Обобщенное понимание Времени Н.А.Козыревым и его последователями:интуиционистская интерпретация основных понятий
При исследовании сложных объектов с помощью интуиционистских моделей математической логики [1, 2, 3] и, в частности, алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ), обращает на себя внимание следующий факт. Интуиционистские модели могут быть истолкованы (в виде приближенного отображения действительности) как возможные состояния знания некоторого познающего субъекта, как модели творческого сознания. С помощью самой структуры или способа построения этих моделей удалось показать достаточно интересные алгоритмические интерпретации основ квантовой теории, теории калибровочных полей и общей теории относительности; квантовой теории калибровочных полей, квантовой теории гравитации, редукции квантованных когерентных состояний ультраструктур нейронов мозга, особых состояний сознания, структуры качественных выводов из астрономической модели Керра; удалось сопоставить структуру Нагорной проповеди и библейских заповедей с этапами построения АМКЛ [4], а также многие другие интерпретации особенно в области медицины (см. http://samlib.ru/ ).
Возможно, любую интересную и сложную область познания можно интерпретировать с помощью этих достаточно гибких по своему построению интуиционистских моделей АМКЛ (далее будем писать иногда просто "моделей" или М). Формализация этого подхода может по мере накопления опыта и новых данных постепенно уточняться и специализироваться при изучении отдельных областей знания. Можно рассматривать эти модели как некоторый "переводчик" терминов, взятых из специализированных областей знания на язык построения М; они являются как бы некоторым формализованным познающим субъектом. Познание здесь осуществляется в виде алгебраических моделей интуиционистской логики (моделей Бета-Крипке). Такие М при практическом их использовании отображают динамику состояний ("свободно становящиеся последовательности" [3]), или динамику знания некоторого познающего субъекта (алгоритма вычисления АМКЛ). Приведем краткое описание этого алгоритма, детальное описание и множество примеров приведено в [1].
В исходном массиве действительных (или комплексных) чисел или чисел k-значной логики) Х(n+1, m), где n - число переменных (столбцов в Х) и m - число состояний t (строк), записанных в порядке течения времени t, выделяется один или несколько столбцов Y, для которых Y = f(X). В дальнейшем для краткости этот массив (базу данных) будем записывать как (Х, Y, t), где t - время (или порядковый номер строки или в иных случаях номер индивида). Значения Y разбиваются на k частей (обычно на 2 по медиане), и эти значения кодируются, например, в виде булевой функции Z = (0, 1), где например, 0 - целевые состояния и 1 - не целевые. Далее каждое состояние (строки в Х), которому задано определенное целевое значение Z, сравнивается со всей своей окрестностью нецелевых состояний, начиная с ближайших. Строятся конъюнкции К* (переменные соединены логическими связками "и", &) малого числа r открытых интервалов dx значений переменных для целевого состояния; r будем называть рангом конъюнкции К*. Итоговые К** (по всем целевым состояниям) вычисляются таким образом, чтобы К** были бы простыми импликациями (логические связки "если, то", -->), истинными формулами для Z, например: "если К**, то Z = 0" (иногда эти импликации будем называть исходными М). Примем также (это наше семиотическое соглашение), что вычисление К* относится к функции подсознания, а К** и далее по алгоритму - к функции сознания. Затем вычисляются оценки Г для каждой К** (число состояний, где встречается данная К**). Далее строятся тупиковые дизъюнктивные формы (АМКЛ) для каждого значения Z = (0, 1) в отдельности. Начиная с наибольшей Г отбираются эти К и объединяются логическими связками "или" (V); предварительно отбрасываются те из них, множества состояний которых ("покрытия", множества номеров строк) уже входят в объединение покрытий ранее отобранных итоговых К (т. е. строится тупиковая дизъюнктивная форма или итоговая М). Далее все вышеприведенные аналогичные операции совершаются и для нецелевых состояний. "Целевым" значением здесь становится Z = 1; соответствующее объединенное посредством связок V множество этих К присоединяется в скобках к исходному целевому множеству К посредством связки V и константы " - " ("ложь", "отрицание").
В некоторых случаях требуется построение вероятностной модели. Для этого все частичные пересечения двух или более К обозначаются как новые К, оставшиеся множества и эти новые К вновь упорядочиваются по их Г, переиндексируются и подсчитываются итоговые Г и Г/m. Эти частоты в сумме дают единицу.
После вычисления модели обычно проводится ее интерпретация (обычно с помощью подходящих информационно-поисковых систем) - сопоставление с уже известными более общими теориями, в которые К входят как подмножества (поиск "мажоранты", "наводящих соображений", "пояснений" [5]). Иногда вычисляется также контекст отдельных наиболее интересных итоговых К, входящих в тупиковую форму. Это замкнутые интервалы значений всех переменных, не включенных в данную К, т. е. только для "своих" Г строк-состояний (для "покрытия" этой К). Интерпретация контекста (вместе с К) соответствует возможному "объяснению" функций Z и также несущественных переменных. При необходимости аналитического отображения логической модели производится аппроксимация всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Эрмита или Фурье [1, 2, 6]. Будем считать, что мы потенциально имеем возможность отслеживать и сохранять в памяти компьютера весьма большие, но конечные массивы числовой содержательной информации, которая отображает доступный нам смысл исследуемого процесса.
Во многих часто встречающихся случаях Y = (у1, у2, ...) является многокритериальной функцией для Х (алгоритм см. в [1]). В более общем случае можно считать, что Х является массивом всей доступной информации, как бы некоторый текст (в динамике, по строкам), посредством которого исследуемый объект обменивается информацией с исследователем. Номера соответствующих переменных ("слов", столбцов массива Х), являются обычно некоторым ограниченным словарем, тезаурусом. При этом, вообще говоря, каждое слово из этого словаря можно задать в качестве функции цели у относительно оставшейся части Х. Все дело заключается в том, в каком контексте (смысле) проводится исследование. Более того, иногда даже конкретная цель для исследователя не совсем ясна. В этом случае можно вычислить некоторое множество моделей для "обзорного" множества у и отобрать модель, для которой информационная энтропия меньше - практически, можно предпочесть модель, которая содержит меньшее число выводов К с оценками Г = 1. Конечно, далее если возможно, следует с помощью информационно-поисковых средств интерпретировать полученную модель, а иногда и отбросить неинтересные тавтологии, которые неожиданно выявляются при тесной корреляции у с некоторыми сходными (с у) по смыслу переменными. Затем, если это требуется, уже строится модель для многокритериального Y. Еще отметим, что при исследовании объектов в динамике в массив исходных данных можно включать информацию (модели, в том числе и их Y), полученные на предыдущем шаге исследования (модели с "памятью"). Особенно это характерно при исследовании конфликтующих структур(дипломатия, разведка, информационное воздействие на социальные структуры...), при этом обычно Y отображается в виде значений k-значной логики.
Сами модели АМКЛ в динамике (с контекстами) являются как бы наборами кадров некоторого кинофильма, отображающего поведение исследуемого объекта, который можно видеть с запаздыванием, зависящим от времени передачи исходных данных и всех вычислений. Вычисляемые итоговые импликации К (отдельные модели из АМКЛ) отображают здесь изменения во времени исследуемого объекта (или субъекта). В случае прогнозирования поведения объекта в будущем, входные данные должны включать также некоторые временные переменные: скорости, ускорения и т. п. Весьма часто такие процессы идут с обратной связью - Y зависит не только от значений входных переменных и Y в данный момент времени, но также и от более ранних их значений. При прогнозировании удобно использовать также аппроксимацию всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Фурье или Эрмита - поведение объекта отображается как бы в виде "голографической интерференции" различных волн или в виде некоторых "пакетов" волн.
Будем считать, что на первом этапе исследования всевозможных текстов по заданной теме уже вычислены модели, которые распознают в этих произведениях ситуации, отображаемые в итоге некоторыми наборами научных, психологических, философских, религиозных понятий или иных обобщенных выводов, часто обозначаемых определенными терминами. Приведем далее список возможных семиотических соглашений (интерпретаций результатов функционирования самого алгоритма построения АМКЛ), которые в итоге приписывают как самому алгоритму построения, так и различным параметрам модели, записанной в общем виде (например, функционалам К и Г) их определенные смысловые значения в различных ситуациях. Эти соглашения могут уточняться по мере накопления новых сведений о применении этих соглашений в определенной содержательной области. Следует отметить, что, возможно, лишь интуиционистские модели в настоящее время позволяют как бы более тонко "настроить" способы понимания, семантику получаемых выводов из моделей, относящихся к определенному содержательному виду. Будем записывать (жирным курсивом) далее нумерованный список по теме статьи некоторых сложных высказываний и понятий различных цитируемых авторов. Эти высказывания будем сопоставлять с различными стадиями функционирующего алгоритма или с наличием различных параметров модели (здесь как бы составляется словарь заранее согласованного "перевода" слов с одного языка на другой). Ссылка на литературу для каждого элемента списка приводится лишь один раз - она относится и к последующим элементам списка, вплоть до очередной новой ссылки (но внутри поясняющего текста могут быть свои ссылки). Приводимые ниже элементы списка следуют ходу изложения текста цитируемых авторов. В этом списке и в соответствующих интерпретациях даются по возможности лишь краткие определения различных терминов. Их более точный смысл следует искать в контексте всей статьи. Далее в интерпретациях курсивом выделяются термины и высказывания, для краткости поясняющие, например, с точки зрения психологии эти термины (или когда приводятся примеры). Иногда курсив применяется просто для выделения смысла слов.
1. Генерирующие флюэнты (потоки,F) [7]. - Множество исходных переменных F = Х(j), где j = 1, 2, ..., n, т.е. F - это столбцы в массиве данных. Источники потока информации. В общем случае число состояний t объекта может увеличиваться до весьма больших значений m. Заметим здесь, что только исходным переменным соответствуют строки X(j) (см. далее п. 7). После интерпретации полученных моделей число переменных может изменяться, например, увеличиваться, если распознается некоторая теория (мажоранта), которая включает в себя дополнительные переменные, или может уменьшаться, если выявлено, что некоторые переменные являются лишь помехой для достижения приемлемой точности модели.
2. Частицы-эманоны (эманация, истечение этих частиц). - Значения переменных (элементы уже зарегистрированного массива исходных данных).
3. Субстанция. - Массив исходных данных.
4. Предшествование. - Вводится понятие абсолютного относительного времени |t| = |t-t*|, отсчитываемого от очередного задаваемого целевого состояния t* (строки в массиве данных). Далее производится упорядочение всех нецелевых состояний по возрастанию |t| относительно заданного целевого состояния (исходные состояния в массиве зарегистрированы с указанием соответствующего обычного времени).
5. Соседние элементы. - Значения переменных из ближайших (предшествовавших) нецелевых состояний.
6. Дискретность (любой элемент имеет соседний элемент). - Практически это свойство выполняется лишь для весьма большого числа состояний, т.е. при непрерывном слежении за исследуемым объектом и последующем вычислении новой модели.
7. Генерирующий флюэнт Fзадается парой (Q, f), где Q - источник (или сток) эманонов, а f - шлейф из излученных источником (поглощенных стоком) Q-частиц эманонов. - (См. п. 1 и 2). Лишь для тех Х(j), которые войдут в итоговую модель, и для определенного целевого состояния t* (в общем случае t пробегает значения t = i = 1, 2, ..., m) Q соответствует определенному значению х(i*, j). Шлейф f соответствует открытому интервалу dx в окрестности этой "точки" х(i*, j). На числовой оси левая и правая координата dx задается по ходу алгоритма (см. начало статьи) соответствующими "точками" из нецелевых строк t. Вычисленная модель как сток потока информации (см. также п. 1).
8. Совокупность нескольких F(j) назовем системой S. -Это конъюнкции (в итоге импликации) К*, после вычисления тупиковой формы их число уменьшается.
9. Совокупность f(j), входящих в Sназовем метаболическим пространством системы S. - Это многомерный открытый "куб" dx, соответствующий К*.
10. Совокупность Q(j), входящих в S назовем субституционным пространством системы S. - Это множество "точек" х(i*, j), входящих в "куб" dx. Здесь заметим, что это понятие возникает лишь после вычисления тупиковой дизъюнктивной формы (ограниченного множества К, см. выше описание алгоритма). Общее число этих точек соответствует оценке Г.
11. S, состоящую изо всех FМира назовем универсумом. - Совокупность всех моделей, отображающих Мир (как в прошлом, так и в возможном будущем). Мир идей Платона, ноосфера Вернадского, потоки времени Казначеева.
12. Совокупность Fуниверсума, не входящих в S, есть среда для S. - Контекст, соответствующий множеству всех уже вычисленных (и также планируемых!) моделей (см. п. 11). В более общем смысле это совокупность всех неизвестных переменных Мира.
13. Замены эманонов в системе Sотождествим с течением метаболического времени в этой системе. - См. п. 9. Абсолютное относительное время |t|, необходимое для вычисления последующей, очередной переменной, входящей в конъюнкцию (в итоге - в импликацию) К*, см. п. 4, 9, введение в статью и детальное описание алгоритма в [1]. Заметим, что таких |t| будет весьма много - для каждого х(j), вошедшего в определенный К*, которых будет примерно m/2, причем для каждого иного К* х(j) также будет иным.
14. Замены флюэнтов в Sназовем течением субституционного времени в этой системе. - См. п. 10. Здесь все аналогично п. 13. Здесь только заметим, что это понятие возникает лишь после вычисления тупиковой дизъюнктивной формы (ограниченного множества К, см. выше описание алгоритма), соответствующие времена |t| здесь будут больше. Если в п. 13 множества |t| вычислялись относительно каждой "точки" х(i*, j), входящей в К* ("исчисление высказываний"), то здесь вычисляются другие, значительно большие |t|, соответствующие открытому многомерному интервалу dx, соответствующему итоговой К и заполненного множеством Г точек ("исчисление предикатов").
15. Метаболический счетчик. - Ранги r итоговых конъюнкций (импликаций) К, т.е. число входящих в них переменных.
16. Время противостоит росту энтропии и "тепловой смерти" Вселенной. В сложных системах всегда присутствуют неопределенности. Время организует эти неопределенности, управляет ими[8]. - См. п. 4, 13, 14. Абсолютное относительное время |t| = |t-t*| является лишь отображением исходного алгоритма и далее программы построения АМКЛ. Вычисленные модели обладают большей информационной "негэнтропией", чем исходный, постоянно увеличивающийся массив исходных данных (обычно происходит увеличение n и m при исследовании объекта в условиях неопределенности). В последнем случае иногда модели вычисляются с недостаточной точностью - происходит "срыв" процесса управления объектом (его "тепловая смерть").
17. Нетжесткой предопределенности будущего. - Распознавание будущего производится на основании модели, вычисленной на определенном интервале времени в прошлом (для некоторого бывшего контекста, см. начало статьи). В будущем этот контекст может быть совершенно иным - могут измениться значения переменных, не вошедших в прежнюю и в только что вычисленную модель.
18. Время словно меняет причину и следствие местами. - Действительно, вычислив модель для заданного определенного массива данных, мы начинаем понимать, что полученные выводы уже предсуществовали ранее - вычислительный процесс лишь помог нам обнаружить их. Каждый отдельный результат К как бы уже заранее "проторил" путь для вычислительных операций применяемой программы, который привел к именно такому определенному выводу. В этом смысле можно сказать, что некоторая предсуществующая информация, законы природы, "Мир идей Платона" являются причиной реального Мира.
19. "Цель" вырабатывает сама система за счет взаимодействия частей. - Исследователь является частью этой системы - обычно его целью является некоторое согласование каналов связи между его сознанием и накопленными данными.
20. Сохранение негаэнтропии в мире в целом. - Частный пример: для оптимизации какого-либо технологического процесса необходимо затратить материальные и наши творческие ресурсы...
21. Шумы являются "чувствительным элементом" датчиков Козырева плотности Времени. - Вычисление оценки Г ("плотности Времени Козырева"). Малые Г (обычно Г = 1) являются признаком "шума" модели; переменные, входящие в соответствующие К, обычно считают несущественными (также и такие К). Заметим, что при достаточных вычислительных ресурсах полезно на вход процесса вводить дополнительные переменные, которые, например, по возможным теоретическим соображениям могут способствовать более приемлемой интерпретации вычисляемых моделей или могут уменьшать их ошибку.
22. Возможен диалог с Природой уже не в переносном, а в прямом смысле, в смысле контакта и взаимодействия сознательных сущностей. - См. введение в эту статью и послесловие к [1].
Комментарий автора
Мне хотелось бы несколько подробнее остановиться на тех частях статьи М.В. Вороткова [8], где он обсуждает проблемы экологических исследований и проблему "шума" в идеях Н.А. Козырева относительно его обобщенного понимания Времени (см. также в п. 4 понятие абсолютного относительного времени |t| = |t-t*|).
Вспомним 1950-е годы, мировые державы испытывали свое ядерное оружие, радиоактивные осадки, поражавшие население всей планеты, были признаком будущей катастрофы. В 1958 году волею судьбы, практически после окончания химфака и биофака МГУ я оказался в секретной местности Челябинск-40 ("Кыштым-Иртяш"), где был плутониевый (Pu) комбинат "Маяк", в самом городе была его центральная лаборатория с филиалом ин-та биофизики Минздрава СССР. Зам филиала, показывая мне одну из лабораторий, сказал с мрачным юмором: "Вот ваши предшественники!" Это были банки с формалином и органами молодых московских физиков, совсем недавно погибших в результате испытания нового ядерного реактора жидкостного типа (кажется, раствора обогащенного уранил-ацетата) - произошла вспышка неконтролируемой ядерной реакции... Еще до моего приезда на территории комбината произошел взрыв хранилищ долгоживущих отходов: шлейф радиоактивных осадков прошел восточнее Свердловска почти до Ледовитого океана. Из пораженной местности выселяли людей и расстреливали скот. За городом было целое кладбище сравнительно молодых людей, которые работали на производстве Pu. В большом здании заводской лаборатории вместе с нами работали в основном специалисты-физики, которые уже получили громадные дозы радиации (до меня в филиале работали еще немцы, ученые, вывезенные из восточной Германии после войны).
В основном филиал занимался экологическими и соответствующими медицинскими исследованиями, в частности, также собирались данные о связи различных аномалий новорожденных с возможными дозами радиации, полученной женщинами и/или их мужьями, работавших на производстве Pu. Как же оценить эти дозы? Персональные дозиметры имели в основном рабочие в цехах, да и совершенно открытой была проблема оценки дозы внутреннего бета и альфа облучения. Я решил заняться иммунными исследованиями крови облученных людей. Идея здесь заключалась в том, что костный мозг является наиболее чувствительным к радиации органом, который производит некоторые клетки-предшественницы основных элементов клеток крови, в частности, эритроцитов, оболочка которых отображает генные изменения исходных чувствительных клеток. Особо интересными были такие "потомки" ростовых клеток, которые могли бы в дальнейшем проявлять свой злокачественный рост или оказывать нежелательное влияние на функцию иммунной системы организма. Конечно, на костный мозг (да и на другие ткани) оказывают влияние и другие, например, химические воздействия - тем интереснее, можно было бы оценить вообще степень влияния всех этих нежелательных "шумов" на организм человека, на степень его "старения".
Здесь проблема заключалась в том, все эти события, зависящие от мутаций генов ростовых клеток, весьма редкие - нужно было как-то выделить этот "шум генов", выделить лишь "чужие" эритроциты на фоне громадного числа нормальных эритроцитов. Известно, что в генетическом смысле, во всяком случае, высшие млекопитающие более или менее близки между собой; степень этой близости уменьшается по мере углубления в историю их эволюции. Плазма крови разных видов, содержащая антитела, также соответственно отображает степень их близости между собой. Для решения проблемы выделения эритроцитов-"мутантов" было решено использовать набор образцов плазмы различных животных и, главное, в первую очередь, набор всех типов стандартных сывороток человека.
Действительно, после последовательного применения каждого такого очередного "фильтра", очищающего эти гипотетические "чужие" эритроциты от несоизмеримо большего числа "своих", понемногу увеличивалась корреляция между дозой облучения и числом (концентрацией) измененных эритроцитов. Возможно, что действительно, человек сам по себе является как бы "дозиметром" количества полученной им радиации. Уже строились планы возможности иммунизации этими редкими измененными эритроцитами (или подобными клетками) крупных животных, чтобы получать от них плазму, содержащие антитела, возможно, к каким-то общим свойствам поверхности оболочки подобных "редких" клеток. Можно было бы в будущем уменьшить риск возникновения лейкемии у людей, работающих в атомной промышленности (и не только в этой области!). В дальнейшем же все произошло почти полностью как у Козырева... Лучше всего о его научной ситуации читать в статье М.В. Вороткова http://rmvoz.ru/forums/index.php?topic=228.0 .
Нетрудно заметить, что вышеприведенные лабораторные исследования практически полностью соответствуют алгоритму построения АМКЛ. Массив исходных данных - облученные и необлученные люди или лабораторные животные ("исток" по Левичу [7]). Упорядочение окрестностей состояний объектов и последующие операции - определенная последовательность применения плазмы контрольных необлученных людей или животных ("время" в терминах Левича [7]). Вычисление модели - построение графика зависимости концентрации эритроцитов-мутантов в зависимости от дозы радиации в рентгенах ("сток" [7]).
Все это происходило в 1959 году - лишь в этом, 2011 г., т.е. 52 года спустя, появилось сообщение, что западным ученым удалось выявить в крови образования, соответствующие некоторому измененному гену, возможно, вызывающему рак...
Возвращаясь опять к статье [8], можно сказать, что в частности, эволюция жизни на Земле является прекрасным примером реальности идей Н.А. Козырева относительно его обобщенного понятия Времени. Величественный мутационный процесс (рост энтропии, ее "исток"), возникающий из-за различных форм воздействий, включающих также воздействия космических частиц и излучений, является действительно источником, создающим в своем внутреннем "абсолютном Времени" (в последующем дарвиновском эволюционном процессе) новые потенциально возможные формы жизни. Это все ее формы, начиная с "обрывков" ДНК и полипептидов, вирусоподобных образований и вирусов, далее со временем, раковых клеток и кончая возникновением новых видов. В антропологии проблема внезапного появления нашего вида, человека разумного (и соответственно, как полагают, возникновения речи), возможно, также связана с мутационным процессом [10]. Генетика также объясняет механизм "стока" энтропии, другими словами, процесса роста негэнтропии, роста информации при половом процессе (рекомбинации генов). В течение жизни в ДНК всех клеток, в том числе и в гаметах, при воздействии многих факторов происходят различные "поломки", поражение некоторых генов. В половом процессе совершается как бы "сверка" или сопоставление кодов родителей (кодов, характерных для данного вида). При нарушениях кода у одного родителя некоторые из нарушений могут быть восстановлены за счет кода другого. По сути дела описанный выше метод применения набора антител для удаления по возможности "своих" эритроцитов и выявления "чужих" весьма сходен с этим процессом "сверки" генетических кодов облученного и необлученного человека. Цель экспериментатора тогда была в получении информации о зависимости числа таких "поломок" ДНК от дозы ионизирующей радиации.
Для астрономов, конечно, была бы также интересна гипотеза Н.А.Козырева об итоговом сохранении количества информации во всей Вселенной. Солнце, звезды, вспышки Сверхновых, исследования весьма далеких глубин Космоса дают нам примеры "истоков" доступной, во всяком случае, для нас информации. "Сток" такой всей накопленной информации (вместе с нами - с материей и излучениями) совершается в Черных дырах, возможно, согласно этой гипотезе, для сохранения общего "баланса" количества информации. Что происходит далее, мы не знаем.
Литература
1. Щеглов В. Н. Творческое сознание: интуиционизм, алгоритмы и модели. - Тула: "Гриф и К", 2004. - 201 с. (см. http://publ.lib.ru) или http://samlib.ru/ .
2. Щеглов В. Н. Творческое сознание: интерпретация алгоритма построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики, 2007. - 12 с. (см. http://publ.lib.ru или http://samlib.ru/ .
3. Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. - М.: "Наука", 1979. - 256 с.
4. Щеглов В. Н. Нагорная проповедь: сопоставление с алгоритмом построения алгебраических моделей интуиционистской логики, 2008. - 9 с. (см. http://publ.lib.ru или http://samlib.ru/ , там же и другие статьи по АМКЛ-интерпретациям).
5. Шанин Н. А. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной математике// Труды математического института имени В. А. Стеклова, CXXIX // Проблемы конструктивного направления в математике, 6. - Л.: "Наука", 1973. - С. 203 - 266.
6. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. - М.: Мир, 1976. - 312 с.
7. Левич А.П. О моделировании "потока времени". Время и звезды: к 100-летию Н.А. Козырева, 2008.
8. Воротков М.В. Идеи Козырева: 30 лет спустя. Время и звезды: к 100-летию Н.А. Козырева, 2008 (см. http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/kozyrev_100/vorotkov_idei.pdf и http://rmvoz.ru/forums/index.php?topic=228.0 ).
10. Щеглов В.Н. Т. Черниговская и когнитивная лингвистика: интуиционистская интерпретация основных выводов, 2009. - 4 с. (см. http://publ.lib.ru или http://samlib.ru/ .
См. публикации автора: http://samlib.ru , http://publ.lib.ru (здесь также статьи с формулами), http://shcheglov.livejournal.com/ (ссылки на новые статьи). Фотоальбом 1: http://4put.ru/pics/u_135/ , фотоальбомы 2, 3, 4: http://shcheglov.gallery.ru , фотоальбом 5: http://photo.qip.ru/users/shcheg32/151006983/ . Фотоальбом 7: http://photoalbums.ru/thumbnails.php?album=3649 Email: corolev32@mail.ru