# Кубическое уравнение

Юрий Николаевич Васильев

Решение кубических уравнений. Аннотация: Решение кубических уравнений различными методами. 1. "Кубическим уравнением с действительными коэффициентами называется уравнение третьей степени ах³ + bх² + cх + d = 0 (7) где а,b,c,d - некоторые действительные числа. Кубическое уравнение (7) заменой х = у - b/3а приводит к "неполному" кубическому уравнению относительно у у³ + ру + q = 0 где р = -1/3(b/а)² + с/а, q = 2(b/3а)³ - bc/3а² + d /а Корни у1,у2,у3 "неполного" кубического уравнения вычисляются по формулам Кардано у1 = А+В у2,у3 = -(А+В)/2 ╠ i(А-В)/2╦√3 где А = ( - d/а + √Q), B =( - d/а - √Q), Q=(p/3)³ + (q/2)²" [1] 2. " Решение уравнения с целыми коэффициентами. ...Рациональными корнями уравнения .... могут быть числа m/p ( m целое, р натуральное) где число׀m׀ является делителем числа (в данном случае) | d |, а число р - делителем числа |а|" [1] Замечание. Делителями будут множество всевозможных рациональных чисел, отбор которых производятся непосредственной подстановкой их в уравнение.

3. " Если элементы последовательности {Nn} связаны формулой Nn = - d1Nn-1 - d2Nn-2 -...- dm-1Nn -(m-1)- dmNn - m, n - m ≥ 1

где d0 = 1, N0 = 0, N1 = 1, а коэффициенты d1,d2......,dm - действительные числа взяты из многочлена Р(х) = хm + d1хm-1 + d2хm-2 +... + dm-1x + d m

со старшим коэффициентом, равный единице (каждый корень взят такое число раз, какова его кратность), и корни с1,с2...сm-1,сm этого многочлена различные и действительные |с1| > |с2 | >...> |сm -1|,.> |сm |, то существует зависимость между элементами {Nn}

Lim n→∞ Nn/Nn -1 = с1,

Lim n→∞ (Nn + d1Nn -1)/(Nn -1 + d1Nn -2) =с2 , где (- d1) = с1 ,

Lim n→∞ (Nn + d1Nn -1 + d2Nn -2)/(Nn -1 + d1Nn -2 + d2Nn -3) =с3 , где (- d1) = с1 + с2 , d2 = с1 с2 , ........................................................................................

Lim n→∞ (Nn + d1Nn -1 +... + (-1)m-1dm-1Nn -(m -1))/(Nn -1 + d1Nn -2 +.... + (-1)m-1dm-1Nn - m) = сm .

где (- d1) = с1 + с2 + ...... + сm-2 + сm-1 ,

d2 = с1 с2 + с1 с3 + ..... + сm-2 сm-1 , ....................................... (-1)m-1dm-1 = с1 с2 с3 ...сm-2 сm-1. (1) ...Пусть элементы последовательности {Нn} связаны формулой: Нn = а1Нn-1 + а2Нn-2+а3Нn-3, n ≥ 1 (9)

где Н0 = 0, Н1 = 1, а0 = 1, а коэффициенты а1,а2,а3 , взяты из кубического уравнения: х³ - а1х² - а2 х - а3 = 0 (10)

Вычислим первые элементы последовательности {Нn}образованной по формуле (9),

где (x1 + x2+ x3) = а1, x1x2 + x1x3 + x2x3 = - а2, x1x2x3 = а3, x1, x2,x3 - различные и действительные корни уравнения (10), а так же учтем, что для квадратного уравнения х² = d1 х + d2, коэффициент d1 = (x1 + x2), d2 = (- x1x2), тогда а1= (d1 +x3), а3 = (- d2 x3). Н1 = 1, Н2 = а1Н1, т. к.. Н1 = 1, то Н2 = а1, Н3 = а1Н2 + а2Н1, т. к. Н2 = а1, Н1 = 1, то Н3 = а1² + а2. Квадратное уравнение х² = d1 х + d2 образует последовательность {Nn}, по формуле

Nn = d1 Nn-1 + d2Nn-2, где N1=1, N2 = d1, N3 = d1² +d2 Элементы последовательности {Нn}образованные кубическим уравнением (10) можно записать через элементы последовательности {Nn} образованные квадратным уравнением.

Н2 = а1, а1= (d1 + x3), где N2 = d1, а N1 = 1, тогда Н2 = (d1 + x3) = N2 + x3N1 ,

Н2 = N2 + x3N1,

Н3 = а1² + а2, а1² = (d1 + x3)² = d1² + x3² + 2d1x3 = d1² + x3² + 2х1x3 + 2х2x3, т.к. а1 = (x1 + x2), (x1x2 + x1x3 + x2x3 ) = (- а2), (- d2) = (x1x2), тогда

Н3 = d1² + x3² + 2х1x3 + 2х2x3 + а2 = d1² +d2 + x3² + х1x3 + х2x3 = Н3 = d1² + d2 + x3а1, где N3 = d1² +d2, и Н2 = а1,

Н3 = N3 + x3Н2, или Н3 = N3 + x3N2 + x3²N1." [2]


Рассмотрим произвольное кубическое уравнение, имеющее действительные корни. х³ - 5/2х² - х + 1 = 0 (1) Очевидно, что решение этого уравнения первым методом, очень трудоемкое из-за многочисленных математических спераций. Решение уравнения вторым методом невозможно, т.к. значения коэффициентов не удовлетворяет условиям этого метода. Найдем действительные корни данного уравнения третьем методом. Построим последовательность {Нn} по формуле (9) из [2]. Нn = а1Нn-1 + а2Нn-2 + а3Нn-3, n ≥ 1 где коэффициенты а1,а2,а3 , взяты из кубического уравнения (1) , получим Нn = 5/2Нn-1 + Нn-2 - Нn-3 Н1 = 1, Н2 = 5/2Н1, т. к.. Н1 = 1, то Н2 = 5/2, Н3 = 5/2Н2 + Н1, т. к. Н2 = 5/2, Н1 = 1, то Н3 = (5/2)² + 1= 29/4 Н4 = 5/2Н3 + Н2 - Н1 т. к. Н3 = = 29/4, Н2 = 5/2, Н1 = 1, то Н4 = 5/2 + 5/2 - 1= 157/8 и т. д. Получим последовательность {Нn}: 1, 5/2, 29/4, 157/8, 861/16, 4701/32, 25693/64, 140381/128, 767069/256, 4191325/512, 22981853/1024, 125138013/2048, 683766878/4096,... По формуле (1) из [2] Lim n→∞ Нn /Нn -1 = х1. х1 = 2,7320508.... Lim n→∞ (Нn + а1Нn -1)/(Нn-1 + а1Нn-2) =х2 , где (- а1) = х1 , х2 = -0,7320508...., х3 = а3/ х1x2 т.к. а3 = 1, а х1x2 = 2, то х3 = 1/2 Кубические уравнения с их корнями. 1. х³ - х² - х - 1 = 0 х = 1,839286... 2. х³ - х² - х - 2 = 0 х = 2,0 3. х³ - х² - х - 3 = 0 х = 2,1303946... 4. х³ - х² -2х - 1 = 0 х = 2,1478995... 5. х³ - х² - 2х - 2 = 0 х = 2,2695301... 6. х³ - х² - 2х - 3 = 0 х = 2,3744056... 7. х³ - х² - 3х - 1 = 0 х = 2,4142135... 8. х³ - х² - 3х - 2 = 0 х = 2,5115471... 9. х³ - х² - 3х - 3 = 0 х = 2,598674... 10. х³ -2х² - х - 1 = 0 х = 2,5468182... 11. х³ - 2х² - х - 2 = 0 х = 2,6589665... 12. х³ - 2х² - х - 3 = 0 х = 2,7572788... 13. х³ - 2х² - 2х - 1 = 0 х = 2,8311772... 14. х³ - 2х² - 2х - 2 = 0 х = 2,9196395... 15. х³ - 2х² - 2х - 3 = 0 х = 3,0 16. х³ - 2х² - 3х - 1 = 0 х = 3,0795956... 17. х³ - 2х² - 3х - 2 = 0 х = 3,1527575... 18. х³ - 2х² - 3х - 3 = 0 х = 3,2206928... 19. х³ - 3х² - х - 1 = 0 х = 3,3829757... 20. х³ - 3х² - х - 2 = 0 х = 3,4566783... 21. х³ - 3х² - х - 3 = 0 х = 3,5251022... 22. х³ - 3х² - 2 х - 1 = 0 х = 3,6273650... 23. х³ - 3х² - 2 х - 2 = 0 х = 3,6890953... 24. х³ - 3х² - 2 х - 3 = 0 х = 3, 7473465... 25. х³ - 3х² - 3 х - 1 = 0 х = 3,8473221... 26. х³ - 3х² - 3 х - 2 = 0 х = 3,9005718... 27 х³ - 3х² - 3 х - 3 = 0 х = 3,9513730...

Последовательности образованные кубическими уравнениями. 1) 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768,.. 2) 1, 1, 2, 5, 9, 18, 37, 73, 146, 293, 587, 1170, 2341, 4681, 9362, 18727,.. 3) 1, 1, 2, 6, 11, 23, 52, 108, 229, 493, 1046, 2226, 4751, 10115, 21544, 45912,

4) 1, 1, 3, 6, 13, 28, 60, 129, 277, 595, 1278, 2745, 5896, 12664, 27201,.. 5) 1, 1, 3, 7, 15, 35, 79, 179, 407, 923, 2095, 4755, 10791, 24491, 55583,... 6) 1, 1, 3, 8, 17, 42, 100, 235, 561, 1331, 3158, 7503, 18112, 42592, 101325,.. 7) 1, 1, 4, 8, 21, 49, 120, 288, 697, 1681, 4060, 9800, 23661, 57121, 137904,.. 8) 1, 1, 4, 9, 23, 58, 145, 365, 916, 2301, 5779, 14514, 36453, 91553, 229940,... 9) 1, 1, 4, 10, 25, 67, 172, 448, 1165, 3025, 7864, 20434, 53101, 137995, 358600,... 10) 1, 2, 5, 13, 33, 84, 214, 545, 1388, 3535, 9003, 22929, 58396, 148724, 378773,.. 11) 1, 2, 5, 14, 37 98, 261, 694, 1845, 4906, 13045, 34686, 92229, 245234, 652069,.. 12) 1, 2, 5, 15, 41, 112, 310, 855, 2356, 6497, 17915, 49395, 136196, 375532, 1035445,..

13) 1, 2, 6, 17, 48, 136, 385, 1090, 3086, 8737, 24736, 70032,198273,561346,1589270,..

14) 1, 2, 6, 18, 52, 152, 444, 1296, 3784, 11048, 32256, 94176, 274960, 802784, ,.. 15) 1, 2, 6, 19, 56, 168, 505, 1514, 4542, 13627, 40880, 122640, 367921, 1103762,... 16) 1, 2, 7, 21, 65, 200, 616, 1897, 5842, 17991,55405,170625,525456,1618192,4983377,..

17) 1, 2, 7, 22, 69, 218, 686, 2166, 6826, 21522, 67854, 213926, 674458, 2126402,6704030,..

18) 1, 2, 7, 23, 73, 236, 760, 2447, 7887, 25385, 81757, 263315, 848056, 2731328,8796769,..

19) 1, 3, 10, 34, 115, 389, 1316, 4452, 15061, 50951, 172366, 583110, 1972647, 6673417,...

20) 1, 3, 10, 35, 121, 418, 1445, 4995, 17266, 59683, 206305, 713130, 2465061, 8520923,..

21) 1, 3, 10, 36, 127, 447, 1576, 5556, 19585, 69039, 243370, 8579904, 3024199,10660611,..

22) 1, 3, 11, 40, 145, 526, 1908, 6921, 25105, 91065, 330326, 1198213, 4346356, 15765820,..

23) 1, 3, 11, 41, 151, 557, 2055, 7581, 27967, 103173, 380615, 1404125,5179951,19109333,...

24) 1, 3, 11, 42, 157, 588, 2204, 8259, 30949, 115977, 434606, 1628619, 6103000, 22870056,...

25) 1, 3 12, 46, 177, 681, 2620, 10080, 38781, 149203, 574032, 2208486, 8496757, 32689761,.

26) 1, 3, 12, 47, 183, 714, 2785, 10863, 42372, 165275, 644667, 2514570, 9808261, 38257827,..

27) 1, 3, 12, 48, 189, 747, 2952, 11664, 46089, 182115, 719604, 28434424, 11235429, 4439371, Список литературы [1] Цыпкин А.Г. "Справочник по математике" - М.: Наука, 1983

[2] Васильев Ю.Н. "Приближенное решение уравнений" - С-П.: Журнал "Диалоги о науке" 2009 г.