В 1969-м сдавал я вступительные экзамены на физтех. Устная математика.
(Не буду называть имени экзаменатора. Это известный, достойный и ныне здравствующий человек.) Первый вопрос:
"Докажите, что в любом треугольнике расстояние от центра тяжести до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра тяжести до центра описанной окружности."
Ну, думаю, влип! 100% - антисемит. Дело в том, что это - знаменитая теорема про прямую Эйлера.
И такой вопрос ну никак не подходит для экзамена. Однако, элементарной математике меня учил во второй школе сам
Сивашинский и я читал решение в его знаменитом задачнике по геметрии. Но сам не решал и это плохо.
Если бы решал, легко бы вспомнил. Тем не менее, я напрягся и всё равно решил-вспомнил, хотя и не без труда.
Рассказываю доказательство и слышу в ответ:
- Решение ваше правильным быть никак не может!
- Это ещё почему?!
- Да потому, что вы, помимо всего прочего утверждаете, что все три точки лежат на прямой, а это, вообще говоря, не верно.
- Так почему бы тогда вся эта штука называлась прямой Эйлера?!
Я уже открыл рот, чтобы выпалить последнюю фразу. Но как открыл, так и закрыл. (И до сих пор горжусь своей сдержанностью.) Целый рой мыслей пронесся у меня в голове с лёгких жужжанием.
Во-первых, никакой он не антисемит, а просто никогда раньше про прямую Эйлера не слыхал.
Спросил у кого-нибудь перед началом экзаменов, какие есть подходящие задачи, вот ему какой-то шутник и подсказал.
(Так экзаменаторы поступают, когда экзамен по предмету не слишком им близкому.
Я потом и сам имел случаи в этом убедиться.) Но он то преподавал аналитическую геометрию и линейную аллгебру.
Так что пусть его вопрос остаётся на его совести.
Во-вторых, какая от моего сарказма будет польза?!
Он только разозлится, а экзамен продолжится и мало ли какие у него в запасе сюрпризы.
Поэтому я почесал в затылке и сказал: "Ну раз так, разрешите мне ещё немного подумать."
С полчаса я "думал", а потом заявил: "Всё проверил внимательно и ошибки у себя не вижу.
(У себя,.. как же!.. у Эйлера; ну в крайнем случае, у Сивашинского.) Покажите мне ошибку и я уйду."
Ставка была сделана солидная. Он покраснел, взял мой листок и углубился в размышления.
А через час пришла уборщица и экзамен сам собой кончился.
Как честный человек, он поставил мне заработанную пятёрку за устный и утвердил пятёрку за письменный, но
написал "телегу", будто я занимался с репетиторами. Ну, это, во-первых, ненаказуемо, а во-вторых, - враньё!
Он, очевидно, навёл справки про прямую Эйлера и заключил, что такому в школе обучить не могут.
Про "телегу" я узнал на апелляции; будущий мой замдекана проболтался.
Дело в том, что со всеми моими пятёрками (две по математике и две по физике) принимать меня вовсе не собирались.
Сказали, что вот, ты тут с репетиторами, а в деревнях и учебников то нет. Я резонно ответил, что
получил на их экзаменах всё что возможно и, значит, меня не собирались принимать ни в каком случае.
"Хорошо, дело хозяйское, но вы мне должны были сказать об этом сразу, а не устраивать клоунаду с экзаменами."
То ли доводы мои подействовали, то ли ещё что, но меня приняли кандидатом, а через пару лет перевели в студенты.
А вообще-то, игра шла довольно азартная. Всё это происходило 31-го июля - последний день, когда ещё
можно было подать документы в другой вуз. А так - апелляция и ... либо в физтех, либо в армию.
Искушения продолжались в этот день и дальше; перед самым началом этой самой апелляции
прибыли какие-то дяденьки из "лестеха" и предложили принять туда по результатам физтеховских экзаменов;
причём вовсе не обязательно иметь 20 баллов, достаточно и 12-и. Но только решать надо было сразу,
подписать бумажки и отдать им документы, а без них на апелляции делать уже нечего.
А что? Лестех этот окончил сам Борис Абрамович Березовский...
---
Кстати, на моём потоке на письменном экзамене была ещё одна любопытная задачка, которую я много раз пытался потом, через много лет, вспомнить, но так и не сумел.
Даны три суммы: аргументов, синусов и квадратов синусов. Они явно даны, но я не помню констант
в правых частях. Сумма аргументов, может быть, пи, но не уверен. Надо решить систему.
x + y + z =...
sin x + sin y + sin z =...
sin^2 x + sin^2 y + sin^2 z = ...
Я до сих пор не знаю, как правильно это делать. В решении все три переменных принимают различные значения,
типа, пи/6, пи/3 и пи/2, но я опять же точно не помню, какие.
Мне кое-как удалось решить, но решение заняло час, 4 страницы и это явно не то, что имелось в виду.
Я отказался от симметрии и получил 3! = 6 решений шестью разными способами. Может, кто-нибудь знает эту задачку и "правильное" решение?
А ещё там была задачка по стереометрии, в которой фигурировали тетраедр и сфера.
Требовалось вычислить длину какого-то отрезка. Для этого сперва надо было сообразить
(и доказать), что центр этой сферы совпадает с серединой одной из сторон тетраедра.
Но я и не думал о "совпадениях". Опять же сказалась школа Сивашинского.
В девятом классе он придумал такое развлечение: берём единичный куб и выбираем три точки:
скажем, середина одного ребра - одна; продолжаем другое ребро и берём точку на расстоянии два от куба - другая;
ну и третья в том же духе. Надо пересечь куб плоскостью, проходящей через эти три точки, найти площадь сечения и отношение объёмов.
Помню, первую такую задачку, я решил часов за семь (и пари могу держать, что неправильно).
Но уже через месяц наперегонки с Зелевинским мы за полчаса получали площадь типа 1.0234 и
отношение объёмов 19117/20484, причём оба получали одно и то же.
Поэтому я и тут долго не заморачивался, а посчитал искомую длину на паре страниц.
Экзаменатор назвал мои методы "гробовыми", но поскольку ответ был верным, "оргвыводов" никаких не последовало.