Учитель Александр Ефимович. Системы исчисления

Учитель Александр Ефимович : другие произведения.

Системы исчисления

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]

Ссылки:

Оставить комментарий © Copyright Учитель Александр Ефимович (uchitel@012.net.il) Размещен: 26/10/2009, изменен: 04/09/2016. 54k. Статистика. Очерк: Иллюстрации/приложения: 15 шт. Скачать FB2		Оценка: *2.707** Ваша оценка:
Аннотация: Двенадцать лет в восьмеричной системе исчисления. Аркадий и Борис Стругацкие, "Хромая судьба". Мальчик-вундеркинд Стругацких был, надо полагать, из племени северных паме, который так бы и назвал свой возраст: kara tenhiuŋ nuji - "первая восьмерка (и) два".

Системы исчисления

Двенадцать лет в восьмеричной системе исчисления.

Аркадий и Борис Стругацкие, "Хромая судьба". Мальчик-вундеркинд Стругацких был, надо полагать, из племени северных паме, который так бы и назвал свой возраст: kara tenhiuŋ nuji - "первая восьмерка (и) два".

Под системами исчисления я имею здесь в виду три разные вещи: системы образования числительных в разных естественных языках мира, системы записи чисел (как позиционные, так и не позиционные) и различные системы счетных единиц для счета предметов, отрезков времени, всевозможных мер и т. д. Разумеется, в математике возможно бесконечное число систем исчисления, но реально на Земле использовали когда-либо в одном или нескольких из этих смыслов всего 18 таких систем. Три из них основаны на числе пальцев: пятеричная (на одной руке), десятичная (на двух руках) и двадцатеричная (на руках и ногах), две - на счете промежутков между пальцами: четверичная (на одной руке) и восьмеричная (на двух руках), и еще три - на общем числе частей тела: пятнадцатеричная, шестнадцатеричная (с одной стороны) и двадцатесемеречная (с двух сторон). Четверичная система также может восходить к числу конечностей у людей и животных. Еще две системы - астрономического происхождения: семеричная - по числу видимых "планет" в геоцентрической системе - и двенадцатеричная - по числу лунных месяцев в солнечном году. Происхождение остальных восьми - не ясно: двоичная, троичная, шестеричная, девятеричная, тринадцатеричная, восемнадцатеричная, coроковичная и шестидесятеричная. Расcмотрим их всех по-порядку. Системы исчисления на базе 24, 25 и 32 я не рассматриваю отдельно, поскольку они производны от четверичной и пятеричной.

Двоичная система числительных довольно широко распространена среди языков Новой Гвинеи и аборигенов Австралии. Вот несколько примеров чистой двоичной системы в языках Новой Гвинеи:

Southern Kiwai

1 neis

2 netewa

3 netewa nao

4 netewa netewa

5 netewa netewa nao

Sissano

1 puntanen

2 eltin

3 eltin puntanen

4 eltin eltin

5 eltin eltin puntanen

А вот пример комбинации двоичной и пятеричной систем в языке нуггубую в Австралии:

Nuggubuyu

1 anjbadj

2 wulawa

3 wulanjbadj

4 wulawulal

5 marangandjbugidj

Двоичные цифровые системы употреблялись для гадания в древнем Китае и у народа йоруба в Западной Африке. По китайской системе И Чен триграммами и гексаграммами, состоящими из двух знаков - горизонтальной черты и такой же черты, но с пробелом в середине - можно записывать числа до 8 и 64. Четыре таких триграммы изображены на современном флаге Южной Кореи, а старый флаг Южного Вьетнама изображал одну такую триграмму. По системе ифа у йоруба тетраграммами из двух знаков - вертикальной черты и пары таких черт - можно записывать числа до 16. Система И Чен происходит от гадания по трещинам на костях, бросаемых в огонь, а система ифа - от гадания по разбросанным пучкам прутьев. Древнеегипетская система записи дробей "глаз Гора" тоже была двоичной, поскольку шесть частей глаза обозначали дроби в возрастающих степенях двух: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64.

Обычай считать парами был широко распространен в древнем мире. Так было принято считать упряжки быков, ослов и лошадей: угаритское smd, греческое zeugos, латинское jugum. Древние евреи считали пары жертвенных голубей "гнездами" (киним), и этому виду жертвоприношений посвящен специальный трактат Мишны. Римская мера площади centuria ("сотня") состояла из 200 jugera - участков земли, которые упряжка быков могла вспахать за день, потому что она делилась на 100 двухъюгерных участков - heredia ("наследство").

В современном мире, разумеется, двоичная система записи цифр получила широчайшее распространение благодаря компьютерной технике.

Числительные формируются по троичной системе в языке вингей на Новой Гвинее, но не последовательно, поскольку числами третьего и четвертого порядка там служат 6 и 12, а не 9 и 27.

Wingei

1 nawurak

2 vétik

3 kupuk

4 kupukiva

5 kupuk'etik

6 taabak (рука)

7 taabak kaayek

8 taabak kaayek vétik

9 taabak kaayek kupik

10 vétik taaba vétik

11 nawurak taaba vétik

12 taaba vétik (две руки)

Троичная цифровая система была разработана в древнем Китае на рубеже первого века до н. э. и первого века н. э. как альтернатива двоичной системе И Чен. Тетраграммами, состоящими из трех знаков - горизонтальной черты, черты с пробелом и черты с двумя пробелами - можно записывать цифры до 256.

Четверичная система числительных существовала в ныне вымерших языках группы чумаш в Северной Калифорнии:

Chumash (1)pak'a (2)ishkóm' (3)masix (4)skum'u (5)yitipak'a (6)yitishkóm' (7)yitimasix

Ventureño (1)paqueet (2)eshcóm (3)maség (4)scumú (5)itipaqués (6)yetishcóm (7)itimaség

Многие языки Новой Гвинеи тоже ее используют. Вот некоторые примеры:

Kewa

______________________________________________

1 pameda

2 laapo

3 repo

4 ki рука

5 kode большой палец

6 kode laapo два больших пальца

7 kode repo три больших пальца

8 ki laapo две руки

9 ki laapo na kode две руки и большой палец

10 ki laapo kode laapo две руки, два больших пальца

11 ki laapo na kode repo две руки и три больших пальца

12 ki repo три руки

Wogeo

_________________________________

1 ta

2 ru

3 tol

4 kwik

5 kwik bo koba

6 kwik ba rago

7 kwik be tol

8 kiki ru

В двух языках четверичная система последовательно используется для формирования числительных более высокого порядка: в языке каколи на Новой Гвинее и в языке нгити в Северном Конго. В языке каколи после 48 четверичная система превращается в систему исчисления на базе 24:

Kakoli

1 telu

2 talu

3 yepoko

4 kise

5 telupakara

6 talupakara

7 yepukupakara

8 engaki

9 rureponga telu

10 rureponga talu

11 rureponga yepoko

12 rurepo

13 malapunga telu

14 malapunga talu

15 malpunga yepoko

16 malapu

17 supunga telu

18 supunga talu

19 supunga yepoko

20 supu

21 tokapunga telu

22 tokapunga talu

23 tokapunga yepoko

24 tokapu

25 alapunga telu

26 alapunga talu

27 alapunga yepoko

28 alapu

29 polangipunga telu

30 polangipunga talu

31 polangipunga yepoko

32 polangipu

48 tokapu talu (24x2)

72 tokapu yepoko (24x3)

576 tokapu tokapu (24x24)

А в языке нгити четверичная система после 64 уступает место системе на базе 32:

Ngiti

Number Numeral

1 atdí

2 ɔyɔ

3 ìbhu

4 ìfɔ

8 àrù

12 otsi

16 ɔpi

20 àbà

24 àròtsí

28 àdzòro

32 wǎdhì

64 ɔyɔ wǎdhì

96 ìbhu wǎdhì

128 ìfɔ wǎdhì

Обычай считать четверками широко распространен в австронезийских языках. В Индонезии принято считать "собаками" (асу) по числу ног, так что 200 свиней там называются "50 собак".

Система летоисчисления по Олимпиадам, принятая в Древней Греции, тоже была основана на четверичном принципе, поскольку Олимпийские игры происходили раз в четыре года.

Пятеричная система образования числительных первого десятка реконструируется для шумерского языка:

1 aš, diš, dili

2 min

3 eš

4 limmu

5 ia

6 àš (ia-aš)

7 imin (ia-min)

8 ussu (ia-eš)

9 ilimmu (ia-limmu)

10 u

Среди живых языков она распространена в мон-кхмерских языках в Юго-Восточной Азии, в языке волоф в Западной Африке, в некоторых кой-санских языках Южной Африки, в языках группы тупи-гуарани и аравакской группы в Южной Америке и во многих языках Новой Гвинеи и Австралии. Вот некоторые примеры:

Азия:

Khmer

1 muŏy

2 pi

3 bei

4 buŏn

5 prăm

6 prăm muŏy

7 prăm pi

8 prăm bei

9 prăm buŏn

10 dâp

Африка:

Wolof

Number Reading Meaning

1 benna 1

2 ñaar 2

3 ñetta 3

4 ñenent 4

5 juróom 5

6 juróom benna 5 + 1

7 juróom ñaar 5 + 2

8 juróom ñetta 5 + 3

9 juróom ñenent 5 + 4

10 fukka 10

Sandawe (1)ts'exe (2)kiso-x (3)somki-x (4)haka-x (5)kwa?ana (6)kwa?ana danda ts'ex (7)kwa?ana danda kiso-x (8)kwa?ana danda somki-x (9)kwa?ana danda haka-x (10)kom

Америка:

Guaraní

1 peteῖ

2 mocõi

3 mbohapy

4 irundy

5 po (рука)

6 po'aripeteῖ

7 po'arimocõi

8 idundy'ari irundy

9 po'ari irundy

10 pomocõi (две руки)

Нетрудно заметить, что число 8 образовано по четверичной, а не пятеричной системе.

Новая Гвинея:

Seimat

________________________

1 tehu

2 huohu

3 toluhu

4 hinalo

5 tepanim

6 tepanim tehu

7 tepanim huohu

8 tepanim toluhu

9 tepanim hinalo

10 huopanim

Только в одном языке аборигенов Австралии гумач пятеричная система последовательно используется до третьего порядка, а затем переходит в систему на базе 25:

Gumatj

Number Numeral

1 wanggany

2 marrma

3 lurrkun

4 dambumiriw

5 wanggany rulu

10 marrma rulu

15 lurrkun rulu

20 dambumiriw rulu

25 dambumirri rulu

50 marrma dambumirri rulu

75 lurrkun dambumirri rulu

100 dambumiriw dambumirri rulu

125 dambumirri dambumirri rulu

625 dambumirri dambumirri dambumirri rulu

Старейшей цифровой системой, построенной на комбинации двух цифр: 1 и 5 - была цифровая система "культуры полей погребальных урн" (Urn-field Culture) в доисторической Центральной Европе. 1 записывался там как /, а 5 - как \. При помощи их комбинаций записывались числа до 29:

/ 1

// 2

/// 3

//// 4

\ 5

/\ 6

//\ 7

///\ 8

////\ 9

\\ 10

/\\ 11

//\\ 12

///\\ 13

////\\ 14

\\\ 15

/\\\ 16

//\\\ 17

///\\\ 18

////\\\ 19

\\\\ 20

/\\\\ 21

//\\\\ 22

///\\\\ 23

////\\\\ 24

\\\\\ 25

/\\\\\ 26

//\\\\\ 27

///\\\\\ 28

////\\\\\ 29

В Центральной Америке цифровая система, состоящая из знаков для единицы (точка) и пяти (горизонтальная черта) возникла в середине первого тысячелетия до н. э. в современном мексиканском штате Оахака у народа сапотеков, оттуда распространилась к так называемым ольмекам (их самоназвание неизвестно) в современном штате Веракрус, а от них к майя. Но это была уже позиционная система, построенная на двадцатеричном принципе, и при помощи этих двух знаков записывались только числа до 20.

Цифровыми системами с использованием интервалов в 5, 50, 500 и т. д. были и аттическая акрофоническая система, и система римских цифр. В древней Аттике I значило 1, греческая буква П - 5 (от гр. pente), Δ - 10 (от гр. deka), Н - 100 (от гр. hekaton, поскольку в аттическом алфавите буква эта обозначала h, как в латинском, а не долгое э, как в ионийском алфавите, принятом в Аттике с 403 г. до н. э.), Х - 1.000 (от гр. chilioi), М - 10.000 (от гр. myrias). При этом, для записи 50 дельта подвешивалась, как на виселице, под правой ножкой буквы пи. Буквы эта, хи и мю точно также подвешивались для записи 500, 5.000 и 50.000.

Шестеричная система числительных реконструируется для прото-финно-угорского языка, поскольку только шесть первых числительных в этих языках сводятся к общему прототипу:

Number Baltic-Finnic Volgan Permic Ugric Proto-F-U

Finnish Inari Sami Erzya Meadow Mari Komi Mansi Hungarian

1 yksi ohta vejke ikte öti äkwa egy *ükte

2 kaksi kyeh´ti kavto kokət kyk kityg kettő/két *kakta

3 kolme kulma kolmo kumət kujim hurum három, harm- *kolme

4 neljä nelji ńiľe nələt ńoľ nila négy *neljä

5 viisi vitta vete wizət vit ät öt *viite

6 kuusi kutta koto kuðət kvait hot hat *kuute

7 seitsemän čiččam śiśem šəmət sizym sat hét

8 kahdeksan käävci kavkso kandaš(e) kökjamys ńololow nyolc

9 yhdeksän oovce vejkse indeš(e) ökmys ontolow kilenc

10 kymmenen love kemeń lu das low tíz

В живых языках эта система встречается в двух языках Новой Гвинеи и, факультативно, в бретонском языке. Только в одном языке ндом на Новой Гвинее она последовательно используется для формирования всех числительных второго и третьего порядков (36):

Ndom

Number Reading Meaning

1 sas 1

2 thef 2

3 ithin 3

4 thonith 4

5 meregh 5

6 mer 6

7 mer abo sas 6 and 1

8 mer abo thef 6 and 2

9 mer abo ithin 6 and 3

10 mer abo thonith 6 and 4

11 mer abo meregh 6 and 5

12 mer an thef 6 times 2

13 mer an thef abo sas (6 times 2) and 1

18 tondor 18

19 tondor abo sas 18 and 1

24 tondor abo mer 18 and 6

25 tondor abo mer abo sas 18 and 6 and 1

36 nif 36

37 nif abo sas 36 and 1

42 nif abo mer 36 and 6

43 nif abo mer abo sas 36 and 6 and 1

54 nif abo tondor 36 and 18

55 nif abo tondor abo sas 36 and 18 and 1

72 nif thef 36 × 2

73 nif thef abo sas (36 × 2) and 1

Kimaghama

________________

1 növere, nubella

2 kave

3 pendji

4 jando

5 mado

6 turo, ibolo-nubella

7 iburo-növere

8 iburo-kave

9 iburo-pendji

10 iburo-jando

11 iburo-mado

Breton

18 triwec'h 3 × 6*

Семеричная система числительных нигде и никогда не употреблялась, но, несмотря на это, семеричная система счета существует на базе семидневной недели у евреев. В этой системе используются также числительные третьего порядка (49). Семь недель между пасхой и праздником шавуот составляют "счет снопов" (sfirat ha-omer), которые каждый день приносили в этот отрезок времени в Иерусалимский храм. Один из еврейских праздников называется лаг ба-омер - "33-ий сноп", т. е. 33-ий день в этом счете, а в христианской традиции сам праздник шавуот называется "пятидесятница". Кроме того, каждый седьмой год считается "субботним" (шнат шмита), когда все сельскохозяйственные работы были запрещены, а семь таких семилетий составляли юбилей (ювель), когда долговых рабов отпускали на волю и проводилась кассация долгов. В книге Даниила (9.25) "семьдесят седьмин" (шавуим шивим), т. е. 10 юбилеев, употребляются для расчета времени от основания Второго Храма до пришествия мессии, а в Вавилонском Талмуде (трактат Санхедрин с. 97а-б) "85 юбилеев" от сотворения мира тоже определяются как время пришествия мессии.

Счет дней недели у евреев начинается с воскресенья и ведется порядковыми числительными, кроме субботы, для которой есть специальное название (шабат). При распространении семидневной недели по Римской империи такой счет сохранился на греческом Востоке, но начало недели сместилось там на понедельник. На латинском Западе, наоборот, начало недели осталось в воскресенье, но ее дням были приданы названия семи "планет": солнца, луны, Марса, Меркурия, Юпитера, Венеры и Сатурна. У германских народов имена римских богов были заменены на германские: бог войны Марс стал Тиу, Меркурий - Одином, бог грозы Юпитер - Тором, Венера - Фрейей, а Сатурн - Локи. Поэтому названия дней недели в двух близкородственных языках: карельском, следующим православной традиции, и финском, где они заимствованы из шведского - не имеют ничего общего:

русский карельский финский

понедельник enžimänärgi (первый день) Maanantai (день луны)

вторник toinärgi (второй день) Tiistai (день Тиу)

среда kolmašpäivä (третий день) Keskiviikko (середина недели)

четверг nellišpäivä (четвертый день)Torstai (день Тора)

пятница piаtinčа (пятница) Perjantai (день Фрейи)

суббота šuovatta (суббота) Lauantai (день Локи)

воскресенье pühäpäivä (святой день) Sunnuntai (день солнца)

Обратное влияние этого процесса культурного обмена на еврейскую традицию тоже имело место. Так, планета Сатурн, которая первоначально называлась на иврите Киюн, позже получила название Шабтай - "субботняя планета", вслед за латинским названием субботы - Saturni dies ("день Сатурна").

Восьмеричная система числительных существовала в ныне мертвом языке юки в южной Калифорнии и в языках группы паме в северной Мексике:

Northern Pame

1 sante

2 nuji

3 rnu?

4 giriui

5 git∫'ai

6 teria

7 teriuhiŋ

8 tenhiuŋ

9 kara tenhiuŋ santa

10 kara tenhiuŋ nuji

11 kara tenhiuŋ rnup

12 kara tenhiuŋ giriu

13 kara tenhiuŋ git∫'ai

14 kara tenhiuŋ teria

15 kara tenhiuŋ teriuhiŋ

16 kanuje tenhiuŋ

17 kanuje tenhiuŋ sante

18 kanuje tenhiuŋ nuji

19 kanuje tenhiuŋ rnu?

20 kanuje tenhiuŋ giriu

21 kanuje tenhiuŋ git∫'ai

22 kanuje tenhiuŋ tiria

23 kanuje tenhiuŋ teriuhiŋ

24 karnu? tenhiuŋ

25 karnu? tenhiuŋ santa

26 karnu? tenhiuŋ nuji

27 karnu? tenhiuŋ rnu?

28 karnu? tenhiuŋ giriu

29 karnu? tenhiuŋ git∫'ai

30 karnu? tenhiuŋ tiria

31 karnu? tenhiuŋ tiriuhiŋ

32 girui tenhiuŋ

В древнем Риме существовала восьмидневная неделя - nundina. Слово это буквально значит "девятка", и произошло это из-за того, что дни недели римляне считали по системе инклюзивного счета, по правилам которого последний день предыдущей недели одновременно считался первым днем следующей недели. В результате, этот последний день назывался "девятым", хотя мы бы называли его восьмым.

Девятеричная система применяется в одном из диалектов языка энга на Новой Гвинее и факультативно в уэльском языке для образования числительного 18:

Enga

1 mend

2 rab

3 teb

4 kirúmend

5 juúŋk

6 togaŋk

7 karáŋk

8 tuguráb

9 tugurib

10 tuguréponjə-méndai

11 tuguréponjə-ráb

12 tuguréponjə-téb

13 tuguréponjə-gáro

Welsh

18 deunaw 2* × 9

Из-за табуирования имени Бога в еврейской традиции числа 15 и 16 пишутся в алфавитной системе цифр не как yod-hei (10+5) и йод-вав (10+6), а как тет-вав (9+6) и тет-зайн (9+7). Два еврейских праздника называются по такой буквенной записи 15-го числа двух месяцев: ту-бишват - 15 день месяца Шват ("новый год деревьев") и ту-биав - 15 день месяца Ав ("день любви").

В Центральной Америке было принято считать не только дни, но и ночи. 9 ночей составляли ночную неделю, в которой каждая ночь называлась именем одного из подземных богов. Имена этих "владык ночи" известны на языке нахуатль у ацтеков: бог ночи Ицтли или Тескатлипока, бог огня Шиутекутли, бог дождя Тлалок, бог гор Тепейоллотль, богиня земли Тласольтеотль, богиня воды Чальчиутликуэ, бог смерти Миктлантекутли, бог кукурузы Синтеотль, бог солнца Тонатиу. У майя известны иероглифы девяти "владык ночи", но не их чтения. У ацтеков ночная неделя начиналась с ночи, посвященной богу огня, а у майя - богу ночи. Комбинация ночной недели с 13-дневной дневной неделей и с семью "планетами" составляла 819-дневный цикл (9х13х7).

Десятичная система исчисления - самая распространенная в языках мира. На десятичной основе строятся числительные большинства индоевропейских (кроме кельтских), семито-хамитских, урало-алтайских, китайско-тибетских, австронезийских языков, языков банту в Африке, кечуа и аймара в Южной Америке, на-дене и алгонкинских в Северной Америке и многих других языков. До самых высоких порядков счет по десятичной системе доходит в микронезийских и в некоторых полинезийских языках, где он использовался для подсчета кокосовых орехов. В микронезийском языке нукуоро счет доходит до 10.000.000.000!

Nukuoro

10 hulu

100 lau

1.000 mano

10.000 (se)mada

100.000 (se)guli

1.000.000 (se)loo

10.000.000 (se)ngaa

100.000.000 (se)muna

1.000.000.000 (se)bugi

10.000.000.000 (se)baga

Неудивительно, что большинство цифровых систем тоже следовали этой модели. Десятичными были древнеегипетская, минойская (на Крите и позже в Микенской Греции) и лувийская (в Малой Азии) цифровые системы. Во всех них были специальные цифры для 1, 10, 100, 1.000, 10.000, а в Древнем Египте также и для 100.000 и 1.000.000. Каждая из них повторялась до 9 раз для передачи числительных больше единицы, десятка, сотни и т. д.

Хотя система цифр в шумерской клинописи была шестидесятеричной, она использовала только две цифры: 1 и 10, при помощи которых записывались все числа до 59. Кроме того, при заимствовании клинописи в семитский аккадский язык, система числительных которого построена на десятичном принципе, уже в 27 веке до н. э. была создана альтернативная десятичная цифровая система. В ней число 100 писалось как 1 МЕ-АТ или 1 МЕ (от аккадского me'atu - "сто"), а 1.000 - как 1 LIM (от аккадского limu - "тысяча"). В самой Месопотамии эта система не удержалась, и шестидесятеричная система господствовала там до конца вавилонской цивилизации, но на северо-западной периферии клинописной культуры - в Ассирии, Сирии и Малой Азии - эта система цифр прижилась и получила широкое распространение.

Десятичными были и алфавитные цифровые системы, берущие начало от западно-семитского консонантного алфавита. Буквы первого десятка в них обозначают единицы, буквы второго десятка - десятки, а буквы третьего десятка - сотни. Алфавитные системы были отчасти позиционными, поскольку те же буквы первого десятка в начальной позиции обозначали уже тысячи. При заимствовании финикийского алфавита греками, часть букв была пропущена: вав с числовым значение 6, цадик с числовым значением 90 и коф с числовым значением 100. Однако, в числовом значении эти пропущенные буквы продолжали употребляться, хотя и не совсем в том же порядке: вав, которую греки называли стигма, сохранила свое числовое значение, цадик, которую греки называли сампи, получила числовое значение 900, а коф, которую греки называли коппа, получила числовое значение 90. При создании кириллицы на базе греческого алфавита, из этих букв сохранилась только стигма, а числовые значения 90 и 900 были приданы буквам Ч и Ц. Поскольку цифровая система кириллицы следует порядку букв греческого алфавита, добавленные буквы Б и Ж не получили числового значения: буква Б - просто пропущена, а вместо Ж фигурирует буква стигма с числовым значением 6. У евреев алфавитная система цифр продолжает широко применяться для обозначения лет "от сотворения мира", дней лунных месяцев, пагинации книг и т. д. Причем на разговорном иврите записанные таким способом числа читаются в их буквенной передаче. Например, текущий 5770 год "от сотворения мира" называется без индикации тысячелетия годом таш'а - т. е. тав-шин-айн (400+300+70). Алфавитные цифровые системы также лежат в основе так называемой гематрии (от гр. геометрия) - вычисления числового значения слов. Сама эта идея базируется на доктрине неопифагоризма, стремившейся к числовой редукции всех существующих понятий. Самым известным примером такого вычисления служит "число зверя" 666 из Апокалипсиса (13.18), основанное, по всей видимости, на числовом значении имени Нерон Цезарь, записанного еврейским консонантным письмом: nrwn qsr - 50+200+6+50+100+60+200=666.

Китайская цифровая система комбинировала принципы древних средиземноморских и алфавитных цифровых систем. В Китае применяли десять специальных знаков для единиц, как в алфавитных системах, но для следующих порядков существовало по одному знаку для каждого порядка, как в древне-средиземноморских системах. При этом знаки для десятков, сотен, тысяч и т. д. не повторялись до 9 раз, а комбинировались с различными множителями. Так что, например, число 5742 записывалось как 5х1.000+7х100+4х10+2.

Такой же была по-видимому числовая система Древней Индии, лежащая в основе современной позиционной индо-арабской системы записи чисел. Десять знаков для чисел первого десятка появляются там впервые в надписях царя Ашоки в третьем веке до н. э., знак для 0 был изобретен при династии Гупта в четвертом веке н. э., но сама позиционная десятичная система была разработана уже в мусульманской Индии в девятом веке. Арабы разнесли ее по всему Ближнему Востоку. До Европы эта система добралась в 13 веке. Значение этой системы состояло не только в удобстве вычислений, но и в переходе от римской инклюзивной системы счета, в которой последняя единица первого слагаемого одновременно считалась первой единицей второго слагаемого, к современной эксклюзивной системе. Индо-арабская позиционная система записи чисел произвела в Европе огромное впечатление. Особенно поражающим воображение была возможность бесконечного счета при помощи знака для 0. Около 1290 г. Моисей из Леона придал в Испании этой цифровой системе теологическую трактовку в своей книге Zohar ("Сияние"), лежащей в основе каббалы. Десять чисел первого порядка объявлены там десятью сфирот - "исчислений" Божественной сущности. Соответствующая 0 десятая сфира называется эйн соф - "бесконечность". В действительности, разумеется, десятичный характер индо-арабской позиционной системы объясняется всего лишь тем, что все ее создатели говорили на языках с десятичной системой формирования числительных.

Двенадцатеричная система встречается в языке чемпанг в Непале, в языке махль на острове Миникой в Индии и в языках так называемого "среднего пояса" Нигерии: джанджи, гбири-нигару и одном из диалектов (нимбия) языка гвандара. В последнем двенадцатеричная система последовательно применяется до третьего порядка (144):

Nimbia

Number Reading Meaning

1 da 1

2 bi 2

3 ugu 3

4 furu 4

5 biyar 5

6 shide 6

7 bo'o 7

8 tager 8

9 tanran 9

10 gwom 10

11 kwada 11

12 tuni 12

13 tuni mbe da 12 and 1

24 gume bi 12* × 2

25 gume bi ni da (12* × 2) and 1

36 gume ugu 12* × 3

37 gume ugu ni da (12* × 3) and 1

48 gume furu 12* × 4

49 gume furu ni da (12* × 4) and 1

60 gume biyar 12* × 5

61 gume biyar ni da (12* × 5) and 1

72 gume shide 12* × 6

73 gume shide ni da (12* × 6) and 1

84 gume bo'o 12* × 7

85 gume bo'o ni da (12* × 7) and 1

96 gume tager 12* × 8

97 gume tager ni da (12* × 8) and 1

143 gume kwada ni kwada (12* × 11) and 11

144 wo 144 (12x12)

Двенадцатеричная система в современных английском и немецком языках - вторичного происхождения - в древнегерманском языке ее не было. По-видимому, она возникла там под влиянием обычая считать "дюжинами". Третий порядок называется в этом счете гросс (144), а четвертый - масса (1728). Сам же этот обычай возник, по всей видимости, на базе двенадцатеричного характера большинства европейских единиц измерения. Произошло это, в свою очередь, из-за удобства такого счета для всевозможных ежемесячных платежей. Так, например, римская унция значила в числе прочего 1/12%, т. е. учетную ставку в 1% годовых. Эта унция также лежала в основе римской системы записи дробей, в которой точкой обозначалась 1/12, а половина - буквой S.

На двенадцатеричной системе основано деление суток на 24 часа: 12 часов дня и 12 часов ночи. С изобретением механических часов эти отрезки времени стали равными, но римский час, принятый и в Средние Века, был длиннее летом и короче зимой, в зависимости от продолжительности дня от рассвета до заката.

Тринадцатеричная система, строго говоря, нигде и никогда не применялась. Но, коль скоро, я упомянул здесь семи-, восьми- и девятидневные недели, нельзя пройти мимо и тринадцатидневной недели у древних майя. В комбинации с двадцатидневным месяцем эта неделя составляла 260-дневный цикл (13х20) цолькин - единственный элемент культуры майя, оставшийся в ходу у современных индейцев Мексики и Гватемалы.

Пятнадцатеричная система числительных у аборигенов Австралии вочобаллук и в языке хули на Новой Гвинее основана на обычае считать по частям тела от пальцев руки до головы, широко распространенном в этом регионе:

Wotjoballuk

число название буквальный перевод значение

1 Giti mŭnya "малая рука" мизинец

2 Gaiŭp mŭnya "одна рука" безымянный палец

3 Marŭng mŭnya "сосна руки" средний палец

4 Yolop-yolop mŭnya "цель руки" указательный палец

5 Bap mŭnya "мать руки" большой палец

6 Dart gŭr "пустота верхней части руки" внутренняя часть локтя

7 Boibŭn "малое утолщение" нижняя часть руки

8 Bun-darti "пустое место" локоть

9 Gengen dartchŭk "повязка на верхней части руки" бицепс

10 Borporŭng плечо

11 Jarak-gourn "тростник шеи" шея

12 Nerŭp wrembŭl "конец уха" мочка уха

13 Wŭrt wrembŭl'' "над ухом" висок

14 Doke doke "движение" 0 (!)

15 Det det "тяжесть" макушка

Пятнадцатеричная система служит для образования числительных до третьего порядка (225) в языке хули на Новой Гвинее:

Huli

Number Reading Meaning

1 mbira 1 obj.

2 kira 2 obj.

3 tebira 3* obj.

4 maria 4 obj.

5 duria 5* obj.

6 waragaria 6 obj.

7 karia 7 obj.

8 halira 8 obj.

9 dira 9 obj.

10 pira 10 obj.

11 bearia 11 obj.

12 hombearia 12 obj.

13 haleria 13 obj.

14 deria 14 obj.

15 nguira 15 obj.

16 nguira-ni mbira 15 obj. and 1 obj.

30 ngui ki 15 × 2

31 ngui ki, ngui tebone-gonaga mbira (15 × 2) + (1 obj. of the 3rd 15)

45 ngui tebo 15 × 3

46 ngui tebo, ngui mane-gonaga mbira (15 × 3) + (1 obj. of the 4th 15)

60 ngui ma 15 × 4

61 ngui ma, ngui dauni-gonaga mbira (15 × 4) + (1 obj. of the 5th 15)

75 ngui dau 15 × 5

76 ngui dau, ngui waragane-gonaga mbira (15 × 5) + (1 obj. of the 6th 15)

90 ngui waraga 15 × 6

91 ngui waraga, ngui kane-gonaga mbira (15 × 6) + (1 obj. of the 7th 15)

225 ngui ngui 15×15

Система счета лет по 15-летним циклам - индикциям впервые появилась в Египте в 297 г. и распространилась по всей Римской империи с 312 г. Она была основана на 15-летней разверстке налогов, введенной Диоклетианом в конце третьего века. Такой счет лет был широко распространен также и в Средние Века, а в канцелярии Священной Римской империи он просуществовал вплоть до ее роспуска в 1806 г. Индикция начиналась 1-го сентября, и отсюда ведет начало византийский Новый Год, принятый в России до 1700 г.

Не исключено, что пятнадцатеричная система числительных первого порядка в современном испанском языке ведет начало от этой 15-летней разверстки налогов:

Spanish: (11) onze, (12) doce, (13) trece, (14) catorce, (15) quince, (16) diez y seis, (17) diez y siete, (18) diez y ocho, (19) diez y nueve.

На той же системе счета по частям тела, что и пятнадцатеричная система вочобаллук, построена шестнадцатеричная система числительных у австралийских аборигенов вурунджери:

Wurundjeri

число название буквальное значение часть тела

1 Būbūpi-mŭringya "дитя руки" мизинец

2 Būláto-rável "немного больше" безымянный палец

3 Būláto "еще больше" средний палец

4 Urnŭng-mélŭk (указывающий)" в сторону личинок" (живущих в дуплах эвкалипта) указательный палец

5 Babŭngyi-mŭringya "мать руки" большой палец

6 Krauel запястье

7 Ngŭrŭmbul "вилка" точка расхождения лучевого сухожилия

8 Jerauabil лучевые мышцы

9 Thánbŭr "круглое место" локоть

10 Berbert "браслет из шкуры опоссума" (указывает на место его ношения) бицепс

11 Wūling плечо

12 Krakerap "место мешка" ключица

13 Gūrnbert "ожерелье" шея

14 Kŭrnagor "конец холма" мочка уха

15 Ngárabŭl "гребень холма" боковая часть черепа

16 Bŭndale "место пореза" (в знак траура) макушка

Сам счет здесь, как видим, - несколько иной, а части тела названы не прямо, а фигуративно.

По шестнадцатеричной системе строятся и числительные первого порядка в современном французском языке:

French: onze(11), douze(12), treize(13), quatorze(14), quinze(15), seize(16), dix-sept(17), dix-huit(18), dix-neuf(19).

Число 18 пишется в еврейской алфавитной системе как йод-хет (10+8). Прочитанное в обратном порядке, это буквосочетание составляет слово хай - "живой". На этом основан еврейский обычай дарить на семейные торжества (свадьбы, бар-мицвы, обрезание) и в пользу благотворительности деньги в суммах, кратных 18 - обычно 180 шекелей, т. е. 10 раз "живой". Число 18 в буквенной записи принято также носить на шее в виде медальона.

Второе место после десятичной по распространенности среди языков мира занимает двадцатеричная система. Она реконструируется для шумерского языка в формировании числительных, обозначающих некоторые десятки между 20 и 60:

Sumerian

20 niš

40 nimin (niš- min = 20x2)

50 ninnu (niš-min-u = 20x2+10)

Среди живых языков Европы двадцатеричная система встречается в баскском языке, откуда она была, скорее всего, заимствована во все кельтские языки, а из них попала во французский, датский, албанский и один из диалектов словенского:

Basque

20 hogei 20

30 hogei ta hamar 20 and 10

40 berrogei 2* × 20*

50 berrogei ta hamar (2* × 20*) and 10

60 hirurogei 3 × 20*

70 hirurogei ta hamar (3 × 20*) and 10

80 larrogei 4* × 20*

90 larrogei ta hamar (4* × 20*) and 10

Scotish Gaelic

20 fichead 20

30 deich air fhichead 10 on 20*

40 dà fhichead 2 × 20*

50 dà fhichead is a deich (2 × 20*) and 10

60 trì fhichead 3 × 20*

70 trì fhichead is a deich (3 × 20*) and 10

80 ceithir fhichead 4 × 20*

90 ceithir fhichead is a deich (4 × 20*) and 10

French

80 quatre-vingts 4 × 20s

90 quatre-vingt-dix 4 × 20 + 10

91 quatre-vingt-onze 4 × 20 + 11

92 quatre-vingt-douze 4 × 20 + 12

93 quatre-vingt-treize 4 × 20 + 13

94 quatre-vingt-quatorze 4 × 20 + 14

95 quatre-vingt-quinze 4 × 20 + 15

96 quatre-vingt-seize 4 × 20 + 16

Danish

Number Original Abbreviation Meaning

50 halvtredsindstyve halvtreds halv tred sinds tyve

½ 3rd times 20

(3rd ½ = 2½)

60 tresindstyve tres tre sinds tyve

3 times 20

70 halvfjerdsindstyve halvfjerds halv fjerd sinds tyve

½ 4th times 20

(4th ½ = 3½)

80 firsindstyve firs fir sinds tyve

4 times 20

90 halvfemsindstyve halvfems halv fem sinds tyve

½ 5th times 20

(5th ½ = 4½)

Albanian

20 njëzet (1x20)

40 dyzetë (2x20)

Resian dialect of Slovenian language

60 trïkart dwisti (3×20)

70 trïkart dwisti nu dësat (3x20 + 10)

80 štirikrat dwisti (4×20)

90 štirikrat dwisti nu dësat (4×20 + 10).

По двадцатеричной системе строятся числительные в языках мунда в Северной Индии, в большинстве языков Северного Кавказа (кроме аварского) в грузинском языке, в палеоазиатских языках Чукотки и Камчатки и в языке айну на острове Хоккайдо:

Georgian

20 otsi 20

30 otsdaati 20* and 10

40 ormotsi 2* × 20*

50 ormotsdaati (2* × 20*) and 10

60 samotsi 3* × 20*

70 samotsdaati (3* × 20*) and 10

80 otkhmotsi 4* × 20*

90 otkhmotsdaati (4* × 20*) and 10

Ainu

10 wanpe 10 obj.

20 hotnep 20 obj

30 wanpe etu hotnep 10 obj. to 2 × 20 obj.

40 tu hotnep 2 × 20 obj.

50 wanpe ere hotnep 10 obj. to 3 × 20 obj.

60 re hotnep 3 × 20 obj.

70 wanpe eine hotnep 10 obj. to 4 × 20 obj.

80 ine hotnep 4 × 20 obj.

90 wanpe easikne hotnep 10 obj. to 5 × 20 obj.

100 asikne hotnep 5 × 20 obj.

В Африке эта система характерна для языка йоруба в Нигерии:

Yoruba

20 ogun 20

40 ogoji 20* × 2*

60 ogota 20* × 3*

80 ogorin 20* × 4*

100 ogorun 20* × 5*

200 ogorun meji (20* × 5*) × 2

300 ogorun meta (20* × 5*) × 3

400 ogorun merin (20* × 5*) × 4

500 ogorun marun (20* × 5*) × 5

600 ogorun mefa (20* × 5*) × 6

700 ogorun meje (20* × 5*) × 7

800 ogorun mejo (20* × 5*) × 8

900 ogorun mesan (20* × 5*) × 9

Среди языков Новой Гвинеи двадцатеричная система систематически комбинируется с двоичной и пятеричной в языке аламблак:

Alamblak

1 rpat 1

2 hosf 2

3 hosfirpat 2 and 1

4 hosfihosf 2 and 2

5 tir yohtt 5 exact

6 tir yohtti rpat (5 exact) and 1

7 tir yohtti hosf (5 exact) and 2

8 tir yohtti hosfirpat (5 exact) and (2 and 1)

9 tir yohtti hosfihosf (5 exact) and (2 and 2)

10 tir hosf 5 × 2

20 yima yohtt 20 exact

30 yima yohtti tir hosf (20 exact) and (5 × 2)

40 yima hosf 20 × 2

50 yima hosfi tir hosf (20 × 2) and (5 × 2)

60 yima hosfirpat 20 × (2 and 1)

70 yima hosfirpati tir hosf (20 × (2 and 1)) and (5 × 2)

80 yima hosfihosf 20 × (2 and 2)

90 yima hosfihosfi tir hosf (20 × (2 and 2)) and (5 × 2)

100 yima tir yohtt 20 × (5 exact)

В Северной Америке двадцатеричная система распространена в эскимосско-алеутских языках, но лишь в Центральной Америке по двадцатеричной системе строятся числительные более высоких порядков, вплоть до шестой:

Maya

20 kal

400 bak

8.000 pic

160.000 calab

3.200.000 kinchil

64.000.000 alau

Nahuatl (Aztec)

20 cempoalli (1 × 20),

400 centzontli (1 × 400),

8.000 cenxiquipilli (1 × 8,000),

160.000 cempoalxiquipilli (1 × 20 × 8,000),

3.200.000 centzonxiquipilli (1 × 400 × 8,000)

64.000.000 cempoaltzonxiquipilli (1 × 20 × 400 × 8,000)

Две двадцатеричные позиционные системы цифр были созданы в той же Центральной Америке в середине первого тысячелетия до н. э.: сапотекская и миштекская. Сапотекская цифровая система уже упоминалась в связи с пятеричной системой исчисления, поскольку в ней использовались цифры для единицы (точка) и пяти (горизонтальная черта). В цифровой системе соседнего и близко родственного сапотекам народа миштеков употреблялась только одна цифра - точка, которая повторялась до 19 раз для записи числительных первого порядка в двадцатеричной системе. Обе системы пользовались также знаком для 0 в форме изображения пустой раковины, и в обеих число 20 писалось как точка и 0 (1+0). Это были старейшие в мире цифровые позиционные системы, употреблявшие знак 0. Как уже упоминалось, сапотекская цифровая система распространилась к ольмекам, а от них - к майя. Миштекская же система позже перешла к ацтекам в Центральной Мексике.

На двадцатеричной системе был также основан календарь майя. Солнечный год в нем состоял из 18 20-дневных месяцев, называвшихся виник ("человек"), 20-летие называлось катун, 400 лет - бактун, 8.000 лет - пиктун, а 160.000 лет - калабтун. В 2012 г. закончится 13-й бактун летоисчисления майя, что уже вызвало некоторые эсхатологические ожидания, а в 4772 г. закончится текущий пиктун.

Двадцатисемеричная система числительных применяется в двух языках Новой Гвинеи: телефоль и оксапмин:

Оksapmin

(1) tip^na - мизинец

(2) tipnarip - безымянный палец

(3) bum rip - средний палец

(4) h^tdip - указательный палец

(5) h^th^ta - большой палец

(6) dopa - запястье

(7) besa - нижняя часть руки

(8) kir - локоть

(9) tow^t - верхняя часть руки

(10) kata - плечо

(11) gwer - шея

(12) nata - ухо

(13) kina - глаз

(14) aruma - нос

(15) tan-kina, (16) tan-nata, (17) tan-gwer, (18) tan-kata, (19) tan-tow^t, (20) tan-kir, (21) tan-besa, (22) tan-dopa, (23) tan-tip^na, (24) tan-tipnarip, (25) tan-bum rip, (26) tan-h^tdip, (27) tan-h^th^ta - те же части тела с префиксом "правый" (tan), считаемые в обратном порядке, от глаза до запястья (22), а затем в том же порядке, что и на левой руке - от мизинца до большого пальца.

Как видим, двадцатисемеричная система исчисления у этих народов строится на той же практике счета по частям тела, что и пятнадцатеричная система у народа хули на той же Новой Гвинее, хотя сам счет не совпадает в деталях. Поэтому простых числительных первого порядка здесь только 14, а повторяются при повторном счете только 13, поскольку нос занимает ассиметричную позицию

Сороковичная система реконструируется для древнеегипетского языка, где были специальные слова для названий десятков от 10 до 40, а десятки от 50 до 90 обозначались множественным числом числительных от 5 до 9:

Egyptian

10 mḏw

20 ḏb‛ty

30 m‛b;

40 ḥm

50 dỉyw (pl. 5)

60 śỉśyw (pl. 6)

70 śfhyw (pl. 7)

80 hmnyw (pl. 8)

90 pśdyw (pl. 9)

Возможно, эта система как-то связана с 40-дневным процессом мумификации трупа (Бытие 50.3).

Сороковичная система употреблялась также в ныне мертвом кельтском языке острова Мэн:

Manx

40 daeed 40

50 jeih as daeed 10 and 40

В некоторых живых славянских языках существуют специальные слова для числительного 40: "сорок" во всех восточнославянских языках, meru в словацком и mérōv в сербском. По-видимому, это явление как-то связано со старорусскими мерами объема кратными 40: пуд в 40 фунтов, бочка в 40 ведер. В русском языке употребляется также числительное третьего порядка в этой системе: "сорок сороков".

В шумерском языке шестидесятеричная система служила для образования числительных до четвертого порядка:

Sumerian

60 giš

120 gešmin (60x2)

180 gešeš (60x3)

240 gešlimmu (60x4)

300 gešia (60x5)

360 gešaš (60x6)

420 gešumun (geš-imin = 60x7)

480 gešussu (60x8)

540 gešilimmu (60x9)

600 gešu (60x10)

3.600 šar

216.000 geššar (60x3600)

Среди живых языков эта система употребляется во французском и в языках экари и мони на Новой Гвинее:

French

60 soixante 60

70 soixante-dix 60 + 10

71 soixante-et-onze 60 and 11

72 soixante-douze 60 + 12

73 soixante-treize 60 + 13

74 soixante-quatorze 60 + 14

75 soixante-quinze 60 + 15

76 soixante-seize 60 + 16

Moni (Dzjonggoenaoe clan)

60 mendó heló

70 mendó heló àpantó àgi

80 mendó wi

90 mendó wi àpantó àginé

100 mendó ili

Шестидесятеричной была и позиционная шумеро-вавилонская система записи чисел. Как уже упоминалось, для записи чисел до 60 в ней использовались две цифры: вертикальный клин для единиц и косой клин для десятков. Существовали также специальные цифры для чисел третьего (3.600) и четвертого (216.000) порядков: ромб и перечеркнутый ромб. Число 60 же записывалось как 1 в первой позиции. Это была древнейшая позиционная система, но она имела один существенный недостаток: отсутствие знака для 0. В результате, запись 60 ничем не отличалась от единицы, 120 - от 2 и т. д. Различить их можно было только по контексту. В какой-то мере интервал использовался в значении 0. Так, число 122 записывалось как 1+1 1+1 с интервалом, а 4 - как 1+1+1+1 без интервала.

В эллинистическую эпоху вавилонскую шестидесятеричную систему заимствовали греческие математики, которые добавили к ней и знак для 0, писавшийся в форме трех маленьких кружков, соединенных горизонтальной чертой. Это была первая цифровая система с 0 в Старом Свете, но использовалась она очень ограниченно: только для астрономических вычислений. От этой эллинистической шестидесятеричной системы сохранилось деление круга на 360 градусов, деление часа на 60 минут и минуты - на 60 секунд.

Некоторые общие наблюдения

1. Обилие систем исчисления на Новой Гвинее не должно удивлять: около половины всех живых языков мира сосредоточено на этом острове.

2. Большинство систем образования числительных комбинирует несколько систем исчисления.

3. Цифровые системы, как правило, следуют за языком, хотя при культурном заимствовании такая связь может быть потеряна.

4. Системы измерения, наоборот, могут влиять на язык.

Оставить комментарий
Размещен: 26/10/2009, изменен: 04/09/2016. 54k. Статистика.
Очерк:

Связаться с программистом сайта.
Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"
Как попасть в этoт список

Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"