Глава 2.
Эффекты, связанные с конечной скоростью распространения сигнала (Эффект Доплера).

Прежде чем рассматривать эффекты теории относительности, надо разобраться с ещё одним важным эффектом, который связан с тем, что скорость распространения взаимодествия конечна.

Существует достаточно распространённое заблуждение среди людей, плохо знакомых с Теорией Относительнсти, а так же среди всякого рода скептиков, что все эффекты, описываемые Специальной Теорией Относительности (СТО), ограничиваются только эффектом Доплера.

Это далеко не так. Но прежде чем приступить к рассмотрению самих эффектов СТО, надо разобраться с эффектом Доплера, чтобы в дальнейшем не путаться. Во-первых, релятивистские эффекты и эффект Доплера - не одно и то же! Во-вторых, при релятивистских эффектах все эти явления тоже имеют место быть, так что полезно будет их рассмотреть.

Эффект Доплера связан с запаздыванием, с которым мы получаем информацию о событиях на движущемся объекте. При том, чем дальше объект, тем с большим опозданием мы будем получать информацию.

Итак, пока все тела будут двигаться с нерелятивистскими скоростями, и законы их движения будут описываться привычными нам формулами из ньютоновой механики.

Допустим, у нас движется корабль со скоростью v. Радиосвязь не работает, и уведомления о событиях, происходящих на корабле, посылается звуковым сигналом. Пусть s - скорость звука. Относительно чего следует измерять скорость звука?

Звук распространяется в виде колебаний в воздушной среде, поэтому и его скорость измеряется относительно воздушной среды. Будем считать, что она неподвижна относительно порта, никаких ветров и вихрей в ней нет. Скорость звука относительно корабля, который движется относительно порта и воздушной среды, нам в данном примере не важна.

Будем считать, что на корабле и в порту имеются синхронно идущие таймеры. Для простоты вычислений, условимся, что порт лежит на прямой, по которой движется корабль с постоянной скоростью v (рис. 1).

Рис. 1. Выбор системы координат, связанной с портом.

Для того, чтобы разобраться, что же у нас происходит, надо определиться: где находится наш корабль в момент времени, когда мы начинаем рассмотрение. Проще всего, конечно, начинать рассмотрение с того момента, когда корабль выходит из порта. Но такое рассмотрение не даст нам полной картины происходящего.

Корабль может как удаляться от порта, так и приближаться к нему, и в зависимости от этого, ход наблюдаемых нами из порта событий может либо замедляться, либо, напротив, ускоряться.

Конечно, если на корабле есть таймер или часы, и в послании, помимо уведомления о каких-либо событиях связной может посылать и точное время, когда эти события произошли.

Чтобы абстрагироваться от точного времени, рассмотрим такую ситуацию. Пусть с корабля непрерывно транслируется звуковое сообщение.

Чтобы получить наиболее общие формулы, нам придётся выражать расстояние между кораблём и портом через координаты. Пусть порт имеет нулевую координату, а корабль - произвольную координату x.

Тогда расстояние между портом и кораблём будет равно  |x|, а расстояние, которое прошёл корабль между точками x₁ и x₂ - |x₂ - x₁|.

Итак, рассмотрение для одномерного случая.

Пусть в момент времени t₁ когда корабль находился в точке x₁, в порт отправляется звуковой сигнал. Он затратит на дорогу время Δt₁ = |x₁|/s.

В порту сигнал будет получен в момент времени T₁ = t₁ + Δt₁ = t₁ + |x₁|/s.

Через некоторое время t, в момент времени t₂ = t₁ + t высылается второй сигнал.

Где находится корабль в этот момент времени? Корабль движется с постоянной скоростью v, которая, вообще-то, имеет своё направление.

Вектор, на который переместился корабль за время t (вектор перемещения), находится как v·t. Модуль вектора перемещения равен расстоянию, которое прошёл корабль, а компоненты вектора перемещения (они могут иметь как положительный, так и отрицательный знак) будучи прибавленными к соответствующим координатам исходной точки, дают координаты точки, в которую сместился корабль. В нашем, одномерном случае, надо просто к x₁ прибавить v·t, где v - в данном, одномерном, случае единственная компонента вектора скорости v, которая может быть положительна (если скорость направлена вдоль оси Х) или отрицательна (в противном случае).

Таким образом, координата x₂, в которую переместился корабль за время t находится как x₁+ v·t. Звук из точки x₂ до порта долетит за время Δt₂ = |x₁ + v·t|/s. Сообщение будет получено в момент времени T₂ = t₂ + Δt₂ = (t₁ + t) + ( |x₁ + v·t|/s).

Время T, которое пройдёт между моментами получения сигналов в порту:

T = T₂ - T₁ = [(t₁ + t) + ( |x₁ + v·t|/s)] - [t₁ + |x₁|/s] = t + |x₁ + v·t|/s - |x₁|/s.

Чтобы избавиться от знака модуля и упростить выражение дальше, нужно отдельно рассматривать два случая:

1а) Компонента скорости v - положительна и координата x₁ - положительна (Ситуация показана на Рис. 2). Эта ситуация соответствует тому, что корабль удаляется от порта.

Рис. 2. Корабль удаляется от порта.

тогда |x₁ + v·t| = x₁ + v·t и T = t·(1 + v/s).

Как мы видим, интервал времени между моментами получения сигналов в порту больше, чем между моментами их отправки с корабля.

Это значит, что если бы мы с корабля непрерывно транслировали музыку, то в порту её бы слышали в замедленном темпе.

1б) Аналогичная ситуация получается, когда корабль удаляется от порта в другую сторону (рис. 3).

Рис. 3. Корабль удаляется от порта в другую сторону.

Модули раскрывать при этом следует немного иначе: |x₁ + v·t| = |x₁| + |v·t| и T = t·(1 + |v|/s).

На самом деле, поскольку и x₁ и v у нас отрицательны, правомернее было бы написать так: |x₁ + v·t| = -x₁ - v·t и T = t·(1 - v/s), но здесь надо всё время помнить, что v - отрицательная величина, следовательно -v - положительная.

То есть, когда корабль удаляется от порта, происходит наблюдаемое замедление времени.

Формула T = t·(1 + |v|/s) - наиболее общая формула, она включает в себя оба случая: 1а) и 1б), здесь не надо помнить о знаке скорости, надо помнить лишь одно - корабль удаляется от порта.

2а) Компонента скорости v - отрицательна, координата x₁ - положительна (Рис. 4).

Рис. 4. Корабль приближается к порту

В таком случае модуль раскрывается так: |x₁ + v·t| = x₁ - |v|·t и T = t·(1 - |v|/s)

То есть, интервал времени между моментами приёма сообщений становится меньше, чем между моментами их отправки.

2б) Аналогичное место имеет ситуация, когда компонента скорости положительна, а координата отрицательна (было показано на рисунке 1). Подробно рассматривать не будем.

Основные выводы по эффекту Доплера:

Таким образом, мы получили выражения для двух ситуаций:

1) Корабль удаляется от порта: T = t·(1 + |v|/s) - принимаемый сигнал идёт в замедленном темпе.

2) Корабль приближается к порту: T = t·(1 - |v|/s) - принимаемый сигнал идёт в ускоренном темпе.

О ситуации, когда корабль приближается к порту, следует сказать ещё вот что: если скорость корабля сравняется со скоростью звука, то все сигналы, высланные с корабля за время его приближения к порту, будут получены в порту одновременно, и сам корабль прибудет в порт вместе с этими сигналами.

Если корабль удаляется от порта со скоростью s, то интервал между моментами получения сигналов будет в два раза больше интервала между моментами их отправки.

А что будет, если скорость корабля v больше скорости звука s? При выводе наших формул, мы никак не учитывали, что v < s, поэтому их можно применить и тогда, когда v > s. И что же у нас получится?

В первом случае, когда корабль удаляется от порта - ничего особо странного. Хотя корабль движется быстрее звука, звук до нас когда-нибудь, да долетит. Только время T будет увеличиваться неограниченно по сравнению с t, и музыку мы будем слышать в сильно замедленном темпе.

Во втором случае будут происходить странные вещи: сначала прибудет в порт корабль, конечно, поскольку он опережает звук. А потом мы услышим музыку в обратном направлении. Темп такой вывернутой на изнанку музыки, в свою очередь, тоже будет зависеть от скорости корабля. Если корабль обгоняет звук меньше чем в два раза, обращённая музыка будет звучать ускоренно, а если ровно в два рара - в том же темпе, что и в нормальном направлении, а если больше чем в два раза - обращённая музыка будет замедленна.

Подобное явление некоторые из вас могли наблюдать для сверхзвуковых самолётов. Сначала пролетает самолёт, и только потом, с опозданием, его догоняет звуковой аккомпанемент. Но шум - не песня, поэтому можно и не заметить, что мы слышим его задом наперёд.

Когда мы обмениваемся информацией не с морским, а уже с космическим кораблём, и сигналы посылаются при помощи радиоволн (движущихся со скоростью света) данные выкладки тоже справедливы. К тому же, там будет иметь место схожая ситуация. Не смотря на то, что в вакууме нет никакой среды, подобной воздушной, и вроде бы свет, оторвавшийся от корабля, должен лететь по инерции и его скорость должна зависеть от скорости корабля, всё-таки скорость света относительно нашего космодрома не зависит от скорости корабля. Вот только никакой музыки (в данном случае, праваомернее сказать, радиопередачи), звучащей задом наперёд, или картинки, отматываемой в обратном направлении, мы не увидим, поскольку согласно Теории Относительности, физические тела, коим является и космический корабль, не могут обогнать свет.