Хмельник С. И.
Решение системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами
Новый метод и MATLAB-программа
Аннотация
Описывается новый метод и алгоритмы решения системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Метод основан на найденом автором вариационном принципе оптимума в линейных электрических цепях переменного тока [1]. Это означает, что для любой такой цепи существует единственный оптимум некоторого функционала. Следовательно, существует и единственный оптимум некоторого функционала, оптимальное значение которого является решением системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Этот единственный оптимум может быть найден быстродействующим методом градиентного спуска, что очень привлекательно для приложений. При этом существует обратная зависимость между точностью и временем решения. На практике это означает, что пользователь может быстро перебирать приближенные варианты, а затем более точно расчитать выбранный вариант.
Здесь приводятся программы в системе MATLAB (М-функции) и тестовые примеры, также выполненные в виде М-функий.
Содержание
1. Описание метода
2. Основная программа
3. Тесты
4. О сходимости
5. О быстродействии и точности
Литература
Программы
1. Описание метода
Фиг. 1.
Фиг. 2.
2. Основная программа
М-функция для расчета электрической схемы имеет вид:
function [res,erMin,k,q,er] = ...
SinLin(E,Z,maxEr,maxK)
Входными аргументами здесь являются
E - вектор с, определенный в (1),
Z = a + j*b - см. (1),
maxEr - допустимая относительная ошибка
maxK - допустимое количество итераций
Выходными величинами здесь являются
q = x - результат вычисления,
k - достигнутое количество итераций,
er - массив ошибок на каждой итерации,
erMin - полученная ошибка результата,
res - признак результата:
-- res=0 - результат получен,
-- res=1 - превышено допустимое количество итераций,
-- res=2 - превышена допустимая ошибка.
3. Тесты
В тестах дополнительно приняты следующие обозначения:
qt=xt=Z\c - результат традиционного вычисления,
ert = Z*xt - c - ошибка традиционного вычисления,
comp - относительная ошибка результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам.
Пример 4. Программа решения одного уравнения с комплексными коэффициентами:
function [xt,x,erMin,k] = test1
Пример 5. Программа решения двух уравнений с комплексными коэффициентами системе MATLAB:
function [res,qt,q,erMin,k] = test2
Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 1 и фиг. 2.
Пример 6. Программа решения трех уравнений с комплексными коэффициентами системе MATLAB:
function [res,qt,q,erMin,k] = test3
Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 1 и фиг. 2.
Пример 7. Программа решения N уравнений с комплексными коэффициентами системе MATLAB.
function [comp,erMin,k] = testN(N, maxEr)
Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 1 и фиг. 2. Параметр comp служит для сравнения результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам.
4. О сходимости
Итерационный процесс сходится, если матрицы M и R являются знакопределенными (положительно или отрицательно).
Пример 8. Программа решения трех уравнений с комплексными коэффициентами:
function [res,qt,q,erMin,k] = test3r
Здесь матрица M не является знакопределенной, процесс расходиться и прекращается, когда ошибка в 100 раз превышает ошибку в начале итерации. Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 3. Пользователь может экспериментировать, назначая знакоопределенные и знаконеопределенные матрицы а и в, указанные в коментариях.
Фиг. 3.
5. О быстродействии и точности
Эксперименты показывают, что
-- comp ~ maxEr,
-- comp пропорционально maxEr,
-- количество итераций пропорционально maxEr,
-- количество итераций пропорционально размерности N.
Пример 9. Программа решения N уравнений с комплексными коэффициентами:
function testNv
Параметр comp служит для сравнения результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам. Отображаются графики зависимости количества итераций и ошибки comp от размерности N при фиксированой величине maxEr - см. фиг. 4. Видно, что, во-первых, comp < maxEr и, во-вторых, количество итераций пропорционально размерности N.
Фиг. 4.
Пример 10. Программа testNe решения N уравнений с комплексными коэффициентами
function testNe
Параметр comp служит для сравнения результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам. Отображаются графики зависимости количества итераций и ошибки comp от заданной величины maxEr при фиксированой размерности N - см. фиг. 5. Видно, что, во-первых, comp пропорционально maxEr и, во-вторых, количество итераций пропорционально maxEr.
Фиг. 5.
Литература
1. Хмельник С.И. Вариационный принцип экстремума в электромеханических и электродинамических системах, третья редакция. Publisher by "MiC", printed in USA, Lulu Inc., ID 1769875, Израиль, 2010, ISBN 978-0-557-04837-3.