Путенихин Петр Васильевич. Динамические диаграммы Пенроуза

При описании космологических явлений, гипотез или решения тех или иных задач общей теории относительности используют различные виды диаграмм. В последние годы, по видимому, чаще всего используются конформные диаграммы, разработанные одним из ведущих математиков и физиков Роджером Пенроузом. Диаграммы имеют двойное авторство - диаграммы Картера-Пенроуза. Они отображают пространственно- и времениподобные бесконечности на конечные расстояния, другим словами, отображают бесконечное пространство-время на квадрат конечных размеров. Можно сказать, что диаграмма Пенроуза-Картера весьма заметно походит на диаграмму Крускала-Шекереса (Секереша) и для шварцшильдовской черной дыры не дает никакой новой информации.

Довольно скрупулезный просмотр доступной литературы и источников в интернете показал, что описание собственно диаграмм практически отсутствует. Рассматривая практические варианты использования диаграмм, читателю придется о многом догадываться самому. Это наблюдение подтверждает и один из авторов, попытавшихся дать хоть какое-то описание основ диаграммной техники Пенроуза:

"когда мне задали прямой вопрос, где же можно прочитать про диаграммы Пенроуза, я растерялся, ибо понял, что не могу назвать конкретный источник своего знания. Вместо этого, я предложил провести семинар и попробовать детально объяснить, как же пользоваться данными диаграммами." [1].

Следует отметить, что в статье автора приведено вполне доступное описание использования диаграмм в различных приложениях. Можно сказать, что эта статья - одно из немногих мест, где приведена диаграмма Пенроуза в исходном, "пустом" виде. На этой диаграмме отсутствуют какие-либо события, движения. Благодаря этому сразу же становится видна её фундаментальная сущность:

Рис. 1. Диаграмма Пенроуза со следующими обозначениями: i⁺ - времениподобная бесконечность будущего; J⁺ -светоподобная (или нулевая) бесконечность будущего; i⁰ - пространственноподобная бесконечность; J^- - светоподобная (или нулевая) бесконечность прошлого; i^- - времениподобная бесконечность прошлого" [1].

Другое, похожее, но вполовину урезанное изображение можно найти у Пенроуза, который конформную структуру бесконечности представляет как диаграмму плоскости (t', r'):

"каждая точка этой диаграммы изображает сферу S², а радиальные изотропные геодезические изображаются прямыми, идущими под углом +45^o. Такого рода диаграммой может быть представлена структура бесконечности любого сферически симметричного пространства . . .

Рис.15б Диаграмма Пенроуза пространства-времени Минковского. Каждая точка изображает 2-сферу, за исключением точек i⁺, i⁰, i^-, каждая из которых является единственной точкой, и точек на линии r = 0 (где полярные координаты сингулярны)" [2, с.139].

Практически ни одна из других просмотренных в литературе диаграмм не дает столько информации, сколько эти. Первое, что можно сказать - это обычная пространственно-временная диаграмма, система координат t, x. С одной стороны, её можно отождествить с традиционной, хорошо известной декартовой системой координат. Как там, так и здесь мы фактически имеем всего лишь две оси - горизонтальную ось расстояний и вертикальную ось времени. В этом смысле диаграмма тождественна также обычным диаграммам Минковского.

Конечно, можно удивиться, как же так: ведь здесь показаны совсем другие оси u и v с тильдами (волнистыми линиями над буквами), и никаких других. Да, это верно, диаграмма не совсем полна в смысле обозначений. Поэтому опишем её подробнее. Для начала просто закроем глаза на специфические обозначения типа "светоподобная (или нулевая) бесконечность будущего". Во многих случаях рядом с этими сторонами квадрата пишут дополнительно обозначения вида r = ∞. Поэтому изобразим диаграмму в таком наиболее полном виде и рассмотрим отсутствующие обозначения и их смысл:

Рис. 2. "Пустая" диаграмма Пенроуза

Теперь на диаграмме хорошо видны её главные элементы. Во-первых, это координатные оси t, r, указывающее направление возрастания соответствующих величин. Обозначения вдоль сторон квадрата показывают, что значение r изменяется от минус бесконечности до плюс бесконечности. В этом, собственно, и состоит главное принципиальное отличие диаграмм Пенроуза от декартовых координат. В этом же заключена и главная цель её создания: поместить всё пространство-время в рамки одного рисунка конечных размеров. Нетрудно догадаться, что заложенный в диаграммы принцип весьма похож на так называемые логарифмические диаграммы, в которых оси "сжаты" в логарифмическом масштабе. Но логарифмическая диаграмма не имеет ограничений в сторону возрастания. Как и на логарифмических диаграммах, на диаграммах Пенроуза шкалы осей нелинейные. На рис.2 ярко-бирюзовым цветом изображены линии равных расстояний r = const (горизонтальные дуги) и времени t = const (вертикальные дуги). Одно деление по каждой из осей составляет единицу. Размерность единицы для оси расстояний может быть произвольной: метр, километр, парсек, световой год и тому подобное. В этом случае интервалы по оси времени имеют соответствующую размерность: время на прохождение одной единицы расстояния. Горизонтальные дуги - линии постоянного времени - и вертикальные - линии постоянного расстояния - образуют координатную сетку диаграммы.

В результате такой дискретизации полей диаграммы выполняется вторая задача - конформное соответствие декартовым координатам. Это значит, что все углы в декартовых координатах соответствуют углам на диаграмме Пенроуза. Вследствие этого мировые линии (геодезические) света имеют угол в 45 градусов с осями координат. Другими словами, любая линия, нарисованная на диаграмме Пенроуза под углом 45 градусов, является светоподобной (нулевой) геодезической, изображающей распространение луча света.

Обозначения i⁰, i⁺, i^-, как легко догадаться, означают точки на диаграмме, в которых время равно, соответственно, нулю (настоящее), плюс бесконечности (отдаленное будущее) и минус бесконечность (отдаленное прошлое). Таким образом, на диаграмме в ограниченных рамках показано всё пространство-время.

Однако, напомним, что ось расстояний - единственная пространственная координата. Это значит, что пространство-время на диаграмме - одномерное. Следовательно, все события, происходящие в таком пространстве-времени, находятся на одной пространственной линии. Поэтому любые искривленные мировые линии на этой диаграмме означают всего лишь движение объектов (событий) вдоль одной единственной пространственной линии. Любое пересечение линий означает, таким образом, столкновение событий или объектов, их представляющих.

Итак, основная, фундаментальная сущность диаграммы Пенроуза состоит в отображении на квадрат конечных размеров бесконечного одномерного пространства-времени. Используя все те же средства, что и на традиционных диаграммах Минковского, мы можем изобразить те же самые мировые линии. И для этого нам нужно определить правила конформного преобразования, правила, по которым обычные, декартовы координаты преобразуются в координаты диаграммы Пенроуза. Очевидно, что прямые линии при этом искривляются, кроме светоподобных геодезических, линий распространения света.

Для такого конформного преобразования координат используется преобразование осей координат с помощью уравнений:

u = arctg(t - r)

v = arctg(t + r)

где u, v - новые значения координат на диаграмме Пенроуза.

Можно задаться вопросом, а почему использованы именно эти довольно нелинейные тригонометрические функции? Дело в том, что из множества функций только тангенс изменяется в диапазоне от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении аргумента в фиксированном диапазоне (от -90 до +90 градусов). То есть, функционально демонстрирует связь между конечным и бесконечным диапазонами. Видимо, можно сформировать и другие функции с таким свойством, но это будут, видимо, куда более сложные конструкции. Поэтому изменение бесконечных расстояния и времени, как аргументов, преобразуется в изменение новых аргументов в ограниченном диапазоне.

Описание причины, по которой сумма (t + r) и разность (t - r) декартовых координат в этих функциях приводит к конформному преобразованию, главным визуальным признаком которого является перпендикулярность диагоналей четырехугольников, можно найти, видимо, в трудах авторов этих преобразований. Наверное, это является своеобразной "математической изюминкой", объяснение которой в свободном доступе найти не удалось. В случае же использования координат t и r в уравнениях преобразования раздельно, мы получим прямоугольную систему координат как показано на рисунке справа:

Рис. 3. Справа - "пустая" диаграмма в случае использования для преобразования уравнений u = arctg(t) и v = arctg(r). Линия, проходящая через смежные углы, искривлена, а угол между диагоналями любого четырехугольника - не прямой. Оси координат U, V переменных u, v не показаны. Они направлены под углом 45 градусов.

Как можно заметить, в этом случае система координат также имеет бесконечный диапазон изменения координат по осям. Но диагонали прямоугольников не перпендикулярны друг другу, то есть углы в процессе преобразования исказились.

Итак, диаграмма Пенроуза - это, в сущности, обычная координатная система одномерного пространства. Не следует понимать буквально утверждения, что она отражает пространство 2-сфер (двухмерных сфер), поскольку это отражение просто искусственная экстраполяция. Ведь, как отмечается, оно ничего не может нам сказать о движении объекта в пространстве параллельно оси r и, тем более, перпендикулярно ей.

Теперь, имея уравнения преобразования координат, мы можем изобразить на диаграмме Пенроуза любую мировую линию. Для этого нам нужно знать только уравнение её движения r(t). Более того, мы можем нарисовать последовательность диаграмм для каждого момента времени по этим уравнениям и соединить их в анимацию, динамическую последовательность кадров. Пример такой анимации для четырех разных мировых линий изображен на рисунке:

Рис.4 Пример мировых линий на динамической диаграмме Пенроуза.

На диаграмме изображены четыре произвольные мировые линии, имеющие начало в момент времени t = -20, где размерность времени может быть произвольной, как указано выше. Две из линий - светоподобные и соответствуют лучам света, испущенным в точках r = 1 и r = 5, причем размерность расстояния соответствует размерности времени. Другими словами, если расстояние измеряется в световых годах, то время - в годах; если время в минутах, то расстояние - в световых минутах и тому подобное. Для каждой мировой линии на рисунке приведены их уравнения, а на диаграмме цвет линии соответствует цвету названия функции.

Линия оранжевого цвета - это линия настоящего, то есть линия, соответствующая текущему моменту времени. Понятно, что в динамике любые мировые линии могут начинаться в любой точке диаграммы ниже этой линии, а заканчиваться на ней. Никаких событий выше линии настоящего не может быть, только ожидаемые, предполагаемые, которые могут произойти в будущем.

Как видно на динамической диаграмме, мировые линии пересекаются. Это означает, что испущенные световые лучи или времениподобные объекты (тела) встречаются в одной точке одномерного пространства-времени, двигаясь вдоль одной линии. Столкновение тел или поглощение лучей определяется тем, в каком направлении они движутся, что можно явно вычислить по уравнениям их мировых линий.

Для примера попробуем задать уравнение мировой линии такое, чтобы она проходила вблизи центра диаграммы. Пусть это будет уравнение типа брошенного вверх камня:

x = x₀+v₀(t - t₀) - g(t - t₀)²/2

Согласно шкале диаграммы, время движения должно составить примерно от t₀ = -10 до t = 10. Зададим нижнюю (и конечную) точку x₀ = -10, а верхняя будет достигнута в момент времени t = 0 и составит, как намечено, x = 2. Находим неизвестные величины в уравнении:

2 = -10+v₀(0 + 10) - g(0 + 10)²/2

12 = 10v₀ - 50g

Из другого условия находим

-10 = -10+v₀(10 + 10) - g(10 + 10)²/2

v₀ = 10g

С учетом полученного выше результата находим

g = 0.24

v₀ = 2.4

Уравнение имеет вид:

x = -10 + 2.4(t + 10) - 0.24(t +10)²/2

Проверка:

t=0

x = -10 + 2.4(0 + 10) - 0.24(0 + 10)²/2

x = -10+24 - 12 = 2 - верно

t=10

x = -10 + 2.4(10 + 10) - 0.24(10 + 10)²/2

x = -10 + 48 - 48 = -10 - верно

t=-10

x = -10 + 2.4(-10 + 10) - 0.24(-10 + 10)²/2

x = -10 + 0 - 0 = -10 - верно

Сразу же обращаем внимание на то, что начальная скорость объекта превышает скорость света в 2.4 раза с учетом принятых на диаграмме шкал времени и расстояний. Дифференцированием находим текущую скорость

x' = v = 2.4 - 0.24(t +10)

Находим моменты времени, когда текущая скорость объекта не превышает скорость света

-1 < v = 2.4 - 0.24(t + 10) < 1

Откуда находим соответствующий приблизительный интервал времени

- 4 < t < 4

На этом интервале времени скорость объекта не превышает скорость света, на остальных объект ведёт себя как тахион. Вносим полученное уравнение в программу и получаем анимацию:

Рис.5 Пример мировой линии на динамической диаграмме Пенроуза по уравнению, рассчитанному из заданных условий.

Литература

1. Фиткевич М.Д., Диаграммы Пенроуза, сайт "Блог друга Винера", 2015, URL:
https://theormax.wordpress.com/2015/09/15/диаграммы-пенроуза

2. Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: "Мир", 1977.

Автор: Путенихин Петр Васильевич
19.10.2016

Комментарии: 1, последний от 17/10/2019. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 19/10/2016, изменен: 15/01/2018. 18k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 8 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Рассмотрены сущность диаграмм Картера-Пенроуза, механизм их построения и пример использования. Приведена анимированная, динамическая диаграмма Пенроуза

Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

Динамические диаграммы Пенроуза