Сергей Иванович Ипатов

Формирование и эволюция планетных систем

2025

УДК 523

ББК 22.65

И76

Ипатов Сергей Иванович

Формирование и эволюция планетных систем / Сергей Иванович Ипатов, 2025. 132 с.

ISBN 978-5-6055159-1-3

В книге рассматриваются различные проблемы формирования и эволюции планетных систем. Большая часть исследований посвящена Солнечной системе. Изучается коллапс досолнечного облака и аккумуляция планет. Рассматривается формирование системы Земля-Луна, двойных транснептуновых объектов и осевых вращений планет. Обсуждается формирование астероидного и транснептунового поясов, в том числе эволюция резонансных орбит астероидов и образование люков Кирквуда в астероидном поясе. Исследуется миграция тел в ходе формирования Солнечной системы и в настоящее время, в том числе обсуждается доставка ледяных тел из-за линии льда к планетам земной группы и формирование кратеров на Луне. Говорится о миссии Дип Импакт, в ходе которой произошло столкновение ударного модуля космического аппарата с кометой Темпеля 1. Рассматривается миграция пыли в Солнечной системе и формирование зодиакального пояса, а также миграция тел и пылевых частиц, выброшенных с планет земной группы и Луны. Изучается также миграция тел в некоторых экзопланетных системах (Проксима Центавра, Траппист 1 и Глизе 581), спектры экзопланет, похожих на Землю, с различными периодами осевых вращений, а также эффективность поиска экзопланет методом микролинзирования при использовании различных телескопов.

Книга утверждена к публикации решением Ученого Совета Института геохимии и аналитической химии им. В.И. Вернадского Российской академии наук (ГЕОХИ РАН) от 27.11.2025.

Данная публикация подготовлена в рамках госзадания ГЕОХИ им. В.И. Вернадского РАН.

Рецензент:

Главный научный сотрудник ГЕОХИ РАН, д.х.н., член-корреспондент РАН О.Л. Кусков

DOI: https://dx.doi.org/10.17513/np.649.

УДК 523

ББК 22.65

ISBN 978-5-6055159-1-3

Сергей Иванович Ипатов, 2025

Издатель С. И. Ипатов, 2025

Введение

В данной книге на основе публикаций автора рассматриваются различные проблемы формирования и эволюции планетных систем. Большая часть исследований посвящена Солнечной системе. Рассматривается коллапс досолнечного облака, аккумуляция планет земной группы, формирование системы Земля-Луна, двойных транснептуновых объектов и осевых вращений планет. Исследуется миграция тел в ходе формирования Солнечной системы и в настоящее время, в том числе обсуждается доставка ледяных тел из-за линии льда к планетам земной группы и формирование кратеров на Луне. Рассматривается эволюция резонансных орбит астероидов и образование люков Кирквуда в астероидном поясе. Рассказывается о наблюдениях астероидов и комет и о моделях для определения вероятности обнаружения в различных областях неба объектов, сближающихся с Землей. Говорится о миссии Дип Импакт (Deep Impact), в частности об удалении следов космических лучей со снимков, сделанных этим космическим аппаратом, и о выбросе вещества с кометы 9P/Темпеля 1 после столкновения ударного модуля космического аппарата Дип Импакт с этой кометой. Исследуется миграция пыли в Солнечной системе и формирование зодиакального пояса, а также миграция тел и пылевых частиц, выброшенных с планет земной группы и Луны. Рассматривается также миграция тел в некоторых экзопланетных системах (Проксима Центавра, Траппист 1 и Глизе 581), спектры экзопланет, похожих на Землю, с различными периодами осевых вращений, а также эффективность поиска экзопланет методом микролинзирования при использовании различных телескопов. Кратко говорится о некоторых неастрономических задачах, которыми занимался автор. Обсуждаются исследования генерации акустических волн под воздействием флюидов на стенки пор и их распространения в пористой среде с флюидами и газом.

Книга рассчитана на обычного читателя, интересующегося астрономией, и материал излагается в основном на популярном уровне. Читатель, заинтересованный в более детальном изложении материала, может посмотреть публикации автора по интересующей его теме. Большинство публикаций С.И. Ипатова на английском языке и его монографию [78] на русском языке, суммирующую результаты Ипатова в 20 веке, можно скачать и прочесть бесплатно по интернетовским ссылкам в списке публикаций, приведенном во второй части книги. Интернетовские ссылки на публикации С.И. Ипатова можно найти на сайтах https://siipatov.webnode.ru/publications и https://sites.google.com/view/siipatov/publications-in-russian и в файле https://1drv.ms/w/c/c67d93a65f0a2a17/ERcqCl-mk30ggMYFBAAAAAABye6tCmVUGVWRphNZ_k-WIg?e=DjHucX (там список публикаций приведен в другом порядке). На этих сайтах можно будет найти также ссылки на публикации Ипатова, которые выйдут после издания данной книги (написание ряда статей по уже проведенным расчетам отложено до завершения подготовки книг). Там же можно будет найти и ссылку на файл с данной книгой. Этот файл в формате docx можно скачать с сайта https://1drv.ms/w/c/c67d93a65f0a2a17/ETczmLUVNmNIiXcDuG8av_kBO0N_WKVFeZfJeWQ2qbqD1A?e=tOaKMC. Я положил файл с книгой на сайты https://dx.doi.org/10.17513/np.649, https://www.elibrary.ru/item.asp?id=88803878, https://www.litres.ru/author/sergeyivanovich-ipatov/, https://doi.org/10.48550/arXiv.2601.08952, https://www.researchgate.net/publication/398948901, https://www.academia.edu/145190350, https://online.fliphtml5.com/Sergei_Ipatov/Ipatov-Formation-planetary-systems/ и https://www.kobo.com/lt/en/ebook/formation-and-evolution-of-planetary-systems. Большинство статей С.И. Ипатова можно бесплатно скачать с сайтов https://independent.academia.edu/SergeiIpatov (на этот сайт выкладывались и фотографии страниц статей, которые не существуют в оцифрованном виде), https://www.researchgate.net/profile/S_Ipatov/publications и http://arxiv.org. Читателю, интересующемуся интернетовскими ссылками, удобнее иметь доступ к файлу книги или к файлу со списком публикаций даже при наличии печатного экземпляра.

Ссылки на публикации других авторов приводятся в тексте, а не в конце книги. Ссылки на гораздо большее число публикаций других авторов можно найти в статьях Ипатова. В монографии [78] было 687 ссылок на публикации, а в обзорной статье [59] 400 ссылок. Общее же число ссылок на публикации разных авторов во всех публикациях Ипатова гораздо больше, и объем книги увеличился бы в несколько раз, если приводить подробные ссылки на работы разных авторов. Поэтому в книге число ссылок на работы других авторов ограничено. Темы многих разделов книги заслуживают того, чтобы на эти темы были написаны отдельные книги. Подробное изложение материала привело бы к большому объему книги и было бы интересно только специалистам, в то время как оно доступно бесплатно при использовании интернетовских ссылок (по ссылкам читатель может подробнее прочесть то, что ему интересно). Статьи Ипатова доступны бесплатно в основном на английском языке, которым владеет любой научный работник. Рисунки и таблицы в книге приводятся нечасто, и их нумерация своя в каждом разделе, так как на них нет перекрестных ссылок между различными разделами. Гораздо большее число рисунков и таблиц по рассматриваемым темам можно найти в публикациях С.И. Ипатова.

Данная книга может служить путеводителем по публикациям автора. Она представляет собой краткий обзор полученных С.И. Ипатовым результатов и общие сведения по рассматриваемым темам. Обычный читатель получит общее представление об излагаемом материале (и ему вряд ли будут интересны детали). Заинтересованный читатель может выбрать, какие публикации он хотел бы бесплатно скачать из интернета, посмотреть их и ознакомиться с интересующей его темой гораздо более подробно, в том числе и с многочисленными ссылками на публикации других авторов. Обзоры работ С.И. Ипатова по формированию и эволюции планетных систем приведены в монографии 2000 года [78], в статьях [59] и [64] и в научно-популярной статье [77]. В главе 1 монографии [78] приводятся общие сведения о Солнечной системе (в том числе о планетах, астероидах, кометах, кратерах, метеоритах, метеорных потоках). Данная книга первоначально была написана как одно из приложений к будущей книге о встречах с астрономами. Сначала я начал писать приложения к этой будущей книге, но потом, увидев большой размер приложений, решил публиковать их отдельно. Приложение по истории России вышло как книга [537]. Приложение о результатах, полученных С.И. Ипатовым, стало данной книгой. Еще одно пока незаконченное приложение с фотографиями ученых можно найти на https://siipatov.webnode.ru/link-to-albums-with-photos или https://sites.google.com/view/siipatov/links-to-photos.

Автор приветствует свободное распространение этой книги в электронной или печатной форме, не возражает против ее выкладывания на различных сайтах и не претендует ни на какие авторские отчисления при ее печати или другом распространении.

Данная публикация подготовлена в рамках госзадания ГЕОХИ им. В.И. Вернадского РАН.

СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА

1. Коллапс досолнечного облака и вброс в него короткоживущих радиоизотопов при столкновении облака с ударной волной сверхновой

Под руководством Алана Босса (Alan Boss) в 2007 г. Ипатов проводил расчеты коллапса досолнечного облака и вброса в него короткоживущих радиоизотопов при столкновении облака с ударной волной сверхновой [36, 38, 97, 377, 382, 392]. Космохимические доказательства существования короткоживущих радиоизотопов (SLRI), таких как 26Al и 60Fe, во время формирования примитивных метеоритов требуют, чтобы эти изотопы были синтезированы в массивной звезде, а затем включены в хондриты в течение 10⁶ лет. Долгое время предполагалось, что ударная волна сверхновой перенесла SLRI в ядро плотного досолнечного облака, вызвала коллапс облака и инжектировала изотопы. В наших расчетах с помощью гидродинамического алгоритма адаптивного уточнения сетки (AMR) FLASH2.5 было показано, что ударная волна со скоростью 20 км/с действительно может вызвать коллапс облака c массой Солнца, одновременно впрыскивая изотопы ударной волны в коллапсирующее облако. Эти расчеты подразумевают, что гипотеза триггера сверхновой является наиболее вероятным механизмом доставки SLRI, присутствующих во время формирования Солнечной системы. Эти модели показывают [36], что при включении охлаждения молекулами H₂O, CO₂, и H₂ ударная волна 20 км/с способна вызвать гравитационный коллапс стабильного, плотного ядра облака солнечной массы, а также впрыскивать соответствующие количества материала ударной волны сверхновой в коллапсирующее ядро облака. Этот инжектированный материал состоит из газа ударной волны, а также пылевых частиц, достаточно малых, чтобы оставаться связанными с газом, т. е. субмикронных размеров, которые, как ожидается, характеризуют ударные волны сверхновых и несут SLRI, продукты распада которых были обнаружены в тугоплавких включениях хондритовых метеоритов. Эти модели оказывают сильную поддержку гипотезе о том, что ударная волна сверхновой, несущая SLRI, могла спровоцировать образование Солнечной системы.

Были также проведены аналогичные расчеты [38] со скоростями ударных волн в диапазоне от 1 км/с до 100 км/с. Мы обнаружили, что скорости ударных волн в диапазоне от 5 км/с до 70 км/с способны вызвать коллапс облака c массой, равной 2.2 массам Солнца, одновременно впрыскивая материал ударной волны. Ударные волны с меньшей скоростью не вызывают впрыска, в то время как ударные волны с большей скоростью не вызывают устойчивого коллапса. Расчеты подтверждают гипотезу триггера ударной волны для формирования Солнечной системы, хотя эффективность впрыска в существующих моделях ниже желаемой. При включении охлаждения соответствующими молекулами, ударные волны со скоростями в диапазоне от 5 до 70 км/с способны вызвать гравитационный коллапс стабильных, плотных ядер облаков, а также впрыскивать материал ударной волны в коллапсирующие ядра облаков.

1. Эволюция двух близких гелиоцентрических орбит гравитационно взаимодействующих тел

Подробнее об эволюции двух близких гелиоцентрических орбит гравитационно взаимодействующих тел можно прочитать в главе 2 монографии [78]. Эта глава основана на статьях [1, 16-17] и препринтах [218-219, 232]. Исследования взаимодействия двух планетезималей (или планеты и планетезимали), являющегося элементарным процессом в протопланетном диске, позволяют лучше понять процесс эволюции этого диска, оценить зоны питания растущих планет и влияние планетезималей на эволюцию близких орбит других планетезималей. Планетезималями называют тела, из которых формировались планеты. Планетезимали образовались в протопланетном диске при сжатии разреженных газопылевых сгущений. Формирование планетезималей обсуждалось нами в параграфе 2.3 обзора [59]. Греческие и троянские астероиды Юпитера движутся в резонансе 1:1 с движением Юпитера в окрестностях точек Лагранжа L₄ и L₅. Греки движутся вокруг Юпитера на 60® впереди, а троянцы - на 60® позади.

Взаимное гравитационное влияние двух материальных точек (МТ), движущихся вокруг массивного центрального тела - Солнца в одной плоскости по первоначально близким орбитам, учитывалось путем численного интегрирования уравнений движения. Материальные точки имеют массы, но не имеют размеров. Путем численного интегрирования плоской задачи трех тел исследована эволюция орбит около тысячи пар гравитационно взаимодействующих объектов - материальных точек (МТ), движущихся вокруг Солнца. Изучены характерные изменения орбит для следующих типов эволюции орбит: движения около треугольных точек либрации по головастикообразным и подковообразным синодическим орбитам (N- и M-типы), случай возможных тесных сближений (до радиуса сферы действия) объектов (A-тип) и хаотические изменения элементов орбит, при которых невозможны тесные сближения МТ (C-тип). Отношение ₁ массы большей МТ к массе Солнца варьировалось от 10^-9 до 10^-3, рассматривалась не только ограниченная задача трех тел, но и случай одинаковых масс МТ (₁=₂, ₂ - отношение массы меньшей МТ к массе Солнца). Рассматриваемый интервал времени в большинстве серий расчетов равнялся 2500 или 25000 оборотам МТ вокруг Солнца.

При N-типе графики изменений больших полуосей a орбит МТ со временем t имеют N или И-образный вид. В этом случае в синодических (вращающихся вокруг Солнца с угловой скоростью, равной угловой скорости первой МТ) координатах орбита второй МТ охватывает одну треугольную точку либрации и при почти нулевых эксцентриситетах e орбит имеет вид головастика (серпа). Вершина этих координат лежит в Солнце, одна из осей направлена на первую МТ, а вторая ось координат перпендикулярна первой оси.

В случае M-типа графики зависимости больших полуосей a орбит от времени t имеют M или П-образный вид. В синодических координатах орбита второй МТ охватывает обе треугольные точки либрации. В случае первоначально круговых сидерических орбит синодическая орбита имеет подковообразный вид. Расстояние от Солнца до МТ, движущейся по эксцентричной орбите, меняется за время ее оборота вокруг Солнца от a(1-e) до a(1+e). Поэтому при немалых эксцентриситетах e синодические орбиты имеют более сложный вид, чем при первоначально круговых сидерических орбитах [218]. Даже при начальных нулевых эксцентриситетах орбит в случае ₁=₂=10^-3, в синодических координатах подковообразная орбита за синодический период обращения несколько раз самопересекалась при угле между направлениями из Солнца на МТ, близком к 180^o [218]. Аналитические формулы зависимости разности больших полуосей орбит МТ от угла с вершиной в Солнце между направлениями на МТ рассмотрены в [16, 218].

Тесные сближения тел (до радиуса сферы Хилла r_s=a(₁/3)^1/3 или радиуса сферы действия r_s=a(₁)^2/5) возможны только при A-типе. Изменения элементов орбит в этом случае являются хаотическими и большие полуоси орбит МТ в некоторые моменты времени одинаковы. При C-типе элементы орбит меняются хаотически, но тесных сближений МТ нет и значения больших полуосей орбит МТ не могут стать одинаковыми. При Р-типе a и e меняются периодически, а синодическая орбита второй МТ охватывает Солнце так же, как и при хаотических изменениях. Для этого типа можно выделить большое число подтипов, каждый из которых характеризуется своими взаимосвязями изменений элементов орбит. Для окрестности резонанса 5:2 с движением Юпитера эти взаимосвязи рассмотрены в следующем разделе.

Со временем некоторые N-орбиты могут переходить в M-орбиты, а C- и M-орбиты - в A-орбиты. Через время t>100T_s (T_s - синодический период обращения) такие переходы между типами орбит редки. В случае первоначально круговых орбит (e_o=e^o₂=e^o₁=0, e^o₁ и e^o₂ эксцентриситеты орбит МТ) при исходном угле с вершиной в Солнце между направлениями на объекты _o=60^o, 10^-9©₁©10^-4 и рассматриваемом интервале времени T_o~10⁴t_o (t_o - время одного оборота первой МТ вокруг Солнца) максимальные значения _o=(a^o₂-a^o₁)/a^o₁ (где a^o₁ и a^o₂ начальные значения больших полуосей орбит МТ) для N-, M-, A- и C-типов N_t получены [16] равными соответственно =(1.63-1.64)^1/2, =(0.77-0.81)^1/3, =(2.1-2.45)^1/3 и =(1.45-1.64)^2/7, где =₁+₂. При других значениях _o значения , и , как правило, меньше. В случае ₁=10^-3 M-орбиты неустойчивы, для _o=60^o получено =-0.5^1/3, =(1.8-2.1)^1/3 и =(2.3-2.4)^2/7, а при других _o значения могли быть меньше на треть. При ₁©10^-5 значения и при варьировании _o в основном отличались не более, чем на 10%. В протопланетном диске каждая планетезималь могла тесно сближаться с несколькими соседними планетезималями.

При 10^-9©₁©10^-4 и _o=60^o доля M-орбит, т.е. отношение (-)/, меняется в пределах от 0.18 до 0.25. Чем меньше ₁, тем меньше доли N- и A-орбит и тем больше доля C-орбит. При ₁=₂=10^-9 доли C- и A-орбит примерно одинаковы (---). В ряде случаев при некоторых _o, принадлежащих подобласти, лежащей внутри интервала [, ], были получены C-орбиты, а при некоторых _o, находящихся в диапазоне [, ], элементы орбит менялись периодически.

Движение около треугольных точек либрации исследовалось не только численно, но и аналитически. При _o=0 получено, что минимальные значения _o, соответствующие N- и M-типам, близки к 0.4 и 4^1/3 радиан соответственно. При этих типах графики изменений большой полуоси a орбиты со временем имеют N- или M-образный вид. Чем меньше , тем ближе M-образные изменения a к П-образным изменениям. Периоды изменений a со временем для N- и M-орбит максимальны при _o- и при этом могут в 2-6 раз превышать T_sf, где T_sf - синодический период обращения при движении МТ по фиксированным исходным орбитам.

В случае тесных сближений объектов (A-тип) графики изменений элементов орбит со временем, полученные при различных (©10^-7) значениях _r точности интегрирования на шаге, близки друг к другу в основном только до первого очень тесного сближения объектов. Однако, характер и пределы изменений элементов орбит для этих графиков примерно одинаковы. Варьирование _r оказывает такое же влияние на изменения элементов орбит, как и варьирование исходных положений МТ на орбитах.

В случае ₁©10^-5 и e_o=0 максимальные эксцентриситеты e_max обычно не превышают (7-8)₁^1/3 при ₁>>₂ и (4-6)₁^1/3 при ₁=₂ для A-типа, а также не превышают (4-6)₁^1/3 при ₁>>₂ и 4₁^1/3 при ₁=₂ для C-типа. Когда МТ движутся внутри сферы Хилла, оскулирующие эксцентриситеты их гелиоцентрических орбит могут быть значительно больше этих значений e_max. Максимальное удаление МТ от Солнца для A- и C-типов достигало соответственно 1+1.5 и 1+2 при ₁=₂=10^-9 и 1+5.6 и 1+6.6 при ₁=10^-5>>₂.

Выше приведены данные для первоначально круговых орбит МТ. При бльших исходных эксцентриситетах орбит значения меньше, значения и e_max, как правило, больше, а почти такое же, как и при меньших начальных значениях эксцентриситетов орбит МТ. При некоторых ориентациях орбит для типа M амплитуда долгопериодических изменений e может превышать e_o. Полученные результаты позволяют в ряде случаев (например, при первоначально круговых орбитах) определять по начальным данным характер и пределы изменений элементов орбит двух гравитационно взаимодействующих объектов.

В ряде случаев (особенно при ₁~10^-5>>₂) для A-типа были получены выходы тел-МТ на резонансные орбиты. Обычно через несколько сотен оборотов тел вокруг Солнца эти резонансные соотношения нарушались. При большинстве рассмотренных резонансов (T₂:T₁=2:1, 12:5, 13:5, 4:5, 6:5, 7:5, T_i - период обращения i-го тела вокруг Солнца) большие полуоси и эксцентриситеты орбит менялись периодически с небольшой амплитудой, а изменения долготы перигелия были невелики (рис. 2.1 и 2.4б в [78]). Движения около резонансов в этих случаях являются колебаниями около периодических решений, представляющих в синодических координатах замкнутые кривые. В варианте расчетов, представленном на рис. 2.4б в [78], при резонансах 6:5 и 5:4 большая полуось орбиты меньшего тела менялась незначительно, эксцентриситет почти монотонно возрастал, а долгота перигелия убывала. В этих случая в синодических координатах кривая, около которой происходили малые колебания, не была замкнутой.

Множество исходных данных, при которых с начального момента времени движение тел (МТ) близко к периодическому движению, невелико, но при достаточно больших значениях массы большего тела выходы на резонансные орбиты довольно часты. При ₁=10^-5 и ненулевых одинаковых начальных эксцентриситетах орбит в шести из десяти приведенных в [219] вариантах в ходе эволюции в течение более 200 оборотов первого тела средние движения тел были соизмеримыми. При меньших значениях ₁ выходы на резонансные орбиты были получены реже и синодический период обращения при этом был значительным. Например, в случае, представленном на рис. 2.2г в [78], при числе оборотов вокруг Солнца (центрального тела) между 16000 и 17500, тела находились в резонансе 19:18. При этом значения эксцентриситета и долготы перигелия почти не менялись. Поэтому тела (например, кометы), орбиты которых пересекают орбиту какой-либо планеты-гиганта, заметную часть времени могут находиться в резонансе с этой планетой, если возмущения от других планет относительно невелики.

1. Эволюция орбит астероидов при резонансах с Юпитером

Эволюция орбит астероидного типа при резонансах 2:5, 1:3 и 1:2 с движением Юпитера рассматривалась Ипатовым в препринтах [220, 229-230, 213b], статьях [6, 8, 14, 29, 66] и в главе 3 монографии [78]. Эти отношения (2:5, 1:3 и 1:2) представляют собой отношения средних движений Юпитера и астероида (отношение периодов обращения вокруг Солнца астероида и Юпитера). Такие отношения рассматривались в СССР и России, когда были опубликованы статьи Ипатова по резонансам. В иностранной литературе, а также в современных публикациях в России обычно рассматриваются обратные отношения (5:2, 3:1 и 2:1) отношения периодов обращения Юпитера и астероида. Поэтому в отличие от более ранних моих работ ниже я буду рассматривать отношения 5:2, 3:1 и 2:1, а не 2:5, 1:3 и 1:2. Основное внимание уделялось резонансу 5:2. Результаты этих расчетов использовались для объяснения происхождения люков Кирквуда 5:2 и 3:1. Люками Кирквуда называются области значений больших полуосей a орбит, которые соответствуют минимумам в распределении астероидов по a. Для этих люков отношение периодов обращения Юпитера и астероида вокруг Солнца близко к 3:1, 5:2, 2:1 или 7:3. В настоящее время наиболее популярна гипотеза происхождения люков Кирквуда, согласно которой в ходе эволюции эксцентриситеты резонансных орбит астероидов достигали значений, при которых перигелии их орбит лежали внутри орбиты Марса. Так как скорости изменений долготы перигелия и долготы восходящего узла орбиты различны для астероида и Марса, то такие астероиды могли покидать люк вследствие тесных сближений с Марсом. Уиздом в 1982 для люка 3:1 и Шидлиховский в 1987 для люка 5:2 высказали эту гипотезу, основываясь на исследованиях хаотических орбит. Ипатов [6, 14, 230] независимо сделал аналогичное предположение о миграции из этих люков астероидов, двигавшихся по квазипериодическим орбитам. Его предположение основывалось на результатах препринта [220] 1980 года, в котором в случае соизмеримостей 5:2, 3:1 и 2:1 для ряда тестовых астероидов при квазипериодических изменениях эксцентриситетов e был получен рост e от 0.15 до 0.75, 0.45 и 0.35 соответственно.

Путем численного интегрирования полных уравнений движения задачи трех тел (Солнце-Юпитер-астероид) методом Bulsto Булирша-Штера были исследованы изменения со временем элементов орбит более 500 тестовых астероидов [6, 8, 14, 220, 229-230]. Отмечалось, что графики изменений элементов орбит со временем были одинаковыми при расчетах с точностью интегрирования на шаге, равной 10^-8, 10^-9 или 10^-10. Начальные эксцентриситеты орбит астероидов обычно равнялись 0 или 0.15, но могли достигать 0.3. Начальные наклонения орбит обычно равнялись 0 или 10^o, но могли достигать 30^o. Впервые было получено, что в случае соизмеримости 5:2 максимальная (по различным начальным ориентациям орбит) область начальных значений больших полуосей и эксцентриситетов орбит, при которых тестовые астероиды за 10⁵ лет достигают орбиты Марса, близка к области, свободной от реальных астероидов, и мало отличается от аналогичной области, при которой достигается орбита Земли (рис. 1). Зависимости этих областей (при расчетах и при наблюдениях) от наклонений орбит астероидов также примерно одинаковы. Многие тестовые астероиды, достигавшие в ходе эволюции орбиты Марса, достигали также орбиты Земли. Полученные результаты показывают, что тесные сближения астероидов с Марсом и Землей могли быть одной из причин образования люка Кирквуда 5:2 в астероидном поясе. Эффективный радиус Земли обычно не менее, чем в два раза превышает эффективный радиус Марса. Эффективным радиусом планеты называется величина прицельной дальности, при которой достигается планета (при вхождении тела в сферу Хилла планеты тело сталкивается с планетой, если минимальное расстояние между линией направления относительной скорости и центром масс планеты меньше эффективного радиуса). Поэтому метеориты, мигрировавшие из люка 5:2, возможно чаще выпадали на Землю, чем на Марс. Источниками пополнения групп Аполлона и Амура, а также метеоритов, выпадавших на Землю, могли быть, в частности, тела из люков 3:1, 2:1, 5:2 и из внутренней части астероидного пояса.

Рассмотренные тестовые астероиды достигали орбит Марса и Земли, как правило, при определенных типах взаимосвязей между долгопериодическими изменениями эксцентриситета астероида и разности долгот перигелиев орбит астероида и Юпитера. Подробно были исследованы различные типы таких взаимосвязей. Для каждого из этих типов определены пределы изменений и периоды долгопериодических изменений элементов орбит. При небольших эксцентриситетах и наклонениях орбит для ряда тестовых астероидов рассмотрены взаимосвязи между периодами изменений эксцентриситета, наклонения, аргумента перигелия и долготы восходящего узла орбиты астероида. Были выведены формулы перехода от прямоугольных координат к орбитальным, свободные от особенностей при нулевых наклонах (см. [230] и параграф 2 главы 3 в [78]).

Рисунок 1. График распределения астероидов по эксцентриситетам и большим полуосям их орбит в окрестности люка Кирквуда 5:2. Пунктирной и штрих-пунктирной линиями помечены границы максимальной области значений a_o=a_o-a_5/2 и e_o, при которых для некоторых исходных ориентаций орбит и начальных положениях тестовых астероидов на этих орбитах в ходе эволюции максимальный эксцентриситет орбиты астероида при расчетах превышал 0.41, в плоском случае и при начальном наклонении i_o орбит, равном 10^о, соответственно. a_o и e_o это начальные значения большой полуоси a и эксцентриситета орбиты тестового астероида, а a_5/2 значение a, соответствующее резонансу 5:2. На верхней оси х приведены значения 1000(a_o-a_5/2)/a_o (отклонения от резонанса) в отличие от нижней оси a_o. Разные значки соответствуют разным наклонениям орбит астероидов. Этот рисунок показывает, что размер люка Кирквуда совпадает с размером области начальных эксцентриситетов и больших полуосей орбит астероидов, при которых в ходе эволюции достигается орбита Марса.

В статье [29] приведены результаты расчетов (с несколькими значениями точности интегрирования на шаге) миграции тестовых астероидов при резонансах 3:1 и 5:2 с Юпитером при начальных эксцентриситетах e_o орбит равных 0.05 или 0.15 и начальных наклонениях i_o равных 5^o или 10^o. В табл. 4 статьи [29] значения вероятностей столкновений таких астероидов (за время их динамической жизни) с Венерой, Землей и Марсом были соответственно порядка 10^-3, 2"10^-3 и 5"10^-4 при e_o=0.15, i_o=10^o и резонансе 3:1 и порядка 10^-4, 3"10^-4 и 10^-4 при e_o=0.15, i_o=10^o и резонансе 5:2. При e_o=0.05 эти вероятности могли быть в несколько раз меньше. На рис. 5 статьи [29] приведено распределение мигрировавших астероидов по большим полуосям и наклонениям их орбит при e_o=0.15, i_o=10^o и резонансе 3:1. Из этого рисунка, в частности, следует, что большие полуоси орбит в основном находились в интервале от 2 до 3 а.е., но было и немало значений между 0.5 и 10 а.е. Наклонения орбит могли достигать 180^o.

1. Моделирование эволюции орбит небесных тел методом сфер

До 21-го века моделирование на ЭВМ эволюции дисков, состоящих из сотен гравитирующих тел, движущихся вокруг Солнца, еще не могло быть проведено на интервалах времени в десятки-сотни миллионов лет путем численного интегрирования уравнений движения задачи N-тел. В этом случае можно было применять приближенные методы учета гравитационных взаимодействий тел и, в частности, метод сфер. В методе сфер считается, что вне рассматриваемой сферы (обычно сферы действия) тела движутся вокруг Солнца по невозмущенным кеплеровским орбитам, а внутри сферы относительное движение рассматривается в рамках задачи двух тел. В публикациях Ипатова [1-5, 7, 9-11, 13, 15, 17-20, 216-217, 221, 225-228] в 1978-1995 годах неоднократно использовались результаты расчетов, в которых взаимное гравитационное влияние тел учитывалось методом сфер действия. Радиус сферы действия планеты (области пространства, в которой относительные возмущения планеты больше относительных возмущений Солнца) равен r_s=R"^2/5, где R - расстояние планеты от Солнца, а - отношение массы планеты к массе Солнца.

Ниже кратко описывается используемый алгоритм метода сфер, проводится сравнение результатов расчетов, полученных этим методом, с результатами численного интегрирования уравнений движения и исследуются характерные изменения элементов орбит тел при одном сближении до радиуса сферы действия. Подробнее об этом можно почитать в [16, 216, 221, 224] и в главе 4 монографии [78]. Программы моделирования методом сфер действия эволюции дисков тел, объединяющихся при столкновениях, приведены в отчете ИПМ РАН О-1211 за 1985 г. Алгоритмы, приведенные в этом отчете, были рассчитаны на многопроцессорную ЭВМ ПС-2000, но многие подпрограммы использовались и для расчетов на однопроцессорной ЭВМ БЭСМ-6.

В отличие от схемы Эпика, используемой другими авторами, в предложенном Ипатовым [216] алгоритме (см. также параграф 2 в главе 4 в [78]) характерное время до сближения (до радиуса r_s рассматриваемой сферы) двух тел зависело не только от их средней относительной скорости и угла i между плоскостями орбит, но также от синодического периода T_s обращения этих тел и от суммы углов с вершиной в Солнце, внутри которых расстояние между орбитой "первого" тела и проекцией орбиты "второго" тела на плоскость орбиты "первого" тела меньше радиуса r_s рассматриваемой сферы. Наряду со случаем фиксированного угла i между плоскостями орбит тел впервые был рассмотрен случай переменного i. Получено, что характерное время до столкновения тел в случае переменного i может быть в несколько раз меньше, чем для фиксированного i, равного среднему значению переменного i. В отличие от схемы Эпика предложенные формулы более удобны при аналитических исследованиях зависимости эволюции диска от числа составляющих его тел. Они позволяют также учесть некоторые более тонкие эффекты взаимодействий тел. В [29] в этот алгоритм вычисления вероятности был добавлен коэффициент, учитывающий отличие скорости в момент сближения в рассматриваемой точке от средней скорости движения по орбите.

Такие формулы характерного времени до сближения до радиуса сферы (вместе с вычислением вероятности столкновения внутри сферы) использовались также для оценки вероятности столкновений тел (пылевых частиц) за большой интервал времени на основе массивов элементов орбит мигрировавших тел-планет, полученных путем численного интегрирования уравнений движения. Например, такие оценки проводились в [28-31, 33, 53, 61, 86-94] при изучении вероятностей столкновений тел с планетами, когда эти вероятности малы и при численном интегрировании эволюции орбит даже сотен тел не происходит их столкновений с планетами.

Результаты расчетов методом сфер действия сравнивались с результатами численного интегрирования уравнений движения и показали успешность применения метода сфер для рассматриваемых нами задач. В частности, было проведено сравнение результатов исследования эволюции гелиоцентрических орбит двух гравитационно взаимодействующих объектов, полученных путем численного интегрирования, с аналогичными результатами, полученными с помощью метода сфер [221]. На основе этого сравнения исследованы границы применимости метода сфер при использовании сфер действия и сфер большего радиуса. При небольших относительных скоростях v_r сближающихся тел метод сфер действия плохо аппроксимирует реальное движение тел внутри сферы действия. Кроме того, даже при довольно хорошем приближении движения внутри сферы действия скорости тел, выходящих из сферы действия, могут значительно отличаться от реальных. Однако, в ряде случаев при приближенном исследовании эволюции орбит тел за большое число сближений можно пользоваться методом сфер даже при малых значениях v_r.

Для ряда исходных данных Ипатов [221] сравнил несколько десятков графиков изменений со временем элементов гелиоцентрических орбит двух гравитирующих тел, полученных при моделировании эволюции методом сфер, с аналогичными графиками, полученными при численном интегрировании уравнений движения. Анализ этих графиков показал, что с помощью метода сфер можно получить пределы и основные тенденции изменений элементов гелиоцентрических орбит. Получено, что при соответствующем выборе радиуса используемой сферы основные тенденции эволюции и пределы изменений элементов орбит двух гравитирующих объектов, движущихся вокруг Солнца по пересекающимся орбитам, примерно одинаковы для таких графиков. В случае, когда наибольший эксцентриситет гелиоцентрических орбит сближающихся объектов e_m>2^1/3, следует использовать сферы действия, а при меньших эксцентриситетах - сферы радиуса r_s-2.4"R"^1/3, где R - расстояние этих объектов от Солнца, - отношение суммы масс объектов к массе Солнца.

В препринте [216] в 1978 г. были представлены результаты расчетов эволюции плоских дисков из ста одинаковых материальных точек (МТ), движущихся вокруг центрального тела (Солнца) по первоначально круговым орбитам. Суммарная масса всех МТ варьировалась от 10^-5 до 0.1 от массы Солнца. В ходе эволюции эти диски расширялись, средний эксцентриситет орбит тел возрастал, а число МТ с малыми e было невелико. Исследовалась также эволюция диска, масса которого в 10⁵ раз превышала массу астероидного пояса, а распределение масс больших МТ было близко к распределению масс крупных астероидов главного пояса. Средний эксцентриситет e_av орбит тел первоначально равнялся 0.15 и возрастал в ходе эволюции. При этом эксцентриситеты орбит крупнейших МТ уменьшались. Наряду с общим расширением диска была получена концентрация массивных МТ по a. Как и в случае дисков равных масс, эксцентриситеты орбит внешнего края диска (~0.4-0.6) значительно превышали e_av (0.15-0.2). Проведенные оценки показывают, что для того, чтобы средний эксцентриситет орбит астероидов увеличился от нуля до 0.15 (современного среднего эксцентриситета) за время существования Солнечной системы, масса диска должна значительно превышать массу астероидного пояса (при учете гравитационного влияния только тел диска) [216]. Это, как и большое (34.8^o) наклонение орбиты Паллады, одного из крупнейших астероидов, свидетельствуют в пользу формирования пояса астероидов под влиянием тел из зон планет-гигантов.

Эволюция пространственных дисков тел [3, 11, 15, 67, 78, 85, 224-225, 227-228, и др.] исследовалась путем соответствующей редукции пространственной эволюционной задачи к плоской на основе результатов моделирования на ЭВМ эволюции плоских дисков условных тел большой плотности [3, 225]. Плотность условных тел подбиралась таким образом, чтобы изменения эксцентриситетов орбит между столкновениями условных тел (а значит и сами эксцентриситеты) были примерно такими же, как и при эволюции рассматриваемых пространственных дисков твердых тел (при плотности тел, близкой к современной плотности планет). Тонкие эффекты эволюции пространственных дисков с помощью рассматриваемой редукции получить нельзя, но при малом числе начальных тел (менее 1000) их не дает и прямое моделирование на ЭВМ эволюции пространственных дисков.

При моделировании методом сфер эволюции дисков гравитирующих тел, движущихся вокруг Солнца, встает задача выбора пар тел (объектов), сближающихся до радиуса рассматриваемой сферы. В рассмотренных в [2-5, 10-11, 13, 15, 20, 216-217, 224, 226-227] моделях эволюции протопланетного околосолнечного диска в ходе расчетов периодически требовалось определять пару объектов, которые первыми будут контактировать (сближаться до расстояния, равного радиусу r_s рассматриваемой сферы). В [67] и в приложении 1 в [78] описаны различные модификации разработанного Ипатовым метода выбора пар контактирующих объектов при исследовании эволюции дискретных систем с бинарными взаимодействиями. Рассматривалось два подхода при выборе пар контактирующих объектов: вероятностный и детерминированный.

При вероятностном подходе пары сближающихся объектов выбирались пропорционально вероятностям их сближений на основе матрицы p_ij вероятностей контактов пар объектов ([216] и приложение 1 в монографии [78]). После моделирования каждого сближения вычислялась сумма p_ij для всех пар текущих орбит и масс объектов, моделировалаось случайное число в интервале от нуля до этой суммы, и по этому числу определялась соответствующая пара контактирующих объектов.

При детерминированном подходе выбиралась та пара объектов, для которых время t_ij (p_ij обратно пропорционально t_ij) до изолированного (от других объектов) контакта-сближения минимально. Рассматривалась треугольная матрица t_ij. После контакта i и j объектов в этой матрице менялись i и j строки и столбцы. Задача алгоритма состояла в том, чтобы выбрать в новой матрице t_ij минимальный элемент, сделав минимальное число операций. Предложенный метод, названный методом условной треугольной матрицы, описан в статье [67], в приложении 1 в [78], в тезисах [216] и в отчете ИПМ 1211 за 1985 год (в отчете ИПМ 3385 за 1985 год обсуждалась реализация этого метода на многопроцессорной ЭВМ ПС-2000). Показано, что этот метод эквивалентен методу полного перебора элементов матрицы t_ij. Обсуждалась также проблема периодической перенумерации объектов из-за уменьшения числа рассматриваемых объектов со временем, разбиение объектов на группы и другие модификации алгоритма, увеличивающие скорость вычислений. Результаты расчетов показали, что метод условной треугольной матрицы (без дополнительных модификаций) в 1.5-2 раза быстрее, чем метод виртуальных контактов, использовавшийся Т.М. Энеевым и Н.Н. Козловым (препринт ИПМ, 78. 1979).

Первоначально в расчетах Ипатова использовался вероятностный метод выбора пар сближающихся тел. В публикациях начиная с 1990 г в [11, 15, 67, 78, 85, 237, 238, и др.] (а также в отчете ИПМ РАН О-1211 за 1985 г.) рассматривались расчеты, сделанные с помощью детерминированного метода. Результаты расчетов показали, что если число рассматриваемых объектов велико, то при детерминированном выборе пар сближающихся тел характерное время между последовательными сближениями тел на порядок меньше, чем при вероятностном выборе, хотя в обоих случаях использовались те же самые формулы вероятности сближения двух тел до радиуса сферы.

В статье [7] и в параграфах 5-7 главы 4 в [78] обсуждались основные принципы построения алгоритма моделирования эволюции диска, состоящего из большого числа тел. Этот алгоритм позволяет исследовать не только начальную, но и конечную стадии аккумуляции планет из диска планетезималей. На основе результатов расчетов получены формулы, характеризующие некоторые зависимости характерных изменений элементов орбит тел и вероятности их столкновений при сближении тел до радиуса сферы действия от масс и элементов орбит тел. Для модели эволюции диска примерно одинаковых тел и модели выпадения тел на зародыш планеты были получены новые формулы, характеризующие число столкновений и сближений (до радиуса рассматриваемой сферы) тел за некоторый отрезок времени.

На основе результатов моделирования эволюции дисков из сотен тел Ипатовым [3, 7, 228] проводились аналитические оценки эволюции дисков, состоящих из большого ~10¹²) числа тел. Из этих оценок (см. также параграф 2 главы 5 в [78]), в частности, следует, что максимальные значения среднего эксцентриситета e_av орбит при эволюции этих дисков не меньше, чем при эволюции дисков из сотен тел, имеющих ту же самую суммарную массу тел. Большинство планетезималей, выпадавших на Землю, прошло ударную эволюцию. Учет дроблений тел при столкновениях может в несколько раз увеличить время формирования основной массы планет [7], а значительное увеличение начального числа тел и учет сопротивления газа могут уменьшить перемешивание тел в ходе аккумуляции планет. Рассмотрены зависимости времени эволюции и изменений среднего эксцентриситета от числа тел в диске, их масс и характерных элементов орбит.

Был сделан вывод о том, что при эволюции диска различных тел для модели, учитывающей дробления тел и сопротивление газа, времена роста крупнейших тел диска не превышают (во всяком случае более чем в 5 раз) времена роста тел для модели примерно одинаковых начальных тел, если массы дисков в обоих случаях одинаковы. Тела больших масс растут быстрее. Поэтому учет дифференциации тел по массам только усилит приведенное выше утверждение. Хотя при столкновениях с крупными телами зародыши планет могут разрушаться, расплавляться и частично испаряться, значительная часть осколков под действием гравитации может вновь собраться в одно тело. Однако даже теряя часть массы при столкновениях с крупными телами, зародыши планет могли в целом расти за счет аккумуляции небольших тел.

1. Аккумуляция планет земной группы

Считается, что в околосолнечном газопылевом диске образовались пылевые сгущения, сжавшиеся в планетезимали твердые тела в основном диаметром от километров до сотен километров. Эти планетезимали участвовали в аккумуляции планет земной группы и зародышей планет-гигантов, которые аккрецировали газ. Когда в протопланетном диске еще оставался газ, рост зародышей планет происходил также путем аккреции объектов типа гальки (pebble accretion). Такая аккреция заканчивалась, когда зародыш планеты достигал определенной массы (pebble isolation mass). Аккреция гальки, вероятно, играла большую роль в зоне питания планет-гигантов, чем в зоне питания планет земной группы. Зародыши планет-гигантов акрецировали газ. С обзором работ по формированию планетезималей и аккреции объектов типа гальки можно ознакомиться, например, в параграфе 14 главы 1 монографии [78], в разделе 2.2 статьи [59] и во введении статьи [64]. Обсуждение модели Т.М. Энеева Н.Н. Козлова, в которой планеты образовывались путем объединений разреженных сгущений, проводилось мною в [76]. Реальный процесс формирования планет был очень сложным и зависел от многих факторов. Однако исследования на основе сравнительно простых моделей позволяют сделать ряд важных оценок процесса аккумуляции планет.

При изучении аккумуляции планет земной группы наряду с аналитическими оценками проводились расчеты эволюции дисков гравитирующих тел, объединяющихся при столкновениях. После середины 1990-х годов в таких расчетах гравитационное влияние крупных тел учитывалось путем интегрирования уравнений движения тел. Обзор работ по аккумуляции планет земной группы можно посмотреть в разделе 3 статьи [59]. В более ранних работах при учете гравитационного влияния тел использовался метод сфер. В этом методе (см. подробнее предыдущий раздел) считалось, что тела двигались по невозмущенным гелиоцентрическим орбитам вне рассматриваемых сфер, а внутри сферы движение тел рассматривалось в рамках задачи двух тел. При моделировании эволюции дисков тел, соответствующих зонам питания планет, Ипатовым [2, 3, 13, 15, 78, 224] рассматривались сферы действия. При выборе пар тел, сближающихся до сферы действия, сначала использовался вероятностный алгоритм, в котором пары тел, сближающихся до расстояния, равного радиусу сферы действия, выбирались пропорционально вероятности их сближения. Позднее был разработан эффективный детерминированный алгоритм, при котором для выбранной пары i и j сближающихся тел момент t_ij ближайшего изолированного сближения до радиуса сферы действия минимален [67, 78].

Методом сфер действия Ипатов [2, 3, 13, 15, 78, 224] рассматривал эволюцию дисков, каждый из которых содержал до 1000 гравитирующих тел в зоне питания планет земной группы, объединявшихся при столкновениях. Начальные расстояния тел от Солнца варьировались в пределах от 0.36 или 0.4 а.е. до 1.2 а.е., а их суммарная масса составляла около 1.9m_E, где m_E масса Земли. Расчеты эволюции плоских дисков показали [2, 219], что в случае почти круговых начальных орбит тел число образовавшихся планет оказывается больше четырех, а реальное число планет земной группы получается лишь при начальных эксцентриситетах орбит тел e₀=0.35. При малых начальных эксцентриситетах реальное число планет можно получить в модели эволюции пространственных дисков, при этом в одном из вариантов расчетов образовывалось четыре планеты с массами, большими 0.046m_E. Реальное число планетезималей было гораздо больше 1000, и только часть вещества двух сталкивающихся тел формировала новое тело. Однако вычислительные мощности компьютеров прошлого столетия не позволяли рассматривать более сложные модели. Учет дроблений сталкивавшихся тел мог несколько увеличить время аккумуляции планет.

В расчетах эволюции пространственных дисков тел, соответствующих зоне питания планет земной группы, [3, 13, 15, 78, 224] начальные эксцентриситеты орбит тел принимались равными e₀=0.02 и было показано, что такие эксцентриситеты довольно быстро достигаются при учете взаимного гравитационного влияния тел на расстояниях, меньших их радиусов сфер действия. Пример эволюции таких дисков приведен на рис. 1-2. Средний эксцентриситет e_av орбит тел в ходе эволюции превышал 0.2, а в ряде вариантов в некоторые моменты времени был больше 0.4. Например, в одном из вариантов при e₀=0.02 и 960 начальных телах e_av равнялось 0.09, 0.20 и 0.35 при числе тел в диске, равном 500, 250 и 100 соответственно. При этом большие средние эксцентриситеты орбит были у тел, расположенных по краям диска, с большими полуосями a<0.4 а.е. и a>1.2 а.е., а орбиты некоторых планет с массами порядка масс Меркурия и Марса приобретали в конце эволюции эксцентриситеты, близкие к современным эксцентриситетам орбит этих планет. Заметим, что рост эксцентриситетов орбит Меркурия и Марса (и наклонение орбиты Меркурия) мог быть обусловлен гравитационным влиянием тел, заходивших в зону питания планет земной группы из зон питания планет-гигантов, а не только влиянием крупных тел из зоны питания планет земной группы. Причем некоторые из этих тел-пришельцев могли не сталкиваться с телами в этой зоне питания, а только гравитационно возмущали их орбиты. Высокое содержание железа в ядре Меркурия обычно объясняют потерей большей части массы силикатной оболочки при высокоскоростных ударах. Вместе с тем, часть планетезималей в окрестности орбиты Меркурия, проходивших сравнительно недалеко от Солнца до их столкновений с зародышем Меркурия, могла потерять некоторую силикатную часть своего состава при таких прохождениях около Солнца и оказать тем самым влияние на высокое содержание железа в ядре Меркурия.

Массы зародышей несформировавшихся планет земной группы могли превышать 0.05m_E, что позволяет объяснить, как наклон оси вращения, так и период осевого вращения Земли, при выпадении таких зародышей на растущую Землю. По моим оценкам, время формирования 80% массы крупнейшей каменной планеты (аналога Земли) не превышало 10 млн лет, в то время как общее время эволюции дисков гравитирующих тел было порядка 100 млн лет. При расчетах методом сфер действия времена формирования основной массы планет порядка 1-10 млн лет были получены при рассмотрении детерминированного метода выбора пар сближающихся тел, когда при моделировании сближения выбиралась пара тел с минимальным временем до сближения [78, 67]. Между тем, при использовании вероятностного метода выбора пар сближающихся тел времена формирования основной массы планет были почти на порядок больше. То есть вероятностный подход меньше соответствует реальной эволюции. Однако и при нем максимальные значения среднего эксцентриситета и массы и орбиты образовавшихся планет были примерно такие же, как и при детерминированном методе выбора пар тел.

Время, за которое число тел в диске уменьшалось от N_o до N, обычно было примерно в два раза меньше времени, за которое число тел в диске уменьшалось от N_o до N/2, причем основное время эволюции рассмотренных дисков приходилось на последние стадии аккумуляции планет. Поэтому был сделан вывод о том, что при N_o=10¹² общее время эволюции диска примерно такое же, как и при N_o=10³, однако учет дроблений тел при столкновениях может в несколько раз увеличить время формирования основной массы планеты [7, 78].

Рисунок 1. Гистограммы распределения числа тел n_a в начальном диске (верхний подрисунок), а также распределения масс тел и средних эксцентриситетов орбит тел в эволюционирующем диске (при различном числе N оставшихся тел) по большим полуосям их орбит. Начальный диск соответствовал зоне питания планет земной группы и находился на расстоянии от Солнца от 0.4 до 1.2 а.е. Масса каждого из 960 начальных тел равнялась 0.02m_E, а эксцентриситеты их орбит равнялись 0.02. В зависимости от начального расстояния от Солнца тела были разбиты на четыре группы. Каждая группа на гистограммах помечена своей штриховкой. Суммарная масса тел начального диска равнялась 1.92m_E. Стрелочками указаны большие полуоси орбит тел, массы которых превышали 0.05m_E.

Как показали более поздние результаты численного интегрирования уравнений движения, полученные рядом авторов, в которых взаимное гравитационное влияние тел учитывалось путем интегрирования уравнений движения, детерминированный подход вполне удовлетворительно (и лучше, чем вероятностный подход) отражает реальную эволюцию дисков тел и времена формирования планет. В последние годы начальное число моделируемых тел в дисках исчисляется тысячами, что, естественно, улучшает статистику. Основные выводы об аккумуляции планет земной группы, сделанные на основе расчетов методом сфер действия и путем численного интегрирования уравнений движения, примерно одинаковые.

Аккумуляция планет земной группы обсуждалась также в параграфе 1 главы 6 монографии [78], в разделе 3 статьи [59] и в статье [64]. В таблицах В и С в статье [85] для двух вариантов расчетов приведен состав планет, образовавшихся из четырех групп тел, первоначально находившихся от Солнца на расстояниях 0.4-0.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0 и 1.0-1.2 а.е., а также большие полуоси и эксцентриситеты орбит этих планет. Для планет с массами большими 0.1m_E доли тел, пришедших в планеты с этих четырех диапазонов расстояний, находились в интервалах 0.11-0.22, 0.19-0.25, 0.19-0.34 и 0.32-0.40, то есть эти доли не сильно отличались для планет, образовавшихся на различных расстояниях от Солнца. В каждую из планет вошли тела-планетезимали, первоначально находившиеся на одном и том же расстоянии от Солнца. Состав крупных планет был довольно близок к составу исходной зоны 0.4-1.2 а.е., то есть планетезимали довольно сильно перемешивались в ходе эволюции, если учитывать взаимное гравитационное влияние всех тел-планетезималей. На основе аналитических формул и результатов численных расчетов в [7] отмечалось, что основное время аккумуляции планеты приходится на конечные этапы ее аккумуляции. В параграфе 2 в главе 6 монографии [78] отмечалось, что при моделировании эволюции дисков тел в зоне планет-гигантов на некоторых этапах эволюции этих дисков около 1% тел могли пересекать орбиту Земли.

Рисунок 2. Гистограмма характеристик образовавшихся планет и динамика эволюции дисков для двух вариантов расчетов. Начальные данные для этих дисков приведены на предыдущем рисунке. На верхних рисунках приведены массы образовавшихся планет (слева - в массах начальных тел, справа - в массах Земли) и эксцентриситеты их орбит. Большая полуось орбиты пятого образовавшегося тела в обоих вариантах превышала 2 а.е. На нижних рисунках приведены зависимости среднего эксцентриситета e_av орбит тел и отношения m_h/m_s^o суммарной массы тел, выброшенных на гиперболические орбиты, к суммарной массе начальных тел от числа тел в диске. Видно, что в состав образовавшихся планет вошли тела из разных групп тел (тела разных групп находились на разных расстояниях от Солнца).

Оценки времени формирования основной массы Земли порядка 100 млн лет практически не изменились со времени публикации монографии В.С. Сафронова в 1969 г. (Сафронов В.С., Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет, 1969. Наука, 244 с.). На основании результатов моделирования эволюции дисков первоначально одинаковых тел, объединяющихся при столкновениях, соответствующих зоне питания планет земной группы [3, 13, 15, 78, 224], а также на основании численных расчетов миграции тел под влиянием планет или их зародышей [55] (см. также конец данного раздела) были сделаны следующие выводы об аккумуляции планет земной группы: Внутренние слои каждой планеты земной группы аккумулировали в основном планетезимали из окрестности орбиты этой планеты. Внешние слои Земли и Венеры могли аккумулировать аналогичные планетезимали из разных областей зоны питания планет земной группы. Земля и Венера могли приобрести более половины своей массы за 5 млн лет.

Считается, в том числе на основе изучения марсианских метеоритов, (см. обзор в разделе 3.3 в [59]), что аккумуляция и отвердевание Марса завершились в течение ~ 5-10 млн лет, за которые Марс вырос примерно до современных размеров. Согласно [55], Марс рос медленнее, чем Земля и Венера, а отдельные планетезимали в его зоне питания могли оставаться и после 50 млн лет. Можно поэтому предположить, что при сжатии сгущения вначале образовался достаточно крупный зародыш Марса с массой не меньше 0.02m_E, а планетезимали из зоны питания Юпитера и Сатурна способствовали более быстрому удалению планетезималей из его зоны питания. Формирование зародыша Марса с массой, в несколько раз меньшей, чем масса Марса, в результате сжатия разреженного сгущения может объяснить относительно быстрый рост основной массы Марса. Аналогичный сценарий был предложен в [55] для формирования зародыша Меркурия с той же начальной массой. Доля планетезималей, выброшенных из зоны питания планет земной группы на гиперболические орбиты, не превышала 10%. На аккумуляцию планет земной группы оказывали влияние также тела, мигрировавшие из зоны питания планет-гигантов и из зоны астероидного пояса.

В разделе 3.2 статьи [59] обсуждались результаты моделирования аккумуляции планет земной группы с учетом влияния планет-гигантов, полученные другими авторами. Формирование и миграция планет-гигантов тесно связаны с аккумуляцией планет земной группы. Планетезимали из зоны питания планет-гигантов, приобретавшие в ходе эволюции Солнечной системы орбиты с небольшими перигелийными расстояниями, возмущали орбиты планетезималей и зародышей планет в зоне питания планет земной группы, а также тел астероидного пояса и часто сталкивались с ними. Изменения орбит Юпитера и Сатурна вызывали изменения положений резонансов и способствовали очистке зоны астероидного пояса, из которого некоторые тела могли проникать в зону питания планет земной группы. Поэтому при изучении аккумуляции планет земной группы нужно учитывать влияние формирующихся планет-гигантов и тел из их зоны питания. Рассматривались различные сценарии такого влияния. Отмечалось, что спустя 3 млн лет газовый диск уменьшался по массе в 20 раз и не оказывал динамического влияния на миграцию планетезималей.

Рядом авторов при изучении формирования планет земной группы рассматривалась модель большого поворота (the Grand Tack model). В данной модели ранней динамической перестройки Солнечной системы Юпитер за счет взаимодействия с газом в диске сначала мигрировал к Солнцу до 1.5 а.е., а потом после формирования массивного Сатурна и рассеяния газа стал двигаться вместе с Сатурном обратно от Солнца, находясь в резонансе 2:3 с Сатурном. В результате этой миграции Юпитер очистил астероидный пояс, уменьшил количество материала в зоне питания Марса и способствовал доставке воды к формировавшимся планетам земной группы. Например, предполагалось, что Юпитер и Сатурн приобрели достаточно большие массы газа за 600 тыс. лет, и в течение первых 100 тыс. лет они мигрировали внутрь Солнечной системы, соответственно, с 3.5 и 4.4 а.е. до 1.5 и 2 а.е., а после того как масса Сатурна увеличилась с 10m_E до его современной массы, Юпитер и Сатурн в течение 500 тыс. лет мигрировали от Солнца на расстояния, соответственно, до 5.25 и 7 а.е. В разделе 4 статьи [59] обсуждаются модели, рассматривающие последующие стадии аккумуляции планет-гигантов и миграцию зародышей Урана и Нептуна, включая модель Ниццы, (the Nice model), названную так по месту ее создания во французской обсерватории Ниццы. В модели Ниццы толчком к резким изменениям орбит этих зародышей считается попадание Юпитера и Сатурна в орбитальный резонанс 1:2.

Механизм миграции планет-гигантов позволяет объяснить ряд событий в ранней истории Солнечной системы, включая наличие многочисленных транснептуновых объектов, находящихся в резонансах с Нептуном, формирование пояса Койпера и облака Оорта и такой феномен, как предполагаемая поздняя тяжелая бомбардировка внутренней Солнечной системы (LHB), хотя сам этот гипотетический механизм не является общепринятым. Вместе с тем, он используется при оценках вклада экзогенного источника летучих в эволюцию планет земной группы. Предполагается, что доставка воды к Земле малыми телами произошла в основном после того, как эти планеты аккрецировали 60-80% своей конечной массы.

В рамках модели Ниццы изучалась эволюция орбит астероидов во время резкого изменения орбиты Юпитера, приведшего к резкому изменению положений резонансов. Вероятность столкновений астероидов с Луной была получена равной 4"10^-5, а с Землей была в 20 раз больше. Был сделан вывод, что модель Ниццы хорошо объясняет формирование Марса и астероидного пояса, если такая нестабильность произошла в течение 1-10 млн лет после диссипации газового диска. В последние годы формирование планет земной группы рассматривалось в основном исходя из упомянутых выше моделей Ниццы и большого поворота. Первая модель исходит из гипотезы о резком изменении орбит планет-гигантов при попадании Юпитера и Сатурна в резонанс, а вторая предполагает наличие миграции Юпитера к орбите Марса и обратно. В [55] отмечалось, что особенности формирования планет земной группы и очистку астероидного пояса можно объяснить без привлечения указанных моделей, а исходя из относительно плавного уменьшения большой полуоси орбиты Юпитера и смещения положений резонансов за счет выброса Юпитером планетезималей на гиперболические орбиты. Такая модель рассматривает формирование зародышей Урана и Нептуна около орбиты Сатурна и миграцию этих зародышей под влиянием взаимодействия с планетезималями на современные орбиты Урана и Нептуна [11, 15, 78] (см. также следующий раздел).

В начале данного раздела приведены результаты, основанные на изучении эволюции дисков, первоначально состоявших из тел, объединяющихся при столкновениях. Миграция планетезималей на последних стадиях формирования планет земной группы рассматривалась Ипатовым в [55]. Были проведены расчеты миграции планетезималей внутри зоны питания планет земной группы, разделенной в зависимости от расстояния от Солнца на семь областей (0.3-0.5, 0.5-0.7, 0.7-0.9, 0.9-1.1, 1.1-1.3, 1.3-1.5, 1.5-2 а.е.). Гравитационное влияние всех планет учитывалось методом Булирша-Штера, при этом в [55] планетезимали и сами планеты рассматривались, как материальные точки, а их столкновения непосредственно не учитывались. В ряде вариантов модели вместо планет земной группы рассматривались их зародыши с массами от 0.1 до 0.3 масс современных планет. Полученные в расчетах массивы элементов орбит мигрировавших планетезималей с шагом в 500 лет использовались при вычислении вероятностей их столкновений с планетами, их зародышами и с Луной. Позднее расчеты, аналогичные [55], были проведены Ипатовым для модели, в которой планетезимали, столкнувшиеся с планетами, исключались из дальнейших расчетов (результаты этих расчетов пока еще не опубликованы в статье).

При изучении долей планетезималей из различных зон, вошедших в планеты (или в их зародыши), в [55] рассматривались более узкие, чем ранее, зоны, из которых приходили планетезимали, и изучалось изменение состава зародышей со временем, а не только конечный состав планет. Расчеты привели к выводу, что зародыши планет земной группы, массы которых были порядка одной десятой от масс современных планет или меньше, аккумулировали в основном планетезимали из окрестностей своих орбит. Внутренние слои планеты земной группы формировались в основном из вещества из окрестности орбиты данной планеты. При выпадении планетезималей из зоны питания Юпитера и Сатурна на зародыши планет земной группы когда эти зародыши еще не приобрели массы современных планет, вещество (в том числе вода и летучие) из этой зоны могло попадать во внутренние слои планет земной группы и влиять на их состав.

При массах зародышей Земли и Венеры не менее трети их современных масс, вероятности выпадений планетезималей, сформировавшихся на расстоянии от 0.7 до 0.9 а.е. от Солнца, на эти зародыши отличались не более, чем вдвое на рассматриваемом интервале времени Т>2 млн лет. Исходя из рассмотренной модели было также найдено, что суммарная масса планетезималей, мигрировавших из каждой зоны, расположенной на расстоянии от 0.7 до 1.5 а.е. от Солнца, и столкнувшихся с почти сформировавшимися Землей и Венерой, отличалась для этих планет не более чем вдвое. Внешние слои Земли и Венеры могли аккумулировать одинаковый для этих планет материал из различных частей зоны питания планет земной группы. На конечных стадиях формирования планет планетезимали, первоначально находившиеся на расстоянии от 1.1 до 2.0 а.е. от Солнца, могли входить в состав Земли и Марса в отношении, не сильно отличавшемся от отношения масс этих планет.

В вариантах, в которых из расчетов исключались планетезимали, столкнувшиеся с планетами, время эволюции дисков планетезималей равнялось обычно нескольким сотням миллионов лет. Однако в некоторых вариантах расчетов с небольшими начальными эксцентриситетами отдельные планетезимали двигались в резонансах 1:1 с Землей или Венерой и через время, большее миллиарда лет. В этих вариантах расчетов при e_o=0.05 и e_o=0.3 рассмотренный интервал времени был больше, чем в [55], и доля тел, столкнувшихся с Солнцем, при современных массах и орбитах планет была в основном в диапазоне (0.24-0.4) для исходных значений a_o больших полуосей орбит планетезималей между 0.5 и 1.1 а.е., и достигала 0.75 при 1.5©a_o©2 а.е. Доли планетезималей, столкнувшихся с Землей и Венерой при a_o™0.7 а.е., в вариантах расчетов с исключением планетезималей, столкнувшихся с планетами, также отличались не более, чем в два раза. При массах планет, составлявших не более половины масс современных планет, и интервале времени не большем 10 млн лет, столкновений планетезималей с Солнцем и их выброса на гиперболические орбиты в большинстве вариантов расчетов не было.

Как и в более ранних расчетах [3, 13, 15, 224] эволюции дисков тел методом сфер действия, доля планетезималей, выброшенных из зоны питания планет земной группы на гиперболические орбиты, не превышала 10%. В то же время вероятность столкновения с Юпитером планетезимали, первоначально находившейся в зоне питания планет земной группы, составляла не более нескольких процентов от вероятности ее столкновения с Землей, а вероятность столкновения с Сатурном была еще на порядок меньше.

Приведенные в [55] модельные оценки формирования зародышей планет земной группы основывались на модели, учитывающей совместное гравитационное влияние планет-гигантов и зародышей планет земной группы. Дополнительный учет взаимного гравитационного влияния планетезималей в зоне питания планет земной группы, а также планетезималей, приходивших из зон питания планет-гигантов, приводит к увеличению перемешивания вещества в зоне питания планет земной группы, повышению вероятности столкновений планетезималей с Солнцем и их выброса на гиперболические орбиты. При отношении масс зародышей Земли и Луны, равном 81 и аналогичном современному отношению, отношение вероятностей выпадений планетезималей на зародыши Земли и Луны в рассмотренных вариантах не превышало 54, причем было максимальным при массах зародышей примерно в три раза меньших современных масс этих небесных тел.

В рассмотренной в [55] модели, в которой тела объединялись с планетами при любых столкновениях, Земля и Венера могли приобрести значительную часть (более половины) своей массы за 5 млн лет. В частности, за это время большинство планетезималей, первоначально находившихся на расстоянии от 0.7 до 1.1 а.е. от Солнца, выпадали на растущие Землю и Венеру. Учет выброса вещества при столкновениях тел с планетами может увеличить время аккумуляции планет. Суммарная масса планетезималей, мигрировавших из каждой части области, расположенной на расстоянии от 0.7 до 1.5 а.е. от Солнца, и столкнувшихся с почти сформировавшимися Землей и Венерой, отличалась для этих планет, вероятно, не более чем в два раза. Внешние слои Земли и Венеры могли аккумулировать одинаковый для этих планет материал из различных частей зоны питания планет земной группы. На конечных стадиях формирования планет земной группы планетезимали, первоначально находившиеся на расстоянии от 1.1 до 2.0 а.е. от Солнца, могли входить в состав Земли и Марса в отношении, не сильно отличавшемся от отношения масс этих планет.

1. Миграция тел при формировании планет-гигантов

В состав Юпитера и Сатурна входит большое количество газа. Считается, что когда масса зародыша Юпитера достигла нескольких масс Земли, то началась стадия быстрой аккреции газа, в ходе которой масса зародыша Юпитера увеличилась в несколько раз за время ~0.1 млн лет. В модели В.С. Сафронова общая масса планетезималей в зоне питания планет-гигантов превышала 100 масс Земли. В некоторых моделях время роста массы Юпитера от нуля до примерно современного значения составило около 2 млн лет. Расчеты эволюции безгазовых дисков из сотен гравитирующих твердых тел, объединяющихся при столкновениях, соответствующей аккумуляции в зоне планет-гигантов, проводились Ипатовым до начала 1990-ых гг. прошлого столетия [4, 9, 10, 11, 15, 78, 226, 227]. Рассмотренные начальные диски, включали в себя планетезимали и зародыши планет-гигантов (или сами планеты). Моделировалась также эволюция дисков без зародышей планет. Начальные эксцентриситеты орбит планетезималей обычно равнялись 0.02. Рассматривались плоская и пространственная модели.

Результаты эволюции плоских дисков тел, соответствующих зонам питания планет-гигантов, представлены в препринте [226] и более кратко в [4, 9]. Начальные диски соответствовали зоне питания одной или двух планет-гигантов. Чаще моделировалась эволюция диска, соответствующего зоне питания Урана и Нептуна (12-37 а.е.). Рассматривались также диски, состоявшие из нескольких дисков, соответствующих всем планетам. Для плоских дисков первоначально одинаковых тел масса выброшенных тел не превышала одной трети от начальной массы диска тел, а средние эксцентриситеты орбит в ходе эволюции могли достигать 0.2-0.4. Среди образовавшихся зародышей планет были и тела с отрицательным осевым вращением.

Основные расчеты проводились для пространственной модели. Эволюция пространственного диска моделировалась путем редукции пространственной задачи к эволюции плоской модели условных тел (чтобы вероятности столкновений условных тел были примерно такими же, как и для пространственной задачи) [225]. При моделировании эволюции пространственных дисков без зародышей планет [4] и с зародышами планет [11, 15] было получено, что суммарная масса планетезималей, выброшенных на гиперболические орбиты, составляла около 80% от их суммарной начальной массы при рассмотрении только Юпитера и Сатурна и около 90% при рассмотрении всех четырех планет-гигантов. Остановимся подробнее на эволюции нескольких рассмотренных дисков.

В [4] при исследовании эволюции пространственных дисков одинаковых тел, объединяющихся при столкновениях, с общей массой от 32m_E до 200m_E отношение k_h суммарной массы тел, выброшенных на гиперболические орбиты, к суммарной массе тел, оставшихся на эллиптических орбитах, (в том числе и в составе планет) равнялось 2.5-8 для начальных дисков на расстоянии 3.4-12 а.е. от Солнца и 5-30 для начальных дисков на расстоянии 12-37 а.е. В [10] рассматривалось распределение выброшенных тел по эксцентриситетам их орбит. На рис. 5а работы [10] у значительной части выброшенных тел эксцентриситеты орбит e<1.1, но у отдельных тел e>2.

В варианте В3 монографии [78] и статьи [4] рассматривался случай, когда в начальный момент времени кроме диска одинаковых тел, разбитых на две группы, (8<a©16 а.е. и 16<a©32 а.е.) c общей массой M_o=150m_E (m_E масса Земли) имелись также малые тела - "астероиды" (2<a©4 а.е.) и почти сформировавшиеся планеты земной группы, а также "Юпитер" и "Сатурн", причем большая полуось орбиты "Юпитера" была на 0.3 а.е. больше, а "Сатурна" - на 2.5 а.е. меньше современного значения. Динамика эволюции этого диска представлена на рис. 6.3 в [78] и на рис. 3-4 в [4]. В ходе эволюции средний эксцентриситет e_av орбит тел достигал 0.4. Небольшие тела были выметены из астероидного пояса, а отдельные массивные тела целиком пронизывали зону питания планет земной группы. При моделировании считалось, что в варианте В3 средние наклонения i_av (в радианах) в несколько раз меньше e_av/2. Однако даже при этом условии суммарная масса объектов, образовавшихся за орбитой Сатурна, равнялась всего 0.03M_o, причем масса наибольшего объекта не превышала 3m_E. Полученные результаты указывают на то, что формирование Урана и Нептуна в зонах питания этих планет только из одинаковых твердых тел - планетезималей требует большой (до 10³m_E) массы твердых тел в этих зонах питания. В этом случае масса газопылевого облака в зонах питания Урана и Нептуна была бы не меньше 0.15 массы Солнца.

В ряде вариантов расчетов внутри орбиты Юпитера образовывались планеты, массы которых достигали нескольких масс Земли. Формирование таких планет вызвано тем, что в рассматриваемой модели не учитывались дробления сталкивавшихся тел при больших скоростях встреч. Некоторые тела, образовавшиеся при таких дроблениях, могли остаться в зоне планет земной группы и в зоне астероидного пояса, и таким образом их вещество могло попасть в состав планет земной группы и некоторых астероидов. Эксцентриситеты орбит тел, сталкивавшихся внутри орбиты Юпитера, как правило, превышали 0.5. Поэтому на самом деле никакого объединения таких тел при их столкновениях между собой обычно не должно было происходить. Те осколки сталкивавшихся тел, которые не пересекали орбиту Юпитера, постепенно выметались телами из зон питания планет-гигантов, мигрировавшими внутрь орбиты Юпитера. Сильные изменения орбит планет земной группы в рассмотренных вариантах расчетов связаны с тем, что при расчетах массы тел значительно превышали массы реальных планетезималей.

Идея о формировании зародышей Урана и Нептуна около орбиты Сатурна была впервые высказана В.Н. Жарковым и А.В. Козенко в 1990 г. (Письма в Астрон. ж., 1990, т. 16, с. 169-173). Изучая состав Урана и Нептуна, эти авторы пришли к выводу, что зародыши этих планет приобрели водородные оболочки массой около (1-1.5)m_E в зонах роста Юпитера и Сатурна еще до диссипации газа из протопланетного диска.

Ипатов исследовал в [11, 15, 239] эволюцию ряда дисков, первоначально состоявших из почти сформировавшихся планет (кроме Урана и Нептуна), из зародышей Урана и Нептуна, а также из нескольких сотен одинаковых тел, для которых 8<a©32 а.е. (рис. 1-2). Начальные значения больших полуосей орбит Юпитера и Сатурна брались равными 5.5 и 6.5 а.е. соответственно. В основной серии расчетов начальные значения больших полуосей орбит зародышей Урана и Нептуна равнялись 8 и 10 а.е. соответственно. Суммарная масса M_o начальных тел бралась в диапазоне от 135m_E до 180m_E; начальные эксцентриситеты орбит планет e_pl=0, а начальные эксцентриситеты орбит тел и зародышей e_o=0.02. В рассматриваемой модели учитывались гравитационные взаимодействия и объединения тел не только с планетами или их зародышами, но и между собой. Гравитационные взаимодействия тел и планет учитывались методом сфер действия. При расчетах получено, что если орбита начального зародыша пересекала орбиту Сатурна, то вероятность того, что этот зародыш в конце эволюции оставался на эллиптической орбите, на порядок меньше вероятности его выброса на гиперболическую орбиту. Поэтому ниже речь будет идти о случае, когда перигелии начальных орбит зародышей Урана и Нептуна находились за орбитой Сатурна. Расчеты показали [11, 15, 239], что под влиянием планетезималей, мигрировавших из зон питания Урана и Нептуна к Юпитеру, почти сформировавшиеся Уран и Нептун могли мигрировать от орбиты Сатурна до их современных орбит за 10 млн лет, двигаясь все это время по слабо эксцентричным орбитам.

Рисунок 1. Гистограммы распределения числа тел n_a по большим полуосям a их орбит для начального диска, соответствующего зоне питания зародышей Урана и Нептуна, а также распределений масс и средних эксцентриситетов орбит тел по большим полуосям их орбит для нескольких этапов эволюции (при числе тел равном N). Диск первоначально состоял из зародышей всех восьми планет, 675 одинаковых тел общей массой равной m_sо=135m_E и из m_ast=70 астероидов (всего из 753 небесных объектов). Начальные эксцентриситеты орбит тел и зародышей Урана и Нептуна (с массами, равными 10m_E) равны 0.02, а начальные орбиты остальных планет (с почти современными массами) круговые. Большие полуоси начальных орбит этих зародышей равны 8 и 10 а.е. Стрелочками указаны положения планет. Эволюция таких дисков описана в [15] и кратко представлена также на правых графиках рисунка 2.

Расчеты такой миграции Урана и Нептуна были опубликованы С.И. Ипатовым [11, 15, 239] в 1991-1993 гг. задолго до первых работ по упомянутой выше модели Ниццы, причем, в отличие от модели Ниццы, миграция зародышей Урана и Нептуна происходила без попадания планет-гигантов в резонансы, и общая начальная масса планетезималей в зонах питания Урана и Нептуна была больше. В рассмотренных вариантах она варьировалась от 135m_E до 180m_E. В [15, 78] был сделан вывод о том, что для миграции зародышей Урана и Нептуна на современные орбиты было достаточно диска планетезималей с общей массой, равной 100m_E. Эта масса меньше, если рассматривать большие (чем при расчетах) значения больших полуосей начальных орбит зародышей Урана и Нептуна (в расчетах они равнялись 8 и 10 а.е.). Основные изменения элементов орбит зародышей планет-гигантов происходили за время не более 10 млн лет, хотя отдельные тела могли выпадать на эти зародыши спустя миллиарды лет. Если большая часть массы диска приходилась на небольшие тела, то времена миграции зародышей планет могли быть больше, чем при принятых в расчетах начальных значениях масс тел, равных 0.2m_E.

Кроме расчетов миграции планет-гигантов, находившихся первоначально на круговых или почти круговых орбитах, был рассмотрен также случай больших (0.75-0.82) начальных эксцентриситетов орбит массивных (10m_E) зародышей Урана и Нептуна (вариант В4 в [78]; [11, 15]). В этой модели при взаимодействиях этих зародышей с планетезималями эксцентриситеты орбит зародышей уменьшались, и зародыши могли приобрести современные орбиты Урана и Нептуна, если начальные перигелии их орбит лежали за орбитой Сатурна, в то время как при меньших перигелийных расстояниях эти зародыши в большинстве случаев выбрасывались на гиперболические орбиты. Однако, приобретение зародышами Урана и Нептуна таких эксцентричных орбит с перигелиями, лежащими за орбитой Сатурна, маловероятно. В [11] на основе дополнительного исследования модели, при которой не учитывались гравитационные взаимодействия тел и планет, отмечалось, что вклад объединений в уменьшение первоначально больших эксцентриситетов орбит зародышей Урана и Нептуна значительно меньше вклада гравитационных взаимодействий этих зародышей с телами.

Рисунок 2. Зависимости больших полуосей (рис. а) и эксцентриситетов орбит зародышей планет-гигантов (пунктирные линии на рис. б), среднего эксцентриситета орбит тел (сплошная линия на рис. б), отношения суммарной массы тел, выброшенных на гиперболические орбиты, к их начальной суммарной массе (рис. в), отношения суммарной массы тел с большими полуосями орбит, большими 49.5 а.е., к их начальной суммарной массе (рис. г) и отношения текущего времени к общему времени эволюции диска (рис. д) в зависимости от числа тел в диске. (Согласно [15].)

Суммарная масса тел, проникавших за орбиту Нептуна, могла достигать десятков масс Земли. Тот факт, что Нептун имеет наименьший эксцентриситет среди планет-гигантов, может быть связан с тем, что массы наибольших планетезималей в его зоне питания были меньше, чем в зонах питания других планет-гигантов. Динамические времена жизни большинства планетезималей, находившихся внутри орбиты Нептуна, меньше 100 млн лет. Поэтому конец интенсивной бомбардировки Земли, происходивший 4.5-3.8 млрд лет назад, мог приходиться преимущественно на объекты, пришедшие с эксцентричных орбит, располагавшихся в основном за орбитой Нептуна, или из зоны внешнего астероидного пояса. В [7] на основе анализа аналитических формул и результатов численных расчетов отмечалось, что для зоны Нептуна отдельные планетезимали, движущиеся по сильно наклоненным и сильно эксцентричным орбитам, могли сохраниться до настоящего времени.

Кратко коснемся вопроса относительно интенсивности роста планет-гигантов. При исследовании миграции планетезималей, первоначально находившихся на различных расстояниях от Солнца, Ипатовым были получены также оценки доли планетезималей, столкнувшихся с планетами-гигантами. В этих расчетах эволюция орбит планетезималей под влиянием планет моделировалась путем численного интегрирования уравнений движения. Вероятность столкновения планетезимали, первоначально находившейся за орбитой Юпитера, с Ураном или Нептуном не превышала 0.015, а в большинстве вариантов расчетов составляла не более нескольких тысячных. Поэтому при суммарной массе планетезималей за орбитой Сатурна, меньшей 200m_E, массивные зародыши Урана и Нептуна, мигрировавшие из зоны в окрестности орбиты Сатурна на современные орбиты, увеличивали свои массы не более, чем на 2m_E. При этом вероятность столкновения планетезимали с Юпитером в большинстве вариантов расчетов не превышала 0.05, а с Сатурном была в несколько раз меньше. Считается, что масса силикатной компоненты в Юпитере составляет (15-20)m_E, а масса твердотельной компоненты в составе Сатурна была больше, чем на Юпитере. Планетезимали в зонах питания Урана и Нептуна, наряду с силикатами, содержали также льды. Поэтому при суммарной массе планетезималей за орбитой Сатурна, меньшей 200m_E, увеличение массы силикатной компоненты Юпитера за счет таких планетезималей, не превышало, вероятно, 10 масс Земли. Отсюда можно сделать вывод, что суммарная начальная масса планетезималей за орбитой Сатурна в пределах 200m_E не противоречит составу планет-гигантов. При отношении массы пыли, состоящей из каменистого вещества и льдов, к массе газа, равном 0.015, масса планетезималей, равная 200m_E, соответствует массе вещества в диске, равной 0.04M_S, при массе всего диска 0.06M_S, где M_S масса Солнца. Примерно те же значения массы протопланетного диска в пределах (0.04-0.1)M_S были получены и в других исследованиях.

В вариантах В8-В9 монографии [78] (это также варианты на рис. 4-5 в [4]) рассматривалась эволюция пространственных дисков, первоначально состоявших из восьми планет и 500 одинаковых тел в зонах Урана и Нептуна. Массы Урана и Нептуна брались равными 14m_E и 16m_E, а большие полуоси их орбит - 19 и 30 а.е. соответственно. Большие полуоси орбит и массы остальных планет равнялись их современным значениям. Начальные орбиты планет были круговыми. Плотность тел считалась равной 2 г/см³. Эта модель соответствует времени, когда все планеты почти сформировались, но еще оставались планетезимали в зоне Урана и Нептуна. В варианте В8 монографии [78] начальные эксцентриситеты орбит планетезималей равнялись e₀=0.02, а взаимное гравитационное влияние планет и тел учитывалось методом сфер действия. Как отмечалось в [4], в зонах Урана и Нептуна для безгазовой модели средний эксцентриситет орбит тел большую часть времени был порядка 0.3-0.4. Поэтому в варианте В9 монографии [78] начальные эксцентриситеты e₀=0.35, а остальные начальные данные были такими же как в варианте В8 этой же работы. В этом варианте взаимное гравитационное влияние тел не учитывалось. Суммарная начальная масса M_o тел в вариантах В8-В9 монографии [78] равнялась 10m_E.

При расчетах с начальными телами в зонах питания Урана и Нептуна большая полуось орбиты Юпитера a_j уменьшалась на 0.005M_o/m_E а.е., большая полуось орбиты Сатурна a_s увеличивалась на (0.01-0.03)M_o/m_E а.е., а большие полуоси орбит Урана и Нептуна увеличились примерно на (0.2-0.3)M_o/m_E а.е. В вариантах В8-В9 монографии [78] при M_o=10m_E и массах начальных тел равных 0.02m_E или 0.1m_E эксцентриситеты орбит Меркурия и Марса достигали значений около 0.3. Реальные эксцентриситеты орбит этих планет равны 0.2 и 0.09. В действительности большинство тел из зон планет-гигантов имели меньшие массы, чем в этих вариантах расчетов, но общая масса тел в зонах питания планет-гигантов могла быть порядка 100m_E. В принципе влияния тел из зон питания планет-гигантов, проникавших в зону планет земной группы, могло быть достаточным для того, чтобы Меркурий и Марс приобрели свои достаточно большие эксцентриситеты орбит.

Суммируя результаты исследований миграции тел в зонах питания планет-гигантов, отметим, что суммарная масса тел, выброшенных на гиперболические орбиты из зоны всех планет-гигантов, на порядок превышала массу твердого вещества, вошедшего в планеты. Эти результаты согласуются со значениями начальной массы протопланетного облака около 0.04-0.1 массы Солнца, принимаемыми многими авторами. Результаты численного моделирования аккумуляции планет указывают на то, что в ядро и оболочку Юпитера могло войти больше льдов и каменистого вещества, чем в любую другую планету. Суммарная масса тел из зон планет-гигантов, проникавших в зону астероидного пояса, могла достигать десятков масс Земли. Система планет-гигантов расширялась в ходе аккумуляции этих планет. Во всех проведенных расчетах эволюции дисков тел в зоне планет-гигантов с планетами [4, 10, 11, 15, 78], большая полуось орбиты Юпитера со временем уменьшалась, а большие полуоси орбит остальных планет-гигантов в основном увеличивались. Впервые в [11, 15] было получено, что зародыши Урана и Нептуна с начальными массами, равными нескольким массам Земли, могли мигрировать на современные орбиты этих планет из зоны, находившейся сразу за орбитой Сатурна, двигаясь все время по слабо эксцентричным орбитам. Большое количество воды могло быть доставлено на Землю во время аккумуляции Урана и Нептуна. Суммарная масса тел, проникавших за орбиту Нептуна, могла достигать десятков масс Земли.

Тела из зоны питания планет-гигантов влияли на аккумуляцию тел в зоне планет земной группы. Как показали численные исследования миграции планетезималей из зоны питания Юпитера и Сатурна, основная масса этих планетезималей покинула эту зону за несколько миллионов лет. Это указывает на время влияния планетезималей, приходивших из зоны Юпитера и Сатурна, на формирование планет земной группы. Важно при этом подчеркнуть, что согласно проведенным расчетам в рамках модели, учитывающей взаимодействие всех планет Солнечной системы, (раздел 4.6 в [53]) максимальные времена эволюции орбит некоторых планетезималей, стартовавших из зоны Юпитера и Сатурна, могут быть гораздо больше, чем при аналогичных расчетах при отсутствии Урана и Нептуна (50 и 4 млн лет, соответственно). Однако и в данном случае основной вклад в столкновения с зародышами планет земной группы вносили планетезимали из зон питания Юпитера и Сатурна в первый миллион лет после формирования значительной массы Юпитера. Длительность этого формирования оценивается 1-2 млн лет от зарождения Солнечной системы. Между тем, отдельные планетезимали из зон питания Урана и Нептуна выпадали на Землю и через сотни миллионов лет и даже могли остаться в Солнечной системе до настоящего времени. При выпадении планетезималей из зоны питания Юпитера и Сатурна на зародыши планет земной группы, а также из зоны внешнего астероидного пояса в модели большого поворота, эти зародыши еще не приобрели современных масс планет, и материал (в том числе вода и летучие) из этих зон мог аккумулироваться во внутренних слоях формирующихся планет земной группы и Луны.

1. Формирование астероидного и транснептунового поясов

Тела из зоны планет-гигантов оказали большое влияние на формирование астероидного и транснептунового поясов. Эксцентриситеты и большие полуоси орбит астероидов представлены на рис. 1. На очистку астероидного пояса оказывало гравитационное влияние тел, проникавших в этот пояс из зоны планет-гигантов, и столкновения астероидов с этими телами. При изменении больших полуосей орбит Юпитера и Сатурна менялись положения орбитальных и вековых (₅, ₆, ₁₅ и ₁₆) резонансов с Юпитером и Сатурном, при которых могли сильно возрастать эксцентриситеты орбит планетезималей. В [8, 14] было, например, показано, что границы люка Кирквуда 5:2 совпадают с границами области начальных значений больших полуосей и эксцентриситетов орбит астероидов, при которых в ходе эволюции достигается орбита Марса и тела могут покидать люк. В модели большого поворота Юпитер вообще пересекал весь астероидный пояс. Считалось, что за миллиард лет астероидный пояс очистился более, чем на 99%.

Рисунок 1. Эксцентриситеты и большие полуоси орбит астероидов.

В [15] (рис. 8) и [78] (вариант В7 на рис. 6.8) приведены результаты моделирования эволюции диска, первоначально состоявшего из планет земной группы, Юпитера, Сатурна, 250 планетезималей с общей массой M_o~10m_E и большими полуосями начальных орбит от 5 до 10 а.е., а также из 250 астероидов с большими полуосями начальных орбит от 2 до 4 а.е. Начальные эксцентриситеты орбит планетезималей и астероидов равнялись 0.02, а начальные орбиты планет были круговыми. Учитывалось гравитационное влияние планет и планетезималей. Такая модель характеризует влияние тел из зон питания Юпитера и Сатурна на формирование астероидного пояса. В этих расчетах большие полуоси орбит Юпитера a_j и Сатурна a_s уменьшались, соответственно, на 0.005M_o/m_E и 0.01M_o/m_E а.е. Отметим, что при рассмотрении тел в зонах питания Урана и Нептуна большая полуось орбиты Сатурна, наоборот, увеличивалась, так как Сатурн переводил много таких тел ближе к Солнцу. В ходе эволюции астероиды были выметены из астероидного пояса. На Юпитер, Венеру и Землю выпали соответственно 8%, 5% и 2.5% астероидов.

В варианте, представленном на рис. 6.3 монографии [78], первоначально рассматривались Юпитер, Сатурн и планеты земной группы, а также 750 гравитирующих тел (общей массой в 150m_E) с большими полуосями орбит от 8 до 32 а.е. и 100 астероидов. В ходе эволюции число астероидов уменьшилось примерно в 4 раза при уменьшении числа тел на 20%. Такая большая разница связана с тем, что за это время орбиты многих рассматриваемых тел еще не успели приобрести эксцентриситеты, близкие к 1, а часть из этих тел уже успела попасть в зону астероидного пояса, где эволюция шла быстрее из-за близости к Солнцу и меньших орбитальных периодов.

Рисунок 2. Большие полуоси и эксцентриситеты орбит транснептуновых объектов (Источник: Scott Sheppard, Carnegie Institution for Science.)

Считается, что некоторые тела транснептунового пояса сформировались непосредственно в этой зоне, а часть тел пришла из зоны планет-гигантов при формировании этих планет. В 1987 г. в статье [4] за 5 лет до открытия в 1992 г. первого (после Плутона) транснептунового объекта, основываясь на результатах расчетов формирования планет-гигантов, С.И. Ипатов предположил, что кроме транснептуновых объектов, сформировавшихся дальше 30 а.е. от Солнца и движущихся по слабо эксцентричным орбитам, в этой зоне по сильно эксцентричным орбитам движутся объекты, сформировавшиеся в зоне планет-гигантов. Эти объекты сейчас называют объектами рассеянного диска (рис. 2). В настоящее время обнаружены транснептуновые объекты (ТНО), движущиеся по сильно эксцентричным орбитам с перигелийными расстояниями q, превышающими 40 а.е., ("extended scattered disk" objects), в то время как типичные объекты рассеянного диска (scattered disk objects. SDOs) имеют перигелийные расстояния q~35-38 а.е. Многие такие ТНО с большими q могли быть бывшими планетезималями из зоны питания планет-гигантов.

В ходе аккумуляции планет-гигантов суммарная масса планетезималей, стартовавших из зоны питания этих планет и какое-то время двигавшихся за орбитой Нептуна, равнялась десяткам масс Земли. Эти планетезимали увеличивали эксцентриситеты орбит локальных транснептуновых объектов (ТНО), суммарная начальная масса которых могла превышать 10m_Е, и выметать большинство таких тел из этой зоны. Небольшая часть этих планетезималей могла остаться за орбитой Нептуна на сильно эксцентричных орбитах. Такой механизм формирования ТНО на сильно эксцентричных орбитах и формирование местных ТНО на слабо эксцентричных орбитах из вещества, находившегося за орбитой Нептуна [4], а также первые оценки гравитационных взаимодействий ТНО [5, 221] рассматривались Ипатовым в 1980-1988 гг. Было показано, что за последние 4 млрд лет несколько процентов ТНО могли изменить свои большие полуоси a более, чем на 1 а.е., вследствие гравитационных взаимодействий с другими ТНО. Заметим, что даже малые изменения элементов орбит ТНО, происходящие вследствие их взаимного гравитационного влияния и столкновений, могут приводить к большим изменениям элементов орбит ТНО под гравитационным влиянием планет [25].

На некоторых этапах эволюции рассмотренных дисков тел, соответствующих зоне планет-гигантов, (при числе оставшихся тел N-300-400, составлявших около трети-половины от числа начальных тел) суммарная масса тел с большими полуосями a>50 а.е. превышала 0.1M_o, а в конце эволюции была значительно меньше. Перигелии орбит многих из этих тел лежали около орбиты Нептуна, а средние эксцентриситеты их орбит были близки к 0.6. Эти тела наряду с телами, сформировавшимися за орбитой Нептуна, участвовали в формировании транснептуннового пояса.

Так как часть тел транснептунового пояса может мигрировать внутрь Солнечной системы, то в [78] отмечалось, что благодаря механизму обмена момента количества движения с такими телами некоторые крупные тела транснептунового пояса могли увеличить большие полуоси своих орбит и переместиться из внутренней части пояса в его среднюю часть.

Транснептуновые объекты с диаметром d™100 км, движущиеся по не сильно эксцентричным орбитам, могли сформироваться при сжатии больших разреженных пылевых сгущений (с a>30 а.е.), а не путем аккреции меньших планетезималей. Для твердотельной аккумуляции транснептуновых объектов из небольших планетезималей необходимо, чтобы аккумуляция шла при малых (~0.001) эксцентриситетах орбит и массивном поясе (десятки масс Земли). По моим расчетам [22, 26], из-за гравитационного влияния формирующихся планет-гигантов, транснептуновых объектов (ТНО) и мигрирующих планетезималей такие небольшие эксцентриситеты не могли существовать в течение времени, необходимого для твердотельной аккумуляции транснептуновых объектов с диаметром d>100 км. Вероятно, некоторые планетезимали с диаметром d~1001000 в зоне питания планет-гигантов и даже некоторые крупные астероиды главного пояса также могли образоваться непосредственно за счет сжатия разреженных пылевых сгущений. Некоторые более мелкие объекты (ТНО, планетезимали, астероиды) могли быть обломками более крупных объектов, а другие подобные объекты могли образоваться в результате сжатия сгущений.

Популяция транснептуновых тел диаметром d>100 км, вероятно, существенно не изменилась из-за взаимодействий этих тел за время существования Солнечной системы, так как катастрофические столкновения крупных тел с d~100-150 км маловероятны. Тело массой в ~100 раз меньшей, чем 100-км объект, не способно его разрушить, но может изменить его орбитальную скорость на несколько м/с и большую полуось на ~0.2% (~0.1 а.е.). Такие события могут быть, вообще говоря, достаточно частыми, чтобы обеспечить некоторый поток тел размером с Хирон. При этом большие полуоси орбит осколков, образующихся при столкновении, могут отличаться на 0.1-1 а.е. от больших полуосей орбит родительских тел.

В [22, 25, 266, 267, 269, 274, 275, 278-285, 289-291, 293-295, 299, 300, 301, 302] и в параграфах 4-5 главы 7 в [78] исследовались изменения элементов орбит тел транснептунового пояса под влиянием планет-гигантов при различных начальных эксцентриситетах и наклонениях орбит. Эволюция орбит этих тел изучалась также после того, как они стали пересекать орбиту Нептуна. Начальные значения больших полуосей орбит ТНО варьировались от 35 до 50 а.е.

При моделировании эволюции орбит ТНО при резонансе 2:3 с движением Нептуна (в России ранее писали "резонанс 3:2") в [25] и в параграфе 5 главы 7 в [78] рассматривались различные типы изменений элементов орбит ТНО. Была изучена эволюция орбит около ста ТНО. Обычно рассматриваемый интервал времени равнялся 20 млн. лет, но иногда достигал 100-150 млн. лет. Для многих таких вариантов расчетов исходное значение большой полуоси орбиты ТНО a₀=39.3 а.е. При таком a₀ в ходе эволюции всегда достигалось резонансное значение a (39.5 а.е.). Были рассмотрены различные типы взаимосвязей изменений разности значений долготы восходящего узла для ТНО и Нептуна и аргумента перигелия ТНО. При интегрировании в прошлое эволюции орбит, близких к орбите объекта P/1996 R2, пересекавшей орбиту Юпитера, в ряде вариантов расчетов [21] было получено, что ранее большие полуоси орбит таких объектов превышали 30 а.е. (рис. 7.6а-б в [78]), то есть этот объект пришел из зоны транснептунового пояса.

На основе простых формул и результатов численных расчетов проводились оценки ([22, 27, 89, 143, 144], параграф 5 главы 7 в монографии [78]) числа тел, мигрировавших из транснептунового пояса к орбитам Юпитера и Земли. Отмечалось, что около 6% тел, пересекавших орбиту Нептуна, могли достигнуть орбиты Земли. Если считать число ТНО с диаметром d>1 км и большими полуосями отбит от 30 до 50 а.е. равным 10¹⁰, то по нашим оценкам [22, 78] около 30000 бывших ТНО с диаметром d>1 км движутся по орбитам, пересекающим орбиту Юпитера, причем около 170 из них пересекают также орбиту Земли. Таким образом, считалось, что около 20% объектов, пересекающих орбиту Земли, (ОПОЗ) могут приходиться на бывшие ТНО, пересекающие одновременно орбиты Земли и Юпитера. Возможно, что еще большее число объектов, пришедших из-за орбиты Нептуна, двигаются по орбитам, пересекающим орбиту Земли и целиком лежащих внутри орбиты Юпитера. Перигелии или афелии орбит тел, сталкивающихся с Землей, в основном лежат около орбиты Земли.

В 1980 г. в препринте [221] отмечалось, что пределы изменений больших полуосей и эксцентриситетов орбит гравитационно взаимодействующих тел с массами Плутона для трех или четырех тел могут быть в несколько раз больше, чем для двух таких тел, движущихся вокруг Солнца. Изменения больших полуосей орбит ТНО в этом случае могли составлять несколько астрономических единиц [5, 221]. Эти результаты свидетельствуют в пользу гипотезы Т.М. Энеева о том, что ранее большая полуось орбиты Плутона была больше современного значения и она уменьшилась при гравитационных взаимодействиях Плутона с крупными телами транснептунового пояса. Отмечалось также, что, два тела одинаковых масс могут обмениваться значениями больших полуосей орбит при тесных сближениях. Некоторые транснептуновые объекты могли мигрировать из середины пояса в его внутреннюю часть. Причем некоторые из этих тел могли переходить на орбиты, эксцентриситеты которых со временем значительно возрастали под влиянием планет-гигантов, и такие тела могли мигрировать внутрь Солнечной системы.

1. Формирование двойных транснептуновых объектов

Известно, что доля малых тел со спутниками составляет 0.1 среди астероидов главного пояса, 0.15 для астероидов, сближающихся с Землей, около 0.3 для классических транснептуновых объектов и 0.1 для остальных транснептуновых объектов. В статье [51] показано, что угловые скорости сгущений, использовавшиеся в расчетах (Nesvorn и др., Astron. J., 2010, v. 140, pp. 785793) в качестве исходных данных при моделировании сжатия разреженных сгущений (состоявших из пыли и/или объектов с диаметром, меньшим 1 м), приводящего к формированию транснептуновых спутниковых систем, могли быть получены при столкновениях сгущений, радиусы которых сопоставимы с их радиусами Хилла. Гелиоцентрические орбиты столкнувшихся сгущений могли быть близки к круговым. Модель формирования спутниковой системы, рассматривающая столкновение двух сгущений, соответствует наблюдениям, согласно которым около 40% двойных объектов, обнаруженных в транснептуновом поясе, имеют отрицательный угловой момент относительно их центров масс [52]. Отношение тангенциальной составляющей скорости столкновения сгущений к параболической скорости на поверхности сгущения обратно пропорционально расстоянию от Солнца и обратно пропорционально кубическому корню из массы сгущения. Поэтому объединение сгущений-препланетезималей более вероятно для более массивных сгущений и для сгущений, находившихся на большем расстоянии от Солнца (в частности, больше для сгущений в зоне транснептунового пояса, чем в зоне астероидного пояса) [39, 51].

1. Формирование системы Земля-Луна

Разными учеными были предложены различные модели происхождения Луны, но вплоть до настоящего времени этот вопрос окончательно не решен. Мы коснемся здесь нескольких наиболее значимых вариантов (более подробный обзор приведен в [54, 59, 82]). Теория коаккреции рассматривала образование Луны из околоземного роя малых тел. Основным источником роя, согласно модели Шмидта-Рускол-Сафронова, считался захват частиц допланетного диска при столкновениях (свободной со свободной и свободной со связанной). Большую популярность получила предложенная рядом авторов модель мегаимпакта. Предполагается, что Луна образовалась в результате катастрофического столкновения на стадии формирования с телом размером с Марс (получившим название Тейя), что привело к выбросу при ударе расплавленной силикатной мантии Земли на близкую околоземную орбиту. Из объединившихся фрагментов выброса образовалась протолуна, постепенно удалившаяся на современную орбиту вследствие приливного взаимодействия с Землей в процессе эволюции. Привлекательность данной гипотезы заключалась прежде всего в объяснении средней плотности Луны, равной плотности земной мантии. Было предложено несколько модификаций модели мегаимпакта.

Каноническая модель мегаимпакта сталкивается с определенными трудностями, прежде всего, геохимического характера, и в настоящее время подвергается серьезной критике. Она не позволяет объяснить близкий изотопный состав целого ряда элементов Земли и Луны, в первую очередь, изотопов кислорода, железа, водорода, кремния, магния, титана, калия, вольфрама, хрома. Трудно допустить, что образовавшее Луну тело даже из сравнительно близкой окрестности формирующихся планет земной группы имело состав, аналогичный Земле, поскольку в данной модели большая часть вещества Луны образуется из вещества ударника, а не протоземли. Эти результаты лишают модель мегаимпакта геохимического обоснования. Помимо этого, гипотеза мегаимпакта не позволяет объяснить отсутствие изотопных сдвигов в лунном и земном веществе, так как выброшенный при гигантском ударе материал должен состоять на 80-90% из пара, а при испарении расплава изотопные составы K, Mg, Si должны заметно изменяться. Гипотеза гигантского удара предполагает, что после столкновения на поверхности планеты образуется океан магмы. Однако связь с этим событием древнего магматического океана на Земле подвергается сомнению.

Альтернативой модели мегаимпакта служат мультиимпактная модель и модель формирования зародышей Земли и Луны из единого первоначального газопылевого разреженного сгущения в протопланетном диске, с последующим образованием и сжатием двух фрагментов. В основе мультиимпактной модели лежит гипотеза о многократных столкновениях планетезималей с зародышем Земли. В отличие от модели мегаимпакта ударников несколько и масса каждого из них меньше. Модель формирования зародышей Земли и Луны из единого первоначального газопылевого разреженного сгущения в протопланетном диске, с последующим образованием и сжатием двух фрагментов помимо удовлетворения геохимическим ограничениям, позволяет также объяснить известные различия в химическом составе Луны и Земли, в том числе дефицит железа, обеднение летучими и обогащение тугоплавкими окислами Al, Ca, Ti вещества Луны по сравнению с Землей. В модели Э.М. Галимова формирование ядер Земли и Луны из сгущения началось не раньше 50 млн лет от возникновения Солнечной системы, датируемого по СAI (кальций-алюминиевые включения, изучение которых позволяет определить возраст Солнечной системы). Модель Галимова и др. также не свободна от недостатков, ее критика приведена Ипатовым в [54]. В частности, в этой модели не указано куда делось 95% обедненного железом вещества из внутренней части сгущения до того момента, когда зародыши стали расти за счет вещества его внешней части. При нулевых (относительно центра сгущения) скоростях частицы сгущения очень быстро (время свободного падения равно 25 годам), выпали бы в центр сгущения, прежде чем сформировались зародыши в его внутренней горячей части, где только испарение частиц занимало десятки тысяч лет. Поэтому существование сгущения, породившего Землю и Луну, в течение 50 млн лет представляется нам маловероятным, что подкрепляет обзор публикаций по временам жизни сгущений, приведенный в разделе 2.3 статьи [59]. Как отмечалось выше при изучении формирования Земли, основное время формирования Земли, вероятно не превышало 5 млн лет.

В отличие от модели Галимова и др., в которой масса исходного сгущения равнялась суммарной массе Земли и Луны, в модели Ипатова [54, 82] зародыши Земли и Луны сформировались из общего разреженного сгущения с массой порядка (0.01-0.1)m_E и угловым моментом, достаточным для формирования зародыша Луны. Угловой момент родительского сгущения, необходимый для формирования зародышей Земли и Луны, мог быть в основном приобретен при столкновении двух разреженных сгущений, при котором образовалось родительское сгущение. Момент количества движения системы Земля-Луна мог быть приобретен при столкновении двух сгущений (двигавшихся до столкновения по круговым гелиоцентрическим орбитам) общей массой не меньше массы Марса [54]. С учетом последующего роста масс зародышей Земли и Луны для достижения современного момента количества движения системы Земля-Луна суммарная масса зародышей, образовавшихся при сжатии родительского сгущения, могла не превышать 0.01 массы Земли. Рост зародышей Земли и Луны рассматривался в рамках мультиимпактной модели. Большая часть вещества, вошедшего в зародыш Луны, была выброшена с Земли при многочисленных столкновениях с ней планетезималей и тел меньшего размера. Спутниками обладают и некоторые малые тела. Аналогичный модели механизм был предложен Ипатовым для модели формирования транснептуновых спутниковых систем [51-52].

Вообще говоря, угловой момент сгущения, необходимый для образования системы Земля-Луна, мог быть получен путем аккумуляции только малых объектов сгущением с конечной массой m_f>0.15m_E. Однако более вероятно, что основной вклад в угловой момент родительского сгущения внесло столкновение двух крупных сгущений. В противном случае Венера и Марс могли бы также сформироваться с большими спутниками (чего на самом деле нет), если бы их родительские сгущения получили достаточные угловые моменты. Вероятно, в отличие от Земли, сгущения, образовавшие при сжатии зародыши других планет земной группы, не сталкивались на этой стадии с массивными сгущениями. Если такой сценарий справедлив, то сгущение, породившее зародыш Марса, не обладало большим угловым моментом и при его сжатии могли образоваться только небольшие спутники Фобос и Деймос, хотя возможен другой механизм их появления. Угловые моменты сгущений, породивших зародыши Меркурия и Венеры, были недостаточны даже для формирования малых спутников.

При росте первоначально обедненных железом зародышей Земли и Луны только за счет аккумуляции ими планетезималей для объяснения небольшой доли железа в Луне нужно, чтобы масса зародыша Луны увеличилась бы не более чем в 1.3 раза. Масса зародыша Земли при таком росте зародыша Луны выросла бы не более чем в 3 раза за счет аккумуляции планетезималей в безгазовой среде. При этом Земля не получила бы современного содержания железа. При росте зародышей только путем аккумуляции твердых планетезималей (без выброса вещества с зародышей) проблематично получить современное содержание железа в Земле и Луне при любых значениях исходного содержания железа в начальных зародышах. Для того чтобы получить современное содержание железа в Земле и Луне при какой-либо доле железа в исходных зародышах, прирост dm массы зародыша должен быть пропорционален m^p, где p>2. При движении твердых тел в безгазовой среде p не превышает 4/3. Для объяснения современной доли железа в Луне доля вещества, выброшенного из мантии зародыша Земли и выпавшего на зародыш Луны, должна была на порядок превышать сумму общей массы планетезималей, выпавших непосредственно на зародыш Луны, и начальной массы зародыша Луны, образовавшегося из родительского сгущения, если начальный зародыш содержал такую же долю железа, что и планетезимали. Большая часть вещества, вошедшего в зародыш Луны, могла быть выброшена с Земли при многочисленных столкновениях планетезималей (и меньших тел) с Землей.

В проблеме происхождения системы Земля-Луна принципиально важным является вопрос о причине различия в составе вещества этих тел железа и роли в таком различии процессов миграции. Допуская, что доля железа в исходном зародыше Луны и в планетезималях, составляла 0.33, а доля железа в коре Земли и в Луне по современным данным равна, соответственно, 0.05 и 0.08, и используя соотношение 0.05k_E+0.33(1-k_E)=0.08, можно оценить долю k_E вещества земной коры в Луне величиной ~ 0.9. Поэтому для объяснения такого содержания железа в Луне следует полагать, что доля вещества, выброшенного с зародыша Земли и выпавшего на зародыш Луны, должна была почти на порядок превышать сумму общей массы планетезималей, выпавших непосредственно на зародыш Луны и начальной массы зародыша Луны, образовавшегося из родительского сгущения, при условии, что этот лунный зародыш содержал такую же долю железа, что и планетезимали. Как видим, оценка доли вещества земной коры в Луне тем меньше, чем больше был обеднен железом зародыш Луны, образовавшийся при сжатии сгущения, и чем больше была его масса. Как уже отмечалось, большая часть вещества, вошедшего в зародыш Луны, могла быть выброшена с Земли при многочисленных столкновениях планетезималей и других тел с Землей.

Следует подчеркнуть, что объекты, выброшенные с зародыша Земли при его столкновениях с другими объектами, имели больше шансов войти в состав крупного зародыша Луны, чем объединиться с аналогичными объектами малой массы. Это способствовало образованию и росту более крупного спутника Земли, чем в случае его аккумуляции только из вещества, выброшенного с Земли. Наличие спутника Земли, образовавшегося при сжатии сгущения, может объяснить отсутствие спутника у Венеры. На Венеру, как и на Землю, выпадали различные планетезимали с примерно одинаковым для обоих планет распределением по массам и скоростям. При этих столкновениях с поверхности Венеры также выбрасывалось вещество, но никакого спутника из этого вещества не образовалось.

Указанный подход [54], согласно которому исходные зародыши Луны и Земли могли образоваться из общего родительского сгущения, существенно отличается от работ по классической модели мультиимпактов, в которых рассматривалось формирование и рост зародыша Луны в основном за счет вещества земной коры, выброшенного с зародыша Земли при его многочисленных столкновениях с телами протопланетного диска. Основное отличие от них модели Ипатова [54] состоит в том, что исходный зародыш Луны образовывался не из вещества, выброшенного с зародыша Земли, а из того же сгущения, что и зародыш Земли, а дальнейший рост зародышей Земли и Луны, образовавшихся при сжатии родительского сгущения, был аналогичным мультиимпактной модели. Вещество, вошедшее в зародыш Луны, могло выбрасываться с Земли при многочисленных столкновениях планетезималей и других тел меньшего размера с Землей, а не только при небольшом числе крупных столкновений.

Предложенные Ипатовым модели образования спутниковых систем налагают некоторые ограничения на времена существования разреженных сгущений. Для круговых гелиоцентрических орбит, разность больших полуосей a которых равна радиусу r_Ho сферы Хилла, отношение периодов движения двух сгущений вокруг Солнца составляет около 1+1.5r_Ha, где r_Ha=r_Ho/a. В этом случае угол с вершиной в Солнце между направлениями на два сгущения изменяется на 2•1.5•r_Ha•n_r радиан за n_r оборотов сгущений вокруг Солнца. Предположим, что рассматриваемое столкновение сгущений происходит, когда большие полуоси их орбит различаются на r_Ho, а начальный угол с вершиной в Солнце между направлениями на сгущения равен радиан. Тогда столкновение произойдет примерно через (3r_Ha)^-1 оборотов. При массе, равной 0.01m_E, соответствующее время между столкновениями примерно равно 10^8/3/3-155 оборотам. То есть столкновение сгущений, породивших родительское сгущение зародышей системы Земля-Луна, могло произойти за время порядка 100 лет после их образования. Аналогичные оценки [59] показали, что для объяснения доли образовавшихся спутниковых систем транснептуновых объектов время жизни сгущений, породивших эти объекты, должно быть порядка 10³ оборотов вокруг Солнца. Другими словами, время жизни сгущения в этой зоне Солнечной системы не превышало сотен тысяч лет.

В статье [Da Wang et al., 2025, Nature Geoscience, https://doi.org/10.1038/s41561-025-01811-3] показано, что доля Калия-40 в целом на Земле больше, чем в протоЗемле (в глубинных районах мантии Земли), и меньше, чем в метеоритах. В этой работе такая разница объясняется моделью мега-импакта. Однако, по-моему, эти исследования Калия-40 хорошо согласуется с обычной моделью роста Земли (без мегаимпакта), когда со временем в ее состав входили тела, зародившиеся на все большем расстоянии от орбиты Земли (чем с большего расстояния от Солнца приходили к Земле тела, тем больше в них было Калия-40).

Рост Луны за счет тел, выброшенных с Земли, обсуждался в [63]. Была изучена эволюция орбит тел, выброшенных с Земли на стадии ее аккумуляции и ранней эволюции при ударах крупных планетезималей. В рассмотренных вариантах расчетов движения тел, выброшенных с Земли, большая часть тел покидала сферу Хилла Земли и двигалась по гелиоцентрическим орбитам. Их динамическое время жизни достигало нескольких сотен миллионов лет. При более высоких скоростях выброса v_ej вероятности столкновений тел с Землей и Луной в основном были ниже. Вероятность столкновения выброшенного с Земли тела с Луной, движущейся по ее современной орбите, была примерно в 1535 раз меньше, чем с Землей при скорости выброса v_ej™11.5 км/с. Вероятность столкновения таких тел с Луной составляла в основном около 0.0040.008 при скоростях выброса не менее 14 км/с и около 0.0060.01 при v_ej=12 км/с. Она была больше при меньших скоростях выброса и была в диапазоне 0.010.02 при v_ej=11.3 км/с. На Луне может находиться вещество, выброшенное с Земли при аккумуляции Земли и при поздней тяжелой бомбардировке. При этом, как получено в расчетах, тел, выброшенных с Земли и упавших на зародыш Луны, было бы недостаточно для того, чтобы Луна выросла до своей современной массы из маленького зародыша, двигавшегося по современной орбите Луны. Этот результат свидетельствует в пользу образования лунного зародыша и дальнейшего его роста до большей части современной массы Луны вблизи Земли. Кажется более вероятным, что первоначальный зародыш Луны с массой не более 0.1 от массы Луны образовался одновременно с зародышем Земли из общего разреженного сгущения. Для более эффективного роста зародыша Луны желательно, чтобы при некоторых соударениях тел-ударников с Землей выброшенные тела не просто вылетали из кратера, а часть вещества выходила на орбиты вокруг Земли, как в модели мультиимпактов. Средние скорости столкновений выброшенных тел с Землей тем больше, чем больше скорость выброса. Значения этих скоростей столкновений составили около 13, 1415, 1416, 1420, 1425 км/с при скорости выброса, равной 11.3, 11.5, 12, 14 и 16.4 км/с соответственно. Скорости столкновений тел с Луной были также выше при больших скоростях выброса и находились в основном в пределах 78, 1012, 1016 и 1120 км/с при v_ej, равной 11.3, 12, 14 и 16.4 км/с соответственно.

1. Формирование осевых вращений планет

Осевые вращения большинства планет Солнечной системы (за исключением Венеры и Урана) являются прямыми, т.е. совпадают с направлением их орбитального движения. Многие авторы считают, что большинство планет приобрело современные осевые вращения в процессе формирования планет из протопланетного околосолнечного облака. При моделировании методом сфер (в основном сфер действия) эволюции плоских дисков из сотен твердых тел, движущихся вокруг Солнца и объединяющихся при столкновениях, Ипатов [2-4, 125, 217, 224, 226] впервые исследовал периоды осевых вращений образовавшихся тел-планет. Анализ полученных результатов показал, что в результате эволюции дисков часть образовавшихся тел обычно приобретала положительные, а часть тел - отрицательные осевые вращения. Причем, если эксцентриситеты орбит (точнее значения e_m^1/3, где e_m - наибольший эксцентриситет гелиоцентрических орбит двух объединяющихся тел, - масса большего из этих тел в массах Солнца) в ходе эволюции были относительно невелики, то среди образовавшихся тел преобладали тела с положительными осевыми вращениями. Если же эволюция шла при больших эксцентриситетах орбит, то доли образовавшихся тел с положительными и отрицательными осевыми вращениями были примерно одинаковы. Малое число начальных тел (не более 1000) в рассмотренных вариантах расчетов, а, следовательно, и небольшие отношения масс сталкивающихся тел, возможно, являются причиной того, что периоды осевых вращений образовавшихся тел в рассмотренных вариантах были в основном несколько меньше периодов осевых вращений современных планет. Обзор работ по формированию осевых вращений планет приведен в параграфе 4 главы 5 монографии [78].

Путем моделирования многократных (сотни тысяч в каждом варианте) изолированных сближений (до радиуса r_s рассматриваемой сферы) двух тел, движущихся вокруг Солнца в одной плоскости, были проведены расчеты значений K=K⁺-K^- (где K⁺ и K^- - доли положительных и отрицательных моментов количества движения сталкивающихся тел относительно их общих центров масс среди суммы модулей моментов обоих знаков) при различных исходных данных (массах m₁=₁M_S и m₂=₂M_S (M_S - масса Солнца), плотностях (k - отношение плотности тел к плотности Земли), эксцентриситетах e₁ и e₂ и больших полуосях a₁ и a₂ гелиоцентрических орбит). Взаимное гравитационное влияние тел учитывалось методом сфер (в основном сфер действия). Результаты этих расчетов представлены в препринтах [222-223] и суммированы в параграфе 4 главы 5 монографии [78]. В каждом из вариантов расчетов эксцентриситеты и массы тел, а также направление на перицентр орбиты первого тела были фиксированы. Направление на перицентр орбиты второго тела менялось от 0 до 2 радиан. В вариантах расчетов отношение a₂/a₁ больших полуосей орбит принимало различные значения, при которых возможно сближение тел до r_s. Результаты таких расчетов [222] позволили оценить средние значения K при различных эксцентриситетах орбит и плотностях тел и планет. Было показано, что значения K⁺ и K (особенно в вариантах ) имеют тенденцию к убыванию с увеличением a₁k^1/3 и e_m=max{e₁, e₂}. В некоторых вариантах, для которых a₂/a₁=const, зависимость K⁺ от a₁k^1/3 не совсем монотонная. В вариантах расчетов, проведенных методом сфер действия, как и при численном интегрировании уравнений движения задачи трех тел, получено, что значения K максимальны при e_H=e_m(/3)^-1/3~1.

Из полученных результатов, в частности, видно, что при одних и тех же значениях a₁k^1/3, e_m=max{e₁, e₂} и =max{₁, ₂} значения K могут отличаться в несколько раз для различных величин e₁, e₂, ₁ и ₂. Полученные результаты показывают, что значения K могут существенно зависеть от отношения a₂/a₁. Хотя значения K и вероятности столкновений тел при их сближениях до радиуса сферы действия в случае почти касательных орбит больше, чем для других орбит, при исследовании формирования осевых вращений планет не стоит ограничиваться исследованием только почти касательных орбит (особенно, когда эксцентриситеты орбит планеты и тел немалы). Желательно учитывать все допустимые орбиты тел.

Считается, что Юпитер и Сатурн образовались в основном за счет аккреции газа, а скорости осевых вращений Меркурия, Венеры и Плутона были сильно изменены приливными силами. Сравнивая значения K, соответствующие современным периодам осевых вращений планет, со значениями K, полученными при различных исходных данных, получаем, что для формирования осевых моментов Земли и Нептуна путем аккреции малых тел основная масса тел, выпадавших на эти планеты, должна была иметь слабоэксцентричные (e<0.05) орбиты. Полученные Ипатовым [222-223] численные результаты свидетельствуют в пользу того, что в регулярную составляющую осевых моментов некоторых планет (например, Земли и Нептуна) внесли большой вклад выпадения крупных тел на планеты.

В рамках модели аккумуляции твердых тел современные наклоны осей вращения планет обычно объясняют выпадением крупных тел на зародыши. Ипатов получил [223], что наиболее массивные тела (массой до нескольких масс Земли) должны были выпасть на Сатурн и Уран. Если считать первоначальный период осевого вращения Земли, равным 6 часам, то при одном ударе наклонение оси вращения Земли, согласно [223], получается при ее столкновении с телом массой в 0.03m_E. При современном периоде осевого вращения Земли (24 часа) масса ударника в 4 раза меньше (~0.01m_E). Крупные тела, выпадавшие на планеты, внесли существенный вклад не только в наклоны осей вращения, но и в регулярные составляющие их моментов осевых вращений.

Результаты исследований процесса формирования осевых вращений протопланет путем объединений разреженных газопылевых сгущений показали [223], что их осевые моменты значительно превышают осевые моменты современных планет. Полученные результаты показывают, что если протопланета и сгущения представляют собой однородные шары, совпадающие с их сферами Хилла, то осевой момент разреженной протоЗемли почти на два порядка превышает осевой момент современной Земли. Однако при сжатии протопланет из-за их приливных взаимодействий с Солнцем их осевой момент существенно уменьшается.

1. Миграция малых тел из различных областей Солнечной системы к планетам земной группы

Вода и летучие важны для зарождения и эволюции жизни в Солнечной системе и во внесолнечных системах. Вода в океане Земли и ее отношение D/H дейтерия к водороду могут быть результатом смешивания воды из нескольких экзогенных и эндогенных источников с высоким и низким отношениями D/H. Проблема миграции небесных тел в Солнечной системе важна и для понимания формирования и эволюции Солнечной системы. Эндогенные источники воды могли включать прямую адсорбцию водорода из небулярного газа в расплавы магмы с последующей реакцией водорода с оксидом железа FeO и аккумуляцию воды частицами протопланетного диска до начала диссипации газа во внутренней части ранней Солнечной системы, которые могли увеличить отношение D/H дейтерия к водороду в океанах Земли. Также они включают аккумуляцию воды частицами протопланетного диска до начала диссипации газа во внутренней части ранней Солнечной системы. Ниже говорится об экзогенных источниках воды. Экзогенные источники включали миграцию тел из-за линии льда. В ряде работ внешняя часть главного пояса астероидов рассматривалась как основной источник воды на Земле. Много тел столкнулось с планетами земной группы и Луной во время периода поздней тяжелой бомбардировки (Late Heavy Bombardment, LHB). Разные оценки этого периода лежат внутри интервала от 4.5 до 3.5 млрд лет тому назад.

Ипатовым исследовалась миграция тел к планетам земной группы из зон главного и внешнего астероидных поясов, из зоны планет гигантов и из транснептунового пояса. Миграция тел к планетам земной группы из транснептунового пояса обсуждается выше в конце раздела 7 Формирование астероидного и транснептунового поясов. В частности, в [22] оценивалось, что до 20% околоземных объектов с диаметром d>1 км могли приходить из транснептунового пояса. Изучение вероятностей столкновений тел с Землей важно при рассмотрении проблемы астероидно-кометной опасности (АКО), привлекающей к себе растущее внимание как потенциальный источник, угрожающий земной цивилизации. Среди объектов, сближающихся с Землей, (ОСЗ) наибольшую опасность представляют три главных группы астероидов, сближающихся с Землей: группы Амура, Аполлона и Атона, из которых тела из группы Амура близко подходят к земной орбите (1.017<q=a(1-e)<1.3 а.е.), а тела из групп Аполлона и Атона ее пересекают, при значениях их больших полуосей, соответственно, больше или меньше 1 а.е. Выделяют также небольшую группу астероидов группы Атира с орбитами, лежащими внутри орбиты Земли (Q=a(1+e)<0.983 а.е.). Некоторые ОСЗ достигают километровых размеров, и их столкновение с Землей способно вызвать глобальную катастрофу, как это происходило не раз в геологической истории нашей планеты. Многие исследователи считают, что астероиды являются основным источником ОСЗ, в то время как кометы представляют большую опасность из-за внезапности их появления.

До середины 1990-ых годов при моделировании миграции тел к орбите Земли под влиянием планет кроме численного интегрирования мною использовался также метод сфер действия. В [19] и в параграфах 7-8 главы 7 монографии [78], в частности, была рассмотрена эволюция дисков, состоявших первоначально из 500 тел с одинаковыми большими полуосями a_о (™1.7 а.е.) и большими (™0.4) начальными эксцентриситетами e_о орбит. Результаты расчетов таких пространственных (при среднем наклонении около 15 градусов) дисков, представленных в табл. 1, показали, что доля тел, выброшенных на гиперболические орбиты, в k_h~5-30 раз больше доли тел, столкнувшихся с планетами, большинство эксцентриситетов гиперболических орбит выброшенных тел лежит между 1.01 и 2, а доля почти параболических орбит невелика. Число тел, сталкивавшихся в Венерой, было близко к числу тел, сталкивавшихся с Землей. Доля тел, столкнувшихся с Меркурием и Марсом существенно зависела от a_о и e_о. При a_о=2.5 а.е. и e_о=0.4 (для тел, приходящих из резонанса 3:1 с Юпитером) доли тел, столкнувшихся с Марсом и Меркурием, были соответственно втрое и вдвое меньше, чем для Земли. При a_о=1.7 а.е. и e_о=0.5 (типичные орбиты астероидов группы Аполлона) и при a_о=2.82 а.е. и e_о=0.7 (для тел, приходящих из резонанса 5:2 с Юпитером) время, за которое число тел в диске уменьшилось вдвое, было на два порядка меньше среднего времени до столкновения тел с Землей. При этом более 10% тел из резонанса 5:2, которые сталкивались с Землей, сталкивались с ней менее, чем за 1 млн лет, хотя времена до последних столкновений могут превышать 100 млн лет.

Таблица 1. Доля p_E500 тел, столкнувшихся с Землей, и доля p_h тел, выброшенных на гиперболические орбиты с эксцентриситетами e_h в ряде диапазонов. k_h отношение числа тел, выброшенных на гиперболические орбиты, к числу тел, столкнувшихся с планетами, T_h - время, за которое число тел в диске уменьшилось вдвое. Так как в начальном диске 500 тел, то вероятность столкновения для одного тела в 500 раз меньше, чем p_E500.

Миграция тел из основного астероидного пояса обсуждалась в статье [19] и параграфах 2 и 8 главы 7 монографии [78]. Были сделаны следующие выводы. Астероиды, попавшие в люки Кирквуда из-за гравитационного влияния крупнейших астероидов, могут составлять несколько процентов ОСЗ. Большее число тел может попадать в люки в результате взаимных столкновений астероидов. Поэтому ОСЗ, поставляемые из астероидного пояса, в значительной степени являются продуктами высокоскоростных столкновений. Получено, что среднее время до момента первого столкновения какого-либо астероида диаметром d=1 км с каким-либо астероидом диаметром d'™0.1d меньше 10 тысяч лет. Среднее время жизни небольших (d<100 км) астероидов главного пояса не превышает время существования Солнечной системы, а время жизни тела диаметром 1 м в астероидном поясе может быть порядка миллиона лет. Характерное время до столкновения ОСЗ с Землей составляет около 100 млн лет. Вероятность выброса ОСЗ на гиперболическую орбиту на порядок больше вероятности его столкновения с Землей. Для половины тел, столкнувшихся с Землей, интервал времени между выходом на орбиту, пересекающую орбиту Земли, и столкновением с Землей, не превышает 10 млн лет. Выпадение на Землю ОСЗ диаметром d>1 км может происходить в среднем раз в 100 тысяч лет.

В статьях [27-29, 93-94] исследовалась эволюция орбит ~30000 объектов, первоначально пересекавших орбиту Юпитера (ОПОЮ), с начальным периодом P<20 лет. В частности, рассматривались кометы 2P, 10P, 44P и 113P. При этом учитывалось гравитационное влияние семи планет (ВенераНептун). Рассматривались также резонансные астероиды и транснептуновые объекты. Для интегрирования уравнений движения в основном использовался симплектический алгоритм из пакета SWIFT (Levison, Duncan, Icarus, 1994, v. 108, 18-36). Для рассмотренных задач результаты расчетов этим методом были близки к результатам расчетов методом (Bulirsh, Stoer, Numerishe Mathematik, 1996, v. 8, 1-13). Среднее время динамической жизни ОПОЮ получено порядка 100 тыс. лет, а среднее время движения объекта, первоначально пересекавшего орбиту Юпитера, по орбите, пересекавшей орбиту Земли, было около 30 тысяч лет. Однако среди рассмотренных 30 тысяч ОПОЮ было несколько объектов, которые переходили на орбиты, лежащие внутри орбиты Юпитера, и двигались по ним в течение десятков миллионов лет. Вероятность столкновения такого объекта с планетой земной группы может быть больше, чем у 10 тысяч других объектов, пересекавших орбиту Юпитера. Хотя только небольшая часть мигрировавших объектов имела большие полуоси орбит a<2 а.е., среднее время, проводимое объектами, первоначально пересекавшими орбиту Юпитера, на орбитах с a<2 а.е. было сравнимо со временем при a=3 а.е. Вероятность столкновения объекта, пересекавшего орбиту Юпитера, с Землей была порядка 410^-6 - 410^-5 (интервал для различных групп объектов).

В статье [53] с помощью симплектического интегратора SWIFT исследовалась миграция планетезималей из зоны питания Юпитера и Сатурна к формирующимся планетам земной группы. В серии расчетов JS рассматривались современные орбиты и массы планет земной группы, Юпитера и Сатурна. В серии JS₀₁ массы планет земной группы были в 10 раз меньше их современных значений, а Юпитер и Сатурн имели современные массы и орбиты (в ряде космогонических моделей считается, что Юпитер и Сатурн почти сформировались, когда массы планет земной группы были еще далеки от современных значений). В сериях JN и JN₀₁ дополнительно к начальным данным для JS и JS₀₁ рассматривались Уран и Нептун на их современных орбитах. В четырех сериях расчетов JS, JS₀₁, JN и JN₀₁ большие полуоси a исходных орбит планетезималей варьировались от a_min=4.5 до a_max=12 а.е., причем число планетезималей с большой полуосью орбиты, близкой к a, было пропорционально a^1/2. Эксцентриситеты исходных орбит планетезималей равнялись 0.3 (такие средние эксцентриситеты орбит планетезималей были на конечных стадиях аккумуляции планет земной группы), а наклонения их орбит равнялись 0.15 рад. Вероятности столкновений рассмотренных планетезималей (из зон Юпитера и Сатурна) с Землей были порядка 210^-6 [53]. В [53] отмечалось, что около 30% воды, доставленной из зоны питания Юпитера и Сатурна, могло быть доставлено при росте зародыша Земли до 0.5m_E.

В ряде расчетов [59, 122, 484, 496] начальные значения a_o больших полуосей орбит тел-планетезималей варьировались от a_min до a_min+d_a, их начальные эксцентриситеты равнялись e_o, а начальные наклонения равнялись e_o/2 рад. В одних расчетах значения a_min варьировалось с шагом в 2.5 а.е. от 5 до 40 а.е. и d_a=2.5 а.е., а e_o=0.05 или e_o=0.3. В других расчетах значения a_min варьировались с шагом в 0.1 а.е. от 3 до 4.9 а.е. и d_a=0.1 а.е., а e_o=0.02 или e_o=0.15. Учитывалось гравитационное влияние планет (от Венеры до Нептуна) и Солнца. При интегрировании уравнений движения использовался пакет интегрирования SWIFT. В расчетах, представленных на рис. 1-6, планеты рассматривались как материальные точки. Вероятности столкновений тел с планетами и Луной вычислялись на основе массивов элементов орбит мигрировавших тел. В более поздних вариантах расчетов тела, сталкивающиеся с планетами, исключались из дальнейших расчетов и учитывались при вычислении вероятностей столкновений тел с планетами. В этих новых вариантах расчетов вероятности столкновений тел с планетами и Луной также дополнительно вычислялись на основе массивов элементов орбит мигрировавших тел, так как эти вероятности иногда малы, и для некоторых планет (особенно для планет земной группы при миграции тел из зоны планет-гигантов) при интегрировании иногда не было столкновений тел с планетами. Результаты расчетов с удалением сталкивающихся тел лучше соответствуют реальной эволюции, так как столкнувшиеся тела уже не фигурируют в дальнейших расчетах и больше не вносят вклад в вероятности столкновений. Результаты расчетов по миграции тел, обсуждаемых в данном абзаце, планируется подробнее опубликовать позднее в журнальных статьях. Пока они кратко (и только для расчетов с материальными точками) представлены в тезисах [122, 484, 496] и в обзорной статье [59].

Ниже приведены рисунки 1-2 из [496]. На них приведены вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, для начальных значений больших полуосей орбит тел от 3.2 до 5 а.е. (при a_min от 3.2 до 4.9 а.е.) при e_o=0.02 и e_o=0.15. для различных интервалов времени (от 1 млн лет до 1000 млн лет, и для конечного интервала времени).

Рисунок 1. Вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, при a_min от 3.2 до 4.9 а.е. и e_o=0.02 для различных интервалов времени.

Рисунок 2. Вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, при a_min от 3.2 до 4.9 а.е. и e_o=0.15 для различных интервалов времени.

На рис. 3-6, взятых из [484], представлены вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион (значок + в правом верхнем углу относится к описанию обозначений, а не к значению вероятности при данном a_min). На рис. 3-4 рассмотрены результаты расчетов при a_min от 5 до 40 а.е., d_a=2.5 а.е. и e_o=0.05 или e_o=0.3. На рис. 5 представлен случай, когда из расчетов исключены Уран и Нептун, а тела рассматриваются только в зоне от 5 до 10 а.е. На рис. 6 рассмотрены результаты расчетов при a_min от 2.5 до 40 а.е., d_a=0 и e_o=0.3.

Рисунок 3. Вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, при a_min от 2.5 до 37.5 а.е., d_a=2.5 а.е. и e_o=0.3 за весь рассмотренный интервал времени.

Рисунок 4. Вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, при a_min от 2.5 до 40 а.е., d_a=2.5 а.е. и e_o=0.05 за весь рассмотренный интервал времени.

Рисунок 5. Вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, при a_min от 5 до 10 а.е., d_a=2.5 а.е. и e_o=0.3 за весь рассмотренный интервал времени.

Рисунок 6. Вероятности столкновений тел с Землей, умноженные на миллион, при a_min от 2.5 до 40 а.е., d_a=0 а.е. и e_o=0.3 за весь рассмотренный интервал времени.

Значения p_E вероятности столкновения тела с Землей в среднем были меньше при больших начальных значениях a_o больших полуосей орбит при 5©a_o©40 а.е. [484]. Значения вероятности p_E столкновения планетезимали с Землей составляют около 10^-6 при a_o около 15-40 а.е. и порядка 10^-5 при a_o около 4-10 а.е. Для некоторых значений a_min и e_o значения p_E, вычисленные для 250 планетезималей, могут отличаться в сотни раз для расчетов с почти одинаковыми начальными орбитами. Это отличие вызвано тем, что одна из тысяч планетезималей могла двигаться на орбите, пересекающей орбиту Земли, в течение миллионов лет и иметь гораздо большую вероятность столкновения с Землей, чем для других планетезималей. В вариантах, представленных на рис. 5, когда из расчетов исключены Уран и Нептун, а тела рассматривались в зоне от 5 до 10 а.е., во всех вариантах вероятность p_E столкновения тел с Землей не превышала 10^-5, В некоторых вариантах с Ураном и Нептуном при таких же значениях a_min и e_o значения p_E превышали 10^-5.

Тела, первоначально находившиеся на разном расстоянии от Солнца, достигали Земли через разное время t. При 3©a_min©3.5 а.е. и e_o©0.15 отдельные тела могли выпадать на Землю и Луну через несколько сотен миллионов лет. Например, для a_min=3.3 а.е. и e_o=0.02 значение p_E=410^-5 при 0.5©t©0.8 млн лет (время поздней тяжелой бомбардировки) и p_E=610^-6 при 2©t©2.5 млн лет. Для a_min=3.2 а.е. и e_o=0.15, получено, что p_E=0.015 при 0.5©t©1 млн лет, и p_E=610^-4 при 1©t©2 млн лет. Зона внешнего астероидного пояса могла быть одним из источников поздней тяжелой бомбардировки. Большинство выпадений на Землю тел, первоначально находившихся на расстоянии от 4 до 5 а.е. от Солнца, происходило в течение первых 10 млн лет. Тела, первоначально пересекавшие орбиту Юпитера, могли приходить к орбите Земли в основном в течение первого миллиона лет (после формирования массивного Юпитера). Время миграции тел к орбите Земли из зоны питания Урана и Нептуна зависело от того, когда в этой зоне появились крупные зародыши этих планет. Согласно [15], основные изменения элементов орбит зародышей планет-гигантов произошли не более, чем за 10 млн лет. Большинство тел с 5<a_min<30 а.е., выпавших на Землю, выпадало на нее в течение 20 млн лет. При a_min>20 а.е. значения p_E могли немного расти и через сотни миллионов лет, а отдельные тела могли оставаться на эллиптических орбитах и через время, равное возрасту Солнечной системы.

Общая масса земных океанов составляет около 210^-4 m_E. При p_E=410^-6 и при суммарной массе планетезималей m на начальном расстоянии от 5 до 10 а.е. от Солнца равной 100m_E, суммарная масса m_E планетезималей, выпавших на Землю, составляла бы 410^-4 m_E. Для зоны 1040 а.е. при p_E=1.510^-6 и m=100m_E имеем m_E=1.510^-4m_E. Для зоны 34 а.е. при p_E=10^-3 и m=10m_E имеем m_E=0.01m_E. Предполагаемое количество льда в кометах не превышает 33%. Однако некоторые авторы считают, что первичные планетезимали могли содержать больше льда (~50%), чем современные кометы. Приведенные выше оценки показывают, что общая масса льда воды, доставленного на Землю из-за орбиты Юпитера, могла быть сравнима с массой земных океанов. Хотя тела в зоне внешнего астероидного пояса имели меньшую суммарную массу и, вероятно, содержали меньше льдов (~10%), чем тела за орбитой Юпитера, из-за гораздо большей вероятности столкновений с Землей тела, пришедшие из зоны внешнего астероидного пояса, могли принести на Землю не меньше воды, чем тела из зоны планет-гигантов. Из-за уменьшения большой полуоси орбиты Юпитера, выбрасывавшего планетезимали на гиперболические орбиты, зона в астероидном поясе с большей вероятностью доставки планетезималей к Земле сдвигалась и со временем охватывала большее число планетезималей. Некоторая часть воды терялась при столкновениях планетезималей с планетами и особенно с Луной. Следовательно, количество воды, вошедшей в планеты земной группы и Луну, могло быть меньше, чем количество воды, доставленное к этим небесным объектам.

Суммарная масса воды, доставленной к Венере и Меркурию из-за орбиты Юпитера, в расчете на массу планеты была примерно такой же, как и для Земли, а аналогичная масса воды, доставленной к Марсу, в расчете на единицу массы планеты была примерно в 23 раза больше, чем для Земли [53]. В абсолютных величинах масса воды, доставленной на Марс, была в 35 раз меньше массы воды, доставленной на Землю. Результаты свидетельствуют в пользу существования древних океанов на Марсе и Венере, вероятно, частично сохранившихся на глубине (Марс) или утраченных в процессе эволюции (Венера).

Масса воды, доставленной к Луне из-за орбиты Юпитера, могла быть меньше, чем для Земли, не более чем в 20 раз. Для планетезималей в зоне питания планет земной группы отношение r_EM числа планетезималей, столкнувшихся с Землей, к числу столкновений с Луной в основном варьировалось от 20 до 40. Первоначально более удаленные от земной орбиты планетезимали приходили к Луне с более эксцентричных орбит, и для них отношение r_EM было меньше, чем в случае более близких орбит планетезималей с малыми эксцентриситетами. В 80% вариантов расчетов миграции тел при 3©a_o©5 а.е. получено 16.4©r_EM©17.4. В других вариантах расчетов при a_o™3 а.е. отношение r_EM могло быть в интервале от 14.6 до 17.9. Доля испарившейся при ударах воды при столкновениях с Луной выше при больших скоростях столкновения и соответственно при меньших значениях r_EM.

Квадрат эффективного радиуса r_ef небесного тела радиуса r равен

r_ef²=r²[1+(v_par/v_rel)²] , (1)

где v_par параболическая скорость на поверхности этого небесного тела, а v_rel относительная скорость малого тела при его входе в сферу действия небесного объекта (точная формула справедлива для относительной скорости на бесконечности). На основании отношения r_EM количества планетезималей, сталкивающихся с Землей и Луной, можно оценить характерную скорость v_relE (относительно Земли) планетезималей при их входе в сферу действия Земли. Учитывая, что r_EM равно отношению квадратов эффективных радиусов Земли и Луны, и используя формулу (1), для отношения v_relE/v_parE относительной скорости входа тела в сферу действия Земли к параболической скорости v_parE=11.186 км/с на поверхности Земли получаем

(v_relE/v_parE)² = [r_EM (v_parM/v_parE)² (r_M/r_E)² - 1] / [1 - r_EM (r_M/r_E)²] , (2)

где r_M и r_E радиусы Луны и Земли, v_parM и v_parE параболические скорости на поверхности Луны и Земли соответственно. Учитывая, что для скоростей v_colE и v_colM столкновений тел с Землей и Луной справедливы соотношения v_colE²=v_relE²+v_parE² и v_colM²=v_relM²+v_parM², и полагая v_relE=v_relM, для некоторых значений r_EM в [58] были сделаны оценки значений v_relE и характерных скоростей столкновений v_colM и v_colE тел с Землей и Луной для некоторых случаев.

Для планетезималей около орбиты Земли (с 0.9©a_o©1.1 а.е.) характерные скорости их столкновений с Луной составляли от 8 до 10 км/с, с Землей от 13 до 15 км/с. Для планетезималей, пришедших из других частей зоны питания планет земной группы (при 20©r_EM©40), разброс характерных скоростей столкновений планетезималей с Землей находился в основном в диапазоне от 13 до 19 км/с, а с Луной от 8 до 16 км/с. Для большинства тел с a_o™3 а.е. (при 16.4©r_EM©17.4) аналогичный разброс характерных скоростей столкновений составил 2326 км/с для Земли и 2023 км/с для Луны. Однако диапазон скоростей столкновений всех тел из этой зоны (при 14.6©r_EM©17.9) был шире: от 22 до 39 км/с для Земли и от 19 до 38 км/с для Луны. Приведенные выше скорости больше параболических скоростей на поверхностях этих небесных тел, что позволяет некоторым выброшенным при столкновениях телам выходить на гелиоцентрические орбиты.

Характерные скорости столкновений планетезималей, первоначально находившихся относительно близко к орбите зародыша Земли, с зародышами Земли и Луны, массы которых были в десять раз меньше современных масс этих небесных объектов, в целом находились в пределах 78 км/с для зародыша Земли и от 5 до 6 км/с для зародыша Луны. Для планетезималей, пришедших из более удаленных (от орбиты Земли) областей зоны питания планет земной группы, характерные скорости составляли от 9 до 11 км/с для столкновений с зародышем Земли и от 7 до 10 км/с для столкновений с зародышем Луны.

1. Изменения элементов орбит планет

При моделировании эволюции орбит тел нулевой массы под влиянием планет были построены также графики изменений элементов орбит планет, приведенные в приложении 2 в монографии [78] и в статье [24] (в которых также приведен обзор публикаций по данному вопросу). Ниже приводятся две таблицы из этих публикаций. В табл. 1 для всех планет представлены пределы a=a_max-a_min изменений больших полуосей орбит, минимальные и максимальные расстояния (R_min и R_max) от Солнца, минимальные и максимальные значения эксцентриситета и наклонения орбиты (e_min, e_max, i_min, i_max), e=e_max-e_min и i=i_max-i_min. За исключением Меркурия (T=200 млн лет), данные по остальным планетам приведены для T=20 млн лет (при интегрировании в прошлое). Изменения элементов орбит планет обсуждались также в тезисах [277].

Таблица 1. Пределы изменений элементов орбит планет

В табл. 2 приведены средние значения периодов T_e, T_i, T, T_J и T_J изменений эксцентриситета, наклонения и аргумента перигелия орбиты планеты, разности _J=-_J долгот восходящих узлов планеты и Юпитера и разности _J=_J- долгот перигелиев планеты и Юпитера. Эти данные получены на основе анализа графиков изменений элементов орбит планет со временем. Если углы возрастают или убывают в ходе эволюции, то под периодом понимается время их изменения на 360^о. Буквы I, D и L в строках k, k_J и k_J указывают соответственно на возрастание, убывание и либрацию углов. Сочетание Il приводится в случае, когда угол в основном возрастает, но в течение некоторого времени может меняться около 0. Через T_I обозначен период изменений наклонения i орбиты, больший T_i (значения T_I в табл.2 не приводятся, если такие изменения i не четко выражены). В ходе эволюции значения периодов могут меняться в несколько раз. В табл. 2 приводятся средние значения периодов (в основном для интервалов T=1 млн. лет или Т=20 млн. лет).

Отметим, что периоды T_J для Сатурна и Урана одинаковы и равны периодам T_e изменений эксцентриситетов орбит Юпитера и Сатурна (0.054 млн. лет). Для Юпитера значение _J возрастает на 360^о за 0.3 млн лет, а отношение d_J/dt=₅-4.20''/год. Для всех планет (кроме Юпитера) получено, что T_J-T_i. Периоды T_J для Венеры, Земли и Марса примерно одинаковы (равны 0.07 млн. лет). Значения _J для Сатурна, Урана и Нептуна либрировали около 0, а значение _J для Урана либрировало около 180^o.

Таблица 2. Периоды изменений элементов орбит планет (в млн лет). Обозначения приведены в тексте.

1. Вероятности столкновений околоземных объектов с Землей и Луной и лунные кратеры

Из-за столкновений с другими небесными телами и выброса на гиперболические орбиты динамическое время жизни объектов, пересекающих орбиту Земли (ОПОЗ) меньше характерного времени до столкновения ОПОЗ с Землей для модели, в которой ОПОЗ остаются все время на своих орбитах, никуда не уходят и ни с чем кроме Земли не сталкиваются. Однако такая модель может использоваться для оценок характерного времени до выпадения ОПОЗ на Землю и Луну при предположении, что число и характерные орбиты ОПОЗ не меняются со временем. Вероятности столкновений околоземных объектов с Землей обсуждались в параграфе 8 главы 7 в [78].

Для 417 объектов, пересекающих орбиту Земли (ОПОЗ) и открытых до середины 1999 г., были вычислены (по формуле (4.4) из параграфа 2 главы 4 в [78]) средние времена T_3c до их столкновений с Землей при фиксированных значениях больших полуосей, эксцентриситетов и наклонений орбит. Среднее наклонение и средний эксцентриситет орбит этих ОПОЗ равнялись 14.3^o и 0.52 соответственно. Для 11 ОПОЗ получено T_3c©10 млн лет. В большинстве такиx случаев наклонение i<3^o. Элементы орбит реальных астероидов могут значительно меняться до их столкновений с планетами, и времена до этих cтолкновений могут сильно отличаться от значений T_3c, полученных при фиксированных элементах орбит. В [19, 26, 28-29, 78] при вычислении T_E=N/(T_3c^(k)). рассматривались все ОПОЗ, известные на момент вычисления (N число ОПОЗ). В [78] значение T_E было получено равным 100 млн лет для 417 ОПОЗ, равным 105 млн. лет для 363 объектов Аполлона и равным 80 млн лет для 55 известныx атонцев. Атонцы - это околоземные астероиды, чьи орбиты пересекают земную орбиту с внутренней стороны (их расстояние от Солнца в афелии больше перигелийного расстояния Земли, Q > 0.983 a.e., но большая полуось меньше земной, a < 1 a.e.). У астероидов группы Аполлона орбиты пересекают земную орбиту с внешней стороны (их расстояние от Солнца в перигелии меньше афелийного расстояния Земли, q < 1.017 a.e., но большая полуось орбиты больше земной, a > 1 a.e.).

В [19] для 93 объектов, пересекающих орбиту Земли, и известных в 1991 году, было получено T_E=76 млн лет. В [28-29] значения T_E были получены равными 15, 164 и 67 млн лет для 110 астероидов группы Атона, 643 астероидов группы Аполлона и всех ОПОЗ соответственно. Астероидами группы Амура называют астероиды с перигелийными расстояниями большими 1.017 а.е. Поэтому практически все такие астероиды (пока они не изменят свои перигелийные расстояния) не могут сближаться с Землей до расстояния сферы действия Земли. Изменения больших полуосей, эксцентриситетов и наклонений орбит астероидов со временем в этих расчетах не рассматривались. Хотя аполлонцы в этих расчетах составляли 85% всех ОПОЗ, значения T_E для них были в 2.4 раза больше, чем для всех ОПОЗ. При T_E=67 млн лет вероятность p_E=1/T_E столкновения ОПОЗ с Землей за 1 год равна 1.510^-8. Число известных ОПОЗ увеличивается с каждым месяцем. На январь 2025 г. было известно более 21 тыс аполлонцев (из них 1742 получили номера, то есть их орбиты стали хорошо известны).

Различия в значениях T_E для разных цитируемых выше публикаций были вызваны разным числом рассмотренных астероидов. Меньшие, чем в [78], значения T_E для всех ОПОЗ в [28-29] были обусловлены несколькими атонцами с небольшими наклонениями орбит, обнаруженными в начале 2000-х годов. При увеличении наклонения орбиты атонца 2000 SG344 от его нынешнего значения, равного 0.1^o, до 1^o, значения T_E в [29]) были получены равными 28 млн. лет и 97 млн. лет для атонцев и всех ОПОЗ соответственно. Эти большие, чем при рассмотрении атонца 2000 SG344 с его нынешним наклонением орбиты, времена T_E иллюстрируют важность учета небольшого числа астероидов с высокой вероятностью их столкновений с Землей (роль малых наклонений обсуждается также ниже в следующем абзаце). Ипатов [19, 78] отмечал, что при использовании одних и тех же формул, значение T_E, вычисленное для всех ОПОЗ, в несколько раз меньше, чем для средних значений наклонений и эксцентриситетов для этих же ОПОЗ. Исследования эволюции орбит объектов, первоначально пересекавших орбиту Юпитера, и резонансных астероидов показали [27-29, 94], что вероятность столкновения одного такого объекта с Землей может быть больше, чем для тысяч других объектов, первоначально имевших близкие орбиты.

В [28-29] расчеты T_E проводились для элементов современных орбит ОПОЗ. Однако аналогичные значения T_E=67 млн лет могли быть и для интервала в 1 млрд лет, так как некоторые ОПОЗ с довольно большой вероятностью раньше также могли иметь аналогичные небольшие наклонения. Наклонения орбит ОПОЗ меняются со временем. В [28-29] рассматривалось 110 атонцев. Если наклонения орбит случайным образом распределены в диапазоне от 0 до 11®, то одно из них будет меньше 0.1® (в предыдущем абзаце мы обсуждали вклад в T_E атонца 2000 SG344 с наклонением орбиты равным 0.1^o). Если наклонения случайным образом распределены в диапазоне от 0 до 22®, то одно из них будет иметь значение в диапазоне от 0 до 0.2®, то есть в среднем будет равно 0.1®.

Нами вычислялись также значения T_3c для различных значений a, e и i. Получено, что значения T_3c возрастают с увеличением e и i и с уменьшением |a-1| а.е. В случае a=1.25 а.е. при i=80^о и e™0.7, а также при e=0.9 и i™50^о значения T_3c превышают возраст Солнечной системы, т.е. вероятность столкновений с Землей тел, постоянно движущихся по сильно наклоненным и эксцентричным орбитам, мала. Однако из-за изменений элементов орбит тел в ходе эволюции и выброса большинства из них на гиперболические орбиты очень маловероятно, что даже при больших исходных значениях e и i тела могли сохраниться около орбиты Земли со времени ее аккумуляции. Для модели, в которой i принимает значения от 0 до i_max столкновения происходят чаще, чем при i=i_max/2, а для модели, в которой e принимает значения от e_min до e_max, столкновения происходят чаще, чем при фиксированном e=(e_min+e_max)/2.

Немногим более половины объектов, сближающихся с Землей, (ОСЗ, для которых минимальное расстояние до Солнца (перигелий) составляет менее 1.3 а.е.) пересекают орбиту Земли (то есть являются ОПОЗ). Вероятность выброса ОСЗ на гиперболическую орбиту на порядок больше вероятности его столкновения с Землей, и большинство ОСЗ покидают Солнечную систему за время t©10 млн лет. Эти астероиды могут сталкиваться не только с Землей, но также с Венерой и другими планетами. Поэтому для большинства тел, сталкивающихся с Землей, интервал времени между выходом на орбиту, пересекающую орбиту Земли, и столкновением с Землей в несколько раз меньше T_E и вероятно не превышает 10 млн лет.

Была рассмотрена следующая модель. Пусть в начальный момент времени имелось N_o ОПОЗ. Исследуем изменение числа N этих ОПОЗ со временем t. Полагая, что число ОПОЗ, столкнувшихся с Землей за время t, равно t"N/T_E, а число ОПОЗ, выброшенных на гиперболические орбиты или столкнувшихся с другими планетами или с Солнцем, в k раз больше числа столкновений с Землей, получаем N=N_o"exp(-(k+1)t/T_E). Обозначая _r=N/N_o, получаем t=-T_Eln_r/(k+1)=-T_dln_r, где T_d=T_E/(k+1) - динамическое время жизни ОПОЗ. При 1+k=10 для _r=0.5, _r=0.1, _r=0.01 и _r-4.54"10^-5 имеем соответственно t-0.07T_*, t-0.23T_*, t-0.46T_E и t=T_E. При _r=0.5, 1+k=10 и T_E=100 млн лет значение t=-T_dln_r равно T_E*-7"млн лет. Таким образом, половина всех ОПОЗ, выпадающих на Землю, может выпадать на нее за время t©7"млн лет после того, как эти астероиды стали пересекать орбиту Земли. После этого на Землю будут в основном выпадать тела, которые стали ОПОЗ позже. Число ОПОЗ будет постоянным и равным N_o, если кроме учета указанных выше столкновений и выбросов на гиперболические орбиты полагать, что за время t из других областей Солнечной системы прибывает =N_o"t(k+1)/T_E новых ОПОЗ. Число 1 км ОСЗ оценивается около 1000. Полагая число 1-км ОПОЗ равным около 500, при t=1 млн лет, T_E=100 млн лет и 1+k=10, получаем =50.

В главе 7 монографии [78] отмечалось, что столкновительное время жизни тела диаметром 1 м в астероидном поясе T_cN~10⁶ лет. Тела, пересекающие орбиту Земли, часто проникают довольно далеко в астероидный пояс. Поэтому времена T_cN до разрушения таких тел не намного меньше, чем для тел в астероидном поясе, и они в несколько раз меньше T_E*. Эти оценки согласуются с тем, что обычно каменные метеориты являются результатом нескольких разрушений. Древний возраст железных метеоритов (>10⁸ лет) может быть вызван тем, что последнее столкновение крупных астероидов произошло более 10⁸ лет назад, а образовавшиеся при этом железные осколки до их выпадения на Землю почти не дробились. В параграфе 8.3 главы 7 в [78] обсуждалась частота столкновений с Землей тел различных масс, а в параграфе 8.4 - времена до выпадений тел на различные планеты.

Со сближениями малых тел с Землей связаны проблемы астероидно-кометной опасности и кратерообразования. В [56] проведено сравнение количества лунных кратеров с диаметром, большим 15 км, и возрастом менее 1.1 млрд лет с оценками числа кратеров таких размеров, которые могли образоваться за 1.1 млрд лет, если бы количество объектов, сближающихся с Землей, и элементы их орбит за это время были бы близки к их современным значениям. Сравнение проводилось для кратеров на всей поверхности Луны и для области в районе Океана Бурь (Oceanus Procellarum) и морей видимой стороны Луны. При этих оценках использовались значения вероятностей столкновений объектов, сближающихся с Землей, с Луной, а также зависимости диаметров кратеров от диаметров ударников. Число известных коперниканских кратеров с диаметром D™15 км на единице площади на морях по оценкам различных авторов не менее, чем в двое, превышает аналогичное число для остальной поверхности Луны. Наши оценки не противоречат увеличению количества объектов, сближающихся с Землей, после возможных катастрофических разрушений больших астероидов главного пояса, которые могли произойти в течение последних 300 млн лет, но и не доказывают это увеличение. В частности, они не противоречат выводу работы (Mazrouei и др., Science. 2019. v. 363. 253255) о том, что число столкновений околоземных астероидов с Луной за единицу времени возросло в 2.6 раза 290 млн лет назад. Число коперниканских лунных кратеров с диаметром, не меньшим 15 км, возможно больше, чем по данным этой работы. Учет разрушения некоторых старых кратеров и изменение орбитального распределения околоземных объектов во времени может привести к выводу о том, что среднее число околоземных объектов в течение последнего миллиарда лет могло быть близко к нынешнему значению. При вероятности столкновения с Землей за год объекта, пересекающего орбиту Земли, (ОПОЗ), равной 10^-8, наши оценки числа кратеров соответствуют модели, в которой число 15-км коперниканских кратеров на единице площади для всей поверхности Луны было бы таким же, как и для области морей, если бы данные (Losiak и др., 2015, https://www.lpi.usra.edu/scientific-databases/) для D<30 км были бы такими же полными, как и для D>30 км. При такой вероятности столкновения ОПОЗ с Землей и для такой модели темп кратерообразования за последний 1.1 млрд лет мог быть постоянным.

В статье [57] изучены зависимости отношения глубины кратера к его диаметру от диаметра для лунных кратеров на морях и на материках для кратеров с возрастом менее 1.1 млрд лет. В частности, отмечалось, что при одинаковом диаметре кратеры на лунных морях глубже, чем на материках, при диаметре кратера меньшем 40-50 км (рис. 1). Для больших диаметров кратеры на материках глубже.

Рисунок 1. Зависимость отношения h/D отношения глубины лунного кратера к его диаметру для коперниканских кратеров диаметром D™20 км на морях (mare) и материках (highland). Линиями показаны наши приближения этой зависимости.

1. Миграция пыли в Солнечной системе и формирование зодиакального пояса

Основным источником межпланетной пыли являются частицы, образующиеся при столкновениях астероидов и выбрасываемые кометами при сублимации ледяной матрицы ядра. Размеры пылевых частиц варьируются от нанометров до миллиметров, а нижний порог находится на верхней границе размеров молекулярных кластеров. Граница миллиметр-сантиметр используется, как условная граница между пылевыми частицами и метеороидами. Частицы пыли, сопровождающие процесс сублимации из ядра кометы, образуют пылевые торы вдоль их орбит, периодически пересекаемые Землей и вызывающие метеорные дожди, или ливни (showers). Известные метеорные потоки непосредственно связаны с радиантами родительских комет, проектирующихся на определенные созвездия, по имени которых эти метеорные потоки названы. Количество материала, содержащегося в пылевых частицах и небольших метеороидах и выпадающего ежедневно на земную атмосферу, составляет от 30 до 180 тонн.

Миграция пылевых частиц рассматривалась рядом авторов. В наших численных моделях [30-31, 33, 37, 93, 95, 96, 99, 106, 146, 149, 152, 171, 173, 312, 330, 331, 335, 338, 342, 344, 345, 348, 350, 353-355, 358, 367, 374, 389, 400, 403-404, 411] кроме гравитационного влияния планет, учитывались также другие факторы (радиационное давление, эффект Пойтинга-Робертсона, солнечный ветер). Относительная ошибка на шаге интегрирования методом Булирша-Штера составляла менее 10^-8. Начальные орбиты частиц принимались такими же, как у 500 реальных астероидов, а также у различных комет и планетезималей из зон питания Юпитера и Сатурна. Эволюция орбит 20 тыс. пылевых частиц исследовалась до тех пор, пока частицы не покидали Солнечную систему или не сталкивались с Солнцем. Вычисления проводились для значений (отношения силы радиационного давления к гравитационной силе) равных 0.0001, 0.0002, 0.0004, 0.001, 0.002, 0.004, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.25 и 0.4. Для силикатных частиц плотностью 2.5 г/см³, такие значения (~1/d) соответствуют диаметрам d частиц 4700, 2400, 1200, 470, 240, 120, 47, 9.4, 4.7, 2.4, 1.9, и 1.2 мкм соответственно. При одинаковом значении для водяного льда диаметр d в 2.5 раза больше, чем для силикатных частиц. В цитируемых выше работах по миграции пыли планеты рассматривались как материальные точки, но на основании элементов орбит, полученных с шагом 20 лет, вычислялись (аналогично расчетам для малых тел) средние вероятности P столкновений частиц за время их жизни с планетами и средние времена T, в течение которых перигелии орбит частиц были меньше большой полуоси орбиты планеты. Краткий обзор работ по миграции пыли приведен в разделе 8 статьи [59].

Для кометных и астероидных пылевых частиц вероятность p_E столкновения частиц с Землей имела максимум (~0.0010.01) при 0.002©©0.01, т.е. при d~100 мкм (это значение d находится в соответствии с наблюдательными данными). Эти значения вероятности p_E для частиц обычно (кроме кометы 2P) были больше на порядок величины, чем для родительских комет. Рисунки, характеризующие значения вероятностей столкновений пылевых частиц различного происхождения с планетами при различных значениях приведены в [99] (см. также рис. 1). В [106, 173] приводятся вероятности столкновений таких частиц с Луной, а также с зародышами Земли и Луны при их массах меньших в 10 раз современных масс. Вероятности столкновений пылевых частиц с Луной были в 16-33 раз меньше, чем с Землей, для частиц, стартовавших с астероидов и комет С10 и С39. Для частиц, стартовавших с комет Галлевского типа и с долгопериодических комет, это отношение было в диапазонах 10-18 и 9-14 соответственно [173]. Показано, что астероидные частицы не доминируют на расстоянии от Солнца R>3 а.е., а значительная часть частиц на расстоянии 37 а.е. имеет кометное происхождение. Чем мельче частицы (и, соответственно, чем больше ), тем больше доля частиц, уносимых солнечным ветром.

Пики в распределении астероидных пылевых частиц по большим полуосям их орбит, соответствующие резонансам n:(n+1) с Землей и Венерой, и люки, связанные с резонансами 1:1 с этими планетами, более выражены для более крупных частиц [30]. Вероятность столкновения транснептуновой частицы диаметром d<10 микрон с Землей всего лишь в несколько раз меньше, чем для астероидной частицы того же размера. Максимальные значения (порядка 0.1) вероятности столкновения частиц с Юпитером получены для частиц, образующихся за орбитой Юпитера, и для тел, первоначально двигавшихся по орбитам, близким к орбите кометы Энке. Вероятности столкновения транснептуновых частиц с Ураном и Нептуном могли достигать 0.1 при ~0.002-0.01. Во всех остальных случаях вероятности столкновений тел и частиц с планетой-гигантом были меньше.

Большое количество вещества, включая воду и летучие, могло быть доставлено пылевыми частицами в зону питания планет земной группы сразу после того, как очистилась от газа зона вблизи орбит Юпитера и Сатурна, где оставалось большое количество пыли. Пыль могла быть более эффективной, чем тела, в доставке органического вещества к планетам. Это связано с тем, что пылевые частицы не подвергались интенсивному нагреву, когда они проходили через атмосферу (так как они имели большее отношение поверхности к массе). Поэтому пылевые частицы считаются более вероятным, чем крупные тела, источником переноса в межпланетной и межзвездной среде сложных органических молекул, в том числе биогенных элементов и соединений, входящих в состав микроорганизмов. Эти представления отвечают гипотезе панспермии, в которой пылевые частицы могли бы играть важную роль в зарождении жизни на Земле, как испытывающие значительно меньший нагрев при входе в атмосферу под небольшими углами атаки.

Е J

V M

S U N

Рисунок 1. Вероятности столкновений различных частиц и тел с Землей (E), Юпитером (J), Венерой (V), Марсом (M), Сатурном (S), Ураном (U) и Нептуном (N) при различных значениях параметра для частиц, стартовавших с астероидов (ast), транснептунных объектов (tno), кометы 2P/Encke в перигелии (2P per), кометы 2P в афелии (2P aph), кометы 2P в середине орбиты между перигелием и афелием (2P m), кометы 10P/Tempel 2 (10P), кометы 39P/Oterma (39P) и с долгопериодических комет (lp) при эксцентриситете e=0.995 и перигелийном расстоянии q=0.9 AU, и комет типа кометы Галлея (ht) при e=0.975 и q=0.5 AU (для серий lp и ht начальные наклонения были в интервале от 0 до 180^o). Если при одном значении на графике приведено два значения вероятности столкновений (полученных для разных расчетов), то график проводится через среднее значение. Значения вероятностей для тел (=0) представлены при ~10^-5. Вероятности, представленные только для тел, были получены для начальных орбит, близких к орбитам комет 9P/Tempel 1 (9P), 22P/Kopff (22P), 28P/Neujmin (28P), 44P/Reinmuth 2 (44P), и для тестовых астероидов при резонансах 3:1 и 5:2 с Юпитером при e=0.15 и i=10^o (ast 3:1 и ast 5:2). Для серий n1 и n2, исходные орбиты частиц были близки к орбитам 10-20 различных комет семейства Юпитера.

Ипатовым проводились также расчеты миграции пылевых частиц, стартовавших с различных расстояний от Солнца. В каждом варианте расчетов a_o варьировалось от a_omin до a_omin+2.5 а.е. В [171, 173] приведены результаты расчетов миграции пылинок при a_omin от 5 до 15 а.е., начальных эксцентристетах и наклонениях орбит равных 0.3 и 15^о соответственно. При =0.04 значения p_Sun доли частиц, столкнувшихся с Солнцем, находились в диапазоне от 0.20 до 0.33 и, как правило, были немного меньше при больших a_omin. При =0.0004 (в [171, 173] ошибочно указано 0.004) значения p_Sun не превышали 0.03. При =0.04 значения p_E и p_Moon вероятностей столкновений частиц с Землей и Луной на два порядка превышали значения для тел на аналогичных начальных орбитах (для таких тел p_E в среднем близко к (2-4)•10^-6). Как было получено для тел, при =0.0004 значения p_E (и p_Moon) могут различаться на два порядка для различных расчетов с одинаковым a_omin. В частности, при =0.0004 p_E принимало значения от 5.7•10^-7 до 4.9•10^-4. Для =0.04 значения p_E (и p_Moon) для различных расчетов отличались меньше, чем для =0.0004. Значения p_E/p_Moon находились в диапазоне от 16 до 31 для =0.04 и в диапазоне от 14 до 22.5 для =0.0004.

Проведены также расчеты миграции частиц при a_omin от 2.5 до 37.5 а.е. и начальных эксцентриситетах равных 0.05. Значения равнялись 0.4, 0.04, 0.004 и 0.0004. Пылевые частицы, столкнувшиеся с Солнцем или планетами или выброшенные на гиперболические орбиты, исключались из дальнейшего интегрирования. Результаты этих расчетов пока не опубликованы. Большинство таких частиц выбрасывались из Солнечной системы, остальные частицы в основном выпадали на Солнце. Доля частиц, столкнувшихся с планетами, обычно не превышала 1%. При a_o большем 17 а.е. вероятности столкновений тел с Землей были получены порядка 10^-6. Для пылевых частиц диаметром 10-100 микрон при a_o>17 а.е. вероятности их столкновений с Землей в большинстве рассмотренных вариантов расчетов были порядка 10^-5-10^-4. Вероятности столкновений таких частиц с Венерой обычно отличались от вероятностей их столкновений с Землей не более, чем в двое. Вероятности столкновений таких частиц с Меркурием были в несколько раз (иногда на порядок) больше, чем с Марсом, и в несколько раз меньше, чем с Землей.

С миграцией пылевых частиц непосредственно связана природа зодиакального света. Зодиакальный свет виден с Земли как светлое диффузное свечение на западе после сумерек и на востоке перед рассветом, имеющее форму треугольника, яркость которого падает с увеличением элонгации (элонгация это угловое расстояние между планетой и Солнцем с точки зрения земного наблюдателя). Он вызван облаком межпланетной пыли, которая лежит вдоль плоскости эклиптики и отражает солнечный свет.

Исходя из полученных в расчетах положений и скоростей мигрирующих пылевых частиц, стартовавших с различных малых тел (астероидов, комет, транснептуновых объектов) в [37, 155, 378-379, 414] рассматривалось, как изменяется спектр зодиакального света, спектр которого в целом совпадает с солнечным фраунгоферовым спектром, в случае рассеяния пылевыми частицами при различных значениях угла с вершиной в Земле между направлениями на Солнце и пылевую частицу. Определялись доплеровский сдвиг и ширина характерной линии Mg I. Строились графики зависимости характерной скорости этой линии (определяемой по доплеровскому сдвигу) от солнечной элонгации для ряда функций рассеяния света. Расчетные данные [37] сравнивались с данными WHAM (Wisconsin H-Alpha Mapper) наблюдений доплеровских сдвигов и ширины этой линии в зодиакальном свете. Было показано, что вклад в зодиакальный свет кометных частиц, образовавшихся внутри орбиты Юпитера, и частиц, образовавшихся за пределами орбиты Юпитера с учетом транснептуновых частиц примерно одинаков, и вклад каждой из этих двух составляющих в зодиакальный свет равен примерно 1/3 с возможным отклонением от 0.3 до 0.10.2. Доля астероидной пыли (третьей составляющей), оценивается в 0.30.5. Вклад частиц, порожденных долгопериодическими кометами и кометами галеевского типа, не превышает 0.10.15. Такой же вывод можно сделать для частиц, выбрасываемых кометами типа кометы Энке 2P (с e0.80.9). Средние эксцентриситеты орбит зодиакальных частиц, находящихся на расстоянии 12 а.е. от Солнца, которые лучше соответствуют WHAM наблюдениям, находятся в диапазоне от 0.2 до 0.5, с более вероятным значением около 0.3.

1. Миграция тел и пылевых частиц, выброшенных с планет земной группы и Луны

Во время формирования планет на них выпадали крупные тела, столкновения с которыми могли приводить к выбросу вещества с планет. В настоящее время надежно идентифицировано свыше 140 лунных метеоритов. На 2020 год надёжно идентифицировано 266 марсианских метеоритов из числа всех найденных на Земле. Два метеорита, найденные в пустыне Сахара, могут быть фрагментами Меркурия. Известно, что значения угла выброса тел с планет в основном находятся между 20® и 55®, особенно между 40® и 50®.

В проведенных расчетах движение тел, выброшенных с планет земной группы, изучалось в течение динамического времени жизни T_end всех тел. За время T_end все тела сталкивались с планетами или Солнцем или были выброшены из Солнечной системы (достигли 2000 а.е. от Солнца). При таких столкновениях и выбросе они исключались из дальнейшего интегрирования. При скоростях выброса, близких к параболической скорости, почти все выброшенные тела быстро выпадали обратно на планету. При больших скоростях выброса время T_end обычно составляло около 200400 млн. лет (могло превышать миллиард лет). В каждом варианте расчетов изучалось движение 250 тел, выброшенных с небесного объекта при фиксированных значениях угла выброса i_ej, скорости выброса v_ej и точки выброса. Скорость v_ej выброса варьировалась от параболической скорости на поверхности планеты (Луны) до 20 км/с, а значения угла i_ej выброса варьировались от 15® до 90®.

Рассмотрено 6 противоположных точек выброса на поверхности планеты (рис. 1). Для точек выброса F и C движение тел начиналось от наиболее и наименее удаленных от Солнца точек поверхности планеты в направлении от Солнца к Земле, соответственно. Для точек выброса U и D тела стартовали с точек поверхности планеты c максимальным и минимальным значениями z (при оси 0z перпендикулярной плоскости орбиты планеты) соответственно. Точки F, C, U и D ниже называются средними. Для точек выброса W и B тела стартовали с точек поверхности планеты по ходу движения планеты и с противоположной стороны планеты соответственно. При изучении выброса тел с Луны рассматривалась только точка F на высоте h от Земли (в основном при h соответствующем радиусу орбиты Луны). Отметим, что при определении скорости тела относительно Солнца вектор скорости выброса тела с планеты суммируется с вектором скорости движения планеты относительно Солнца. Орбитальные скорости планет равны 47.36, 35.02, 29.78 и 24.13 км/с для Меркурия, Венеры, Земли и Марса соответственно. Средняя орбитальная скорость Луны относительно Земли равна 1.02 км/с. Если рассматривать не современную, а более близкую к Земле орбиту Луны, то нужно иметь в виду, что орбитальная скорость пропорциональна r_EM^-1/2, где r_EM - расстояние между Землей и Луной. Например, орбитальная скорость будет равна 3 км/с, если радиус орбиты зародыша Луны в 9 раз меньше большой полуоси современной орбиты Луны.

Рисунок 1. Расположение точек выброса на планете.

Учитывалось гравитационное влияние Солнца и всех восьми планет. Для интегрирования уравнений движения использовался симплектический алгоритм из пакета SWIFT (Levison H.F., Duncan M.J. Icarus. 1994. V. 108. P. 1836). Рассматриваемый шаг по времени t_s равнялся 1, 2, 5 или 10 суткам, и сравнивались результаты расчетов при разных t_s. В большинстве вариантов расчетов шаг t_s равнялся 5 суткам при изучении выброса тел с Земли и Марса и равнялся 1 и 2 суткам при выбросе тел с Меркурия и Венеры соответственно. Вероятности столкновений тел с Луной рассчитывались на основе массивов элементов орбит мигрировавших тел (хранящихся с шагом 500 лет) аналогично [28, 55].

Выброс тел с Земли: Движение тел, выброшенных с Земли, и вероятности их столкновений с планетами изучались в [63, 65, 118, 124, 512, 514, 516, 518] в течение динамического времени жизни T_end всех тел в варианте расчетов. В большинстве вариантов расчетов тела стартовали с поверхности Земли. В разных вариантах значения i_ej угла выброса равнялись 15®, 30®, 45®, 60®, 89® или 90®. Скорость v_ej выброса тел с Земли варьировалась от 11.22 до 20 км/с (равнялась в основном 11.22, 11.5, 12, 14, 16.4 и 20 км/с). В статьях [63, 65] приведены графики и таблицы, характеризующие вероятности столкновнений тел, выброшенных с Земли, с планетами и Луной при различных скоростях и углах выброса, различных точках выброса и различных интервалах времени после выброса. Ниже для примера на рис. 2 приведены вероятности столкновений с планетами тел, выброшенных с Земли при скорости 12 км/с с различными углами выброса. Гораздо большее число аналогичных рисунков приведено в [65] для T=T_end и T=10 млн лет.

Рисунок 2. Графики вероятностей столкновений тел, выброшенных с Земли и выпавших на Землю (а), Венеру (б), Марс (в) и Меркурий (г) при скорости выброса v_ej=12 км/с для точек выброса B, C, D, F, U и W в зависимости от угла выброса i_ej (1590®). Значения вероятности, приведенные при i_ej около 45®, получены при i_ej=45®, но при разной точности интегрирования на шаге. Отличия в этих значениях показывают случайный разброс значений вероятности вследствие небольшого варьирования начальных данных и модели расчетов.

Среднее значение вероятности p_E столкновения выброшенного тела с Землей зависит от распределения тел по v_ej и i_ej. При скоростях выброса v_ej©11.3 км/с, т.е. немного больших параболической скорости, большинство выброшенных тел выпадали на Землю. При скорости выброса v_ej, равной 11.5 и 12 км/с, значения p_E не сильно отличались для различных точек старта на поверхности Земли и за весь рассмотренный интервал времени были в диапазонах 0.25-0.35 и 0.16-0.27 соответственно. При выбросе из точки С на поверхности Земли значения p_E могли быть равными или большими или меньшими (менее чем в 1.7 раза), чем при выбросе из точки F, но в среднем по различным вариантам расчетов были примерно одинаковыми. Для всех точек выброса при T=10 млн лет и i_ej=45^o, значения p_E были в диапазонах 0.2-0.28 и 0.12-0.16 при скорости выброса v_ej, равной 11.5 и 12 км/с соответственно. Единственное существенное отличие было при выбросе с передней точки W движения Земли при v_ej=16.4 км/с и i_ej=45^o. В этом случае 80% тел было выброшено на гиперболические орбиты, а 17% столкнулись с Солнцем. Среднее значение p_E зависит от распределения тел по v_ej и i_ej. При Т=10 млн лет, выбросе из точки F и 30©i_ej©60 град, значение p_E составляло около 0.28, 0.15-0.17 и 0.06 при v_ej, равном 11.5, 12 и 16.4 км/с соответственно. При i_ej=90® в одних вариантах p_E было меньше, чем при i_ej©60®, а в других вариантах было больше. При выбросе из точки F и i_ej=90®, значение p_E вдвое меньше, чем при i_ej©60®, для v_ej=11.5 км/с, но немного (примерно в 1.3-1.4 раза) больше при v_ej™12 км/с.

Ниже в табл. 1 приведены вероятности столкновений тел, выброшенных с Земли, с Землей, Венерой, Меркурием, Марсом и Солнцем (p_E, p_v, p_me, p_ma, p_sun) и вероятности выброса p_ej на гиперболические орбиты за весь рассмотренный интервал времени (при T=T_end) для нескольких значений v_ej скорости выброса и четырех точек выброса C, D, F и U. Диапазон значений вероятностей был получен для различных углов выброса. Для двух других точек выброса вероятности могли отличаться от значений, приведенных в табл. 1.

Таблица 1. Вероятности столкновений тел, выброшенных с Земли, с Землей, Венерой, Меркурием, Марсом и Солнцем (p_E, p_v, p_me, p_ma, p_sun) и вероятности их выброса p_ej на гиперболические орбиты.

В рассмотренных вариантах при T=10 млн лет и i_ej=45^o, значения вероятности p_V столкновения тела, выброшенного с Земли, с Венерой были в диапазонах 0.16-0.22 и 0.13-0.18 при v_ej, равном 11.5 и 12 км/с соответственно. При T=T_end и 11.5©v_ej©12 км/с значения p_V были в диапазоне 0.22-0.37. Общее количество тел, доставленных на Землю и Венеру, вероятно, не сильно отличалось. В основном отношение p_V/p_E вероятности p_V столкновения тела с Венерой к его вероятности p_E столкновения с Землей было меньше при меньших скоростях выброса.

При Т=T_end (за весь рассмотренный интервал времени) вероятности столкновений тел с Меркурием и Марсом были в диапазонах 0.020.08 и 00.025 соответственно. В большинстве вариантов расчетов вероятность столкновения тела с Солнцем составляла около 0.050.2 при Т=10 млн лет, а при Т=T_end могла достигать 0.5.

Значения вероятности p_ej выброса тел на гиперболические орбиты при Т=T_end превышали значения при Т=10 млн лет обычно не более, чем в 2 раза. Значения p_ej в различных сериях расчетов были в диапазоне 0.0160.064 при T=T_end, 30^o©i_ej©60^o и 11.5©v_esc©12 км/с. При v_ej=16.4 км/с значения p_ej могли достигать 0.8, а при v_ej=20 км/с и выбросе из точки W по ходу движения Земли все тела могли выбрасываться на гиперболические орбиты. При выбросе из точки F вероятность p_ej за Т=10 млн лет в зависимости от скорости выброса принимала значения от менее 0.01 при (v_ej=11.5 км/с, 30^o©i_ej©60^o) до 0.24-0.38 при (v_ej=16.4 км/с, 30^o©i_ej©45^o).

Значения вероятности столкновений выброшенных с Земли тел с Луной на ее современной орбите были порядка 0.010.02 при v_ej=11.3 км/с и 0.0050.008 при v_ej=16.4 км/с. В [63] отмечалось, что для того, чтобы Луна содержала современное количество железа и приобрела большую часть своей массы за счет выброшенной мантии Земли, она должна была приобрести значительную чать своей массы, двигаясь недалеко от Земли.

Средние скорости столкновений выброшенных тел с Землей и Луной тем больше, чем больше скорость выброса. При скорости выброса, равной 11.3, 11.5, 12, 14 и 16.4 км/с значения скоростей столкновений составили около 13, 1415, 1416, 1420 и 1425 км/с соответственно для Земли и были в пределах 78, 1012, 1016 и 1120 км/с для Луны.

Выброс тел с Земли за последние десятки миллионов лет: В [56] мы получили, что 15-километровые лунные кратеры были созданы 1-километровыми ударниками. Количество 15-километровых лунных кратеров, образовавшихся за последний миллиард лет, составляет около 50. Отношение вероятностей столкновений околоземных объектов с Землей и Луной было оценено в [56] как равное 22. Таким образом, количество 1-километровых тел, которые выпали на Землю за последний миллиард лет, можно оценить примерно в 1000, т. е. происходил примерно 1 удар за 1 млн лет. Ударники диаметром d_i=10-15 км образовали на Земле кратер Чиксулуб (с диаметром D_cr=150-200 км и возрастом T_cr=65.5 млн лет), кратер Вредефорт (с D_cr=170-300 км и T_cr=2.02 млрд лет) и кратер Садбери (с D_cr=130 км и T_cr=1.85 млрд лет). Считается, что d_i может быть 20-25 км для кратера Вредефорт. Кратер Попигай является четвертым по величине подтвержденным ударным кратером на Земле (с D_cr=90-100 км и T_cr=35.7 млн лет). Он мог быть образован ударником с диаметром d_i=8 км. Предполагается, что ударники, которые создали вышеуказанные кратеры, пришли из пояса астероидов. Некоторые тела, выброшенные из кратеров десятки миллионов лет назад, могут до сих пор находиться в зоне планет земной группы и могут выпадать на эти планеты. При изучении естественного переноса микробов между Марсом и Землей допускаются жизнеспособные прибытия микробов после времени полета менее 1 миллиона лет. В моих расчетах из 6000 тел, выброшенных с Земли, только одно столкнулось с Марсом за 1 млн. лет (через 0.46 млн. лет при выбросе из точки W). Для 6000 тел вероятность их столкновений с Марсом за 1 млн лет равна 0.00017 (была около двух десятитысячных).

Выброс тел с Луны и выпадения тел, выброшенных с планет, на Луну: При выбросе тел с Луны на ее современной орбите вероятности столкновений выброшенных тел с планетами были аналогичны вероятностям столкновений тел, выброшенных с Земли, если рассматривать меньшие скорости выброса с Луны, чем с Земли [124, 215, 514, 518, 519, 529, 532]. Например, вероятность столкновения выброшенных с Луны тел с Землей была в диапазоне 0.27-0.35 при v_ej=2.5 км/с, 0.2-0.25 при v_ej=5 км/с, и 0.1-0.14 при 12©v_ej©16.4 км/с. При выбросе тел из точки F на Луне, T=10 млн лет и 30^o©i_ej©60^o, отношение p_V/p_E вероятностей столкновений выброшенных тел с Венерой и Землей составляло около 0.60.9 при v_ej=2.5 км/с, 0.9-1.3 при v_ej=5 км/с, 1.3-1.5 при 11.5©v_ej©12 км/с, 0.6-0.8 при v_ej=16.4 км/с, соответственно. Вероятности столкновений с планетами земной группы для тел, выброшенных с Луны на её современной орбите при нескольких значениях скорости выброса, представлены в табл. 2.

Таблица 2. Вероятности столкновений с планетами для тел, выброшенных с Луны на её современной орбите, (интервалы для разных углов выброса) при нескольких значениях скорости выброса

Кроме изучения выброса тел с Луны, находившейся на ее современном расстоянии от Земли на линии Солнце-Земля-Луна, проводились также расчеты для модели, когда Луна находилась ближе к Земле. Считалось, что в начальный момент времени тела находились на линии Солнце-Земля-Луна на высоте h над поверхностью Земли, равной h=3r_E, h=5r_E, h=7r_E или h=36r_E (расстояние r_ME от центра Земли больше, чем h, на r_E: r_ME=h+r_E), где r_E радиус Земли. Эти расчеты выброса соответствуют точке F.

Все тела, выброшенные с лунного зародыша, двигавшегося близко к Земле, выпадали на Землю и Луну, если их начальная скорость была меньше соответствующей параболической скорости. При v_ej=2.5 км/с и радиусе r_ME орбиты зародыша, равном 4r_E, динамическое время жизни выброшенных тел было менее 5 сут. При r_ME=6r_E и v_ej=2.5 км/с большинство выброшенных тел быстро выпадали на Землю, но при i_ej©30^o часть тел покидала сферу Хилла Земли. При v_ej=5 км/с (параболическая скорость Земли при r_ME=6r_E равна 4.57 км/с) и T=T_end значения p_E находились в диапазоне (для разных i_ej) 0.26-0.37, 0.25-0.29 и 0.20-0.22 для r_ME=6r_E, r_ME=8r_E и для современной орбиты соответственно, то есть значения p_E были немного больше для меньшей орбиты зародыша Луны. При v_ej=12 км/с значения p_E практически не зависели от начальной орбиты зародыша Луны и находились в диапазоне 0.13-0.14, 0.11-0.14 и 0.11-0.16 для 4r_E©h©6r_E, h=8r_E и нынешней орбиты Луны соответственно. При скоростях выброса немного больших параболической скорости, значения p_E приблизительно одинаковы для выброса тел с Земли и Луны, но для разных скоростей выброса.

В нескольких случаях (при радиусе орбиты зародыша Луны r_ME=4r_E, v_ej=5 км/с, i_ej=30^o; r_ME=6r_E, v_ej=2.5 км/с, 15^o©i_ej©30^o; r_ME=8r_E, v_ej=2.5 км/с, 15^o©i_ej©45^o) некоторые (47-71%) выброшенные тела продолжали двигаться вокруг Земли и через 100 млн лет. Столкновения тел с Луной в расчетах не учитывались. Таким образом, на самом деле такие тела должны были бы столкнуться с Луной.

При r_ME=6r_E и v_ej=2.5 км/с не было получено столкновений выброшенных тел с Венерой, Меркурием и Марсом. При r_ME=6r_E и v_ej=5 км/с вероятности столкновений тел с Меркурием, Венерой и Марсом находились в диапазонах 0.036-0.072, 0.276-0.34 и 0-0.016 соответственно. Эти диапазоны мало отличаются от значений для современной орбиты Луны и v_ej=5 км/с, хотя вероятности столкновений с Землей при r_ME=6r_E и v_ej=5 км/с немного больше (0.256-0.368), чем значения (0.2-0.25) в табл. 2 при v_ej=5 км/с и современной орбите Луны. При v_ej™12 км/с вероятности столкновений тел для всех планет земной группы были близки для разных r_ME™6r_E. Для h=36r_E вероятности p_E столкновений тел, выброшенных с Луны, с Землёй находились в диапазоне 0.07-0.2 при 30®©i_ej©60® и 11.2©v_ej©16.4 км/с и были больше при меньших скоростях выброса.

При v_ej=5 км/с, 15®©i_ej©89®, T=T_end и h=5r_E, значение p_E было около 0.3 (0.26-0.37). Такие расчёты при h>0 соответствуют движению тел, выброшенных с Луны, хотя гравитационное влияние Луны и её движение вокруг Земли не учитывались при интегрировании уравнений движения. В этом случае реальные скорости выброса тел с Луны немного отличались от скоростей, использованных в расчётах. Расчёты при 3r_E©h©36r_E соответствуют случаю, когда Луна ещё не достигла своей нынешней орбиты.

Отношение k_em вероятностей столкновений тел с Землей и Луной, движущейся по ее современной орбите, для тел, выброшенных с планет земной группы, было получено в основном в диапазоне от 15 до 30. Это отношение отличалось для различных тел и в основном было меньше при больших скоростях выброса тел с Земли, Венеры и Марса. При i_ej=45® и выбросе из точки F на поверхности планеты это отношение равнялось 30, 29 и 18 при выбросе с Венеры со скоростью, равной 10.5, 12 и 20 км/с соответственно. При выбросе с Марса это отношение равнялось 23, 23 и 14 при v_ej, равном 5.3, 6 и 20 км/с, а при выбросе с Меркурия это отношение равнялось 19, 16 и 21 при v_ej, равном 5.3, 6 и 20 км/с соответственно.

Вероятности p_E столкновений тел, выброшенных с Марса и выпавших на Землю, для точек C, D, F, U и W в основном составляли около 0.08-0.16 и 0-0.16 при 5.05©v_ej©10 и 15©v_ej©20 км/с соответственно. Для точки B значение p_E могло превышать 0.24. При p_E=0.1 и отношении вероятностей столкновений тел с Землей и Луной равным k_em=20, вероятность столкновения тела, выброшенного с Марса, с Луной можно оценить равной p_moon=0.005. Вероятности p_E столкновений тел, выброшенных с Меркурия и выпавших на Землю, были меньше 0.03-0.05 (в зависимости от точки выброса) при 4.23©v_ej©6 км/с. Для больших скоростей в некоторых вариантах p_E достигало 0.2. При p_E=0.04 и k_em=20 такую вероятность столкновения тела, выброшенного с Меркурия, с Луной можно оценить равной p_moon=0.002. Для средних точек C, D, F и U при 10.4©v_ej©16 км/с, доля p_E тел, выброшенных с Венеры и столкнувшихся с Землей, составляла около 0.04-0.1 при i_ej=45®, и могла достигать около 0.2 при i_ej=89®. При p_E=0.09 и k_em=30 вероятность столкновения тела, выброшенного с Венеры, с Луной можно оценить равной p_moon=0.003.

Результаты расчетов выброса тел с Марса, Меркурия и Венеры представлены пока кратко в тезисах и трудах конференций [121, 215, 519, 523, 525-529, 533, 536]. На конец 2025 г. расчеты по выбросу тел с планет земной группы и Луны были завершены, а расчеты по миграции пыли еще продолжались для крупных пылевых частиц. Подготовка журнальных статей по выбросу тел с Марса, Меркурия, Венеры и Луны, а также по выбросу пылевых частиц с планет земной группы начнется в 2026 г.

Выброс тел с Марса: Скорость выброса v_ej тел c Марса в проведенных расчетах равнялась в основном 5.05, 5.1, 5.3, 5.5, 6, 8, 10, 15 и 20 км/с. Вероятность p_ma столкновения тела, выброшенного с Марса, с Марсом была значительной только при скорости выброса v_ej, близкой к параболической скорости. Для точек C, D, F и U (находившихся на пересечении поверхности планеты и плоскости, проходящей через Солнце и центр планеты и перпендикулярной плоскости орбиты планеты) значения вероятности p_Ma столкновения тела, выброшенного с Марса, с Марсом в основном составляли около 0.04-0.25, 0.01-0.04 и 0-0.02 при 5.05©v_ej©5.3, 5.5©v_ej©10 и 15©v_ej©20 км/с соответственно. Для точки B (на поверхности планеты сзади по ходу движения планеты) значение p_Ma было обычно меньше, чем для указанных выше точек. Для точки W (на поверхности планеты спереди по ходу движения планеты) значение p_Ma могло превышать 0.3 при v_ej=5.05 км/с и p_Ma=0 при 15©v_ej©20 км/с.

Вероятности p_E столкновений тел, выброшенных с Марса, с Землей для точек C, D, F и U в основном составляли около 0.08-0.16 и 0-0.16 при 5.05©v_ej©10 и 15©v_ej©20 км/с соответственно. Для точки B значение p_E могло превышать 0.24. Для точки W значения p_E находились в диапазоне от 0 до 0.15. Некоторые тела, выброшенные с Марса, могли столкнуться с Землей через 0.1 млн лет, а некоторые из тел могли столкнуться с Землей через сотни миллионов лет. Например, при выбросе из точки F при v_ej=6 км/с, i_ej=45^o и N_o=250 было 32 столкновения тел с Землей между 0.22 и 270.9 млн лет. Среди этих столкновений было 4, 7, 6, 7, 2, 4 и 2 столкновений в моменты времени t<1, 1<t<5, 5<t<20, 20<t<50, 50<t<200 и t>200 млн лет соответственно. При этом около половины тел, выброшенных с Марса, столкнулись с Землей после 20 млн лет, а некоторые марсианские метеориты могли путешествовать в космосе десятки миллионов лет до их столкновений с Землей.

Для точек C, D, F и U вероятности p_V столкновений тел, выброшенных с Марса, с Венерой в основном составляли около 0.08-0.2 и 0.02-0.2 при 5.05©v_ej©10 и 15©v_ej©20 км/с соответственно. При v_ej™5.2 км/с значения p_V часто были немного больше p_E. При выбросе из точки B значение p_V могло превышать 0.3. Для точки W значения p_V находились в диапазоне от 0 до 0.18.

При v_ej™6 км/с доля тел, выброшенных с Марса и затем столкнувшихся с Меркурием, обычно была меньше 0.06 и превышала долю тел, столкнувшихся с Марсом. Для выброса из точек C, D, F и U доля тел, столкнувшихся с Меркурием, была в основном в диапазоне 0.02-0.08 при 5.05©v_ej©20 км/с. Для точки B значение p_me находилось в более широком диапазоне (0.016-0.2), чем для четырех выше перечисленных средних точек. При выбросе из точки W получено p_me=0 при 15©v_ej©20 км/с, и p_me могло превышать 0.06 при v_ej=5.1 км/с.

Для точек C, D, F, U и B значения доли тел, столкнувшихся с Солнцем, обычно находились в диапазоне от 0.2 до 0.9. Обычно при 5.1©v_ej©8 км/с более половины выброшенных тел сталкивались с Солнцем. Вероятность выброса тела на гиперболическую орбиту была меньше 0.1 при v_ej©6 км/с, но могла превышать 0.9 при v_ej=20 км/с. Для точки W и 15©v_ej©20 км/с почти все тела были выброшены на гиперболические орбиты. Для точки B на гиперболические орбиты было выброшено менее 10% тел. Для остальных четырех точек вероятность такого выброса варьировалась от 0.02 до 0.9 в зависимости от скорости выброса и угла выброса.

Выброс тел с Меркурия: Скорость выброса v_ej тел c Меркурия в расчетах в основном полагалась равной 4.23, 4.25, 4.3, 4.5, 5, 6, 8, 10, 15 и 20 км/с. Более половины тел, выброшенных с Меркурия, обычно выпадали обратно на Меркурий. Вероятности столкновений выброшенных тел с планетами зависят от скоростей выброса v_ej, углов выброса i_ej и точек выброса. Для 4.23©v_ej©6 км/с и точки F получено, что p_ej©0.004, p_Sun©0.1, 0.6©p_Me©0.97, 0.02©p_V©0.3, p_E©0.04 и p_Ma©0.004. Вероятности выброса из точек C, D и U сильно не отличались от вероятностей для точки F. Для 4.23©v_ej©6 км/с и точки B получено, что p_ej©0.01, p_Sun©0.1, 0.65©p_Me©0.85, 0.1©p_V©0.25, p_E©0.03 и p_Ma©0.004. Для 4.23©v_ej©6 км/с и точки W получено, что p_ej©0.004, p_Sun©0.2, 0.3©p_Me©1, p_V©0.5, p_E©0.05 и p_Ma=0. Для точки W вероятности p_Me и p_V могут достигать больших значений, чем для других точек. Часто при больших значениях v_ej были получены большие значения p_ej, p_Sun, p_V, p_E и p_Ma, но это может быть неверно для v_ej>8 км/с. Значения p_Me обычно были меньше при больших v_ej. Значения p_V обычно были в несколько раз больше, чем p_E, при этом разница была больше для меньших скоростей выброса. Вероятности столкновений тел, выброшенных с Меркурия, с Землей обычно не превышали 0.05 и 0.1 при v_ej менее 8 км/с и 15 км/с соответственно. Вероятности p_V столкновений тел, выброшенных с Меркурия, с Венерой обычно составляли около 0.10.4 при скоростях выброса от 4.3 до 10 км/с. Для средних точек C, D, F и U значения вероятности p_V составляли около 0.2-0.4 при 6©v_ej©10 км/с. Доля тел, выброшенных на гиперболические орбиты, не превышала 0.02 для большинства вариантов расчетов. Не более 20% тел обычно сталкивалось с Солнцем. При выбросе из точки W при v_ej™6 км/с для ряда значений i_ej и v_ej около половины тел сталкивались с Венерой. Реже большинство выброшенных из точки W тел столкнулись с Солнцем или покинули Солнечную систему.

Для больших скоростей выброса вероятности столкновений тел с планетами могут сильно различаться для точек F, W и B, а также для углов выброса. При выбросе из точки F и v_ej=20 км/с получено, что 0.004©p_ej©0.1, 0.14©p_Sun©0.4, 0.3©p_Me©0.44, 0.12©p_V©0.4, 0.02©p_E©0.1 и p_Ma©0.008. При v_ej=20 км/с, i_ej™30® и выбросе из точки B было получено, что 0.9©p_Me©0.95, а все остальные тела сталкивались с Солнцем (столкновений тел с другими планетами не было, и выброс тел из Солнечной системы тоже не происходил). При v_ej=20 км/с и выбросе из точки W вероятности были разными для разных углов выброса: Для i_ej=30® получено: p_ej=0.044, p_Sun=0.268, p_Me=0.144, p_V=0.284, p_E=0.24 и p_Ma=0.02. Для i_ej=89® большинство тел было выброшено из Солнечной системы (p_ej=0.744), а все остальные тела столкнулись с Солнцем.

Выброс тел с Венеры: Скорость выброса v_ej тел c Венеры в расчетах принималась в основном равной 10.36, 10.4, 10.5, 10.6, 11, 12, 14, 16 и 20 км/с. Ниже в этом абзаце обсуждаются значения вероятностей столкновений с планетами для тел, выброшенных с Венеры из точек C, D, F и U при скоростях выброса от 10.4 до 16 км/с. При этом доля p_ej тел, выброшенных на гиперболические орбиты, не превышала 0.06, доля p_Sun тел, столкнувшихся с Солнцем, составляла около 0.1-0.4, доля p_Me тел, столкнувшихся с Меркурием, была около 0.01-0.2, доля p_V тел, столкнувшихся с Венерой, составляла около 0.3-0.8, а доля p_E тел, столкнувшихся с Землей, была около 0.04-0.2 (была в несколько раз меньше, чем p_V). Значения p_Sun при v_ej=16 км/с были примерно в 2 раза больше, чем при v_ej=10.4 км/с. Значения p_Me при v_ej=16 км/с были примерно в несколько раз (от 2 до 10 в зависимости от точки выброса и i_ej) больше, чем при v_ej=10.4 км/с. Значения p_V имеют некоторую тенденцию (но не при всех начальных данных) быть меньше при больших v_ej. Вероятности столкновений тел с Марсом часто не превышали 0.01 для всех рассмотренных начальных данных.

Для средних точек выброса C, D, F и U при v_ej=20 км/с значения p_ej были около 0.25-0.32 при i_ej=45^o и могли быть около 0.02 при i_ej=89^o; значения p_Sun были около 0.15-0.3; p_Me - около 0.1-0.15; p_V - около 0.23-0.35; значения p_E были около 0.04-0.1 при i_ej=45^o и могли быть около 0.2 при i_ej=89^o. Для точки B значения p_ej в основном были меньше 0.04, значения p_Sun были около 0.07-0.3, p_Me - около 0.02-0.35 (с максимумом при v_ej=20 км/с), p_V - около 0.4-0.8, значения p_E были около 0.04-0.2 (но равнялись 0.01 при v_ej=20 км/с и i_ej=89^o). Для точки W при v_ej©12 км/с значения p_ej в основном были меньше 0.06, значения p_Sun были около 0.1-0.4, значения p_Me были около 0.01-0.1, значения p_V были около 0.3-0.8, а p_E было около 0.1-0.2. Больше тел было выброшено из Солнечной системы при большей скорости выброса v_ej. В случае v_ej=20 км/с доля выброшенных тел составила около 0.8 при i_ej=45^o, а все тела были выброшены при i_ej=89^o.

Выброс пылевых частиц с планет земной группы. Численно исследовалась миграция пылевых частиц, выброшенных с различными скоростями из точек F, B и W на поверхности планет земной группы. Рассматривался выброс. Значения скоростей выброса были такими же, как и для тел. Угол выброса равнялся 45^о. При интегрировании уравнений движения учитывалось гравитационное влияние Солнца и всех планет, радиационное давление, эффект Пойтинга-Робертсона и солнечный ветер. Относительная ошибка на шаге интегрирования методом Булирша-Штера составляла менее 10^-8. Эволюция орбит пылевых частиц исследовалась до тех пор, пока частицы не покидали Солнечную систему или не сталкивались с Солнцем или с планетами. Вычисления проводились для значений (отношения силы радиационного давления к гравитационной силе), равных 0.00004, 0.0004, 0.004, 0.04 и 0.4 (то есть для диаметров силикатных частиц около 1 см, 1 мм, 100, 10 и 1 микрон). Результаты этих расчетов пылевых частиц пока представлены только кратко в [527].

Получено что около половины микронных частиц выпадали на Солнце, а около половины микронных частиц выбрасывались из Солнечной системы. При выбросе с Земли с небольшими скоростями немного более половины микронных частиц выпадали на Солнце, а при выбросе частиц со скоростями большими 12 км/с обычно больше половины частиц выбрасывались из Солнечной системы. При выбросе микронных частиц с Марса и Меркурия из точки В (сзади по ходу движения планеты) обычно больше половины частиц выпадали на Солнце, а при выбросе микронных частиц из точки W (по ходу движения планеты) обычно больше половины частиц выбрасывались из Солнечной системы, причем при больших скоростях выброса все такие частицы могли покидать Солнечную систему.

Почти все 10-100-микронные и миллиметровые частицы, выброшенные с планет земной группы, обычно выпадали на Солнце, если скорости их выброса не были велики. При скорости выброса v_ej=16 км/с из точки F на Земле около 10% 10-микронных частиц и около 20% миллиметровых частиц покидали Солнечную систему. При скорости выброса v_ej=20 км/с из точки W все 100-микронные частицы, выброшенные с Земли, покидали Солнечную систему. В большинстве вариантов расчетов время динамической жизни 1-100 микронных частиц не превышало 1 млн лет, в то время как некоторые выброшенные тела могли двигаться в зоне планет земной группы сотни миллионов лет. Не более 4% миллиметровых частиц, выброшенных с Земли, Венеры и Марса, выпадали на планеты. Доля выброшенных тел, выпадавших на планеты, могла быть больше для планет более близких к Солнцу. При выбросе со скоростью v_ej=4.23 км/с из точек F и W на Меркурии около 8-10% миллиметровых частиц выпадали обратно на Меркурий.

1. Автоматическое удаление следов космических лучей со снимков, сделанных космическим аппаратом Дип Импакт (Deep Impact)

В 2005-2006 гг. С.И. Ипатов был членом команды Дип Импакт (англ. Deep Impact), руководимой Майклом Ахерном (Michael AHearn). Космический аппарат (КА) НАСА Дип Импакт впервые в истории сбросил на комету зонд, который протаранил её поверхность, предварительно сфотографировав её с близкого расстояния. Ипатов занимался автоматическим распознаванием и удалением следов космических лучей со снимков, сделанных этим космическим аппаратом. Результаты этих исследований приведены в статье [34] и в тезисах [356, 361, 368, 372]. Ипатов был также соавтором общих статей [32, 35] команды Дип Импакт.

Мы проанализировали эффективность нескольких алгоритмов (imgclean, crfind, di_crrej и rmcr), написанных несколькими авторами и распознававших следы космических лучей на одном снимке КА Deep Impact. Рассматривались изображения, сделанные разными камерами (HRI, MRI и ITS) во время полета КА Deep Impact к комете Темпеля 1. Камера HRI (High Resolution Instrument) обеспечивала более высокое разрешение снимков ядра кометы, а камера MRI (Medium Resolution Instrument) имела более широкое поле зрения. Камера ITS (Impactor Targeting Sensor) была установлена на ударном модуле и работала только до столкновения с кометой.

Для автоматического удаления следов космических лучей на многих снимках мы предложили использовать алгоритм imgclean, поскольку другие рассмотренные алгоритмы не работают автоматически должным образом с большим количеством изображений и не выполняются до конца для некоторых изображений; однако другие алгоритмы могут быть лучше для анализа определенных конкретных изображений. Imgclean обнаруживает ложные следы космических лучей вблизи края ядра кометы, и этот алгоритм часто не распознает все пиксели длинных следов космических лучей, но другие рассмотренные алгоритмы иногда не выполняют удаление всех космических лучей. Наш алгоритм rmcr является единственным алгоритмом среди упомянутых выше, который работает на необработанных (raw) изображениях. Изображения с удаленными следами космических лучей полезны для фотометрических и других исследований.

Для большинства визуальных изображений HRI и MRI, полученных во время низкой солнечной активности при времени экспозиции t > 4 с, количество кластеров ярких пикселей на изображении в секунду на см² ПЗС (прибор с зарядовой связью) составляло около 24, как для темных (т. е. только со следами космических лучей), так и для обычных изображений неба. При высокой солнечной активности это количество пикселов иногда превышало 10. Отношение количества следов космических лучей, состоящих из n пикселей, полученных при высокой солнечной активности, к количеству при низкой солнечной активности было больше для большего числа пикселов. Из-за более высоких вариаций яркости фона ITS изображений все рассмотренные алгоритмы обнаружили слишком много ложных следов космических лучей при настройках параметров по умолчанию. Кластеры, состоящие менее чем из 4 пикселей, обычно не могут быть уверенно идентифицированы как следы космических лучей на ПЗС ITS при любых настройках параметров, поскольку яркость для таких малых следов космических лучей достаточно низка, чтобы потеряться в фоновом шуме. Количество кластеров, обнаруженных как следы космических лучей на одном инфракрасном изображении с помощью imgcleanf, по крайней мере в несколько раз больше фактического количества следов космических лучей (другие алгоритмы обнаружили даже больше ложных следов космических лучей), но количество кластеров, обнаруженных путем сравнения двух последовательных темных кадров, согласуется с ожидаемым количеством следов космических лучей. Некоторые ложные следы космических лучей включают яркие пиксели, неоднократно присутствующие на разных инфракрасных изображениях. Мы не рекомендуем использовать автоматическое удаление следов космических лучей на изображениях ITS и IR (инфракрасная камера). Хотя после удаления следов космических лучей на изображениях ITS и IR мы получили много ложных следов космических лучей, такое удаление было полезно для проверки работы конвейера (pipeline). Такие исследования позволили увидеть, как улучшения на разных этапах конвейера позволят уменьшить количество ложных следов космических лучей, и понять, какие следующие изменения необходимо внести в конвейер. Наш интерактивный код imr позволяет пользователю выбирать области на рассматриваемом изображении, где игнорируются сбои, обнаруженные imgclean как следы космических лучей. В других областях, выбранных пользователем, яркость некоторых пикселей заменяется локальной медианной яркостью, если яркость этих пикселей в несколько раз больше медианной яркости. Интерактивный код позволяет удалять длинные следы космических лучей и предотвращает удаление ложных следов космических лучей вблизи края ядра кометы. Интерактивный алгоритм может быть применен для редактирования любых цифровых изображений. Результаты, представленные в статье [34], могут быть использованы для других миссий к кометам (включая кометы с выбросами вещества).

1. Выброс вещества с кометы 9P/Темпеля 1 после столкновения ударного модуля космического аппарата Дип Импакт с этой кометой

4 июля 2005 года 370-килограммовый ударный модуль космического аппарата Дип Импакт (Deep Impact) столкнулся с кометой 9P/Темпеля 1 (9P/Tempel 1) со скоростью 10.3 км/с под углом к поверхности кометы примерно 2035® [32]. Эволюция облака выброшенного материала наблюдалась камерами миссии Deep Impact (DI), космическими телескопами (например, Rosetta, Космический телескоп Хаббла, Chandra, Spitzer) и более чем 80 обсерваториями на Земле. Выбросы, аналогичные такому выбросу, могут происходить, когда малое небесное тело сталкивается с кометой на высокой скорости. Поэтому исследования выброса материала после такого столкновения важны для понимания столкновительных процессов в Солнечной системе. Исследования скоростей выброса материала с кометы позволяют лучше понять размеры метеорного потока, порождаемого кометой.

Мы изучали скорости и относительные количества материала, выброшенного с кометы Темпеля 1 после столкновения ударного модуля с кометой. Эти исследования были основаны на анализе снимков, сделанных камерами космического аппарата Дип Импакт в течение первых 7 минут после столкновения. Анализируя эти снимки, Ипатов сделал вывод о том, что на глубине нескольких метров под поверхностью комет может быть много полостей с пылью и газом под давлением. Одна из таких полостей была вскрыта при столкновении ударного модуля с кометой, что вызвало дополнительный выброс вещества с кометы. Полученные результаты опубликованы в статьях [40, 41, 100], и в тезисах [362, 369, 371, 380, 383, 387, 388, 390, 391, 394, 396, 398, 402, 406].

Рассматривались скорости частиц, которые вносили основной вклад в яркость облака выброшенного материала, т.е. в основном частиц диаметром меньше 3 микрон. Через время t_e~0.2 сек скорости большинства наблюдаемого выброшенного материала были порядка 10 км/с. Скорости некоторых частиц, выброшенных в течение первых трех секунд, превышали 1 км/с, но доля материала с такими скоростями среди всего выброшенного материала была небольшой. Скорости большинства наблюдаемого материала, выброшенного при t_e>4 сек, были на порядок величины меньше, чем при t_e<1 сек (сотни м/с вместо нескольких км/с).

При оценке скоростей выброшенных частиц мы анализировали движение частиц на расстоянии в несколько километров. Разрушение, сублимация и ускорение частиц не сильно влияли на наши оценки скоростей, поскольку мы рассматривали движение частиц в течение не более нескольких минут. При рассмотренном движении частиц с начальными скоростями v_p™20 м/с увеличение их скоростей за счет ускорения газом не превышало нескольких метров в секунду.

Изменения со временем скоростей и количества материала, выброшенного после столкновения ударного модуля космического аппарата Дип Импакт с кометой, отличались от тех, которые были обнаружены в экспериментах и теоретических моделях. Для наземных наблюдений, проведенных через несколько часов после удара такие различия могли бы быть вызваны испарением льда в выброшенном веществе и быстро движущимся газом. В наших исследованиях движения частиц в течение нескольких минут большую роль в этой разнице мог играть дополнительный выброс, вызванный ударом (увеличивший выброс мелких ярких частиц), и, возможно, можно рассматривать выброс как суперпозицию нормального выброса и дополнительного выброса. Вклад дополнительного выброса в яркость облака мог быть значительным, но его вклад в общую выброшенную массу мог быть относительно небольшим, поскольку доля мелких наблюдаемых частиц среди частиц всех размеров была, вероятно, больше для дополнительного выброса, чем для обычного выброса. Наша модель выброса рассматривала только те частицы, которые достигли расстояния R™1 км от места выброса. Большие области сатурируемых пикселей (saturated pixels, яркие пикселы, которые искажают изображение) на снимках DI, сделанных в момент времени t после удара более 110 с, не позволили нам сделать однозначные выводы о скоростях выброса всех частиц.

Результаты наших исследований показали, что существует локальный максимум скорости выброса при t_e~10 с с типичными проекциями v_p скоростей на плоскость, перпендикулярную лучу зрения, около 100-200 м/с (рис. 1). В то же время начался значительный избыточный выброс в нескольких направлениях (лучи выброса), произошло локальное увеличение яркости самого яркого пикселя, а направление от места выброса к самому яркому пикселю быстро изменилось примерно на 50^o. На снимках, сделанных в течение первых 12 с и после первых 60 с, это направление было в основном близко к направлению удара. При 1<t_e<3 и 8<t_e<60 с график изменения cо временем оцениваемого количества r_te выброшенного наблюдавшегося материала был больше экспоненциальной линии, соединяющей значения r_te при 1 и 300 с. Вышеуказанные особенности могли быть вызваны тем, что удар являлся триггером дополнительного выброса, и выбросом более ледяного материала. При t_e~55-60 с скорость выброса резко снизилась, и направление от места выброса до самого яркого пикселя быстро вернулось к направлению, которое было до 10 с. Это могло быть вызвано резким уменьшением дополнительного выброса, начавшегося при t_e~10 с.

Дополнительный выброс мог произойти со всей поверхности кратера, в то время как нормальный выброс был в основном с его краев. Быстрый выброс мог быть вызван выбросом материала из полостей, содержащих материал под давлением газа. Медленный дополнительный выброс мог быть похож на выброс со свежей поверхности кометы и мог происходить спустя долгое время после образования кратера.

Рисунок 1. Изменение яркости наиболее яркого пиксела в зависимости от времени (в секундах) после столкновения ударного модуля космического аппарата DI с кометой. За единицу яркости принята максимальная яркость пиксела через 4 секунды после начала выброса.

Анализ наблюдений облака, образовавшегося после столкновения ударного модуля космического аппарата Дип Импакт (КА DI) с кометой, и выбросов от разных комет свидетельствует в пользу предположения, что под значительной долей поверхности кометы могут быть большие полости с материалом под давлением газа. Внутреннее давление газа и материала в полостях может вызывать естественные и вызванные выбросы и может вызывать расщепление комет. Верхний край полости, вскрытой за t_e~10 с, может находиться в нескольких метрах под поверхностью кометы Темпеля 1.

Наши исследования не позволили нам точно оценить, когда произошло окончание выброса, но они не противоречат непрерывному выбросу материала в течение по крайней мере первых 10 минут после столкновения. Продолжительность выброса (до 30-60 мин) могла быть больше, чем у обычного выброса, который мог длиться всего несколько минут. Анализ наблюдений, сделанных камерами КА Дип Импакт, свидетельствует в пользу модели кратерообразования с доминирующей гравитацией (т.е. в пользу большего количества выброшенного материала и большего размера кратера) и в пользу того, что частицы выбрасывались с разными скоростями и массами в одно и тоже время.

Проекции скоростей большей части наблюдаемого материала, выброшенного при t_e~0.2 с, составили около 7 км/c. Анализ наблюдений КА DI, которые использовали различные подходы, показал, что при 1<t_e<115 с временные вариации проекций v_p характеристической скорости наблюдаемых частиц на плоскость, перпендикулярную лучу зрения, можно считать пропорциональными t_e^- с ~0.7-0.75. Для модели VExp с v_p, пропорциональной t_e^- при любом t_e>1 с, доли наблюдаемого (не всего) материала, выброшенного (при t_e©6 и t_e©15 с) с v_p™200 и v_p™100 м/с, были оценены примерно в 0.1-0.15 и 0.2-0.25 соответственно, если рассматривать только материал, наблюдавшийся в течение первых 13 минут. Быстрый выброс со скоростями ~100 м/с, вероятно, мог длиться по крайней мере несколько десятков секунд, и он мог значительно увеличить долю частиц, выброшенных со скоростями ~100 м/с, по сравнению с оценками для модели VExp и для обычного выброса. Вышеуказанные оценки согласуются с оценками (100-200 м/с) проекции скорости переднего края пылевого облака, образовавшегося в результате столкновения КА Дип Импакт с кометой (облака DI), сделанными другими учеными и основанными на различных наземных наблюдениях и наблюдениях, сделанных космическими телескопами.

Избыточный выброс материала в нескольких направлениях (лучи выброшенного материала) был значительным в течение первых 100 с, и он все еще наблюдался на снимках, сделанных при t~500-770 с. Эти наблюдения показывают, что выброс мог продолжаться и при t_e~10 мин. Самые острые лучи были вызваны материалом, выброшенным при t_e~20 с. В частности, наблюдались чрезмерные выбросы, особенно на снимках, сделанных при t~25-50 с после удара, в направлениях, перпендикулярных направлению удара. Направления чрезмерных выбросов могли меняться со временем. Размер пылевого облака DI существенной непрозрачности, вероятно, не превышал 1 км.

14 февраля 2011 г. КА Stardust сфотографировал кратер, образовавшийся после столкновения КА DI с кометой. Ряд авторов оценили размер этого кратера. В [41] обсуждалось расположение верхних границ полостей, содержащих пыль и газ под давлением в кометах. Расстояние между предударной поверхностью кометы 9P/Tempel 1 и верхней границей самой большой полости, вскрытой во время выброса материала после столкновения ударного модуля космического аппарата Deep Impact (DI) с кометой, оценивается примерно в 56 м, если диаметр транзитного кратера DI составлял около 150200 м. Оценочная глубина составляла 4 м, если диаметр равнялся 100 м. При этих оценках использовались модели образования кратеров и оценивалось какой глубины формирующийся кратер достигнет через 8 секунд после начала процесса образования кратера. Самая большая полость, образовавшаяся после столкновения DI, могла быть относительно глубокой, поскольку значительный избыточный выброс продолжался около 50 с. Эти оценки глубины согласуются с глубиной (420 м) начального фронта сублимации льда CO в моделях взрыва кометы 17P/Holmes. Наши исследования показывают, что полости, содержащие пыль и газ под давлением и расположенные на глубине нескольких метров под поверхностью комет, могут быть обычным явлением.

1. Наблюдения астероидов и комет

В 1999 г. в течение полугода С. И. Ипатов работал по гранту DWTC в Королевской обсерватории Бельгии. Совместно с Эриком Элстом (Eric Elst), открывшим около 4000 астероидов, и Т. Пауэлсом (Thierry Pauwels) он принимал участие в наблюдениях астероидов и комет с использованием 0.85-метрового телескопа Шмидта с CCD-камерой (3072x2048 пикселей) и был сооткрывателем восьми астероидов, получивших номера. В частности, Ипатов участвовал в первых наблюдениях кометы, получившей название C/1999 T3 (LINEAR). Результаты этих наблюдений кометы представлены в Minor Planet Electronic Circ. [287] и IAU Circ. [288].

Информация об астероидах, открытых С.И. Ипатовым, представлена на сайте: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_minor_planet_discoverers#S._I._Ipatov - список 8 малых планет, открытых С.И. Ипатовым совместно с Эриком Элстом или с Т. Пауэлсом (the list of 8 minor planets discovered by S. I. Ipatov). На сайте https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Discoveries_by_Sergei_I._Ipatov приведен список 5 малых планет, открытых С.И. Ипатовым совместно с Эриком Элстом, получивших названия (the list of 5 minor planets discovered by S. I. Ipatov that got names). Эти пять астероидов имеют следующие имена:

41107 Ropakov - Ivan V. Ropakov (1892-1992), grandfather of the second discoverer, was a very brave man and the director of a small butter industry in the village of Pogorelka (Vologodskaya region, Russia). Дед второго первооткрывателя был очень смелым человеком и директором небольшого маслозавода в селе Погорелка (Вологодская область, Россия). https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_lookup.html#/?sstr=41107. https://minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=41107. [Ref: Minor Planet Circ. 64564]. В первоначальном варианте текста о Иване Ропакове были слова о том, что он был героем первой мировой войны. Однако оказалось, что по правилам об именах астероидов нельзя упоминать какие-то военные заслуги. Пришлось в следующей заявке поменять предыдущие слова на был очень смелым человеком. Иван Ропаков был награжден двумя георгиевскими крестами.

43025 Valusha - Russian scientist Valentina I. Ipatova-Artioukhova (b. 1954) specializes in hydrobiology. She conducts biological monitoring of the environment in some regions of Russia, aiming with her work to protect the ecosystems from pollution and contamination. Русский учёный Валентина Ивановна Ипатова-Артюхова (р. 1954) специализируется в области гидробиологии. Она проводит биологический мониторинг окружающей среды в ряде регионов России, ставя своей работой защиту экосистем от загрязнения и засорения. https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_lookup.html#/?sstr=43025. https://minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=43025. [Ref: Minor Planet Circ. 57951]. В.И. Ипатова жена С.И. Ипатова.

49700 Mather - John C. Mather (born 1946), an American cosmologist and senior project scientist for the James Webb Space Telescope. He led the team that constructed the Cosmic Background Explorer (COBE). For his role in mapping microwave radiation and understanding the early Universe he received the 2006 Nobel prize in physics. Джон К. Мазер (родился в 1946 году), американский космолог и старший научный сотрудник проекта космического телескопа Джеймса Уэбба. Он руководил командой, которая построила Cosmic Background Explorer (COBE). За свою роль в изучении микроволнового излучения и понимании ранней Вселенной он получил Нобелевскую премию по физике 2006 года. https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_lookup.html#/?sstr=49700. https://minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=49700. [Ref: Minor Planet Circ. 57952]. У С.И. Ипатова есть несколько совместных статей [27-30, 33, 37] с Джоном Мазером.

150316 Ivaniosifovich - Ivan Iosifovich Ipatov (19272015), father of the second discoverer, Sergei I. Ipatov, was one of the founders of the geodetical network of Russia. Иван Иосифович Ипатов (19272015), отец второго первооткрывателя Сергея Ивановича Ипатова, был одним из основателей геодезической сети России. https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_lookup.html#/?sstr=150316. https://minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=150316. [Ref: WGSBN Bull. 1, #3, 12]. В первоначальной заявке на имя предлагалось Ivanipatov, но оказалось, что Ipatov нельзя использовать, так как уже есть астероид с этим именем. Поэтому в повторной заявке на название астероида поменяли фамилию на отчество. Отца Ивана Ипатова звали Осипом, но в паспорт Ивана отчество вписали как Иосифович. Колхозники, каким был Осип, как правило, паспортов не имели до 1981 года.

337166 Ivanartioukhov - Ivan Semenovich Artioukhov (1908-1995), father of the wife of the second discoverer, was the founder of the society for nature conservation in Russia. Иван Семенович Артюхов (1908-1995), отец жены второго первооткрывателя, был основателем общества охраны природы в России. https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_lookup.html#/?sstr=337166. https://minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=337166. [Ref: Minor Planet Circ. 10031].

В честь С.И. Ипатова назван астероид 14360 Ipatov - Sergej Ivanovich Ipatov (b. 1952) is a Russian scientist and specialist in the migration of minor planets. During his stay in 1999 at the Uccle Observatory, he was shown to be a very fine observer who made several discoveries with the Uccle Schmidt telescope. Сергей Иванович Ипатов (р. 1952) - российский учёный и специалист по миграции малых планет. Во время своего пребывания в 1999 году в обсерватории Уккле он проявил себя как прекрасный наблюдатель, сделавший несколько открытий с помощью телескопа Шмидта в Уккле. https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_lookup.html#/?sstr=14360. https://minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=14360. [Ref: Minor Planet Circ. 55721].

1. Модели для определения вероятности обнаружения в различных областях неба объектов, сближающихся с Землей

Проблема астероидно-кометной опасности актуальна в настоящее время. Эта проблема рассматривается во многих работах. Число объектов, сближающихся с Землей, (ОСЗ) диаметром более 1 км и 40 м оценивается в 1000 и миллион объектов соответственно. Тело размером с Челябинский метеорит (диаметром в 20 м), упавшее на город под большим углом, может привести к значительному ущербу. Для организации наблюдений опасных объектов и противодействия столкновению этих объектов с Землей важно лучше знать, каким областям неба нужно уделять большее внимание при наблюдениях ОСЗ, сравнить эффективность наблюдений проектируемых космических телескопов на различных орбитах, оценить какое происхождение (а значит и какой состав) более вероятно могут иметь ОСЗ, движущиеся по данным орбитам, с какими типичными скоростями и под какими типичными углами ОСЗ сталкиваются с Землей.

В статье [72] и тезисах [107, 457] совместно с Л.В. Елениным Ипатов обсуждал возможности применения результатов компьютерного моделирования миграции малых тел с Солнечной системе к построению модели вероятности появления и обнаружения в различных областях неба ОСЗ, в том числе потенциально опасных объектов (для ряда телескопов). При построении такой модели можно также решить следующие задачи: (1) Оценки роли источников пополнения ОСЗ (астероидов, комет, транснептуновых объектов). (2) Вычисление вероятностей столкновений и векторов столкновений мигрировавших тел с Землей. Вероятности появления и обнаружения ОСЗ, в том числе опасных для жителей Земли, различных размеров на различных участках звездного неба предлагается исследовать не только для наблюдений с Земли, но и из нескольких областей, куда планируется запустить космические аппараты с телескопами для наблюдения ОСЗ.

При построении модели вероятности появления и обнаружения в различных областях неба ОСЗ нужно использовать распределение ОСЗ по элементам их орбит и массам. Учитывая наблюдательную селекцию, на основе популяции известных ОСЗ можно оценить реальное распределение ОСЗ по элементам их орбит. Сравнение наблюдаемых ОСЗ с результатами расчетов миграции различных малых тел позволит лучше понять распределение ОСЗ по элементам орбит для тел малых размеров, а также типичные орбиты ОСЗ, пришедших из различных источников, а значит различного состава и альбедо.

Полезно было бы разработать программы построения карт распределения вероятности обнаружения ОСЗ на небесной сфере на текущую наблюдательную ночь. Эти программы и используемые ими модели яркости звездного неба были бы ориентированы на российские телескопы. Вероятности появления и обнаружения ОСЗ на небесной сфере предлагается вычислять не только для всех ОСЗ, но и отдельно для ОСЗ, имеющих различное происхождение, а также для ОСЗ, проходящих на небольшом расстоянии около Земли и для объектов, которые могут столкнуться с Землей. В [72] обсуждались расчеты вероятности обнаружения небесного тела и яркости звездного неба. При вероятностном выборе элементов орбиты и звездной величины небесного тела сначала с учетом расстояния от наблюдателя до точки орбиты нужно определять положения тела на орбите, при которых оно может наблюдаться в идеальных условиях наблюдения. Затем этот интервал, если он ненулевой, будет уточняться с учетом яркости звездного неба около рассматриваемого тела и возможности телескопа наблюдать данную область неба.

Предлагаемая модель вероятности появления в различных областях неба потенциально опасных для землян объектов позволит наблюдателям лучше понимать, каким областям неба стоит уделять больше внимания при наблюдениях на определенную эпоху. Эта модель может быть применена для более эффективной эксплуатации оптических инструментов поиска и обнаружения ОСЗ (в частности, телескопов ISON-NM и ISON-SSO). Предлагаемые алгоритмы вычисления яркости звездного неба [433, 535] могут быть использованы астрономами при планировании наблюдений различных объектов. Предлагаемые исследования эффективности поиска ОСЗ различными телескопами позволят сравнить эффективность наблюдений проектируемых космических телескопов на различных орбитах и дать рекомендации по созданию и размещению новых, в том числе космических, телескопов, предназначенных для поиска ОСЗ. В 2015-2016 гг. мы подавали заявки на грант РФФИ по данной теме. Эти заявки не были поддержаны, и мы продолжили заниматься другими задачами.

Для организации наблюдений опасных объектов и противодействия столкновению этих объектов с Землей важно оценить какое происхождение (а значит и какой состав) более вероятно могут иметь ОСЗ, движущиеся по данным орбитам, с какими типичными скоростями и под какими типичными углами ОСЗ сталкиваются с Землей. Предлагаемые исследования помогут ответить на эти вопросы. Результаты предлагаемых исследований помогут уточнить массу и состав вещества, доставленного с различных расстояний от Солнца в популяцию ОСЗ, а также к планетам земной группы и Луне. Они будут важны для специалистов, занимающихся проблемой кратерообразования и оценками состава вещества в верхних слоях и на поверхности планет земной группы и Луны. Эти результаты позволят подробно изучить распределение векторов скоростей тел, сталкивающихся с планетами земной группы и Луной.

ЭКЗОПЛАНЕТЫ

1. Спектры экзопланет, похожих на Землю, с различными периодами осевых вращений

Первая экзопланета была обнаружена в 1995 г. В настоящее время открыто уже более 5 тысяч экзопланет. Об экзопданетах можно почитать, например, в монографии [Маров М.Я., Шевченко И.И. Экзопланеты: физика, динамика, космогония. М.: Физматлит, 2022].

Исследования спектров экзопланет, похожих на Землю, с различными периодами осевых вращений проводились Ипатовым совместно с Джеймсом Чо (James Y-K. Cho) в 2007-2008 гг. Полученные результаты сначала были кратко опубликованы в тезисах [384, 385, 435]. В 2014 году Ипатовым была подготовлена и представлена статья в труды семинара Исследования экзопланет (3-4 июня 2014 г., ИКИ РАН, Москва). Однако эти труды не были опубликованы, так как участниками семинара было представлено небольшое число статей. Ниже приводится текст той неопубликованной статьи для трудов семинара. Более подробно результаты исследований по этой теме опубликованы в статье [534] в 2025 г.

Резюме. Различия в спектрах излучения экзопланет, отличающихся от Земли только периодом осевого вращения, сравнимы с различиями, связанными с изменением угла наблюдения планеты. Максимальные отличия в спектрах землеподобных экзопланет получены для длины волны ~5-10 и ~13-16 микрон. Анализируя спектр с длиной волны около 9.4-10 микрон, можно сделать вывод, имеет атмосфера экзопланеты озон или нет.

Модели и методы исследования

В настоящее время найдены земноподобные планеты около других звезд. Считается, что около 1/3 звезд могут находиться планеты, подобные Земле. Чтобы оценить возможность обнаружения признаков жизни на таких планетах мы исследовали спектры планет, подобных Земле, но с различными периодами осевого вращения. Используя модель общей циркуляции атмосферы CCM3 и рассматривая циркуляцию атмосферы в течение 2 лет, с помощью программы SBDART мы вычисляли [384, 385, 435] спектры атмосфер Земли и экзо-Земли, вращающихся с периодами P, равными 1 или 100 дней. Модель общей циркуляции атмосферы CCM3, в частности, учитывает радиацию, конвекцию воды, долю облаков, типы земной поверхности, профили температуры и давления в каждой точке планеты (разрешение 128 значений долготы l_on и 64 значения широты l_at), а также вычисляет спектр у поверхности планеты. Программа SBDART вычисляет радиационный перенос в атмосфере с учетом облаков [Ricchiazzi P., et al. BAMS, 1998, v. 79, 2101-2114]. Эта программа вычисляет спектр для одной точки на поверхности Земли (для пары значений долготы и широты), но она анализирует атмосферу на различной высоте. Используя SBDART, как подпрограмму, мы вычисляли средний спектр для некоторой области на планете. Мы анализировали спектр восходящего излучения на высоте h, равной 1 и 11 км, (ниже в основном обсуждается спектр при h=11 км) при длине волны от 0.3 до 1 микрон и от 1 до 18 микрон для начального состояния, для Земли и экзо-Земли. Начальные условия для Земли и экзо-Земли были одинаковыми. Рассматривались следующие модели:

Модель 1. В этой модели средний поток излучения зависит только от рассматриваемой области, а не от угла, под которым видна эта область. Для одного расчета с SBDART весовой коэффициент пропорционален площади области (размером 2.8^o на 2.8^o на экваторе), соответствующей паре (l_on, l_at) значений долготы и широты. Эта площадь пропорциональна cos(l_at), но не зависит от l_on.

Модель 1a. Для модели 1a мы рассматривали фиксированную широту и все значения долготы (0-360^o).

Модель 1b. Для модели 1b вычислялись средние значения потока излучения для всех пар (l_on, l_at), т.е. рассматривалась вся поверхность планеты.

Модель 1c. Рассматривалась южная полусфера (-90^o©l_at©0, 0©l_on ©360^o).

Модель 2. В этой модели средний поток излучения зависит от значений угла, под которым видны различные части рассматриваемой области, которая составляет половину поверхности планеты. Например, если смотреть с экватора при l_on =l_on0, то весовой коэффициент k для одного расчета SBDART равен abs(cos(l_at)cos(l_at)cos(l_on-l_on0)). В этом произведении один cos(l_at) связан с тем, что область, соответствующая паре (l_on, l_at), меньше для широт, более близких к полюсу, (как для модели 1), а другой множитель cos(l_at) вызван тем, что наблюдатель видит области на разных широтах под различными углами. Если смотреть с полюса, то k=abs(cos(l_at)sin(l_at)).

Карты облаков и температуры

Карты облаков отличались для различных периодов вращения планеты (рис. 1). Для Земли было три больших области облаков (голубой цвет) в направлении меридиана, а для экзо-Земли (с P=100 дней) такая область было только около экватора. Для этой экзопланеты почти не было облаков около Южного полюса, а для Земли и для начального состояния было много облаков около полюсов. Цветные рисунки можно посмотреть в интернете в файле этой книги, а также в статье [534].

В районе экватора карты температуры (рис. 2) мало отличались при P=1 день и P=100 дней. Для экзо-Земли значения температуры T были более однородными, чем для Земли. Например, область T>290^o K для экзо-Земли была меньше, чем для Земли, а область T<230^o K отсутствовала для экзо-Земли. Основное отличие в T-картах было около Южного полюса. На Южном полюсе для экзо-Земли температура была выше, чем для Земли и начального состояния.

Спектры излучения Земли и экзо-Земли

Примеры спектров излучения Земли и экзо-Земли (при P=100 дней) приведены на рис. 3-4. Для рассмотренных периодов осевого вращения в модели 1a поток излучения был максимален на экваторе и убывал к полюсам. Максимальное значение F_max потока обычно достигалось для длины волны -10 микрон. Для Северного полюса максимальные значения потока были близки для Земли, экзо-Земли и начального состояния. Для Южного полюса значения F_max были больше для Земли и экзо-Земли, чем для начального состояния, в 1.3 и 1.7 раза соответственно. Излучения обоих планет значительно отличались для длин волн ~5-10 и ~13-16 микрон, например, около полюсов и при l_at©-43^o and l_at™77^o. Для всех графиков при h=11 км наблюдался локальный минимум при ~14-16 микрон и меньший локальный минимум при ~9.5 микрон.

Для всей поверхности планеты (модель 1b), графики зависимости потока излучения от были очень близки для Земли, экзо-Земли и начального состояния. Значение F_max для всей поверхности южной полусферы (модель 1c) равнялось 15 ватт м^-2 микрон^-1 и было меньше, чем для всей поверхности (16 ватт м^-2 микрон^-1) (модель 1b), на 7% (эти значения в 2 раза меньше, чем на экваторе). Для модели 2 при взгляде на планету с Северного полюса F_max было в 1.2 раза больше, чем с Южного полюса (см. табл. 1). Разница между излучением с северной и южной полусфер могла быть вызвана Антарктидой. Полученные результаты для моделей 1b,c и 2 свидетельствуют в пользу того, что влияние линии взгляда на наблюдаемый поток излучения со всей планеты может быть больше влияния периода вращения. Для южной полусферы при длине волны 14-16 микрон и h=11 км для экзо-Земли поток был в 1.2 раза больше, чем для Земли и начального состояния. Отличия в значениях потока могут быть связаны с особенностями распределения облаков и с тем, что F_max больше для более горячих зон. Для экзо-Земли покрытие облаками было максимально в широкой зоне около экватора и было минимальным около Южного полюса.

Для Земли и экзо-Земли получены следующие общие черты: (1) планеты имеют широкий интервал абсорбции СО₂ около 14 микрон; (2) нет существенных различий для спектров около экватора (однако для некоторых областей, например, около полюсов, могут быть существенные различия в спектрах); (3) если интегрировать спектр по всему диску планеты, то разница в спектре, полученном при наблюдениях Земли/экзо-Земли с различных направлений, значительно снижается по сравнению с наблюдениями отдельных областей планет, но все же заметна разница в интегрированном сигнале спектра для Земли и экзо-Земли (например, эта разница заметна в случае спектра на высоте 11 км, наблюдаемом с Южного полюса, но разница небольшая, если наблюдать весь диск с различных направлений экватора). Наши результаты показывают, что спектральный сигнал не может быть использован для определения скорости вращения экзопланеты, так как угол наблюдения экзопланеты в общем случае заранее не известен. В случае земноподобных экзопланет наибольшие отличия в спектрах наблюдаются при длине волны ~5-10 и ~13-16 микрон.

Анализируя спектр с длиной волны около 9.4-10 микрон, можно сделать вывод, имеет ли атмосфера экзопланеты озон или нет. Локальный минимум при длине волны 9.4-10 микрон отсутствует (рис. 4) на графиках восходящего излучения на высоте 11 км при отсутствии озона, но этот минимум имеется на графиках моделей с озоном. При длинах волн меньших 0.35 микрон (SBDART не рассматривает длины волн меньшие 0.25 микрон) также были получены некоторые отличия для моделей с озоном и без озона. Так как озон важен для жизни, то полоса 9.4-10 микрон может быть важна для будущих наблюдений экзопланет, похожих на Землю.

(a) (b)

Рисунок 1. Карты облаков (a) для модели Земли (P=1 день), (b) для модели экзо-Земли (P=100 дней).

(а) (b)

Рисунок 2. Карты температуры (K) поверхности (a) для модели Земли (P=1 день), (b) для модели экзо-Земли (P=100 дней).

(а)(b)

Рисунок 3. Спектр восходящего потока, осредненный по долготе, при широте, равной -77^o, (модель 1a) (a) для модели Земли (P=1 день) и (b) для модели экзо-Земли (P=100 дней). Верхняя линия соответствует высоте 1 км, а нижняя линия высоте 11 км.

(а)(b)

Рисунок 4. Спектры, видимые с направления на Северный полюс, (а) для экзо-Земли (P=100 дней, модель 1a, спектры почти такие же для Земли (P=1 день) и для начального состояния), (b) для Земли (P=1 день) в случае отсутствия озона. Верхняя линия на графиках соответствует высоте 1 км, а нижняя линия высоте 11 км.

Таблица 1. Максимальный поток излучения (в ватт м^-2 микрон^-1) от полусферы планеты при длине волны 10.0-10.4 микрон на высоте 1 км (на высоте 11 км поток обычно меньше в 1.01-1.02 раза) для нескольких направлений взгляда на планету (модель 2).

1. Эффективность поиска экзопланет методом микролинзирования при использовании различных телескопов

Исследования эффективности поиска экзопланет методом микролинзирования при использовании различных телескопов проводились Ипатовым совместно с Кисом Хорне (Keith Horne) в 2011-2013 гг. Полученные результаты были опубликованы кратко в трудах [103] и в тезисах [417, 423, 430, 436]. В 2014 году Ипатовым была подготовлена и представлена статья в труды семинара Исследования экзопланет (3-4 июня 2014 г., ИКИ РАН, Москва). Однако эти труды не были опубликованы, так как участниками семинара было представлено небольшое число статей. Ниже приводится текст той неопубликованной статьи для трудов семинара. Более подробно результаты исследований по этой теме приведены в статье [535] в 2025 г. Ипатов был также соавтором статей [42-50], посвященных поиску планет методом микролинзирования.

Резюме

Сравниваются эффективности обнаружения экзопланет при наблюдениях событий микролинзирования с помощью различных телескопов и при нескольких подходах к выбору наблюдаемых событий. При построении алгоритма сравнения таких эффективностей мы рассматривали модели яркости неба, удовлетворяющие данным наблюдений OGLE и RoboNet в 2011.

1. Введение

Если луч света от звезды-источника по пути к Земле проходит мимо звезды-линзы, то наблюдаемая яркость звезды-источника может усиливаться (из-за искривления траектории движения света). Это явление называется микролинзированием. Если у звезды-линзы есть планета, то она может вызывать изменение яркости звезды-источника. Метод микролинзирования позволяет находить планеты с массами, близкими к массе Земли, находящиеся на таком расстоянии от звезды, при котором на этих планетах возможна жизнь. Нами проводилось [103] сравнение относительной эффективности обнаружения экзопланет при наблюдениях с помощью метода микролинзирования, проводимых на различных телескопах, для нескольких подходов к выбору наблюдаемых событий микролинзирования. Интервалы времени, при которых можно наблюдать события микролинзирования, определяются на основе положений Солнца и Луны и других ограничений на направление телескопа. Основываясь на подходе, представленном в [Horne K., Snodgrass C., and Tsapras Y. MNRAS, 2009, v. 396, 2087-2102], на каждом шаге времени мы вычисляли сравнительную эффективность обнаружения экзопланеты. На каждом шаге времени выбиралось событие с максимальной вероятностью обнаружения. Мы рассматривали следующие 13 телескопов, пронумерованных от Nt=1 to Nt=13:

1. 2 м FTS - Faulkes Telescope South - Siding Spring Observatory, Австралия.

2. 2 м FTN - Faulkes Telescope North - Haleakela, Гавайи, США.

3. 2 м LT - Liverpool Telescope - La Palma, Канарские острова, Испания.

4. 1.3 м OGLE - The Optical Gravitational Lensing Experiment - Las Campanas, Чили.

5-7. Три 1 м CTIO - Cerro Tololo Inter-American Observatory, Чили.

8. 1 м MDO - McDonald observatory, Техас, США.

9-11. Три 1 м SAAO - South African Astronomical Observatory, Южная Африка.

12-13. Два 1 м SSO - Siding Spring Observatory, Австралия.

2. Модели яркости неба

Частью наших исследований для создания алгоритма оптимального выбора наблюдаемых событий микролинзирования, позволяющего максимизировать эффективность нахождения экзопланет, являлось построение модели яркости звездного неба [433] (основанной на [Krisciunas K., Schaefer B. PASP, 1991, v. 103, 1033-1039]) и seeing (характеристика искажения снимков из-за турбулентности в атмосфере) на основе наблюдений в инфракрасном диапазоне с помощью телескопов OGLE, FTS, FTN и LT в 2011. Для анализа наблюдений использовалась ² оптимизация. Значения seeing для FTN были почти вдвое меньше, чем для трех других рассмотренных телескопов (FTS, LT и OGLE). Полученная яркость неба в зените при инфракрасных наблюдениях равнялась 19.0, 18.7, 19.6 и 18.1 mag arcsec^-2 для FTS, FTN, LT и OGLE соответственно. При одинаковых значениях airmass (airmass=1/cos(угол между направлениями на рассматриваемую точку неба и на зенит)), типичная яркость звездного неба в различных областях неба обычно менялась меньше, чем на 1 зв. величину (mag), если рассматривались снимки, на которых Луна находилась ниже горизонта. Большинство отклонений яркости звездного неба от наилучшей модели для каждого события (наблюдения минус ² оптимизация, которая различна для каждого события) находились в небольшом интервале (от -0.4 до 0.4 зв. величины) даже для всех положений Луны и Солнца; для Луны ниже горизонта было много значений в интервале [-0.2, 0.2], но абсолютные значения некоторых отклонений могли достигать 4 зв. вел., если рассматривались все наблюдения. Влияние высоты Солнца на яркость звездного неба начинало играть роль для высоты Солнца _Sun>-14^o и было значительным при _Sun>-7^o. При рассмотрении FTS наблюдений при Луне ниже горизонта отклонения s_br яркости звездного неба могли достигать -3 зв. величины при -8^o<_Sun<-7^o, s_br>-1 зв. вел. при _Sun<-8^o, и s_br>-0.4 з. вел. при _Sun<-14^o.

3. Наблюдения, увеличивающие эффективность обнаружения экзопланет

Разработанный нами алгоритм показывает, какие события микролинзирования лучше наблюдать в рассматриваемые моменты времени с помощью конкретного телескопа для того, чтобы увеличить эффективность обнаружения экзопланет при наблюдениях. Для оценок сравнительной эффективности обнаружения экзопланет, для наилучших событий (т.е. для событий, выбранных для наблюдений в текущий момент времени) мы рассматривали значение w_sum=g_i[(t+t_done)^1/2-t_done^1/2] (где t=2t_slew для события, наблюдаемого в текущий момент времени, и t=t_slew и t_done=0 для других событий, t_slew -время поворота телескопа от одной цели к другой, t_done прошедшее время экспозиции, коэффициенты g_i обсуждаются в [535] при описании алгоритма и области обнаружения i-го события). Пример работы алгоритма приведен на рис. 1. Цветные рисунки 1-2 можно посмотреть на сайте с этой книгой или в статье [535].

(а) (б)

Рисунок 1. (а) Интервалы времени для событий, выбранных нашим алгоритмом для наблюдений телескопом OGLE. Рассмотренные события микролинзирования: 1110001-111562. (б) Кривые яркости для событий микролинзирования, выбранных для наблюдения с OGLE. Рассмотренные события: 110001-111562.

Для 13 телескопов вычислялись и сравнивались значения r_wsumt=(w_sum/w_sumOGLE)/(t_sum/t_sumOGLE), где t_sum общее время за рассматриваемый интервал времени, в течение которого можно наблюдать, по крайней мере, одно событие (t_sumOGLE значение для OGLE). Полученные результаты показывают (рис. 2)., что для поиска экзопланет методом микролинзирования, основанного на уже известных событиях микролинзирования, сравнительная эффективность r_wsumt обнаружения экзопланет за единицу времени для 2-х метровых телескопов сети RoboNet (телескопы FTS, FTN или LT) больше (обычно в 1.4-2.2 раза), чем для OGLE. Для ПЗС камеры SBIG значения w_sum были меньше в ~1.2 раза, чем для Sinistro. Для 1-м телескопа с ПЗС камерой Sinistro эта эффективность/вероятность часто составляла примерно 0.8 от значения для OGLE, но в ряде расчетов она была больше, чем для OGLE. Приведенные выше оценки сравнения эффективности телескопов для поиска экзопланет приведены для случая, при котором каждый телескоп направлен на то событие микролинзирования, при котором вычисленное значение эффективности обнаружения является максимальным для рассматриваемых событий. Телескопы с более широким полем зрения, такие как OGLE, более эффективны для поиска новых событий микролинзирования. Вероятность обнаружения экзопланеты обычно пропорциональна диаметру зеркала телескопа.

Анализ наших расчетов показывает, что при наблюдениях с помощью нескольких телескопов, расположенных в одной и той же обсерватории, большую часть времени наблюдений лучше наблюдать различные события микролинзирования с помощью различных телескопов, но в моменты времени, соответствующие пику кривой яркости события, часто лучше наблюдать одно и то же событие, используя все телескопы. Для выбора событий среди 1562 событий OGLE (с номерами 110001-111562) и 90-дневным (или более) периодом наблюдений значительная часть (часто больше 50%) вклада в эффективность обнаружения экзопланеты (в w_sum) приходилась на короткие интервалы времени, которые соответствовали пикам кривых яркости. Относительная эффективность телескопа по сравнению с OGLE может отличаться на множитель, вплоть до 3, в зависимости от наличия пиков кривых яркости в рассматриваемый интервал времени. Разработанный нами алгоритм может использоваться для планирования различных наблюдений (а не только для наблюдений событий микролинзирования).

Рисунок 2. Относительная эффективность r_wsumt=(w_sum/w_sumOGLE)/(t_sum/t_sumOGLE) вероятности обнаружения экзопланет (в случае 1562 событий микролинзирования, доступных для наблюдений) в зависимости от номера телескопа в случае, когда 1 м телескопы (с CCD камерой Sinistro), расположенные в одном месте, наблюдают различные события в одно и то же время. Черные или красные кресты и эллипсы приведены для 100-дневного интервала, начинающегося 22 апреля и 1 августа соответственно. Значки для вычислений с реальными значениями t₀ (t₀ момент времени, соответствующий пику кривой яркости) и со случайными значениями t₀ (t₀ = R_NDM•(t_mx+2t_E)-t_E (где t_E время, равное отношению углового радиуса Эйнштейна к соответствующей относительной скорости, R_NDM случайное значение от 0 до 1, t_mx продолжительность рассматриваемого интервала времени, t_o начало интервала) являются большими черными и небольшими красными соответственно. Зеленые крестики приводятся для реальных значений t₀ и 90-дневного интервала, начинающегося 22 апреля 2011 г. Маленькие значки приведены для неприоритетных (не имеющих права наблюдать в конкретный момент времени те же события, что и более приоритетные телескопы из той же обсерватории) телескопов. При рассмотренном случайном выборе t₀ число пиков кривых яркости было больше.

Отношение r₅₀ значения w_sum (характеризующего эффективность обнаружения экзопланеты) в случае наблюдений только событий с максимальным увеличением яркости события A_max>50 (4% всех событий) к значению w_sum в случае возможности наблюдений всех (при любых значениях A_max) 1562 событий может отличаться на порядок величины для различных рассматриваемых интервалов времени. Например, для наблюдений с телескопом OGLE r₅₀ равно 0.07 и 0.99 для 5-дневных интервалов, начинающихся с 22 апреля и с 1 августа 2011 г. соответственно. Для 100-дневных интервалов r₅₀ равно 0.63 и 0.83 соответственно. Для 50<A_max<200 (2% всех событий), аналогичные значения r_50-200 равнялись 0.056, 0.78, 0.09 и 0.50 соответственно. Для 8 рассмотренных телескопов и 100-дневного интервала времени, значения r₅₀ и r_50-200 лежали в пределах 0.58 0.74 и 0.06 0.21 для интервала времени, начинавшегося 22 апреля, и в пределах 0.73 0.88 и 0.29 0.52 для интервала, начинающегося 1 августа 2011 г. Значения w_sum, полученные в нашем алгоритме, близки к значениям, полученным при выборе событий для наблюдений согласно [Dominik et al. Astron. Nachr, 2010, v. 331, No 7, 671-691].

1. Миграция тел и пыли в экзопланетной системе Проксима Центавра

Звезда Проксима-Центавра (Proxima Centauri) это третья звёздная компонента (с) в системе Альфа Центавра (Alpha Centauri). Этот красный карлик имеет массу 0.12 от массы Солнца. У этой звезды обнаружена планета Proxima Centauri b (a_b=0.04857 а.е., e_b=0.11, m_b=1.17 m_E) с массой близкой к массе Земли. При гораздо меньшей светимости звезды (чем Солнца) эта планета находится в зоне обитаемости, имеющей радиальную протяженность от ~0.042 до ~0.082 а.е. Другие планеты, Proxima Centauri с и d, находятся вне этой зоны. Планета с (a_c=1.489 а.е., e_c=0.04, m_c=7m_E) находится за линией льда.

В статьях [60-62], а также в [119-120, 123, 195, 204, 207, 213, 489, 504, 507, 508, 510-511, 517, 522, 530, 531] были приведены результаты расчетов миграции планетезималей из зоны питания экзопланеты с, в том числе к внутренней экзопланете b (a_b=0.04857 а.е., e_b=0.11, m_b=1.17m_E), которая может находиться в зоне обитаемости. Проводились расчеты и для меньшей массы планеты с. При интегрировании использовался симплектический интегратор SWIFT. Для модели МP были проведены две серии расчетов. В первой серии расчетов были приняты следующие начальные значения больших полуосей орбит и масс двух экзопланет: a_b=0.0485 а.е., a_c=1.489 а.е., m_b=1.27m_E и m_c=12m_E. Начальные эксцентриситет e_b и наклонение i_b орбиты экзопланеты b считались равными 0, а для экзопланеты c экцентриситет e_c равнялся 0 или 0.1 и i_c=e_c/2 рад. Во второй серии расчетов, с учетом более поздних наблюдательных данных были приняты значения a_b=0.04857 а.е., e_b=0.11, m_b=1.17m_E, a_c=1.489 а.е., e_c=0.04, m_c=7m_E и i_b=i_c=0. В обеих сериях расчетов плотности экзопланет b и c считались равными плотностям, соответственно, Земли и Урана. В каждом варианте расчетов начальные значения больших полуосей орбит 250 планетезималей находились в диапазоне от a_min до a_min+0.1 а.е., где a_min варьировалось от 0.9 до 2.2 а.е. с шагом, равным 0.1 а.е. Начальные эксцентриситеты e_o орбит планетезималей равнялись 0 или 0.15 для первой и e_o=0.02 или e_o=0.15 для второй серии расчетов, а начальные наклонения их орбит равнялись e_o/2 рад.

Для модели МP планетезимали и экзопланеты считались материальными точками и их столкновения не моделировались. Полученные массивы элементов орбит планетезималей с шагом в 100 лет использовались при вычислении вероятностей их столкновений с экзопланетами. Расчеты вероятностей столкновений проводились по методике, аналогичной использованной в [55], но с учетом соответствующих масс экзопланет и звезды. В случае, когда вероятность столкновения достигала 1 (в расчетах для Солнечной системы таких случаев не наблюдалось), то данная планетезималь больше не учитывалась при вычислении суммарной вероятности столкновений с экзопланетой. Вычислялась также вероятность p_d столкновения планетезимали, мигрировавшей из зоны питания экзопланеты c, с экзопланетой d (a_d=0.02895 а.е., m_d=0.29m_E, e_d=i_d=0), хотя при интегрировании уравнений движения эта экзопланета не рассматривалась. Орбита только одной из нескольких сотен планетезималей пересекала орбиту экзопланеты b, однако такая планетезималь довольно часто сталкивалась с этой экзопланетой. При рассмотрении тысяч планетезималей величина p_b оказалась больше вероятности столкновения с Землей планетезимали из зоны питания планет-гигантов в Солнечной системе.

Во второй серии расчетов MP (с 250 начальными планетезималями в каждом варианте) при e_o=0.02 общее число планетезималей равнялось 4500 и только в 5 из 16 вариантов были получены ненулевые вероятности столкновений планетезималей с экзопланетой b. В двух вариантах было получено p_b=0.004, в то время как среднее значение p_b для одной из 4500 планетезималей равнялось 4.710^-4, но среди них были две планетезимали с p_b=1. Из 16 вариантов второй серии расчетов MP оказалось 4 случая с ненулевым значением p_d. В среднем для одной из 4500 планетезималей вероятность столкновения с экзопланетой d составила p_d=2.710^-4, но среди них была одна планетезималь с p_d=1. При e_o=0.15 только в 3 из 6 вариантов второй серии расчетов MP с 250 начальными планетезималями (при общем числе 1500 планетезималей) были получены ненулевые значения вероятности p_b. Для планеты b среднее значение вероятности для 1500 планетезималей оказалось равным p_b=2.010^-3 и p_b=1 для трех их них, а для планеты d среднее значение p_d=2.010^-3 и также для трех планетезималей p_d=1. В первой серии расчетов MP при i_с=e_с=0 и e_o=0.15 значения вероятности p_с столкновения одной планетезимали, первоначально находившейся в окрестности экзопланеты с, с этой экзопланетой были порядка p_с=0.06-0.1. При i_c=e_c/2=0.05 и e_o=0.15 было получено, что p_с=0.02-0.04. Во второй серии расчетов MP значение p_с было в основном в диапазоне от 0.1 до 0.3, кроме вариантов при a_min=1.4 а.е. и e_o=0.02, в которых было p_с=0.4-0.8. Спустя 20 млн лет рост p_c был обычно небольшим, так как к этому времени на эллиптических орбитах оставалось немного планетезималей.

Расчеты для основной модели С, в которой планетезимали, столкнувшиеся с планетой, исключались из дальнейшего интегрирования, проводились для исходных данных, аналогичных данным для второй серии расчетов MP. В этих расчетах a_min варьировалось от 0.9 до 2.2 а.е., а остальные начальные данные были такие же, как и для второй серии расчетов MP. Проводились также расчеты для модели, в которой масса планеты с была в 10 раз меньше современной массы этой планеты. Для обеих моделей (С и МР) из интегрирования исключались также тела, которые столкнулись со звездой или достигли границы сферы Хилла звезды (1200 а.е.). Рассмотренный интервал времени обычно равнялся нескольким сотням миллионов лет для модели C и был не менее 50 млн лет для модели MP.

Для модели C вероятность p_b столкновения планетезимали из зоны питания планеты с с планетой b была примерно в два раза меньше, а значения p_с были наоборот в среднем почти в 2 раза больше, чем для модели MP. Вероятность p_b для модели С оценивалась равной 2.010^-4 при e_o=0.02 и 10^-3 при e_o=0.15. Общая масса планетезималей, доставленных из зоны питания планеты с к планете b, равна m_c-b=p_b•m_fzc, а масса воды в этих планетезималях m_ice=p_b•k_ice•m_fzc, соответственно, где m_fzc общая масса планетезималей за линией льда, попавших в зону питания экзопланеты Проксима Центавра с, k_ice доля воды в планетезималях. Пример эволюции орбиты планетезимали, столкнувшейся с планетой b, приведен на рис. 1.

Рисунок 1. График изменения со временем (в млн лет) перигелийного расстояния (q) орбиты планетезимали, первоначально находившейся около орбиты планеты Proxima Centauri c, до ее столкновения с планетой Proxima Centauri b.

Рисунок 2. Вероятность p_c столкновения планетезимали с планетой Проксима Центавра c при a=a_min+0.05+a_ts, где a_ts равно 0, -0.03, -0.02, -0.01 и 0.01 а.е. при шаге интегрирования t_s, равном соответственно 1, 0.1, 0.2, 0.5 и 2 земных суток соответственно. Значения вероятностей приводятся за весь рассмотренный интервал времени, а также за 0.1, 1, 10 и 100 млн лет. Начальные эксцентриситеты e_o орбит планетезималей равнялись 0.02 на рис. (а) и равнялись 0.15 на рис. (b).

При e_o=0.02 конечные значения p_c вероятности столкновений планетезималей с планетой с были максимальными (около 0.55) при a_min=1.3 а.е. и a_min=1.6 а.е. и превышали 0.4 при 1.2©a_min©1.6 а.е. (рис. 2). При e_o=0.15 конечные значения p_c обычно были меньше, чем при e_o=0.02, и достигали максимума (около 0.37) при a_min=1.3 а.е. и превышали 0.25 при 1.2©a_min©1.8 а.е. Отношение p_cej=p_c/p_ej вероятности столкновения планетезимали с планетой с к вероятности p_ej выброса планетезимали на гиперболическую орбиту при e_o=0.02 и e_o=0.15 было соответственно в диапазонах 0.8-1.3 и 0.4-0.6 при расчетах при 1.2<a_o<1.8 а.е. и современной массе планеты c (рис. 3). Это отношение было в интервалах 1.3-1.5 и 0.5-0.6 при массе планеты с, меньшей ее современной массы в два раза.

Рисунок 3. График отношения вероятности столкновения планетезимали с планетами к вероятности ее выброса на гиперболическую орбиту в зависимости от начального значения a_o большой полуоси ее орбиты в окрестности орбиты планеты Proxima Centauri c за все время расчетов (обычно через 1 млрд лет), а также за 10 и 100 млн лет.

Cуммарная масса планетезималей, выброшенных на гиперболические орбиты, превышала массу планетезималей, вошедших в планеты. На основании полученных значений p_ej из закона сохранения энергии можно оценить, что большая полуось орбиты планеты с в ходе ее аккумуляции могла уменьшиться не менее, чем в полтора раза. Общая масса планетезималей, выброшенных на гиперболические орбиты планетой c, могла быть около (3.5-7)m_E. Учитывая массу планеты c (равную 7m_E), получаем, что масса m_fzc планетезималей в зоне питания планеты c могла быть не меньше 10m_E и 15m_E при e_o=0.02 и e_o=0.15 соответственно.

При расчетах было получено, что планетезимали могли столкнуться с планетой b уже при массе зародыша планеты c в десять раз меньшей современной массы планеты c. При m_fzc=10m_E и p_b=2"10^-4 получаем минимальную оценку m_c-b=2"10^-3m_E (соответствующую e_o=0.02) суммарной массы планетезималей, доставленных к планете b из зоны питания планеты c. Для e_o=0.15, m_fzc=15m_E и p_b=10^-3 эта оценка равняется m_c-b=1.5"10^-2m_E. Большие значения e_o соответствуют росту эксцентриситетов орбит планетезималей вследствие их взаимного гравитационного влияния. При больших массах планетезималей рост эксцентриситетов орбит планетезималей мог быть больше. Оценки m_c-b, сделанные выше при современной массе планеты b, могли быть меньше, если при рассматриваемой бомбардировке масса планеты b была меньше ее современной массы. Однако можно предположить, что планета b сформировалась быстрее, чем планета c, так как планета b гораздо ближе к звезде, чем планета c. Количество вещества, доставленного к планете d могло быть немного меньше, чем к планете b. Вероятность столкновения планетезимали с планетой b, усредненная по всем рассматриваемым планетезималям, составила ~10^-410^-3. Суммарная масса планетезималей из зоны питания планеты с, доставленных к планете b, оценивалась равной 0.002m_E и 0.015m_E при начальных эксцентриситетах орбит планетезималей, равных e_o=0.15 и e_o=0.02 соответственно. Нами получено, что значения вероятности столкновения с Землей планетезимали из зоны питания планет-гигантов порядка 10^-6-10^-5, то есть существенно меньше значений p_b и p_d. Поэтому приток ледяных планетезималей к экзопланетам Проксима Центавра b и d мог быть больше аналогичного притока к Земле. Некоторая часть материала планетезимали, столкнувшейся с экзопланетой, была выброшена с экзопланеты. Обобщая данные ряда публикаций, можно предположить, что доля воды в планетезималях в зоне питания планеты Проксима Центавра с могла составлять от 10 до 50%. Масса воды, доставленной к экзопланете Проксима Центавра b, могла превышать массу земных океанов.

В [60] приведены оценки размеров зоны питания планеты Проксима-Центавра с при начальных эксцентриситетах орбит планетезималей, равных 0.02 или 0.15. Исследования основаны на результатах моделирования эволюции орбит планетезималей под влиянием звезды и планет Проксима-Центавра с и b. Рассматриваемый интервал времени достигал миллиарда лет. Если рассматривать начальные значения произведения a"e, характеризующего изменения расстояния от звезды во время движения планеты Проксима-Центавра с и планетезимали (с начальным эксцентриситетом e_o), (например, e_ca_c и e_o"a_min002) то имеем a_c-a_min002=0.04a_c+0.02a_min002+2.54a_c"^1/3, a_max002-a_c=0.04a_c+0.02a_max002+2.40a_c"^1/3, a_c-a_min015=0.04a_c+0.15a_min015+2.23a_c"^1/3, и a_max015-a_c=0.04a_c+0.15a_max015+4.3a_c"^1/3, где a_c и e_c=0.04- большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты с, отношение массы планеты с к массе звезды, a_min002, a_max002, a_min015 и a_max015 минимальные и максимальные начальные значения больших полуосей рассмотренных орбит планетезималей для зоны питания планеты с при начальных эксцентриситетах орбит планетезималей, равных 0.02 и 0.15 соответственно. Коэффициенты перед a_c"^1/3 в трех вышеприведенных формулах составляют примерно 2.22.5, т.е. близки к коэффициентам в =(2.12.45)^1/3 для круговых начальных орбит.

После аккумуляции планеты Проксима-Центавра с некоторые планетезимали могли продолжать двигаться по устойчивым эллиптическим орбитам внутри ее зоны питания, в основном очищенной от планетезималей (рис. 4). Обычно такие планетезимали могут двигаться в некоторых резонансах с планетой c, например, в резонансах 1:1 (как троянцы Юпитера), 5:4 и 3:4, и обычно имеют небольшие эксцентриситеты (рис. 5). Некоторые планетезимали, двигавшиеся долгое время (1-2 млн лет) по хаотическим орбитам, попадали в резонансы 5:2 и 3:10 с планетой с и двигались в них минимум десятки миллионов лет.

Рассматривалось движение планетезималей, первоначально находившихся в зоне питания планеты Проксима Центавра с, на расстояниях от звезды от 500 а.е. до радиуса сферы Хилла звезды, равного 1200 а.е. [62]. В рассмотренной безгазовой модели основной выброс планетезималей из большей части зоны питания почти сформировавшейся планеты с на орбиты с апоцентричными расстояниями a(1+e), большими 500 а.е., происходил в течение первых 10 млн лет. Только для планетезималей, первоначально находившихся на краях зоны питания планеты, доля планетезималей, достигших 500 а.е. за время большее 10 млн лет, была больше половины. Отдельные планетезимали могли достигать внешней части сферы Хилла звезды и через сотни миллионов лет. Около 90% планетезималей, достигших 500 а.е. от звезды Проксима Центавра, достигли 1200 а.е. от звезды менее, чем за 1 млн лет, при современной массе планеты с. При этом не более 2% планетезималей, имевших апоцентричные расстояния орбит между 500 и 1200 а.е., двигались по таким орбитам в течение более 10 млн лет (но менее нескольких десятков миллионов лет). При массе планеты, равной половине массы планеты с, доля планетезималей, увеличивших апоцентричные расстояния своих орбит с 500 до 1200 а.е. менее, чем за 1 млн лет, была около 70-80%. При современной массе планеты с среди планетезималей, достигших 500 а.е. от звезды, доля планетезималей с эксцентриситетами орбит, большими 1, равнялась 0.05 и 0.1 при начальных эксцентриситетах их орбит e_o=0.02 и e_o=0.15 соответственно. Среди планетезималей, достигших 1200 а.е. от звезды, эта доля была около 0.3 при обоих значениях e_o. Минимальные значения эксцентриситета орбит планетезималей, достигших 500 и 1200 а.е. от звезды, равнялись 0.992 и 0.995 соответственно.

Рисунок 4. Графики распределения планетезималей по большим полуосям (в а.е.) и эксцентриситетам их орбит через 1 млрд лет при начальном эксцентриситете орбит планетезималей, равным 0.02 (а) и 0.15 (б), а также распределения планетезималей по большим полуосям и наклонениям (в градусах) их орбит при e_o=0.02 (в) и e_o=0.02 (г). Крестики соответствуют различным оставшимся планетезималям. Начальные значения больших полуосей орбит планетезималей варьировались от 0.9 до 2.3 а.е. и находились в зоне питания планеты Proxima Centauri c. Хотя зона питания этой планеты в основном очищалась от планетезималей, отдельные тела продолжали двигаться в ней по резонансным орбитам и через 1 млрд лет.

Рисунок 5. Изменения большой полуоси a, перигелийного и афелийного расстояний q и Q орбиты планетезимали со временем (в млн лет) при a_o=1.50041 а.е. и e_o=0.15. Планетезималь двигалась в резонансе 1:1 с планетой Проксима Центавра с.

В рассмотренной модели во внешней части сферы Хилла звезды диск планетезималей был довольно плоским. Наклонения i орбит более 80% планетезималей, достигших 500 или 1200 а.е. от звезды, не превышали 10^о. При современной массе планеты с в среднем по всем вариантам расчетов доля таких планетезималей с i>20^o не превышала 1%. Полученные результаты могут быть интересны для понимания движения тел в некоторых других экзопланетных системах, особенно в системах с одной доминирующей планетой. Они могут быть использованы для задания исходных данных для моделей эволюции диска тел во внешней части сферы Хилла звезды Проксима Центавра, которые учитывают гравитационные взаимодействия и столкновения тел между собой, а также влияние других звезд. Сильно наклоненные орбиты тел во внешней части сферы Хилла звезды Проксима Центавра могут быть получены только в основном за счет тел, пришедших в сферу Хилла извне. Радиус сферы Хилла звезды Проксима Центавра на порядок меньше радиуса внешней границы облака Хиллса в Солнечной системе и на два порядка меньше радиуса сферы Хилла Солнца. Облаком Хиллса называют внутреннюю (уплощенную) часть облака Оорта (от 10005000 до 20000 а.е.). Поэтому трудно ожидать существования у звезды Проксима Центавра столь же массивного аналога облака Оорта, как у Солнца.

В [119, 520] рассматривалась миграция пылевых частиц, начальные орбиты которых были близки к орбите планеты Проксима Центавра с. Начальные эксцентриситеты орбит частиц e_o равнялись 0.02 или 0.15. При интегрировании использовался метод Булирша-Штера (Bulirsh-Stoer) из пакета SWIFT. Относительная ошибка на шаге интегрирования не превышала 10^-8. Миграция пыли изучалась аналогично расчетам [30] для Солнечной системы. Учитывалось гравитационное влияние звезды и планет b и c, эффект Пойтинга-Робертсона (the Poynting-Robertson drag), радиационное давление (radiation pressure) и давление звездного ветра (star wind drag). Отношение давления звездного ветра к давлению из-за эффекта Пойтинга-Робертсона, как и для Солнечной системы, считалось равным 0.35. В разных вариантах отношение силы радиационного давления к силе гравитации варьировалось от 0.0002 до 1. Для силикатных частиц Солнечной системы такие значения соответствуют диаметрам частиц d от 2000 до 0.4 микрон; причем d пропорционально 1/. В Солнечной системе силикатные частицы с 0.001©©0.1 соответствуют диаметрам от 4 до 400 микрон. При таких значениях пылевые частицы эффективно доставляют вещество (в том числе летучие) на планету b. Если в системе Проксима Центавра радиационное давление меньше, чем в Солнечной системе (масса этой звезды на порядок меньше массы Солнца), то для одинаковых размеров частиц значение будет меньше, то есть одинаковым будут соответствовать большие частицы в системе Проксима Центавра. В Солнечной системе для силикатных частиц плотности 2.5 г/см³ значения , равные 0.001, 0.01 и 0.1, соответствовали диаметрам частиц, равным 500, 50 и 5 микрон соответственно. При плотности 1 г/см³ для тех же значений диаметры в 2.5 раза больше.

Вероятности столкновений частиц с планетой b при e_o=0.02 составляли около 0.15-0.2, 0.1, 0.06-0.08 и 0.016-0.03 при 0.001©©0.004, =0.01, =0.02 и 0.04©©0.1 соответственно. Для e_o=0.15 вероятности столкновений частиц с планетой b составляли около 0.07-0.15, 0.04 и 0.01-0.03 при 0.001©©0.01, =0.02 и 0.04©©0.1 соответственно. Для e_o=0.02 вероятности столкновений частиц с планетой c были около 0.016-0.05, 0.02 и 0.01-0.02 при 0.001©©0.004, =0.01 и 0.02©©0.1 соответственно. Для e_o=0.15 вероятности столкновений частиц с планетой c не превышали 0.03 для всех рассмотренных вариантов. Хотя начальные орбиты пылевых частиц были близки в орбите планеты c и масса планеты c больше, чем масса планеты b, при 0.001©©0.1 (в Солнечной системе при диаметрах частиц порядка 10-100 микрон) больше частиц сталкивались с внутренней планетой b, чем с планетой с.

При ™0.4 большинство частиц выбрасывались на гиперболические орбиты. При 0.004©©0.2 большинство частиц столкнулись со звездой, причем вероятность столкновения была максимальна при =0.04. Времена эволюции рассматриваемых пылевых дисков были в основном меньше при большем (при меньшем диаметре частиц). Они составляли 300 лет при =1 и несколько миллионов лет при 0.004©©0.04. Вероятность выпадения пылинки из окрестности орбиты планеты Проксима Центавра c на планету b при 0.001©©0.01 была в основном около 0.1-0.2, что значительно больше аналогичной вероятности для планетезимали (~10^-4-10^-3). На внутренние экзопланеты Проксима Центавра b и d (с большими полуосями орбит, равными 0.05 и 0.03 а.е.) могло быть доставлено много ледяного материала и летучих веществ.

1. Миграция тел в экзопланетной системе ТРАППИСТ-1

Перемешивание тел-планетезималей в экзопланетной системе ТРАППИСТ-1 (TRAPPIST-1) иcследовалось в [123, 205, 212, 214, 498, 508, 511, 517, 521, 530, 531] на поздней безгазовой стадии формирования почти сформировавшихся планет. По этой теме планируется опубликовать более подробную журнальную статью. Экзопланетная система TRAPPIST-1 состоит из звезды с массой, равной 0.0898 массы Солнца, и 7 планет (от b до h) с массами от 0.33 до 1.37 массы Земли. Большие полуоси орбит планет находятся в диапазоне от 0.012 до 0.062 а.е. Большие полуоси и эксцентриситеты орбит и массы планет представлены в табл. 1. Считается, что на планетах e, f и g может быть жидкая вода.

Исследовалась поздняя безгазовая стадия образования почти сформировавшихся планет системы TRAPPIST-1. Рассмотренная модель перемешивания тел в зоне планет TRAPPIST-1 также может характеризовать миграцию тел, выброшенных с некоторых планет после столкновений этих планет с некоторыми планетезималями или другими телами. Движение планетезималей под гравитационным воздействием звезды и семи планет TRAPPIST-1 (от b до h) рассчитывалось с использованием симплектического интегратора RMVS3 из пакета SWIFT аналогично модели С для системы Проксима-Центавра. Планетезимали, столкнувшиеся с планетами или звездой или выброшенные на гиперболические орбиты (достигшие 50 а.е. от звезды), исключались из интегрирования. В каждом варианте расчетов начальные значения больших полуосей орбит N_p0=250 или N_p0=1000 планетезималей варьировались от a_min до a_max около большой полуоси орбиты одной из планет, начальные эксцентриситеты их орбит равнялись e_o=0.02 или e_o=0.15, а их начальные наклонения равнялись e_o/2 рад. Значения a_min и a_max представлены в табл. 1. Рассматриваемый диск планетезималей располагался вблизи орбиты одной из рассматриваемых планет. Также проводились расчеты при a_min=0.07 а.е. В этих расчетах для внешнего диска a_max=0.1 а.е. при N_p0=250 и a_max=0.09 а.е. при N_p0=1000. Расчеты с шагом, равным 0.01, 0.02 и 0.1 земных суток, дали близкие результаты.

Таблица 1. Элементы орбит, массы m (в массах Земли m_E) экзопланет системы TRAPPIST-1 и значения a_min и a_max для рассматриваемых дисков вблизи планет b, c, d, e, f, g и h.

Таблица 2. Число столкновений планетезималей с планетами (от b до h) в системе TRAPPIST-1 для различных дисков (от b до h). Начальные эксцентриситеты орбит планетезималей равнялись e_o. В каждом начальном диске было по 250 планетезималей. Варианты с шагом интегрирования t_s=0.01 земных суток отмечены жирными буквами в левой колонке (нижняя строка из двух соседних строк), для других вариантов t_s=0.1 земных суток.

В проведенных расчетах (см. табл. 2 и 3) на гиперболические орбиты было выброшено не более 3.2% планетезималей. Не было выброса планетезималей на гиперболические орбиты для дисков b, а для дисков с - d доля выброшенных планетезималей не превышала 0.01. Столкновений планетезималей с родительской звездой в рассмотренных вариантах расчетов не было. Более половины планетезималей из дисков, первоначально располагавшихся вблизи орбит планет от b до g, столкнулись с планетами менее чем за 1000 лет, а из дисков b - d даже за 250 лет. Количество столкновений планетезималей с планетами c - h за весь рассмотренный интервал времени было больше, чем за 100 тыс. лет, не более, чем на 4%. Планетезимали с динамическим временем жизни более 100 тыс. лет обычно выбрасывались на гиперболические орбиты или сталкивались с планетой h. Времена эволюции дисков планетезималей около планет b - h варьировались от 11 тыс. лет до более чем 60 млн лет при N_p0=250 и от 33 тыс. лет до более 48 млн лет (в трех дисках h оставалось по одному телу) при N_p0=1000.

Доля планетезималей, столкнувшихся с планетой-хозяином, составляла 0.360.8 при e_o=0.02 и 0.220.75 при e_o=0.15. Эта доля (по сравнению со столкновениями со всеми планетами), как правило, уменьшалась с увеличением рассматриваемого интервала времени. В каждом варианте расчетов была хотя бы одна планета, для которой количество столкновений планетезималей превышало 25% от числа столкновений планетезималей с планетой-хозяином. Доля столкновений планетезималей с планетой-хозяином обычно была меньше для дисков, расположенных дальше от звезды. Для исходного диска вблизи орбиты планеты h (с массой m_h=0.33m_E, где m_E масса Земли) число столкновений планетезималей с планетой g (с массой m_g=1.32m_E) было примерно таким же, как с планетой h.

Таблица 3. Число столкновений планетезималей с планетами (от b до h) в системе TRAPPIST-1 для различных дисков (от b до h). Начальные эксцентриситеты орбит планетезималей равнялись e_o. В каждом начальном диске было по 1000 планетезималей. Варианты с шагом интегрирования t_s=0.01 земных суток отмечены жирными буквами в левой колонке (нижняя строка из двух соседних строк), для других вариантов t_s=0.02 земных суток. N₁ число тел, оставшихся на эллиптических орбитах после 1000 лет. Эволюция диска заканчивалась через Т млн лет.

Планетезимали, мигрировавшие с расстояний больших 0.7 а.е., могли столкнуться со всеми планетами, но большинство их столкновений (>70%) было с планетами g и h, и доля столкновений была больше для планет, более удаленных от звезды. Планетезимали могли столкнуться со всеми планетами для дисков d - h и по крайней мере с планетами b - e для дисков b - c. Поэтому внешние слои соседних планет в системе TRAPPIST-1 могут включать аналогичный материал, если вблизи их орбит на поздних стадиях аккумуляции планет было много планетезималей. Аналогичное перемешивание планетезималей было получено мною при моделировании аккумуляции планет земной группы (см. [15] и раздел 5 данной книги).

1. Миграция тел в экзопланетной системе Глизе 581

Первоначально считалось, что внесолнечная система Глизе 581 включает в себя звезду с массой, равной 0.307 массы Солнца, и пять планет (e, b, c, g, d, в порядке удаления от звезды). Сейчас предполагается, что существуют только три планеты (e, b, c), близкие к звезде. Не подтвержденная планета Глизе 581g (с массой около двух масс Земли) находилась бы в зоне обитаемости своей звезды. Для этой планетной системы расчеты проводились Ипатовым [209, 212, 511, 530, 531] (по этой теме планируется опубликовать более подробную журнальную статью) для двух моделей: (1) для пяти планет, включая не подтвержденные планеты (при круговых начальных орбитах планет) и (2) с тремя подтвержденными планетами (с известными эксцентриситетами орбит). В каждом варианте расчетов начальные значения больших полуосей орбит N_о=250 или N_о=1000 тел-планетезималей варьировались от a_min до a_max около большой полуоси орбиты одной из планет, начальные эксцентриситеты их орбит равнялись e_o=0.02 или e_o=0.15, а их начальные наклонения равнялись e_o/2 рад. Значения a_min и a_max и большие полуоси и эксцентриситеты орбит и массы планет представлены в Табл. 1. В моих расчетах с пятью планетами эксцентриситеты и наклонения орбит планет считались равными 0. Рассматриваемый диск планетезималей располагался вблизи орбиты одной из рассматриваемых планет. Рассматривался также внешний диск h, для которого a_min=0.25 а.е. и a_max=0.3 а.е. Движение планетезималей под гравитационным влиянием звезды и планет моделировалось с использованием симплектического интегратора RMVS3 из пакета SWIFT. Планетезимали, столкнувшиеся с планетами или звездой или выброшенные на гиперболические орбиты (достигшие 50 а.е. от звезды), исключались из интегрирования.

Таблица 1. Элементы орбит и массы m (в массах Земли m_E) экзопланет системы Глизе 581 и значения a_min и a_max для рассматриваемых дисков вблизи планет e, b, c, g и d. Слева приводятся начальные данные для вариантов расчетов с пятью планетами, справа с тремя планетами.

Сначала ниже я обсуждаю результаты расчетов, которые похожи для расчетов с 3 и 5 планетами. В таких расчетах не было столкновений планетезималей со звездой. Доля p_ej планетезималей, выброшенных на гиперболические орбиты, была больше для дисков, расположенных дальше от звезды. Для планетезималей из зон питания планет, расположенных близко к звезде, большинство столкновений планетезималей с планетами пришлось на первую тысячу лет. Однако несколько планетезималей могли оставаться на эллиптических орбитах в течение миллионов и десятков миллионов лет. Некоторые планетезимали, первоначально расположенные вблизи орбиты одной из планет, могли также выпасть на большинство других планет.

Некоторые расчеты для системы Glisse 581 с N_о=250 для 5 планет и 10 млн лет обсуждались в [209]. Позже такие расчеты были сделаны для больших интервалов времени. Для расчетов с 5 планетами около 20-60% и менее 10% планетезималей все еще двигались по эллиптическим орбитам через несколько сотен миллионов лет при e_o=0.02 и e_o=0.15 соответственно.

Ниже в трех абзацах обсуждаются результаты эволюции дисков за первые 10 млн лет. В табл. 2 приведено число столкновений N_e, N_b, N_c, N_g и N_d планетезималей с планетами e, b, c, g и d в течение 10 млн лет. Доля p_ej выброшенных планетезималей была больше для дисков, расположенных дальше от звезды. Для дисков, соответствующих планетам, доля p_ej не превышала 0.05 и 0.15 при e_o, равном 0.02 и 0.15 соответственно. Для диска h доля p_ej составляла около 0.01 и 0.27-0.4 при e_o=0.02 и e_o=0.15 соответственно. При e_o=0.15 доля оставшихся после 10 млн лет планетезималей не превышала 0.03 для дисков e, b, c и g и 0.1 для диска d. При e_o=0.02 эта доля не превышала 0.24 для диска e, 0.46 для дисков b и d, и 0.64 для дисков c и g.

При e_o=0.02 доля начальных планетезималей, столкнувшихся с планетой-хозяином, составляла около 0.4-0.46 для дисков e, b и d, около 0.3 для диска c, 0.18 для диска g (табл. 2). При e_o=0.15 такая доля составила 0.5, 0.8, 0.4, 0.2 и 0.5 для дисков e, b, c, g и d соответственно. Доля планетезималей, столкнувшихся с одной из соседних планет (близких к планете-хозяину) для дисков e, b, c, g и d, составила 0.26, 0.06, 0.04, 0.09 и 0.04 при e_o=0.02. Она составила 0.5, 0.12, 0.4, 0.35 и 0.15 при e_o=0.15.

Некоторые планетезимали, первоначально находившиеся рядом с одной из планет, могли также выпадать и на другие планеты. Наибольшее отношение K_a числа планетезималей, выпавших на другую планету, к числу планетезималей, выпавших на планету-хозяина исходного диска при e_o=0.02, наблюдалось для планеты e, которая находится ближе всего к звезде. Для диска e отношение N_b/N_e составляло около 0.55-0.75 и 0.98-1.2 при e_o=0.02 и e_o=0.15 соответственно. При e_o=0.02 отношение K_a для диска g равнялось 0.5 и было меньше 0.15 для дисков b, c и d. При e_o=0.15 для диска g значение N_g было даже примерно в два раза меньше, чем N_d. При e_o=0.15 отношение K_a для диска b было меньше 0.21, но для диска c оно составляло около 0.8-0.9. При e_o=0.15 для диска d отношение N_c/N_d составляло примерно 0.3, хотя планеты c и d находились не близко друг к другу. Планетезимали из диска h выпадали на четыре планеты при e_o=0.15, но не сталкивались ни с одной планетой при e_o=0.02.

Для дисков, близких к звезде, большинство столкновений планетезималей с планетами происходило за первую тысячу лет. При e_o=0.02 отношение k₁ общего числа столкновений планетезималей с планетами за первую тысячу лет к числу столкновений за 10 млн лет было между 0.6 и 0.67 для дисков e, b и c; оно было равно 0.3 для диска g и находилось между 0.23 и 0.49 для диска d. Последний диапазон отмечался при различных значениях t_s шага интегрирования. Для всех остальных дисков такой диапазон значений k₁ был узким для разных рассмотренных t_s. При e_o=0.15 отношение k₁ составило соответственно 0.85, 0.8, 0.45, 0.130.15 и 0.060.08 для дисков e, b, c, g, d и h.

Отметим, что для диска g при e_o=0.15 доли планетезималей, столкнувшихся с планетами c и d (с каждой), были больше, чем доля планетезималей, столкнувшихся с планетой-хозяином g. В расчетах с пятью планетами около 5% планетезималей из окрестности орбиты внешней планеты d (с массой в 7 масс Земли) выпадали на планету g. Поэтому к такой планете g мог бы быть приток тел, содержащих воду.

Для вариантов, представленных в табл. 2 при Т=10 млн лет, расчеты проводились и для интервалов времени, больших 10 млн лет. При шаге интегрирования t_s, равном 0.01 земных суток, они составляли несколько десятков млн лет (обычно немного менее 100 млн лет), а при t_s, равном 0.04 земных суток, - несколько сотен миллионов лет. Расчеты были приостановлены, так как число оставшихся планетезималей в вариантах не менялось в течение длительного интервала времени. По сравнению с данными табл. 2 при больших интервалах времени в итоговой таблице значения числа столкновений планетезималей с планетами отличались максимум на несколько единиц, а значения, меньшие 40, не менялись. Изменения числа оставшихся планетезималей не превышали 10% при e_o=0.02, а при e_o=0.15 число оставшихся планетезималей обычно отличалось только на единицу по сравнению с данными в табл. 2. Только для диска h и e_o=0.15 число оставшихся планетезималей при большом интервале времени было меньше значений в табл. 2 примерно на 30 из-за выброса планетезималей на гиперболические орбиты.

При e_o=0.15 и рассмотрении дисков планетезималей около планет, оставшиеся планетезимали двигались по устойчивым орбитам в резонансах с планетами. При эволюции диска е при расчетах с шагом t_s, равном 0.01 и 0.04 земных суток, через время соответственно около 80 и 300 млн лет в обоих вариантах остались по 7 одинаковых (для обоих вариантов) начальных планетезималей на одинаковых орбитах. Три планетезимали двигались в резонансе 4:3 с движением планеты е внутри ее орбиты. Другие три планетезимали двигались в резонансе 5:4 и одна планетезималь в резонансе 1:1 с движением планеты е. Через время эволюции диска b около 100 и 350 млн лет при расчетах соответственно с t_s, равном 0.01 и 0.04 земных суток, в обоих вариантах остались 2 одинаковых начальных планетезимали, двигавшихся по одинаковым орбитам за орбитой планеты b в резонансе 4:5 с этой планетой. После около 100 и 360 млн лет эволюции диска с при расчетах соответственно с t_s, равном 0.01 и 0.04 земных суток, в обоих вариантах остались 3 одинаковых начальных планетезимали, двигавшиеся по одинаковым орбитам в резонансе 1:1 с планетой с. После около 100 и 330 млн лет эволюции диска g при расчетах соответственно с t_s, равном 0.01 и 0.04 земных суток, в обоих вариантах остались 3 одинаковых начальных планетезимали, двигавшиеся по одинаковым орбитам в резонансе 1:1 с планетой g, а также одна планетезималь, двигавшаяся за орбитой планеты g в резонансе 4:5 с этой планетой. При эволюции диска d при расчетах с t_s, равном 0.01 и 0.04 земных суток, через время соответственно около 50 и 200 млн лет в обоих вариантах остались 16 одинаковых (для обоих вариантов) начальных планетезималей, двигавшихся в резонансе 1:1 с движением планеты d. Во внешнем резонансе 5:6 с планетой d двигались 7 планетезималей при t_s=0.01 земных суток и 4 планетезимали при t_s=0.04 земных суток.

При эволюции диска h после 20 и 150 млн лет осталось 63 и 32 планетезималей при расчетах с t_s, равном соответственно 0.01 и 0.04 земных суток. Не все из них двигались по резонансным орбитам. Во внешнем резонансе 4:5 с планетой h двигались 13 планетезималей при расчетах с обоими значениями t_s, а во внешнем резонансе 3:4 с планетой h двигались 12 планетезималей при расчетах с t_s, равном 0.01 земных суток, и 11 планетезималей при t_s=0.04 земных суток. Число планетезималей, двигавшихся в резонансе 5:8, было больше (6 вместо 2) при расчете с меньшим значением t_s. Разница в этих расчетах связана с разным рассмотренным интервалом времени. При большем интервале времени было выброшено 104 планетезимали вместо 89.

Таблица 2. Число столкновений N_e, N_b, N_c, N_g и N_d планетезималей с планетами e, b, c, g и d в течение 10 млн лет при шаге интегрирования t_s, равном 0.01, 0.04 или 0.1 земных суток. Начальные эксцентриситеты орбит планетезималей были равны e_o (0.02 или 0.15). Число начальных планетезималей в каждом варианте составляло 250. N_ej - число планетезималей, достигших 50 а.е. от звезды. N_el - число планетезималей, оставшихся на эллиптических орбитах.

При e_o=0.02 анализ орбит оставшихся планетезималей пока не проводился. В этих расчетах также есть случаи резонансов 1:1 с планетами. Оставшиеся планетезимали двигались в основном по орбитам, достаточно удаленным от орбит планет. В этом случае предстаяляет интерес изучение тех начальных зон в диске, из которых планетезимали или столкнулись с планетами или покинули планетную систему, - при каких резонансах с планетами это происходит.

Для расчетов с 3 планетами при N_о=1000 доля планетезималей, оставшихся на эллиптических орбитах через 1 млн лет, была намного меньше, чем для расчетов с 5 планетами, в основном из-за эксцентричных орбит планет для расчетов с 3 планетами. Результаты эволюции таких дисков представлены в табл. 3. Для трех планет эволюция всех трех дисков (e, b, c) завершилась менее чем за 1.3 млн лет при e_o=0.15 и не более чем за 1.1 млн лет для дисков e и b при e_o=0.02. В конце эволюции диска с и e_o=0.02, шесть оставшихся планетезималей двигались в резонансе 1:1 с планетой с, а одна планетезималь во внешнем резонансе 4:5 с этой планетой.

В конце эволюции при e_o=0.02 доля начальных планетезималей, столкнувшихся с планетой-хозяином, составила около 0.44, 0.74 и 0.57 для дисков e, b и c соответственно. При e_o=0.15 она составила 0.4, 0.79 и 0.52 соответственно. При e_o=0.02 доля планетезималей, столкнувшихся с одной из соседних планет (близких к планете-хозяину), для дисков e, b и c составила 0.50, 0.20 и 0.36 соответственно. При e_o=0.15 она составила 0.52, 0.15 и 0.40 соответственно. При рассмотрении миграции планетезималей с расстояний, больших a_max для диска c, отношение столкновений планетезималей с планетами c и b составило 2 и 2.9 при e_o=0.02 и e_o=0.15 соответственно. Эти результаты показывают, что внешние слои соседних экзопланет в экзопланетной системе Глизе 581 могут включать аналогичный материал. Диск g в расчетах с тремя планетами был внешним относительно этих планет, и больше половины планетезималей в нем остались на эллиптических орбитах.

Таблица 3. Число столкновений (N_e, N_b и N_c) планетезималей с планетами (e, b и c) в течение Т млн лет при шаге интегрирования t_s, равном 0.04 земных суток, для расчетов с 3 планетами. Начальные эксцентриситеты орбит планетезималей были равны e_o (0.02 или 0.15). Число начальных планетезималей в каждом варианте было равно 1000. N_ej - число планетезималей, достигших 50 а.е. от звезды. N_el - число планетезималей, оставшихся на эллиптических орбитах.