# Решение теоремы Ферма

Александр Васильевич Колодин

При помощи элементарной математики доказывается общая теорема Ферма.

Колодин Александр Васильевич

Решение теоремы Ферма

Origin: http://samlib.ru/a/aleksandr_w_k/thesolutionoffermatstheorem.shtml

Создан: 15/08/2013, изменен: 15/08/2013, 17k

Статья: Естествознание

При помощи элементарной математики доказывается общая теорема Ферма.

____________________________________________________________

На правах рукописи.

Решение теоремы Ферма.

В Википедии - свободной энциклопедии - в статье "Великая теорема Ферма" о данной теореме сказано следующее:

"Для любого натурального числа

уравнение

не имеет натуральных решений

,

и

.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях "Арифметики" Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

"Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для

, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая

, Дирихле и Лежандр в 1825 -- для

, Ламе -- для

.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение

при

может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале "Annals of Mathematics". Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы -- Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.-П.Серра).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант".

В данной работе я попытаюсь найти то первое решение самого Пьера Ферма. Искать решение я буду, не прибегая к высшей математике, так как в середине XVII века ни дифференциально-интегрального исчисления, ни аналитической геометрии практически не было.

Начну с теоремы Пифагора.

В Википедии - свободной энциклопедии - в статье "Теорема Пифагора" сказано:

"Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через

, а длины катетов через

и

:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника".

В той же статье приведено одно из многочисленных доказательств этой теоремы:

"Доказательство через равнодополняемость.  Рис.1   Что и требовалось доказать".

При доказательстве теоремы Пифагора я буду пользоваться чуть изменённым доказательством через равнодополняемость.

b a

a b

Рис. 2

Площади четырёх прямоугольных треугольников дополняют площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного треугольника "с", до площади квадрата, сторона которого равна сумме катетов прямоугольного треугольника "a + b".

Площадь каждого из четырёх прямоугольных треугольников равна:

Fab = ╫*a*b.

Общая площадь четырёх прямоугольных треугольников:

?Fab = 4*╫*a*b = 2*a*b.

Площадь квадрата со стороной "a+b":

Fa+b = (a+b)2 = a2 +2a*b + b2.

Площадь квадрата со стороной "с":

Fc = c2.

Fc = Fa+b - ?Fab

c2 = a2 +2a*b + b2 - 2*a*b = a2 + b2,

то есть c2 = a2 + b2, теорема Пифагора доказана.

Таким образом, квадрат раскладывается на два квадрата.

От показателя степени равному 2 перейдём к показателю степени равному 3.

То есть от площади к объёму. Квадраты станут кубами.

На рисунке 2 показана горизонтальная проекция наших фигур.

На рисунке 3 - вертикальная проекция.

a +b

VVVа  a bРис. 3. Куб со сторонами , равными суммой "a" и " b", включает в себя во-первых, куб со стороной "с", во-вторых, параллелепипед, в-третьих, четыре треугольные призмы, в основании, которых лежат катеты "a" и " b", соответственно, и в этом случае применим метод равнодополняемости.

Имеем: объём куба со стороной (a + b):

V(a+b) = (a + b)3;

Объём треугольной призмы:

Vab = Fab * c = ╫*a*b* c

V(a+b)-с = [(a +b) - c]* (a + b)2 =

Объём параллелепипеда (a +b)3 - c* (a + b)2

Тогда объём куба со стороной "с" будет равен:

Vc = V(a+b) - V(a+b)-с - 4* Vab = (a + b)3 - (a +b)3 + c* (a + b)2 - 4*╫*a*b* c =

Vc = c* (a + b)2 - 2*a*b* c = c*(a2 + b2).

Но, Vc = с3, следовательно, Vc = c*(a2 + b2), или:

с3 = c*(a2 + b2), или

с2 = a2 + b2, то есть получилась теорема Пифагора.

Таким образом, как и писал Пьер Ферма: "... невозможно разложить куб на два куба..."

Объём куба "с3" раскладывается на площади квадратов, построенных на катетах "a" и "b", умноженных на высоту, то есть на сторону куба "с", квадрат которой как раз равен сумме квадратов катетов.

a2 + b2 - сумма квадратов катетов, то есть теорема Пифагора, выступает в случае куба множителем, который назовём множителем Пифагора.

Проверим наше решение на числах.

Возьмём Пифагорову тройку чисел: 3, 4 и 5. Степень равную 3.

с3 = 53 = 125; a3 = 33 = 27; b3 = 43 = 64;

с3 = 125 ? 27 + 64 = 91

a2 = 32 = 9; b2 = 42 = 16;

с3 = 125 = 5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, что и требовалось доказать.

Примем показатель степени чисел, равный 4.

С4 = 54 = 625; a4 = 34 = 81; b4 = 44 = 256;

С4 = 625 ? 81 + 256 = 337;

a2 = 32 = 9; b2 = 42 = 16;

с4 = 625;

5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, чтобы в итоге получилось 625, необходимо 125 умножить на 5, то есть на "с".

с4 = 625 = 5* 5* (9 + 16) = 25* 25 = 625.

Перейдём на буквенные обозначения:

с4 = c2*(a2 + b2).

Эту формулу можно получить из уравнения теоремы Пифагора: с2 = a2 + b2,

соответственно, a = (c2 - b2) ╫ , b = (c2 - a2) ╫.

Площадь прямоугольника, построенного на сторонах "a" и " b" или удвоенная площадь прямоугольного треугольника равна:

a*b = (c2 - b2) ╫ * (c2 - a2) ╫ = (c4 - c2*a2 - c2*b2 + a2*b2)1/2,

соответственно, a2*b2 = c4 - c2*a2 - c2*b2 + a2*b2, или

c4 = c2*(a2 + b2), то есть словами Ферма "биквадрат" не раскладывается на два "биквадрата".

с4 = c4-2*(a2 + b2) или в общем виде:

сn = cn-2*(a2 + b2).

Рассмотрим частные случаи: при степени 2, 1 и 0.

с2 = c2-2 * (a2 + b2) = c0 * (a2 + b2) = a2 + b2, перед нами опять же теорема Пифагора.

c1 = c1-2 * (a2 + b2) = c-1 * (a2 + b2) = (a2 + b2)/ (a2 + b2)1/2 = (a2 + b2)1/2

c0 = c0-2 * (a2 + b2) = c-2 * (a2 + b2) = (a2 + b2) / (a2 + b2) = 1. сn = cn-2 * (a2 + b2).

Теперь, когда решены частные случаи при показателях степени 0, 1, 2, 3, 4, теорему Ферма можно решить ещё проще, из уравнения с2 = a2 + b2.

Если с2 = a2 + b2, то, с1 = (a2 + b2)1/2, соответственно,

сn = (a2 + b2)n/2.

Таким образом, при любых значениях n > 2

сn ? an + bn,

так как сn = (a2 + b2)n/2.

Поэтому вслед за Пьером Ферма можно повторить: "...невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". Решение получилось гораздо больше книжных полей "Арифметики" Диофанта, о чем и говорил Пьер Ферма. А.В. Колодин 10 августа 2013 года.

Ссылка на источники:

Теорема Пифагора: олучилосьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%E3%EE%F0%E0

Великая теорема Ферма: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EB%E8%EA%E0%FF_%F2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%D4%E5%F0%EC%E0

1

b a a c c (a+b) - c c

____________________________________________________________

© Колодин Александр Васильевич. Решение теоремы Ферма

Origin: http://samlib.ru/a/aleksandr_w_k/thesolutionoffermatstheorem.shtml

Создан: 15/08/2013, изменен: 15/08/2013, 17k

Статья: Естествознание