# Забытая теорема Гука-Ньютона

Евгений Павлович Новиков

Представлена теорема, описывающая простые преобразования скоростей при упругих столкновениях условно твердых шарообразных тел. Эти преобразования следуют из эмпирических законов Гука и Ньютона без использования постулированного закона сохранения кинетической энергии.

О ТЕОРЕМЕ ГУКА-НЬЮТОНА.


Это очень полезная, но незаслуженно забытая теорема, являющаяся прямым следствием эмпирических законов, открытых упомянутыми великими учеными.


Теорема формально описывает упругое столкновение двух твердых шарообразных тел, силы взаимодействия которых в процессе столкновения направлены на их центры масс (точки с1 и с2), как это иллюстрируется на рисунке:


На рисунке изображены условно твердые сталкивающиеся шарообразные тела m1 и m2, имеющие в момент перед столкновением скорости V1 и V2 соответственно. Столкновение происходит условно мгновенно и сразу после столкновения тела приобретают скорости V1' и V2'.


Рисунок также содержит дополнительные построения - составляющие V1‖, V1⊥ вектора V1, направленные параллельно (с индексом "‖") и перпендикулярно (с индексом "⊥") изображенной линии столкновения. Подобные построения представлены и для векторов V2, V1', V2'.


Теорема (Гука-Ньютона):


V1‖ - V2‖ = - (V1‖' - V2‖') - уравнение Гука-Ньютона,


V1⊥ = V1⊥',


V2⊥ = V2⊥'


В соответствии с приведенными соотношениями независимо от масс сталкивающихся шарообразных тел вектор их относительной скорости вдоль линии столкновения меняет направление на противоположное (уравнение Гука-Ньютона), а скорости в перпендикулярной к этой линии плоскости не изменяются.


Просто и в несколько строк теорема доказывается на основании законов Ньютона и Гука и представления твердых тел, как упругих со сколь угодно высокими, но конечными коэффициентами упругости. Эта теорема является альтернативой закону сохранения значения искусственной комбинации физических величин, называемой кинетической "энергией". Но, во-первых, эта величина не инвариантна в разных системах отсчета и потому ее правильнее называть не энергией тела, а искусственной относительной характеристикой тела. Во-вторых, использование закона сохранения кинетической "энергии" является неоправданным усложнением решения задачи упругого столкновения.


При решении задач упругого столкновения твердых тел целесообразно использовать линейное и формально обоснованное уравнение Гука-Ньютона, а не постулированное квадратичное уравнение закона сохранения кинетической "энергии".


Использование линейного уравнения упрощает вычисления, имеет прозрачный физический смысл и предпочтительнее с методической точки зрения в связи с первичностью уравнения Гука-Ньютона по отношению к закону сохранения кинетической "энергии", который является простым и избыточным следствием представленной теоремы и закона сохранения количества движения.


Пример. Задача упругого столкновения твердых шаров, центры которых движутся только вдоль линии, их соединяющей.


Сталкиваются два шара массой m1 и m2, имеющие скорости v1 и v2 соответственно, направленные вдоль линии их центров. Требуется определить скорости шаров v1', v2' после столкновения.


Решение. В принятых на рис.1 обозначениях условия задачи формулируются следующим образом:


V1‖ = (v1,0,0)T


V2‖ = (v2,0,0)T (величины v1, v2 могут иметь знаки)


V1⊥= V2⊥ = (0,0,0)T


Требуется найти векторы V1‖', V2‖', V1⊥', V2⊥'


По теореме Гука-Ньютона скорости шаров в плоскости yz останутся нулевыми:


V1⊥' = V2⊥' = V1⊥= V2⊥ = (0,0,0)T


Остается вычислить скорости V1‖', V2‖', имеющие вид:


V1‖' = (v1',0,0)T


V2‖' = (v2',0,0)T


Вычислим величины v1', v2'. По формуле Гука-Ньютона получаем соотношение:


(1)  v1 - v2 = - (v1' - v2')


По закону сохранения количества движения (также являющемуся следствием эмпирических законов Ньютона) получаем соотношение:


(2)  m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'


Уравнения (1), (2) составляют систему из двух линейных уравнений относительно двух неизвестных. Решение такой системы очевидно:


v1' = ((m1 - m2)v1 + 2m2v2)/( m1 + m2)


v2' = ((m2 - m1)v2 + 2m1v1)/( m1 + m2)


Задача решена на основании только эмпирических законов без привлечения постулированного теоретиками закона сохранения кинетической "энергии". При этом процесс решения стал и заметно проще.


Замечание. Если шары при столкновении имели скорости и в плоскости осей y, z, то решение не усложняется - после столкновения скорости шаров в плоскости осей y, z сохраняются без изменений.


Следствие. Вывод закона сохранения кинетической "энергии".


Для доказательства закона сохранения кинетической "энергии" достаточно доказать его выполнение для составляющих скоростей в направлении столкновения. В плоскости, перпендикулярной этому направлению, скорости не изменяются, и закон здесь заведомо выполняется.


Соотношение (1) можно переписать в эквивалентной форме:


(3)  v1 + v1' = v2 + v2',


а соотношение (2) приводится к эквивалентному виду:


(4)  m1 (v1 - v1') = m2 (v2' - v2)


Перемножая левые части равенств (3), (4), а затем правые части, получаем соотношение:


(5)  m1v12 - m1(v1')2 = m2 (v2')2 - m2 v22


Соотношения (5) после перегруппировки его членов и умножения обоих частей на коэффициент 1/2 принимает форму закона сохранения кинетической "энергии".


Таким образом, постулированный закон имеет простое доказательство, но является избыточным.