Аннотация: Тензор энергии-импульса гравитационного поля, новые строительные элементы для функции действия, несимметричные метрические тензора.
ВЯЧЕСЛАВ ТЕЛЬНИН
О ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИЯ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ.
В современной теоретической физике важное место занимает функция действия системы полей. Когда она построена, то из нее вариационными методами извлекается много информации о системе. Например - уравнения для полей, тензор энергии-импульса (ТЭИ), тензор момента количества движения (ТМКД).
Строительными элементами для функции действия теперь являются : оператор взятия производной по координате, поля, взятые из нашего 4-мерного пространства (векторное, электромагнитное), из спиноров (фермионы), из скаляров, а также метрический тензор нашего пространства (гравитационное поле).
Для всех этих типов полей построены функции действия. Но с извлечением информации из них имеются проблемы. Например, для получения ТЭИ векторного, электромагнитного, спинорного, скалярного полей успешно применялась первая теорема Нетер. Но попытка применить ее к гравитационному полю потерпела неудачу. Получился не ТЭИ, а псевдотензор.
Возможно причина вот в чем. Лагранжианы и векторного, и электромагнитного, и спинорного, и скалярного полей содержали лишь первые производные от полей. И в первой теореме Нетер учитывали тоже только первые производные. Было соответствие. А лагранжиан гравитационного поля содержит кроме первых производных также и вторые. И поэтому в первой теореме Нетер надо учитывать кроме первых и вторые производные от полей. А до сих пор по инерции учитывали только первые. И получилось несоответствие. Полученное выражение оказалось дефектным. Чтобы восстановить соответствие мной был проделан учет вторых производных.
Следует заметить, что в первой теореме Нетер вывод идет не конкретно для ТЭИ, а сразу для нескольких сохраняющихся во времени величин. И поэтому, после учета вторых производных, сразу получаются правильные выражения и для остальных величин - полного ТМКД (спинового и орбитального), электрического заряда, и других. Подробно о первой теореме Нетер написано в книге Н.Н. Боголюбова, Д.В. Ширкова "Введение в теорию квантованных полей" 1984 года издания. А учет вторых производных (а также учет кривизны пространства) при выводе первой теоремы Нетер приведен на сайте http://telnin.narod.ru в части 2.
Интересно, что для получения ТЭИ без первой теоремы Нетер кем-то был найден метод варьирования функции действия по метрическому тензору. Интересно было бы узнать - кто его разработал, когда ? И сравнить его с первой теоремой Нетер, которая датируется 1918 годом.
Но этот метод более ограничен чем первая теорема Нетер. Для гравитационного поля он совсем не работает. А ТМКД он вообще не дает.
В книге Н.Н. Боголюбова, Д.В. Ширкова "Введение в теорию квантованных полей" 1984 года на основе выражений для ТЭИ и ТМКД (полученных через первую теорему Нетер) для классических полей (скалярного, векторного, электромагнитного, спинорного) проведено квантование этих полей на основе принципа соответствия и без обращения к каноническому формализму. Теперь же - после учета вторых производных и кривизны пространства в первой теореме Нетер - можно получить выражения для ТЭИ и ТМКД гравитационного поля и на их основе проквантовать по принципу соответствия и гравитационное поле.
Выше были перечислены строительные элементы для функции действия, применяемые в настоящее время. Но список строительных элементов можно расширить путем рассмотрения новой математической операции возведения многомерного векторного пространства в рациональную степень (если позволяет размерность пространства). Само это многомерное пространство можно считать обобщением нашего 4-мерного пространства. И тогда вектора, взятые из него, будут строительными элементами для новой функции действия. И вектора из результирующего пространства тоже можно использовать для этой цели. Сюда же зачислим и метрические тензора обоих пространств. Можно ввести еще понятие алгебраического тензора - он определяет алгебру векторов пространства. Алгебраические тензора обоих пространств тоже можно использовать для построения новой функции действия. И последний новый элемент - это КОСБАЗы (Коэффициенты Связи БАЗисов обоих пространств). Все эти элементы подробно рассмотрены на сайте http://telnin.narod.ru в части 1.
Из величин с индексами с помощью сверток по индексам строится скаляр. Из этого скаляра и определителя метрического тензора исходного пространства образуется лагранжиан для новой функции действия. А уж из него обычным способом получим уравнения для новых полей, и ТЭИ, и ТМКД - применив первую теорему Нетер (учтя, если надо, и третьи, и четвертые, и ... произвводные). И далее проквантуем новые поля по принципу соответствия. Такова схема построения и использования функции действия для новых (да и старых) полей.
Напоследок упомянем еще одну черту сайта http://telnin.narod.ru - это построение функции действия гравитационного поля для несимметричных метрических тензоров (Часть 3).