Цель работы - закрыть вопрос о целочисленных решениях уравнения A^x+B^y=C^z, то есть доказать гипотезу Била. Доказательство исходит из того, что три уравнения: квадратное, решаемое в целых числах пифагоровыми тройками; уравнение теоремы Ферма, как частный случай гипотезы Била; уравнение Била - нужно рассматривать как одну проблему. Дело в том, что каждое из этих уравнений в своём простейшем численном виде содержит чётное число, имеющее множителем число 8. Есть правило, забытое современной математикой, которое гласит: любое чётное число, имеющее множитель число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. То есть приняв, например, B^y чётным числом, уравнение Била можно записать следующим образом: C^Z-A^X=B^y= a^2-b^2, где C^z,〖 A〗^x - нечётные числа, а также a и b нечётные числа, выражающие чётное число B^y разностью квадратов нечётных чисел. Особенностью разложения на множители этих чётных чисел, как разность квадратов, и последующее выделение нечётных чисел, эту разность составляющих, является потеря чётным числом множителя 2^2. Это обстоятельство является определяющим моментом в невозможности выражения этих нечётных чисел степенью целых чисел, а тем самым, и исходных чисел уравнения, выражающих значение чётного числа. Показана также возможность целочисленных оснований степеней исходных нечётных чисел при умножении чётного числа на 2^2. Но целочисленное решение уравнения всё же невозможно.
The goal of the work is to close the question of integer solutions to the equation A^x+B^y=C^z, that is, to prove the Beale conjecture. The proof is based on the fact that three equations: a quadratic one, solvable in integers by Pythagorean triplets; the equation of Fermat's theorem, as a special case of the Beale hypothesis; Beale's equation must be considered as one problem. The fact is that each of these equations in its simplest numerical form contains an even number with a factor of 8. There is a rule, forgotten by modern mathematics, which states: any even number with a factor of 8 can be expressed by the difference of the squares of two odd numbers. That is, taking, for example, B^y, an even number, the Beale equation can be written as follows: C^z-A^x=B^y=a^2-b^2, where C^z, A^x are odd numbers, as well as a and b are odd numbers, expressing the even number B^y by the difference of the squares of odd numbers. The peculiarity of the factorization of these even numbers, as a difference of squares, and the subsequent separation of odd numbers, this difference of components, is the loss of the factor 2^2 by the even number. This circumstance is the determining factor in the impossibility of expressing these odd numbers by the power of integers, and thereby the initial numbers of the equation expressing the value of an even number. The possibility of an integer base of powers of the original odd numbers when multiplying an even number by 2^2 is also shown. But an integer solution to the equation is still impossible.
Key words: difference of squares, factorization, even numbers, odd numbers, Pythagorean triples.
Гипотеза Била.
Начало формы
Доказать: уравнение A^x+B^y=C^z (1) не имеет решений в натуральных числах и попарно взаимно простых целых числах A,B,C, если x, y, z≥3.
Доказательство.
Посыл. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем 2^n при n ≥ 3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Чётное число при n≥3 содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, второе - минимум 2^2, а в общем случае 2^((n-1))∙k^n, где 2∙2^((n-1))=2^n при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Рассмотрим детальнее.
Имеется два нечётных числа: (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1).
Сумма этих чисел есть (2∙k_1+1+2∙k_2+1)=2∙(k_1+k_2+1).
Где 2∙(k_1+k_2+1) - "сумма" в дальнейшем.
А разность - (2∙k_1+1-2∙k_2-1)=2∙(k_1-k_2 ).
Где 2∙(k_1-k_2) - "разность" в дальнейшем.
Поскольку k_(1 )и k_2 могут быть любой чётности, рассмотрим все возможные случаи их сочетаний.
Случай 1. k_1>k_2 - чётные. Рассмотрим формулу "суммы", где k_1=2∙k_3, а k_2=2∙k_4. 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+1). Итак, сумма нечётных чисел (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1) при чётных k_(1 )и k_2 имеет только один множитель 2.
Рассмотрим формулу "разности" при чётных k_1=2∙k_3 и k_2=2∙k_4 . 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4 )=4∙(k_3-k_4) . Следовательно, разность нечётных чисел (2∙k_1+1) и (2∙k_2+1) при чётных k_1 и k_2 содержит множитель минимум число 4.
Случай 2. k_1 и k_2 - нечётные, k_1=(2∙k_3+1); k_2=(2∙k_4+1). "Сумма" выглядит так: 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+1+2∙k_4+1+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+3). Сумма в этом случае имеет множитель только одно число 2.
"Разность":2∙(k_1-k_2 )=2(2∙k_3+1-2∙k_4-1)=2∙(2∙k_3-2∙k_4 )=4(k_3-k_4) . То есть разность содержит множителем минимум число 4.
Случай 3. k_1-чётное,k_2-нечётное. k_1=2〖∙k〗_3; k_2=(2∙k_4+1). "Сумма": 2∙(k_1+k_2+1)=2∙(2∙k_3+2∙k_4+1+1)=4∙(k_3+k_4+1) . Множитель суммы - минимум число 4.
"Разность": 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4-1). Множитель - число 2.
Случай 4. k_1 - нечётное (2∙k_3+1); 〖 k〗_2-чётное (2∙k_4). "Сумма": 2∙(k_1+k_2+1)=2(2∙k_3+1+2∙k_4+1)=4∙(k_3+k_4+1). Множитель минимум число 4. "Разность": 2∙(k_1-k_2 )=2∙(2∙k_3+1-2∙k_4 )=2∙(2∙k_3-2∙k_4+1). Множитель - одно число 2.
Итак, посыл обоснован.
Особое место при этом занимает уравнение X^2+Y^2=Z^2, где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 4^2=2^4. То есть случаи целочисленных решений уравнения〖 X〗^2+Y^2=Z^2 попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Нужно сказать, что формула X^2+Y^2=Z^2 для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: X^2+2^4∙Y_1^2=Z^2, подразумевая Y чётным числом, а именно: Y=2^2∙Y_1. (2)
Рассмотрим тройку (5, 12, 13), где квадратное уравнение для неё при чётном Y^2=4^2∙Y_1^2=2^4∙Y_1^2=2^2∙2^2∙Y_1^2=2^2∙2^2∙3^2 такое:
Z^2-X^2=Y^2=2^2∙2^2∙3^2. (1a)
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^n и целых чисел Z, X.
Имеем: X^2+Y^2 = Z^2 ↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. Преобразуем данное выражение и разложим на множители. [1]
Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (2a)
Z+X=Y_1 ↔13+5=2∙3^2; (3a) Z - X=Y_2 ↔13-5= 2∙2^2. (4a)
Сложим левые части, отдельно, и правые, отдельно, ф. (3a) и ф. (4a).
Из рассмотренного выше нужно отметить несколько моментов. Первое, разложение на множители Y^2 соответствует "посылу". (См. (3a) и (4a)). Второе, нечётные числа Z и X являются половиной суммы множителей и половиной разности множителей числа Y^n. (См. (5a) и (6a)). Третье, Y^2 в уравнении (1a) имеет три квадратных множителя, и один из них 2^2 исчезает в процессе выделения нечётных чисел, выраженных в итоге полным нечётным множителем и чётным множителем делённым на 2^2. (См. уравнения (5a) и (6a).) Четвёртое, нечётные числа Z и X выражены суммой и разностью чисел 3^2 и 2^2, а не сочетаниями квадратов чисел 3 и 4. (См. (5a) и (6a)).
Собственно гипотеза Била.
Доказать: уравнение A^x+B^y=C^z не имеет решений в целых числах.
Пусть C > A > B. Определимся с чётностью чисел A, B и C. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Пусть A и C нечётные числа, а B чётное число, поскольку особой разницы между числами A и B нет.
Вариантов разложения чётного числа в степени n≥3 по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, удовлетворяющих этому условию. Однако для нашего случая возможен только вариант такого разложения, где множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2. То есть сопутствующие коэффициентам 2 и 2^((n-1)) множители должны быть в степени n при соблюдении условия о взаимно простых A, B, C. Это главное условие разложения на множители чётного числа по формуле разности квадратов двух нечётных чисел. (Здесь надо заметить, что значения коэффициентов множителей разложения в разных случаях могут быть противоположными, что не меняет сути доказательства.)
Выведем общую формулу разложения на множители чётного числа в чётной степени n > 2 разностью квадратов двух нечётных чисел.
При выделении нечётных чисел a и b множители B^y (a+b) и (a-b) потеряли по одному числу 2. ( См. (4) и (5)). То есть чётное число уравнения (3b) в нечётных множителях потеряло множитель 2^2. (См. (6) и (7)).
При разложении на множители чётного числа и выделении нечётных чисел квадратного уравнения с пифагоровой тройкой чётное число теряет множитель 2^2, между тем как нечётные числа Z и X остаются целыми и выражены суммой и разностью квадратов (см. (5а) и (6а)). При разложении же на множители и выделении нечётных чисел уравнения (3) для n > 2 чётное число также теряет множитель 2^2, оставляя во втором множителе чётного числа остаток 2^((n-2)) (см. (6) и (7)). То есть нечётные числа представлены в первом случае суммой полного нечётного множителя и неполного чётного множителя, а во втором случае разностью полного нечётного множителя и неполного чётного множителя.
В этом суть противоречия, где в уравнении 5^2+〖12〗^2=〖13〗^2 чётное число 〖12〗^2 можно выразить разностью квадратов нечётных чисел, объясняется особой ролью его множителя 4, квадрат которого позволяет это сделать теряя при том множитель 2^2. Представим уравнение (2а) в следующем виде:
Как видно, второе слагаемое в уравнениях (6) и (7) лишилось множителя 2^2 и поэтому нечётные числа a и b выражены неполной суммой и неполной разностью степеней. Между тем нечётные числа уравнения (8) при числе B^y умноженном на 2^2 выражаются суммой и разностью полных (y) степеней множителей числа B^y.
Разложим на множители по формуле суммы n - х степеней нечётное число (a) уравнения (6) и по формуле разности n - х степеней нечётное число (b) уравнения (7). [2]
Для сравнения соответствия целочисленности разложим также на множители по формуле суммы n - х степеней и по формуле разности n - х степеней нечётные числа a_1 и b_1 уравнения (11).
Итак показано, что разложение на множители нечётных чисел a ф. (13) и b ф. (14) не может быть целочисленным, тогда как для нечётных чисел a_1 ф. (15) и b_1 ф. (14) возможно их целочисленное разложение. (Хотя бы для степенного показателя 4 пифагоровых троек.)
Выразим уравнение (1) следующим образом:
C^z-A^x=B^y=(a_4^2-b_4^2 ). (17)
Ранее было условлено, чётным числом в уравнении (1) является B^y, нечётные C^z,A^x. Поскольку любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел, то левая часть уравнения (17) всего лишь выражение значения B^y и численно равна правой с предлагаемым методом разложения на множители разностью квадратов нечётных чисел. Поскольку эти нечётные числа, в данном случае - a и b, не могут быть степенями целых чисел, то исходное выражение чётного числа, а именно - (C^z-A^x ), не может быть выражено степенями целых чисел. Т. е. его целочисленное решение невозможно.
В этом отношении рассмотрим уравнение (3) применительно к уравнению (17) с разными показателями степеней, т. е. уравнению гипотезы Била.
Из формулы (18) при целочисленных полных квадратах a_4^2 и b_4^2 не следует, что соответствующие им числа C^z и A^x с нечётными показателями также являются полными квадратами целых чисел. Поэтому всё, рассмотренное выше, относится к уравнению теоремы Ферма X^n+Y^n=Z^n и к уравнению гипотезы Била, если их нечётные числа имеют чётные показатели степени.
Разложим на множители уравнение теоремы Ферма Z^n-X^n=Y^n с чётным показателем n, где Z,X - нечётные числа, а Y число чётное, аналогичное уравнению (3b).
Рассмотрим уравнение (19) как самый наглядный пример доказательства. Здесь Z^n-X^n=a_1^2-b_1^2, или (〖Z^(n/2))〗^2-(X^(n/2) )^2=(a_1^2-b_1^2 ). Следовательно:
Из уравнения (24) следует, что нечётное число Z^(n/2) и Z^n невозможно разложить на целочисленные множители, поскольку множители разложения a_1=Z^(n/2) и b_1=X^(n/2) теряют по одному числу 2, т. е. Y^n в процессе выделения нечётных чисел теряет число 2^2, поэтому Z^(n/2), Z^n не могут быть степенью целого числа. Это же относится и к нечётному числу X^(n/2) и X^n.
Из рассмотренного примера видно, что левая часть уравнения (18) не только равна правой, но абсолютно тождественна ей при указанных выше условиях, а именно: при всех чётных показателях нечётных чисел уравнения (1), коими нами приняты сумма C^z и одно из слагаемых B^y или A^x, как в данном случае. Однако это обстоятельство не является основанием отвергать равенство значений левой и правой части уравнения (18) и при нечётных показателях нечётных чисел, в данном случае C^z и A^x.
Рассмотрим возможность целочисленных решений уравнения (1) при нечётных степенных показателях нечётных чисел.
Итак, если уравнение (26) выражает чётное число, имеющее множитель 8, разностью квадратов нечётных чисел, то и уравнение (27) выражает это же число разностью нечётных чисел в нечётной степени, т. е. произведением суммы и разности квадратных корней этих чисел. Между тем ни сумма, ни разность этих квадратных корней нечётных чисел в нечётной степени не могут быть целыми числами, т. е. чётными множителями чётного числа B^y. Отсюда следует: решение уравнения (1) с нечётными числами в нечётной степени в целых числах невозможно.
Запишем левую часть уравнения (17) в следующем виде, разложив разность n - х степеней по соответствующей формуле.
Очевидно, что разность нечётных чисел с нечётными показателями разлагается на чётный и нечётный множители, и никак не на два чётных, что невозможно. Следовательно, невозможно и целочисленное решение уравнения (1) для этого случая.
Запишем левую часть уравнения (17) в первоначальном виде, имея ввиду разные степенные показатели нечётных чисел. Представим большее нечётное число C^z произведением его множителей C^x∙C^n, получив вариант формулы разности n-х степеней. Его разложение на множители отвергает возможность целочисленного выражения чётного числа уравнения (1) для нечётных показателей нечётных чисел.
Первый случай, где показатели всех трёх членов чётные, невозможен как сумма квадратов двух нечётных чисел не равная квадрату третьего числа.
Рассмотрим случай когда сумма уравнения (1) C^z число чётное, а числа A^x,B^y нечётные с нечётными показателями. Запишем уравнение следующим образом.
A^((2n_1+1))+B^((2n_2+1))=C^z=a^2-b^2. (30)
Из уравнения (30) видно, что при равенстве показателей чисел A и B левую часть уравнения можно разложить только на чётный и нечётный множители, а целочисленное разложение на два чётных множителя невозможно. При неравенстве же степенных показателей чисел A и B разложение левой части уравнения (30) на чётные множители, как того требует разложение чётного числа, имеющего множитель 8, также невозможно. Оно аналогично разложению уравнения (29).
Вывод: уравнение A^x+B^y=C^z (1) гипотезы Била не имеет целочисленных решений при показателях x,y,z>2.
Следовательно, гипотеза Била доказана.
Список литературы.
1. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. Стр. 8.
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика, Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990. Стр. 14.