# Многоугольник с одной стороной

Павел Сапунов

Сапунов Павел

Многоугольник с одной стороной

Origin: http://samlib.ru/s/sapunow_p/mnogo.shtml

Создан: 29/05/2009, изменен: 29/05/2009, 44k

Миниатюра: Естествознание, Юмор

Series: Математические миниатюры

____________________________________________________________

Многоугольник с одной стороной

1. ОБ ЭМОЦИЯХ, О ПЛОХОЙ ПОГОДЕ, О ГЕОМЕТРИИ

Иногда трудно себе представить, с какими сильными эмоциями и яркими впечатлениями бывают связаны математические изыскания, так сказать, не совсем нестандартного характера. А разве есть математика стандартная, вполне обычная, причёсанная как бильярдный шар? Все задачи в минуту своего открытия являются новаторскими, и даже выглядят иной раз не совсем прилично, впрочем, как и сам человек в минуту своего рождения.

Новая задача - это всегда как признание в любви... Признание математика в любви к этому миру, признание мира в любви к математику... Это всегда шок, всегда поэзия, жуткий прорыв в музыке, шокирующий авангард в живописи, это... Это как музыка Поля Мориа.

Честно говоря, в то утро, когда всё это произошло, я ни о чём необычном не думал. Я просто решил вспомнить, "чему там равна сумма углов треугольника". А заодно - четырёхугольника, пятиугольника, и так далее... В общем, текли обычные мысли образованного человека, характерные для обычного понедельника, обычной пасмурной погоды и обычного декабря...

Я всегда думаю медленно и редко ("как и все" - по признанию Эйнштейна - "один раз в неделю"), а в то утро особенно. Так я думал...

Думал я так.

Сумма углов треугольника равна числу пи:

S3 = ?

Четырёхугольника:

S4 = 2?

Значит, думаю, общая формула суммы углов N-угольника пишется так:

SN = (N-2)? (1)

Вообще-то, это надо строго доказывать, но в то утро не хотелось. Поэтому я думал так. Вот треугольник:

0x01 graphic

Хороший 3-угольник, думал я. Но вот не менее хороший вопрос: в какой момент он становится четырёхугольником? Когда мы нарисуем четвёртую сторону? Только тогда? Так просто?

Нет, думаю я, 4-угольком он становится в том момент, когда мы карандашом ставим на рисунке ещё одну точку - четвёртую вершину. Вот так :

0x01 graphic

Потому что эта 4-ая вершина, хоть и стоит скромно (просто на ещё гладкой, не сломанной стороне треугольника ), но она уже добавляет в сумму внутренних углов ещё один, равный ? :

0x01 graphic

И лишь потом, когда человек решил, где ему поставить точку-вершину, когда он после этого "сломает" сторону треугольника в этой намеченной им точке, лишь тогда геом. фигура становится похожей на четырёхугольник: 0x01 graphic

Вот теперь это явно четырёхугольник. Но началось всё с маленькой скромной точки .

Почему, когда мы поставили 4-ую точку, и начали ломать гладкую сторону и делать из неё две новые стороны - почему во время этого процесса сумма внутренних углов не изменяется, это ясно из рисунка:

0x01 graphic

Красиво, подумал я. Треугольник становится 4-угольником в тот момент, когда это решает человек, а не "сам треугольник"... Какая гуманная филосфия!

Да... Вот так, с помощью рисунков, я доказал себе следующую формулу:

Si+1 = Si + ? (2)

Занимаясь изобразительным творчеством, я понял, что к сумме углов многоугольника по мере увеличения вершин может добавляться лишь ровно по одному пи.

Здорово, логично, красиво! Ну кто сказал, что математика - это не искусство?

2. АРТ-ПРОРЫВ

Далее, искренно желая настоящего арт-прорыва, я начал изучать формулу (1) :

SN = (N-2)?

Скромно и не совсем уверенно, насколько позволяло мне то пасмурное утро, я написал:

S-3 = (-3-2)?

S-3 = -5?

Я почему-то сразу понял, что при отрицательных N ( N - это количество вершин многоугольника) речь идёт о сумме внешних углов многоугольника.

Сумму внешних углов треугольника можно посчитать с помощью рисунка:

0x01 graphic

сумма внешних =

a1+a2+a3=(2?-b1)+(2?-b2)+(2?-b3)

=6?-(b1+b2+b3)= 6?-?=5?

Правда, со знаком ошибся:

V3 = -5?

Зато легко. Я понял - надо чаще рисовать. Мне это нравится. И польза видна.

Для суммы внешних я ввёл новое обозначение:

VN = (-N-2)? (3)

Кроме того, отдыхая от графики, нашёл полезную формулу. Для любого многоугольника сумма внутренних и внешних углов равна:

SN + VN = -4? (4)

Потом я подумал, почему сумма внешних отрицательна? И решил: при подсчёте суммы внутренних углов мы вектором-счётчиком проходим угол против часовой стрелки (как и должно быть), а при подсчёте суммы внешних углов мы вектором-счётчиком проходим внешний угол по часовой стрелке, то есть всё так, как на этом рисунке:

0x01 graphic

А иначе бы не было формулы (4). Всё логично и красиво.

А затем меня потянуло на экзотику. А что, если количество вершин равно нулю?

По формуле (1):

S0 = (0-2) ? = -2?

По формуле (3):

V0 = (0-2) ? = -2?

Но если вершин - нуль, сторон - нуль, то что это за фигура?

Может быть это математическая точка? Но тогда почему у неё есть сумма внутренних углов? Загадка...

Но с другой стороны - раз так написано, значит есть...

Я подулал: путаницу (только в этом вопросе ) создаёт знак Vo.

Если ввести новый параметр:

AN:= |VN| + SN

То можно благодаря ему получить такую таблицу:

A0 = 0

A1 = 2?

A2 = 4?

A3 = 6?

A4 = 8?

...

AN = 2N ?

Из которой становится ясно, что математическая точка (первая строка таблицы) не имеет никакой суммы углов... Тогда я думал, что я прав...

Потеряв всякий мат.интерес к мат.точке (а совершенно зря!), я заинтересовался строчкой 3:

A2 = 4?

Ведь многоугольник с двумя вершинами - это же отрезок прямой линии. Нарисовав его, всё понять про него можно чисто зрительно:

0x01 graphic

И действительно, из рисунка ясно, что сумма внешних углов равна четырём пи:

V2 = 4?

А суммы внутренних нет вообще.

Правда в знаке я опять ошибся: V2 = (-2-2) ? = -4?

Зато я прав во втором случае: S2 = (2-2) ? = 0

Тут хочется остановиться, задержаться чуток, и мало-мало "побалдеть"... Ведь это здорово! Ведь раньше - я не знал совсем, не ведал и не догадывался, что отрезок прямой - это многоугольник с двумя вершинами, с двумя сторонами...

Ух! Вот это да... Лепота! (но этого слова вы наверно не знаете...) Крутизна, одним словом... Короче, я балдею... (а это вы знаете точно... )

3. И О ГЛАВНОМ...

И тут я задумался. Ведь многоугольник с одной вершиной, с одной стороной тоже есть!

А как же он не может быть? Ведь про него я уже знаю много:

S1 = (1-2)?= -?

V1 = (-1-2)?= -3?

Написав всё это, я ещё не знал, что моя спокойная жизнь находится под угрозой.

Слишком много вопросов сразу появилось. И мои художественные способности тут не помогали. Я изобразил

многоугольник с одной вершиной, с одной стороной:

0x01 graphic

И как тут считать сумму внутренних? И где здесь сумма внешних?

Одно я понял: если вершина одна, то есть второй нет вообще, значит линия бесконечна...

Ну, нарисовал я такую...

Вот это произведение искусства:

0x01 graphic

Бесконечная линия задумчиво уходит... куда-то...

4. ПРАВДИВОЕ РАССУЖДЕНИЕ О ЛОГИКЕ ПОСТРОЕНИЯ N-УГОЛЬНИКА

Должен сказать, что для занятия математикой не всегда достаточно одной математики. Иногда к вечным атрибутам - бумаге и карандашу - и мне, и тебе, дорогой читатель, необходимо добавить личность...

В данном случае, к бумаге и ручке, к чёрной доске и белому мелу, к мольберту и к краскам с кистями... необходимо добавить творческую личность Главного Геометра.

Главгеом, он, безусловно, будет рассуждать примерно так...

Итак, чтобы понять формулу

SN = N? - 2?

надо строить логику построения многоугольника с самого начала. Итак, начинаем... Для конкретности возьмём N = 3 (строим треугольник)

Главгеом утверждает, что для того, чтобы построить 3-угольник, надо сначала взять отрезок прямой линии:

0x01 graphic

затем на этом отрезке надо поставить три точки - три будущие вершины треугольника:

0x01 graphic

каждая вершина добавит в сумму внутренних углов +? радиан:

0x01 graphic

То есть, ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ( ДО НАЧАЛА ПОСТОЕНИЯ )

N-УГОЛЬНИКА РАВНА N? :

SN.0 = N?

Но в формуле для SN у нас ещё имеется загадочный "довесок" -2? , который тоже надо красиво объяснить:

SN = N? - 2?

Но мы ведь ещё не закончили построение треугольника! Стороны a, b, c, a' , вращая вокруг вершин A, B, C как вокруг осей, надо сложить в 3-угольник:

0x01 graphic

в конце этой процедуры сторона a' должна наложится на сторону a .

Начинаем строить :

0x01 graphic

мы повернули все (вместе) стороны справо от вершины А на угол пи/2.

Далее - поворот вокруг вершины В:

0x01 graphic

Осталось только повернуть сторону a' так, чтобы она слилась со стороной a :

0x01 graphic

Кто внимательно следил за всеми "поворотами", тот уже знает, что сумма всех поворотов равна 2?

Но поскольку все наши вращения уменьшали сумму внутренних углов, то сумма внутренних углов стала такой:

3? - 2?

то есть:

S3 = ?

Всё просто. Но зато теперь мы знаем, как на самом деле логически строится формула суммы внутренних углов для любого многоугольника:

SN = N? - 2?

В математике есть два вида знаний: первый - когда человек знает правильную формулу для того, чтобы сделать правильные расчёты, второй вид знаний - когда человек знает метод, как логически вывести нужную правильную формулу.

А есть ещё и третий вид знаний - когда человек знает теорию, из которой можно получить различные методы, из которых можно получать разные формулы...

Кстати, древние мудрые люди, которые тоже любили логику, говорили: "Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать...". Если вы такой же мудрый, то наберите в редакторе Turbo Basic (это язык программирования такой) вот эту программку, и тогда вы всё увидите, и всё поймёте:

'' 17 december 2007, Pavel Sapunov for you

screen 9

xx0=222

yy0=222

line(xx0,yy0)-(xx0-150,yy0),6

line(xx0,yy0)-(xx0+100,yy0),15

delay 1.5

cv14=15

zzz=0.0275

'''''''''''''''' 1

r=140

a=0

do

x= r*cos(a)

y= r*sin(a)*0.74

line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),1

a=a+0.01

x= r*cos(a) y= r*sin(a) *0.74

line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),cv14

delay zzz

loop until a>=3.14/3

'''''''''''''' 2

r1=40

r=r-r1

xx0=xx0+r1*cos(a)

yy0=yy0-r1*sin(a)*0.74

do

x= r*cos(a)

y= r*sin(a)*0.74

line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),2

a=a+0.01

x= r*cos(a)

y= r*sin(a) *0.74

line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),cv14

delay zzz

loop until a>=3.14/3+3.14*0.8

''''''''''''''' 3

r1=86

r=r-r1

xx0=xx0+r1*cos(a)

yy0=yy0-r1*sin(a)*0.74

do

x= r*cos(a)

y= r*sin(a)*0.74

line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),5

a=a+0.01

x= r*cos(a)

y= r*sin(a) *0.74

line(xx0,yy0)-(xx0+x,yy0-y),cv14

delay zzz

loop until a>=2*3.14

end

'' я нарочно не делал цикл от 1 до 3, потому что

'' без цикла проще понять

5. C ОДНОЙ СТОРОНОЙ...

Тем временем, Главный геометр опять ушёл в "начало начал" и нарисовал так:

И дальнейший ход рассуждения вам почти известен. После того, как мы поставили точку-вершину А, сумма внутренних углов (ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ СУММА) стала равна:

S1.0 = ?

А далее - парадокс. Берём сторону a (справа от вершины А) и виртуально вращаем по часовой стрелке на угол 2? до совпадения с самой собой.

При этом, когда сторона а будет проходить через сторону "а штих", то сумма вн.углов будет равна:

S1.1 = ? - ? = 0

А ещё через полоборота:

S1.2 = 0 - ? = -?

То есть, сумма внутренних углов многоугольника с одной стороной (т.е. с 1-й вершиной ) равна :

S1 = -?

Кто-то может сказать: мы ничего не делали, так как все стороны остались там, где и находились до того, как мы начали вращение. Но тут важна не внешняя похожесть, а логика действия. А логика такая: сначала на отрезке прямой мы расставляем вершины - задаём тем первоначальную сумму внутренних углов, а затем, совершая полный оборот (на два пи), соединияем начало отрезка с его концом, за счёт его фигура многоугольника становится замкнутой.

Теперь - контрольный вопрос.

Посмотрите на рисунок

0x01 graphic

и скажите: почему точка О (точка соответствующая нулю радиан) при вращении стороны а остаётся на месте?

Эта точка относится к шкале измерений, потому она не может перемещаться. При перемещении объектов (геометрических) шкала измерений всегда остаётся на одном и том же месте. Всё логично, однако.

6. НУЛЬ-УГОЛЬНИК. НУЛЬ-ЛОГИКА...

Теперь, я думаю, мы с вами уже ощущаем в себе силу и опыт для того, чтобы рассуждать о случае, когда у многоугольника количество сторон равно нулю.

Рисунков никаких не будет - нуль нарисовать невозможно.

Первоначальная сумма внутренних углов равна:

S0.0 = 0 ? = 0

И это правильно. Нуль - это ничего, никаких сторон, никаких углов.

И так было бы, если бы не было логики. А логика говорит: мы сначала берём отрезок прямой, чтобы из него сделать многоугольник...

Но многоугольник - фигура замкнутая. Чтобы из отрезка сделать замкнутую фигуру надо взять начало и конец отрезка, и, повернув конец на угол 2? , соединить конец с началом.

Скажем так: этого требует логика замкнутости любого многоугольника. И нуль-угольника тоже!

Поэтому :

S0 = 0 - 2? = - 2?

И здесь тоже есть чему удивляться! Мы только доказали, что пустое пространство может быть замкнутым!

Жалко, что увидеть это нельзя! Ведь это было бы круто!

7. ОБ ЭМОЦИЯХ И НЕ ТОЛЬКО...

Случай многоугольника с двумя сторонами теперь не может нас удивить.

И хотя многоугольник с одной стороной и совсем экзотический нуль-угольник нам теперь стали как-то ближе и понятней, но первое впечатление мы всё же помним...

Художники говорят, что первое впечатление - самое верное.

И мне почему-то захотелось зафиксировать это первое...

Напишем формулу суммы внешних углов многоугольника:

VN = (-N-2) ?

и суммы внутренних углов многоугольника:

SN = (N-2) ?

Теперь сконструируем такую функцию W(N) :

W(N) = VN + |SN |

(сумма внешних плюс модуль суммы внутренних )

И вот какие интересные результаты даёт эта простая функция от разных N:

W(0) = 0

W(1) = -2 ?

W(2) = -4 ?

W(3) = -4 ?

W(4) = -4 ?

Вообще, при N>1 :

W(N) = -4 ?

Как видите, в случаях 0-угольника и 1-угольника, удивляться , я бы сказал, дело естественное. Тому есть почти математическое доказательство. Ну... пусть не доказательство, а хотя бы просто математическое подтверждение... Это тоже многого стоит...

Я серьёзно...

Эмоции - это всегда серьёзно.

А вам нравится музыка Поля Мориа?

Павел Сапунов

10 декабря 2007 года

____________________________________________________________

© Сапунов Павел. Многоугольник с одной стороной

Origin: http://samlib.ru/s/sapunow_p/mnogo.shtml

Создан: 29/05/2009, изменен: 29/05/2009, 44k

Миниатюра: Естествознание, Юмор

Series: Математические миниатюры