# Процесс аннигиляции для частиц-точек

Н.Н. Прилепских

В логике концепции возбуждения-свертки (КВС) в терминах частиц-точек показана динамика передачи энергии от аннигилирующих частиц аннигиляционным фотонам

Прилепских Н.Н.

Процесс аннигиляции для частиц-точек

Origin: http://samlib.ru/p/prilepskih_n_n/annig_chasticy.shtml

Создан: 27/08/2026, изменен: 27/08/2026, 14k

Глава: Естествознание

В логике концепции возбуждения-свертки (КВС) в терминах частиц-точек показана динамика передачи энергии от аннигилирующих частиц аннигиляционным фотонам

____________________________________________________________

Процесс аннигиляции на языке частиц-точек

Перейдем от дифференциального языка описания процесса аннигиляции (описание динамики зарядовых возбуждений), к интегральному языку (к описанию динамики системы на языке частиц-точек).

Логика действий - прозрачна, и она состоит из последовательности трех шагов:

Шаг 1. Обе его части уравнения дифференциальной динамики почленно интегрируем по всему пространству - и тогда это уравнение - равенство производных по времени от плотности импульса - превратится в уравнение для производных по времени от импульса частицы (а не от плотности импульса, как было).

Шаг 2. Интегрирование уравнения, полученного на предыдущем шаге, по времени (по длительности процесса аннигиляции) - даст уравнение для импульса невязки как функции времени (на протяжении процесса аннигиляции).

Шаг 3. Преобразования итога второго шага дадут выражение для энергии невязки тоже как функции того же промежутка времени.

Итак, имеем уравнение "дифференциальной" динамики (для поля возбуждений позитрона), которое предположительно правильно описывает сам процесс аннигиляции

1/(c_0^2 ) d/dt [(g^2-f(2x)g(ξ-2x)g) x ̇ ]=(1-f(2x))g(ξ-2x) ∂g/∂ξ-∆(ξ,t,...)+δ(ξ,t,...).

И здесь предпринимается не только очередная попытка продвинуться в дальнейшем конструировании/развитии рациональной физической теории (КВС), но и стараемся

во-первых, лучше почувствовать и логику, и формализм теории,

во-вторых, расширить круг рассмотренных задач, "набивая" руку и отрабатывая алгоритмы и,

в-третьих, выходя за рамки ранее достигнутого - тестировать теорию на все более сложных задачах.

Подчеркнем: здесь и далее взят знак минус перед невязкой (неизвестной функцией) из соображений удобства - причина будет понятна в дальнейшем - чтобы не менять знак задним числом в окончательных выражениях.

Но мы - на terra incognito, а посему не пытаемся получить "всё, но сразу", а, стараясь избежать грубых ошибок, пытаемся действовать в рамках интуитивно и экспериментально приемлемых, но максимально простых формальных моделей, чтобы обрести опору (интуитивную, логическую, формальную) на пока что неизвестной территории.

Поэтому абсолютно уместными представляются следующие упрощения/допущения:

массы частицы (частиц) - интеграл по всему пространству от квадрата возбуждения частицы, деленный на c_0^2 - константы и равны m_0;

скорость частиц-остатков процесса аннигиляции на протяжении процесса аннигиляции [0,T] - постоянна - x ̇, тогда f(2x)≡f(t)=f(2a-(xt) ̇), где t∈[0,T], а x ̇T=2a;

g(ξ-2x,ρ)g≈g^2, где ρ - цилиндрическая координата;

U(ϱ)=∫▒〖g(ξ-2x,ρ)g(ξ,ρ)d^3 r〗, где r=(ξ,ρ,φ), а ϱ=(2x,0,0).

Как станет ясно из дальнейшего, формализм должен быть ковариантным - именно релятивистское описание системы позволит очень скромными средствами/усилиями получить очень сильный результат.

С учетом отмеченного, результат первого шага - почленного интегрирования уравнения дифференциальной динамики по всему пространству получим уравнение динамики уже точечной частицы

m_0 d/dt [(1-f(t)) v^μ ]=〖-∂〗_ϱ^μ ((1-f(t))U(ϱ))-Δ_P ̇^μ (t),

где

на скорость, градиент и невязку будем смотреть как на 4-вектры;

〖v^μ=с〗_0 (cosh(v/c_0 ); v/v sinh(v/c_0 )), ∂_ϱ^μ=(∂/(c_0 ∂t); ∇_(ϱ_1 ) ), индекс ϱ_1 у оператора набла указывает на то, что дифференцирование осуществляется по координате первой частицы, а ϱ - модуль разности координат взаимодействующих частиц;

f(t) - аннигиляционный форм-фактор, описывающий перекрытие сферических кернов частиц (тот же самый, что и в дифференциальной динамике);

Δ_P ̇^μ (t) - неизвестная функция, производная по времени от 4-импульса, принятого невязкой от аннигилирующей пары, интеграл по всему пространству от ∆(ξ,t,...);

интеграл по всему пространству от калибровочной функции δ(ξ,t,...) - тождественный нуль (по определению);

U(ϱ)=K/(c_0^2 ) (j_1^μ j_2μ)/ϱ - ковариантное представление закона Кулона,

а j_i^μ=с_0 q_i (cosh(v_i/c_0 ); v_i/v_i sinh(v_i/c_0 )) - релятивистское представление заряда (заряда-плотности тока).

Таким образом, в оговоренных выше приближениях, итогом первого шага, стало интегральное (для частиц-точек) уравнение динамики собственно процесса аннигиляции (аналог второго закона Ньютона) для позитрона, предположительно описывающего процесс аннигиляции от момента t=0 - момента касания кернов частиц до момента времени t=T - момента совпадения центров кернов - завершения процесса аннигиляции.

Полученное уравнение хоть и сохраняет черты уравнения интегральной динамики частицы (пары частиц) на первом этапе - сближении - слева - сила инерции, справа - сила кулоновского взаимодействия, но налицо два существенных отличия:

во-первых, в обе силы входит эмпирический форм-фактор (1-f(t)), кинематически обнуляющий обе силы (силу инерции - за счет исчезновения массы частицы, силу взаимодействия - за счет исчезновения зарядов частиц) и

во-вторых, возникло слагаемое Δ_P ̇^μ (t) - 4-сила (производная по времени от 4-импульса), интеграл по всему пространству от невязки ∆(ξ,t,...) при дифференциальном описании системы, который восстанавливает равенство левых и правых частей уравнения.

Далее. Очевидно, как интеграл по времени от 4-силы, 4-импульс, получаемый (точнее - компенсируемый) невязкой к моменту времени t в процессе аннигиляции (как функция времени), примет вид

P_Δ^μ (t)=-m_0 [(1-f(t)) v^μ (t)-v^μ (0)]-∫_0^t▒〖∂_ϱ^μ ((1-f(τ))U(ϱ))dτ〗,

определяемый двумя известными функциями - форм-фактором f(t) и потенциальной энергией кулоновского взаимодействия U(ϱ); t∈[0,T].

Что видим?

При t=0 - момент касания кернов частиц.

Правая часть равенства обращается в нуль (первое слагаемое из-за того, что f(t=0)=0, второе - из-за совпадения пределов интегрирования).

При t=T - момент завершения процесса аннигиляции (момент совпадения центров кернов).

Первое слагаемое, очевидно (f(t=T)=1) равно 〖m_0 v〗^μ (0) - импульсу частицы в момент начала процесса аннигиляции - (до того, как учли вклад кулоновского взаимодействия) невязка приняла на себя импульс частицы, что весьма разумно. Чтобы учесть вклад второго слагаемого, нужно осуществить довольно громоздкие вычисления. Но мы поступим иначе: оказывается гораздо проще сначала найти энергию, компенсируемую невязкой, а уже потом ее импульс может быть получен алгебраически.

Чтобы получить выражение для энергии невязки, поступим следующим образом.

Сначала умножим обе части уже "интегрального" уравнения (псевдоскалярное произведение) для производных по времени от импульса частицы на (1-f(t)) v_μ. Тогда слева, после внесения сомножителей под знак дифференциала, получится выражение

m_0/2 d/dt [(1-f(t))^2 v^μ v_μ ]=-m_0 c_0^2 (1-f(t)) d/dt f(t).

где учтено, что v^μ v_μ=c_0^2 - квадрат 4-скорости - константа.

Слагаемое с потенциальной энергией справа (уже умноженное на (1-f(t)) v_μ), умножим и разделим на U(ϱ). Тогда, двукратное внесение сомножителей под знак производной даст

(〖U(ϱ)(1-f(t))v〗_μ ∂_ϱ^μ [(1-f(t))U(ϱ)] )/U(ϱ) =((1-f(t)))/2[(1-f(t))U(ϱ)] d/dt [(1-f(t))U(ϱ)]^2=

=(1-f(t)) d/dt [(1-f(t))U(ϱ)].

Соберем все члены уравнения

〖(1-f(t)) v_μ Δ〗_P ̇^μ (t)=m_0 c_0^2 (1-f(t)) d/dt f(t)-(1-f(t)) d/dt [(1-f(t))U(ϱ)].

Слева - мощность накачки невязки процессом аннигиляции.

После сокращения на общий множитель (1-f(t)), получим выражение для получаемой невязкой мощности в процессе аннигиляции как функции времени

〖〖d/dt E_Δ (t)=v〗_μ Δ〗_P ̇^μ (t)=m_0 c_0^2 d/dt f(t)-d/dt [(1-f(t))U(ϱ)].

Интеграл от последнего равенства по времени от 0 до t, где 0≤t≤T дает величину энергии E_Δ (t), накопленную невязкой к моменту времени t:

E_Δ (t)=∫_0^t▒〖〖〖 v〗_μ Δ〗_P ̇^μ (t)dt〗=m_0 c_0^2 [f(t)]_0^t-[(1-f(t))U(ϱ)]_0^t.

Видно, что E_Δ (t=0)=0, и это разумно.

При t=T, очевидно,

E_Δ (T)=m_0 c_0^2 [f(t)]_0^T-[(1-f(t))U(ϱ(t),v_1 (t),v_2 (t))]_0^T.

Имеем ввиду, что в текущем контексте:

во-первых, v_1=-v_2,|v_2-v_1 |=2v,q_1=-q_2=q,ϱ(0)=2a,ϱ(T)=0,f(0)=0,f(T)=1.

во-вторых, релятивистское выражение для закона Кулона в этом случае (относительное движение частиц пары по оси x, система координат и система отсчета - центр масс)

U(ϱ,v)=K q^2/ϱ cosh(2v/c_0 );

в-третьих, очевидно, что на верхнем пределе во втором слагаемое справа - неопределенность типа 0/0; но в процессе аннигиляции f(t) (по своему определению) стремится к единице - квадратично (а, соответственно, (1-f(t)) квадратично стремится к нулю), а знаменатель кулоновской потенциальной энергии тоже стремится к нулю, но линейно, следовательно, квадратная скобка на верхнем пределе равна нулю, а на нижнем пределе - значению потенциальной энергии взаимодействия частиц пары в момент касания их кернов.

С учетом отмеченного, полная энергия, приобретенная невязкой (для одной частицы - позитрона) за все время аннигиляции, запишется как

E_Δ (T)=m_0 c_0^2+〖Kq〗^2/2a cosh(2v/c_0 ),

или в нерелятивистском приближении (с точностью до второго порядка по v/c_0)

E_Δ (T)=m_0 c_0^2+〖Kq〗^2/2a (1+(2v^2)/(c_0^2 )+⋯),

где

первое слагаемое - энергия покоя позитрона,

второе слагаемое - потенциальная энергия его взаимодействия с электроном в момент касания их кернов (при расстоянии между центрами частиц равном 2а) и

третье - величина, пропорциональная кинетической энергии позитрона в тот же момент времени.

Таким образом, невязка "по энергии" уравнения динамики для позитрона-точки (по завершению процесса аннигиляции пары) скомпенсировала его полную энергию, которой позитрон обладал в момент начала процесса аннигиляции что находится в замечательном соответствии с интуицией, логикой и экспериментом.

Представления о динамике импульса системы P_Δ^μ (t) и о величине P_Δ^μ (T) - тривиальные следствия соответствующих энергетических соотношений.

Из полученного результата следуют два набора следствий - "локальный" (по существу данной конкретной задачи) и "глобальный" (относительно построения конструктивной физики в логике КВС).

"Локальный" набор следствий

Несмотря на весьма серьезные упрощения при постановке задачи (попытка описать собственно процесса аннигиляции на языке частиц-точек), ее решение оказалась вполне состоятельным и интуитивно, и логически, и формально.

Ранее сформулированное "дифференциальное" (микроскопическое, на языке полей-возбуждений) описание процесса аннигиляции может считаться весьма реалистичной его микроскопической формальной моделью.

И введение в логику теории, и формальное определение форм-фактора процесса аннигиляции пары f(t) представляется очень уместным и эффективным и в данной задаче, и может оказаться весьма перспективным в дальнейшем.

Осознано, что естественно возникший в теории процесса аннигиляции формальный феномен "невязка" является формальным связующим звеном двух представляющихся несовместимыми процессов/систем - пара частиц - пара фотонов. Невязка - пространственно-временной источник/возбудитель фотонов в "энергетической" среде возбуждений КВС.

Полученный в данном разделе результат - серьезная опора для формальной постановки и последующего решения следующего этапа задачи - описания формирования и разлета аннигиляционных фотонов.

Интегральное описание - представляет "видение" процесса аннигиляции в эксперименте, в "лабораторном пространстве-времени", а дифференциальное описание позволяет "наблюдать" процессы микроскопической динамики системы - изменения в структуре компонентов системы из-за их взаимодействия.

"Глобальный" набор следствий

Использованный при решении задачи (о процессе аннигиляции) логико-формальный комплекс

представление частиц и взаимодействий в терминах возбуждений-сверток;

конструктивное представление эффектов относительности;

основа динамики - второй закон Ньютона

модель (и вербально-логическая, и формальная) аннигиляции пары как один из шагов построения "динамической" (с учетом процессов излучения/поглощения энергии) версии концепции возбуждения-свертки (КВС)

проявил себя как вполне состоятельный (и концептуально и очень эффективный формально) инструмент моделирования динамических задач.

Кроме того, можно считать убедительно доказанными работоспособность и перспективность логики, формализма и алгоритмов КВС в построении "процессной", опирающейся на интуитивные представления конструктивной физики.

И теперь, получив убедительные доказательства корректности логики модели аннигиляции, поняв роль в ней невязки, можем вернуться к формализации третьего этапа аннигиляции - формированию и разлету аннигиляционных фотонов.

____________________________________________________________

© Прилепских Н.Н.. Процесс аннигиляции для частиц-точек

Origin: http://samlib.ru/p/prilepskih_n_n/annig_chasticy.shtml

Создан: 27/08/2026, изменен: 27/08/2026, 14k

Глава: Естествознание