Полный текст статьи опубликован в журнале "Вестник науки" т.3 N 7 (16) на сайте Elibrary.ru
https://elibrary.ru/item.asp?id=38571728
Васильев Ю.Н. Уравнение Пелля (Ферма)Аннотация:Строгая зависимость между основной и обратной последовательностями образованные квадратным уравнением является решением диофантовых уравнений второй степени. "....Обратимся теперь к диофантовым уравнениям второй степени с двумя неизвестными а1х2+ а2ху + а3у2+а4х + а5у + а6 = 0 .... ...Остается рассмотреть уравнение х2- ау2 = b (5) при целом bи натуральном а, не являющимся квадратом... в этом уравнение числа а иbнатуральные.........для его решения надо обратиться к следующему частному уравнению х 2- ау2 =1 (6)Как показал Л. Эйлер, если (х1, у1) наименьшее натуральное решение уравнения (6), то числа хn =[(x1 +у1-а)n+(x1 - у1-а)n]/2 уn =[(x1 + у1-а)n- (x1 - у1-а)n ]/2-а удовлетворяют уравнению (6) при любом натуральном n.... . ....Лагранж показал, что цепная дробь для квадратичной иррациональности всегда периодическая: -а =(q0,q1,q2,...qs,q1,...qs...) В 1769 году он нашел способ получения наименьшего натурального решения уравнения (7). х2- 3у2 = 1 (7) Если длина периода S - четное число, то обращаются к дроби (Рs-1 )/(Qs-1)= [q0,q1,q2,...qs,q1,...qs...] В этом случае пара (Рs-1 ,Qs-1 ) являются наименьшим натуральным решением уравнения (6) Приведем теперь все натуральные решения (хn, уn) этого уравнения.... х2- 2у2 = 1 хn =[(-2 + 1 )2 n+(-2 - 1)2 n]/2 уn =[(-2 + 1 )2 n- (-2 - 1)2 n ]/2-2 Как мы видим, числа хn являются диагональными, а числа уn -боковыми, причем в соответствующих последовательностях они имеют четные номера." [2]. В данном случае, если взять для боковых и диагональных чисел уравнение (2) то получим решение.
Список литературы [1] Васильев Ю.Н. "Классификация последовательностей" - С-П.: Журнал "Диалоги о науке" or="Black">2] Шибасов Л.П. " От единицы до бесконечности" -М.: Дрофа, 2005 г. _____________________________________________________________________