Первая математическая операция известная человеку - это сложение. Обозначим ее так: a [1] b = a + b.
Вторая операция - это умножение. Обозначим ее так : a [2] b = a * b.
И третья известная операция - это возведение в степень. Обозначим ее так : a [3] b - a в степени b.
.
Теперь посмотрим что общего у этих операций. Операцию умножения можно выразить через операцию сложения : a [2] n = a + ... + a + a где n слагаемых a.
Операцию возведения в степень можно выразить через операцию умножения :
a [3] n = a * ... * a * a где n сомножителей a.
Эти обе формулы можно записать в виде :
a [k+1] n = a [k] ... [k] a [k] a .где величина a встречается n раз. Эту формулу можно обобщить и на k больше 2. Только надо еще расставить скобки :
a [k+1] n = a [k] ( ... (a [k] (a [k] a))...)
Тогда, например, мы сможем выразить новую - четвертую - операцию через третью операцию :
a [4] 3 = a [3] (a [3] a)
Бесконечности и нули на числовой оси.
Всякое число есть решение некого уравнения. Например, уравнение 1 + х = 1 имеет решение х = 1-1 = n1. Где n1 - обычный ноль. Мы назовем его первым нулем. Одним из его замечательных свойств является следующее :
-n1 = -1+1 = +1-1 = + n1 , то есть - n1 = + n1.
Рассмотрим теперь уравнение х + 1 = х. Из него получаем : х - х = 1 . х * (1 - 1) = 1
х * n1 = 1.. N1 = 1/n1.. х = N1.. Видно что число N1 - это бесконечно большое число. Мы назовем его первой бесконечностью. И одним из его замечательных свойств является следующее :
-N1 = - 1/n1 = 1/(-n1) = 1/n1 = N1 , то есть - N1 = + N1
.
Построим теперь по первой бесконечности вторую так : N2 = 2 [3] N1. И определим второй ноль так : n2 = 1/N2. По построению имеем N2>N1. А, раз n1 = 1/N1, то и n1>n2.
Одним из замечательных свойств N2 и n2 является следующее :
То есть N2 является решением уравнения х + х = х . А раз n2 = N2, то n2 является решением тоже этого уравнения.
.
Построим теперь по второй бесконечности третью так : N3 = 2 [3] N2. И определим третий ноль так : n3 = 1/N3. По построению имеем N3>N2. Отсюда имеем n3<n2.
Взглянем теперь на замечательные (топологические) свойства N3 и n3.
То есть n3 является решением того же уравнения что и N3.
Кроме того, решением этого же уравнения является и 1. Одно уравнение х * х = х определяет три числа : n3, 1, N3. Хоть метрически эти числа лежат в разных местах числовой оси, но топологически они совпадают.
.
Точно так же и числа N2 и n2. Метрически они тоже в разных местах числовой оси, но топологически совпадают.
.
А как быть с -N2 и -n2 ? Они тоже являются решением уравнения х + х = х. И, раз n2 = N2, то и -n2 = -N2. Но N2 и -N2 топологически не совпадают, как и n2 и -n2. То есть если числа есть решения одного уравнения, то это не гарантирует их топологического совпадения.