Гарик
Сингулярности, тахионы и мнимые числа...

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками Типография Новый формат: Издать свою книгу
Оценка: 4.31*43  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    По мотивам одной из самиздатовских дискуссий. Текст серьезный и, естественно, достаточно скучный :((

   Тут, в самиздате, зашла дискуссия о некоторых математических терминах и немного о физике. В коммах обо всем не напишешь, и я решил написать это небольшое сочинение с картинками. Вдруг кому-нибудь это будет интересно. Постараюсь сделать это описание достаточно простым и понятным неспециалистам.
  

СИНГУЛЯРНОСТИ В МАТЕМАТИКЕ

   Начну с "сингулярности". Чего тут только про этот термин не говорили. Даже "неоднородностью" называли. Сразу скажу - это неправильно. Почему неправильно? - По очень простой причине - это чисто математический термин и он уже имеет свое определение. Мы, физики, тоже часто его используем. В последнее время, это красивое слово стало использоваться и в других, совсем не связанных с математикой, областях, но и там, как я заметил, люди стараются использовать это слово в его первозданном, математическом, смысле.
   Сингулярность можно перевести на русский язык, как "особенность функции" или "особая точка функции". Слово "функция" можно и опустить, но обязательно надо подразумевать. Надо потому, что особые точки бывают только у функций. Что же такое эта самая особая точка? Прежде., чем ответить на этот вопрос, напомню немного о функциях и дифференцировании.
   Функция - это очень просто. Это, когда одна величина y (функция) зависит от другой величины x, которая называется переменной. Функция обычно обозначается y(x).

[]

Рис. 1.

   Пример простой функции y =x2 показан на этом рисунке. Эта функция всем хороша. В математике такие функции называются "гладкими" или "непрерывными". Оба эти слова используются в почти буквальном, человеческом, смысле. "Непрерывная" означает, что в соседнних по x точках, значения y тоже близки. А слово "гладкая" означает именно гладкость. На гладкой функции не должно быть никаких изломчиков. Чтобы проверить на "гладкость", математики функцию дифференцируют. Получается то, что называется первой производной. Если первая производная является непрерывной, то исходная функция была гладкой. Всякая гладкая функция непрерывна, а непрерывная может быть и не гладкой.
   Что же такое производная? Производная - это результат дифференцирования и часто обозначается штрихом. Первая производная, y' - это просто наклон кривой в данной точке и для нашей функции производная показана на Рис. 2.

[]

Рис. 2.

   Вторая производная, y'' - это наклон первой производной и т.д. Наклон первой производной, как легко видеть на Рис. 2, не меняется, значит и вторая производная будет постоянной, как показано на Рис. 3. У второй производной нет никакого наклона, а это значит, что третья производная и все последующие равны нулю.

[]

Рис. 3.

   Теперь, когда мы это все уже знаем, можно перейти и к сингулярности. Особой точкой функции или сингулярностью называется такая точка, в которой либо сама функция, либо ее первая производная не имеют определенного значения или обращаются в бесконечность. На следующем рисунке показана функция y = 1/x2, которая обращается в бесконечность в точке x = 0, а ее производная в этой точке не имеет вообще никакого значения, изменяясь от минус бесконечности до плюс бесконечности.

[] []

Рис. 4.

   Еще один пример функции с особой точкой - y = 1/x. Здесь уже сама функция не имеет значения в точке x = 0.

[]

Рис. 5.

[]

Рис. 6.

   Еще одни пример сингулярности. Здесь функция имеет "скачок" или "разрыв", а ее производная в этой точке обращается в бесконечность.

[]

Рис. 7.

   Еще один, последний, пример особенности - "излом" или "кинк". Здесь первая производная имеет скачок, т.е. не имеет в этой точке определенного значения.

[]

Рис. 8.

  

[]

Рис. 9.

   А вот функция, показанная на этом рисунке, особых точек не имеет и является и "гладкой", и "непрерывной". Но, если мы ее продифференцируем (найдем первую производную), то увидим, что эта производная не является гладкой (имеет излом), а вторая производная, как показано на Рис. 10, имеет разрыв.

[]

Рис. 10.

  

СИНГУЛЯРНОСТИ В ФИЗИКЕ

  
   В физике много математики, есть там и сингулярности. Только, когда речь идет о физике, мы уже не можем говорить об иксах и игреках, а должны использовать совершенно конкретные физические характеристики. В качестве икса может быть координата, время, температура, давление, магнитное или электрическое поле и много всего другого. То же самое и с игреками. Зная, что такое сингулярность, каждый из вас, думаю, может придумать не один пример из окружающей нас жизни. Один из самых простых примеров - стакан, с водой, стоящий на столе. Если мы будем двигаться сверху вниз и измерять плотность, окружающей нас среды, то увидим скачок (сингулярность) плотности при переходе из воздуха в воду, еще один при переходе из воды в дно стакана и, третий, при переходе из стакана в столешницу.
   Но я хотел рассказать о несколько другом типе сингулярностей, таких, которые возникают при фазовых переходах. Фазовым переходом в физике называется такое явление, при котором происходят очень существенные изменения свойств. Простыми и всем известными примерами фазовых переходов являются процессы плавления и испарения. Они называются фазовыми переходами первого рода. Но существуют еще и фазовые переходы второго рада. К ним относится, например, переход в сверхпроводящее состояние при понижении температуры. Существуют еще переходы нулевого и двух-с-половинного рода, но о них я и вовсе говорить не буду. Важно только отметить, что при любом фазовом переходе наблюдается сингулярность на какой-либо из характеристик системы.
   В фазовых переходах много всего сложного и интересного, но здесь не место все это обсуждать. Разберу только одну из самых простых ситуаций - затвердевание воды. Где там у нас сингулярности, когда мы ставим стакан с водой в холодильник? Прежде, чем говорить о сингулярностях, замечу, что состояние воды в стакане характеризуется тремя параметрами - температурой, давлением и объемом, который эта вода занимает. Параметра у нас три, но важны только два из них. Любые два из этих параметров полностью определяют состояние нашего стакана, а третий сам под них подстраивается. В физике говорят, что только два параметра являются независимыми.
   Ну, давайте же, наконец, нашу воду замораживать. Давайте, но существует несколько разных способов превращения воды в лед, которые я по очереди рассмотрю.
   1. Самый простой способ - ставим воду в холодильник и ждем. В физике этот способ называется затвердевание при постоянном давлении или "изобарическое" затвердевание. В этом случае мы можем измерять объем, занимаемый нашим водой/льдом, как функцию температуры. Всем известно, что плотность льда меньше, чем плотность воды (лед легче), поэтом при затвердевании объем увеличится скачком, как это показано на рисунке. Сингулярность (скачок) будет и на зависимости плотности от температуры.

[]

Рис. 11. Иделизированное плавление воды.

   2. "Изотермическое" плавление/затвердевание - процесс, происходящий при постоянной температуре. Большинство веществ при повышении давления затвердевает, но наша с вами вода аномальна. С ней все наоборот. Поэтому, если мы хотим наблюдать затвердевание воды при постоянной температуре, нам нужна сначала создать повышенное давление, скажем, 200 атмосфер (в 200раз больше, чем вокруг нас), потом охладить эту, сдавленную, воду на несколько градусов ниже нуля (из-за повышенного давления она останется жидкой) и постепенно уменьшать давление. Когда давление достаточно уменьшиться, вода превратиться в лед. Как и в первом случае, будут наблюдаться сингулярности на зависимостях плотности и объема, но отложенных уже в зависимости от давления.
   3. Третий возможный способ - это зафиксировать объем. Такой процесс называется "изохорным". В этом случае стаканом или обычной бутылкой не обойдешься. Нужно взять сосуд с очень толстыми стенками, изготовленный из хорошей стали, наполнить его водой до самого верха и тщательно закрыть. Теперь мы можем поставить его в холодильник и ждать, что из этого получится. Со временем вода, конечно же, затвердеет. В этом случае, как и в первом, параметром является температура. Однако объем, в этот раз, измениться не может. Он зафиксирован размерами сосуда. Не может измениться и плотность, которая равна массе воды, поделенной на объем сосуда. Нет никакого смысла даже измерять эти характеристики. Давайте, лучше, следить за давлением. Когда вода начнет твердеть, давление начнет возрастать. Это происходит из-за того, что лед легче воды и ему нужен больший объем, а его нет. Давление возникнет такое, чтобы лед сжался и весь поместился в наш фиксированный объем. Таким образом, в этот раз будет наблюдаться сингулярность на зависимости давления от температуры.

[]

Рис. 12. Реальное плавление воды.

   Нельзя, однако, не сказать, что в физике сингулярности не столь идеальны, как в математике. Все "сингулярности", которые наблюдаются в физике, не происходят в одной точке, как это полагается в математике, а всегда несколько сглажены и размазаны, как это показано на последнем рисунке. Даже, если мы умудримся найти абсолютно чистые вещества, некоторая размазанность любых сингулярностей останется. Эта размазанность связана с так называемыми тепловыми флуктуациями. И даже, если мы (мысленно) перейдем к абсолютному нулю температур, флуктуации полностью не исчезнут - просто вместо тепловых флуктуаций, основную роль будут играть флуктуации квантовые, для которых температура не важна. Таким образом, слово "сингулярность" в физике отражает не столь букву, как дух математического определения.
  
   Сингулярностями наша тогдашняя беседа не закончилась, а непрерывно перелилась на "тахионы", чтобы потом свалиться на мнимые числа.
  

ТАХИОНЫ И МНИМЫЕ ЧИСЛА

  
   Что такое тахионы? - Тахионы - это гипотетические частицы, которые движутся со скоростью, больше скорости света. Сейчас все уже знают, что такое невозможно. Согласно теории относительности, любая масса, если ее ускорять, возрастает и обращается в бесконечность при скорости света (скорость света является "сингулярностью" для зависимости массы от скорости). Такое, конечно же, невозможно и для того, чтобы обойти это препятствие, тахиону приписали мнимую массу покоя. А что такое мнимая масса? Что такое мнимые числа? - Давайте по порядку. Сначала числа - потом масса.
   На самом деле мнимых чисел нет. Есть одно единственное мнимое число - квадратный корень из -1, который обозначается буквой i и всегда берется со знаком плюс. Когда об этой величине говорят, то называют ее или "и", или "мнимая единица".
   Мнимых чисел нет, зато есть числа комплексные, которые играют громадную роль и в математике, и в физике. Комплексное число z записывается, как z = a + b*i, т.е. представляют из себя комбинацию из действительной и мнимой частей. Названия действительная часть и мнимая часть являются официальными и обозначаются, как Re(z) = a (действительная часть) и Im(z) = b (мнимая часть). Обращаю внимание на то, что мнимая часть комплексного числа z, является действительным числом b. Если a = 0, а b нулю не равно, то такое число называется "чисто мнимым комплексным числом", но так длинно никто не говорит и не пишет, все ограничивается "чисто мнимым", а "комплексное число" подразумевается. В этом смысле, не будет ошибкой сказать "отрицательные мнимые числа", но надо понимать, что это лишь жаргон. Нельзя, однако, сказать "мнимые девять". Этого никто не поймет - все будут колебаться между корнем из минус девяти и "девять-умножить-на-и". Еще глупее звучит "мнимые-минус-девять", Во всех случаях полагается говорить либо "девять-и", либо "минус-девять-и" и это означает, что вы имеете в виду действительное число 9 (или -9), умноженное на мнимую единицу.
   Ладно, с мнимыми числами, вроде, разобрались, поехали теперь к "тахионам" и к их мнимой массе. Что же такое мнимая масса и с чем ее едят? - Ее вообще не едят. Мнимых масс не бывает. У тахионов не мнимая масса, а мнимая масса покоя, понятие не имеющее особого смысла для частицы, которая не только не может покоится, но всегда движется быстрее скорости света.
   Возьмем теперь соотношения Лоренца для массы. Оно гласит, что масса движущийся частицы m

[]

   Здесь m с ноликом - масса покоя, v - скорость частицы, а с - скорость света. Именно это соотношение запрещает любой частице с ненулевой массой покоя достигать скорости света. Ее масса, как легко видеть, стала бы бесконечной. А что будет, если масса покоя чисто мнимая и может быть записана, как "м-ноль-и"? Давайте подставим такую массу в соотношение Лоренца и посмотрим:

[]

   В это ситуации i только мешает пониманию. Чтобы от него избавиться, поделим и числитель, и знаменатель на i. Получается

[]

   Что же мы можем увидеть из этого результата? - Здесь все наоборот по сравнению с обычными частицами. Если скорость нашего тахиона заметно больше скорости света, то все более или менее нормально. Он имеет совершенно действительную массу, чуть большую, чем м-с-ноликом. Но, если мы попробуем уменьшать его скорость, то масса начнет расти, устремляясь к бесконечности при скорости, равной скорости света. Надо сказать, довольно глупое поведение, мы уменьшаем его скорость, а кинетическая энергия растет. В этом, однако, нет ничего особенно страшного потому, что тахионов просто не существует
   А почему они не могут существовать? Может быть, их просто еще не открыли? - Нет их, действительно, не существует в природе. В теории относительности предполагается, что никакая информация, никакой сигнал, никакая масса не могут передаваться со скоростью, большей скорости света. Если бы тахионы существовали, теория относительности была бы неверна. В этом случае массы элементарных частиц, ускоренных в ускорителях до субсветовых скоростей не вели бы себя так, как они ведут себя на самом деле. Орбита Меркурия была бы несколько другой. Свет в гравитационном поле отклонялся бы иначе. Иначе зависела бы и скорость течения времени от напряженности гравитационного поля. Да, многое тогда было бы иначе.
  
   Кроме того, тахионы своим существованием нарушали бы принцип причинности. Хотя принцип причинности явно и не фигурирует в физике, он является краеугольным камнем не только физики, но и всех остальных наук. Он означает, что чудес не бывает. Я согласен с тем, что это ужасно грустно. Я понимаю, что многие не хотят в такое верить... Я много думал на эту тему и вот, что я могу Вам посоветовать. Если Вам очень хочется верить в чудеса, если такая вера сделает Вашу жизнь легче, то, конечно же, верьте. Черт с ними, с науками, Они в этой жизни не самое главное...
Оценка: 4.31*43  Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"