Саблукова Тая. О Численном Методе Нахождения Бегущих Волн В Цепочках Ферми - Паста

О ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ БЕГУЩИХ ВОЛН В ЦЕПОЧКАХ ФЕРМИ - ПАСТА - УЛАМА

0. Введение. Цепочкой Ферми - Паста - Улама называется бесконечная система материальных точек единичной массы на прямой, в которой взаимодействуют только ближайшие соседи. Пусть

Тогда уравнения движения имеют вид

<img src=1_0.jpg> (1)

После знаменитой работы [1] такие системы стали рассматриваться в качестве простейших моделей для многих нелинейных явлений. Особый интерес представляют решения, являющиеся уединенными бегущими волнами, т. е. имеющие вид

где

<img=1_2.jpg>

При этом предполагается, что существуют конечные пределы

Для профиля волны возникает уравнение

<img scr=2_0.jpg> (2)

Первый строгий результат о существовании бегущих волн получен в [2]. В работе [3] исследована задача о существовании бегущих волн с заданной волновой скоростью. Работа [4] посвящена периодическим и уединенным волнам, а также связям между ними. Численному исследованию бегущих волн в системах вида (1) посвящено довольно много работ (см., например, [5,6]). Однако все они основаны на т. н. непрерывной аппроксимации, что дает возможность изучать только волны со скоростью, близкой к скорости звука, которую далее будем обозначать <img scr=2_1.jpg>

В настоящей работе предлагается численный метод решения уравнения (2), пригодный для любых допустимых значений скорости волны <img scr=2_2.jpg>

1. Постановка задачи. Сформулируем основные ограничения и вариационную постановку задачи. Предполагается, что

Примерами служат кубический потенциал и потенциал четвертой степени

Эти потенциалы рассматривались в [1,5,6].

Введем гильбертово пространство

с нормой

и оператор

Слабые решения уравнения (2), для которых <img scr=2_8.jpg> являются критическими точками функционала

Условие <img scr=2_10.jpg> здесь несущественно, т. к. множество решений инвариантно относительно сдвига аргумента и добавления произвольной константы.

Введем функционал

В [4] доказана

2. Численный метод. Метод численного решения уравнения (2) строится на основе задачи (3). Прежде всего, приблизим исходную задачу задачей на конечном интервале.

Нетрудно проверить, аналогично [4], что решение этой задачи является критической точкой функционала <img scr=4_1.jpg> и удовлетворяет уравнению (2) на интервале <img scr=4_2.jpg> Кроме того, минимум достигается на некотором элементе

С использованием методов [4] доказывается

В доказательстве теорем 1 и 2 и при построении численного метода используется следующее свойство функционала I.

3. Дискретизация задачи. Для дискретизации задачи (4) выберем разбиение интервала [-l, l] точками

При этом естественно считать, что <img scr=4_7.jpg>

Такой выбор разбиения связан с гипотезой о том, что для профиля бегущей волны, производная u' должна быть четной. Эта гипотеза доказана в [7,8] для c, близких к <img scr=4_8.jpg>

Для решения задачи (6) используется условный вариант метода градиентного спуска.

Метод был применен к цепочкам с кубическим потенциалом <img scr=5_1.jpg>

и показал хорошее согласование с результатами [5,6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Fermi E., Pasta J., Ulam S., Studies of nonlinear problems, Los Alamos Sci. Lab. Report, LA-1049, Lect. Appl. Math., 15 (1974), 143-156.

2. Friesecke G., Wattis J., Existence theorem for solitary waves on lattices, Commun. Math. Phys., 161 (1994), 391-418.

3. Smets D., Willem M., Solitary waves with prescribed speed on infinite lattices, J. Funct. Anal., 149 (1997), 266-275.

4. Pankov A., PflЭger K., Traveling waves in lattice dynamical systems, Math. Meth. Appl. Sci., 23 (2000), 1223-1235.

5. Duncan D., Wattis J., Approximation of solitary waves on lattices using weak and variational formulation, Chaos, Solitons and Fractals, 2 (1992), 505-518.

6. Eilbeck J. Numerical studies of solitons on lattices, Lect. Notes Phys., 393, 1991, Springer, Berlin, 143-150.

7. Friesecke G., Pego R., Solitary waves on FPU lattices I, Nonlinearity, 12 (1999), 1601-1627.

8. Iooss G. Traveling waves in the Fermi-Pasta-Ulam lattice, Nonlinearity, 13 (2000), 849-866.

Саблукова Тая : другие произведения.

О Численном Методе Нахождения Бегущих Волн В Цепочках Ферми - Паста - Улама

Оставить комментарий © Copyright Саблукова Тая (oldsagecat1@gmail.com) Размещен: 18/04/2014, изменен: 18/04/2014. 6k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 30 шт.
Аннотация: Предложен численный метод нахождения уединенных бегущих волн в цепочках Ферми-Паста-Улама. Метод основан на вариационной постановке задачи и применим для любых сверхзвуковых значений скорости волны.