В смысле народились на какой-то экзопланете инопланетяне, хотят в космос на химических ракетах, а как-то не получается. Гравитация большая.
Какая именно большая, чтобы было затруднительно выйти на низкую круговую орбиту на химической ракете?
Центростремительное ускорение на низкой круговой орбите вокруг планеты
a=V^2/R
и
a=G*M/R^2
M=4/3*pi()*R^3*Ro
где
a - ускорение центростремительное и равное ему сила тяжести на планете, м/с2
V - орбитальная скорость, м/с
R - радиус орбиты и, условно, радиус экзопланеты, м
(Высотой орбиты над планетой пренебрегаем в силу её малости относительно радиуса планеты)
G - гравитационная постоянная
M - масса экзопланеты, кг
Ro - плотность планеты, кг/м3
Отсюда:
a=V^2/R=G*M/R^2
V^2=G*M/R
V^2=G*M/R
M=4/3*pi()*R^3*Ro
V^2=G*4/3*pi()*R^3*Ro/R
Квадрат орбитальной скорости:
V^2=G*4/3*pi()*R^2*Ro
----
Квадрат отношения орбитальных скоростей (RRv) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
RRv^2=G*4/3*pi()*R^2*Ro/(G*4/3*pi()*Rz^2*Roz)
RRv^2=R^2*Ro/(Rz^2*Roz)
где
Rz - радиус Земли
Roz - плотность Земли
RRv^2=R^2*Ro/(Rz^2*Roz)
RRv^2=RRr^2*RRo
где
RRr - отношение радиусов экзопланеты и эталонного земного радиуса
RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности
Отсюда:
Отношение орбитальных скоростей (RRv) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
----
RRv=RRr*(RRo^0,5)
где
RRr - отношение радиусов экзопланеты и эталонного земного радиуса
RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности
----
----
V^2=a*R
V^2=G*4/3*pi()*R^2*Ro
a*R=G*4/3*pi()*R^2*Ro
Отсюда:
Центростремительное ускорение
----
a=G*4/3*pi()*R*Ro
----
Отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
RRa=G*4/3*pi()*R*Ro/(G*4/3*pi()*Rz*Roz)
RRa=R*Ro/(Rz*Roz)
----
RRa=RRr*RRo
где
RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
RRr - отношение радиусов экзопланеты и эталонного земного радиуса
RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности
----
Выражаем RRr через RRa и RRo
RRr=RRa/RRo
Тогда
RRv=RRa/(RRo^0,5)
Отношение масс планет
RRm=RRr^3*RRo
RRm=(RRa)^3/RRo^2
==============
Формула ракеты исходя из уравнения Циолковского
P=( (1-D-(K+D)*(exp(V/I/n)-1))/exp(V/I/n) )^n
где
D - отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты или отношение ускорения ракеты к ускорению двигателей без баков и полезной нагрузки
K - отношение массы баков к массе находящегося в них топлива
n - число ступеней ракеты (ступени подобны по конструкции - одинаковое K и D)
V - потребная характеристическая скорость, м/с
I - скорость истечения или удельный импульс, м/с
P - отношение массы полезной нагрузки к стартовой массе ракеты
Для земных условий:
D - лежит в диапазоне примерно 0,02 ("Союз") - 0,01 ("Фалькон-9")
K - лежит в диапазоне примерно 0,08 ("Союз") - 0,04 ("Фалькон-9")
n - лежит в диапазоне 4 ("Союз-Молния") - 2 ("Фалькон-9")
V - примерно 9400 м/с
I - примерно 3000 м/с в атмосфере и 3500 м/с в вакууме для керосина-кислорода и 4500 в вакууме для водорода-кислорода.
Для атомных двигателей с твердофазной активной зоной (отработаны на полигонах) - 9000 м/с в вакууме
P - в земных условиях примерно от 0,023 ("Союз") до 0,029 ("Фалькон-9")
=============
На ракету действуют два разных типа сил: аэродинамические и силы инерции.
Величина аэродинамических сил мало зависят от силы притяжения планеты, а величина сил инерции полностью зависит от притяжения планеты. (Сравниваем Землю и Венеру, скажем.)
Поэтому величину зависимости коэффициента K от ускорения силы свободного падения планеты можно представить так:
K=Kz*(RRfa*(1-RRi)+RRi*RRa*RRh)
где:
Kz - коэффициент K земного аналога
RRfa - отношение давления атмосферы экзопланеты к давлению земной атмосферы
RRi - часть инерционных сил в сумме сил действующих на ракету.
RRa - отношение ускорения свободного падения на экзопланете и Земле
RRh - отношение высоты ракет на экзопланете и на Земле.
RRi точно узнать сложно, но, вероятно, лежит в диапазоне 0,9 - 0,5
Для нашего расчета можно принять 0,7
Давление атмосферы на экзопланете условно принимаем таким же как на Земле.
Отношение высот ракет принимаем таким же.
Однако при требовании такой же полезной нагрузки на экзопланете, как на Земле, отношение высот ракеты будет примерно пропорционально корню кубическому из отношения стартовых масс или из обратного отношения коэффициентов P ракет.
Т.е. принимаем:
K=Kz*(0,3+0,7*RRa)
--------------
Потребная характеристическая скорость определяется орбитальной скоростью вокруг экзопланеты.
Приближенно считаем, что пропорционально орбитальной скорости
V=Vz*RRv
V=Vz*RRa/(RRo^0,5)
где:
Vz - потребная характеристическая скорость земной ракеты (9400 м/с)
RRv - отношение орбитальных скоростей (RRv) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
RRv=RRa/(RRo^0,5)
RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности
-------------
Отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты (D) пропорционально отношению центростремительных ускорений (RRa)
D=Dz*RRa
где:
D - отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты
RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
----------
n - число ступеней определяется максимальным P в данных условиях.
Первая ступень с атмосферным удельным импульсом (Iатм), последующие - с вакуумными удельными импульсами (Iвак).
I=(Iатм+Iвак*(n-1))/n
----------
P - грузоподъемность - в земных условиях примерно от 0,023 ("Союз") до 0,029 ("Фалькон-9")
Сложности начнутся когда P станет меньше 0,0001 - Старшип выведет всего лишь полтонны груза.
Очень большие трудности начнутся, когда P станет меньше 0,0000001 - Старшип выведет всего лишь один легкий кубосат.
----------
Удельный импульс I считаем таким же, как на Земле, хотя в общем случае, он зависит от давления атмосферы.
3000 м/с на поверхности
3500 м/с в космосе при кислород-керосине
4500 м/с в космосе при водород-кислороде
Кроме того, удельный импульс зависит от давления/плотности газов на срезе сопла.
Что может диктоваться не только давлением атмосферы, но и высотой ракеты и связанным с этим гидравлическим давлением столба топлива на конструкцию ракеты и, соответственно, площадь среза сопла.
Может потребоваться увеличить давление на срезе сопла и поэтому снизить отношение давленийв камере сгорания и на срезе сопла. Соответственно уменьшится и удельный импульс двигателя.
RRfa - отношение давлений на экзопланете и на Земле (учитывается для первых - атмосферных - ступеней)
RRh - отношение высоты ракет на экзопланете и на Земле.
RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)
RRii - отношение удельных имульсов двигателя на экзопланете и на Земле.
Fк - давление в камере сгорания двигателя, Па
Sz - специальный коэффициент, характеризующий адиабату работы двигателя. Специфичен для каждого топлива и в некоторой степени условий в камере сгорания двигателя.
---
Отношение высот ракет RRh и отношение ускорений RRa начинает играть роль для удельного импульса с определенного P.
Ибо при относительно больших P можно просто уменьшить грузоподъемность ракеты при той же высоте.
Определяется это минимальной грузоподъемностью Pz0 земного аналога и отношением ускорений свободного падения экзопланеты и Земли.