Млекоченко Николай Федорович : другие произведения.

62

"Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:


 Ваша оценка:


   Периодическая слоистая среда эквивалентна одномерному кристал­лу, который инвариантен относительно трансляций на постоянную решетки. Оператор трансляции решетки Т определяется выражени­ем Тг = г - /Л, где / -- целое число. Отсюда следует, что
   J
   ГЕ(г) = Е(ГЛ-) = Е(г + /Л). (6.2.17)
   Полученная выше матрица АВСБ является представлением опера­тора трансляции на элементарную ячейку. Согласно теореме Блоха, рассмотренной в разд. 6.1, вектор электрического поля нормальной моды в периодической слоистой среде имеет вид
   Е = Е к(г)е-'Кге'<а,-к>У\ (6.2.18)
   где Ед.(г) -- периодическая функция с периодом Л, т. е.
   Е*(2) = Е*(2 + Л). (6.2.19)
   Нижний индекс К указывает на то, что функция ЕА (г) зависит от К. Постоянная К называется блоховским волновым числом. Задача теперь непосредственно состоит в определении величин К и как функции от о; и к . (Заметим, что ку = Ку и нижний индекс у К: опущен для удобства обозначения.)
   Используя представление с помощью вектор-столбцов и выра­жение (6.2.5), условие периодичности (6.2.19) для блоховской волны можно записать в простом виде:
   Из выражений (6.2.31) и (6.2.20) вытекает, что вектор-столбец для блоховской волны удовлетворяет следующему уравнению на соб­ственные значения:
   (с "-ю-
   = 0.
   Таким образом, фазовый множитель е'кх является собственным значением матрицы трансляции АВСО и удовлетворяет характери­стическому уравнению
   А - е'КА В С й - е,КА
   Решение уравнения (6.2.22) имеет вид
   = {{Л + О) Ђ {[{{А + Я)]2 - 1 }1/2, (6.2.22)
   Собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям, являются решениями уравнения (6.2.21) и с точностью до произ-
   вольной постоянной записываются в виде
   )
   (
   В
   еіКК _ А
   "о Ьо
   (6.2.23а)
  
  
  
   Соответствующий собственный вектор-столбец для и-й элементар­ной ячейки в соответствии с (6.2.20) дается выражением

0x01 graphic

  
   (6.2.236)
   Елоховские волны, получаемые из уравнений (6.2.23), можно рас­сматривать как собственные векторы матрицы трансляции с соб­ственными значениями е'кх, даваемыми выражением (6.2.22). Два собственных значения в (6.2.22) являются взаимно обратными, по­скольку матрица трансляции унимодулярна. Уравнение (6.2.22) дает дисперсионную зависимость между ш, ку и К для блоховской волно­вой функции:
   К(ку,а) = -иГссо5[і(Л + Я)].
   Режимы, при которых \(А + ё>)/21 < 1, отвечают вещественному К и, следовательно, распространяющимся блоховским волнам. Од­нако в случае I (А + В)/21 > 1 мы имеем А" = тж/А. 4- /7^, т. е. в К присутствует мнимая часть К1 и блоховская волна затухает. Эти области отвечают так называемым запрещенным зонам периоди­ческой среды. Частоты, отвечающие границам зоны, определяются из условия I (А + В)/21 = 1.
   С помощью (6.2.5) и (6.2.23) блоховскую волну в слое 1 и-й эле­ментарной ячейки можно записать окончательно в виде
   ЕК{г)е~ІКг = [{а0е-ік^2-п^ + ьоеік^г-пК)іК(*-"К)]е-іК2, (6.2.25)
   где а0 и Ь0 даются выражением (6.2.23а). Следует заметить, что функция внутри квадратных скобок не зависит от п и, стало быть, является периодической с периодом Л. На этом мы завершаем по­лучение решения для блоховской волны.
   (6.2.24)
   Дисперсионное уравнение (6.2.24) определяет блоховское волно­вое число К вдоль направления оси г для блоховской волны с ча­стотой со и .у-составляющую к волнового вектора. Эту диспер­сионную зависимость можно представить в виде поверхности в трехмерном пространстве (К, к со). Сечения этой поверхности пло-

0x01 graphic

РИС. 6.4. Зонная структура в плоскости лля ТЕ-водн (вектор Е перпендикулярен периодически расположенным слоям). Темные области соответствуют разрешенным зонам. Величина ш измеряется в единицах < 'А, а к -- в единицах 1 /Л.

  
  

0x01 graphic

РИС. 6.5. Зонная структура в плоскости ак^, для ТМ-волн (вектор Н перпендикуля­рен периодически расположенным слоям). Темные области соответствуют разрешен­ным зонам. Штриховая линия соответствует к = (оз/с)п2$,\пвв; ш -- в единицах с/Л, а к -- в единицах 1/Л.

  
   скостями К = тж/\ представляют собой кривые, которые опреде­ляют границы зоны. На рис. 6.4 и 6.5 изображены проекции этих кривых на плоскость kfu для ТЕ- и ТМ-волн соответственно. За­штрихованные области отвечают разрешенным зонам, для кото­рых А является вещественным. Интересно отметить, что "запре­щенная" зона для ТМ-волн сокращается до нуля при ку = = (ш/с)п2ътвв, где 6Ь -- угол Брюстера, поскольку при этом угле френелевское отражение на границах раздела исчезает и падающая и отраженная волны оказываются несвязанными. На рис. 6.6 пока­зана эта дисперсионная зависимость а;(А") для частного случая кг - 0 (т. е. случая нормального падения). Ее можно записать в ви­де
  -- / п2 И, \
   cos А'Л = cos A:,acos k2b - -- 1 sin kxa sin k2b, (6.2.26)
  -- \ Я, n2 J
   где A:, = (со/с)и, и k2= (ш/с)п2.
   В случае когда К находится в запрещенной зоне, уравнение (6.2.26) можно решить приближенно. В первой запрещенной зоне Re А' = 7г/А мы положим
   КА = чт Ђ ix. (6.2.27)
   Пусть ш0 -- центр запрещенной зоны, для которой kxa = k2b = iir. (6.2.28)
   Структура с такими условиями называется четвертьволновым эле­ментом. Уравнение (6.2.26) для частоты ш0 принимает вид

0x01 graphic

  
   (6.2.29)
   Подставляя (6.2.27) в (6.2.29) и решая последнее относительно х, получаем
   где приближенное равенство в правой части справедливо при Iп2 -- -- " и, 2. Это выражение дает мнимую часть величины А'Л в центре запрещенной зоны. Внутри запрещенной зоны х изменяется от нуля на границах зоны до ее максимального значения (6.2.30) на частоте соп.

0x01 graphic

2тт

РИС. 6.6. Дисперсионная кривая при ку = 0 (нормальное падение); ш в едини­цах с/Л, а А" в единицах 1/Л. Пунктирные кривые дают мнимую часть величины К в произвольных единицах.

  
   Пусть у -- нормированное отклонение частоты от центра запре­щенной зоны со0, т. е.
   Ы -- ОЗп, Ы -- Ып
   У = ~п,а = ®-п7Ъ. (6.2.31)
   с с
   Подставляя (6.2.27) и (6.2.31) в (6.2.26), получаем 1 1 "2 . п1 "-2
   сКх= + (6.2.32)
   Это есть выражение для мнимой части величины КА в запрещенной зоне в зависимости от частоты. Для получения границ зоны нужно положить х - 0. При этом получаем
   -Уграница = Ђ * , "' • (6.2.33)
   /7 2 •
   Таким образом, ширина запрещенной зоны Ашвар в частотном диа­пазоне дается выражением
   = (6.2.34)
   ўар "тг п2 + И, ТТ пв то время как мнимая часть величины КА в центре запрещенной зоны равна
   (кли-г!^-^, (6.2.З5)
   ""2 • " \
   где Ап = 1л2 - л,1 и я = (я, + и2)/2. Эти выражения согласуются с выражениями (6.1.31) и (6.1.32), полученными в разд. 6.1. В ка­честве упражнения читатель может самостоятельно найти коэффи­циенты фурье-разложения диэлектрической проницаемости для пе­риодической слоистой среды. Ответ записывается следующим об­разом:
   N - 4 (6.2.36)
   е0 1Г Л2 + пх '
  
  
  

 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Э.Бланк "Пленница чужого мира" О.Копылова "Невеста звездного принца" А.Позин "Меч Тамерлана.Крестьянский сын,дворянская дочь"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"