Рыжков Александр : другие произведения.

Диплом по электронике 1раздел

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:


 Ваша оценка:


1 Оценка степени устойчивости в САУ с интервально-неопределенными параметрами

        -- Постановка задачи синтеза САУ с интервально-неопределенными параметрами
  
   В ряде промышленных САУ параметры управляемого объекта в процессе функционирования системы изменяются по априори неизвестным законам, но в известных диапазонах. Для таких САУ актуальна задача параметрического синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих работу системы при любых возможных изменениях интервально-неопределенных параметров объекта.
   Согласно [1,2], при проектировании систем с изменяющимися параметрами наиболее целесообразно использовать критерий максимальной степени устойчивости. При этом представляет интерес методика оценки устойчивости системы с интервально-неопределенными коэффициентами характеристического полинома [3], которая основана на максимизации минимальной степени устойчивости в некоторой вершине параметрического многогранника, образованного граничными значениями коэффициентов полинома. Использование такого многогранника при известных интервалах неопределенности параметров объекта приведет к занижению значения степени устойчивости САУ, т.к. область реального изменения коэффициентов полинома определяется входящими в эти коэффициенты интервально неопределенными параметрами объекта и располагается внутри указанного многогранника. При этом она отображается в пространство интервально-неопределенных параметров объекта в виде некоторой области Рт , которая и может быть использована при выборе оптимальных параметров линейного регулятора САУ.
   В большинстве существующих на эту тему исследований ставятся и, с помощью различных критериев и процедур, решаются задачи получения или максимизации области устойчивости системы т.е. области Рт. Отличие же постановки задачи в данной работе будет заключаться в попытке найти соответствующие настройки регулятора обеспечащие максимально возможную степень устойчивости- системы, в наихудшем режиме функционирования, и более высокую степень устойчивости во всех остальных возможных режимах функционирования в пределах области Рт.
  
  
  
        -- Математическое описание САУ с интервально-неопределенными параметрами
  
   Основным математическим описанием системы является ее передаточная функция, но в силу того, что в данном исследовании интерес представляет нахождение степени устойчивости ограничимся лишь характеристическим полиномом системы.
   Примем, что характеристический полином САУ с интервально-неопределенными параметрами объекта и линейным регулятором имеет вид:
  
   D(S)=an(T,K)Sn+ an-1(T,K)Sn-1+...+ a1(T,K)S+ a0(T,K),
  
   Где Т=Тj-вектор интервально-неопределенных параметров объекта, Tjmin© Tj © Tjmax, j=1¤m;
   K=Kn-вектор настраиваемых параметров регулятора.
   Так как m- интервально-неопределенных параметров объекта заданы граничными значениями, то область Рт, внутри которой вектор Т может изменяться произвольным образом, представляет собой параметрический многогранник Pт={ТjTjmin© Tj © Tjmax, j=1¤m }, содержащий 2m вершин. Например, для системы с двумя интервально-неопределенными параметрами параметрический многогранник будет иметь вид прямоугольной области (рисунок 1.1).
  
  
   0x08 graphic
Т1
   T1max
   0x08 graphic
0x08 graphic
  
  
  
  
  
  
  
  
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
T1min

Т2

0x08 graphic

   T2min T2max
  
   Рисунок 1.1 Параметрический многогранник.
  
   В силу необходимости исследования всех 2m вершин параметрического многогранника возникает необходимость использования гипотезы формального замораживания коэффициентов, что приводит к необходимости исследования не одного, а 2m-характеристических полиномов, имеющих одинаковый общий вид, но содержащих различные значения параметров являющихся интервально-неопределенными.
  
  

1.3 Анализ устойчивости системы внутри параметрического многогранника

  
   Как уже говорилось ранее, работа предполагает рассмотрение методики оценки устойчивости системы с интервально-неопределенными коэффициентами характеристического полинома, основанной на максимизации минимальной степени устойчивости системы в вершинах параметрического многогранника, образованного граничными значениями коэффициентов полинома. При этом область реального изменения коэффициентов полинома определяется входящими в эти коэффициенты интервально-неопределенными параметрами объекта и располагается внутри параметрического многогранника, отображаясь в пространство интервально-неопределенных параметров объекта в виде некоторой области РТ, используемой при выборе оптимальных параметров линейного регулятора САУ.
   Пусть характеристический полином САУ с интервально-неопределенными параметрами объекта и линейным регулятором имеет вид:
  
   D(S)=an(T,K)Sn+ an-1(T,K)Sn-1+...+ a1(T,K)S+ a0(T,K).
  
   Тогда при условии an(T,K) 0, он может быть представлен в следующем виде:
  
   D(S)=Sn+ bn(T,K)Sn-1+...+ b2(T,K)S+ b1(T,K), (1.1)
  
   где bi(T,K)= ai-1(T,K)/ an(T,K), i=1¤n.
  
   Так как m параметров объекта заданы граничными значениями, то область РТ, внутри которой вектор Т может изменяться произвольным образом, представляет собой параметрический многогранник:
  
   Pт={ТjTjmin© Tj © Tjmax, j=1¤m }, (1.2)
  
   Содержащий 2m вершин. Обозначим вектор вершин этого многогранника через ТВ. Используя гипотезу формального замораживания коэффициентов (1.1) при условии несущественного изменения переменных параметров за время переходного процесса, рассмотрим САУ как многорежимную систему. Синтез параметров регулятора в этом случае предполагает нахождение таких его настроек, которые гарантируют заданные показатели качества в наихудшем режиме. Под наихудшим режимом САУ будем понимать такой набор значений интервально-неопределенных параметров объекта, при которых степень устойчивости системы минимальна. При определенных условиях для нахождения наихудшего режима нет необходимости сканировать всю область внутри многогранника РТ, а достаточно лишь проверить его вершины ТВ. Действительно согласно [4] для характеристического полинома (1.2) функция =(bn,...,b1) обладает свойством выпуклости по переменным bi в диапазоне [bimin;bimax] минимум указанной функции обеспечивается крайними значениями коэффициентов bi. Если зависимости bi(Tj), i=1¤n, j=1¤m являются монотонными функциями на интервалах [Tjmin, Tjmax], то крайние значения переменных параметров Tj объекта соответствуют крайним значениям коэффициентов bi полинома (1.1). Следовательно, функция принимает минимальные значения при крайних значениях Tj, являющихся координатами вершин ТВ параметрического многогранника РТ (1.2).
   Для нахождения оптимальных значений параметров К линейного регулятора необходимо решить задачу: осуществить максимизацию по К наихудшего значения степени устойчивости min в вершинах ТВ параметрического многогранника РТ:
  
   min=minTB (TB,K)maxK. (1.3)
  
   Известно, что для успешного решения оптимизационной задачи важно знать характер целевой функции. Если характеристический полином САУ имеет вид (1.1), то функция (К) во всех режимах является унимодальной при условии монотонности зависимостей bi(Kn), i=1¤n, n=1¤l. Действительно, по аналогии с интервально-неопределенными параметрами объекта для любого диапазона изменения настраиваемого параметра регулятора минимальная степень устойчивости САУ будет при одном из его крайних значений. Поэтому у степени устойчивости системы в любом режиме нет локальных максимумов, также как их нет и у целевой функции. А, следовательно, максимум степени устойчивости находимый в процессе оптимизации всегда является единственным - искомым.
   Единственность максимума степени устойчивости можно хорошо отразить приведя корневой годограф, являющийся, по сути, схемой перемещения корней характеристического полинома системы при изменении ее настроечных параметров. В качестве примера приведем схематично (без расчета конкретной системы) корневой годограф устойчивой системы четвертого порядка из [5] (рисунок 1.2а). Здесь видно, что при движении корня Р3 по вещественной оси от 0 к -, до определенного момента происходит рост степени устойчивости, одновременно корни Р1 и Р2 сдвигаются в противоположном направлении, т.е. по направлению к мнимой оси, тем самым ограничивая рост степени устойчивости определенной величиной. Корень Р4 в то же время сдвигается в сторону -, а следовательно особого влияния на величину максимальной степени устойчивости не оказывает. Исходя из всего вышеприведенного можно сделать вывод, что в идеальном случае максимум величины степени устойчивости достигается в тот момент когда все корни Р12 и Р3 оказываются на одной линии (рисунок 1.2б).
  
  
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
j j
  
  
   0x08 graphic
Р1
   Р1
   Р4 0 Р4 Р3
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
   0x08 graphic
Р3
   Р2 Р2
  
   (1.2а) (1.2б)
  
   Рисунок 1.2 а)корневой годограф системы четвертого порядка;
   б)достижение оптимума степени устойчивости.
  
   После прохождения корнями уровня оптимального значения степени устойчивости, происходит уменьшение величины степени устойчивости и одновременно резкое увеличение колебательности, т.к. ближайшей к мнимой оси становится пара комплексно-сопряженных корней. Исходя из этих соображений, можно однозначно утверждать, что функция степени устойчивости унимодальна, т.е. имеет только один единственный максимум.
  
  
  
   12
  
  
  
  
  
  
 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"