Ведерников Сергей Иванович : другие произведения.

Разность квадратов нечётных чисел, пифагоровы тройки и доказательство гипотезы Била

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Закрытие проблемы целочисленных решений всех видов уравнения A^x + B^y = C^z.


   Разность квадратов нечётных чисел,
   пифагоровы тройки и доказательство гипотезы Била
   Ведерников Сергей Иванович. Москва.
   Аннотация. Цель работы - закрыть проблему целочисленных решений уравнения 0x01 graphic
, то есть доказать гипотезу Била. Для решения вопроса применена особенность выражения чётного числа, имеющего множитель 8, разностью квадратов двух нечётных чисел, обоснованное правило которой отсутствует даже в справочной литературе, а также особенность целочисленных решений квадратного уравнения Пифагоровыми тройками. В результате доказана гипотеза Била простым методом.
   Ключевые слова: разность квадратов двух нечётных чисел, разложение на множители, чётные числа, нечётные числа, пифагоровы тройки.
   Difference of squares of odd numbers,
   Pythagorean triples and the proof of Beale's hypothesis
   Vedernikov Sergey Ivanovich. Moscow.
   Annotation. The aim of the paper is to close the problem of integer solutions of the equation A^x+B^y=C^z, i.e. to prove Beale's hypothesis. In order to solve the problem, the peculiarity of expressing an even number having a multiplier 8 by the difference of squares of two odd numbers, a reasonable rule of which is absent even in the reference literature, as well as the peculiarity of integer solutions of the quadratic equation by Pythagoras triples, is applied. As a result, Beale's conjecture is proved by a simple method.
   Keywords: difference of squares of two odd numbers, decomposition into multipliers, even numbers, odd numbers, Pythagorean triples.

Начало формы

Начало формы

   Гипотеза Била.
   Доказать: уравнение 0x01 graphic
(1) не имеет решений в натуральных числах и попарно взаимно простых целых числах 0x01 graphic
если x, y, z0x01 graphic
   Доказательство.
   Посыл. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем 0x01 graphic
при n 0x01 graphic
3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
   Чётное число при 0x01 graphic
содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, второе - минимум 0x01 graphic
, а в общем случае 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Рассмотрим детальнее.
   Имеется два нечётных числа: 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   Сумма этих чисел есть 0x01 graphic
.
   Где 0x01 graphic
- сумма в дальнейшем.
   А разность - 0x01 graphic
   Где 0x01 graphic
- разность в дальнейшем.
   Поскольку 0x01 graphic
и 0x01 graphic
могут быть любой чётности, рассмотрим все возможные случаи их сочетаний.
   Случай 1. 0x01 graphic
- чётные.
   Рассмотрим формулу суммы, где 0x01 graphic
а 0x01 graphic
.
   0x01 graphic
   Итак, сумма нечётных чисел 0x01 graphic
и 0x01 graphic
при чётных 0x01 graphic
и 0x01 graphic
имеет только один множитель 2.
   Рассмотрим формулу разности при чётных 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. 0x01 graphic
.
   Следовательно, разность нечётных чисел 0x01 graphic
и 0x01 graphic
при чётных 0x01 graphic
и 0x01 graphic
содержит множитель минимум число 4.
   Случай 2. 0x01 graphic
и 0x01 graphic
- нечётные, 0x01 graphic
; 0x01 graphic
Сумма выглядит так: 0x01 graphic
. Сумма в этом случае имеет множитель только одно число 2.
   Рассмотрим формулу разности: 0x01 graphic
. То есть разность содержит множителем минимум число 4.
   Случай 3. 0x01 graphic
Сумма: 0x01 graphic
. Множитель суммы - минимум число 4.
   Разность: 0x01 graphic
Множитель - одно число 2.
   Случай 4. 0x01 graphic
- нечётное (0x01 graphic
Сумма: 0x01 graphic
Множитель - минимум число 4.
   Разность: 0x01 graphic
Множитель - одно число 2.
   Итак, посыл обоснован.
   Особое место при этом занимает уравнение 0x01 graphic
, где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 0x01 graphic
. То есть случаи целочисленных решений уравнения0x01 graphic
попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Нужно сказать, что формула 0x01 graphic
для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: 0x01 graphic
, подразумевая Y чётным числом, а именно: 0x01 graphic
. (2)
   Рассмотрим тройку (5, 12, 13), где квадратное уравнение для неё при чётном 0x01 graphic
такое:
   0x01 graphic
(0x01 graphic
)
   Рассмотрим порядок выделения множителей числа 0x01 graphic
и целых чисел Z, X.
   Имеем:0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
. Преобразуем данное выражение и разложим на множители. [1]
   0x01 graphic
. (20x01 graphic
)
   0x01 graphic
Z0x01 graphic
(40x01 graphic
)
   Сложим левые части, отдельно, и правые, отдельно, ф. (30x01 graphic
) и ф. (40x01 graphic
).
   0x01 graphic
0x01 graphic
(50x01 graphic
)
   Вычтем левую часть ф. (40x01 graphic
) из левой части ф. (30x01 graphic
), а правую - из правой.
   0x01 graphic
0x01 graphic
(60x01 graphic
)
   Из рассмотренного выше нужно отметить несколько моментов. Первое, разложение на множители 0x01 graphic
соответствует посылу. (См. (30x01 graphic
) и (40x01 graphic
)). Второе, нечётные числа Z и X являются половиной суммы множителей и половиной разности множителей числа 0x01 graphic
. (См. (50x01 graphic
) и (60x01 graphic
)). Третье, 0x01 graphic
в уравнении (10x01 graphic
) имеет три квадратных множителя, и один из них 0x01 graphic
исчезает в процессе выделения нечётных чисел, выраженных в итоге полным нечётным множителем и чётным множителем делённым на 0x01 graphic
. (См. уравнения (50x01 graphic
) и (60x01 graphic
).) Четвёртое, нечётные числа Z и X выражены суммой и разностью квадратов целых чисел, т. е. числами 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, а не сочетаниями квадратов чисел 3 и 4. (См. 0x01 graphic
и (60x01 graphic
)).
   Гипотеза Била.
   Доказать: уравнение 0x01 graphic
не имеет решений в целых числах.
   Пусть C > A > B. Определимся с чётностью чисел A, B и C. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Пусть A и C нечётные числа, а B чётное число, поскольку особой разницы между числами A и B нет.
   Вариантов разложения чётного числа в степени n0x01 graphic
по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, удовлетворяющих этому условию. Однако для нашего случая возможен только вариант такого разложения, где множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2. То есть сопутствующие коэффициентам 2 и 0x01 graphic
множители должны быть в степени n при соблюдении условия о взаимно простых A, B, C. И это главное условие разложения на множители чётного числа по формуле разности квадратов двух нечётных чисел. (Здесь надо заметить, что значения коэффициентов множителей разложения в разных случаях могут быть противоположными, что не меняет сути доказательства.)
   Выведем общую формулу разложения на множители чётного числа в степени n > 2 разностью квадратов двух нечётных чисел.
   0x01 graphic
(3)
   Здесь 0x01 graphic
нечётные числа, 0x01 graphic
- чётное число, n > 2.
   Примем 0x01 graphic
, а уравнение (3) для большей наглядности выразим так:
   0x01 graphic
(4b)
   0x01 graphic
; (4) 0x01 graphic
. (5)
   Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части уравнений (4) и (5).
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (6)
   Вычтем левую часть уравнения (5) из левой части уравнения (4), а правую часть уравнения (5) из правой части уравнения (4).
   0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (7)
   Итак, при выделении нечётных чисел 0x01 graphic
и 0x01 graphic
множители 0x01 graphic
(0x01 graphic
и 0x01 graphic
потеряли по одному числу 2. ( См. (4) и (5)). То есть чётное число уравнения (4b) в нечётных множителях потеряло множитель 0x01 graphic
. (См. (6) и (7)).
   При разложении на множители чётного числа и выделении нечётных чисел квадратного уравнения с пифагоровой тройкой чётное число теряет множитель 0x01 graphic
, между тем как нечётные числа Z и X остаются целыми и выражены суммой и разностью квадратов (см. (5а) и (6а)). При разложении же на множители и выделении нечётных чисел уравнения (3) для n > 2 чётное число также теряет множитель 0x01 graphic
, оставляя во втором множителе чётного числа остаток 0x01 graphic
(см. (6) и (7)). То есть нечётные числа представлены в первом случае суммой полного нечётного множителя и неполного чётного множителя, а во втором случае разностью полного нечётного множителя и неполного чётного множителя.
   В этом суть противоречия, где в уравнении 0x01 graphic
чётное число 0x01 graphic
можно выразить разностью квадратов нечётных чисел, объясняется особой ролью его множителя 4, квадрат которого позволяет это сделать теряя при том множитель 0x01 graphic
. Представим уравнение (2а) в следующем виде:
   0x01 graphic
.
   Здесь Z и X выражены не сочетанием множителей 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, а суммой и разностью чисел 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(См. (5а) и (6а)).
   Рассмотрим уравнение (4b) в следующем виде, умножив исходное чётное число 0x01 graphic
на 0x01 graphic
и обозначив множители разложения.
   0x01 graphic
   0x01 graphic
. (8)
   0x01 graphic
; (9) 0x01 graphic
; (10)
   В соответствии с уравнением (3) 0x01 graphic
нечётное число, а 0x01 graphic
- чётное.
   Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части уравнений (9) и (10).
   0x01 graphic
0x01 graphic
(11)
   Вычтем левую часть уравнения (10) из левой части уравнения (9), а правую часть из правой.
   0x01 graphic
0x01 graphic
(12)
   Сравним множители (6) и (7), относящиеся к уравнению (3), и множители (11) и (12) уравнения (8).
   0x01 graphic
. (6) 0x01 graphic
. (7)
   0x01 graphic
(11) 0x01 graphic
(12)
   Как видно, второе слагаемое в уравнениях (6) и (7) лишилось множителя 0x01 graphic
и поэтому нечётные числа 0x01 graphic
0x01 graphic
выражены неполной суммой и неполной разностью степеней.
   Между тем нечётные числа уравнения (8) при числе 0x01 graphic
умноженном на 0x01 graphic
выражаются суммой и разностью полных (y) степеней множителей числа 0x01 graphic
.
   В подтверждение произведём разложение на множители по формуле разности квадратов нечётных чисел числа 0x01 graphic
   0x01 graphic
.
   Здесь по ф. (3) 0x01 graphic
0x01 graphic
   Согласно уравнениям (5а) и (6а) одно нечётное число равно половине суммы множителей чётного числа, а второе - половине разности множителей.
   0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(13)
   0x01 graphic
Для сравнения разложим на множители число 0x01 graphic
и выделим его нечётные числа, соответствующие уравнению (8).
   0x01 graphic
   В соответствии с ф. (9) и (10): (0x01 graphic
0x01 graphic
.
   А с ф. (11) и (12): 0x01 graphic
0x01 graphic
(14) Где нечётные числа 0x01 graphic
0x01 graphic
   0x01 graphic
   Разложим на множители нечётные числа 0x01 graphic
уравнения (13) и 0x01 graphic
уравнения (14).
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   Разложение на множители нечётного числа 0x01 graphic
, относящегося к разложению числа 0x01 graphic
, не есть целочисленное; тогда как разложение на множители нечётного числа 0x01 graphic
, относящегося к разложению числа 0x01 graphic
, целочисленное.
   Разложим на множители по формуле суммы n - х степеней нечётное число (a) уравнения (6) и по формуле разности нечётное число (b) уравнения (7). [2]
   0x01 graphic
(15)
   0x01 graphic
(16)
   Для сравнения целочисленности разложим также на множители по формуле суммы n - х степеней и по ф. разности нечётные числа 0x01 graphic
и 0x01 graphic
уравнения (11).
   0x01 graphic
0x01 graphic
(17)
   0x01 graphic
0x01 graphic
(18)
   Итак показано, что разложение на множители нечётных чисел 0x01 graphic
ф. (15) и b ф. (16) не может быть целочисленным, тогда как для нечётных чисел 0x01 graphic
ф. (17) и 0x01 graphic
ф. (18) возможно их целочисленное разложение.
   Выразим уравнение (1) следующим образом:
   0x01 graphic
. (19)
   Ранее было условлено, чётным числом в уравнении (1) является 0x01 graphic
, нечётные 0x01 graphic
. Поскольку любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел, то левая часть уравнения (19) всего лишь выражение значения 0x01 graphic
и численно равна правой с предлагаемым методом разложения на множители разностью квадратов нечётных чисел. Поскольку эти нечётные числа не могут быть степенями целых чисел, то исходное выражение чётного числа, в данном случае 0x01 graphic
не может быть выражено степенями целых чисел. Т. е. его целочисленное решение невозможно.
   В этом отношении рассмотрим уравнение (3) применительно к уравнению (19) с разными показателями степеней, т. е. уравнению гипотезы Била.
   0x01 graphic
   В первую очередь нужно заметить, что множители разложения не являются полными степенями целых чисел. Во-вторых, нечётные числа, составляющие разность квадратов, выражаются неполной суммой и неполной разностью n - х степеней (см. (6) и (7)), что делает невозможным их целочисленное разложение на множители. Поэтому разность квадратов, и, соответственно, изначальное выражение чётного числа 0x01 graphic
не могут быть выражены целыми числами, тем более показано, что целочисленные значения исходных сочетаний нечётных чисел возможны лишь при умножении чётного числа на 0x01 graphic
   Однако и в этом случае решение в целых числах также невозможно, т. к. число 0x01 graphic
не есть степень целого числа.
   Вывод: уравнение 0x01 graphic
(1) гипотезы Била не имеет целочисленных решений.
   Следовательно, гипотеза Била доказана.
   Список литературы.
   1. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. Стр. 8.
   2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика, Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990. Стр. 14.
   No Ведерников С. И., 2023
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

4

  
  
  
  

 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"