложность ее вычисления.
   Поскольку мы выяснили смысл 0x01 graphic
-- это приближение якобиана, взятое со знаком минус, то сразу же можем сказать, какова же должна быть "постоянная" матрица в "методе Ковалева": если требуется, чтобы она вычислялась ненамного сложнее, чем матрица жесткости, то она должна быть этой матрицей жесткости, вычисленной при начальном приближении.
   В данной работе в дальнейшем метод, задаваемый формулой
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   или, с включенным средством улучшения глобальной сходимости,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   условно будем называть "модифицированный метод простых итераций" -- по аналогии с: "метод Ньютона" -- "модифицированный метод Ньютона". Еще раз отметим, что последняя итерационная схема -- лишь иначе записанная (и вряд ли более просто выглядящая) итерационная схема
   0x01 graphic
,
   в которой "все стоит на своих местах".
   Наконец, рассмотрим введение квази- методов Ньютона в том случае, когда мы минимизируем функционал, а не решаем систему уравнений:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Пусть вместо Гессиана 0x01 graphic
используется его приближение 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Тогда
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Или
   0x01 graphic
.
   Выясним, при каких условиях 0x01 graphic
-- "настоящее" направление спуска, то есть, когда выполняется неравенство
   0x01 graphic
   или
   0x01 graphic
.
   Указанное неравенство, очевидно, будет выполняться тогда, когда 0x01 graphic
-- положительно определенная матрица (она должна быть положительно определенной при всех 0x01 graphic
, которые будут использованы). Говоря менее строго, можно сказать, что неравенство будет выполняться, когда 0x01 graphic
-- положительно определенная матрица.
   Заметьте: 0x01 graphic
-- любая положительно определенная матрица. Иначе говоря, любая положительно определенная матрица является "достаточно хорошей", чтобы у нас получалось "настоящее" направление спуска. Например, 0x01 graphic
может быть единичной матрицей: 0x01 graphic
. Этот факт является ключом к построению множества квази- методов Ньютона для минимизации функционала.
   Часто сам гессиан 0x01 graphic
не имеет свойства положительной определенности. В этом случае его "подправляют". Это можно сделать, например, следующим образом: как известно, матрица с достаточно большими элементами на главной диагонали будет положительно определенной; отсюда следует, что для придания положительной определенности произвольной матрице к ней нужно добавить единичную матрицу, умноженную на достаточно большое число. Разумеется, это число стремятся сделать как можно меньше, чтобы получаемая матрица была как можно ближе к исходному гессиану.
   Итак, мы сформировали два критерия, которые определяют, является ли вычисленное направление спуска "настоящим" направлением спуска.
   Если мы решаем систему, итерируя
   0x01 graphic
,
   то 0x01 graphic
будет "настоящим" направлением спуска, если матрица 0x01 graphic
 отрицательно определена. Здесь 0x01 graphic
-- аппроксимация якобиана.
   Если мы минимизируем функционал, итерируя
   0x01 graphic
,
   то 0x01 graphic
будет "настоящим" направление спуска, если матрица 0x01 graphic
положительно определена. Здесь 0x01 graphic
-- аппроксимация гессиана.
   Как уже было сказано, никто не будет проверять 0x01 graphic
 на отрицательную определенность -- ведь для этого нужно вычислять якобиан, чего мы старались избежать, вводя квази- методы Ньютона.
   Что же делать, если вышеприведенные условия не выполняются?
   Предположим, что 0x01 graphic
не сходится и мы "подозреваем", что отрицательная определенность 0x01 graphic
 на каком-то шаге не выполняется. На этом шаге, сформировав "направление спуска", мы не сможем, двигаясь вдоль него, уменьшить невязку. Разумеется, можно порекомендовать выбрать другое начальное приближение или внести возмущение в вектор неизвестных и попытаться выполнить шаг "заново". Тем не менее, легко заметить, что если 0x01 graphic
 является положительно определенной, то "направление спуска" на самом деле является "направлением подъема" и мы можем попытаться уменьшить невязку, попросту двинувшись в направлении, обратном по отношению к "направлению подъема".
   Отсюда следует простая рекомендация ("эвристика"): если мы не нашли 0x01 graphic
, которое уменьшит невязку за приемлемое число попыток (при осуществлении, например, "линейного поиска"), то следует предположить, что полученное направление является на самом деле не направлением спуска, а "направлением подъема" и "двинуться" в направлении, ему противоположном, подбирая отрицательные 0x01 graphic
(например, аналогично, тому, как это делалось при "линейном поиске"). То есть, в данном случае имеет смысл расширить область определения 0x01 graphic
с 0x01 graphic
до 0x01 graphic
.
   Когда мы ищем только среди положительных 0x01 graphic
, то говорят, что мы делаем "обратный откат" ("backtraking") -- то есть, попросту, ведем "(один) поиск по убывающей" -- среди положительных 0x01 graphic
. Когда мы ведем поиск как среди положительных 0x01 graphic
, так и среди отрицательных, то говорят, что мы выполняем "двойной обратный откат" ("doublebacktracking") -- то есть, попросту ведем "два поиска по убыванию модуля" -- среди положительных и среди отрицательных 0x01 graphic
.
   "Линейный поиск" -- простейший пример "обратного отката".
   Повторим: мы не ведем проверку ни на положительную определенность0x01 graphic
, ни на отрицательную это слишком трудоемко. Мы просто пытаемся предположить, что если 0x01 graphic
 не является отрицательно определенной, то, возможно, она положительно определена. Это, разумеется, не всегда верно. Есть матрицы, которые не являются ни положительно, ни отрицательно определенными.
   Таким образом, вместо "простого" обратного отката, как средство улучшения сходимости в глобальном масштабе, имеет смысл ввести двойной обратный откат, который начнет работать тогда, когда "простой" обратный откат потерпит неудачу.
   Аналогичным образом двойной обратный откат можно ввести и для минимизации функционала. Здесь, как и в вышеописанном случае, мы пытаемся предположить, что, если приближение гессиана не является положительно определенным, то, возможно, оно отрицательно определенное (напомним, что выше мы рассмотрели способ, как сделать матрицу положительно определенной, если она таковой не является).
  

4.6 Метод итераций для нелинейных систем и условия его сходимости

  
   Для того, чтобы решить нелинейную систему уравнений методом итераций, ее необходимо записать в виде 0x01 graphic
, а затем организовать итерационный процесс
   0x01 graphic
,
   который использует так называемые "последовательные приближения".
   Здесь мы пока не касаемся того, каков же должен быть конкретный вид правой части 0x01 graphic
. Отметим только, что любую систему 0x01 graphic
 можно, хоть и несколько искусственно, привести к виду 0x01 graphic
, о чем будет сказано ниже.
   Если у нас имеется система уравнений 0x01 graphic
, то из нее легко получить 0x01 graphic
   и далее организовать итерационный процесс 0x01 graphic
, то есть реализовать "метод простых итераций".
   Если, как это предлагал О.Ф. Ковалев (на самом деле мы несколько видоизменили то, что предлагал О.Ф. Ковалев), положить 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- некоторая "постоянная" матрица, не зависящая от 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- "дополнение" 0x01 graphic
до 0x01 graphic
, то
   0x01 graphic
,
   откуда можно получить
   0x01 graphic
.
   После этого можно организовать итерационный процесс
   0x01 graphic
.
   Здесь мы не будем уточнять вид 0x01 graphic
, так как сам О.Ф. Ковалев этого не сформулировал.
   Напомним, что при выборе 0x01 graphic
вышеприведенная итерационная схема будет квази- методом Ньютона, получающимся из модифицированного метода Ньютона заменой якобиана матрицей жесткости (здесь средство улучшения сходимости в глобальном масштабе выключено). По аналогии будем называть такую схему (с 0x01 graphic
) "модифицированный метод простых итераций". Иначе говоря, одну и ту же итерационную схему можно рассматривать и как некий квази- метод Ньютона, и как некий вариант метода итераций.
   Хотя в двух вышеприведенных случаях уравнение для организации итерационного процесса легко получается "естественным образом", следует заметить, что метод простых итераций и модифицированный метод простых итераций не являются оптимальными с точки зрения "полного" метода итераций. Как мы увидим позже, "полный" метод итераций фактически приведет нас к методу Ньютона! То есть, подробно рассматривая метод итераций, мы придем к выводу, что итерационная схема метода итераций будет оптимальна тогда, когда там будет присутствовать обращение якобиана и средство улучшения сходимости в глобальном масштабе. Рассмотрение условий, когда метод итераций будет оптимален, потребует от нас перехода от системы 0x01 graphic
к равноценной системе 0x01 graphic
"в общем виде", в чем "естественные" переходы, выполненные выше, нам мало помогут.
   Далее нам необходимо выяснить условия, при которых итерационный процесс 0x01 graphic
 сходится. Но перед этим необходимо ввести ряд норм матриц.
   Для произвольной матрицы 0x01 graphic
можно ввести следующие легко вычисляемые канонические нормы:
   0x01 graphic
-- наибольшая сумма модулей элементов строки;
   0x01 graphic
-- наибольшая сумма модулей элементов столбца;
   0x01 graphic
.
   Эти нормы называются по индексам -- 0x01 graphic
-, 0x01 graphic
- и 0x01 graphic
- нормы матрицы 0x01 graphic
соответственно.
   Мы не будем останавливаться на том, что такое канонические нормы и чем они отличаются от "неканонических". Приведенные здесь канонические нормы не являются единственно возможными.
   Для вектора-столбца 0x01 graphic
вышеупомянутые нормы будут выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Если норма матрицы (вектора) пишется без индекса (то есть без указания конкретной нормы), то предполагается, что можно использовать любую из введенных выше норм.
   Пусть у нас имеется вектор 0x01 graphic
, который может принимать любые значения из области 0x01 graphic
. Пусть также значения элементов матрицы 0x01 graphic
зависят от 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Таким образом, 0x01 graphic
у нас "своя" для каждой "точки" 0x01 graphic
.
   Можно ввести норму матрицы 0x01 graphic
не "относительно" какой-то одной точки области 0x01 graphic
, а "относительно" всей области 0x01 graphic
. Введем две таких нормы, которые будем обозначать просто "первая" и "вторая". Для их отличия будем использовать в индексе римские цифры:
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
.
   В частности, в дальнейшем нам встретится матрица, получаемая взятием якобиана от вектора-функции 0x01 graphic
. Для данного конкретного случая распишем первую и вторую нормы подробнее, через частные производные:
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
.
   Используя введенные выше нормы, кратко изложим результаты исследования сходимости итерационного процесса 0x01 graphic
, следуя [ДЕМИДОВИЧ1966]. Начальное приближение будем обозначать 0x01 graphic
, решение системы -- 0x01 graphic
. Индекс 0x01 graphic
, таким образом, может принимать значения 0x01 graphic
   Результаты исследования заключаются в двух теоремах, которые определяют "первое" и "второе" достаточные условия сходимости итерационного процесса 0x01 graphic
.
   "Первое" достаточное условие сходимости итерационного процесса 0x01 graphic
выражается следующим образом:
   Теорема. Пусть вектор-функция 0x01 graphic
 и якобиан 0x01 graphic
 непрерывны в ограниченной выпуклой замкнутой области 0x01 graphic
, причем в 0x01 graphic
 выполнено неравенство
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
 -- некоторая постоянная.
   Если начальное приближение 0x01 graphic
 и все последующие последовательные приближения 0x01 graphic
, 0x01 graphic
 принадлежат области 0x01 graphic
, то процесс итерации 0x01 graphic
 сходится и предельный вектор
   0x01 graphic
   является в области 0x01 graphic
 единственным решением системы 0x01 graphic
.
   Иначе говоря, в этом случае 0x01 graphic
есть ни что иное, как 0x01 graphic
.
   "Второе" достаточное условие звучит так:
   Теорема. Пусть вектор-функция 0x01 graphic
 и якобиан 0x01 graphic
 непрерывны в ограниченной выпуклой замкнутой области 0x01 graphic
, причем в 0x01 graphic
 выполнено неравенство
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
 -- некоторая постоянная.
   Если начальное приближение 0x01 graphic
 и все последующие последовательные приближения 0x01 graphic
, 0x01 graphic
 принадлежат области 0x01 graphic
, то процесс итерации 0x01 graphic
 сходится и предельный вектор
   0x01 graphic
   является в области 0x01 graphic
 единственным решением системы 0x01 graphic
.
   Внимательный читатель, наверное, заметил, что здесь используется "непрерывность матриц". По сути, здесь речь идет о том, что непрерывно изменяются их элементы.
   Обратите внимание: определенные условия выдвигаются и к области 0x01 graphic
: она должны быть ограниченной, выпуклой и замкнутой.
   Видно, что оба условия звучат одинаково; в них лишь используются разные нормы -- первая и вторая.
   При исследовании сходимости доказывается и ряд других теорем. Из них и из теорем, приведенных здесь, можно вывести формулы, которые могут служить для "количественной" оценки сходимости итерационного процесса:
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- это 0x01 graphic
из первой вышеприведенной теоремы (условия), а 0x01 graphic
-- из второй; для одного и того же случая эти числа могут быть разными. Верхний индекс при 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, очевидно, обозначает не номер шага итерационного процесса, а степень, в которую возводится соответствующее 0x01 graphic
. Из формул видно, что норма разности 0x01 graphic
, то есть "ошибка" в вычислении решения, с ростом номера итерации гарантированно убывает в геометрической прогрессии с знаменателем 0x01 graphic
(разумеется, при 0x01 graphic
). Чем меньше 0x01 graphic
, тем быстрее убывает прогрессия и тем быстрее мы гарантированно получим решение.
   Замечание. Под "оценкой сходимости" мы здесь подразумеваем лишь определение 0x01 graphic
в двух вышеприведенных формулах. О таких терминах, как "линейная сходимость", "суперлинейная сходимость" и "квадратичная сходимость" речь не идет. Конец замечания.
   Напомним, что вывод вышеприведенных формул и доказательство вышеприведенных теорем даны в [ДЕМИДОВИЧ1966].
   В дальнейшем нам понадобиться следующее определение:
   Определение. Отображение 0x01 graphic
 называется сжимающим в области 0x01 graphic
, если
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Здесь под нормой понимается любая каноническая норма.
   Кроме того, нам понадобиться лемма, используемая при доказательстве теоремы, определяющей второе достаточное условие сходимости процесса итерации 0x01 graphic
.
   Лемма. Пусть вектор-функция 0x01 graphic
 и якобиан 0x01 graphic
 непрерывны в выпуклой области 0x01 graphic
; если 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
 -- точки, принадлежащие 0x01 graphic
, то справедливо неравенство
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
.
   Данная лемма утверждает, что существует (при определенных условиях) такая точка 0x01 graphic
, лежащая на прямой, соединяющей 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
, причем эта точка не есть ни точка 0x01 graphic
, ни точка 0x01 graphic
, что якобиан 0x01 graphic
, взятый в ней, удовлетворяет вышеприведенному неравенству.
  

4.7 Связь метода итераций с методом Ньютона. Оптимальный метод итераций

  
   Любую систему 0x01 graphic
можно записать в "альтернативном" виде
   0x01 graphic
,
   который удобен для организации итерационного процесса с помощью последовательных приближений 0x01 graphic
.
   Простейший способ осуществить переход от одной системы к другой -- сложить исходную систему с тождеством 0x01 graphic
, после чего получим:
   0x01 graphic
.
   Поскольку исходное уравнение 0x01 graphic
(левую и правую его части) можно умножать слева на неособенную (невырожденную) матрицу 0x01 graphic
без "потери информации", то от этого уравнения 0x01 graphic
можно перейти к уравнению0x01 graphic
. Прибавив к последнему уравнению тождество 0x01 graphic
получим:
   0x01 graphic
.
   Иначе говоря, для выполнения перехода от системы 0x01 graphic
к системе 0x01 graphic
можно положить 0x01 graphic
. При таком переходе 0x01 graphic
, очевидно, следует подбирать так, чтобы сходимость итерационного процесса был наилучшей.
   Какова же должна быть матрица 0x01 graphic
? При рассмотрении сходимости итерационных схем 0x01 graphic
выясняется следующие (смотри предшествующую главу): чтобы итерационный процесс сходился, необходимо выполнение хотя бы одного из достаточных условий сходимости итерационного процесса, которые мы (кратко и грубо, для напоминания) запишем так:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Для того, чтобы выяснить, как эти условия звучат в полном виде, обратитесь к предшествующей главе.
   При этом, если хотя бы одно из вышеприведенных условий выполняется, мы можем получить и количественную оценку сходимости итерационного процесса, используя следующие формулы:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Из этих формул видно: чтобы процесс гарантированно сходился быстрее, необходимо, чтобы 0x01 graphic
или 0x01 graphic
были как можно меньше -- в пределе они должны равняться нулю. Иначе говоря, должны быть как можно меньше 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(как вы помните, они определяются для определенной области 0x01 graphic
, а не для одной точки). "В пределе" желательно, чтобы они также равнялись нулю.
   Итерационный процесс начинается с некоторого 0x01 graphic
. Будем предполагать, что 0x01 graphic
достаточно близко к решению, так что 0x01 graphic
достаточно хорошо описывает поведение 0x01 graphic
в окрестностях 0x01 graphic
, то есть, что 0x01 graphic
не сильно меняется в окрестности 0x01 graphic
. Будем рассматривать окрестность 0x01 graphic
как область 0x01 graphic
, участвующую в определении "первой" и "второй" норм; будем также предполагать, что решение находится в области 0x01 graphic
(мы это сделали для простоты; на самом деле достаточно, чтобы только "последовательные приближения", сходящиеся к решению, принадлежали этой области). В таком случае логично распорядиться нашей свободой в выборе 0x01 graphic
следующим образом: потребуем, чтобы выполнялось равенство
   0x01 graphic
.
   В этом случае можно надеяться, что итерационный процесс не уйдет от точки 0x01 graphic
"слишком далеко" и поэтому первая и вторая нормы 0x01 graphic
в окрестности 0x01 graphic
и в самом деле будут малы.
   Итак, 0x01 graphic
следует находить из условия 0x01 graphic
, что дает
   0x01 graphic
.
   Умножим уравнение 0x01 graphic
на 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
,
   откуда
   0x01 graphic
.
   Таким образом, при "улучшении" метода итераций с помощью подбора 0x01 graphic
мы приходим к итерационной схеме
   0x01 graphic
.
   Это ни что иное, как модифицированный метод Ньютона (метод хорд)! (Разумеется, с "выключенным" средством улучшения глобальной сходимости.)
   Следующий шаг к улучшению метода итераций -- подбор 0x01 graphic
для каждого шага итерационного процесса, то есть, использование 0x01 graphic
вместо 0x01 graphic
, одинакового для всех шагов. Рассматривая 0x01 graphic
как "новое" начальное приближение (вместо 0x01 graphic
) мы придем к выводу, что на втором шаге итерационного процесса вместо 0x01 graphic
следует использовать 0x01 graphic
. Продолжая наши рассуждения в том же направлении, мы придем к выводу, что более быстро сходящийся метод итераций следует организовывать по итерационной схеме
   0x01 graphic
.
   А это -- ни что иное, как метод Ньютона (без средств глобализации сходимости). Еще раз подчеркнем: здесь на каждом шаге мы рассматриваем уравнение 0x01 graphic
, на котором основывается "генерация" следующего приближения на основе текущего приближения по формуле 0x01 graphic
; и при этом всякий раз мы решаем, каково же должно быть 0x01 graphic
на данном шаге.
   Итак, рассматривая, какой же метод итераций самый лучший (в смысле сходимости), мы пришли к выводу, что самый лучший метод итераций -- это... метод Ньютона! Пока, правда, мы не "встраиваем" в метод итераций средства улучшения глобальной сходимости (коэффициент релаксации), но, установив связь метода итерации с методом Ньютона, это сделать достаточно легко.
   Положим, что 0x01 graphic
. Сопоставим каждому шагу итерационного процесса 0x01 graphic
, то есть, 0x01 graphic
, первый шаг итерационного процесса Ньютона, начинающегося с начального приближения 0x01 graphic
. Под 0x01 graphic
будем понимать 0x01 graphic
, вычисляемое на этом шаге процесса Ньютона. Пусть, например, это будет 0x01 graphic
, вычисляемое с помощью линейного поиска. Иначе говоря, метод итераций будет заимствовать на каждом шаге 0x01 graphic
из сопоставленного этому шагу первого шага процесса Ньютона. Очевидно, нет смысла делать такое сопоставление на практике -- можно вести линейный поиск и при проведении метода итераций "самого по себе", стремясь уменьшить норму невязки 0x01 graphic
. При этом мы достигнем улучшения сходимости такой же, как и в методе Ньютона.
   Разумеется, при проведении последнего "улучшения" мы воспользовались знаниями, полученными при исследовании итерационного процесса Ньютона. Такое заимствование может навести на мысль о некоторой неполноценности метода итераций. Ниже мы покажем, что средство глобализации сходимости может быть введено исключительно с "опорой" только на метод итерации.
   Рассмотрим метод итераций без коэффициента релаксации: 0x01 graphic
. Второе слагаемое -- это добавка к текущему вектору неизвестных; обозначим его 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Отсюда получим, что
   0x01 graphic
.
   Выясним смысл 0x01 graphic
. Легко видеть, что 0x01 graphic
. Это неравенство становится равенством при переходе к полным дифференциалам. Его можно истолковать следующим образом: 0x01 graphic
вычисляется таким образом, чтобы при переходе к точке 0x01 graphic
получить решение системы 0x01 graphic
. Приращения вычисляются с помощью0x01 graphic
, который (якобиан), как мы надеемся, хорошо описывает поведение 0x01 graphic
в достаточно малой окрестности 0x01 graphic
. Как видим, здесь мы двигаемся в направлении, обратном тому, каким мы двигались при введении метода Ньютона.
   Если среда сильно нелинейна, то мы рискуем оказаться "далеко" от решения -- даже еще дальше, чем мы были прежде. Заметьте, что для описания того, насколько мы далеко от решения (и, соответственно, для принятия решения, когда останавливать итерационный процесс), в методе итераций мы используем тот же критерий -- норму 0x01 graphic
.
   Отметим, что условия сходимости итерационного процесса метода итераций -- достаточные. Иначе говоря, если они не выполняются, то неизвестно -- сойдется ли итерационный процесс или нет. То есть, все равно имеет смысл организовывать итерационный процесс, даже если условия заведомо не выполняются. Напомним также, что сама сложность проверки подобных условий слишком велика, чтобы эти условия использовались на практике. Трудность возникает уже тогда, когда надо, хотя бы приблизительно, определить область, из которой итерационный процесс "не будет выходить" -- ведь для этого надо сначала его "прогнать" (и, возможно, не один раз -- с различными "разумными" начальными приближениями)! Единственное, с чем будет иметь дело вычислитель на практике при использовании метода итераций -- это получаемое направление 0x01 graphic
-- как и при методе Ньютона.
   Итак, перед нами встает тот же вопрос, что и при использовании метода Ньютона: надо определить, является ли выбранное направление "направлением спуска" ("хорошее" он или "плохое", уменьшает ли 0x01 graphic
или нет), а так же вопрос о том, как "выжать" из него все, что можно.
   Мы уже знаем, что надо делать. Сначала надо построить функционал 0x01 graphic
, составить систему 0x01 graphic
и рассмотреть ее решение уже имеющимся методом итераций (а не методом Ньютона). Далее мы установим тождество направлений 0x01 graphic
, получаемых при минимизации функционала 0x01 graphic
методом итераций и при решении системы 0x01 graphic
методом итераций, свяжем уменьшение функционала с уменьшением нормы 0x01 graphic
и покажем, что (при определенных условиях), двигаясь вдоль 0x01 graphic
, всегда можно уменьшить норму 0x01 graphic
. После этого введем коэффициент длины шага итерационного процесса (коэффициент релаксации).
   Приведенные рассуждения показывают, что средство глобализации сходимости можно ввести в метод итераций "естественным образом", не прибегая к заимствованию из метода Ньютона.
   Итак, "в пределе" метод итераций дает метод Ньютона, причем с "полной оснасткой" -- включая средство глобализации сходимости.
  

4.8 Связь более простых методов итерации с квази- методами Ньютона

  
   Напомним, что оптимальная матрица 0x01 graphic
(для конкретного 0x01 graphic
-того шага) находилась из условия 0x01 graphic
и в результате мы получили следующее выражение:
   0x01 graphic
.
   Если вместо 0x01 graphic
мы будем использовать его аппроксимацию 0x01 graphic
(например, матрицей жесткости 0x01 graphic
, если 0x01 graphic
представляет из себя систему нелинейных алгебраических уравнений), то можно надеяться, что якобиан 0x01 graphic
будет достаточно близок к нулевой матрице, так что сходимость итерационного процесса метода итераций будет оставаться приемлемой. Таким образом, мы приходим к, если можно так сказать, "квази- методам итераций" -- по аналогии с тем, как от метода Ньютона мы пришли к квази- методам Ньютона. Здесь будет иметься полное тождество между некоторым "квази- методом итераций" и соответствующим ему квази- методом Ньютона.
   Напомним, что (подразумевается, что решаются системы нелинейных алгебраических уравнений) метод простых итераций тождественен квази- методу Ньютона, получаемому из метода Ньютона "заменой" якобиана на матрицу жесткости; модифицированный метод простых итераций тождественен квази- методу Ньютона, получаемому из модифицированного метода Ньютона (метода хорд) аналогичной заменой. Название "модифицированный метод простых итераций" мы дали полученному методу условно (оно больше нигде не используется); тем не менее, вы видите, что такой метод легко получается из метода итераций же, а не из метода Ньютона.
   Наконец, по аналогии с методом Шаманского, можно ввести (с помощью той же замены якобиана на матрицу жесткости) "метод простых итераций Шаманского" (название дано условно нами же -- больше оно нигде не используется).
   Итак, одни и те же итерационные схемы мы можем назвать по-разному, рассматривая их либо как квази- методы Ньютона, либо как более простые варианты метода итераций. Исторически используется только название "метод простых итераций", а итерационные схемы, лежащие в основе того, что мы здесь называем "модифицированный метод простых итераций" и "метод простых итераций Шаманского" с точки зрения метода итераций отдельно не проименованы. Тем не менее, им же легко может быть дано "описательное" название с точки зрения квази- методов Ньютона. И с той же точки зрения квази- методов Ньютона, эти схемы не представляют из себя ничего нового. Как уже было сказано, существующие методы, в которых используется вычисление якобиана, порождают множество квази- методов Ньютона, используя различные способы аппроксимации якобиана. Аппроксимация же якобиана с помощью матрицы жесткости -- давно известный и широко используемый прием.
   Замечание. "Простой метод итерации" и "метод простых итераций" -- не одно и тоже. Под методом простых итераций понимается один из "простых методов итерации". К "простым методам итерации" в данной работе отнесены: "метод простых итераций", "модифицированный метод простых итераций" и "метод простых итераций Шаманского". Конец замечания.
  

4.9 Обсуждение условий сходимости

  
   Как было показано, одна и та же итерационная схема может быть описана и в терминах "различных вариантов" метода итераций, и в терминах квази- методов Ньютона. Следовательно, к одной и той же итерационной схеме можно попытаться применить как условия сходимости, относящиеся к ней как представительнице квази- методов Ньютона, так и как представительнице того или иного варианта метода итераций. Эти условия будут не противоречат друг другу, а дополнять друг друга.
   У нас имеется достаточное условие сходимости метода Ньютона, гласящее, что процесс сойдется, если начальное приближение будет достаточно близко к решению. Кроме того, аналогичное достаточное условие сходимости имеет место и для модифицированного метода Ньютона (метода хорд). (Разумеется, при точной записи этих условий они будут различаться.) Таким образом, чтобы сопоставить условия сходимости, среди методов итерации мы должны выбирать только методы, аналогичные вышеупомянутым -- для других квази- методов Ньютона у нас (по крайней мере, в рамках данной работы) других условий сходимости нет. К сожалению, условий сходимости для метода итераций, аналогичного методу Ньютона, у нас нет. Имеющиеся условия сходимости итерационного процесса "0x01 graphic
 или 0x01 graphic
" подразумевают, что матрица 0x01 graphic
в выражении для 0x01 graphic
остается одной и той же на протяжении всего итерационного процесса. Таким образом, при сравнении с методами Ньютона мы будем вынуждены положить 0x01 graphic
и рассматривать только итерационную схему модифицированного метода простых итераций.
   Замечание. Организуя метод итераций, аналогичный методу Ньютона, мы делаем всего лишь один шаг, а затем прерываем итерационный процесс и начинаем новый, с другим 0x01 graphic
, используя новое начальное приближение. Конец замечания.
   Связь между условиями сходимости для модифицированного метода Ньютона и соответствующего ему метода итераций можно выразить следующим образом: если начальное приближение 0x01 graphic
близко к решению, то следует ожидать, что 0x01 graphic
будет хорошо минимизировать первую или вторую нормы 0x01 graphic
в "достаточно большой" окрестности 0x01 graphic
-- настолько большой, что окрестность будет содержать решение (на самом деле, напомним, достаточно, чтобы она содержала только "последовательные приближения" решения); и, следовательно, метод итераций будет быстро сходится. И наоборот: если первая или вторая нормы 0x01 graphic
достаточно малы в "достаточно большой" области, включающей 0x01 graphic
, так, что в эту область попадают решение и все "последовательные приближения" итерационного процесса (на самом деле достаточно только "попадания" только "последовательных приближений"), то следует ожидать, что 0x01 graphic
находится "достаточно близко" к решению, чтобы метод Ньютона сошелся.
   Замечание. Помните -- достаточные условия сходимости метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведены предельно грубо -- как если бы вместо первого и второго условий сходимости итерационного процесса метода итераций сказать: "итерационный процесс сойдется, если некоторая норма якобиана будет меньше единицы". Чтобы узнать, как эти условия звучат точно, обратитесь, например, к [ДЕМИДОВИЧ1966]. Конец замечания.
   Отметим также две вещи. Во-первых, все вышеприведенные условия являются лишь достаточными, а не необходимыми. То есть, даже заведомое их невыполнение вовсе не значит, что итерационный процесс не сойдется. Таким образом, когда мы решаем конкретную задачу, эти условия проверять нет смысла - лучше сразу приступить к решению. Во-вторых, все эти условия чрезвычайно трудны для проверки. Это вторая причина, по которой они бесполезны с практической точки зрения (для сложных задач). Как правило, для того, чтобы считать, что итерационный процесс не сходится, его пытаются "прогнать" много раз для различных начальных приближений, с разными алгоритмами отката, с внесением возмущений в областях с плохой сходимостью и с прочими усовершенствованиями. Такие расчеты могут вестись часы и даже сутки. Когда лимит на время исчерпывается, то условно считают, что процесс не сходится. Проверка же условий сходимости может занять гораздо большее время - ведь нам будет надо, теоретически, вычислить якобиан во всех точках (это относится и к модифицированному методу Ньютона, и к соответствующему методу итераций)! Но даже проведя множество вычислений, мы, возможно, так и не сможем сказать с уверенностью -- сойдется процесс или нет.
   Здесь имеет место аналогия со следующей "нелепой" задачей: предположим, что альпинист заведомо может преодолеть все известные горные хребты высотой 1 километр. Следует ли из этого, что он не сможет преодолеть хребет высотой в 2 километра? Если определенный хребет в 2 километра он преодолеть не сможет, то значит ли это, что заданный хребет в 3 километра высотой он тоже не сможет преодолеть? А если хребет "неизвестен" -- он вновь открыт, "смутно" обозначен на карте и о его высоте ничего неизвестно? Данных недостаточно для решения задачи. Альпинист просто должен двинуться к хребту и начать искать там удобное для "преодоления" место. Очень может быть, что конкретный хребет в 2 километра высотой он не сможет преодолеть, а в 3 -- сможет. Очень может быть также, что удобное место существует, но альпинист его не успеет или не сможет найти. Возможно, имеет смысл полетать над хребтами на самолете, но если их еще не изобрели, то что делать тогда? Остается только "посылать экспедиции".
   Напомним, что при таком достаточно прямом "действии в лоб" мы все-таки обладаем определенными "инструментами", которые нам будут помогать: это относится, во-первых, к средству глобализации сходимости -- к коэффициенту длины шага. Поиск коэффициента может осуществляться как "простым" обратным откатом, так и двойным обратным откатом. При "откате" могут быть использованы алгоритмы поиска иные, более сложные, чем простой "линейный поиск". Мы можем пробовать множество начальных приближений и вносить в "плохих" областях возмущения в вектор неизвестных. Наконец, мы можем использовать различные аппроксимации якобиана (гессиана) -- от самых простых до "настоящего" якобиана (гессиана) и переходить от одной аппроксимации к другой на различных шагах одного и того же итерационного процесса.
  

5 Разбор численного метода, предложенного О.Ф. Ковалевым

  

5.1 Численный метод, предложенный О.Ф. Ковалевым -- это недоформулированный уже известный квази- метод Ньютона (недоформулированный вариант метода итераций)

  
   Итак, мы выяснили, что метод, предложенный О.Ф. Ковалевым и который он называет "комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" целиком относится к области численных методов и, мягко говоря, его можно рассматривать как никак не относящийся ни к конечным элементам, ни к вторичным источникам -- даже в странном понимании вторичных источников как микроскопических источников.
   Мы выяснили, что итерационную схему, предложенную О.Ф. Ковалевым, можно естественным образом получить, двигаясь к ней либо со стороны квази- методов Ньютона, либо со стороны различных вариантов метода итераций. Самим О.Ф. Ковалевым такая итерационная схема получена "странно" --как результат бессмысленных уничтожающих друг друга подстановок и последующего несокращения подобных слагаемых при "препарировании" исходного функционала для минимизации. То есть, по-видимому, О.Ф. Ковалев плохо представляет себе (или вообще не представляет) то, как предложенная им схема выглядит "с точки зрения" квази- методов Ньютона и метода итераций.
   Далее мы несколько иначе записали схему, предложенную О.Ф. Ковалевым и попытались исчерпывающе сформулировать метод, предложенный О.Ф. Ковалевым как исключительно численный метод решения системы нелинейных алгебраических уравнений, годный для "общего случая" (смотри главу 3.6). При этом мы выяснили, что на улучшение метода (по сути, прекондиционер), предложенное О.Ф. Ковалевым в "общем случае" рассчитывать нельзя.
   После формулировки "метода Ковалева" для "общего случая" как исключительно численного метода у нас остался невыясненным только один вопрос -- какова же должна быть оптимальная "статическая" матрица 0x01 graphic
, чтобы сходимость метода была наилучшей. Сам Ковалев, подчеркнем, по сути, не дает ответа на этот вопрос. При этом неявно выдвигается условие на трудоемкость вычисления 0x01 graphic
: она (трудоемкость) должна быть на уровне трудоемкости сборки матрицы жесткости 0x01 graphic
.
   После рассмотрения методов Ньютона и квази- методов Ньютона, а также метода итераций и его вариантов у нас имеется все необходимое, чтобы ответить на этот вопрос. Мы установили, что для наилучшей сходимости 0x01 graphic
должен быть как можно "ближе" к минус якобиану системы невязок, полученной из системы нелинейных алгебраических уравнений. Мы выяснили, что минус матрица жесткости последней системы может быть взята в качестве аппроксимации якобиана. Поэтому, очевидно, при имеющихся ограничениях на трудоемкость вычисления 0x01 graphic
, в качестве 0x01 graphic
должна браться матрица жесткости, вычисленная при начальном приближении 0x01 graphic
. При таком выборе 0x01 graphic
(0x01 graphic
), метод, предложенный О.Ф. Ковалевым, превращается в хорошо известный квази- метод Ньютона, который описательно можно назвать так: "квази- метод Ньютона, получающийся из модифицированного метода Ньютона аппроксимацией якобиана матрицей жесткости (при выключении средств глобализации сходимости)". Кроме того, этот же метод, предложенный О.Ф. Ковалевым, можно рассматривать как один из вариантов метода итераций (также получающийся аппроксимацией якобиана матрицей жесткости). Последнему методу мы условно дали название "модифицированный метод простых итераций".
   Из сказанного видно, что метод, предложенный Ковалевым, можно рассматривать как недоформулированный модифицированный метод простых итераций или недоформулированный же вышеупомянутый квази- метод Ньютона с длинным описательным названием. Недоформулированность, напомним, заключается в том, что О.Ф. Ковалев не указал, какова же должна быть матрица 0x01 graphic
.
   Повторим третий раз: даже если "метод Ковалева" доформулировать, положив 0x01 graphic
, и получить то, что мы здесь условно называем "модифицированный метод простых итераций" или некоторый квази- метод Ньютона, то все равно в таком методе не будет ничего нового и интересного, так как аппроксимация якобиана матрицей жесткости -- давно известный и широко используемый прием.
   Мы уже говорили, что термин "модифицированный метод простых итераций" используется только в рамках настоящей работы. Среди вариантов метода итераций для него нет широкоизвестного "выделенного" имени. Это же можно сказать и про рассмотрение "модифицированного метода простых итераций" как некоторого квази- метода Ньютона. Если вы хотите, чтобы вас понимали все, то рассматриваемому методу придется давать длинное развернутое "описательное" название.
   Интересно, что О.Ф. Ковалев даже не понимает, что у изобретенного им метода сходимость будет хуже, чем у метода простых итераций. Как мы видели, у "метода Ковалева" сходимость должна быть даже хуже, чем у того, что мы здесь называем "модифицированный метод простых итераций", так как Ковалев не знает, какое надо брать 0x01 graphic
. Так, на стр. 31-32 в [КОВАЛЕВ2001], сравнивая результаты, полученные его методом, с результатами расчета по методу простых итераций, он пишет: "...можно гарантировать существенное сокращение времени расчета при равных условиях сходимости итерационного процесса". Надеюсь, понятно, что это неверное мнение -- это все равно, что сказать: "у модифицированного метода Ньютона (где якобиан вычисляется только на первом шаге) сходимость не хуже, чем у метода Ньютона (где якобиан вычисляется на каждом шаге)". То, что метод работает быстрее, вовсе не значит, что у него сходимость лучше. Как правило, дело обстоит совсем наоборот: чем быстрее работает метод, тем примитивнее аппроксимация якобиана, а высокая скорость достигается только для тех случаев, когда система уравнений имеет относительно слабую (для выбранной аппроксимации якобиана) нелинейность.
  

5.2 Улучшение метода, предложенное Ковалевым, как прекондиционер

  
   Прекондиционер -- это алгоритм поиска улучшенного начального приближения. Как мы говорили, чем ближе начальное приближение к решению, тем с большей уверенностью можно ожидать, что итерационный процесс сойдется (разумеется, как вы помните, стартовать надо именно с этого начального приближения). Кроме того, при хорошем начальном приближении следует ожидать, что потребуется малое количество шагов итерационного процесса.
   Замечание. Отметим, что квадратичная сходимость при использовании метода Ньютона (которой этот метод славится) наблюдается тогда, когда мы "достаточно близко" к решению. Конец замечания.
   Предположим, что мы решаем систему с сотнями тысяч уравнений и нам нужно выбрать хорошее начальное приближение. Можно разбить расчетную область не на сотни тысяч конечных элементов, а на тысячи или сотни и сначала решить задачу меньшей размерности. После этого результат следует интерполировать на случай сотен тысяч конечных элементов. Действуя таким образом, мы достаточно быстро получим хорошее начальное приближение для решения большой системы. Это и есть пример простого прекондиционера.
   О.Ф. Ковалевым разработан способ "улучшения" матрицы 0x01 graphic
, который был нами рассмотрен в главе (3.5). Этот способ тоже можно рассматривать как своеобразный прекондиционер. Там, напомним, 0x01 graphic
рассматривалась, по сути, как некоторое 0x01 graphic
. Читатель может спросить: если Ковалев действовал таким образом, то почему мы говорим, что его метод надо "доформулировать"? Ведь если 0x01 graphic
, то это и есть "модифицированный метод простых итераций"! Дело тут в следующем: О.Ф. Ковалев вычислял 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
не вычислял (по формуле 0x01 graphic
)! Иначе говоря, его итерационный процесс после вычисления 0x01 graphic
стартует не с 0x01 graphic
, а с какого-то другого "начального приближения", которое "неестественно" для вычисленного 0x01 graphic
.
   Если стартовать с нулевого начального приближения, том на первом же шаге мы придем к вышеупомянутому 0x01 graphic
(теперь это будет 0x01 graphic
). Однако, мы не обязаны стартовать с нулевого начального приближения. Таким образом, вопрос о том, каково же должно быть начальное приближение при использовании улучшения, предложенного Ковалевым, остается открытым.
   Если рассматривать данное улучшение как прекондиционер, то его, очевидно, надо доработать: после вычисления 0x01 graphic
надо вычислить 0x01 graphic
и затем в действительности использовать его в качестве начального приближения. При этом у нас будет иметь место использование результатов обращения 0x01 graphic
, выполняемого при работе прекондиционера, в работе непосредственно самого итерационного процесса (получается, что итерационный процесс при использовании прекондиционера вообще не обращает 0x01 graphic
).
   Отметим также, что данный прекондиционер может работать не во всех случаях -- так, если нам заранее неизвестна "предположительная" магнитная проницаемость, то мы не можем использовать данный прекондиционер.
  

5.3 Некорректность сопоставлений при оценке выигрыша, даваемого разработанным Ковалевым методом

  
   В [КОВАЛЕВ2001], Табл. 1.2. на стр. 39, приводится сопоставление скоростей работы метода простых итераций и метода, предложенного Ковалевым для сред с малой нелинейностью. Из таблицы видно, что "метод Ковалева" дает выигрыш в несколько раз. Поясним, почему такое сопоставление неправомерно.
   Во-первых, "метод Ковалева" выполняет обращение матрицы 0x01 graphic
только один раз, а метод простых итераций обращает матрицу жесткости на каждом шаге. Очевидно, чтобы сопоставление было корректным, "метод Ковалева" необходимо сопоставлять с уже известными методами, которые выполняют подобные обращения только один раз. Мы уже знаем один такой метод -- это квази- метод Ньютона, получающийся из модифицированного метода Ньютона аппроксимацией якобиана с помощью матрицы жесткости (этот метод мы условно назвали "модифицированный метод простых итераций). Поскольку, как мы выяснили, "метод Ковалева" -- это попросту "недоформулированный" модифицированный метод простых итераций (Ковалев, напомним, не знает, какой же должна быть матрица 0x01 graphic
, если ее надо вычислять не сложнее, чем матрицу жесткости), то он, "метод Ковалева", грубо говоря, не может работать луче "модифицированного метода простых итераций". Мы говорим здесь "грубо" потому, что выбирая 0x01 graphic
случайно, мы можем "попасть" на более хорошую аппроксимацию якобиана или на настоящий якобиан, на что, правда, надеяться не стоит. Напомним, Ковалев не рассматривает 0x01 graphic
как аппроксимацию "минус якобиана" вовсе.
   Во-вторых, хоть и не совсем правильно, Ковалев использует прекондиционер! Стартуя с нулевого начального приближения, а не с того, что соответствует 0x01 graphic
, он ничего не проигрывает, даже не совсем правильно используя прекондиционер (не отделяя работу прекондиционера от работы итерационного процесса). Понятно, что тот метод, с которым Ковалев сравнивает свой, тоже должен использовать точно такой же прекондиционер.
   В-третьих. Сравнение методов по скорости однобоко. Если "метод Ковалева" сходится, то это значит, что среды имеют достаточно слабую нелинейность. Если нелинейности будут сильнее, то "метод Ковалева" может вообще не сойтись (или не сойтись за приемлемое время), в то время как "более медленный" метод простых итераций -- сойдется.
   В-четвертых. Я не знаю, каким критерием пользуется Ковалев для останова итерационного процесса. В связи с этим просто замечу: использование в качестве критерия останова нормы невязки, а не нормы близости соседних векторов приближенного решения занизит результат, так как вычисление нормы невязки -- гораздо более трудоемкий процесс.
   Замечание. В вышеупомянутой таблице Ковалев сравнивает, как он сам пишет, "традиционный МКЭ" и "комбинированный метод". Вы понимаете -- на самом деле речь идет попросту о сравнении метода итераций с "недоформулированным" модифицированным методом итераций. Конец замечания.
  

5.4 О.Ф. Ковалев для "исследования сходимости" предложенной итерационной схемы использует кусочно-линейные среды, вместо нелинейных, и приходит к выводу, что процесс сойдется в любом случае

  
   В главе 1.4 [КОВАЛЕВ2001] О.Ф. Ковалев занимается исследованием сходимости предложенной им итерационной схемы, рассматривая ее как вариант метода итераций. Собственно, непонятно, зачем эти исследования нужны, если предложенная им итерационная схема, как мы убедились, является хорошо известным вариантом квази- методов Ньютона (вариантом метода итераций). Тем не менее, в этой главе нас ждет много забавного.
   В начале Ковалев приводит оценку погрешности очередной итерации (используем наши обозначения):
   0x01 graphic
.
   Здесь, говоря словами Ковалева, 0x01 graphic
-- это "направление, соединяющее точки 0x01 graphic
и 0x01 graphic
" (решение), 0x01 graphic
-- "некоторая точка, лежащая между 0x01 graphic
и 0x01 graphic
на этом направлении". Обозначение 0x01 graphic
выглядит странно и о том, что здесь подразумевается, мы поговорим ниже.
   Ковалев так комментирует это равенство (стр. 40): "Равенство... означает, что вектор погрешности нового приближения равен матрице производных, умноженной на вектор погрешности предыдущего приближения. Если норма матрицы производных (матрицы Якоби) меньше единицы, то норма погрешности убывает с увеличением номера итерации по геометрической прогрессии, что означает линейную сходимость метода".
   Точность утверждения поражает: выше мы использовали три канонических нормы матрицы и две нормы матрицы ("первую" и "вторую"), которые вычислялись не относительно конкретной точки, а относительно целой области. Причем мы оговаривали, что помимо упомянутых трех норм, существуют другие канонические нормы и, кроме того, существуют нормы неканонические. Какие нормы подразумевает тут Ковалев, "исследуя сходимость"? Выше мы оговаривали, что если не указана конкретная норма матрицы, то подразумевается любая из введенных нами трех канонических норм. Но Ковалев никаких норм не вводит вообще и ничего не оговаривает!
   Из цитаты становится видно, что 0x01 graphic
-- это попросту 0x01 graphic
, то есть, 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
, 0x01 graphic
 или, возможно, 0x01 graphic
 -- в зависимости от того, как понимать слово "между". Здесь 0x01 graphic
--свое для каждого шага.
   Итак, Ковалев утверждает, что имеет место равенство
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
 или 0x01 graphic
.
   Это равенство он взял из книги Калиткина "Численные методы", где оно, по сути, не выводится, а просто декларируется как обобщение, "очевидно" получающееся после рассмотрения случая функции одной переменной. Тем не менее, хотелось бы познакомиться с выводом данной формулы (у Калиткина также имеется обозначение 0x01 graphic
).
   Мы уже приводили достаточные условия сходимости итерационного процесса метода итерации ("первое" и "второе"). Повторим их (очень грубо): должно выполняться одно из условий
   0x01 graphic
 или 0x01 graphic
;
   при этом, если имеет место одно из неравенств, для оценки скорости сходимости можно воспользоваться формулами
   0x01 graphic
 или 0x01 graphic
.
   При этом, напомним, "первая" и "вторая" нормы вычисляются относительно области, которая содержит начальное приближение и все последующие приближения (и обладает некоторыми другими свойствами). Вывод этих условий не так прост, как представлено Ковалевым.
   Вернемся к формуле, которую приводит Ковалев:
   0x01 graphic
.
   Легко, заметить, что она напоминает лемму, используемую при доказательстве второго достаточного условия сходимости итерационного процесса метода итераций.
   Лемма. Пусть вектор-функция 0x01 graphic
 и якобиан 0x01 graphic
 непрерывны в выпуклой области 0x01 graphic
; если 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
 -- точки, принадлежащие 0x01 graphic
, то справедливо неравенство
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
.
   Как видим, разница между этими двумя формулами очень большая.
   Далее Ковалев пытается провести "анализ сходимости" более конкретно. Мы уже говорили, что вышеприведенные формулы носят, скорее, теоретический характер -- никто при системах большой размерности не будет вычислять 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
, так как это потребует вычисления якобиана во всех точках некоторой области (которую, в свою очередь, также нужно будет определить). Кроме того, используемые нами условия -- достаточные, а не необходимые, так что, если они не выполняются, мы так и не сможем сказать -- сойдется итерационный процесс или нет. Тем не менее, Ковалев советует для оценки сходимости строить мажорирующую 0x01 graphic
матрицу, которую он обозначает 0x01 graphic
. Вот как это предлагается сделать:
   0x01 graphic
   В этом случае норма (какая -- Ковалев не говорит) 0x01 graphic
, естественно, будет больше или равна норме 0x01 graphic
в любой точке. Для этого, естественно, нужно опять вычислить во всех точках... 0x01 graphic
.
   Подобные построения могут быть полезны, как правило, когда известны точные аналитические выражения для каждого элемента якобиана, когда эти выражения просты и когда размерность якобиана небольшая. Тогда можно надеяться получить легковычислимую (по сравнению с вычислением настоящего якобиана) мажорирующую матрицу и показать, что для определенной области ее норма (какая?) меньше единицы, а, значит, итерационный процесс, при определенных допущениях, гарантированно сойдется. Построение такой мажорирующей матрицы может оказаться непростой задачей. Тем более эта задача будет непростой в нашем случае -- когда могут иметься десятки и сотни тысяч уравнений. При тех расчетах, которые мы ведем (расчет магнитного поля с использованием конечных элементов) вряд ли кто-то когда-то всерьез займется построением "мажорирующей матрицы" для якобиана. Подчеркнем: 0x01 graphic
"вычисляется" относительно всей области, а не относительно отдельной точки!
   Далее Ковалев выполняет "исследование сходимости для предложенного комбинированного метода". Под этим он понимает "исследование сходимости" для... линейного случая! Зачем нужно подобное "исследование", если заранее можно сказать, что в этом случае все прекрасно сойдется и итерационный процесс можно вообще не организовывать, а просто решить систему линейных алгебраических уравнений? Если же итерационный процесс организовать, то заранее известно, что он сойдется после первой же итерации, если в качестве начального приближения выбрать нулевой вектор.
   Не касаясь того, правильно ли был получен результат или нет и правилен он или нет, приведем конечную формулу (1.33) в наших обозначениях:
   0x01 graphic
.
   Здесь идет перебор по подобластям с различными средами (различными относительными магнитными проницаемостями 0x01 graphic
).
   Замечание. В формуле (1.33) в [КОВАЛЕВ2001] описка -- в знаменателе слева должен быть индекс, в котором (индексе) должен стоять нуль. Это видно из ненумерованной формулы, приведенной выше (1.33). Мы исправили описку. Конец замечания.
   Иначе эту же формулу можно записать так:
   0x01 graphic
.
   Она означает, что для всех известных сред (диа-, пара- и ферромагнетиков) итерационный процесс сойдется. Это и не удивительно -- среда-то кусочно-линейная! Вот так "исследование сходимости"... Отметим -- мы не касались того, правилен ли был вывод формулы (и правильна ли сама формула).
   Кстати, при выводе Ковалевым была использована "исходная" система уравнений, а не редуцированная, то есть, составленная в предположении, что имеет место безусловная минимизация.
  

5.5 Сходимость несуществующих "локальных" итерационных процессов, "открытых" О.Ф. Ковалевым

  
   Для начала нам надо получить несколько формул, которые нам понадобятся в дальнейшем.
   Выведем формулу вычисления якобиана от произведения функции 0x01 graphic
на вектор-функцию 0x01 graphic
, то есть вычисления 0x01 graphic
. Попытаемся действовать оператором Гамильтона так, как будто мы берем обычную производную (при этом результат обязательно надо проверять на правильность). Иначе говоря, будем действовать так, как будто бы берем производную от произведения двух функций:
   0x01 graphic
   Чтобы выражение справа было похоже на "правильное" необходимо сделать некоторые изменения. Вместо 0x01 graphic
, очевидно, следует писать 0x01 graphic
, то есть, здесь мы берем обычный градиент от скалярной функции. Чтобы первое слагаемое имело нужную размерность, необходимо поменять местами множители. Очевидно, что 0x01 graphic
. Перепишем исходную формулу заново, учитывая замечания:
   0x01 graphic
.
   В этой формуле размерности совпадают. Это, правда, не значит, что она верна. Мы уже говорили о том, что действия с оператором Гамильтона по правилу действия с обычной производной следует рассматривать всего лишь как "наводящие соображения". Итак, полученное равенство нуждается в проверке. Мы не будем приводить здесь эту проверку. Укажем только, что последняя формула и в самом деле верна. Читатель может выполнить проверку самостоятельно.
   Найдем значение 0x01 graphic
на некотором конечном элементе. Напомним, что при этом 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
. Дифференцирование при взятии градиента идет по локальным переменным.
   0x01 graphic
   Вычислим 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Легко убедиться, что имеет место тождество 0x01 graphic
. Данное тождество необходимо доказывать, сравнивая выражения слева и справа покомпонентно. Аналогично, 0x01 graphic
. Тогда можно записать
   0x01 graphic
.
   Отсюда
   0x01 graphic
.
   Вычислим 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Сделаем подстановку выражения для 0x01 graphic
:
  
   0x01 graphic
.
   Наконец, вычислим 0x01 graphic
. Из вышеприведенной формулы следует, что
   0x01 graphic
.
  
   Для организации итерационного процесса 0x01 graphic
 по "методу Ковалева" исходную систему уравнений надо записать в виде 0x01 graphic
. В нашем случае она имела вид
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Напомним, что такая запись отличается от того, что писал сам Ковалев:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Чтобы получить соответствие между нашей записью и исходной надо положить 0x01 graphic
. Сейчас мы возвращаемся к "исходной" записи, предложенной Ковалевым.
   А теперь, собственно, то чему посвящена данная глава.
   Как было показано, О.Ф. Ковалев считает, что существует множество локальных функционалов и локальных минимизаций, из которых получается минимизация "глобальная". Но на этом он, подобно авторам [НИКИТЕНКО1999] не останавливается -- он идет еще дальше и переносит это нелепое представление в область численных методов. Поскольку, как считает Ковалев, после проведения множества локальных минимизаций получилось множество "локальных" уравнений, то должно иметь место и множество итерационных процессов, которые решают это множество "локальных" уравнений. Из этого множества итерационных процессов должен складываться "глобальный" итерационный процесс -- подобно тому, как из множества "локальных" минимизаций складывается минимизация глобальная. Читатель, надеюсь, понял, что утверждение о наличии множества "локальных" минимизаций и, соответственно, множества "локальных" систем уравнений -- нелепость. Утверждение же о том, что имеет место множество итерационных процессов, которые решают это множество "локальных" систем уравнений -- нелепость в квадрате. У нас имеется только один итерационный процесс, который решает одну-единственную редуцированную систему.
   Кстати. Почему-то Ковалев обходит стороной вопросы получения редуцированной системы из исходной системы. "Глобальная" система собирается им из множества "локальных", которые составлены в предположении о том, что имеет место безусловная минимизация. После того как глобальная система получена, она сразу же (без перехода к полной и затем к редуцированной системе) передается на решение численным методам.
   О.Ф. Ковалев не только говорит о наличии "локальных" итерационных процессов (то есть, связанных с отдельно взятыми конечными элементами), но и занимается вопросами их сходимости. Давайте займемся этим вопросом и мы (разумеется, тут мы обходим стороной то, что на самом деле таких процессов нет). Польза от полученных результатов при этом могла бы быть только в том случае, если бы вся расчетная область покрывалась одним-единственным конечным элементом и имела место не условная минимизация, а безусловная.
   Итак, представим, что у нас имеется один-единственный конечный элемент и ведется безусловная минимизация. Глобальная и локальная нумерация узлов совпадают, совпадают и глобальные и локальные базисные функции. Дальнейшие выкладки будем проводить в "локальных" обозначениях.
   У нас имеется система, записанная в виде 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Для этой системы мы собираемся организовать итерационный процесс 0x01 graphic
.
   Нам необходимо выяснить, при каких условиях этот процесс сойдется. Для решения этого вопроса воспользуемся первым или вторым достаточным условием сходимости итерационного процесса метода итераций. Напомним, для этого нам необходимо вычислить "первую" или "вторую" нормы 0x01 graphic
(эти нормы вычисляются "относительно" целой области, а не одной точки области). Сначала нам нужно получить выражения для 0x01 graphic
. В нашем случае 0x01 graphic
.
   Сделаем допущение: конечноэлементный базис выбран так, что магнитная проницаемость остается постоянной в пределах каждого конечного элемента. В этом случае, при вычислении матрицы магнитную проницаемость можно вынести за знак интеграла. Договоримся также, что мы не используем "улучшения", предложенного Ковалевым, то есть 0x01 graphic
вычисляется при магнитной проницаемости, равной магнитной проницаемости вакуума 0x01 graphic
. В этом случае можно определить "постоянную" матрицу 0x01 graphic
такую, что
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Отсюда
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   Итак,
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
-- некоторая постоянная вектор-функция (для дальнейших вычислений нам важно только то, что она постоянная).
   Для оценки сходимости нам надо взять 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Все, необходимое для дальнейших вычислений у нас уже есть -- надо только делать подстановки. (При этом надо учесть, что у нас нет 0x01 graphic
, то есть, вместо него в формулы подставлять единицу). В результате получим:
   0x01 graphic
.
   Приводя подобные слагаемые, окончательно получаем:
   0x01 graphic
.
   Как и положено для якобиана, мы получаем квадратную матрицу.
   Далее мы не будем вычислять первую и вторую нормы якобиана для какой-либо области (эту область еще надо определить), а перейдем к сравнению наших результатов с результатами Ковалева. Наше выражение для 0x01 graphic
отличается от того, что, действуя подобным образом, получил О.Ф. Ковалев -- смотри формулу (1.35) на стр. 43 [КОВАЛЕВ2001]. У него вместо квадратной матрицы якобиан оказался... скалярной величиной! Этого вполне достаточно, чтобы показать неверность вывода формулы (1.35) и неверность всего, что последует далее на стр. 43-45 даже в предположении того, что "локальные" итерационные процессы в самом деле имеют место.
   Приведем в наших обозначениях формулу (1.35):
   0x01 graphic
   Здесь преобразования до конца не завершены -- в частности, необходимо взять производную. Но мы делать этого не будем. Отметим, что по смыслу Ковалев проделывает преобразования с 0x01 graphic
, но везде в преобразованиях пишет не 0x01 graphic
, а привычное всем 0x01 graphic
. Здесь мы исправили эту ошибку. Еще раз отметим: получившееся у Ковалева выражение для якобиана 0x01 graphic
-- скаляр; Ковалев не остановился и не задумался, даже получив столь странный результат, но смело стал использовать его дальше (об этом поговорим позже). Это самое "использование дальше" стало легко возможным потому, что выражение получилось достаточно простое (в обозначениях Ковалева оно выглядит еще проще, так как он использует величины, обратные абсолютным магнитным проницаемостям и производную брать не надо).
   Интересно посмотреть то, как Ковалев проводит вывод формулы (1.35). Так, он использует оператор 0x01 graphic
. Раньше он использовал его в смысле нашего оператора 0x01 graphic
. Здесь 0x01 graphic
используется и для обозначения того, что мы обозначаем как 0x01 graphic
, то есть для взятия якобиана. Возникает путаница: ведь, как мы видели, у нас будет иметь место и оператор 0x01 graphic
, похожий на 0x01 graphic
, и оператор 0x01 graphic
. О.Ф. Ковалев для "анализа сходимости" берет якобиан (градиент от вектор-функции), а обозначения использует такие, как будто берет градиент от скалярной функции с последующим транспонированием результата. (Впрочем, хотя это и запутывает дело, можно попытаться разобраться с тем, с чем мы имеем дело, с помощью анализа размерностей.) Кроме того, у О.Ф. Ковалева появляется "странное мнение" о том, что 0x01 graphic
! Мы уже говорили о том, какую опасность таит обозначение 0x01 graphic
и о том, что лучше использовать обозначения, связанные с оператором Гамильтона. 0x01 graphic
-- это, по смыслу того, что делается, должно быть вычислением якобиана от вектор-функции 0x01 graphic
: 0x01 graphic
. Создается впечатления, что Ковалев не совсем понимает, что же такое используемое им 0x01 graphic
.
   Если попытаться определить первую или вторую нормы 0x01 graphic
так, как полагается, то нас ждет много трудностей. Во-первых, отметим, что 0x01 graphic
зависит от вида локальных базисных функций, то есть, от геометрии конечного элемента. Во-вторых, отметим, что норма (нормы -- их две) должна вычисляться относительно некоторой области, в которой будет протекать итерационный процесс и в которой будут находиться начальное приближение, и все последующие "последовательные приближения", на которые мы "попадем" при проведении итерационного процесса. Таким образом, нам нужно будет вычислять якобиан в каждой из точек области, а этих точек, напомним -- бесчисленное количество. И, в-третьих, как уже говорилось, надо "очертить" саму область, в которой мы будем вычислять якобианы -- а для этого, возможно, придется достаточно большое число раз прогнать итерационный процесс с разными начальными приближениями, с внесением возмущений и т.д.
   Помните -- на самом деле у нас нет никаких "локальных" итерационных процессов!
   Интересно, что в [КОВАЛЕВ2001] не говорят о коэффициенте длины шага итерационного процесса (коэффициенте релаксации) до самого "введения" "локальных" итерационных процессов. Для каждого отдельно взятого "локального" итерационного процесса Ковалев вводит свой отдельный коэффициент релаксации (это уже не удивляет). Этот коэффициент он обозначает 0x01 graphic
(по сути 0x01 graphic
) - смотри формулу (1.39), стр. 42.
   На основании неверной формулы (1.35) Ковалев строит не только мажорирующую матрицу для якобиана, но и пытается получить формулы для определения оптимального 0x01 graphic
(для каждого шага каждого "локального" итерационного процесса) -- этому и посвящены стр. 43-45.
   В автореферате к докторской диссертации [АВТОРЕФЕРАТ], стр. 11 вышеупомянутые "локальные" коэффициенты длины шага итерационного процесса ("локальные" коэффициенты релаксации) названы почему-то коэффициентами демпфирования: "Получены выражения для коэффициентов демпфирования, индивидуальных для каждого 0x01 graphic
-го элемента, обеспечивающих улучшение сходимости". Видимо, это сделано для того, чтобы вопиющая бессмыслица не так сильно бросалась в глаза.
   В [КОВАЛЕВ2001] на стр. 44 пишется: "параметр 0x01 graphic
итерационного процесса согласно рекомендациям большинства литературных источников является величиной эмпирической... В среднем предлагается принимать его значения в диапазоне 0x01 graphic
". Но я не думаю, что кто-то еще додумался до подобных "коэффициентов демпфирования". Речь тут идет, по-видимому, об обычном коэффициенте релаксации, который мы обозначали 0x01 graphic
. Интересно, что из фразы, скорее всего, следует, что надо выбрать 0x01 graphic
одинаковым для всех шагов (из указанного диапазона). При этом -- ни слова о возможности вести "обратный откат" в виде, скажем, линейного поиска, или "двойной обратный откат". Чтобы достичь значения 0x01 graphic
, меньшего, чем 0x01 graphic
при линейном поиске потребуется всего пять попыток -- не так уж и много. На практике можно встретиться, по меньшей мере, с более чем десятком таких попыток.
  

5.6 Место предложенных О.Ф. Ковалевым комбинированного метода конечных элементов и вторичных источников и модифицированного метода конечных элементов в его диссертационной работе

  
   "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" (КМКЭ-ВИ) занимает центральное место в диссертационной работе О.Ф. на соискание ученой степени доктора технических наук [ДИССЕРТАЦИЯ]. Мы вели изложение данного метода по монографии [КОВАЛЕВ2001], которая, скорее всего, более доступна читателю. По крайней мере, если она имеется в библиотеке, то для доступа к ней нет необходимости получать письменного разрешения. Монография [КОВАЛЕВ2001] отражает основные результаты исследований, вынесенных на защиту. Что касается непосредственно комбинированного метода, то его изложение в монографии и в диссертации почти одинаково. Изредка мы прибегали к автореферату диссертации [АФТОРЕФЕРАТ]. Кроме того, основные положения метода были опубликованы в "ВАКовском" журнале "Известия вузов. Электромеханика" [КОВАЛЕВ2000].
   Согласно автореферату диссертации, среди "основных научных результатов и положений, выносимых на защиту" комбинированный метод идет первым номером (всего 10 пунктов).
   Однако помимо КМКЭ-ВИ О.Ф. Ковалев разработал еще один метод -- так называемый "модифицированный метод конечных элементов" (ММКЭ), который "примыкает" к КМКЭ-ВИ. Он излагается в [КОВАЛЕВ2001], глава 1.6 -- "Применение комбинированного метода конечных элементов и вторичных источников к решению задач расчета магнитного поля при вариации расчетной сетки", однако там, по-видимому, название ММКЭ не фигурирует. Такое название появляется только в автореферате к диссертации. Таким образом, по мнению О.Ф. Ковалева, ММКЭ -- это результат применения КМКЭ-ВИ к решению "связанных" общей топологией и "физикой" задач, когда конечноэлементная сетка одной задачи получается из конечноэлементной сетки другой задачи путем ее малой (относительно) деформации.
   Суть того, что делает Ковалев, заключается в следующем: если деформация сетки в двух связанных задачах мала, то якобиан (или его приближение) одной задачи можно использовать в другой задаче.
   Так, если мы решаем "первую" задачу с аппроксимацией якобиана 0x01 graphic
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   а затем переходим к решению второй задачи, топологически и физически близкой перовой, где 0x01 graphic
, то мы можем попытаться воспользоваться уже имеющейся аппроксимацией якобиана 0x01 graphic
(и его обращением), а не вычислять новую аппроксимацию 0x01 graphic
(а затем обращать ее), запустив итерационный процесс
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Естественно, при этом можно записать, что 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   О.Ф. Ковалев просто переписывает эти итерационные схемы несколько иначе (так, чтобы получилось, то, что мы назвали "модифицированный метод простых итераций", а 0x01 graphic
и 0x01 graphic
"трактует" в свойственной ему манере как "вторичные источники".
   О.Ф. Ковалев предлагает ряд формул для вычисления 0x01 graphic
и 0x01 graphic
для использования четырехугольных конечных элементов.
   Данный метод предполагается применять тогда, когда топологические изменения не просто малы, но еще и таковы, что затрагивают лишь только некоторые относительно небольшие подобласти расчетной области.
   Это и есть "модифицированный метод конечных элементов" (ММКЭ), который выносится О.Ф. Ковалевым на защиту. Повторим: по сути, даже если говорить в терминах О.Ф. Ковалева, это и есть "комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников", примененный к решению топологически и физически "связанных" задач. Так о нем Ковалев и писал в монографии [КОВАЛЕВ2001].
   По поводу формул, предлагаемых О.Ф. Ковалевым, следует заметить следующее: не проще ли попросту пересобрать части матриц, ответственные за те подобласти, которые захватывает деформация? Такую возможность достаточно просто включить в пакет прикладных программ, реализующий расчеты магнитного поля. При этом не надо мучиться с формулами для каждого конкретного вида конечных элементов.
   КМКЭ-ВИ и ММКЭ составляют, грубо говоря, вторую главу диссертационной работы. Про третью главу в [АВТОРЕФЕРАТ], стр. 16 можно прочесть следующее: "В третьем разделе на основе модифицированного МКЭ (то есть, ММКЭ) разработаны и реализованы методики проектирования ЭММ с заданными свойствами." Но ведь ММКЭ -- это, по существу, КМКЭ-ВИ, а он, в свою очередь, если очистить его от шелухи -- всего недоформулированный квази- метод Ньютона -- один из множества! Не значит ли, что в третьей главе попросту показывают, что этот недофрмулированный метод "есть к чему применить"?! И если методики разработаны на основе одного недоформулированного квази- метода Ньютона, то, может быть, их можно было разработать и на множестве других квази- методов Ньютона и разных вариантах метода итераций? Как "методики проектирования" связаны здесь с "заурядными" численными методами?
   Среди "основных научных результатов и положений, выносимых на защиту" применение MMКЭ в той или иной областях идет под номерами 6, 7 и 8.
   Интересно, что среди 12 пунктов "научной новизны" в [АВТОРЕФЕРАТ], стр. 6 первым пунктом идет: "Обоснована необходимость применения комбинированных методов с целью повышения эффективности современных методов математического и натурного моделирования". Применение "комбинированных методов" -- это достаточно модное "ключевое слово" в области расчета электромагнитного поля--- да и в других областях, наверное, тоже. Но, как видим, на самом деле КМКЭ-ВИ не имеет ничего общего с вторичными источниками; мало общего у него и с конечными элементами. Он относится к квази- методам Ньютона, к численным методам решения систем нелинейных алгебраических уравнений. И с "конечными элементами" его связывает только то, что система нелинейных алгебраических уравнений может быть получена "с применением" конечноэлементной аппроксимации искомой функции. Но системы нелинейных алгебраических уравнений могут быть получены и множеством других способов.
   Теперь напомним о том, пути, который прошли работы О.Ф. Ковалева, прежде чем "увидели свет".
   Рецензентом монографии [КОВАЛЕВ2001] был д.т.н., проф. Ю.А. Бахвалов. В частности, во введении к монографии пишется: "Автор выражает благодарность редакционной коллегии журнала "Электромеханика" и лично его главному редактору -- проф. Ю.А. Бахвалову за большой труд по рецензированию книги и ряд ценных замечаний по ее содержанию, также доценту кафедры "Электрические, электронные и микропроцессорные аппараты" Южно-Российского государственного технического университета... В.П. Гринченкову за исключительно ценные консультации по научным вопросам и основным идеям, составляющим основу данного издания".
   Что касается защиты диссертации, то научным консультантом у О.Ф. Ковалева был д.т.н., проф. А.Г. Никитенко (ныне покойный), а официальными оппонентами -- д.т.н., проф. П.А. Курбатов, д.т.н., проф. А.Н. Ткачев, д.т.н., проф. Л.А. Зинченко.
   Ю.А. Бахвалов являлся также зав. каф. "Прикладная математика" ЮРГТУ (НПИ). А.Н. Ткачев является зав. каф. "Прикладная математика" в настоящее время; кроме того, он является проректором ЮРГТУ.
   Диссертационная работа выполнена на кафедре "Электрические, электронные и микропроцессорные аппараты" ЮРГТУ(НПИ), на которой в то время О.Ф. Ковалев был доцентом. (Это, грубо говоря, "первичная организация", которая рекомендует работу к защите.)
   Ведущим предприятием было "Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт электровозостроения". (Это, грубо говоря, "серьезная организация", которая дает "добро" на то, чтобы признать исследования "ценными для народного хозяйства" и удостоверить, что они "нашли важное практическое применение".) Упомянутый институт -- это "институт при НЭВЗе" -- Новочеркасском электровозостроительном заводе, который был "монополистом" на отечественном рынке электровозов еще со времен "раннего СССР".
   В [АВТОРЕФЕРАТ], стр. 5 также пишется: "Работа выполнена в рамках комплексной целевой научно-технической программы "ТЕХНОЛОГ" заказ-наряда E4286143-3Э71 Министерства электротехнической промышленности, а также в соответствии с научным направлением Южно-Российского государственного технического университета "Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы" от 21.01.1995 г., N 3.15, которое относится к "Приоритетным направлениям развития науки и техники", утвержденным Председателем Правительства Российской Федерации 21 июня 1996 г. N 2727 п. - П. 8 раздел "Математическое моделирование и методы прикладной математики"".
   По сведениям из автореферата (если не было переноса), защита работы состоялась 19 декабря 2001 г. на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 в Южно-Российском государственном техническом университете (Новочеркасском политехническом институте), город Новочеркасск.
   После защиты диссертации в 2002 г. О.Ф. Ковалев был избран зав. каф. "Электронные вычислительные машины, системы, комплексы и сети". В том же году был избран на должность профессора кафедры и назначен проректором ЮРГТУ. В должности проректора оставался до 2006 года. В настоящее время -- заведующий кафедрой. В 2007 году О.Ф. Ковалеву было присвоено звание профессора. Это подразумевает защиту под его руководством нескольких кандидатских диссертаций.
  

Послесловие

  
   Случай, когда заурядный, давно и хорошо известный квази- метод Ньютона сделан центральной темой диссертационной работы с претензией на новизну, причем в издевательски недоформулированном виде, сам по себе достаточно дикий. Тем не менее, диссертационная работа успешно прошла все проверки. Более того, этот метод был "запрятан" в странный "комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников", который на самом деле заключается лишь в бессмысленных подстановках, уничтожающих одна другую и неприведении подобных слагаемых, получившихся после этих подстановок. Такой странный способ действий создавал видимость того, что к "недоформулированному модифицированному методу простых итераций" мы пришли не со стороны квази- методов Ньютона или вариантов метода итераций, а со стороны комбинированных методов расчета электромагнитного поля, что придавало методу "модность" и вес.
   Удивляет также и то, количество ошибок, которое совершил автор монографии [КОВАЛЕВ2001]. Если задаться вопросом, было ли то, что описано выше совершено "со злым намерением", намеренно, или по ошибке то, скорее всего, следует сказать, что автор попросту не ведает, что творит. Так, например, человек, действовавший осознанно, по меньшей мере должен быть знаком с теми областями, в которых он совершает обман, то есть он должен представлять себе, как то, что он предлагает, выглядит со стороны квази- методов Ньютона и вариантов метода итераций, как правильно следует минимизировать функционал, как переходить от исходной системы к редуцированной, как правильно организовать работу прекондиционера и т.д. Он бы, на мой взгляд, действовал так: взял то, что мы называем "модифицированный метод простых итераций", недоформулировал бы его, но создал бы "улучшенный вариант" для расчета статического магнитного поля (как это сделал Ковалев, но с правильным использованием прекондиционера), а затем, зная что должно быть, попытался бы прийти к итерационной схеме метода через бесполезные подстановки и несокращение подобных слагаемых. Все остальное бы он написал правильно. Что же мы видим в [КОВАЛЕВ2001] "дополнительного" по сравнению с тем, как действовал бы "сознательный" обманщик?
   1. Для минимизации используется сразу два функционала - правильный (для нелинейных сред) и неправильный (для линейных сред) и изложение ведется двумя путями! Логично было бы использовать лишь какой-либо один функционал, даже для обмана, чтобы не создавать слишком очевидного противоречия в изложении.
   2. При изложении минимизации нелинейного функционала явно действует с магнитной проницаемостью, как с линейной.
   3. Проводя выкладки, пропускает "самые интересные" места, хотя от их наличия изложение бы только выиграло.
   4. Приводит "фантастическую" схему сборки матрицы жесткости и вектора нагрузки, из которой становится ясно, что сам он никогда не писал связанных с этим программ и даже не разбирался в этом вопросе.
   6. Не говорит о том, что у нас имеется условная минимизация, и что от "исходной" системы нужно перейти к "редуцированной". Во многих местах, где надо использовать редуцированную систему, он использует "исходную".
   7. Свой метод называет так, что нелепость названия сразу же бросается не только при ознакомлении с методом, но даже до нее.
   8. При изложении метода вторичных источников к таковым причисляет микроскопические источники поля.
   9. Создает, по сути, прекондиционер к методу, но не использует его правильно.
   10. Проводит нелепую "оценку сходимости" для линейных сред, когда заведомо известно, что итерационный процесс сойдется.
   12. Использует дифференциальный оператор, сходный с оператором Гамильтона, но при этом показывает, что не знает, как он "работает".
   13. Проводит нелепую "идею" о существовании множества процессов минимизации "локальных" функционалов, которых на самом деле нет.
   14. Идею о существовании множества минимизаций "локальных" функционалов он развивает до представления о том, что имеется и множество итерационных процессов.
   15. Для каждого из несуществующих итерационных процессов он вводит "коэффициент демпфирования", то есть, коэффициент длины шага итерационного процесса.
   16. Вычисления проводит в наиболее сложном виде -- используя "интегралы от матриц", но столь кратко, что становится непонятным -- действительно ли автор понимает, что делает -- ведь, как было сказано он плохо представляет, как работает "аналог" оператора Гамильтона (пункт 12) и, к тому же, его вовсе не удивляет несовпадение размерностей в полученных выражениях.
   Существуют и другие, более мелкие "странные вещи". Но очевидно одно -- человек, сознательно желающий ввести в заблуждение диссертационный совет и хотя бы минимально знакомый с теми областями, в которых он делает "открытия", ничего из того, что мы перечислили, не сделал бы попросту для того, чтобы не привлекать излишнего внимания.
   Части монографии [КОВАЛЕВ2001], связанные с "комбинированным методом". напоминают работу "неразумного" студента, наспех "клепающего" реферат из множества книг, который не заботится о связности изложения, время от времени что-то перевирает (осознанно или неосознанно, а может, просто от непонимания), а там, где "не стыкуется" или возникают "излишние" сложности, пускает в ход фантазию. И не беда, что он не может выполнить самостоятельно простейшие преобразования -- если не вчитываться, то все выглядит более-менее "красиво", а особо вчитываться вряд ли кто будет...
  

Литература

  
   [АВТОРЕФЕРАТ]
   Ковалев О.Ф. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск.: Изд-во ОВД ЮРГТУ (НПИ), 2001. -- 40с.
   [ДЕМИДОВИЧ1966]
   Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -- М.: Наука, 1966. -- 664с.
   [ДИССЕРТАЦИЯ]
   Ковалев О.Ф. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск, 2001. -- 425с.
   С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Российского государственного технического университета.
   [КОВАЛЕВ2000]
   Ковалев О.Ф. Расчет магнитных полей комбинированным методом конечных элементов и вторичных источников // Изв. вузов Электромеханика. 2000. N4. С. 14-18.
   [КОВАЛЕВ2001]
   Ковалев О.Ф. Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах. -- Ростов н/Д.: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. -- 220с.
   [НИКИТЕНКО1999]
   Никитенко А.Г., Левченко И.И., Гринчеков В.П., Иванченко А.Н., Ковалев О.Ф. Информатика и компьютерное моделирование в электроаппаратостроении. -- М.: Высшая школа, 1999. -- 375с.
   [CИЛЬВЕСТЕР1986]
   Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ. -- М.: Мир, 1986. -- 229с.
   [ШИМОНИ1984]
   Шимони К. Теоретическая электротехника. -- М.: Мир, 1964. -- 774с.
  

Приложение B. Замечания по "методу расщепления" (критика докторской диссертации Г.К. Птаха)

  
   Критика докторской диссертации Г.К. Птаха была выполнена в форме следующей брошюры, изданной как частный заказ небольшим количеством экземпляров:
  
   Автор: Леонов А.В.
   Замечания по "методу расщепления" / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 8 с.
  
   Распечатка содержимого этой брошюры посылалась мной в различных заявлениях с просьбой лишить Г.К. Птаха ученой степени, а именно в ряде тех заявлений, которые были приведены выше.
   Брошюра имеет следующую аннотацию:
   "Рассматривается "метод расщепления" -- одна из "главных тем" диссертационной работы Г.К. Птаха "Развитие методов расчета электромагнитных процессов в электромеханических системах"
   Данная работа может рассматриваться как дополнение к первому изданию книги А.В. Леонова "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений"".
  
   Изначально брошюра предназначалась для свободного распространения -- в частности, в ней написано следующее уведомление: "Вы можете свободно воспроизводить и распространять данную работу целиком или по частям любым способом, в том числе и на коммерческой основе без выплаты вознаграждения автору".
  
   09.06.2020 (время -- московское) данная брошюра была передана мною в Общественные Владения (Public Domain) по лицензии CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
  
   0x01 graphic
   To the extent possible under law, Андрей Владимирович Леонов has waived all copyright and related or neighboring rights to брошюра: Замечания по "методу расщепления" / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 8 с. (критический разбор докторской диссертации Г.К. Птаха). This work is published from: Russian Federation.
   Скачать данную брошюру можно с сайта автора f2f.alturl.com (lion.alturl.com) или с библиотеки "Генезис" (gen.lib.rus.ec).
  
   В настоящей книге текст брошюры печатается с небольшими изменениями, касающимися исправления грамматических и пунктуационных ошибок, а также незначительных недоработок в стилистике.
  

1 Замечания по "методу расщепления"

  
   О.Ф. Ковалев, разрабатывая то, что в "доформулированном" виде в [ЛЕОНОВ2007] условно называется "модифицированный метод простых итераций", в качестве отправной точки "странным образом" взял не какой-либо более "более общий" численный метод, а условную минимизацию функционала. Г.К. Птах, разрабатывая аналогичный численный метод, "привязывает" его к расчету нестационарных процессов в нелинейных электрических цепях с помощью метода контурных токов или метода узловых потенциалов (стационарный процесс при этом может мыслиться как некий "предел" при "достаточно большом" 0x01 graphic
) -- хотя, по идее, этот численный метод следует рассматривать как численный метод "сам по себе", безотносительно того, как была получена система нелинейных уравнений. Составленные уравнения записываются Г.К. Птахом в обобщенном виде следующим образом ([АВТОРЕФЕРАТ], стр. 12 формула (1)):
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
зависит от аргументов как от параметров, то есть, аргументы не подвергаются дифференцированию либо интегрированию. При этом, как видно из дальнейшего, всегда подразумевается решение системы 0x01 graphic
при определенном 0x01 graphic
. Иначе говоря, аргумент 0x01 graphic
для простоты можно опустить. Мы будем поступать именно так, хотя сам Птах этого не делает.
   Итак, в конечном счете, перед нами стоит задача решения системы нелинейных алгебраических уравнений
   0x01 graphic
.
   Используя вектор невязок 0x01 graphic
эту же систему можно записать так:
   0x01 graphic
.
   Далее Г.К. Птах, по сути, создает то, что в [ЛЕОНОВ2007] называется недоформулированный модифицированный метод простых итераций. Недоформулированность выражается в том, что "внятно" не говорится о том, какова же должна быть "постоянная" матрица (смотри ниже), чтобы обеспечить оптимальную сходимость (с определенными оговорками).
   Г.К. Птах представляет 0x01 graphic
в следующем виде:
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
-- некоторая "постоянная" матрица, а 0x01 graphic
-- "переменная" матрица, "дополняющая" ее до 0x01 graphic
(ненумерованная формула после формулы (1) в [АВТОРЕФЕРАТ]).
   Наконец, исходная система 0x01 graphic
записывается в виде
   0x01 graphic
.
   Далее, чтобы придти к недоформулированному модифицированному методу простых итераций, нам надо записать систему в виде 0x01 graphic
, то есть, в виде 0x01 graphic
, и организовать итерационный процесс 0x01 graphic
, то есть, 0x01 graphic
, используя метод "последовательных приближений".
   Напомним, что обозначение 0x01 graphic
(обращение матрицы), по сути, является "иносказанием". При этом, разумеется, возможно и "буквальное прочтение". Когда мы встречаем 0x01 graphic
, то это говорит нам о том, что тем или иным способом (с помощью "настоящего" обращения, с помощью факторизации, с помощью какого-либо итерационного метода или каким-нибудь другим способом) должна быть решена система линейных алгебраических уравнений.
   Г.К. Птах пытается построить, как он сам говорит, "составной" метод со странным названием "составной метод управляемых параллельных хорд".
   Итерационная схема недоформулированного модифицированного метода простых итераций 0x01 graphic
рассматривается им лишь как часть его "составного метода". Вторая часть заключается в том, что он "трактует" 0x01 graphic
в смысле необходимости организовать итерационный процесс для решения линейного алгебраического уравнения 0x01 graphic
. Напомним, что при этом все, кроме 0x01 graphic
будет заранее известно.
   Эту мысль он, на мой взгляд, очень путано, излагает в формуле (2) в [АВТОРЕФЕРАТ], где говорит о двух итерационных циклах: внутреннем (для решения системы линейных алгебраических уравнений) и внешнем (для решения системы нелинейных уравнений).
   Забавно, что при таком подходе алгоритм решения системы нелинейных уравнений, в котором для решения системы линейных уравнений используется гауссово исключение или формулы Крамера или "настоящее" обращение матрицы, тоже образует "составной" метод... Таким образом, претензии Г.К. Птаха на разработку "составного" метода выглядят очень двусмысленно. Но, может быть, его "внутренний" итерационный процесс обладает какой-либо оригинальностью?
   Первое, что удивляет, когда пытаешься рассмотреть предложенный Г.К. Птахом "внутренний" итерационный процесс -- это то, что, как говорит создатель процесса, число итераций этого процесса обычно не больше трех ([AВТОРЕФЕРАТ] стр. 13), а не "столько, сколько надо". Дав такую рекомендацию по ведению "внутреннего" итерационного процесса, Г.К. Птах, естественно, не оговаривает, каким критерием, кроме столь сомнительного, следует пользоваться для останова итерационного процесса (имеется в виду остановка при норме невязки меньше пороговой или хотя бы худший критерий остановки -- тогда, когда "соседние" вектора неизвестных "достаточно близки" друг к другу).
   Как станет более ясно из дальнейшего, это значит, что при "продвижении на шаг" итерационного процесса некоторого квази- метода Ньютона, которым является рассматриваемый недоформулированный модифицированный метод простых итераций, будет внесено "ничем не мотивированное" возмущение. Мысль о том, что вносимое таким образом возмущение может улучшить сходимость кажется мне неоправданной... Наверное, со мной согласиться и большинство читателей.
   Вторая странность "внутреннего итерационного процесса" заключается в том, что при его проведении не происходит... расщепления матрицы 0x01 graphic
! То есть, здесь не используется ни метод Гаусса-Зейделя, ни метод Якоби, ни метод последовательной верхней релаксации (SOR), ни что-либо похожее. Это видно из следующего: используемое Г.К. Птахом условие сходимости "внутреннего итерационного процесса" (формула (3)) требует, чтобы спектральный радиус матрицы 0x01 graphic
был меньше единицы. Это значит, что Г.К. Птах при проведении "внутреннего итерационного процесса" вообще не производит никакого расщепления матрицы 0x01 graphic
, то есть, по сути, никакой "внутренний итерационный процесс" не проводится, а имеет место, например, обычная факторизация 0x01 graphic
, использование формул Крамера и т.д...
   Итак, "внутренний итерационный процесс" на самом деле, если следовать формуле (3), имеет лишь одну "итерацию": 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
; после проведения этой "итерации", 0x01 graphic
есть ни что иное, как искомое 0x01 graphic
, готовое к использованию в следующем цикле "внешнего" итерационного процесса.
   Итак, по сути, никакого "внутреннего" итерационного процесса, если следовать формуле (3), быть не должно.
   Когда Г.К. Птах говорит о нескольких (как правило, трех или меньше) циклах "внутреннего" итерационного процесса, то возникает следующий вопрос: не поступает ли он так:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
?
   То есть, не вносит ли он ничем неоправданные возмущения в "шаг" некоторого квази- ньютоновского итерационного процесса, в качестве которого можно рассматривать недоформулированный модифицированный метод простых итераций?
   Далее давайте считать, что все-таки никакого "внутреннего" итерационного процесса попросту нет (или, что то же самое, что он имеет всего один шаг). Таким образом, имеет место уже встречавшаяся нам у Ковалева итерационная схема
   0x01 graphic
,
   которая, как сказано, есть ничто иное как недоформулированный модифицированный метод простых итераций или, что то же самое, недоформулированный квази- метод Ньютона, получающийся из метода хорд (аппроксимацией якобиана непонятно каким способом).
   Если же "внутренний итерационный процесс" все-таки есть, то, будем считать, что это либо метод Гаусса-Зейделя, либо Якоби, либо SOR; во всяком случае, при любом из этих вариантов вместо достаточного условия сходимости (3) надо применять другое. Во всех случаях, как следует из того, что написал Птах, останов процесса выполняется при проведении определенного наперед заданного числа шагов (а не стольких шагов, сколько надо с проверкой на останов по норме невязки), что предполагает возможность внесения в "шаг" итерационного процесса возмущения без каких-либо видимых к этому причин.
   Как и Ковалев, Г.К. Птах разрабатывает для данного метода прекондиционер. В данном случае прекондиционер представляет из себя алгоритм построения "улучшенной" матрицы 0x01 graphic
способом 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- вектор, при котором у матрицы 0x01 graphic
будут "наибольшие допустимые значения ее элементов". Такой прекондиционер очень похож на прекондиционер у Ковалева. Очевидно, что такой прекондиционер является одновременно и алгоритмом выбора улучшенного начального приближения. По логике, определив 0x01 graphic
, необходимо найти соответствующий 0x01 graphic
, а затем использовать это 0x01 graphic
в качестве 0x01 graphic
. Но непонятно -- стартует ли Г.К. Птах с 0x01 graphic
(аналогичную ситуацию мы наблюдали у Ковалева). В обозначениях Птаха ([АВТОРЕФЕРАТ], стр. 13) 0x01 graphic
-- начальное приближение для старта итерационного процесса, а 0x01 graphic
--- это аналог "нашего" 0x01 graphic
для построения "улучшенной" 0x01 graphic
, так что 0x01 graphic
и 0x01 graphic
следует различать.
   Описывая прекондиционер, Г.К. Птах неявно задает ограничение на сложность вычисления 0x01 graphic
: эта сложность должна быть такой же, как сложность сборки матрицы 0x01 graphic
. А это, в свою очередь, подразумевает, что ни о каком вычислении якобианов не может быть речи; речь может идти только об аппроксимации якобиана с помощью матрицы жесткости.
   Давайте "доформулируем" метод Г.К. Птаха.
   Во первых, необходимо вообще убрать упоминание о "внутреннем итерационном процессе". Если кто-то захочет решать систему линейных алгебраических уравнений итерационным методом, ту пусть использует "нормальные" итерационные методы (Гаусса, Гаусса-Зейделя, SOR) которые делают столько шагов итерации, сколько нужно, постоянно проверяя при этом норму невязки. При этом исчезнет внесение ненужных возмущений в шаг итерационного процесса.
   Во-вторых, отметим, что прекондиционер, предложенный Г.К. Птахом, не годится для "общего случая" (как и в случае "метода Ковалева"), так как в "общем случае" мы не можем делать никаких предположений о том, в какой приблизительно области будет находиться решение.
   В-третьих, нам необходимо решить, как теперь вычислять 0x01 graphic
. У нас имеется только указание на то, насколько сложным может быть это вычисление (смотри выше). При таком ограничении, рассматривая предложенный Г.К. Птахом метод как квази-метод Ньютона, получаемый на основе метода хорд, очевидно, что 0x01 graphic
должно вычисляться по правилу 0x01 graphic
.
   В результате мы приходим к итерационной схеме
   0x01 graphic
.
   Итак, при "доформулировании" "метода Птаха", как и при "доформулировании" "метода Ковалева" мы получили то, что в [ЛЕОНОВ2007] условно называется "модифицированный метод простых итераций" и что одновременно является хорошо известным квази- методом Ньютона, использующим хорошо известную аппроксимацию якобиана с помощью матрицы жесткости. Этому квази- методу Ньютона можно дать следующее описательное название: "квази- метод Ньютона, получающийся из метода хорд аппроксимацией якобиана с помощью матрицы жесткости".
   Иначе этот метод можно записать как "явный" квази- метод Ньютона, где "все стоит на своих местах":
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
-- "шаг" итерационного процесса или, иначе говоря, "направление спуска" (вектор, задающий "направление спуска").
   Как видим, здесь отсутствуют даже средства глобализации сходимости (коэффициент длины шага, который еще называют коэффициентом релаксации)!
   Это и есть "доформулированный" "метод Птаха" (и, одновременно, "метод Ковалева").
   Г.К. Птах также занимался "исследованием сходимости" изобретенного им метода и пришел к выводу, что его метод ("недоформулированный")... "обладает гарантированной сходимостью". ([АВТОРЕФЕРАТ], стр. 15; заметьте -- обладает даже без средств глобализации сходимости, обычных для квази- методов Ньютона! Такой вывод лучше вообще оставить без комментариев.
   Интересно, что, по мнению Птаха, достаточным условием сходимости итерационного процесса при решении системы нелинейных уравнений методом итераций 0x01 graphic
является... условие 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
есть... спектральный радиус якобиана ([AВТОРЕФЕРАТ], формула (5) на стр. 13)! При этом даже не говорится, для какой точки надо вычислять 0x01 graphic
. Это тоже лучше не комментировать. Требуемые достаточные условия можно посмотреть в [ЛЕОНОВ2007].
   Свой "составной метод управляемых параллельных хорд" Г.К. Птах еще иначе называет просто "метод расщепления". Этот "метод расщепления" занимает одно из центральных мест в докторской диссертации Г.К. Птаха [ДИССЕРТАЦИЯ]. Метод вводится в третьей главе и применяется (помимо случаев, описанных в третьей главе) в главе 4 для расчета электромагнитных процессов в электромагнитных преобразователях (смотри кратко [АВТОРЕФЕРАТ], стр. 19-21, 23--25), где система 0x01 graphic
"приобретает" более сложные "конкретные" виды.
   По сути, "метод расщепления" Птаха -- это "метод Ковалева" и, как уже сказано, одновременно хорошо и давно известный квази- метод Ньютона. Речь может идти лишь об иной записи уже известного метода. Тем не менее, такая "иная запись" стала одним из центральных "тем" диссертационных работ О.Ф. Ковалева и Г.К. Птаха.
   Интересно, что О.Ф. Ковалев первоначально (в диссертации и автореферате к ней) записывал свою итерационную схему несколько иначе -- примерно так, как Г.К. Птах делает это в формулах (6,7) в [АВТОРЕФЕРАТ]. На возможность записи этой схемы в виде 0x01 graphic
было указано мной (я сильно сомневаюсь, что сделал это первым) в следующей работе:
   Ковалев О.Ф., Леонов А.В. Производительность модифицированного метода итераций. Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах : материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 15 нояб. 2002 г. : В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -- Новочеркасск : "ТЕМП", 2002. -- Ч. 2. -- С. 26-28.
   То есть, мною это сделано примерно за год до защиты Г.К. Птахом докторской диссертации.
   В этой работе модифицированный метод простых итераций рассматривался как "обычный" численный метод, то есть, как метод никак не связанный с тем, как была получена система нелинейных уравнений, которую он решает.
  
   Случай, когда два доктора наук носятся с хорошо и давно (речь идет, как минимум, о нескольких десятилетиях) известным численным методом (квази- методом Ньютона), лишь иначе записывая его, выглядит анекдотично. Да, я тоже лишь "иначе записал" этот метод. Но я сделал это в "небольшом докладе на небольшой конференции", будучи ассистентом и не собирался делать эту "иную запись" центральной темой диссертации.
  
   Для справки.
   Диссертационная работа Г.К. Птаха выполнена на кафедре теоретических основ электротехники ЮРГТУ (НПИ).
   Научный консультант: д.т.н., проф. Бахвалов Ю.А.
   Официальные оппоненты: д.т.н., проф. Беспалов В.Я.
   д.т.н., проф. Гайтов Б.Х.
   д.т.н., проф. Щербаков В.Г.
   Ведущее предприятие -- ОАО "Всероссийский научно-исследовательский, проектно-конструкторский и технологический институт электровозостроения", г. Новочеркасск.
   По сведениям из автореферата к диссертации, защита диссертации должна была состояться 25 декабря 2003 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.01 в ЮРГТУ (НПИ).
   С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке ЮРГТУ (НПИ).
  

Литература

  
   [АВТОРЕФЕРАТ]
   Птах Г.К. Развитие методов расчета электромагнитных процессов в электромеханических системах. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск.: Типография ЮРГТУ (НПИ), 2003. -- 40с.
   [ДИССЕРТАЦИЯ]
   Птах Г.К. Развитие методов расчета электромагнитных процессов в электромеханических системах. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. -- Новочеркасск, 2003. -- 310с.
   С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Российского государственного технического университета.
   [ЛЕОНОВ2007]
   Леонов А.В.Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. -- Новочеркасск.: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. -- 108 с.
   Книгу можно скачать по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.
  

Приложение C. Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки (критика кандидатской диссертации В.А. Мохова)

  
   Критика кандидатской диссертации В.А. Мохова была выполнена в форме следующей брошюры, изданной как частный заказ небольшим количеством экземпляров:
  
   Автор: Леонов А.В.
   Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 32 с.
  
   Распечатка содержимого этой брошюры посылалась мной в различных заявлениях и письмах, связанных с попыткой лишить В.А. Мохова ученой степени, а именно в ряде тех заявлений и писем, которые были приведены выше.
   Брошюра имеет следующую аннотацию:
   "Рассматриваются недостатки и ошибки одного метода аппроксимации (интерполяции) функций, основанного на использовании адаптивного измельчении конечноэлементной сетки, в котором (методе) для прекращения дальнейшего измельчения сетки применяется критерий, основанный на представлении аппроксимируемой функции полиномом второй степени специального вида.
   Работа носит дискуссионный характер.
   Уровень изложения ориентирован на инженеров нематематических специальностей. Работа может быть интересна лицами, интересующимся аппроксимацией и интерполированием функций".
  
   Изначально брошюра предназначалась для свободного распространения -- в частности, в ней написано следующее уведомление: "Вы можете свободно воспроизводить и распространять данную работу целиком или по частям любым способом, в том числе и на коммерческой основе без выплаты вознаграждения автору".
  
   09.06.2020 (время -- московское) данная брошюра была передана мною в Общественные Владения (Public Domain) по лицензии CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
  
   0x01 graphic
   To the extent possible under law, Андрей Владимирович Леонов has waived all copyright and related or neighboring rights to брошюра: Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 32 с. (критический разбор кандидатской диссертации В.А. Мохова). This work is published from: Russian Federation.
   Скачать данную брошюру можно с сайта автора f2f.alturl.com (lion.alturl.com) или с библиотеки "Генезис" (gen.lib.rus.ec).
  
   В настоящей книге текст брошюры печатается с небольшими изменениями, касающимися исправления грамматических и пунктуационных ошибок, а также незначительных недоработок в стилистике.
  

Предисловие

  
   Целью данной работы является разбор диссертации [ДИС] В.А. Мохова "Разработка алгоритмов прямого синтеза аппроксимирующих нейронных сетей".
   Далее будет установлены следующие недостатки и ошибки [ДИС]:
   1. Критерий, используемый для остановки измельчения конечноэлементной сетки при проведении адаптивной аппроксимации неверен.
   2. При переходе к "правильному" критерию аппроксимация функции полиномами второй степени становится ненужной.
   3. Разработанный В.А. Моховым алгоритм аппроксимации полиномами второй степени (рассматриваемый сам по себе) содержит недостатки, главные из которых следующие: значение ряда коэффициентов принимается произвольным, чего нельзя делать при аппроксимации функции, о которой заранее ничего неизвестно; аппроксимирующая функция в общем случае терпит разрывы на границах конечныx элементов.
   4. Устранение указанных в п. 3 недостатков ведет к давно известной аппроксимации, использующей лагранжевы треугольники второго порядка.
   5. Оценка погрешности аппроксимации выполнена ошибочным образом. Ограничения, наложенные на аппроксимируемую функцию для достижения гарантированной точности аппроксимации нелепы. Более сложный случай оценки погрешности аппроксимации, когда аппроксимирующая функция является проекцией элемента одного функционального пространства на другое пространство, не рассматривается.
  
   Мы не придерживаемся при изложении того порядка, который присутствует в данных пунктах, хотя такой порядок, вероятно, логически более оправдан. Вместо этого вначале мы рассматриваем наиболее простые вещи, а затем -- более сложные. Вначале идет п. 3. (главы 1 и 2), затем п. 4 (глава 2), затем 5 (глава 3) и, наконец, пп. 1 и 2 (главы 6, 8 и частично 7). Глава 4 и глава 7 имеют, главным образом, справочный характер для тех, кто незнаком с теми областями, которых мы касаемся.
   Разумеется, перед изучением данной работы желательно, хотя бы "бегло" ознакомиться с критикуемой диссертационной работой [ДИС] и авторефератом к ней [АВТ].
   Замечание. Прошу помнить об одной важной вещи тех, кто знаком с аппроксимацией радиальными базисными функциями: при такой аппроксимации мы допускаем множество радиальных базисных функций в той области, в которой мы ведем аппроксимацию. В рассматриваемом случае это не так; рассматриваемый случай не имеет отношения к "привычной" аппроксимации радиальными базисными функциями. Здесь речь идет об аппроксимации полиномом второй степени. Конец замечания.
   В данной работе термины "Адаптивное измельчение/уплотнение/генерация конечноэлементной сетки" означают одно и то же и являются, может быть, не очень удачными, переводами термина "adaptive mesh refinement".
  

1 О выборе интерполирующей функции на отдельном конечном элементе

  
   Еще в средней школе, при изучении квадратного уравнения
   0x01 graphic
, (1)
   которому "геометрически" соответствует парабола, показывают следующие нехитрые преобразования:
   0x01 graphic
, (2)
   а затем поясняют, что данную параболу можно получить из исходной 0x01 graphic
, если ее "приподнять" над осью абсцисс на 0x01 graphic
, перенести параллельно оси ординат на 0x01 graphic
и сплюснуть/растянуть в 0x01 graphic
раз. При этом, разумеется, должно выполняться условие 0x01 graphic
.
   В. А. Мохов решил аппроксимировать (интерполировать) функции (на отдельном конечном элементе) в двухмерном и трехмерном случае праболоидами вращения. То есть, в двумерном случае функцией вида (константы обозначены заглавными буквами)
   0x01 graphic
, (3)
   а в трехмерном -- вида
   0x01 graphic
. (4)
   И в том и в другом случае он решил остановиться на полиномах второй степени; при этом он решил аппроксимировать (интерполировать) функцию не полиномом второй степени "общего вида", а, подчеркнем, полиномами второй степени специального вида (3) и (4).
   Такая аппроксимация на отдельном конечном элементе нужна ему как составная часть в алгоритме аппроксимации функций, который использует адаптивное уплотнение конечноэлементной сетки. Данный алгоритм будет рассмотрен далее.
   Посмотрим, насколько оправдан выбор (3) и (4).
   Сначала рассмотрим двумерный случай (случай линии на плоскости). Беглый взгляд на (2) и (3) показывает, что можно сделать следующее отождествление:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (5)
   Следовательно, по данным формулам, при условии, что 0x01 graphic
, мы всегда можем перейти от записи (1) к записи (3). И, наоборот, (при условии, что 0x01 graphic
) возможен переход от (3) к (1):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (6)
   Очевидно (3) есть то же самое, что и (1) при 0x01 graphic
: и в том, и в другом случае получается аппроксимация полиномом второй степени, где имеются "все члены". При этом нам "все равно", что искать -- константы 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
в случае (1) или константы 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
в случае (3).
   Повторим: и в том, и в другом случае (при 0x01 graphic
) мы имеем дело с полиномом второй степени, в котором присутствуют все члены. Обратите внимание также на то, что количество отыскиваемых неизвестных в обоих случаях одинаково.
   В том случае, когда 0x01 graphic
, формула (1) более универсальна: мы можем вести аппроксимацию полиномом первой степени. Для формулы (3) такое невозможно. Очевидно, обе формулы одинаково хорошо подходят для аппроксимации полиномом "нулевой степени", -- то есть, константой.
   Из-за описанного недостатка, при пользовании формулой (3) случай 0x01 graphic
следует рассматривать отдельно. Отметим, что В.А. Мохов об этом не упоминает (и не вносит соответствующих "патчей" в программу). По сути, В.А. Мохов просто иначе записывает формулу (1).
   Итак, ничего замечательного в том, что В.А. Мохов предложил для одномерного случая, нет.
   Перейдем к трехмерному случаю (случаю поверхности в трехмерном пространстве).
   В общем случае уравнение поверхности задается в виде
   0x01 graphic
. (7)
   Для задания поверхности необходимо найти шесть неизвестных констант. В.А. Мохов в (4) ищет всего четыре константы:
   0x01 graphic
. (4)
   Здесь, вероятно, он хочет поставить в соответствие формуле (7) формулу (4) таким же образом, как формуле (1) соответствует формула (3). Как видим, такого соответствия провести нельзя, поскольку в (4) всего четыре неизвестных константы, а в (7) их шесть. Чтобы проводить сопоставление, необходимо, по крайней мере, столько же "степеней свободы". Кроме того, как видно из вышеприведенного, при подобном сопоставлении могут возникнуть "особые случаи".
   Если попытаться провести сопоставление правильно, то можно показать, что (7) соответствует
   0x01 graphic
. (8)
   Очевидно, что (смотри (7))
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
(9)
   и, следовательно,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
; (10)
   при этом должны одновременно выполняться условия 0x01 graphic
и0x01 graphic
.
   Кроме того, (7) можно попытаться записать иначе и несколько более сложным способом:
   0x01 graphic
. (11)
   Здесь, очевидно,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, (12)
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Отсюда
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, (13)
   а 0x01 graphic
и 0x01 graphic
могут быть найдены решением системы
   0x01 graphic
, (14)
   которая имеет единственное решение при 0x01 graphic
.
   Случай 0x01 graphic
следует рассматривать особо.
   Итак, В.А. Мохов в трехмерном случае
   0x01 graphic
(7)
   "сопоставил" (7) не (8) или (11)
   0x01 graphic
(8)
   0x01 graphic
, (11)
   а, по какой-то причине (4):
   0x01 graphic
. (4)
   По-видимому, формула (4) для трехмерного случая получилась слепым копированием того, что имеет место в двухмерном случае (3); при этом В.А. Мохов даже не задумался над тем фактом, что в двумерном случае в (1) и (3) число "степеней свободы" (неизвестных констант) совпадает, а в трехмерном случае в (7) и (4) -- не совпадает.
   Решив аппроксимировать многочлен (7) по формуле (4), В.А. Мохов, если говорить в обозначениях (8) и (11), положил
   0x01 graphic
и 0x01 graphic
. (15)
   Чем он обосновал свое право так поступать?! На стр. 49-51 диссертации [ДИС] (п. 2.3), сказано следующее:
   "Опираясь на проведенный здесь анализ возможного вида аппроксимирующего полинома и ориентируясь на повышение скоростных характеристик алгоритма, анализирующего поведение объекта и формирующего обучающую выборку при построении нейросетевой модели, наиболее целесообразно применение полиномов, для расчета коэффициентов которых требуется выполнить минимальное число запросов к исследуемому объекту".
   Попросту говоря, В. А. Мохов положил 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
 (15) потому, что... так считать быстрее!
   На это следует заметить, что если все коэффициенты брать "с потолка", то считать вообще не придется. Не знаю, дадут ли за такой способ ускорения расчетов ученую степень... А еще расчеты можно ускорить, перейдя от полиномов второй степени к полиномам первой степени или даже нулевой. (Правда, зачем тогда В.А. Мохов все-таки решил использовать полиномы второй степени?)
   В результате получается, что полином второй степени есть, а точности аппроксимации, которой можно достигнуть с его помощью -- нет. Кстати, диссертация В.А. Мохова не содержит каких-либо оценок, того, насколько его "новшества" ухудшают точность аппроксимации по сравнению с тем случаем, когда все делается "так как надо".
   Полагать 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(15) можно только в том случае, если нам заранее известно, что именно так и надо аппроксимировать функцию (например, из каких-либо теоретических соображений), -- то есть, в том случае, если функция заведомо имеет определенный специальный вид. Именно в этом случае и уместно ставить вопрос о "более конкретном" виде полинома второй степени.
   Ясно, что в рассматриваемом В.А. Моховым "общем случае" нельзя вести никакой речи о том, что аппроксимируемая функция имеет какой-то специальный вид. При этом, согласно здравому смыслу, следует вести либо аппроксимацию полиномами второй степени вида (7), либо вообще отказаться от полиномов второй степени и перейти к полиномам первой степени.
   Итак, чтобы аппроксимировать функцию полиномом второй степени, нам в общем случае все равно понадобиться делать "замеры" значений функции в шести точках, а не в четырех, как делает это В.А. Мохов. Единственное, чем нам остается манипулировать для достижения большей точности -- это расположением точек.
   В.А. Мохов обобщает свой метод интерполирования на произвольное число измерений -- смотри [ДИС], формула (2.5) на стр. 49. При этом, естественно, в пространствах с бо?льшим числом измерений действовать в стиле (15), беря "с потолка" значения коэффициентов, придется в гораздо большем масштабе.
   Замечание. Возможно, проводимые в этой главе преобразования многим напомнят преобразования уравнений второй степени к одному из канонических видов, изучаемые в соответствующем разделе аналитической геометрии. Отметьте, что здесь мы просто записываем исходное уравнение в иной форме, не проводя никаких вращений и перемещений координатной системы. Конец замечания.
   Итак, метод, предложенный В.А. Моховым для аппроксимации функции полиномом второй степени специального вида в пределах отдельного конечного элемента, есть ничто иное, как изуродованная обычная аппроксимация полиномом второй степени, в которой присутствуют все члены. В общем случае нет никаких причин использовать именно метод Мохова, а не всем понятный и привычный метод.
  

2 Об аппроксимации разрывными функциями и "более современном" подходе к аппроксимации функций

  
   Выше мы рассматривали метод аппроксимации, предложенный В.А. Моховым, применительно к отдельному конечному элементу. Давайте рассмотрим метод "глобально" -- то есть, применительно ко всей области.
   Отметим, что, аппроксимируя функцию на каждом отдельном треугольном конечном элементе параболоидами вращения, мы, в общем случае, не можем получить непрерывную "глобальную" функцию. В самом деле: В.А. Мохов "считывает" значения функции в четырех точках -- в вершинах треугольника и в его центре; а чтобы функция была непрерывна на границе двух конечных элементов (напомним, речь идет о полиномах второй степени), необходимо, чтобы на границе располагалось три точки, в которых определяются значения аппроксимируемой функции.
   Сделаем пояснения. Непрерывная функция на границе может рассматриваться как функция одной переменной (для этого необходимо провести соответствующую параметризацию). Эта функция одной переменной будет полиномом второй степени. Чтобы однозначно задать полином второй степени, необходимо получить значения функции в трех точках. У нас же на границе имеется только две точки, для которых значения функций с обеих сторон границ гарантированно совпадают.
   Итак, на границе функция может (и, в общем случае, будет) "рваться".
   В.А. Мохов то ли не понимает, что он ведет аппроксимацию разрывной функцией, то ли попросту не акцентирует явно на этом внимания. При этом интересно, что в нескольких местах -- см. стр. 49 и стр. 52 [ДИС] -- В.А. Мохов зачем-то акцентирует внимание на том, что используемый им гиперболоид вращения "достаточно гладкий", хотя и так ясно, что любой полином -- "идеально гладкая" функция (то есть, непрерывная и бесконечное число раз дифференцируемая).
   Следует отметить, что аппроксимация разрывной функцией -- достаточно странный выбор. Странный хотя бы потому, что В.А. Мохов, по-видимому, оперирует только интегралом Римана, который нельзя взять от разрывной функции. При попытке же оценить, насколько аппроксимирующая функция 0x01 graphic
близка к аппроксимируемой 0x01 graphic
, обычно приходится брать "глобальные" интегралы по всем конечным элементам, в которых (интегралах) фигурирует разность упомянутых функций. Используя разрывные функции для аппроксимации, мы изначально должны ориентироваться на интеграл Лебега. В.А. Мохов нигде в [ДИС] явно не пользуется интегралом Лебега и, по-видимому, стремиться его использования избежать (при оценке погрешности аппроксимации он рассматривает погрешность аппроксимации только применительно к одному отдельному конечному элементу).
   Существует еще один недостаток в использовании для аппроксимации разрывных функций, который мы обсудим ниже.
   "Более современный" подход к задаче аппроксимации одной функции другой заключается в том, что данная задача рассматривается как задача аппроксимации элемента одного функционального пространства элементом другого функционального пространства, являющимся подпространством первого пространства. При этом в пространстве, элементом которого осуществляется аппроксимация, строится базис, а сам аппроксимирующий элемент представляется в виде линейной комбинации элементов упомянутого базиса. В такой постановке "акт аппроксимации" можно представить действием оператора, отображающего (проектирующего) элемент одного пространства на элемент другого. Конкретный пример такого подхода рассматривается в главе "Одна теорема об интерполяции решения краевой задачи непрерывной кусочно-полиномиальной функцией".
   В такой "более современной" постановке задачи аппроксимации пространство, элементами которого осуществляется аппроксимация, выбирается таким, что все функции, входящие в него, по меньшей мере, непрерывны; соответственно, и базис в этом пространстве состоит из непрерывных функций. (Вы можете считать это "правилом хорошего тона"). При этом, естественно, и аппроксимирующий элемент является непрерывной функцией.
   Более того -- разрывные функции рассматриваются как пределы последовательностей непрерывных функций (не принадлежащие пространствам непрерывных функций); пространства, содержащие разрывные функции, "строятся" на основе пространств непрерывных функций с помощью процедуры "пополнения", в ходе которой к исходному пространству непрерывных функций добавляются "предельные точки", ему не принадлежащие.
   Чтобы пояснить сказанное, проведем аналогию с рациональными и иррациональными числами. Как известно, иррациональное число может быть с любой точностью приближено рациональным числом. Хотя возможно и обратное, но так никто на практике не поступает. Пространство непрерывных функций можно уподобить рациональным числам, а пространство, содержащее и разрывные, и непрерывные функции, полученное в результате "пополнения", -- множеству вещественных чисел.
   Замечание. Очевидно, множество рациональных чисел не является линейным пространством; мы лишь проводим аналогию. Конец замечания.
   Из сказанного видно, что для аппроксимации следует использовать непрерывные функции. Для обеспечения же непрерывности в данном случае следует поместить на границы конечного элемента по дополнительной точке, а точку из центра треугольника убрать; таким образом, всего у нас окажется шесть точек, в которых мы получаем значение функции, -- столько, сколько и надо для интерполирования полиномом второй степени. Если "дополнительные" точки на границах конечного элемента размещать точно по центрам сторон, то мы получим давно и хорошо известные квадратичные лагранжевы треугольники (лагранжевы треугольники второго порядка). Они хорошо подходят и для "более современной" постановки задачи аппроксимации.
   Интересно, что В.А. Мохов рассуждает о конечноэлементной аппроксимации полиномами, но не разу не говорит о том, элементами какого пространства он осуществляет аппроксимацию и как построить базис в данном пространстве, хотя это давно и хорошо изученный вопрос, который должен быть знаком каждому, кто изучал метод конечных элементов. Аппроксимируя полиномами первой степени, В.А. Мохов вычисляет коэффициенты в уравнениях плоскостей, а не коэффициенты разложения по элементам базиса пространства.
   Выше мы видели, что метод аппроксимации полиномом второй степени в границах отдельного конечного элемента, предложенный В.А. Моховым, есть лишь необоснованно "изуродованный" обычный способ интерполяции полиномом второй степени. В этой главе мы увидели, что, рассматривая аппроксимацию "глобально", следует потребовать непрерывности аппроксимирующей функции. В результате всех "доработок", как сказано выше, мы приходим к обычным лагранжевым треугольникам второй степени.
  

3 Оценка В.А. Моховым погрешности аппроксимации

  
   Если ведется численное интегрирование функции одной переменной методом трапеций или методом Симпсона, то может оказаться полезным "правило Рунге", которое дает (не всегда правильную -- то есть, в "общем случае" -- неправильную!) оценку того, насколько хорошо выполнено интегрирование:
   0x01 graphic
, (1)
   где 0x01 graphic
для формулы трапеций и 0x01 graphic
для формулы Симпсона. Напомним, что для формулы Симпсона шаг 0x01 graphic
-- это расстояние между двумя ближайшими точками, в которых вычисляется функция (а не между тремя).
   Если задана абсолютная погрешность 0x01 graphic
, с которой необходимо вычислить интеграл, то, проводя последовательно множество циклов разбиения имеющихся "конечных элементов" в виде отрезков, следует добиться того, чтобы на некотором цикле выполнялось неравенство
   0x01 graphic
. (2).
   Тогда можно надеяться, что
   0x01 graphic
(3)
   или хотя бы
   0x01 graphic
. (4)
   Разумеется, в "общем случае" такая надежда ложна. Данная формула описывает асимптотическое поведение 0x01 graphic
при 0x01 graphic
. Если 0x01 graphic
все еще "достаточно велико", то с уменьшением шага разбиения функция, характеризующая ошибку 0x01 graphic
, может вести себя самым причудливым образом -- в том числе и возрастать.
   При использовании правила Рунге и подобных формул мы "надеемся" на то, что 0x01 graphic
уже "достаточно" мало и, следовательно, пройдена "область больших 0x01 graphic
", при которых 0x01 graphic
ведет себя "не так, как надо" и, следовательно, при дальнейших разбиениях формула (1) "более-менее" справедлива.
   В том случае, когда мы можем лишь получить значения интегрируемой функции в некотором конечном наборе точек, (а в промежутках между ними ни о значениях функции, ни об ее поведении ничего неизвестно), вообще говоря, никоим образом нельзя полагать, что (1) будет выполняться.
   Повторим еще раз: в общем случае, когда известно только значение функции на конечном множестве точке, гарантировать вычисления интеграла с заданной точностью0x01 graphic
нельзя.
   В. А. Мохов проводит оценку погрешности аппроксимации только для случая функции одной переменной. Оценка производится на основе формул (1) и (2). Напомним, что в случае аппроксимации функции одной переменной по "методу Мохова" имеет место (грубо говоря) обычная аппроксимация "полноценным" полиномом второй степени. Случай функции двух переменных, когда при аппроксимации "методом Мохова" значения коэффициентов при некоторых членах полинома второй степени "берутся с потолка" В.А. Моховым не рассматривается.
   Вероятно, читатель думает, что В.А. Мохов приспособил формулу (1) для своей цели следующим весьма простым образом: для всей области, на которой аппроксимируется функция, задается интегральная величина 0x01 graphic
, которую будем называть абсолютной погрешностью (на стр. 59 [ДИС] при 0x01 graphic
стоят слова "абсолютна точность", а "абсолютная погрешность" там же -- это совсем другое ). Здесь 0x01 graphic
-- точная функция, а 0x01 graphic
-- ее аппроксимация. Отметим, что 0x01 graphic
есть интегральная характеристика -- то есть, она "привязана" ко всей области, а не к отдельной точке. В некоторых точках области 0x01 graphic
может быть велико по абсолютной величине, в то время как 0x01 graphic
-- мало. Отметим также, что если рассматривать 0x01 graphic
и 0x01 graphic
как элементы некоторых функциональных пространств, то 0x01 graphic
не есть расстояние между элементами этих пространств. (Таким образом, при "более современной" формулировке задачи аппроксимации применительно к использованию функциональных пространств, все существенно измениться.) Далее, используя формулу (2) мы будем последовательно уменьшать в два раза шаг разбиения 0x01 graphic
-- до тех пор, пока неравенство (2) не станет справедливым. Когда (2) выполняется, мы надеемся, что будет выполняться (3) или (4) (что совсем не обязательно). Как видно из сказанного, каждый раз мы будем использовать формулу трапеций (0x01 graphic
).
   В обозначениях формул (1) и (2) 0x01 graphic
-- интеграл от точной функции 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- интеграл от линейного интерполянта 0x01 graphic
с шагом 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- интеграл от линейного интерполянта 0x01 graphic
с шагом 0x01 graphic
; интегралы суть обычные интегралы Римана от непрерывных функций и для их взятия не требуется выхода за рамки стандартного курса высшей математики.
   Отметьте: Мы делаем выбор между линейными интерполяциями, построенными для шагов различной длины, а не между линейной интерполяцией и интерполяцией полиномом второй степени.
   По смыслу формул (1) и (2) все "конечные элементы" должны быть одного размера 0x01 graphic
.
   При таком приспособлении формулы (1) к задаче, решаемой В.А. Моховым, очевидно, что интерполяция полиномом второй степени для того, чтобы решить вопрос о необходимости дальнейшего разбиения "конечных элементов" становится вообще ненужной!
   Внимательно подумав, читатель, видимо, согласиться, что иначе приспособить формулу (1) для задачи, решаемой В.А. Моховым никак нельзя. Но не так думает сам В.А. Мохов. Перед тем, как разобрать, что сделал В.А. Мохов, рассмотрим еще одну проблему.
   Предположим, что поставлен следующий вопрос: при каких условиях (2) влечет (3)? То есть, при каких условиях из того, что 0x01 graphic
гарантированно вытекает, что 0x01 graphic
? Если бы кто-то ответил, что, из (2) вытекает (3) в том случае, если функция 0x01 graphic
такова, что из (2) вытекает (3), то выслушавшие такой ответ, мягко говоря, пришли бы в недоумение: ведь они ожидали вовсе не этого. Разумеется, если рассматривать только такие 0x01 graphic
, для которых из (2) вытекает (3), то для них и будет из (2) вытекать (3).
   Именно таким образом, по сути, ответил на данный вопрос В.А. Мохов. Более того -- сделав в некотором смысле аналог подобных ограничений на 0x01 graphic
(смотри [ДИС], стр. 59, формулы (2.13) и (2.14)), он далее с гордостью заявляет, что "использование формул (2.13) и (2.14) позволяет задавать точность создания модели исследуемого объекта предварительно". Более того -- среди основных положений, выносимых на защиту ([ДИС], стр. 7) под номером 2 идет: "Быстродействующие алгоритмы для синтеза ИНС, где количество нейронов является минимизированным для наперед заданной величины погрешности", что подразумевает возможность аппроксимации функции с помощью ИНС с любой наперед заданной величиной погрешности. По сути, здесь В.А. Мохов заявляет о том, что решил неразрешимую задачу -- интерполяцию функции с заданной точностью, для которой известны только ее значения в конечном числе узлов. При этом, не мелочась, он уже даже не упоминает о тех странных "тавтологических" ограничениях, которые он накладывает на аппроксимируемую функцию на стр. 59.
   Итак, аппроксимация с наперед заданной погрешностью может быть выполнена если, попросту говоря, функция попадется хорошая, если нам "повезет". Но как в данном конкретном случае узнать -- хорошая функция или плохая, повезло нам или нет? На эти вопросы, как и следовало ожидать, у В.А. Мохова ответов нет.
   Вернемся к тому, как В.А. Мохов приспособил формулу (1) для оценки погрешности. Без этого, кстати, не понять и вышеупомянутых формул (2.13) и (2.24) из [ДИС].
   Во-первых, В.А. Мохов рассматривает аппроксимацию применительно к одному-единственному конечному элементу (при линейной интерполяции на этом располагаются две точки по краям, при интерполяции полиномом второй степени третья точка располагается посередине). В случае функции одной переменной он начинает с одного конечного элемента, который покрывает всю область. Для этого элемента задается абсолютная погрешность 0x01 graphic
. Эта "исходная" погрешность, так сказать, "глобальная". Далее, в случае необходимости, этот элемент делится надвое и т.д. При этом у В.А. Мохова при изложении оценки погрешности аппроксимации ясно говорится только о том, что для каждого конечного элемента имеется своя погрешность для каждого конечного элемента, которую мы будем обозначать0x01 graphic
(индекс указывает на конечный элемент), но не говориться то, каким образом она вычисляется или задается для тех конечных элементов, которые вновь получаются при разбиении "старых" элементов.
   Чтобы понять, откуда берется 0x01 graphic
, следует обратиться к главе 2.5 [ДИС] "Алгоритм обучения обучающей выборки", которая (глава), по сути, представляет из себя комментарии к пакету прикладных программ. В этой главе мы находим переменные 0x01 graphic
("заданное") -- с пояснением "заданная величина погрешности для построения модели исследуемого объекта" (стр. 60) и 0x01 graphic
("расчетное") с пояснением "расчетное значение погрешности" (стр. 67). Напомним, что 0x01 graphic
-- величина, названная В.А. Моховым "мерой отклонения", которая показывает, насколько (в некотором смысле) интерполянт в виде полинома второй степени 0x01 graphic
близок к линейному интерполянту 0x01 graphic
. Сравнивая 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(естественно, их надо сравнивать по абсолютному значению), принимают решение о том, разбивать ли текущий конечный элемент на два или нет. При этом 0x01 graphic
-- одно-единственное на все конечные элементы -- как "исходные", полученные в результате построение "грубой" конечноэлементной сетки, так и полученные в результате последовательных "уплотнений", проводимых на отдельных конечных элементах или подобластях.
   Очевидно, что 0x01 graphic
следовало бы правильно назвать "максимально допустимая удельная погрешность", то есть, абсолютная погрешность, отнесенная к длине конечного элемента в случае функции одной переменной или к площади в случае функции двух переменных. Интересно, что на стр. 59 таким же образом вводится величина, названная "среднее значение погрешности в пределах полигона", которая, как сказано, применяется "в качестве оценки абсолютной погрешности для модели поведения объекта". Фраза довольно туманная, если, к тому же, учесть, что 0x01 graphic
там же названо "абсолютной точностью" (мы называем 0x01 graphic
абсолютной погрешностью).
   Из сказанного ясно, что 0x01 graphic
(и 0x01 graphic
) получается простым умножением максимальной удельной погрешности на "меру" конечного элемента (на длину в случае аппроксимации функции одной переменной). Максимальная удельная погрешность, напомним, задается один раз на все конечные элементы.
   Замечание. Все время при изложении своего метода "уплотнения" конечных элементов В.А. Мохов оперирует одним-единственным "текущим" конечным элементом, для которого уже каким-то образом получена 0x01 graphic
(если можно так сказать, "локальная" погрешность), но никогда не говорит о "глобальной" погрешности 0x01 graphic
, которую легко вычислить, взяв интеграл по всей области, для которой строится аппроксимация. Причина этого непонятна. Возможно, это связано с тем, что В.А. Мохов, увидев, что при использовании предложенного им метода аппроксимации в двухмерном случае аппроксимирующая функция будет разрывной, не знал, как взять от нее интеграл; то есть, В.А. Мохов не "перешел" от интеграла Римана к интегралу Лебега, который сам "напрашивается" в том случае, когда мы имеем дело с разрывными функциями. Рассчитывая погрешность "глобально", мы имели бы преимущество в том, что плохая аппроксимация в одних местах компенсировалась хорошей аппроксимацией в других местах в "глобальном" же масштабе (Подобная компенсация в методе уплотнения, предложенном В.А. Моховым, осуществляется только "локально" -- в пределах отдельных конечных элементов). Конец замечания.
   Разобравшись, как вычисляется 0x01 graphic
, двинемся дальше. Напомним, мы обсуждаем то, как В.А. Мохов приспособил формулы (1) и (2) для оценки погрешности аппроксимации. (Поскольку прошло уже достаточно много времени, вероятно, есть смысл вернуться назад и перечитать, как это следует делать правильно.) Приведем эти формулы еще раз:
   0x01 graphic
, (1)
   где 0x01 graphic
для формулы трапеций и 0x01 graphic
для формулы Симпсона.
   0x01 graphic
. (2)
   То, что делает В.А. Мохов, по-видимому, можно назвать результатом галлюцинации. Под 0x01 graphic
он понимает 0x01 graphic
, а под 0x01 graphic
он понимает...0x01 graphic
!
   (Надеюсь понятно, что в первом и втором случаях 0x01 graphic
одна и та же и представляет из себя отрезок; в первом случае нам нем две точки, в которых "замеряется" функция (по краям), а во втором случае добавляется точка в центре, чтобы можно было сделать интерполяцию параболой.)
   При этом, повторим, рассматривается один-единственный конечный элемент (текущий), а не все область.
   Итак, В.А. Мохов не только рассматривает все на одном конечном элементе, что, в общем случае, не так, но и смешивает в формуле (1) интерполирование полиномами первой степени и интерполирование полиномами второй степени. Это недопустимо, так как формула (1) попросту "не рассчитана" на такие действия. Полное непонимание формулы (1)!
   Итак, по мнению, В.А. Мохова, 0x01 graphic
-- это ни что иное, как его "мера отклонения" для отдельного конечного элемента 0x01 graphic
, взятая с обратным знаком:
   0x01 graphic
.
   При этом, кстати, неизбежно должен встать вопрос: какое 0x01 graphic
брать (см. формулу (1))? Ведь теперь в формуле (1) "намешаны" и линейная интерполяция, и интерполяция по формуле Симпсона.
   В результате В.А. Мохов получил:
   0x01 graphic
, (5)
   после чего он, вероятно, задумался: какое 0x01 graphic
следует брать?
   Далее, чтобы иметь возможность заявить, что аппроксимация происходит с заданной погрешностью, он вводит "странные" ограничения на аппроксимируемые функции (сравни с формулой (2)):
   1. Функция 0x01 graphic
такова, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
.
   2. Функция 0x01 graphic
такова, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
.
   Смотри [ДИС], стр. 59, вышеупомянутые формулы (2.13) и (2.14) соответственно, причем совершенно непонятно, откуда взялось 0x01 graphic
в знаменателе в обеих формулах. Если вспомнить формулу (2), то, очевидно, В.А. Мохов хотел записать
   1. Функция 0x01 graphic
такова, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
. (5)
   2. Функция 0x01 graphic
такова, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
. (6)
   Первая строка связана с 0x01 graphic
, а вторая -- с 0x01 graphic
(смотри формулу (2)). Показывая странный путь вывода формул, проделанный В.А. Моховым, здесь можно встать в тупик (даже избавившись от непонятно каким образом появившегося в знаменателе 0x01 graphic
): ведь В.А. Мохов стал считать, что 0x01 graphic
и, поэтому, вместо (5) должен был получить (7):
   1. Функция 0x01 graphic
такова, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
. (7)
   При этом мы получили разные оценки одного и того же для разных 0x01 graphic
! Условия же для того случая, когда 0x01 graphic
мы не могли бы получить, даже действуя по логике В.А. Мохова. Иначе говоря, (5) вообще непонятно откуда взялось...
   Тем не менее, поскольку ограничение (5) все-таки наложено, можно смело говорить, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
... и оценка погрешности выполнена точно.
   Здесь мы, вероятно, дошли до той точки запутанности простого вопроса использования формулы (1), когда разобрать дальше уже вообще ничего невозможно. К счастью, на этом раздел 2.4.3 [ДИС] "Оценка погрешности нейросетевых моделей" заканчивается. Как видим, была лишь попытка оценить погрешность для функции одной переменной, используя не совсем подходящую для этого формулу (1), предполагающую разбиение области на одинаковые конечные элементы. Насколько удалось запутать этот вопрос В.А. Мохову, видно из сказанного выше.
   Напомним также, что В.А. Мохов вообще не рассматривал задачу аппроксимации одной функции другой как задачу аппроксимации элемента одного функционального пространства элементами (линейной комбинацией базисных функций) другого функционального пространства.
  

4 Глава-напоминание о функциональных пространствах, скалярных произведениях, нормах и метриках.

  
   В дальнейшем нам придется ознакомиться с одной теоремой, касающейся оценки погрешности аппроксимации полиномами; теорему мы приводим "для контраста" с тем, что сделано автором диссертации [ДИС]. Перед этим сделаем напоминания о функциональных пространствах, скалярных произведениях, нормах и метриках, которые будут использованы в указанной теореме. Эта глава предназначена исключительно для читателей, незнакомых с функциональным анализом.
   Пусть имеется соболевское пространство 0x01 graphic
(или его подпространство 0x01 graphic
; об этом и о соответствующих поправках, которые при этом надо внести, мы далее упоминать не будем):
   0x01 graphic
.
   Здесь 0x01 graphic
-- пространство Лебега -- пространство функций, задающих отображение 0x01 graphic
и интегрируемых с квадратом:
   0x01 graphic
.
   Здесь и далее, если явно не оговорено иное, интегралы понимаются в смысле Лебега, а производные -- в смысле слабых (обобщенных) производных.
   Введем "обычное" (неэнергетическое) скалярное произведение на 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, далее на основе их введем норму и метрику и тем самым получим на основе исходных соболевских пространств гильбертовы пространства. (Эта часть нашей работы, напомним, предназначена исключительно для напоминания).
   Для двух элементов 0x01 graphic
скалярное произведение можно ввести следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Аналогичным образом можно поступить, вводя скалярное произведение для 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Очевидно, пространство 0x01 graphic
"более узкое", чем 0x01 graphic
и "входит" в последнее. Отметим: введенное таким образом скалярное произведение 0x01 graphic
будет иметь смысл не только для двух элементов 0x01 graphic
, но и, например, в том случае, когда хотя бы один элемент принадлежит 0x01 graphic
. Имеет смысл ввести "более узкое" скалярное произведение в пространстве 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Это скалярное произведение не имеет смысла в том случае, когда не принадлежащий 0x01 graphic
элемент умножается сам на себя. Оно является "стандартным" скалярным произведением для соболевского пространства; на его основании строится так называемая "соболевская норма" -- смотри ниже. Далее мы предполагаем, что скалярное произведения введено в 0x01 graphic
именно таким образом.
   На основе имеющегося скалярного произведения можно, так сказать, "естественным образом" построить норму (некоторого элемента пространства):
   0x01 graphic
.
   На основе имеющейся нормы (опять, так сказать, "естественным способом") можно построить метрику (ввести "расстояние" между двумя элементами):
   0x01 graphic
.
   Введенную выше "естественным способом" норму называют также "ассоциированной" (associated) -- то есть, "связанной" (со скалярным произведением).
   Когда поступают таким "естественным" способом, вводя на основе имеющегося скалярного произведения норму, а на основе введенной нормы -- метрику, то говорят, что "скалярное произведение порождает метрику".
   Вообще говоря, норма вовсе не обязана строиться на основе введенного скалярного произведения, а метрика -- на основе нормы (или на основе скалярного произведения). Достаточно только, чтобы норма и метрика просто удовлетворяли определенным свойствам (аксиомам).
   Отметим, что пространства 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- полные (в используемых в них вышеуказанных метриках), не останавливаясь подробнее на свойстве полноты.
   Полное линейное пространство со скалярным произведением, на основе которого вышеописанным ("естественным") способом строятся "ассоциированная" норма и метрика, основанная на "ассоциированной" норме, называется гильбертовым пространством.
   Наличие метрики необходимо, так сама "полнота" есть "полнота в определенной метрике", то есть, здесь уже подразумевается использование некоторой метрики.
   Приведем определение гильбертова пространства из [1], в котором используется "ассоциированное нормированное линейное пространство":
   Пусть имеется линейное пространство со скалярным произведением 0x01 graphic
, построенное через введение в линейном пространстве 0x01 graphic
скалярного произведения 0x01 graphic
. Если ассоциированное с 0x01 graphic
нормированное линейной пространство 0x01 graphic
, построенное через введение в (том же линейном пространстве) 0x01 graphic
ассоциированной нормы 0x01 graphic
-- полное, то пространство 0x01 graphic
называется гильбертовым пространством.
   Итак, соболевские пространства 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, если ввести на них вышеописанным образом скалярное произведение, норму и метрику, будут являться гильбертовыми пространствами (обозначать их мы будем так же).
   При решении краевой задачи методом Галеркина мы получаем решение, являющееся элементом некоторого конечномерного пространства, которое (решение) наилучшим образом аппроксимирует исходную функцию в метрике, порождаемой так называемой "энергетической нормой" 0x01 graphic
.
   Энергетическая норма 0x01 graphic
"ассоциирована" с так называемым "энергетическим" скалярным произведением 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Как известно, в определенных случаях, слабая форма граничной задачи, описываемая определенными линейными эллиптическими уравнениями, может быть записана в виде
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, для всех 0x01 graphic
   где 0x01 graphic
-- гильбертово пространство, 0x01 graphic
-- симметричная билинейная форма на 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- непрерывный линейный функционал на 0x01 graphic
. Это имеет место, например, при решении методом Галеркина магнитостатической задачи.
   Вышеупомянутая билинейная форма как раз и задает энергетическое скалярное произведение:
   0x01 graphic
.
   Например, для упомянутой магнитостатической краевой задачи, описываемой уравнением Пуассона 0x01 graphic
(0x01 graphic
-- константа (своя для каждой подобласти))
   0x01 graphic
   и, соответственно,
   0x01 graphic
.
   Сделаем еще ряд напоминаний.
   Нам встретиться соболевское (или гильбертово) пространство, которое будет обозначаться также) 0x01 graphic
. "Определение" этого соболевского пространства следующее:
   0x01 graphic
.
   Скалярное произведение (используя которое, можно ввести соболевскую норму) для данного пространства выглядит следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Замечание. Другое известное обозначение пространств 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
соответственно. 0x01 graphic
также иногда обозначают как 0x01 graphic
. Конец замечания.
   Напомним, что полунорма отличается от нормы тем, что может принимать нулевое значение не только для нулевого элемента.
   В конечном счете, то, какие функциональные пространства вы выберете для аппроксимируемой и аппроксимирующей функции, каким образом вы будете вводить в них скалярное произведение, норму и метрику, определяется спецификой решаемой вами задачи.
  

5 Пример функции, для которой ошибка аппроксимации возрастает по мере уплотнения конечноэлементной сетки

  
   В этой главе мы рассмотрим пример функции -- элемента функционального пространства 0x01 graphic
, такой, что при ее конечноэлементной аппроксимации по мере уплотнения (измельчения) конечноэлементной сетки ошибка аппроксимации возрастает.
   Как правило, подобные примеры приводят тогда, когда изучают численное интегрирования с использованием "обычного" определенного интеграла; при этом аппроксимирующую функцию не рассматривают как элемент некоторого функционального пространства, а величина, характеризующая "качество аппроксимации", как правило, не является расстоянием между элементами функционального пространства.
   0x01 graphic
 -- это функциональное пространство, элементами которого являются функции, для которых 0x01 graphic
, то есть указанный интеграл существует и конечен.
   Норму на 0x01 graphic
 можно ввести следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Метрику (расстояние) 0x01 graphic
 введем на основе нормы.
   Скалярного произведения вводить не будем. Таким образом, без скалярного произведения, 0x01 graphic
 не является гильбертовым пространством. Оно является банаховым пространством (полным линейным нормированным пространством).
   Говоря о том, что по мере уплотнения расстояние между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями будет возрастать, мы, разумеется, предполагаем, что имеет место конечное число 0x01 graphic
уплотнений сетки.
   Пусть имеется банахово пространство0x01 graphic
. Отрезок 0x01 graphic
 представляет из себя один-единственный начальный конечный элемент, который будет далее разбиваться (уплотняться). В ходе очередного уплотнения каждый уже имеющийся конечный элемент будет разбиваться на два одинаковых элемента.
   Чтобы далее изложение было более простым, необходимо ввести несколько необычную "систему идентификации" узлов. Пусть слева на исходном отрезке узел 0x01 graphic
, справа -- узел 0x01 graphic
. Узлы (узел), который появится после первого уплотнения, будем обозначать 0x01 graphic
. Очевидно, будет всего один такой узел. Узлы, которые появятся после второго уплотнения, будем обозначать 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(слева направо). Всего будет два таких узла. После третьего уплотнения появится четыре узла 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
; после четвертого - восемь (их обозначения мы не приводим), после пятого - шестнадцать и так далее. Чтобы пояснить сказанное, приведем конечные элементы и обозначения узлов, которые получаться после третьего уплотнения (см. рис. 1):
  
   0x01 graphic
  
   Рис. 1.
  
   Далее будем предполагать, что "интересующее" нас число уплотнений 0x01 graphic
. Введем на отрезке 0x01 graphic
 функцию такую, что она равна нулю всюду, кроме 0x01 graphic
- окрестностей точек (узлов) вида 0x01 graphic
 (0x01 graphic
 достаточно мало и одинаково для всех упомянутых точек), где функция постоянна и равна 0x01 graphic
, то есть, в узлах вида 0x01 graphic
 равна единице, 0x01 graphic
 -- двум, 0x01 graphic
 -- четырем (и так далее, если бы у нас было 0x01 graphic
). Для рассматриваемого случая на рис. 1 такая функция символически представлена черными "столбиками".
   Из сказанного ясно, как построить такую функции для любого заданного конечного 0x01 graphic
.
   Конечноэлементная аппроксимация для различного числа разбиений отрезка на конечные элементы показана на рис. 1 в виде пунктирных линий (для двух, четырех и восьми конечных элементов). Вначале, когда имеется только один элемент, аппроксимирующая функция совпадает с осью абсцисс.
   Аппроксимирующие функции будем обозначать 0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
и 0x01 graphic
, где индекс указывает на количество проведенных уплотнений. Аппроксимируемую функцию будем обозначать просто 0x01 graphic
.
   Далее нам потребуется обозначать ряд треугольников, которые, в общем случае, не показаны на рис. 1. Обозначать мы их будем через перечисление трех идентификаторов узлов, которые (узлы) принадлежат их основанию. Первые две вершины треугольника лежат в узлах с первым и третьим (последним) идентификатором из перечня. Чтобы найти третью вершину, необходимо провесит перпендикуляр из узла с идентификатором, находящимся в середине перечня до графика функции 0x01 graphic
. Перечень узлов будет даваться через дефис.
   Из простых геометрических соображений ясно, что 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Из рис. 1 видно, что
   0x01 graphic
,
   0x01 graphic
,
   0x01 graphic
,
   0x01 graphic
.
   Очевидно (мы не расписываем выкладки подробно), что, подбирая достаточно малое 0x01 graphic
, можно добиться того, что
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
,
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
можно сделать произвольно малым, "манипулируя" 0x01 graphic
 (делая его достаточно малым). Но это и означает, что при последовательном уплотнении расстояние между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями (ошибка аппроксимации) возрастает не менее, чем "приблизительно" в два раза (в "два минус некоторое число, которое мы можем сделать произвольно малым") -- например, в 1.99 раза.
   В нашем случае 0x01 graphic
-- разрывная функция (для пространства, которым мы пользуемся, это неважно); должно быть ясно, что можно сконструировать непрерывную функцию и даже непрерывную сколь угодно раз дифференцируемую функцию, при аппроксимации которой мы получили бы аналогичный результат.
  

6 Пример задачи аппроксимация функции на основе алгоритма адаптивной генерации сетки (начало)

  
   Предположим, что необходимо аппроксимировать функцию 0x01 graphic
-- решение некоторой краевой задачи, описываемой эллиптическим уравнением в частных производных. При этом пусть подразумевается, что решение ищется методом Галеркина (то есть, через запись уравнений в "слабой" форме) или методом Ритца (в случае линейной задачи "конечные" уравнения будут совпадать). Оговорим также, что для решения задачи используется конечноэлементный базис.
   В качестве примера, можно считать, что решается двумерная магнитостатическая задача, описываемая уравнением Пуассона.
   Как известно, решение, найденное методом Галеркина, наилучшим образом аппроксимирует исходную функцию в метрике, порождаемой так называемой "энергетической нормой" 0x01 graphic
. Поэтому естественно проводить аппроксимацию, используя именно эту норму.
   В такой постановке наша задача аппроксимации вполне соответствует тем задачам, за решение которых взялся В.А. Мохов. Эта задача, будет решаться путем "адаптивной аппроксимации", заключающейся в адаптивной генерации сетки. Начав с некоторой грубой сетки, для определенных подобластей мы будем (в общем, случае, неоднократно) проводить уплотнения сетки, решать краевую задачу при различных сетках, и сравнивать, насколько эти решения близки по энергетической норме. Когда мы обнаружим, что очередные уплотнения дают нам мало (решения "достаточно близки"), мы прекратим уплотнение (возможно, в некоторых случаях нам придется сделать "откат" к более грубой сетке).
   Разумеется, при конечном числе уплотнений задача об аппроксимации с произвольной наперед заданной точностью неразрешима, так как нам будут известны только значения функции на конечном множестве точек.
   Перед тем, как обсудить решение нашей задачи более подробно, необходимо ознакомиться с одной теоремой. Как будет ясно из приводимой ниже теоремы, при определенных условиях теоретически возможно выбрать такое конечномерное пространство (подпространство), что линейный интерполянт "истинного решения" будет близок (в энергетической норме и ряде других норм) к "истинному решению" с любой наперед заданной точностью. Эта теорема, по крайней мере, задает "направление", в котором следует двигаться, чтобы построить такой базис - уплотнение (измельчение) конечноэлементной сетки, а также описывает асимптотическое поведение ошибки при таковом уплотнении. Теорема будет приведена для случай непрерывных кусочно-линейных полиномов, однако, существует и аналогичная теорема для непрерывных кусочных полиномов любой степени.
  

7 Одна теорема об интерполяции решения краевой задачи непрерывной кусочно-полиномиальной функцией

  
   Как известно, с численной точки зрения для конечноэлементной аппроксимации более выгодны, если можно так сказать, "более круглые" конечные элементы (то есть, если треугольники -- то равносторонние, если четырехугольники -- то квадраты). (Здесь предполагается, что аппроксимация получится в результате решения краевой задачи.) Для оценки степени "круглости" вводится показатель качества конечного элемента. Такой показатель можно ввести неединственным образом. Далее будут рассматриваться только треугольные конечные элементы.
   Показатель качества треугольного конечного элемента (далее -- просто качество треугольника), как ясно из вышесказанного, "сообщает", насколько треугольник близок к равностороннему треугольнику.
   Определим качество 0x01 graphic
треугольника 0x01 graphic
как отношение диаметра вписанной в треугольник окружности 0x01 graphic
к диаметру треугольника 0x01 graphic
-- длине наибольшей из его сторон:
   0x01 graphic
.
   0x01 graphic
. Чем больше 0x01 graphic
, тем "качественнее" треугольник. Когда 0x01 graphic
равно нулю, то мы имеем дело с так называемым "вырожденным" треугольником, который выглядит как обычный отрезок. Когда 0x01 graphic
мало, то говорят, что треугольник близок к вырожденности. Иначе говоря, 0x01 graphic
показывает, насколько "тонок" треугольник. Использование конечноэлементной сетки, в которой есть близкие к вырожденности (низкокачественные) конечные элементы, грозит "численными неприятностями" при решении задач, в которых будет использоваться данная конечноэлементная сетка.
   Для некоторой триангуляции полигонального домена 0x01 graphic
введем параметр 0x01 graphic
-- максимальный диаметр из всех диаметров треугольных конечных элементов данной триангуляции домена. Эту триангуляцию будем обозначать 0x01 graphic
. (Очевидно, что можно составить множество триангуляций, которые будут характеризоваться одним и тем же параметром 0x01 graphic
.) Рассмотрим множество (семейство) триангуляций, каждая триангуляция которого 0x01 graphic
отличается от других триангуляций значением 0x01 graphic
. Такое семейство триангуляций будем обозначать 0x01 graphic
.
   Предположим, что качество треугольников в каждой из триангуляций семейства 0x01 graphic
не меньше, чем некоторая положительная константа 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
для всех 0x01 graphic
и для всех 0x01 graphic
из 0x01 graphic
.
   В этом случае семейство 0x01 graphic
называют невырожденным.
   Читателю должно быть ясно, что для оценки того, насколько семейство 0x01 graphic
является "хорошим" следует искать максимальную константу 0x01 graphic
.
   Оговорим подробнее, каким образом можно сформировать 0x01 graphic
: для начала в это множество помещается некоторая "грубая" (coarse) триангуляция домена 0x01 graphic
. Затем множество пополняется триангуляциями, получаемыми на основе уже имеющейся грубой триангуляции путем многократного проведения процедуры, называемой "стандартное уплотнение" (standard refinement) сетки треугольных конечных элементов (смотри ниже). Стандартное уплотнение проводится некоторое конечное число раз. Если, например, мы провели его три раза, то семейство 0x01 graphic
будет состоять из четырех триангуляций -- исходной триангуляции и трех триангуляций, получающихся при трехкратном уплотнении. Ясно, что это неединственный способ формирования 0x01 graphic
-- для нас важны только параметры 0x01 graphic
триангуляций, входящих в семейство.
   Замечание. Стандартное уплотнение сетки треугольных конечных элементов заключается в следующем: каждый треугольник (конечный элемент) разбивается на четыре треугольника, подобных исходному, путем введения дополнительных узлов на серединах сторон исходного треугольника (конечного элемента). (Дополнительные узлы являются вершинами "маленького" "вписанного" треугольника внутри исходного.) "Стандартное уплотнение" обладает тем преимуществом, что получившаяся после его проведения триангуляция обладает тем же качеством, что и качество исходной грубой сетки. В самом деле: при уплотнении каждого отдельного треугольника получаются треугольники, подобные исходному, то есть, треугольники того же качества, что и исходный треугольник. При "стандартном уплотнении" каждого треугольника мы получаем треугольники с диаметром, меньшим в два раза, чем диаметр исходного треугольника. Соответственно, если исходная триангуляция была 0x01 graphic
, то после первого уплотнения мы получим триангуляцию 0x01 graphic
, после второй -- 0x01 graphic
и т.д. Конец замечания.
   Замечание. Помните -- мы договорились, что домен полигональный и поэтому при уплотнении сетки не возникает необходимости в более точной аппроксимации границ. Конец замечания.
   Введем на каждой 0x01 graphic
лагранжев базис из непрерывных кусочно-линейных базисных функций ("глобальных"). Это стандартная процедура при использовании, например, метода Галеркина в конечноэлементном базисе.
   "Линейной оболочкой" базисных функций будет некоторое пространство с элементами в виде непрерывных кусочно-линейных функций, которое будем обозначать 0x01 graphic
. Единица в верхнем индексе указывает на то, что используются кусочно-линейные функции (максимальная степень, в которой стоят переменные -- первая).
   Оговорим, к какому пространству принадлежит аппроксимируемый "элемент" -- функция 0x01 graphic
. Как будет ясно из дальнейшего, достаточно разумно предположить, что 0x01 graphic
, хотя, как правило, предполагают, что 0x01 graphic
.
   0x01 graphic
является подпространством 0x01 graphic
, на которое (подпространство) мы можем "спроектировать" элемент 0x01 graphic
. Путем выбора подходящего 0x01 graphic
, как станет ясно далее, (по крайней мере, теоретически) можно добиться того, чтобы такая проекция аппроксимировала 0x01 graphic
с любой заданной точностью при использовании так называемой "энергетической" нормы.
   Пусть 0x01 graphic
-- наилучшее (по некоторой норме) приближение 0x01 graphic
из всех функций пространства 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- линейный интерполянт 0x01 graphic
. (Линейный интерполянт отличается от прочих функций пространства 0x01 graphic
тем, что в узлах конечноэлементной сетки его значения равны значениям функции 0x01 graphic
.) Вообще говоря, нам желательно найти наилучшее приближение 0x01 graphic
, которое вовсе не обязательно должно являться линейным интерполянтом 0x01 graphic
; однако на практике мы довольствуемся нахождением линейного интерполянта 0x01 graphic
.
   Замечание. Если мы можем (теоретически) приблизить функцию с нужной степенью точности с помощью 0x01 graphic
, то, очевидно,
   0x01 graphic
   и из этой формулы мы можем получить оценку того, насколько может быть близким к функции наилучшее приближение из 0x01 graphic
, не являющееся линейным интерполянтом 0x01 graphic
. Конец замечания.
   Замечание. Очевидно, 0x01 graphic
входит в множество непрерывных функций, которое плотно в 0x01 graphic
(на практике часто 0x01 graphic
рассматривают как элемент 0x01 graphic
, а не 0x01 graphic
). При этом -- отметьте -- 0x01 graphic
является подпространством (то есть, полным линейным пространством) 0x01 graphic
, а линейное пространство (множество) непрерывных функций -- нет, так как из них можно составить фундаментальную последовательность, сходящуюся к элементу 0x01 graphic
, не являющемуся непрерывной функцией. Отметьте также, что множество (линейное пространство) непрерывных функций плотно в 0x01 graphic
, а "конкретное" (построенной но основе конкретной триангуляции с конкретным 0x01 graphic
) подпространство 0x01 graphic
-- нет. Конец замечания.
   Из сказанного видно, что аппроксимацию с помощью проекции на конечномерное подпространство 0x01 graphic
можно представить в виде действия некоторого оператора 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Отметьте -- этот оператор действует из одного линейного пространства (0x01 graphic
) на другое линейное пространство (0x01 graphic
):
   0x01 graphic
.
   При аппроксимации, проводимой таким образом, мы пользуемся "стандартным средством" -- теоремой проекции, согласно которой проектирование осуществляется на подпространство (полное линейное пространство).
   Наконец, приведем саму теорему:
  
   Пусть имеются 0x01 graphic
 -- невырожденное семейство триангуляций полигонального домена 0x01 graphic
 и функция 0x01 graphic
. Тогда существует константа 0x01 graphic
, зависящая от 0x01 graphic
 и от значения величины 0x01 graphic
 из определения невырожденности триангуляции (и не зависящая от функции 0x01 graphic
 и от 0x01 graphic
), такая, что справедливы неравенства
   0x01 graphic
   и
   0x01 graphic
,
   где 0x01 graphic
 -- полунорма, определяемая следующим образом:
   0x01 graphic
,
   а 0x01 graphic
 -- кусочно-линейный интерполянт 0x01 graphic
.
  
   Данная теорема является "частным случаем" теоремы, приведенной в 4 главе [1]. Этот "частный случай", вероятно, содержится в 5 главе [2], но взят нами из 5 главы [3], где теорема пронумерована как "Теорема 5.1".
   Из приведенной теоремы видна ограниченность "функции ошибки" в 0x01 graphic
- и 0x01 graphic
- нормах. Если 0x01 graphic
 ограничена и 0x01 graphic
-эллиптична (в рассматриваемом примере -- линейной магнитостатической задаче -- это имеет место), то 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
 -- некоторая константа и, таким образом,
   0x01 graphic
.
   Таким образом, в рассмотренном случае ошибка есть бесконечно малая величина, убывающая как 0x01 graphic
в первой степени, то есть ошибка есть 0x01 graphic
при измерении ее в энергетической норме.
   В [3] приводится также подобная теорема для общего случая, когда в качестве конечномерного подпространства, на которое проектируется аппроксимируемая функция, берется пространство 0x01 graphic
-- пространство непрерывных кусочных функций из полиномов порядка 0x01 graphic
; при этом рассматриваются так называемые квадратные и кубические лагранжевы треугольники (это треугольные конечные элементы, на которых функция особым образом аппроксимируется полиномами второго и третьего порядка соответственно; при этом на границах конечных элементов аппроксимирующая функция непрерывна). Данная теорема пронумерована в [3] как "Теорема 5.3". Теорема 5.3 этого же источника рассматривает сходимость в энергетической норме. В частности, для квадратных лагранжевых треугольников ошибка (при ее измерении энергетической нормой) есть 0x01 graphic
, для кубических лагранжевых треугольников -- 0x01 graphic
и т.д. В данных случаях также повышаются требования к гладкости аппроксимируемых функций.
   Обратите внимание -- чтобы использовать данную теорему, необходимо рассматривать 0x01 graphic
как 0x01 graphic
. На практике же решение ищут в 0x01 graphic
-- "более широком пространстве". Понятно, что в этом случае 0x01 graphic
 будет принадлежать также и 0x01 graphic
 только при определенных условиях (они учитывались при обсуждении сходимости приближенного решения к истинному в вышеупомянутых главах [3]). Предполагая только лишь, что 0x01 graphic
, мы не можем пользоваться рассмотренной теоремой. В том случае, когда используются квадратные и кубические лагранжевы треугольники, согласно Теореме 5.5 из [3] вместо 0x01 graphic
 необходимо будет предполагать, что 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
 соответственно!
   Выше мы рассматривали пример, когда при уплотнении конечноэлементной сетки расстояние между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями возрастает (при проведении конечного числа уплотнений). Естественно, такое возможно и в данном случае. Теорема говорит об "асимптотическом" поведении ошибки: ошибка стремиться к нулю как 0x01 graphic
по мере перехода к триангуляциям с параметром 0x01 graphic
, стремящемся к нулю. Пока 0x01 graphic
"достаточно велико", возможно самое причудливое поведение ошибки аппроксимации.
   Заметьте, что теорема говорит о наличии константы 0x01 graphic
, но не говорит о том, какова она в данном конкретном случае и как ее отыскать. Заметьте также: чтобы получить 0x01 graphic
, необходимо знать 0x01 graphic
; но, как правило, мы можем получить только линейный интерполянт 0x01 graphic
после решения краевой задачи. Таким образом, чтобы реализовать теоретическую возможность уменьшить ошибку до заданной малой величины, мы должны иметь практическую возможность проводить уплотнение бесконечное число раз.
   По сути, теорема предполагает только знание о том, что 0x01 graphic
и ее интерполянты принадлежат к определенным пространствам. На основании лишь этого, как гласит теорема, можно узнать асимптотическое поведение ошибки при стремлении 0x01 graphic
к нулю. В этом смысле говорят, что оценка ошибки (поведения ошибки) априорная -- то есть, в данном случае, данная оценка проводится до того, как стали известны конкретные 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. При этом невозможно сказать заранее, сколько уплотнений необходимо провести, чтобы в данном конкретном случае гарантировать требуемую величину ошибки.
   Вопрос о том, до каких пор следует уплотнять сетку, фактически решается практикой. Повторим уже сказанное: инженер строит некоторую сетку, исходя из своего опыта; при этом, он, хотя бы интуитивно, использует адаптивное уплотнение сетки: если при последующем уплотнении (или нескольких уплотненияx) в некоторой области мы получили слабо различающиеся аппроксимации, то эти уплотнения можно считать ненужными и сделать "откат" -- вернуться к "старой" конечноэлементной сетке.
   Помните: при этом мы руководствуемся только "практической целесообразностью" и опытом и никоим образом не "застрахованы" от встречи с "сюрпризами".
   В том случае, когда мы решаем краевую задачу, мы можем использовать такой критерий "достаточности уплотнения", как норма невязки системы уравнений. Если эта норма меньше некоторого заданного числа, то можно считать, что конечноэлементная сетка хорошо подходит к нашей задаче. Вы должны понимать, что если уменьшить при этом пороговую норму невязки, то вполне можно встретиться с "сюрпризами" в виде увеличения 0x01 graphic
при уплотнении сетки, которое, возможно, понадобиться для получения более точного решения.
   Замечание. Теоретически мы можем аппроксимировать функцию с любой заданной точностью, используя любое семейство триангуляций такое, что в нем имеется бесконечное число невырожденных триангуляций с параметром 0x01 graphic
, стремящимся к нулю. Поскольку на практике мы не можем использовать бесконечное число триангуляций, то очевидно, нам совсем не безразлично, какие триангуляции находятся в семействе. Поэтому желательно заняться их осмысленным подбором. Так например, читателю должно быть понятно, что, беря разные грубые первоначальные разбиения (даже с одинаковым 0x01 graphic
!), может потребоваться различное число "стандартных уплотнений", чтобы достичь приемлемого результата. Конец замечания.
  

8 Пример задачи аппроксимация функции на основе алгоритма адаптивной генерации сетки (продолжение)

  
   Ниже мы подробнее сформулируем метод аппроксимации функции на основе алгоритма адаптивной генерации сетки, предложенный В.А. Моховым. Мы несколько видоизменим метод, однако, его суть останется прежней. Затем мы покажем, что данный алгоритм не следует использовать из-за того, что В.А. Мохов неправильно выбрал критерий, по которому мы прекращаем уплотнение конечноэлементной сетки. В конце концов, окажется, что полиномы второй степени (с которыми так долго мучился В.А. Мохов и мы, следуя за ним)... вообще не нужны! (Сам алгоритм при этом следует упростить и действовать так, как обычно интуитивно действуют инженеры, решая краевые задачи с помощью математических пакетов.)
   Пусть 0x01 graphic
 -- некоторая функция, а 0x01 graphic
, 0x01 graphic
 -- аппроксимации этой функции, причем, предположительно, 0x01 graphic
 аппроксимирует 0x01 graphic
 лучше, чем 0x01 graphic
. Очевидно, если 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
 сильно отличаются друг от друга, то есть смысл перейти от аппроксимации 0x01 graphic
 к какой-либо другой аппроксимации; этой новой аппроксимацией не обязательно должна быть 0x01 graphic
. Например, если мы можем построить последовательность аппроксимаций 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, с помощью которых, при достаточно большом 0x01 graphic
 мы можем аппроксимировать функцию 0x01 graphic
 с любой наперед заданной точностью, то от 0x01 graphic
 можно перейти к 0x01 graphic
 (а не к 0x01 graphic
). Далее, если такое возможно, 0x01 graphic
 следует сопоставить 0x01 graphic
 и проделать то же самое.
   Когда 0x01 graphic
 (0x01 graphic
) и мы используем для построения 0x01 graphic
 конечноэлементный лагранжев базис, то речь идет об обычном всем знакомом адаптивном уплотнении сетки (adaptive mesh refinement).
   Заметим, что вместо 0x01 graphic
 можно сразу попробовать 0x01 graphic
 или 0x01 graphic
 и тому подобное, -- то есть, можно попытаться провести несколько уплотнений сетки "сразу".
   Особенность алгоритма аппроксимации, предложенного В.А. Моховым состоит в том, что он решил выбрать 0x01 graphic
 (здесь еще надо сделать поправку на то, что В.А. Мохов рассматривает уплотнение применительно к одному конечному элементу, а не "глобально"). При этом ряд 0x01 graphic
 строится на линейных интерполянтах, а ряд 0x01 graphic
 -- на параболоидах вращения. При этом, по-видимому, мы не можем делать "перескоков" сразу на несколько членов ряда 0x01 graphic
 (опять же сделайте поправку на то, что у В.А. Мохова уплотнение сетки рассматривается применительно к отдельному конечному элементу, а не "глобально" ).
   Как мы выяснили выше, интерполяция параболоидами вращения (на наш взгляд) -- просто, по сути, ничем необоснованная "изуродованная" интерполяция полноценными полиномами второй степени, которая к тому же не гарантирует непрерывности аппроксимируемой функции (начиная с функций двух переменных). Кроме того, выше же мы обсуждали преимущества от интерполяции непрерывными функциями - в частности, в достаточно простых случаях мы можем продолжать пользоваться интегралом Римана, а в случае формулирования задачи аппроксимации в "более современном виде" в терминах функциональных пространств, такая аппроксимация непрерывными функциями выглядит и наиболее естественной (там ставится задача об аппроксимации "предельных элементов", которыми, в частности, являются разрывные функции, функциями непрерывными, плюс к тому же, базис в этих пространствах образуют непрерывные функции, по которым и "раскладывается" аппроксимирующая функция).
   Учтя это, видно, что логичнее переформулировать предложенный В.А. Мохов алгоритм аппроксимации с помощью адаптивного уплотнения сетки таким образом, чтобы в качестве 0x01 graphic
 выступали непрерывные кусочно-линейный функции, а в качестве 0x01 graphic
-- непрерывные кусочные полиномы второй степени; для этого попросту необходимо использовать линейные и квадратические лагранжевы треугольники (лагранжевы треугольники первой и второй степени).
   Итак, далее считаем, что 0x01 graphic
 принадлежат (соответствующим) пространствам 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
, каждое из которых было "связано" с соответствующей триангуляцией 0x01 graphic
 из семейства триангуляций 0x01 graphic
.
   Как говорилось выше, мы предполагаем, что 0x01 graphic
 аппроксимирует 0x01 graphic
 лучше, чем 0x01 graphic
. Но что дает нам основание так предполагать? Давайте рассмотрим на уже знакомом нам примере (решении методом Галеркина в конечноэлементном базисе линейной магнитостатической задачи) этот вопрос подробнее, воспользовавшись результатами теорем, приводимых в [3]. Как и прежде, мы будем предполагать использование энергетической нормы.
   Приведем ряд результатов, следующих из Теоремы 5.5 [3]. При этом мы не приводим ряд допущений, использовавшихся при выводе данной теоремы.
   Для случая 0x01 graphic
имеет место формула (1):
   0x01 graphic
. (1)
   Для случая 0x01 graphic
имеет место формула (2):
   0x01 graphic
(2)
   Здесь константа 0x01 graphic
-- одна и та же во всех формулах.
   Как видно из формул, когда при уплотнении мы используем только полиномы одной и той же степени (первой или второй), наша уверенность, что 0x01 graphic
 аппроксимирует 0x01 graphic
 лучше, чем 0x01 graphic
, основана на уверенности в том, что 0x01 graphic
 аппроксимирует лучше, чем 0x01 graphic
, а эта последняя уверенность основана на том, что именно таково асимптотическое поведение ошибки, задаваемое (1) или (2). Когда же мы аппроксимируем полиномами 0x01 graphic
, но для проверки того, насколько хороша аппроксимация, используем полиномы из 0x01 graphic
, то мы основываемся также на асимптотическом поведении ошибки: ошибка в (2) есть 0x01 graphic
, а в (1) -- 0x01 graphic
, и, следовательно, ошибка в (2) убывает быстрее при 0x01 graphic
. Но когда дело заходит о конкретном значении ошибок, то мы ничего не можем сказать, не зная, каковы же константа и нормы в правых частях неравенств.
   Отметим, что использование "смешанного" подхода (когда же мы аппроксимируем полиномами 0x01 graphic
, но для проверки того, насколько хороша аппроксимация, используем полиномы из 0x01 graphic
) плохо с той стороны, что, хотя мы должны предполагать, что 0x01 graphic
, так как используем (2), хотя для оценки погрешности аппроксимации полиномами 0x01 graphic
достаточно предполагать лишь 0x01 graphic
, как того требует (1). И это при том, что, как правило, при решении задачи ищут 0x01 graphic
. Итак, при таком подходе к гладкости 0x01 graphic
выдвигаются повышенные требования.
   Покажем, почему "смешанный" подход, по-видимому, бесполезен и применять его бессмысленно.
   Сформулируем критерий, при котором мы прекращаем уплотнение сетки при обычном подходе:
   1. Пусть при проведении последовательных уплотнений на шаге 0x01 graphic
функция 0x01 graphic
аппроксимируется функцией 0x01 graphic
(полиномом первой степени). Если за наперед заданное конечное число 0x01 graphic
дальнейших последовательных уплотнений расстояние 0x01 graphic
, 0x01 graphic
остается меньше некоторого наперед заданного числа 0x01 graphic
, то мы прекращаем дальнейшие уплотнения, возвращаемся к конечноэлементной сетке, соответствующей аппроксимации 0x01 graphic
и используем эту функцию в качестве аппроксимирующей.
   Таким образом, признак того, что следует остановиться на 0x01 graphic
следующий:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (3)
   Замечание. Если мы решаем краевую задачу, то, естественно, должны скорректировать действия таким образом, чтобы и невязка уравнения была меньше пороговой. В более общей постановке задачи аппроксимации мы не всегда имеем возможность останавливать уплотнение при достижении определенного порога невязки; более того, мы вообще должны забыть о том, что задача аппроксимации каким-то образом связана с решением краевой задачи; именно поэтому мы сформулировали критерий таким образом - вообще не упоминая про невязку. Конец замечания.
   Сформулированный критерий достаточно понятен и не нуждается в дальнейших комментариях.
   Теперь сформулируем критерий прекращения уплотнения конечноэлементной сетки в том случае, когда мы ведем аппроксимацию "смешанным" образом, основываясь на идее, предложенной В.А. Моховым.
   2. Пусть при проведении последовательных уплотнений на шаге шаге 0x01 graphic
функция 0x01 graphic
аппроксимируется функцией 0x01 graphic
(полиномом первой степени), и при этом "качество" аппроксимации проверяется по полиному второй степени 0x01 graphic
. Если за наперед заданное конечное число 0x01 graphic
дальнейших последовательных уплотнений расстояние 0x01 graphic
, 0x01 graphic
остается меньше некоторого наперед заданного числа 0x01 graphic
, то мы прекращаем дальнейшие уплотнения, возвращаемся к конечноэлементной сетке, соответствующей аппроксимации 0x01 graphic
и используем эту функцию в качестве аппроксимирующей.
   Итак, признак того, что следует остановиться на 0x01 graphic
следующий:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (4)
   В.А Мохов использует 0x01 graphic
, т. е. тестирует только на выполнение 0x01 graphic
.
   Два вышеприведенных критерия в не эквивалентны. Если выполняется (4) и 0x01 graphic
, то отсюда еще не следует, что выполняется 0x01 graphic
(0x01 graphic
разные для разных критериев). Я думаю, все согласятся, что "главный" критерий для нас -- именно первый - ведь в конце концов нас интересует близость друг к другу аппроксимирующих функций из полиномов перовой степени, а не близость аппроксимирующей функции из полиномов первой степени к аппроксимирующей функции из полиномов второй степени. Что толку из того, что 0x01 graphic
и 0x01 graphic
близки, если 0x01 graphic
и 0x01 graphic
далеки друг от друга? Ведь в этом случае все равно придется продолжать уплотнение сетки.
   Итак, встает вопрос о соотнесении (4) с (3) и нам важно гарантировать, что при выполнении (4) автоматически выполняется и (3). Для обеспечения этой "гарантии" нам следует воспользоваться (1) и (2) (по крайней мере, больше у меня ничего сейчас нет, а В.А. Мохов не предложил вообще никаких оценок, которые помогли бы нам решить эту проблему). При этом, чтобы гарантировать выполнение (3) при выполнении (4) (или, наоборот, установить, что при данном 0x01 graphic
при выполнении (4) нет гарантии того, что выполняется (3)) нам, очевидно, необходимо будет узнать константу 0x01 graphic
и нормы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Однако - внимание! -- узнав 0x01 graphic
норму 0x01 graphic
нам нет необходимости привлекать для аппроксимации функцию из полиномов второй степени вообще (а, значит, и узнавать 0x01 graphic
).
   Итак, В.А. Мохов просто выбрал неправильный критерий для решения вопроса того, когда прекращать уплотнение сетки. При правильном выборе критерия полиномы второй степени становятся ненужными.
   При написании диссертационной работы В.А. Мохов мог бы подольше задуматься над таким простым вопросом: если мы выбираем между аппроксимациями полиномами первой степени, а не между аппроксимацией полиномами первой степени и полиномами второй степени, то зачем нам вообще задействовать полиномы второй степени и нельзя ли как-то обойтись без них?! Кстати, у меня возникает вопрос: не был ли критерий остановки выбран В.А Моховым специально так, чтобы "зачем-то" понадобились функции из полиномов второй степени? Ведь использование таких критериев, пусть неявно, но подразумевает, что на аппроксимируемые функции следует наложить ограничение такое, что если выполняется (4), то из этого должно следовать (3)... Тогда, конечно, многие вопросы отпадут сами собой.
  

9 Замечания по реализации алгоритма, предложенного В.А. Моховым

  
   Программная реализация алгоритма, предложенного В.А. Моховым "стандартными методами" достаточна прозрачна и понятна и, на мой взгляд, не требует дальнейших пояснений. Особенность диссертационной работы В.А. Мохова заключается в том, что он решил реализовать разработанный им метод, задействовав для этого нейронные сети. На этом мы и остановимся.
   В.А. Мохов говорит о "прямом синтезе" аппроксимирующих искусственных нейронных сетей. Под "прямым синтезом" понимается такое построение искусственных нейронных сетей, когда веса нейронов вычисляются заранее, а характерные для нейронных сетей процедуры обучения, в ходе которых "подгоняются" веса, не проводятся. И в самом деле, такой "прямой синтез" очень хорошо подходит под задачу аппроксимации, решаемую В.А. Моховым, так для ее решения четко формализовано и, по сути, никаких "услуг", которые могут предоставить в наше распоряжение исключительно нейронные сети, не требуется.
   Следует отметить, что "прямой синтез" аппроксимирующих нейронных сетей не является "новостью". Сошлемся на работу [4], где задачам, в которых используются искусственные нейронные сети сопоставляется задача большой размерности, решаемая методом наименьших квадратов.
   Суть того, что делает В.А. Мохов, когда говорит о том, что занимается прямым синтезом нейронных сетей, заключается в том... что он рассчитывает коэффициенты (веса) в линейных дискриминаторах (которые строятся на нейронах). Эти линейные дискриманаторы. На каждое "ребро" конечноэлементной сетки "заводится свой линейный дискриминатор, а выходы всех дискриминаторов объединяются с помощью логических элементов таким образом, чтобы определить принадлежность точки (координаты которой подаются на вход) определенному конечному элементу.
   Столь простое использование нейронов (не используется даже нелинейная функция активации) на мой взгляд, позволяет говорить о том, что он строит всего лишь специализированный вычислитель (или нейроускоритель). При его построении он использует стандартные схемотехнические решения.
   Специализированный вычислитель реализуется на ПЛИС.
   На мой взгляд, такой специализированный вычислитель не представляет из себя ничего нового с точки зрения схемотехники.
  

Послесловие

  
   Итак, при разборе диссертационной работы В.А. Мохова мы выяснили, что
   1. Критерий, используемый для остановки измельчения конечноэлементной сетки при проведении адаптивной аппроксимации неверен.
   2. При переходя к "правильному" критерию аппроксимация функции полиномами второй степени становится ненужной.
   3. Разработанный В.А. Моховым алгоритм аппроксимации полиномами второй степени (рассматриваемый сам по себе) содержит недостатки, главные из которых следующие: значение ряда коэффициентов принимается произвольным, чего нельзя делать при аппроксимации функции, о которой заранее ничего неизвестно; аппроксимирующая функция в общем случае терпит разрывы на границах конечныx элементов.
   4. Устранение указанных в п. 3 недостатков ведет к давно известной аппроксимации, использующей лагранжевы треугольники второго порядка.
   5. Оценка погрешности аппроксимации выполнена ошибочным образом. Ограничения, наложенные на аппроксимируемую функцию для достижения гарантированной точности аппроксимации нелепы. Более сложный случай оценки погрешности аппроксимации, когда аппроксимирующая функция является проекцией элемента одного функционального пространства на другое пространство, не рассматривается.
  
   Приведем "выходную" информацию для диссертационной работы В.А. Мохова.
   Согласно сведениям из автореферата [АВТ] В.А. Мохов защитил диссертацию [ДИС] на соискание ученой степени кандидата технических наук "Разработка алгоритмов прямого синтеза аппроксимирующих искусственных нейронных сетей" 20 октября 2005 года на заседании диссертационного совета К 212.208.04 Южно-Российского регионального центра информатизации Ростовского государственного университета (начало заседания -- 11 часов) по адресу 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корп. 2, ЮГИНФО РГУ, аудитория 206.
   С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке РГУ по адресу г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская 148.
   Специальность -- 05.13.11 ("Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей").
   Работа выполнена на кафедре "Электронные вычислительные машины" государственного образовательного учреждения Южно-Российский государственный технический университет (НПИ), г. Новочеркасск.
   Ведущая организация -- Научно-исследовательский институт нейрокибернетики РГУ, г. Ростов-на-Дону.
   Научный руководитель: доц. (так указано в [АВТ]), д.т.н. Ковалев Олег Федорович, зав. каф. "Электронные вычислительные машины", проректор по образовательной деятельности ЮРГТУ (НПИ) (должности указаны на момент защиты диссертации).
   Замечание. О докторской диссертации О.Ф. Ковалева смотри [5]. Конец замечания.
   Официальные оппоненты:
   проф., д.т.н. Божич Владимир Иванович (Таганрогский Государственный Технический Университет, г. Таганрог)
   доц., к.т.н. Душенко Александр Григорьевич (Донской филиал Центра тренажеростроения, г. Новочеркасск)
   Публикация по теме диссертационной работы, опубликованная в "ВАКовском" журнале -- смотри [6].
  

Литература

  
   [АВТ] Мохов В.А. Разработка алгоритмов прямого синтеза аппроксимирующих искусственных нейронных сетей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук: 05.13.11. Родтов-на-Дону, 2005.
   [ДИС] Мохов В.А. Разработка алгоритмов прямого синтеза аппроксимирующих искусственных нейронных сетей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук: 05.13.11.
  
   [1] Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott. The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed. Springer, 2007.
   [2] Mark S. Gockenbach. Understanding and Implementing the Finite Element Method. Siam, 2006.
   [3] Mark S. Gockenbach. Курс лекций ma5629fall2003, читанный в Michigan Technological University осенью 2003 года с "подзаголовком" "Understanding and Implementing the Finite Element Method". Доступен по ссылке
   http://www.math.mtu.edu/~msgocken/ma5629fall2003/lectures/
   [4] Broomhead, D. Radial basis functions, multi-variable functional interpolation and adaptive networks. Royal Signals and Radar Establishment, 1988 Memorandum 4148.
   [5] Леонов А.В. "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2007. -- 108 с.
   Скачать цифровую версию книжки можно по ссылке с сайта http://lion.alturl.com.
   [6] Ковалев О.Ф., Мохов В.А., Федорова Н.В. Об одном из алгоритмов адаптивной аппроксимации // Известия ВУЗов. Электромеханика, 2004. -- N3 -- С. 55-59.
  

Приложение D. Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры (дополнение к Приложению A)

  
   "Метод неопределённых множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры" -- это брошюра, задуманная как дополнение к дугой брошюре, ""Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений", и изданная как частный заказ небольшим количеством экземпляров:
  
   Автор: Леонов А.В.
   Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры. / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 24 с.
  
   Брошюра имеет следующую аннотацию:
   "Подробно излагается метод неопределенных множителей Лагранжа, используемый при условной минимизации функционала. Далее рассматривается реализация данного метода с "точки зрения" линейной алгебры для некоторых частных случаев (под такие случаи попадает минимизация функционала с использованием конечноэлементного базиса, когда в результате получается система нелинейных (или линейных) алгебраических уравнений).
   Данная работа может рассматриваться в качестве методического пособия по самому методу и его численной реализации, а также служить в качестве справочного пособия к PDETool Matlab, для тех, кто разбирает имеющиеся в PDETool Matlab программные модули "построчно".
   Кроме того, эта работа служит дополнением к первому изданию книги автора ""Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений".
   Книга ориентирована на инженеров и студентов нематематических специальностей".
  
   Изначально брошюра предназначалась для свободного распространения -- в частности, в ней написано следующее уведомление: "Вы можете свободно воспроизводить и распространять данную работу целиком или по частям любым способом, в том числе и на коммерческой основе без выплаты вознаграждения автору".
  
   09.06.2020 (время -- московское) данная брошюра была передана мною в Общественные Владения (Public Domain) по лицензии CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
  
   0x01 graphic
   To the extent possible under law, Андрей Владимирович Леонов has waived all copyright and related or neighboring rights to брошюра: Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры. / А.В. Леонов; -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ, 2008. -- 24 с. This work is published from: Russian Federation.
   Скачать данную брошюру можно с сайта автора f2f.alturl.com (lion.alturl.com) или с библиотеки "Генезис" (gen.lib.rus.ec).
  
   В настоящей книге текст брошюры печатается с небольшими изменениями, касающимися исправления грамматических и пунктуационных ошибок, а также незначительных недоработок в стилистике.
  

1 Минимизация функционала с независимыми переменными (обзор)

  
   Под минимизацией функционала понимается поиск глобального минимума функционала. Надеюсь, вы представляете себе разницу между минимумом (точкой минимума функции) и наименьшим значением (точкой, в которой функция принимает наименьшее значение) и не спутает одно с другим.
   Когда минимизируется функционал 0x01 graphic
от независимых переменных (они в данном случае образуют вектор 0x01 graphic
), то говорят, что имеет место минимизация без условий (безусловная) или минимизацией без ограничений (неограниченная) или просто минимизация (без всяких дополнительных указаний). Под условиями или ограничениями здесь подразумеваются уравнения, выражающие связь между переменными. Еще раз подчеркнем: при безусловной или, иначе говоря, неограниченной минимизации все переменные предполагаются изначально независимыми и, в этом смысле, "равноправными".
   Как известно из курса дифференциального и интегрального исчисления, при безусловной минимизации необходимым и достаточным условием того, что некоторая точка есть стационарная точка, является равенство нулю всех частных производных 0x01 graphic
в этой точке. Другими словами, в данной точке выполняется условие 0x01 graphic
.
   Договоримся, что все векторы по умолчанию являются векторами-столбцами, но при взятии градиента (действия оператора 0x01 graphic
на скалярную функцию) у нас по умолчанию получается вектор-строка.
   Условие 0x01 graphic
иногда переписывают применительно к полному дифференциалу.
   Как известно, 0x01 graphic
. Введем вектор-столбец 0x01 graphic
. Тогда 0x01 graphic
. 0x01 graphic
описывает изменение 0x01 graphic
при малом изменении аргумента 0x01 graphic
(предполагается, что мы находимся в точке 0x01 graphic
).
   Замечание. Перейдем от дифференциалов к приращениям 0x01 graphic
. Введем вектор 0x01 graphic
аналогично тому, как мы ввели вектор 0x01 graphic
. Тогда можно записать, что 0x01 graphic
"с точностью до членов порядка 0x01 graphic
". Конец замечания.
   Покажем, что условия 0x01 graphic
и 0x01 graphic
эквиваленты.
   Очевидно, что если 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
.
   Теперь пусть 0x01 graphic
. Напомним, что 0x01 graphic
-- произвольный малый вектор, который, в общем случае, не равен нулевому вектору. Последовательно придавая ненулевые значения лишь какой-либо одной из компонент этого вектора, мы придем к заключению, что все компоненты 0x01 graphic
должны быть равны нулю, то есть, что 0x01 graphic
.
   Итак, имеются следующие необходимые и достаточные эквивалентные условия, с помощью которых мы можем определить стационарную точку функционала:
   0x01 graphic
, (1)
   0x01 graphic
. (2)
   Как известно, стационарные точки -- это либо точки экстремума (максимума или минимума), либо седловые точки. Таким образом, из того, что в данной точке выполняется условие 0x01 graphic
(0x01 graphic
) вовсе не следует, что данная точка является именно точкой минимума. Чтобы "признать" найденную точку точкой минимума, вообще говоря, необходимы дополнительные аналитические исследования и/или некоторая дополнительная информация. Зачастую такой дополнительной информацией являются так называемые "физические соображения" - например, "принимается во внимание", что "природа все делает так, чтобы минимизировать затраты энергии". Тогда, если заранее известно, что стационарная точка только одна, а функционал "описывает" "энергетическое состояние" некоторой системы, можно предположить, что эта точка является точкой минимума и не проводить дополнительных исследований. В конце концов, если больше ничего неизвестно, можно действовать просто "наугад", то есть, предположить, что точка, найденная нами с помощью вышеприведенного условия, и есть нужная точка минимума.
   Разумеется, при действии "наугад" нас могут ждать разочарования. Кроме того, стационарных точек может быть много. Среди множества стационарных точек может встречаться по нескольку точек минимума, максимума и седловых точек. В таких случаях даже найденный минимум может оказаться не "глобальным", а "локальным" (то есть, не "самым минимальным", а минимальным только для какой-то подобласти). Помните, что на самом деле задача отыскания минимума функционала может оказаться гораздо сложнее, чем описывается здесь!
   Перед тем, как двинуться дальше, скажем несколько слов о том, почему при поиске минимума, руководствуясь условием 0x01 graphic
(0x01 graphic
), вообще говоря, нельзя допускать зависимости между переменными.
   Пусть функционал 0x01 graphic
имеет всего одну стационарную точку -- минимум. При поиске стационарной точки на основе вышеуказанного правила нам нужно искать ее на всей области определения функционала. Если взять "более узкую" область поиска, то возможна неудача, так как минимум может оказаться за пределами области поиска. Наложение ограничений (задание зависимостей между переменными) приводит ни к чему иному, как к "сужению" области, в которой ведется поиск минимума.
   Предположим, у нас имеется функционал от двух независимых переменных -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, который достигает единственного минимума в единственной стационарной точке 0x01 graphic
. Ведем зависимость между переменными 0x01 graphic
и перейдем к условной минимизации. При этом область, на которой мы должны рассматривать функционал, сузится с плоскости до линии 0x01 graphic
, на которой точка 0x01 graphic
попросту отсутствует (а только в этой точке и выполняется 0x01 graphic
).
   В ходе безусловной минимизации происходит вычисление 0x01 graphic
; при этом уравнение 0x01 graphic
приобретает "более конкретизированный" вид. Например, может быть получено нелинейное алгебраическое уравнение 0x01 graphic
, которое более привычно записывают 0x01 graphic
. Далее полученное уравнение решается "обычными" способами - например, с помощью метода Ньютона.
   Замечание. Когда мы утверждаем, что в стационарной точке должно выполняться условие 0x01 graphic
, мы не утверждаем ничего больше -- в частности, мы не утверждаем, что для данного функционала 0x01 graphic
существует какая-либо стационарная точка! Таким образом, на самом деле мы говорим: "в стационарной точке, если таковая существует, должно выполняться равенство 0x01 graphic
". Конец замечания.
  

2 Минимизация функционала с зависимостями между переменными (обзор)

  
   Пусть по-прежнему имеется функционал 0x01 graphic
, но при этом между переменными, входящими в вектор 0x01 graphic
, имеются зависимости (связи) вида 0x01 graphic
. Используя уравнения связи, выразим зависимые переменные через независимые. В результате мы перейдем от исходного функционала 0x01 graphic
к функционалу 0x01 graphic
, который зависит только от независимых переменных (здесь 0x01 graphic
-- вектор независимых переменных). Далее мы можем проводить "обычную" безусловную минимизацию 0x01 graphic
.
   Когда проводится "обычная" безусловная минимизация 0x01 graphic
, но при этом 0x01 graphic
является функционалом, полученным вышеописанным способом на основе функционала 0x01 graphic
и уравнений связи, то говорят, что имеет место минимизация с условиями (условная) или, иначе говоря, минимизация с ограничениями (ограниченная) функционала 0x01 graphic
.
   В результате минимизации мы должны получить некоторый вектор 0x01 graphic
, который соответствует вектору 0x01 graphic
, доставляющему минимум 0x01 graphic
. 0x01 graphic
вычисляется на основе 0x01 graphic
(например, с помощью уравнений связи).
   Обратите внимание -- хотя говорят о условной минимизации 0x01 graphic
, но при этом на самом деле минимизации, причем безусловной, подвергается другой функционал -- 0x01 graphic
.
   Замечание. Для применения условия 0x01 graphic
(0x01 graphic
) необходимо, чтобы переменные, входящие в вектор 0x01 graphic
, изначально были независимыми. Именно поэтому мы не можем использовать данное условие сразу же и вынуждены сделать переход к функционалу 0x01 graphic
. Конец замечания.
   Условия или, иными словами, ограничения - это ни что иное, как уравнения, выражающие зависимости одних переменных от других, которые в общем случае, как сказано, имеют вид 0x01 graphic
. Данные уравнения еще называют уравнениями связи.
   Замечание. Зависимость типа "переменная такая-та равна такой-то константе" -- всего лишь частный случай зависимости 0x01 graphic
. Конец замечания.
   Используя уравнения связи, мы выражаем одни переменные через другие. Этим самым мы, очевидно, также осуществляем разделение переменных на два класса -- зависимые и независимые. Следует отметить, что в ряде случаев такое разделение можно сделать чисто условно. Это означает, что зависимые и независимые переменные в данных случаях можно "поменять местами" и что такое разделение может быть выполнено неединственным способом.
   Каждое уравнение связи вида 0x01 graphic
теоретически позволяет нам исключить одну из независимых переменных. Все уравнения связи в совокупности теоретически позволяют нам выразить все зависимые переменные через независимые и тем самым исключить все зависимые переменные. Однако, следует заметить, что такая теоретическая возможность не всегда может быть реализована на практике.
   Описанный выше подход к условной минимизации будем называть "прямолинейным". У "прямолинейного" подхода к условной минимизации функционала имеется ряд недостатков: это необходимость "в действительности" выражать зависимые переменные через независимые и неуниверсальность. Обсудим эти недостатки подробнее.
   Во-первых, как сказано, зависимые переменные необходимо выражать через независимые "в действительности"; то есть, "миновать" этой процедуры никак нельзя. В связи с этим следует сказать, что бывают такие случаи, когда возможность выразить зависимые переменные через независимые, используя уравнения связи, мыслиться лишь как чисто теоретическая; то есть, практически выполнить эту процедуру невозможно. Кроме того, бывают случаи, когда вышеназванная процедура оказывается либо достаточно сложной, либо достаточно трудоемкой. Наконец, эта процедура может быть просто нежелательной -- например, в связи с неуниверсальностью "прямолинейного похода", которая (неуниверсальность) будет обсуждена ниже.
   Во-вторых, "прямолинейный подход" неуниверсален. Под этим подразумевается следующее: если уравнения связи изменятся, то процедуру перехода от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
следует повторить заново. При этом мы столкнемся с тем, что в "прямолинейном подходе" отсутствует (по меньшей мере, для некоторых важных частных случаев) универсальная "хорошо алгоритмизируемая" (а значит, и "хорошо" реализуемая в виде прикладной программы) процедура, позволяющая достаточно просто осуществить вышеупомянутый переход. По крайней мере, если такая процедура и есть, то она плохо просматривается.
   Указанных недостатков лишен другой способ условной минимизации функционала -- метод неопределенных множителей Лагранжа. При его использовании нет необходимости выражать независимые переменные через зависимые (достаточно лишь теоретическое наличие такой возможности), а переход от одной условной минимизации к другой, с изменившимися уравнениями связи, легко осуществляется с помощью стандартных "универсальных" алгоритмов, которые легко могут быть воплощены в прикладной программе.
   К сожалению, при использовании метода неопределенных множителей Лагранжа получается система большей размерности, чем при "прямолинейном методе", но, как правило, при этом возможна редукция системы. При проведении редукции в некоторых случаях возможно прийти к системе с размерностью, равной количеству независимых переменных.
   Далее метод неопределенных множителей Лагранжа будет рассмотрен подробно.
  

3 Метод неопределенных множителей Лагранжа

  
   Пусть имеется функционал0x01 graphic
, где 0x01 graphic
-- вектор 0x01 graphic
переменных, включающий как независимые переменные, так и зависимые, и 0x01 graphic
независимых уравнений связи 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, позволяющих (хотя бы теоретически) выразить зависимые переменные через независимые. Теоретически, благодаря наличию уравнений связи, можно исключить 0x01 graphic
переменных и перейти от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
. Предположим, что нам заранее известно, какие переменные независимые, а какие -- зависимые. Произведем перенумерацию переменных: независимые переменные поместим в начало вектора 0x01 graphic
(теперь это будут компоненты 0x01 graphic
), а зависимые -- в конец вектора 0x01 graphic
(теперь это будут компоненты 0x01 graphic
)..
   Зависимости могут быть достаточно сложными (мы приводили только линейные зависимости) и их самих (зависимостей) может быть целое множество. В связи с этим закономерно возникает вопрос: не является ли само определение того, какая переменная зависимая, а какая - нет (даже условно) достаточно сложной задачей? На это ответим так: несомненно, такая задача может быть сложной и трудоемкой, но решать ее в данном случае не придется. Как будет видно дальше, важна только сама принципиальная возможность разделения переменных на зависимые и независимые; само же разделение "на практике" выполняться не будет. "Конечные" уравнения для условной минимизации с помощью рассматриваемого метода получатся такими, что алгоритм их составления для конкретного случая не потребует указания того, какие переменные зависимы, а какие -- нет.
   Итак, не нарушая общности (как это будет видно далее) мы предполагаем, что независимые переменные находятся в начале вектора неизвестных, а зависимые -- в конце.
   Условную минимизацию функционала проведем для случая пяти переменных (0x01 graphic
) при двух уравнениях связи (0x01 graphic
); таким образом, после перенумерации (если она необходима), независимыми переменными будут 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, а зависимыми -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. На таком простом примере достаточно хорошо будет просматриваться то, как следует вести минимизацию при большем числе зависимых и независимых переменных.
   Обозначим вектор независимых переменных 0x01 graphic
через 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Индекс "i" "образовался" от слова "independent" -- "независимый".
   Зависимые переменные 0x01 graphic
и 0x01 graphic
являются функциями независимых переменных; этот факт мы запишем следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Замечание. Как сказано, нас не интересует конкретный вид зависимостей; главное -- это то, что мы "теоретически" можем так записать. Конец замечания.
   Перейдем от функционала 0x01 graphic
, для которого подразумевается зависимость одних переменных от других, к функционалу только от независимых переменных 0x01 graphic
, выразив зависимые переменные через независимые:
   0x01 graphic
   Более точной была бы запись
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   но, надеюсь, и так ясно, что имеется в виду.
   В точке минимума 0x01 graphic
выполняется условие 0x01 graphic
, по которому мы и будем искать эту точку.
   Замечание. Как уже было сказано, данное условие, вообще говоря, является условием, при котором некоторая точка является стационарной. Таким образом, используя условие 0x01 graphic
для поиска минимума, мы должны располагать какой-то дополнительной информацией о том, что в там, где это условие выполняется, будет именно точка минимума. Здесь и далее мы больше не будем делать подобных оговорок. Конец замечания.
   Замечание. Повторим: мы утверждаем, что в стационарной точке должно выполняться условие 0x01 graphic
, но вовсе не утверждаем, как это может показаться, что такая точка существует для данного 0x01 graphic
! Таким образом, на самом деле мы говорим: "в стационарной точке, если таковая существует, должно выполняться равенство 0x01 graphic
". Помните об этом! Конец замечания.
   Итак, в точке минимума выполняется условие 0x01 graphic
.
   Составим выражение для полного дифференциала 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   Надеюсь, понятно, что подразумевается под 0x01 graphic
и 0x01 graphic
: в функционале 0x01 graphic
0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- это "промежуточные аргументы"; они являются функциями других переменных (независимых). В выражениях вида 0x01 graphic
мы попросту берем производную от сложной функции. Очевидно, что
   0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Перегруппируем слагаемые следующим образом:
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   Здесь полный дифференциал выражается через дифференциалы независимых переменных. Напомним также, что в этой формуле зависимые переменные выражаются через независимые.
   Как уже сказано, в интересующей нас точке минимума должно выполняться условие
   0x01 graphic
.
   Опишем кратко, как бы мы поступили дальше, если бы решили действовать "прямолинейно". Поскольку 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- произвольные независимые малые приращения (дифференциалы), то из равенства 0x01 graphic
можно сделать заключение, что равны нулю выражения при каждом из дифференциалов. Таким образом, уравнение 0x01 graphic
распадется на три уравнения, из которых вполне возможно найти три неизвестных. Как уже сказано, здесь нас поджидает лишь одна неприятность: нам "на самом деле" необходимо знать функции 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, чтобы вычислять их частные производные.
   При следовании методу неопределенных множителей Лагранжа дело обстоит иначе.
   Перейдем непосредственно к рассмотрению "анонсированного" метода.
   Вспомним, что у нас имеется два уравнения связи 0x01 graphic
: 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Перейдем от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
таким же способом, каким мы сделали аналогичный переход от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
. Составим выражения для полных дифференциалов для всех 0x01 graphic
. Для произвольного 0x01 graphic
получим:
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   Согласно первому уравнению связи 0x01 graphic
. После выражения зависимых переменных через независимые мы получим уравнение 0x01 graphic
. Следовательно,
   0x01 graphic
.
   Аналогично,
   0x01 graphic
.
   Образуем линейную комбинацию 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
и 0x01 graphic
- некоторые множители, значение которых пока не определено. Из уравнений 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, а также из того, что в точке минимума 0x01 graphic
следует, что в данной точке справедливо тождество
   0x01 graphic
. (1)
   В дальнейшем мы воспользуемся нашей свободой в задании 0x01 graphic
и 0x01 graphic
; пока же нам не видно, как это лучше сделать.
   Распишем тождество (1) подробно и проведем группировку слагаемых так, чтобы вынеслись общие множители, в качестве которых будут выступать дифференциалы независимых переменных 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   Поскольку 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
- дифференциалы независимых переменных, которые (дифференциалы) могут принимать произвольные (малые) значения в любой комбинации, то из вышеприведенного равенства следует равенство нулю выражений в скобках при дифференциалах независимых переменных. Иначе говоря, одно уравнение распадается на три:
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
.
   Произведем перегруппировки слагаемых в трех вышеприведенных уравнениях:
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
;
   0x01 graphic
.
   Мы имеем две "степени свободы" в выборе множителей 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Распорядимся этими степенями свободы следующим образом: подберем множители так, чтобы выражения 0x01 graphic
и 0x01 graphic
одновременно обращались в нуль:
   0x01 graphic
; (2a)
   0x01 graphic
. (2b)
   При выбранных таким образом множителях все три уравнения, в которых присутствуют эти выражения, обращаются в следующие тождества:
   0x01 graphic
; (3a)
   0x01 graphic
; (3b)
   0x01 graphic
. (3c)
   Как видим, по виду эти уравнения (3), в которых фигурируют частные производные по независимым переменным, такие же, как и уравнения (2) с частными производными по "зависимым переменным" - то есть, по промежуточным аргументам, (которые (аргументы) являются функциями независимых переменных).
   В итоге мы получим пять однотипных уравнений, в которых имеется семь неизвестных:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (4)
   Чтобы систему можно было решить однозначно, к пяти уравнениям необходимо добавить еще два уравнения. В качестве двух недостающих уравнений, очевидно, следует взять уравнения связи 0x01 graphic
(именно так - 0x01 graphic
, а не 0x01 graphic
). В итоге конечная система будет выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (5)
   Мы уже говорили, что 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Очевидно также, что 0x01 graphic
при 0x01 graphic
. Аналогично, 0x01 graphic
. В итоге мы можем вернуться обратно к функционалу 0x01 graphic
и уравнениям связи 0x01 graphic
и записать конечную систему следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (6)
   Сделаем ряд замечаний.
   Во-первых, размерность системы (6) больше, чем системы, которую можно получить, действуя "прямолинейно", но зато в (6) отсутствуют выражения 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Следовательно, нам (как и было обещано) не надо определять конкретный вид зависимостей зависимых переменных от независимых.
   Во-вторых, для всех переменных -- и зависимых, и независимых -- мы приходим к соответствующему этой переменной уравнению вида 0x01 graphic
. Это значит, что (как тоже было обещано) при составлении системы уравнений нам нет необходимости беспокоиться о том, какая из переменных зависимая, а какая независимая "на самом деле".
   Полученную систему уже можно решать, не проводя никаких дополнительных преобразований. В результате решения мы получим вектор неизвестных, в который будут входить следующие компоненты: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Нас, очевидно, интересуют только компоненты 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Значения же неизвестных 0x01 graphic
и 0x01 graphic
нас при этом совершенно не интересуют -- ведь они никак не фигурируют в "ответе". Поэтому, если от неизвестных 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(то есть, множителей) можно каким-либо образом избавиться, уменьшив при этом систему уравнений, то так, как правило, и поступают. Из-за этого данные множители называют "неопределенными" -- в смысле: "неопределяемыми, невычисляемыми". По крайней мере, их не вычисляют в подавляющем большинстве случаев.
   Полностью упомянутые множители называются "неопределенные множители Лагранжа". От этих множителей получил свое название и сам метод.
   Иногда можно исключить из системы не только множители Лагранжа, но и все зависимые переменные. При этом в итоге мы приходим к системе, в которой столько же уравнений, сколько и независимых переменных. Если такое возможно, то так, как правило, и следует поступать.
   Наконец, запишем, как будет выглядеть система уравнений для общего случая:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (7)
   Для записи 0x01 graphic
уравнений вида 0x01 graphic
можно воспользоваться следующим правилом: составим функцию
   0x01 graphic
; (8)
   тогда 0x01 graphic
уравнений (7) можно получить взятием частных производных по 0x01 graphic
от функции 0x01 graphic
.
   Функция 0x01 graphic
имеет специальное название -- "функция Лагранжа".
   Если говорить совсем коротко, то при использовании метода неопределенных множителей Лагранжа система уравнений для проведения условной минимизации функционала формируется из приравненных нулю частных производных от функции Лагранжа (производные по неопределенным множителям Лагранжа не берутся), и из уравнений связи.
   Из приведенной формулы для "общего случая" видно, что для составления системы уравнений можно вначале сформировать "первоначальную", "исходную" систему уравнений
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, (9)
   а затем "доработать" ее. Эта "исходная" система уравнений, очевидно, - ни что иное, как запись условия минимума функционала при проведении безусловной минимизации.
   Далее, при доработке, к правой части каждого из уравнений "исходной" системы необходимо добавить член 0x01 graphic
, в результате чего мы получим систему
   0x01 graphic
, (10)
   в которой неизвестных больше, чем уравнений. Наконец, чтобы доопределить систему, включим в нее уравнения связи:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (11)
   Эту "доработанную" систему будем называть "полной".
   Член 0x01 graphic
не переносится в левую часть для того, чтобы данная система имела большее сходство с системами, получаемыми при рассмотрении задач механики. В частности, далее будет проводиться аналогия между членом 0x01 graphic
и членом, ответственным за так называемые "силы реакции".
   Замечание. Как говорилось, в результате условной минимизации мы должны получить некоторый вектор 0x01 graphic
, который соответствует вектору 0x01 graphic
, доставляющему минимум 0x01 graphic
. Возможно, вы также заметили, что некоторые переменные могут считаться зависимыми/независимыми условно и, при необходимости, меняться ролями. В этом случае, очевидно, 0x01 graphic
соответствует несколько различных функционалов 0x01 graphic
, причем вектор независимых переменных 0x01 graphic
-- свой для каждого функционала (мы не вводим соответствующих обозначений). Метод неопределенных множителей Лагранжа, как видим, "не входит" в такие "подробности", но такие "подробности" и не требуются, так как, как правило, все, что нас интересует -- это 0x01 graphic
. Можно сказать, что метод неопределенных множителей Лагранжа соответствует "сразу всем" возможным 0x01 graphic
. Конец замечания.
  

4 Построение "полной" системы уравнений для случая исходной системы вида 0x01 graphic
 и уравнений связи вида 0x01 graphic
.

  
   Рассмотрим построение "полной" системы на основе "исходной" и уравнений связи на случае, более приближенном к практике. Предположим, что при проведении безусловной минимизации некоторого функционала мы получили систему 0x01 graphic
нелинейных уравнений 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
имеет "более конкретный" вид 0x01 graphic
. Иными словами, нам необходимо решить систему нелинейных уравнений 0x01 graphic
. Здесь вектор 0x01 graphic
не зависит от 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
зависит. Если мы запустим для решения системы нелинейных уравнений итерационный процесс, то матрица 0x01 graphic
будет "своя" для каждого шага итерационного процесса.
   Далее будем писать просто 0x01 graphic
, не упоминая о зависимости от 0x01 graphic
.
   Таким образом, системе уравнений 0x01 graphic
, 0x01 graphic
в данном случае соответствует система уравнений 0x01 graphic
или, что то же самое, 0x01 graphic
.
   Эта система
   0x01 graphic
(1)
   и есть "исходная" система.
   Договоримся об одной важной детали: уравнения системы 0x01 graphic
должны быть упорядочены. В частности, первое уравнению 0x01 graphic
получено взятием частной производной по первой переменной вектора неизвестных, второе уравнение -- второй переменной и так далее. Необходимость подобного упорядочивания будет объяснена позже.
   Предположим также, что уравнения связи 0x01 graphic
, 0x01 graphic
представляют из себя уравнения вида "линейная комбинация неизвестных равна константе" (считайте, что в приведенной формуле константа находится в левой части; далее мы ее просто перенесем с обратным знаком в правую часть). Для простоты будем полагать, что коэффициенты не зависят от 0x01 graphic
. В этом случае уравнения связи можно записать в матричном виде следующим образом:
   0x01 graphic
. (2)
   Здесь 0x01 graphic
-- матрица 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- вектор-столбец 0x01 graphic
; первое уравнение системы соответствует первому уравнению связи, второе-второму и так далее. Иначе говоря, система 0x01 graphic
предполагается упорядоченной.
   Чтобы получить "полную" систему, нам необходимо узнать, как в данном конкретном случае будет выглядеть 0x01 graphic
для каждого 0x01 graphic
. Очевидно, что, говоря в "терминах" системы 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-- это тот коэффициент 0x01 graphic
-го уравнения, который "стоит" при 0x01 graphic
. То есть, 0x01 graphic
. Введем векторы-столбцы 0x01 graphic
(то есть, 0x01 graphic
- столбец 0x01 graphic
с номером 0x01 graphic
) и вектор-столбец из неопределенных множителей Лагранжа 0x01 graphic
. В этом случае 0x01 graphic
.
   Замечание. Из сказанного очевидно, что изменение порядка уравнений в системе (2) потребует соответствующей перенумерации неопределенных множителей Лагранжа. Поскольку значения множителей Лагранжа и их порядок нас, как правило, не интересуют, то мы можем свободно менять местами уравнения в системе (2). Тем не менее, давайте придерживаться вышеописанного порядка в составлении системы (2). Конец замечания.
   Обратите внимание: 0x01 graphic
(то есть, 0x01 graphic
) должен находиться "в том же уравнении", в котором имеется "соответствующая 0x01 graphic
". Другими словами, 0x01 graphic
следует добавлять к правой части того уравнения системы 0x01 graphic
, которое получилось в результате взятия 0x01 graphic
. Это значит, что при составлении системы 0x01 graphic
нужно сохранять информацию о том, по какой переменной происходило дифференцирование при получении того или иного уравнения системы 0x01 graphic
. Только в этом случае мы всегда сможем определить то уравнение, к правой части которого следует добавить 0x01 graphic
.
   Замечание. При получении системы 0x01 graphic
мы, напомним, вели безусловную (неограниченную) минимизацию и были вправе менять уравнения местами - ведь это (при безусловной минимизации) никак не повлияло бы на конечный результат. Конец замечания.
   Необходимость запоминания информации о том, как (в результате дифференцирования по какой переменной) было получено то или иное уравнение для последующего ее использования в условной минимизации достаточно просто реализовать следующим образом: договоримся, что уравнения в системе 0x01 graphic
располагаются в соответствии с номером той переменной, по которой бралась производная при получении этого уравнения. Иначе говоря, первое уравнение получено взятием производной по первой переменной, второе-второй и так далее. В этом случае информацию о той переменной, по которой бралась производная можно получить просто из номера уравнения. Такой неявный способ хранения информации через упорядочивание уравнений, как правило, и реализуется на практике.
   Заметим, что мы не оговаривали возможности вести линейное комбинирование уравнений с целью получения новых уравнений при составлении системы 0x01 graphic
. В этом случае, для последующего "перехода" к условной минимизации, нам надо было бы хранить больше информации. Этот случай нами не рассматривается; он, как правило, никогда не реализуется на практике.
   Далее будем предполагать, что у нас имеется упорядоченная вышеописанным образом система 0x01 graphic
и нужная нам информация "неявно" хранится в самой последовательности расположения уравнений.
   В соответствии с тем, как мы осуществляем "переход" от безусловной минимизации к условной (то есть, переход от "исходной" системы (3.9) к "полной" "системе систем" (3.11)), к правой части первого уравнения "системы систем" 0x01 graphic
следует добавить член 0x01 graphic
, ко правой части второго - 0x01 graphic
и так далее -- вплоть до члена 0x01 graphic
, который необходимо добавить к правой части последнего уравнения системы 0x01 graphic
. Этого же эффекта мы достигнем, если просто добавим к вектору 0x01 graphic
вектор 0x01 graphic
, ибо 0x01 graphic
-- это вектор-строка, получающая из 0x01 graphic
-й строки 0x01 graphic
. Таким образом, "полная" система ("система систем") будет выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
. (3)
   Введем обозначение
   0x01 graphic
. (4)
   Тогда система (3) примет вид
   0x01 graphic
. (5)
   Систему, записанную в виде (5), как правило, используют для "механической" интерпретации условной минимизации (вернее, для описания условной минимизации с использованием терминов механики). Об этом будет сказано ниже.
   В системе (3) множители Лагранжа выступают в качестве дополнительных неизвестных. Этим неизвестным, как и остальным неизвестным, следует располагаться в левой части системы уравнений:
   0x01 graphic
. (6)
   На основании "системы систем", записанной в виде (6), сформируем одну-единственную матричную систему уравнений. При этом необходимо сформировать "общий", "расширенный", вектор неизвестных, куда будут "прицеплены" и множители Лагранжа.
   Введем вектор-столбец неизвестных 0x01 graphic
(здесь вектор множителей Лагранжа "прицеплен" к концу вектора неизвестных исходной системы), матрицу 0x01 graphic
(0x01 graphic
зависит не от всего 0x01 graphic
, а только от его "верхней" части 0x01 graphic
) и вектор-столбец 0x01 graphic
.
   Используя эти обозначения, "систему систем" (6) можно записать в виде
   0x01 graphic
(7)
   или, раскрывая обозначения,
   0x01 graphic
. (8)
   Это и есть "полная" система для нашего частного случая.
   Нижний индекс "0x01 graphic
" в обозначениях образовался от слова "full" -- "полная".
   Полную систему уже можно решать, задав некоторое начальное приближение для вектора неизвестных (всех, включая множители Лагранжа). При этом будут найдены как зависимые переменные (некоторые из которых, возможно, уже были известны еще до начала решения), так и множители Лагранжа.
   Заметьте -- "по построению", если 0x01 graphic
-- симметричная матрица, то и 0x01 graphic
будет симметричной матрицей. К сожалению, если 0x01 graphic
-- положительно определенная матрица, то 0x01 graphic
может потерять это свойство (как известно, матрицы с "достаточно большими" диагональными элементами являются положительно определенными; мы же принудительно вводим нулевые диагональные элементы).
   Замечание. Потеря (или отсутствие) положительной определенности, в частности, означает, что для данной матрицы нельзя провести разложение Холецкого и, вместо этого, придется использовать 0x01 graphic
- разложение, которое более трудоемко. Конец замечания.
  

5 Отступление. Использование терминов из области механики для описания системы уравнений в матричной форме

  
   При описании систем алгебраических уравнений, записанных в матричной форме, по заведенной традиции часто используют термины из области механики -- даже в том случае, если никакой "механической" интерпретации имеющимся уравнениям придать нельзя.
   Так, если имеется система
   0x01 graphic
,
   то матрицу левой части 0x01 graphic
называют "матрица жесткости", а вектор правой части 0x01 graphic
называют "вектор нагрузки".
   Если данная система получена в результате минимизации без ограничений, и мы хотим от минимизации без ограничений перейти к минимизации с ограничениями, то, как было показано выше, мы должны добавить к вектору 0x01 graphic
("вектору нагрузки") вектор 0x01 graphic
и перейти от системы 0x01 graphic
к системе
   0x01 graphic
.
   Далее, напомним, эта система объединяется с другой системой (0x01 graphic
), которая содержит уравнения связи, задающие зависимости между переменными.
   В "механических" терминах 0x01 graphic
называют "вектор сил реакции" или даже просто "силы реакции".
   Нижний индекс "0x01 graphic
" здесь от слова "reaction" -- "реакция".
   Уравнения системы 0x01 graphic
, которые задают ограничения (зависимости между переменными) с точки зрения механики задают так называемые "голономные связи". На эти уравнения можно даже сослаться как на "голономные связи".
   С той же точки зрения механики "силы реакции" 0x01 graphic
являются результатом наличия "голономных связей" 0x01 graphic
. Говоря об этом, помните, что это всего лишь названия - мы, как сказано, употребляем их даже в том случае, если никакой "механической" интерпретации имеющимся уравнениям дать нельзя.
   Аналогично, при решении слабой формы краевых задач (описываемых уравнениями в частных производных) методом Галеркина возникает так называемая "матрица масс". Кроме того, в этом же случае имеется один, достаточно непривычный, способ учета граничных условий, в котором необходимо правильно подобрать определенную константу; об этой константе говорят как о "коэффициенте жесткости (пружины)", а сам способ называют "учет граничных условий с помощью подбора коэффициента жесткости пружины".
   Мы просто будем употреблять вышеописанные термины для ссылок на различные "части" системы уравнений; изучать те области теоретической механики, где названия означают нечто "реальное" совсем не обязательно (кстати, в этих областях также используется метод неопределенных множителей Лагранжа).
  

6 Редукция полной системы уравнений

  
   Рассмотрим матрицу 0x01 graphic
размерности 0x01 graphic
. Это матричный оператор, выполняющие отображение из 0x01 graphic
-мерного евклидова пространства 0x01 graphic
в 0x01 graphic
-мерное эвклидово пространство 0x01 graphic
. Нуль-пространство матрицы 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
, а ортогональное дополнение к 0x01 graphic
будем обозначать 0x01 graphic
. Для обозначения пространств взяты латинские буквы "N" и "R"; шрифт -- "Blackadder ITC".
   Напомним, что нуль-пространство матрицы 0x01 graphic
0x01 graphic
-- это пространство, содержащее все векторы 0x01 graphic
, для которых справедливо выражение 0x01 graphic
. Любой вектор из этого пространства, как следует из этой формулы, отображается матричным оператором 0x01 graphic
на нулевой вектор. Ортогональное дополнение к 0x01 graphic
, обозначаемое здесь 0x01 graphic
-- это пространство из множества векторов пространства 0x01 graphic
, которые ортогональны к любому вектору из 0x01 graphic
.
   Напомним, что 0x01 graphic
. Здесь знаком "0x01 graphic
" обозначена операция, которая называется "сумма подпространств". Иначе говоря, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
являются подпространствами евклидова пространства 0x01 graphic
и "в сумме" дают все 0x01 graphic
(0x01 graphic
-- ортогональное дополнение 0x01 graphic
до 0x01 graphic
).
   Используя более привычные для линейной алгебры термины, отметим, что пространство 0x01 graphic
-- это ни что иное, как пространство строк матрицы 0x01 graphic
или, что то же самое, пространство столбцов матрицы 0x01 graphic
.
   Обозначение "0x01 graphic
" -- от "null", а "0x01 graphic
" -- от "row" -- "строка".
   Построим для каждого из подпространств -- для0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- базисы. По принятому соглашению все векторы у нас -- векторы-столбцы; это касается и базисных векторов. Все базисные векторы (и 0x01 graphic
, и 0x01 graphic
) имеют размерность 0x01 graphic
. Не путайте размерность используемых здесь базисных векторов с размерностями пространств! Например, если рассматривается евклидово пространство 0x01 graphic
(0x01 graphic
), то 0x01 graphic
может иметь размерность девяносто, но векторы базиса 0x01 graphic
будут иметь сто компонент. Если говорить применительно к трехмерному случаю (0x01 graphic
), то это будет звучать так: из того, что нуль-пространство представляет из себя "одномерную" прямую, проходящую через центр координат, вовсе не следует, что вектор, задающий эту прямую, должен также иметь одну компоненту (прямая является "линейной оболочкой" вектора). Вектор будет иметь три компоненты.
   Далее, на основании построенных базисов в 0x01 graphic
и 0x01 graphic
построим две матрицы -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
соответственно. Матрица 0x01 graphic
образована из векторов базиса 0x01 graphic
, а матрица 0x01 graphic
-- из векторов базиса 0x01 graphic
. Обозначения достаточно понятны -- они указывают на связь с подпространствами.
   Любой вектор 0x01 graphic
евклидова пространства 0x01 graphic
можно представить в виде суммы линейных комбинаций векторов базиса 0x01 graphic
и векторов базиса 0x01 graphic
. Используя введенные обозначения, этот факт можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
. (1)
   Здесь 0x01 graphic
- "проекция" 0x01 graphic
на 0x01 graphic
, 0x01 graphic
- "проекция" 0x01 graphic
на 0x01 graphic
. Как будет ясно из дальнейшего, 0x01 graphic
-- это вектор переменных так называемой "редуцированной" системы. В "редуцированной" системе фигурируют только независимые переменные.
   Вернемся к системе
   0x01 graphic
. (2)
   Если вектор 0x01 graphic
имеет 0x01 graphic
компонент, а число уравнений связи равно 0x01 graphic
, то 0x01 graphic
, напомним, будет иметь размерность 0x01 graphic
. Применительно к нашему случаю 0x01 graphic
будет иметь размерность 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
. Размерность 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
.
   Предположим, что мы уже вычислили 0x01 graphic
и 0x01 graphic
для 0x01 graphic
(как это делать для простых случаев будет описано ниже).
   Уравнение 0x01 graphic
системы (2) позволяет найти вектор 0x01 graphic
, фигурирующий в системе (1). Подставим разложение 0x01 graphic
в это уравнение 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Выражение 0x01 graphic
-- ни что иное, как некоторый вектор, принадлежащий нуль-пространству 0x01 graphic
, полученный комбинированием базисных векторов 0x01 graphic
. Как было сказано, матричный оператор 0x01 graphic
отображает такой вектор на нулевой вектор 0x01 graphic
. То есть, 0x01 graphic
. Опуская нулевой вектор, получим следующее уравнение:
   0x01 graphic
.
   Введем операцию решения системы линейных алгебраических уравнений; для обозначения операции будем использовать символ "0x01 graphic
". Пусть 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
- вектор неизвестных. Тогда, используя введенные обозначения, "получение вектора неизвестных" будем записывать следующим образом: 0x01 graphic
.
   Договоримся, о том, что мы понимаем под решением системы линейных алгебраически уравнений с "численной" точки зрения: если 0x01 graphic
не является квадратной матрицей, то решение будет искаться по методу наименьших квадратов; если 0x01 graphic
-- квадратная матрица, то решение будет искаться "стандартными" способами -- методом исключения Гаусса, с помощью разложения Холецкого или0x01 graphic
-разложения или другими способами. Использование метода наименьших квадратов будем оговаривать явно.
   Найдем из полученного уравнения 0x01 graphic
вектор 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Решение ищется методом наименьших квадратов.
   Подставим выражение 0x01 graphic
в уравнение 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
.
   Второй член правой части -- 0x01 graphic
-- достаточно громоздок. Для упрощения последующих уравнений введем вектор 0x01 graphic
.
   Замечание. Если бы мы решали эту же задачу (двумерную) методом Галеркина (через переход к слабой форме уравнения в частных производных), то появление 0x01 graphic
было бы обусловлено наличием краевых условий Дирихле; именно от "Дирихле" мы и взяли 0x01 graphic
в нижнем индексе. Конец замечания.
   Итак,
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (3)
   Это уравнение выражает вектор всех переменных через вектор переменных 0x01 graphic
"редуцированной" системы (смотри ниже) и вектор-константу, учитывающий имеющиеся ограничения.
   Подставим выражение (3) для 0x01 graphic
в первое уравнение системы (2) -- в 0x01 graphic
(далее не будем писать, что 0x01 graphic
зависит от 0x01 graphic
):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Уравнение (разумеется, на самом деле это система уравнений) 0x01 graphic
по-прежнему избыточно: хотя теперь в нем имеется вектор неизвестных 0x01 graphic
, в котором только независимые переменные, но множители Лагранжа по-прежнему остались. Для того, чтобы избавится от них, это уравнение необходимо умножить на 0x01 graphic
слева:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Как известно, 0x01 graphic
. Легко понять, что 0x01 graphic
-- нулевая матрица размерности 0x01 graphic
. В самом деле, каждый из столбцов матрицы 0x01 graphic
матричный оператор 0x01 graphic
отображает на нулевой вектор евклидова пространства 0x01 graphic
, так как, по построению, матрица 0x01 graphic
состоит из базисных векторов 0x01 graphic
. Соответственно 0x01 graphic
-- нулевая матрица, имеющая размерность 0x01 graphic
. После умножения 0x01 graphic
на вектор неопределенных множителей Лагранжа 0x01 graphic
(размерность 0x01 graphic
-- 0x01 graphic
) мы получим нулевой вектор размерности 0x01 graphic
.
   В итоге мы пришли к следующему матричному уравнению (нулевой вектор опущен):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (4)
   Полученная система не содержит ни зависимых переменных, ни множителей Лагранжа. Эта система состоит из 0x01 graphic
линейно независимых уравнений, которые позволяют определить вектор независимых переменных 0x01 graphic
.
   Данная система называется также редуцированной системой и может быть записана в виде
   0x01 graphic
, (5)
   где0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Индекс "r" -- от слова "reduced" -- "редуцированная".
   Напомним, что индекс "N" в 0x01 graphic
"образовался" от матрицы 0x01 graphic
, связанной с 0x01 graphic
, а не от константы 0x01 graphic
, которая задает общее количество неизвестных (зависимых и независимых).
   Отметим также, что если матрица 0x01 graphic
симметричная, то и матрица 0x01 graphic
симметричная; это же относится и к положительной определенности.
   Замечание. Легко заметить, что в простейшем случае (если имеются только зависимости вида "переменная такая-то равна константе такой-то") переменные "редуцированной" системы являются (возможно) перенумерованными независимыми переменными "исходной" системы. (При зависимостях указанного вида вопрос о том, какая переменная является зависимой, а какая - независимой решается однозначно.) Если будут присутствовать более сложные зависимости вида "линейная комбинация неизвестных (с несколькими ненулевыми коэффициентами) равна константе", то столь простое сопоставление между компонентами 0x01 graphic
и 0x01 graphic
провести нельзя. Переменные, входящие в 0x01 graphic
будут, если можно так сказать, "непривычны" нам (эти переменные будет трудно "интерпретировать"). В любом случае нам потребуется сделать переход от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
, в котором (0x01 graphic
) присутствуют только "привычные" переменные, упорядоченные "привычным" образом. Конец замечания.
   Итак, решив редуцированную систему 0x01 graphic
и получив 0x01 graphic
, нам (по причинам, объясненным в замечании) необходимо перейти от 0x01 graphic
обратно к вектору 0x01 graphic
Необходимая для этого формула уже имеется -- смотри (3):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Если нас по какой-то причине заинтересуют множители Лагранжа, то, зная 0x01 graphic
, мы можем найти и их. Для этого воспользуемся уравнением 0x01 graphic
системы (2):
   0x01 graphic
. (6)
   Решение ищется методом наименьших квадратов.
   Рассмотрим ряд вышеприведенных формул применительно к итерационным процессам, при проведении которых будет решаться полученная система нелинейных уравнений.
   При решении системы нелинейных уравнений мы начинаем с некоторого приближения вектора неизвестных. Будем обозначать решение системы 0x01 graphic
, а приближение этого решения на 0x01 graphic
-том шаге итерационного процесса -- 0x01 graphic
. Начальное приближение, соответственно, будем обозначать 0x01 graphic
.
   В начале итерационного цикла нам необходимо сделать переход от 0x01 graphic
к 0x01 graphic
(надеюсь, обозначение достаточно понятно). В соответствии с (3) 0x01 graphic
; следовательно,
   0x01 graphic
. (7)
   Предположим, мы ведем итерационный процесс далее. После того, как найден 0x01 graphic
(надеюсь, обозначение понятно), нам необходимо найти соответствующий ему 0x01 graphic
. Это необходимо сделать, в частности и потому, что на следующем 0x01 graphic
-ом шаге 0x01 graphic
будет использоваться для вычисления матрицы жесткости 0x01 graphic
. (На 0x01 graphic
-том шаге, на котором вычисляется 0x01 graphic
, используется 0x01 graphic
.)
   Кроме того, 0x01 graphic
может нам понадобиться для вычисления множителей Лагранжа (смотри ниже).
   Согласно формуле (6.3) имеем:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (8)
  

7 Построение матриц 0x01 graphic
 и 0x01 graphic
 для простого случая

  
   Как было показано, для построения редуцированной системы на основании матрицы 0x01 graphic
необходимо построить матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. В том случае, когда 0x01 graphic
содержит строки только с одним ненулевым элементом такое построение выполнить очень просто. Данный случай может рассматриваться отдельно и иметь отдельную же численную реализацию. При этом, естественно, следует предусмотреть и общий случай - когда строки 0x01 graphic
содержат несколько ненулевых элементов. В рассматриваемой нами задаче (и при рассмотрении краевых задач для уравнений в частных производных) такие "общие случаи", как правило, не возникают.
   Покажем, как можно построить матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
в простейшем случае (здесь приводится только образец, из которого видно, как действовать в других случаях). Предположим, что 0x01 graphic
имеет следующий вид:
   0x01 graphic
.
   В этом случае мы используем 0x01 graphic
чтобы сказать: такие-то переменные (вторая, третья и четвертая -- нумерация с единицы) равны таким-то константам.
   Для данного 0x01 graphic
матрицы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
будет выглядеть следующим образом:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Если вы внимательно присмотритесь к тому, что происходит в уравнении (4.4)
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
   в рассматриваемом случае, то увидите, что тот же самый результат можно получить, действуя следующим образом:
   1. Вычеркнем из "исходной" системы 0x01 graphic
строки (уравнения) с теми же номерами, что и номера зависимых переменных.
   2. Подставим в оставшиеся уравнения значения зависимых переменных и перенесем получившиеся после подстановки константы в правую часть.
   3. Произведем перенумерацию переменных.
   При решении задач так часто поступают не задумываясь, что за этим стоит -- то есть, даже не подозревая, что используют метод неопределенных множителей Лагранжа.
   Замечание. Очевидно, при переходе от "исходной" системы 0x01 graphic
к "редуцированной" способом, описанным в трех вышеперечисленных пунктах, мы не можем "вычеркивать" произвольные строки системы 0x01 graphic
, а лишь те, "которые надо". Если бы мы не проводили условную минимизацию, а "просто" имели систему 0x01 graphic
, для которой заранее известны некоторые компоненты решения 0x01 graphic
, в котором все переменные -- независимые, то мы могли бы "убирать" отдельные уравнения системы произвольным образом. Помните об этом важном различии! Конец замечания.
  

8 Множители Лагранжа и критерий останова итерационного процесса

  
   Для определенности оговорим условия, при которых мы будем останавливать итерационный процесс в предположении, что текущий вектор неизвестных достаточно близок к решению.
   Есть два основных критерия, по которым мы судим о том, что близко "подошли" к решению:
   1. Можно считать, что мы близко подошли к решению, если норма разности векторов неизвестных на 0x01 graphic
-том и 0x01 graphic
-ом шагах итерационного процесса достаточно мала (меньше некоторого наперед заданного числа 0x01 graphic
или равна ему).
   Применительно к полной системе это можно записать следующим образом:
   0x01 graphic
.
   Применительно к редуцированной системе --
   0x01 graphic
.
   Индексы 0x01 graphic
и 0x01 graphic
указывают на связь с редуцированной или с полной системой уравнений соответственно. Заметьте -- 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- разные числа! О том, как именно вычисляется норма (как она называется), мы не уточняем
   Сразу виден недостаток такого подхода: из того, что "соседние" приближения решения близки вовсе не следует, что мы находимся близко к самому решению! Возможно, итерационный процесс просто медленно сходится (по крайней мере, на некоторой "плохой области", к которой эти приближения принадлежат). Следовательно, использовать данный критерий для остановки вычислений нельзя, если нет дополнительных данных о скорости сходимости итерационного процесса; данный факт приводит к тому, что становятся необходимыми дополнительные исследования, которые не всегда имеет смысл проводить.
   2. Можно считать, что текущий вектор неизвестных достаточно хорошо аппроксимирует решение, если норма вектора невязок системы уравнений 0x01 graphic
(при подстановке в систему данного вектора неизвестных) достаточно мала (меньше некоторого наперед заданного значения 0x01 graphic
или равна ему). Невязкой уравнения 0x01 graphic
, напомним, называется разность его правой и левой частей (или левой и правой). Для полной системы этот критерий останова запишется так:
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
   а для редуцированной так:
   0x01 graphic
. 0x01 graphic
.
   Как и в предыдущем случае, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
-- разные числа. Индексы указывают на связь с полной или с редуцированной системой уравнений. По-прежнему, мы не конкретизируем, какая норма используется.
   Именно такой критерий и следует использовать при принятии решения о том, достаточно ли близко мы находимся к решению или нет, если мы не хотим проводить никаких дополнительных исследований.
   Итак, у нас имеется два "правильных" критерия -- для полной системы и для редуцированной. Какой из них использовать?! Ясно, что если система полная, то надо использовать критерий для полной системы - зачем проводить редукцию только для того, чтобы найти норму невязки? Если же мы используем редуцированную систему, то для использования в этом случае критерия для полной системы дополнительные затраты невелики - надо всего лишь найти множители Лагранжа.
   Давайте для определенности договоримся, что под критерием останова мы будем понимать критерий останова для полной системы -- даже если мы используем редуцированную систему. Ввиду этого соглашения критерий останова будем писать просто:
   0x01 graphic
,
   подразумевая при этом, что 0x01 graphic
.
   Итак, с учетом принятого соглашения, неопределенные множители Лагранжа придется вычислять на каждом шаге итерационного процесса для определения нормы невязки полной системы - даже если мы "работаем" с редуцированной системой.
   Напомним, множители Лагранжа находятся из уравнения 0x01 graphic
системы (6.2).
   Если нас по какой-то причине заинтересуют множители Лагранжа, то, зная 0x01 graphic
, мы можем найти и их. Для этого воспользуемся уравнением 0x01 graphic
системы (6.2); по формуле (6.6) имеем:
   0x01 graphic
.
   Распишем эту формулу "подробнее" - применительно к итерационному процессу.
   На 0x01 graphic
-том шаге итерационного процесса мы ищем 0x01 graphic
-тое приближение решения 0x01 graphic
, основываясь на предшествующем приближении 0x01 graphic
. Нумерация шагов -- с единицы; на первом шаге мы ищем приближение 0x01 graphic
, используя заданное начальное приближение 0x01 graphic
. В частности, на 0x01 graphic
-том шаге уравнение 0x01 graphic
, то есть, 0x01 graphic
, выглядит следующим образом:
   0x01 graphic
. (1)
   Поскольку мы имеем дело с редуцированной системой, то после ее решения на 0x01 graphic
-том шаге нам непосредственно будет известен 0x01 graphic
, а не 0x01 graphic
. Чтобы найти 0x01 graphic
, необходимо воспользоваться формулой (6.8):
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
.
   Следовательно,
   0x01 graphic
. (3)
  

9 Итоги. Общий план действий для случая исходной системы вида 0x01 graphic
 и уравнений связи вида 0x01 graphic

  
   Суммируя вышесказанное, можно выделить три "шага", которые необходимо сделать для составления конечной системы уравнений в том случае, если "исходная" система имеет вид 0x01 graphic
, а уравнения связи можно записать в виде 0x01 graphic
:
   1. Составляется "исходная" система уравнений, в предположении, что имеет место безусловная минимизация. При этом, однако, уравнения в исходной системе должны быть определенным образом упорядочены.
   2. От "исходной" системы переходят к "полной" системы. Здесь как бы "вспоминают", что на самом деле вместо безусловной минимизации на самом деле проводится условная минимизация и вносят в систему уравнений соответствующие коррективы.
   3. Проводят редукцию "полной" системы; при этом осуществляется переход от "полной" системы к "редуцированной" системе. Данный шаг делается в целях уменьшения размерности решаемой системы.
   После проведения этих трех шагов переходят непосредственно к решению полученной системы нелинейных алгебраических уравнений (к решению "редуцированной" системы).
  

Использованная литература

  
   [Ковалев2001] О.Ф. Ковалев. Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах. -- Ростов н/Д: Изд-во Сев.-Кавк. науч. центра высш. шк., 2001; ISBN 5-87872-149-X
  
  
   [Леонов2007] А.В. Леонов. "Комбинированный метод конечных элементов и вторичных источников" как недоформулированный численный метод решения систем нелинейных уравнений. -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (частный заказ), 2007.
  
   [Леонов2008-1] А.В. Леонов. Замечания по "методу расщепления". -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (частный заказ), 2008
  
   [Леонов2008-2] А.В. Леонов. Об одном методе аппроксимации функций, основанном на адаптивном измельчении конечноэлементной сетки. -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (частный заказ), 2008.
  
   [Леонов2008-3] А.В. Леонов. Метод неопределенных множителей Лагранжа: взгляд со стороны линейной алгебры. -- Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (частный заказ), 2008.
  
   [Леонов2011] А.В. Леонов. Религиозное изуверство и симптомы нравственного помешательства в иудаизме. Синагога как преступное сообщество: В 4-х т. -- Новочеркасск: Цифровое издание, подготовленное автором, 2011-2020
   ТТ. 1, 2, 3 -- 2011 г.
   Т. 4 (дополнительный) -- 2020 г.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Книга позора

российской науки:

история о безуспешной попытке

лишить ученых степеней

трех авторов "липовых" диссертаций,

"профессиональных" ученых

Первое цифровое издание

Леонов Андрей Владимирович

***

Печатается в авторской орфографии

Дата создания макета 11.06.2020

Усл. печ. л. 20,8

***

Первое цифровое издание, подготовленное автором

г. Новочеркасск

2020

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   0x01 graphic
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   2
  
  
  
  
  
   15
  
  
  
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"