# Сто без парадоксов: конструктивная аксиоматика

Н Н Прилепских

Экспериментальный базис релятивизма не вызывает сомнений: тонкая структура спектров, расчеты ускорителей, релятивистская кинематика - все это требует формализма, выходящего за рамки классической (нерелятивистской) механики. Однако попытки понять этот формализм через стандартные изложения СТО наталкиваются на непреодолимое для автора (и не только для него) препятствие: готовность принять на веру расчетные алгоритмы, но не их онтологическую интерпретацию. В данной работе предлагается иной путь. Мы строим релятивистское описание рационально, исходя из явно сформулированных определений и гипотез, без апелляций к "искривлению" или "относительности" пространства-времени как такового.

СТО БЕЗ ПАРАДОКСОВ: КОНСТРУКТИВНАЯ АКСИОМАТИКА

Н.Н. Прилепских


Предварительное замечание

Экспериментальный базис релятивизма не вызывает сомнений: тонкая структура спектров, расчеты ускорителей, релятивистская кинематика - все это требует формализма, выходящего за рамки классической (нерелятивистской) механики. Однако попытки понять этот формализм через стандартные изложения СТО наталкиваются на непреодолимое для автора (и не только для него) препятствие: готовность принять на веру расчетные алгоритмы, но не их онтологическую интерпретацию.

В данной работе предлагается иной путь. Мы строим релятивистское описание рационально, исходя из явно сформулированных определений и гипотез, без апелляций к "искривлению" или "относительности" пространства-времени как такового.

________________________________________

1. Исходные постулаты

Определение 1. Система отсчета (СО) - это наблюдатель, снабженный линейкой и часами. Все СО полагаются совершенно одинаковыми по своему устройству.

Гипотеза 1 (об инерциальных системах). Существует выделенный класс СО - инерциальные системы отсчета (ИСО). Это множество всех СО, движение любой из которых относительно любой другой равномерно и прямолинейно. Относительные скорости между ИСО - это обычные (нерелятивистские) трехмерные скорости.

Гипотеза 2 (о единообразии физики). Все физические процессы во всех ИСО протекают одинаково и описываются одними и теми же уравнениями. Это не постулат о "равноправии" систем, а удобное предположение, освобождающее логику от привязки к частной СО.

Гипотеза 3 (о ковариантной записи). Физические величины и уравнения, описывающие процессы, должны записываться в релятивистском (ковариантном) виде: как тензоры некоторого ранга по отношению к группе преобразований между ИСО.

________________________________________

2. Релятивистски сопряженные пары

Определение 2. Пары физических величин, размерности которых отличаются множителем скорости, назовем релятивистски сопряженными.

Примерами таких пар служат:

интервал времени t и пространственное перемещение r;

масса m и импульс p;

плотность заряда ρ и плотность тока j;

электрический дипольный момент - магнитный дипольный момент.

Такие пары объединяются в 4-векторы - составные 4-компонентные объекты, состоящие из "времени-подобного" скаляра и "пространственно-подобного" трехмерного вектора (диполь-диполь - в кососимметричный тензор). Размерности разноразмерных величин (скаляра и вектора) уравниваются умножением скаляра на константу размерности скорости c_0.

Величина c_0 - эмпирический параметр, определяемый из согласия с экспериментом (аналогично тому, как постоянная Планка связывает частоту и энергию, а постоянная Больцмана - температуру и энергию).

________________________________________

3. Зачем нужны 4-векторы: пояснение на примере

Пусть в некоторой ИСО покоится кирпич. Для наблюдателя из этой ИСО кирпич обладает только массой m, но нулевым импульсом.

Для наблюдателя из другой ИСО, движущейся относительно первой, тот же кирпич обладает не только массой, но и импульсом. Второй наблюдатель, конечно, понимает, что кирпич имеет массу, но он постарается избежать столкновения с ним именно из-за наличия у кирпича импульса.

Таким образом, масса и импульс - это две проекции одной сущности (4-вектора энергии-импульса) на разные системы отсчета. При переходе из одной ИСО в другую компоненты этой сущности преобразуются совместно, как компоненты 4-вектора.

________________________________________

4. Постулат группы преобразований

Постулат. При переходе из одной ИСО в другую компоненты релятивистски сопряженных пар преобразуются как компоненты 4-вектора относительно непрерывной группы преобразований, параметром которой является относительная скорость ИСО.

Из этого постулата, а также из требования, что последовательные переходы A→B→C и прямой переход A→C должны давать один и тот же результат (свойство группы), следует конкретный вид преобразований.

Этим видом оказываются гиперболические вращения в псевдоевклидовом пространстве сопряженных пар.

________________________________________

5. Представление группы: гиперболические функции против формализма Лоренца

Группа псевдоевклидовых вращений может быть реализована бесконечным числом способов.

Одним из них является стандартное представление Лоренца с Лоренц-фактором:

γ=1/√(1-v^2/c_0^2 ).


Однако это представление имеет существенный недостаток: оно содержит сингулярность при v=c_0, что создает иллюзию "предельной скорости" и порождает массу парадоксов.

В данной работе используется представление гиперболическими функциями:

m=m_0 chψ,p=m_0 c_0 shψ,ψ=v/c_0 .


Это представление:

Не имеет сингулярностей при v=c_0 или любых других скоростях. Гиперболический косинус и синус определены для любого вещественного аргумента.

Сохраняет галилеевское сложение скоростей: если ψ=ψ_1+ψ_2, то v=v_1+v_2 (в терминах скоростей - обычное арифметическое сложение).

Дает корректный нерелятивистский предел при v≪c_0: m≈m_0, p≈m_0 v.

Исключает необходимость вводить "предельную скорость" как физический запрет. c_0 выступает исключительно как масштабный коэффициент, обезразмеривающий скорость.

________________________________________

6. Констатации, следующие из данной аксиоматики

Констатация 0. Пространство и время абсолютны. Относительность - это эффект преобразования значений физических величин (и пространственно-временных интервалов как их частного случая) из одной ИСО в другую.

Констатация 1. Постулат группы преобразований с необходимостью приводит к гиперболическим вращениям в псевдоевклидовом пространстве релятивистски сопряженных пар.

Констатация 2. Параметр группы (относительная скорость) имеет размерность скорости. Для использования гиперболических функций требуется безразмерный аргумент. Эту роль выполняет эмпирическая константа c_0, которая не накладывает ограничений на скорости объектов, а лишь задает масштаб, на котором релятивистские эффекты становятся существенными.

Констатация 3. Представление группы гиперболическими функциями имеет принципиальное физическое преимущество перед стандартным лоренцевским: оно не содержит искусственных сингулярностей, не требует "постулата о постоянстве скорости света" как предельной и автоматически дает галилеевское сложение скоростей.

________________________________________

7. Иллюстрация 1: Релятивизация закона обратных квадратов

В парадигме укоренилось представление, что закон Кулона (и тем более закон всемирного тяготения) не имеет простого релятивистского обобщения. Это не так.

Заряд (или масса) покоящегося тела - это временная компонента 4-вектора. Заряд (или масса) того же тела в другой ИСО - это комбинация временной и пространственных компонент того же 4-вектора.

Следовательно, произведение зарядов (масс) двух тел, каждое из которых покоится в своей ИСО, должно записываться как псевдоскалярное произведение их 4-векторов:

q_1 q_2⇒⟨Q_1,Q_2⟩=q_1 q_2-j_1⋅j_2.


Это и есть искомая релятивизация взаимодействия.

Важнейшее замечание о расстоянии. Расстояние R в знаменателе закона обратных квадратов есть расстояние между двумя точками в абсолютный момент времени:

R(t)=∣r_1 (t)-r_2 (t)∣.


Это расстояние - свойство пары объектов, а не объект релятивистского преобразования. Оно одинаково (инвариантно) для всех наблюдателей при любой относительной скорости ИСО.

Утверждение, что "расстояние должно релятивистски преобразовываться", есть следствие категориальной ошибки: смешение величин, характеризующих одиночную ИСО, с величинами, характеризующими отношение между ИСО.

Именно на основе этого подхода (псевдоскалярное произведение 4-векторов в числителе и абсолютное евклидово расстояние в знаменателе) стандартными средствами решается задача о смещении перигелия Меркурия - без привлечения ОТО и без искривления пространства-времени.

________________________________________

8. Иллюстрация 2: Масса и импульс как компоненты 4-вектора

Из того, что пары релятивистски сопряженных величин преобразуются при переходе от одной ИСО к другой как 4-векторы гиперболических поворотов, следует сохранение их псевдоскалярного квадрата.

Для пары "масса-импульс" (в метрике (+---)) это дает:

m_0^2 c_0^2=m^2 c_0^2-p^2,


где m_0 - масса тела в его собственной ИСО, m,p - масса и импульс в лабораторной ИСО.

Это равенство (с точностью до обозначений) есть точный аналог известного релятивистского соотношения:

E=c_0 √(p^2+m_0^2 c_0^2 ).


В представлении гиперболическими функциями:

m=m_0 chψ,p=m_0 c_0 shψ,


где ψ=v/c_0. Это полностью эквивалентно стандартным формулам, но без сингулярностей и без иллюзии "массы, растущей до бесконечности при v→c_0".

________________________________________

9. Иллюстрация 3: Связанное состояние как единый 4-вектор

На пару свободно движущихся (релятивистских) частиц можно смотреть двояко:

Как на две различные частицы, каждая из которых характеризуется своим 4-вектором массы-импульса (со своей массой и скоростью относительно некоторой ИСО).

Как на связанное состояние этих частиц - единый объект, характеризующийся одним 4-вектором массы-импульса, с одной общей массой и некоторой скоростью.

Элементарное сложение 4-векторов (покомпонентное) дает в нерелятивистском пределе:

3-импульс комплекса - это импульс центра масс пары;

"Масса (энергия покоя) комплекса" - это сумма масс частиц-компонентов плюс кинетическая энергия их относительного движения, деленная на квадрат скорости c_0.

Таким образом, "энергия покоя" составной системы обретает черты интуитивно внятной реальности: это не "энергия, запертая в массе", а полная энергия системы в системе ее центра масс, включая внутреннюю кинетическую энергию.

________________________________________

Итоговое резюме главы

Предложенная аксиоматика позволяет:

Описать релятивистские эффекты без привлечения "относительности пространства-времени";

Использовать гиперболические функции вместо лоренцевских дробей, избегая сингулярностей;

Трактовать c_0 как эмпирический масштаб, а не как предельную скорость;

Релятивизировать законы обратных квадратов через псевдоскалярное произведение 4-векторов, сохраняя абсолютность расстояний;

Получать известные релятивистские поправки (смещение перигелия, тонкую структуру) без введения полей-посредников или искривленного пространства.

Данная конструкция не противоречит эксперименту, но предлагает более прозрачную и конструктивную онтологию, свободную от парадоксов и искусственных ограничений.

________________________________________

Конец главы.