Аннотация: Для игроков в покер, интересующихся математикой, и для математиков, интересующихся покером.
Игорь Шенин
ВЕРОЯТНОСТИ В ШЕСТЬ-ПЛЮС ХОЛДЕМ
Причины для игры в 6+
Ситуация на сегодняшний день такова, что можно с полным основанием заявить: покер-румы убивают покер. Играя не ради заработка, а ради удовольствия, замечаешь, что этого самого удовольствия становится всё меньше и меньше. Румы в погоне за дополнительной прибылью вторгаются в процесс раздачи карт, подправляя ход игры в нужное им русло. Делается это для набивания рейка, для поощрения сделавших депозит, для удержания новичков, для урезания доходов плюсовых игроков... И всё это выливается в миллионы долларов дополнительной прибыли для румов.
А ведь покер - игра мастерства, в которой участники делают свои ходы, учитывая теорию вероятности. Поэтому любое отклонение от случайной раздачи карт губительно для покера... И хоть румы нам заявляют, что у них честный ГСЧ (генератор случайных чисел), но проблема в том, что карты раздаёт не ГСЧ, а программа рума. А румам выгоднее игроки казиношного типа, те, кто в покере любит азарт, а не саму игру. Именно для них покер и превращают в подобие рулетки (при этом рулетки управляемой). Найдётся ли такой рум, который захочет (в ущерб прибыли!) вернуть нормальный покер? Поживём - увидим. Но для этого такому руму придётся пойти, как минимум, на один шаг - введение КЧ (контроля честности раздач). Возможны, конечно, и другие способы решения данной проблемы, например, через создание крипто покер-рума с децентрализованной раздачей карт (популярная нынче технология блокчейн).
Нынче же положение таково, что любой рум без КЧ или технологии блокчейн - это, в большей или меньшей степени, лохотрон. И правильно делают некоторые страны, когда запрещают ТАКОЙ покер. Хотя запрещать покер глупо (всё больше и больше стран начинают признавать покер не азартной игрой, а игрой мастерства), запрещать надо лишь лохотронные румы...
Итак, стараясь из всего спектра рук (двух карт, сдаваемых игрокам в Техасском холдеме) разыгрывать лишь 25-30 процентов, стал замечать, что эти играбельные руки меня благополучно минуют. Сидя за столом в девять человек, казалось бы, должен в среднем за круг (то есть за девять раздач) получать две играбельных руки. Куда там! Проходит один круг, второй, третий - а на руках один мусор. В тех же случаях, когда приходит более-менее хорошая рука, она абсолютно не попадает в борд (в карты на столе), а если вдруг и попадает, то у соперника оказывается комбинация чуть лучше, и доезжает ему, как правило, на ривере (на последней карте стола)... Так румы создают полосу невезения для игроков. И что же делать? Блефовать? Но всё время только блефовать не получится. Играть на более слабых картах? Глупо. Постоянно пасовать, пасовать, пасовать? Скучно...
Я уже совсем было собрался завязывать с игрой на покер-румах, но тут появилась новая разновидность Холдема - Six Plus. Эта игра родилась в Макао (китайский аналог Лас-Вегаса), в Интернете же её первыми начали распространять румы сети iPoker. Решил как-то попробовать - и офигел. Чуть ли не в каждой второй раздаче давали играбельные руки! Стало хотя бы веселее играть.
Однако есть в новой игре нюансы, и связаны они с тем, что в 6+ используется колода не в 52, а в 36 карт. Первый раз сел играть спонтанно, не успев даже познакомиться с правилами, думая, что они схожи с классическим Холдемом. И был несказанно удивлён, когда по ходу турнира мой натсовый стрит переехал какой-то мелкий сет. Пришлось, не прекращая игру, лезть в Интернет за информацией, которая, надо сказать, меня вначале поразила. Флеш, оказывается, тут сильнее фул-хауса, а тройка сильнее стрита! Как такое может быть? Зачем это сделали? Закончив турнир (в призах), стал разбираться в проблеме.
Ответ мог быть только один - видимо в такой короткой колоде флеши и тройки выпадают реже, чем фул-хаусы и стриты. Решив это проверить, посчитал вероятности выпадения всех 5-карточных комбинаций. Оказалось, что флеш действительно реже фул-хауса, но тройка уступает стриту. Как так? Может быть, эти перестановки сделали не из-за того, что так велит теория вероятности, а ради повышения экстрима в игре? Однако пришла в голову и мысль, что, видимо, в 7-карточных комбинациях ситуация с тройкой и стритом может измениться. А ведь и классический Холдем и шесть плюс - это игра с семью картами: две на руках у игрока и пять на столе (три раздают на флопе и по одной на тёрне и ривере). Однако как мне не хотелось считать вероятности 7-карточных комбинаций! Это же такая муть! Решил посмотреть цифры в интернете, и на тот момент ничего не нарыл. Вообще ничего! Мало того, даже для классического Холдема приведены лишь значения вероятностей 7-карточных комбинаций, а как их рассчитывали - иди поищи. Нет, более простые расчёты для 5-карточных комбинаций - пожалуйста, навалом, а для семи...
Хм-м... Вам ещё не надоело это читать? Привыкайте, ведь расчёт вероятности для семи карт (особенно, если всё расписать подробно) - ещё более нудное чтиво. Вам всё ещё это надо? Тогда вперёд!
Вероятности комбинаций
Итак, в Холдеме Six Plus используется 36-карточная колода, то есть четыре масти по девять карт от шестёрки до туза:
A K Q J T 9 8 7 6 - червы (Heart), A K Q J T 9 8 7 6 - бубны (Diamond), A K Q J T 9 8 7 6 - крести, трефы (Club), A K Q J T 9 8 7 6 - пики (Spade).
Эта короткая табличка вмещает все имеющиеся карты, где A - туз, K - король, Q - дама, J - валет, T - десятка.
Нам требуется из 36 карт выбирать произвольно 7 карт и из них определять лучшую 5-карточную комбинацию. Пользоваться станем известными формулами комбинаторики. Их три.
Основной для нас будет формула сочетаний из n по m. Для удобства написания станем здесь обозначать её С(n,m):
С(n,m) = n!/(m!*(n - m)!),
где n! = 1*2*3*...*n.
Сочетания используют, когда порядок предметов (у нас это карты) не важен. В противном случае применяют формулу размещения А(n,m):
А(n,m) = n!/(n - m)!
При n = m формула размещения переходит в формулу перестановок Р(n):
А(n,n) = Р(n) = n!
Например, число всех возможных комбинаций по 7 карт из 36 будет равно С(36,7) = 8347680. Запомним это число, оно нам в дальнейшем будет часто требоваться. Итак, начнём расчёты.
Флеш-роял
Пять карт одной масти от туза до десятки. Может быть всего 4 таких комбинации (по одной в каждой масти).
Однако это только пять карт, а у нас ведь выборка по семь. Добавим недостающие две карты - они могут быть любыми из оставшихся 31 карт и в любом сочетании: С(31,2) = 465. Перемножаем 4*465 и видим число возможных 7-карточных комбинаций, содержащих флеш-роял - 1860. Если это число разделить на 8347680 и умножить на сто, то получим вероятность (в процентах) выпадения данной комбинации - 0,02%.
Флеш-стрит
Последовательные пять карт одной масти (без старшего туза). Чтобы было нагляднее представлять действия, посмотрим на ряд карт с тузом по обеим сторонам (в младшем стрите туз играет роль пятёрки):
(A) K Q J T 9 8 7 6 (A).
Как нетрудно заметить, можно получить всего лишь 6 комбинаций стрит в конкретной масти. Умножим 6 на четыре масти и получим количество комбинаций - 24. Однако 4 из них относятся к флеш-роялю, поэтому в итоге будет лишь 20 комбинаций.
Опять у нас есть две недостающие карты, которые выбирать нужно не из 31, как делали выше, а уже только из 30, так как приходится исключать ещё одну карту, примыкающую сверху к каждой конкретной пятёрке, приводящую нас к более старшему флеш-стриту, а мы ведь его уже посчитали. Имеем С(30,2) = 435. Умножаем 20*435 = 8700. Разделим данное число на С(36,7) и переведём в проценты, получим 0,10%.
Каре
Четыре одинаковых карты. Всего в колоде может быть 9 комбинаций каре (от четырёх шестёрок до четырёх тузов). В семикарточных наборах с каре "лишними" остаются три карты. Делаем выборку по три из оставшихся в колоде 32 карт: С(32,3) = 4960. Перемножив 9 и 4960, получим 44640. Как обычно, делим на 8347680 и умножаем на сто. Результат - 0,53%.
Флеш
Пять произвольных карт одной масти. Количество возможных одномастных вариантов: С(9,5) = 126. Это число умножим на 4 (масти) и отнимем 24 (флеш-стриты и флеш-рояли), получим 480 пятикарточных комбинаций простых флешей.
Нам надо опять прибавлять две недостающих карты, помня при этом, что среди данных двоек могут быть и одной масти с нашей пятёркой, поэтому надо исключить те из них, которые старше по рангу самой младшей карты исходной пятёрки. Как это учесть? А чтобы это учесть, необходимо сделать ход конём и все расчёты для флеш начать сначала.
Итак, сперва посчитаем количество 7-карточных комбинаций одной масти: С(9,7) = 36. Умножив на 4 (масти), получим 144.
Далее высчитаем число 6-карточных комбинаций одной масти: С(9,6) = 84. Умножим на 4 (в итоге 336) и вспомним про одну недостающую до семи карту. На это место претендуют 27 карт прочих мастей. Умножаем: 336*27 = 9072.
Количество 5-карточных комбинаций одной масти С(9,5) = 126, и это число умножаем на четыре. На место недостающих двух карт претендуют опять же только 27 карт трёх других мастей: С(27,2) = 351. Перемножим 126*4*351 и в итоге имеем 176904.
Далее нам только остаётся сложить три числа: 144, 9072, 176904. А потом вычесть 1860 флеш-роялей и 8700 флеш-стритов: 175560. Делим на 8347680 и умножаем на 100, получаем 2,10%.
Фул-хаус
Три карты одного ранга и две карты другого. Из четырёх карт одного ранга (четырёх мастей) делаем выборки по три и по две: С(4,3) = 4 и С(4,2) = 6.
Таким образом, три одинаковые карты можем получить 4*9 = 36 раз, а две одинаковых карты можем получить 6*8 = 48 раз (здесь уже выборка не из 9, а из 8 - карта одного ранга ушла на тройку). Перемножение 36*48 даст нам 1728 пятикарточных комбинаций фул-хаус.
У нас опять недостаёт двух карт, добавление которых легко может посодействовать переходу пары в тройку (2 + 1, это актуально, когда ранг исходной двойки выше ранга тройки), или же образовать каре (3 + 1 или 2 + 2). Каре учитывается легко, а вот с первой проблемой у нас проблема. И опять приходится делать ход конём, начиная всё заново.
Итак, разделим все варианты фул-хауса на три группы. В первую группу поместим наборы из четырёх разных по номиналу карт, одна из которых строена, а другая сдвоена; во второй будут наборы из трёх карт, две из которых строены; в третьей - наборы, состоящие из одной тройки и двух двоек.
Первых наборов будет С(9,4) = 126. Так как строена и сдвоена может быть любая карта, то умножаем число первых наборов на А(4,2) = 12 (нам важно, какие карты сдвоены, а какие строены) и получаем 1512. В этих 1512 наборах две одиночных карты могут быть любой из четырёх мастей, тройка имеет С(4,3) = 4 комбинации мастей, а пара - С(4,2) = 6. Получаем 4*4*4*6 = 384. В результате выходит 1512*384 = 580608.
Вторых наборов получится С(9,3) = 84. В случае двух троек нам не важен их порядок, поэтому число вторых наборов умножаем на С(3,2) = 3, что в результате даёт 252. В этих наборах одна одиночная карта может быть любой из четырёх мастей, а обе тройки имеют по С(4,3) комбинаций: 4*4*4 = 64. Итого: 252*64 = 16128.
Третьих наборов будет С(9,3) = 84. Здесь нам опять важно то, какие карты строены, а какие сдвоены, однако порядок сдвоенных не важен. Поэтому если представить, что имеем дело с тремя парами, к каждой из которых по очереди примыкает третья, то число таких комбинаций будет С(3,1) = 3; в итоге имеем 252. Очевидно, количество комбинаций по мастям будут следующим: 4*6*6 = 144. Общее число таких наборов: 252*144 = 36288.
Складываем 580608, 16128, 36288 и получаем 633024. Вычитать здесь нечего, так как флешей нет. Далее делим на 8347680 и переводим в проценты: 7,58%.
Тройка
Три карты одного ранга. Мы имеем ряд из пяти различных карт, одна из которых строена. Таких комбинаций будет С(9,5) = 126. Это число надо умножить на 5, так как любая из пяти карт может быть строенной: 630. Стриты учитывать не будем, ведь они здесь (как мы позже увидим) более слабая комбинация.
Любой из 630 наборов содержит четыре карты любых четырёх мастей и одну тройку, имеющую С(4,3) комбинаций мастей: 4*4*4*4*4 = 1024. Также любой из 630 наборов имеет 4*С(3,2) = 12 вариантов с флеш. Вычитаем 12 из 1024 и умножаем на 630: 637560.
Делим на С(36,7) и переводим в проценты: 7,64%.
Стрит
Последовательно идущие пять карт, но только не все одной масти. Посмотрим на таблицу из карт (стриты - оставшиеся карты):
A K Q J T - 9 8 7 6;
K Q J T 9 - 8 7 6;
Q J T 9 8 - 7 6 A;
J T 9 8 7 - 6 A K;
T 9 8 7 6 - A K Q;
9 8 7 6 A - K Q J.
Мы видим, что всего тут может быть (без учёта масти) шесть 5-карточных стритов, к которым надо присоединить ещё любые две карты. Эти последние, как обычно, всё усложняют, так как могут породить более старшие комбинации. И, увы, учёт всего этого выльется в самые нудные вычисления в данной работе. Они настолько "нудные", что мне, к примеру, так и не удалось нигде найти аналогичные вычисления для колоды в 52 карты. Все авторы, дойдя до стрита, заявляют, что дальше всё очень просто и (чтобы не загромождать текст расчётами - методика-то как бы уже понятна) приводят лишь всем известную итоговую таблицу шансов. Честно говоря, мне при написание этого раздела тоже хотелось так сделать...
Итак, вначале сосчитаем семикарточные стриты. Их, очевидно, может быть только 4, а если учитывать масти, то придётся ещё умножить на четвёрку в седьмой степени (16384). Из последнего числа необходимо вычесть флеши (7-карточные, 6-карточные и 5-карточные). Семь карт одной масти (4 варианта масти) будет С(7,7)*4 = 4 набора. Шесть карт одной масти (опять четыре варианта) с одной картой другой масти (уже только три варианта) будет С(7,6)*4*3 = 84. Наконец, пять карт одной масти и две карты прочих мастей - С(7,5)*4*3*3 = 756. Обозначим сумму этих трёх чисел через Ф = 844 и запомним эту величину, так как она нам будет часто нужна. Умножаем 4 на 15540 и в результате имеем 62160.
Теперь определимся с 6-карточными стритами. Их может быть пять, но дополнительная карта увеличивает общее число. Для старшего и младшего стрита седьмая карта может быть одной из восьми, а не из девяти, ведь надо не допустить семикарточного стрита. Для остальных трёх стритов - одной из семи (по той же причине). Теперь учтём масти, а для этого нужно принять во внимание то, что в шести случаях из восьми (семи) дополнительная карта становится парной. Итак, у нас получается два слагаемых:
1) наборы стритов без пары. Стритов с тузом (без учёта масти) будет 2*2, а стритов без туза - 3*1. Комбинация из семи разных карт четырёх мастей нам дадут множитель четыре в степени семь, из которого надо вычесть известное количество флешей - Ф, далее 15540 умножаем на 7 и в результате имеем 108780.
2) наборы стритов с парой. Без учёта масти таких стритов будет 5*6 (пять 6-карточных стритов и шесть вариантов положения парной карты). Учёт масти даст нам множитель 4*4*4*4*4*С(4,2) = 6144.
Количество флешей здесь высчитывается сложнее. Шестикарточный флеш (четыре варианта мастей) и три других масти у парной карты: 4*3 = 12. Пятикарточный флеш (четыре варианта) и С(3,2) варианта мастей у отдельной пары: 4*С(3,2) = 12. Пятикарточный флеш, включающий в себя одну пару, С(5,4) комбинаций четырёх мастей, три варианта масти для второй парной карты и три варианта для оставшейся карты: С(5,4)*4*3*3 = 180. Сумму этих чисел обозначим через Д = 204, запомним и эту величину.
Вычитаем 6144 - 204 = 5940 и умножаем на 30, получаем 178200.
Общий результат сложения двух чисел у 6-карточных стритов: 286980.
Наконец, разберём 5-карточные стриты. Самих стритов может быть (без учёта масти) только шесть, но две дополнительные карты способны попасть или в оставшиеся две карты (у стритов с тузом - три), причем они могут быть или разными или создать пару; или одна карта попадает в две (три), а другая - в пятёрку (опять создаёт пару); или обе карты попадают в пятёрку, образующую стрит, тогда получаются или две пары или одна тройка (последний вариант нас не интересует). В итоге мы получаем три слагаемых:
1) набор стритов без парных карт. Стритов с тузом (без учёта мастей) будет 2*С(3,2), а без туза - 4*С(2,2); в сумме это даст 10 комбинаций. Семь разных карт могут иметь по четыре масти, итого получается четвёрка в седьмой степени, откуда нужно вычесть флеши, число которых нам уже хорошо известно - Ф. Вычитаем и умножаем, в итоге имеем 155400 таких наборов.
2) набор стритов с одной парой. Стритов с тузом будет 2*3*6, без туза - 4*2*6; общее их число 84. Масти добавляют множитель (4*4*4*4*4)*С(4,2), из которого вычитаем известное нам количество флешей Д. Отнимаем, перемножаем и в результате - 498960.
3) набор стритов с двумя парами. Без учёта масти таких комбинаций будет 6*С(5,2) = 60. Учёт масти добавит множитель (4*4*4)*С(4,2)*С(4,2), из которого вычтем число флешей 4*3*3. Вычитаем, умножаем и получаем 136080.
Складываем все найденные числа и имеем для 5-карточных стритов: 790440.
Теперь суммируем все три значения 62160, 286980, 790440 и в результате получаем 1139580, делим на 8347680 и умножаем на сто: 13,65%.
Две пары
В наборе из семи карт присутствуют две пары. В таком случае мы имеем или группу из пяти разных по достоинству карт, любые две из которых спаренные, или группу из четырёх карт, три из которых имеют пары. Таких наборов будет по С(9,5) = С(9,4) = 126, масти мы пока не трогаем.
Вычтем из первой группы 6 наборов, содержащих стрит; и из-за двух парных карт умножим на с(5,2) = 10, получаем 1200. Теперь надо учесть масти. Каждый из 1200 наборов состоит из 3 карт любой из 4 мастей и двух пар по С(4,2) = 6 вариантов мастей. Перемножаем между собой 4*4*4*6*6 = 2304 и отнимаем 4*3*3 = 36 комбинаций, имеющих флеш. Умножаем на 1200, в итоге: 2721600.
Во второй группе стритов нет, поэтому 126*С(4,3) = 504. Каждый из этих 504 наборов состоит из одной карты (4 масти) и трёх пар по 6 комбинаций мастей: 4*6*6*6 = 864. Флешей здесь нет. Перемножаем 504*864 = 435456.
Складываем оба числа: 3157056. Делим на С(36,7) и вычисляем проценты - 37,82%.
Пара
Две одинаковых карты. В этом случае мы имеем наборы по шесть карт разного достоинства, одна из которых сдвоена. Таких наборов без учёта масти будет С(9,6) = 84. Далее определимся с наборами, содержащими стрит. Комбинация из шести карт, содержащая пятёрку карт от туза до десятки, встретится 4 раза (с 9, 8, 7 и 6). Каждый из пяти наборов с любым другим стритом встретится по 3 раза (исключаем карту, примыкающую сверху к последовательной пятёрке). В итоге имеем 4*1 + 3*5 = 19 комбинаций стрит. Следовательно, наборов, содержащих пару, но не содержащих стриты, будет (с учётом того, что пару может иметь любая из шести карт) 6*(84 - 19) = 390.
Теперь необходимо учесть масти карт. Очевидно, что любой из 390 наборов состоит из пяти одиночных карт четырёх мастей и из С(4,2) = 6 разномастных вариантов пары. Имеем 4*4*4*4*4*6 = 6144.
Комбинации флеш (уже без стрит и роял) соберём из трёх слагаемых. Шесть карт одной масти, одна из которых имеет пару; пять карт одной масти и отдельная пара; пять карт одной масти, включающую одну парную. В сумме это даёт известное нам число Д, которое и отнимаем от 6144. Далее перемножаем 390 и 5940. Итог перемножения 2316600 делим на С(36,7) и переводим в проценты: 27,75%.
Мы получили любопытную ситуацию: две пары встречаются чаще чем одна пара (более слабая комбинация). Почему же тогда их не поменяли местами (как это было сделано с флешем и фул-хаусом, с тройкой и стритом)? Ответ очевиден: игроки бы тогда выкидывали одну из двух пар. Здесь более логичный вариант - понизить значимость одиночных пар. Имея комбинацию одна пара, игрок должен воспринимать её так же, как кикер. При этом, конечно, даже две шестёрки остаются весомее одного туза.
Кикер
Не выпала ни одна из выигрышных комбинаций, поэтому победитель определяется по старшей карте. Здесь, для нахождения вероятности, можно было бы из общего числа комбинаций вычесть все представленные выше. Но поступим иначе и посчитаем кикер так же, как и всё остальное.
Итак, чтобы исключить пары, тройки и четвёрки, посчитаем только наборы из карт разного достоинства: С(9,7) = 36. Чтобы убрать отсюда ещё и все стриты, определимся с числом 7-карточных наборов, содержащих стрит. Один набор (от туза до десятки) встретится С(4,2) = 6 раз. Остальные пять - по С(3,2) = 3 раза. Общее их число равно 1*6 + 5*3 = 21. В итоге у нас осталось только 15 комбинаций не содержащих стрита (в том числе и одномастного стрита).
Каждая из семи карт в этих 15 комбинациях может иметь одну из четырёх мастей, поэтому надо перемножить четвёрку семь раз. Однако необходимо учесть ещё и появление комбинаций, содержащих флеш. Семь карт, шесть карт и пять карт одной масти в сумме дают нам знакомое число Ф. Из четвёрки в седьмой степени вычитаем Ф и получаем 15540, далее умножаем на пятнадцать: 233100. Делим на 8347680 и переводим в проценты - 2,79%.
Все расчёты (для проверки на отсутствие ошибок) производились вначале для 52-карточной колоды, лишь затем переводились в колоду из 36 карт. Вы можете сделать обратный перевод и самостоятельно рассчитать вероятности комбинаций для классического Холдема. Выполнив это домашнее задание, вы получите таблицу для Техасского холдема:
В последнее время 6-плюс холдем вышел за пределы сети iPoker, игра стала интересовать большее количество игроков. Поэтому решил посчитать ещё некоторые вероятности для этой игры.
Получить на руки пару - 8,6%
Получить на руки конкретную пару (AA) - 0,95%
Попадание пары в сет на флопе - 18%
Получить на руки одномастные карты - 23%
Попадание одномастной руки во флеш на флопе - 0,6%
Попадание одномастной руки во флеш-дро на флопе - 9,5%
Получить на руки конкретные непарные карты (AK) - 2,5%
Попадание непарной руки (AK) в фул-хаус на флопе - 0,3%
Попадание непарной руки в две пары на флопе - 4,2%
Получить на руки конкретный одномастный коннектор (JT) - 0,63%
Попадание коннектора в стрит на флопе - 4,3%
Попадание коннектора в двухсторонний стрит-дро на флопе - 21%
Поймать конкретную карту (Q пик) на тёрне (1 аут) - 3,2%
Поймать 1 аут на ривере - 3,3%
Поймать 1 аут на тёрне и ривере - 6,4%
Собрать фул-хаус из двух пар (4 аута) на тёрне и ривере - 24%
Собрать флеш из флеш-дро (5 аутов) на тёрне и ривере - 30%
Собрать стрит из стрит-дро (8 аутов) на тёрне и ривере - 46%
Шенин Игорь Александрович
http://samlib.ru/s/shenin_i_a/
27 апреля 2016
(последняя редакция 11 ноября 2018)