# Ветвящееся пространство-время

Ренат Гильмеханович Шаймарданов

Перевод постпринта (2003 г.) одноименной статьи (1992 г.) Нуэля Белнапа. Переводчик - владелец раздела.

Шаймарданов Ренат Гильмеханович

Ветвящееся пространство-время

Origin: http://samlib.ru/s/shajmardanow_r_g/branching_space-time-1.shtml

Создан: 22/10/2009, изменен: 22/10/2009, 173k

Статья: Естествознание

Series: Переводы

Перевод постпринта (2003 г.) одноименной статьи (1992 г.) Нуэля Белнапа. Переводчик - владелец раздела.

____________________________________________________________

## Ветвящееся пространство-время, постпринт, январь 2003 г.

Нуэль Белнап

11 февраля 2003 г.

### Содержание

• Аннотация

• 1 Введение

• 2 Мир и причинный порядок в нем

• 3 Истории

• 4 Связь историй

• 5 Ветвление и возможности в точечных событиях

• 6 Принцип выбора

• 7 Принцип предшествования выбора: вариант для точечных событий

• 8 Проблема "крыльев"

• 9 Индетерминизм без выбора

• 10 Расхождение по срезу одновременности

• 11 Удаленная корреляция: ЭПР

• 12 Выводы и задачи

• 13 Приложение

• • 13.1 Принцип предшествования выбора, продолженный на цепи

• • 13.2 Точные нижняя и верхняя грани, плотность и транзитивность

• • 13.3 Как неопределенность переходит в определенность

• Список литературы

#### Аннотация

Излагается теория ветвящегося пространства-времени, представленного в виде простого сочетания релятивизма и индетерминизма. Через постулаты и определения строго описываются возможные причинные отношения между точечными событиями. Ключевой постулат - вариант идеи "все имеет причинное происхождение"; к ключевым определяемым терминам относятся история и точка выбора. Доказываются некоторые элементарные, но полезные факты. Описывается применение к статусу причинной одновременности индетерминированных событий, к расхождению историй, к индетерминизму без выбора и к удаленной корреляции Эйнштейна-Подольского-Розена.[+1]

### 1 Введение

Как сочетать релятивизм и индетерминизм в строгой теории?[1] Это трудная задача; приводились аргументы в пользу ее принципиальной неразрешимости. Штейн в 1992 году опроверг эти аргументы, принимая во внимание их кажущуюся силу. Данная работа прямо обращается к этой проблеме и предлагает строго очерченный вклад в ее решение.

Комбинационная постановка вопроса подразумевает сочетание обеих посылок - и релятивизма, и индетерминизма. Думаю, что те, кто отвергает одну из них, все же найдут полезной эту попытку разработать теорию, соединяющую обе посылки. Более того, я надеюсь - те, кто аргументирует непринятие одной из посылок ее несовместимостью с другой, обнаружат изъян в этом аргументе. В конце концов, достаточно много людей воспринимает как данное то, что все разговоры о релятивизме и детерминизме-индетерминизме сводятся к рассуждениям о психологии, гносеологии, истории науки либо о теориях, законах, моделях или других лингвистических или квазилингвистических феноменах.[2] Я полагаю, некоторые из этих людей сочтут полезным дополнительный подход, разработанный в отдельных деталях.

Теория, излагаемая в данной статье, проста в смысле терминологии: хотя она и включает в себя несколько определяемых понятий, единственными ее примитивами явлются (1) множество возможных точечных событий и (2) отношение причинного порядка на нем. Недостаток: разрабатываемые идеи довольно далеки от реальной физики. Достоинства: полученные результаты фундаментальны, строги и четки. Основополагающей является та идея, что для адекватного описания нашего мира требуется соединить пространство-время Эйнштейна-Минковского с ветвящимся временем Прайора-Томасона. Название ветвящееся пространство-время для результирующей структуры кажется ничем не хуже других. Вот исторический взгляд на предмет.

Физики старого поколения рассматривали время, по меньшей мере в моем понимании, как линейно упорядочение мгновенных "снимков" бесконечных евклидовых пространств. Игнорируя метрику, что я делаю на протяжении всей статьи, назовем такую структуру линейным временем, а порядок - линейным временным порядком. Отдельные мгновенные "снимки" евклидовых пространств, выстроенные в линейный временной порядок, назовем моментами.

В изложении специальной теории относительности по Эйнштейну фундаментальной идеей Минковского являлся, с современной точки зрения, пересмотр самой сути отношения. Связываются не пространственно бесконечные моменты, а бесконечно малые точечные события; то, что их связывает, называется причинным порядком. Под причинным порядком я подразумеваю то, что можно было бы назвать, внося "направленность"[3], "времениподобным" или "изотропным" порядком. (Физики и релятивисты старого поколения согласны с тем, что причинное воздействие распространяется лишь в направлении причинного порядка, однако они расходятся в вопросе природы объектов отношения.) Многообразие точечных событий называется пространством-временем. Идея рассмотрения пространства-времени как множества причинно упорядоченных точечных событий переносит нас от специальной теории относительности к общей. В иллюстративных целях, однако, часто полезно придерживаться специальной теории относительности с ее частным случаем метрики. В таких случаях я буду употреблять термин пространство-время Минковского,[4] оставляя выражение пространство-время для случая общей теории относительности.

Что касается индетерминизма, его нерелятивистский вариант исторически мог бы быть получен из квантовой механики, а релятивистский - из квантовой теории поля. Я не располагаю достаточными основаниями, чтобы попытаться описать это; я всего лишь опираюсь на результаты работ логиков Прайора, Томасона и Макколла. Формулируя некоторые фундаментальные особенности нашего мира, связанные с индетерминизмом как с основанием модально-временной логики, Прайор, а за ним и Томасон, начали с того же, что физики старого поколения - с моментов. Затем они обобщили линейный временный порядок до ветвящегося временного порядка. Многообразие моментов, упорядоченных таким древовидным образом, называется ветвящимся временем.[5]

Наблюдается контраст. С одной стороны, с необходимостью усложняется детализация релятивизма и квантовой механики. Неудивительно, что вряд ли найдется много людей, способных высказать что-либо существенное об их объединении в квантовой теории поля. С другой стороны, ни фундаментальная идея релятивизма Минковского, ни фундаментальная идея индетерминизма Прайора и Томасона не есть единственное, что вносит усложнение. Появляется надежда на то, что путем сочетания этих идей удастся высказать нечто простое, но нетривиальное о релятивистском индетерминизме. Результатом является то, что я называю "ветвящимся пространством-временем". Идея сочетания содержит две составляющие: (1) связываются точечные события, как того требует Минковский (но не Прайор и Томасон), и (2) порядок является ветвящимся (причинным), как требуют Прайор и Томасон (но не Минковский). Желаемое можно описать следующим соотношением:

Ниже приводится таблица, поясняющая эту терминологию.

Структура | Что связывается | Отношение
линейное время | моменты | линейный временной порядок
пространство-время | точечные события | причинный порядок
ветвящееся время | моменты | ветвящийся временной порядок
ветвящееся пространство-время | точечные события | ветвящийся причинный порядок

Структура последующих частей статьи такова. В ?2-?7 1) через строгие постулаты, определения и факты (каждый из которых пронумерован[+2]) излагается теория, 2) подкрепляемая неформальным обоснованием. В ?8-?11 рассматривается применение теории к нескольким проблемам, последней из которых является парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена. В ?12 подводятся итоги. И наконец, ?13 представляет собой приложение, содержащее скромное обобщение.[+3]


### 2 Мир и причинный порядок в нем

Строгая теория начинается с излагаемого ниже постулата 2-1. С этого места я начинаю добавлять неформальные комментарии, вводя описательные названия и поясняя их возможно более ясным и доступным языком. Примем, что Мир - множество точечных событий, которые находятся в подходящих внешних для нас отношениях.[6] Оставим место для индетерминизма, включив в это множество события, которые являются либо являлись возможностями в будущем.[7] О тех событиях, которые были возможностями в будущем, можно сказать, что они "могли бы произойти". Будем иметь в виду, что впереди в причинно-следственном направлении могут быть противоречивые возможности, в том числе любые точечные события, доступные из настоящего по всевозможным, быть может, зигзагообразным, прямым и обратным причинным последовательностям. Пусть e (часто с индексом) - некоторое событие из Мира.

Я предупреждаю обычным описательным языком, что не собираюсь рассматривать точечные события, представляющие собой просто выражения веры, надежды, воображения, или обыденные события, которые могли бы произойти при ином стечении обстоятельств. В последующем я буду стараться избегать описательного языка. В частности, я не буду проводить различие (что неизбежно является описательным, если не сравнительным) между действительным и возможным, за исключением случаев, когда приводятся или поясняются примеры. Возможные точечные события, таким образом, - это просто точечные события. Точечные события следует воспринимать не просто как пространственно-временные точки, открытые для альтернативной конкретизации, но как существующие сами по себе конкретные частности.[8]

Некоторые возможные точечные события несовместны с другими. Приведем идеализированную иллюстрацию. Пусть идеально малое событие em заключается в измерении спина электрона. Есть два возможных исхода: измеренный спин направлен вниз или направлен вверх. Рассмотрим два возможных точечных события - eu, при котором истинно высказывание "измеренный спин направлен вверх", и ed, при котором истинно высказывание "измеренный спин направлен вниз". Точечные события eu и ed несовместны, хотя каждое из них совместно с em.[9] Как могут уживаться в Мире два несовместных точечных события? Ответ: посредством причинной связи.

Пусть ≤ - отношение в Мире, означающее, что e1 ≤ e2 имеет место лишь в том случае, когда между e1 и e2 имеется причинная связь, причем первое из них произошло раньше второго (в нестрогом смысле, допускающем совпадение). Если e1 ≤ e2, то с позиции события e2 мы должны сказать, что e1 произошло, а с позиции события e1 - что e2 может произойти. На рис. 1 показаны три примера.

Причинное рассеяние: Причинная связь может иметь место между данным точечным событием e3 и двумя пространственноподобно разделенными будущими (по отношению к e3) точечными событиями e1 и e2 в едином (для примера) пространстве-времени Минковского, поскольку можно допустить, что e3 ≤ e1 и e3 ≤ e2. Причинное слияние: Причинная связь может также иметь место между двумя пространственноподобно разделенными точечными событиями e1 и e2 в пространстве-времени Минковского, и будущим по отношению к ним точечным событием e3, так как равным образом можно допустить, что e1 ≤ e3 и e2 ≤ e3. Причинное ветвление: Причинная связь может также иметь место между данным e3 и двумя возможными будущими точечными событиями e1 и e2, представляющими взаимоисключающие возможности занятия одного и того же "места" в пространстве-времени": e3 ≤ e1 и e3 ≤ e2.[10] Запрет обратного ветвления: Отсутствие четвертой схемы на рисунке говорит о недопустимости существования в прошлом несовместных точечных событий, т.е. недопустимости того, что события могут иметь несовместные причины в том же смысле, в каком они могут иметь несовместные следствия. Запрет обратного ветвления, когда мы говорим об экспериментах, измерениях, вероятностях, некоторых необратимых явлениях и тому подобном, есть результат здравого смысла, присущего людям, в том числе и ученым. Однако во многих других отношениях ученые настаивают на том, чтобы не проводить различие между прямым и обратным направлениями. Здесь недостаточно места для рассмотрения этого спорного вопроса, и я полагаю бесспорным одно: предположение об отсутствии обратного ветвления достаточно правдоподобно, чтобы оправдать то, к чему оно ведет. Поэтому оно оправдано в той мере, в какой полезна теория, частью которой она является.[+4]

Рис. 1: Причинное рассеяние, слияние и ветвление

Каким постулатам подчиняется причинное отношение? В 1986 году Мунди описал результаты Робба 1914-36 г.г. для пространства-времени Минковского и привел дополнительные результаты для изотропного отношения. Это исследование, однако, здесь непосредственно не поможет, так как пространство-время Минковского, по меньшей мере в моем понимании, не содержит несовместных точечных событий. Нам следует двигаться более последовательно. Первый постулат настолько естественен и важен, что без него дальше говорить было бы не о чем.

2-1 ПОСТУЛАТ. (Частичный порядок) Отношение ≤ есть нетривиальный частичный порядок в Мире: Нетривиальность: Мир непуст. Рефлексивность: e ≤ e. Транзитивность: Если e1 ≤ e2 и e2 ≤ e3, то e1 ≤ e3. Антисимметричность: Если e1 ≤ e2 и e2 ≤ e1, то e1 = e2.

Я не могу привести сколь-нибудь поучительный аргумент в пользу этого постулата. Например, некоторые ставят под сомнение необходимость антисимметрии, призывая допустить возможность замкнутых причинно-следственных цепей, идущих по собственным следам. Я не желаю это делать, но в равной мере не желаю и аргументировать свою точку зрения. Без антисимметрии последующее рассмотрение непременно оказалось бы невразумительным, что, наверное, само по себе есть неплохой аргумент в пользу антисимметрии.[11]

Следующие простые определения приводятся в целях удобства.

2-2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Строгий частичный порядок) Для обозначения строгого частичного порядка используется знак <: e1 < e2, если e1 ≤ e2, но не e1 = e2. Нестрогий порядок ≤ истолковывается как "причинно раньше" или "причинно позже"; наречие "причинно" часто будет опускаться. Строгое отношение снабжается наречием "собственно", например, "e1 произошло собственно раньше, чем e2". С другой стороны, для строгого отношения удобнее использовать "причинное прошлое" и "причинное будущее [возможностей]", опять же чаще опуская "причинное", чем не опуская. Итак, если e1 < e2, то первое событие произошло собственно раньше второго события, или в его прошлом. Второе имеет место собственно позже первого, или в его будущем [возможностей].[+5]

"Будущее [возможностей]" может содержать несовместные возможности. Это следует иметь в виду изначально, хотя пока не может быть пояснено. Читатель вечно будет путаться (и думать, что я что-то путаю, или, возможно, просто пытаюсь его развлечь), если истолкует выражение "будущее [возможностей]" как "что произойдет" вместо "что может произойти". Например, в данном употреблении выражение "в будущем [возможностей] события измерения существуют как измеренное направление спина вверх, так и измеренное направление спина вниз" означает всего лишь то, что каждое из них может произойти, а не то, что каждое произойдет (что было бы невероятно). Чтобы исключить путаницу, я буду говорить иногда [хотя должен бы говорить всегда] "будущее возможностей" вместо просто "будущее". Навеянное идеями Прайора понятие будущности, требуемое для понимания будущего времени в английском языке, я разъясню ниже.

Не следует забывать, что ни одно из приведенных выше выражений не имеет дела с какой-либо системой координат. Они все опираются на упорядоченность точечных событий, и больше ни на что. Обратите внимание также на то, что по веским причинам я пока еще не дал определения "пространственноподобного разделения" и "причинной одновременности".

2-3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Цепь, ряд, интервал) • Цепь - подмножество событий Мира, все элементы которого сравнимы отношением ≤: для любых e1, e2 в цепи либо e1 ≤ e2, либо e2 ≤ e1. • Причинный ряд или интервал - максимальная цепь, лежащая между двумя данными точечными событиями. Он "открыт" или "замкнут" на том или ином конце в зависимости от того, предусматривает или нет определение "между" включение данных точечных событий. • Термин "ряд" распространяется на случаи, когда задано только одно точечное событие, а цепь максимизирована в направлении вперед или назад от него, либо не задано никакое событие, а цепь максимизирована в Мире. В этом случае иногда говорят, что ряд максимален вперед, максимален назад или просто максимален.

Некоторые полагают, что причинный ряд есть годограф, то есть геометрическое место точек возможного причинного перехода.[12] Такая трактовка, хотя она и верна в данной теории, может вводить в заблуждение, если игнорировать то, что причинный ряд есть именно цепь (возможных) точечных событий. Как бы то ни было, совокупность занимаемых им пространственно-временных положений доступна для альтернативных возможностей. Таким образом, соединенные причинным рядом точечные события именно "соединены", а не "соединимы".[13]


### 3 Истории

Как дальше описывать способ расположения точечных событий в Мире? То, что получается в конечном счете, есть вариант идеи "все имеет причинное происхождение". Однако, чтобы строго сформулировать подобный постулат, придется отвести три раздела для некоторых важных определений, выведенных путем обобщения из теории ветвящегося времени Прайора. Моменты в этой теории располагаются в виде дерева: для несовместных моментов существует общий ограничивающий снизу момент (по выражению Томасона, "историческая связь"), но нет общей верхней грани (запрет на обратное ветвление). Формальное определение дерева выражает открытость будущего в противоположность определенности и неизменности прошлого. Важно постоянно иметь в виду, что "мир" в ветвящемся времени представляется всем деревом. Кроме того, существует понятие "истории", определяемой как максимальная цепь моментов. Представьте себя находящимся в моменте дерева, например, в моменте, в котором происходит измерение спина. Легко видеть, что ваш мир на этой картине уникален, несмотря на то, что вы принадлежите многим "историям". Пока ветвление не прекратится, возможно даже и после того, как вас не станет, не существует другой такой истории, как ваша. Разумеется, в ветвящемся времени выражение "ваша история" имеет смысл лишь в совокупности с "вашим историческим прошлым". Ветвящееся время теряет уникальность лишь тогда, когда истории рассматриваются как простирающиеся в будущее. В такой трактовке "мир" содержит несовместимые возможности, тогда как "история" их не содержит. История представляет собой выбор между несовместимыми возможностями, разрешение всех дизъюнкций до конца, который, возможно, никогда не наступит.

В данной разработке сохранена прайоровская идея Мира как содержащего множество возможных историй, каждая из которых может представлять пространство-время Минковского.[14] Очевидно, что при этом истории нельзя определять как максимальные цепи точечных событий; последние представляют собой не более чем причинные ряды, не имеющие пространственного измерения. Есть, однако, еще кое-что, на что можно опираться: для любых двух точечных событий из истории найдется принадлежащее ей событие, содержащее их в своем прошлом. Например, пусть две точки пространства-времени Минковского пространственно значительно удалены друг от друга (в некоторой системе отсчета). В конечном счете они окажутся в прошлом некоторой точки, достаточно удаленной в соответствующих будущих. И наоборот, предположим, что при измерении спина электрона существуют несовместимые возможности его направленности вверх и направленности вниз. Тогда два более поздних события, каждое из которых реализует одну из возможностей, не могут находиться в прошлом никакого точечного события. Поскольку такая структурная особенность уже обладает названием, я буду использовать именно его: история должна быть "направленным" множеством, что определяется следующим образом.

3-1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Направленное множество) Подмножество E событий из Мира называется направленным, если для любых e1 и e2 из E существует точечное событие e3 из E, являющееся их общей верхней гранью: e3 ∈ E и e1 ≤ e3 и e2 ≤ e3. (См. схему "Причинное слияние" на рис. 1.)

В работе Уайтхеда 1929 г. есть прецедент рассмотрения историй как направленных множеств, хотя рассмотреть его мешает специфичный лексикон. Например, "множественные связи [между множеством реальных сущностей] есть то, как эти реальные сущности соотносятся на самом деле во всех последующих унификациях вселенной..." (там же, с. 351; курсив мой), или "всякая реальная совместность есть совместность в формальном образовании реальности" (там же, с. 48). Здесь я отождествляю точечные события в Мире с уайтхедовскими реальными сущностями. В ходе истории "многие становятся одним и прирастают одним" (там же, с. 32).

Не всякое направленное множество можно считать историей; предполагается, что история должна быть максимальной.

3-2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (История) Подмножество h событий из Мира называется историей, если h есть максимальное направленное подмножество Мира: само h является направленным подмножеством Мира, но никакое собственное подмножество h не обладает этим свойством.

Истории являются ключевым концептуальным инструментом. Я даю им такое название не по чисто мнемоническим причинам: они являются историями именно в этом смысле слова. Это аналоги историй в ветвящемся времени. Каждая история может быть пространством-временем Минковского, однако (в теории ветвящегося пространства-времени) Мир им не является, так как отдельно взятое пространство-время Минковского, в отличие от Мира, не содержит несовместимые возможные точечные события. Ниже приводятся элементарные факты, касающиеся историй.

3-3 ФАКТЫ. (Простые высказывания об историях) • Всякое конечное множество точек, содержащееся в истории h, имеет верхнюю грань в h. • Бесконечные подмножества истории, например, сама история, не имеют общей верхней грани. • Каждое направленное множество может быть продолжено до истории. Для доказательства достаточно применить лемму Цорна. • Каждое точечное событие из Мира принадлежит некоторой истории. • Истории замкнуты вниз: если e1 ≤ e2 и e2 ∈ h, то e1 ∈ h. • Дополнения историй замкнуты вверх: если e1 ≤ e2 и e1 ∉ h, то e2 ∉ h. • Никакая история не является подмножеством отличной от нее истории. • Никакая история не является подмножеством объединения конечного семейства историй H, членом которого она не является: если H есть конечное множество историй и h ∈ ∪H, то h ∈ H.


Доказательство: Для каждого члена H найдется точка, не принадлежащая ему, но принадлежащая h. Для всех таких точек найдется общая верхняя грань в h. Она принадлежит h, но не принадлежит объединению H. (Доказательство не проходит, если H бесконечно.)


• Пусть h1 ⊕ h2 - несвязное объединение h1 и h2: h1 ⊕ h2 = (h1 − h2) ∪ (h2 − h1). Если h1 ⊕ h2 непусто (т.е. если истории не совпадают), то обе части h1 − h2 и h2 − h1 несвязного объединения непусты.


Доказательство: В противном случае одна история была бы собственным подмножеством другой истории.


Очевидно, два точечных события (часто я буду говорить просто "точка") принадлежат некоторой истории, если они имеют общую верхнюю грань в Мире. И наоборот, никакая история не может быть общей для двух точек, если они не имеют общей верхней грани. Отметим этот существенный факт, дав определение.

3-4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Совместность и несовместность) Точечные события e1 и e2 называются совместными, если существует история, которой они оба принадлежат, и несовместными в противном случае.[+6]

Это определение соотносится с причинно-временной логикой следующим образом: e1 и e2 совместны тогда и только тогда, когда найдется точка e (безотносительно к времени), в которой будет истинным высказывание "e1 и e2 имели место".[15] Причинно-временная логика означает здесь отсутствие системы отсчета. Причинно прошлое время, например, не апеллирует к событиям, причинно одновременным с данным точечным событием, что могло бы иметь место в случае наличия системы отсчета.

Формулировка определений истории и совместности вызывает по меньшей мере три вопроса. Я хотел бы прояснить их сразу.

(1) Если существует объективный индетерминизм, направленный в прошлое (обратное ветвление), то факт наличия общего будущего у двух точечных событий не гарантирует, вопреки определению, их совместность. Как говорилось выше, данная работа предполагает отсутствие обратного ветвления, и я пока еще не сталкивался с какой-либо четко сформулированной причиной для разрешения обратного индетерминизма, кроме как эпистемологической. Некоторые теоретики многомирия серьезно относятся к возможности расхождения историй с последующим схождением. Данная теория не допускает этого, что, по моему мнению, говорит в ее пользу.

(2) Возможно, что некоторые максимальные направленные множества "не могут иметь места", вопреки идее определения совместности. Конечно, может существовать непротиворечивая теория, согласно которой это так. Я сомневаюсь, что эта теория была бы правильной, однако трудно быть уверенным в этом, поэтому я лучше внесу ясность в мои теоретические взгляды.[+7]

(3) Если существуют "горизонты событий", подобные тем, существование которых постулируется вблизи черных дыр, то может показаться, что вопреки определениям возможно существование совместных точечных событий, не имеющих общего причинного будущего. Я хотел бы отложить рассмотрение таких сложных физических вопросов в надежде на то, что предлагаемая теория может все-таки являть собой полезный подход.

Возможно, у читателя возникала мысль, что любое пространство-время Минковского выглядит точно так же, если его перевернуть: оба они не только направлены, но и "направлены вниз" в следующем смысле.

3-5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Направленность вниз) Подмножество E из Мира называется направленным вниз, если для любых e1 и e2 из E найдется точечное событие e из E, являющееся их общей нижней гранью: e ∈ E и e ≤ e1 и e ≤ e2.

То, что пространство-время Минковского совпадает со своим перевернутым образом, конечно, верно, однако не следует думать, что безразлично, каким способом определять "историю". Вот один из аргументов. То, что пространство-время Минковского и в самом деле направлено вниз, было бы воистину странно, если бы оно было максимально направлено вниз. Если бы оно было максимально направлено вниз, оно было бы замкнуто вверх. А если бы оно было замкнуто вверх, то, если бы существовали какие-либо несовместные возможные точечные события в будущем любого из его членов, оно должно было бы содержать их оба.

Таким образом, концепции ветвящегося пространства-времени дают возможность естественного, непринужденного формулирования "направления времени", не прибегая к сложной физике (например, к теории энтропии). Для этого необходимо выйти за рамки свойств отдельно взятой истории и рассмотреть то, как различные истории соотносятся друг с другом; это станет ясно лишь позже в контексте последующих постулатов. Вот определение и факт, переносящие нас от единичных историй к их множествам.

3-6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (He) He есть множество историй, которым принадлежит точечное событие e.

3-7 ФАКТ. (Свойства He) He непусто. Также, если e1 ≤ e2, то He2 ⊆ He1.

Вторая часть 3-7 есть всего лишь изощренное (но тем не менее полезное) повторение того факта, что истории замкнуты вниз. Это другая формулировка "направления времени". Обращение этого утверждения не всегда имеет место; например, может оказаться, что два совместных точечных события принадлежат в точности одной и той же истории, как показано на рисунке 10.

Располагая концепцией "истории" (но никак не без нее!), можно понять "устройство" будущего времени в английском языке. Применим к ветвящемуся пространству-времени соображения Прайора и Томасона. Ключевой пункт - это то, что семантическое значение временного выражения зависит не только от рассматриваемого точечного события, но и от конкретной истории, к которой это событие относится. Например, чтобы определить значение выражения "после измерения окажется, что спин электрона будет направлен вверх", мы должны располагать как событием высказывания e, так и историей h, которой принадлежит e. В причинно-временной логике выражение истинно в том случае, когда при некотором точечном событии ew, которое является будущим для e и принадлежит h, измеренный спин электрона направлен (безотносительно к времени) вверх. Таким образом, имеет смысл утверждать, что измеренный спин электрона может оказаться направленным вверх и измеренный спин электрона может оказаться направленным вниз, но было бы нелогично говорить, что измеренный спин электрона будет направлен вверх и измеренный спин электрона будет направлен будет направлен вниз. Это выглядит очевидным, но часто игнорируется при исследовании ветвления, а также в "многомировой" интерпретации квантовой механики. Эти рассуждения можно улучшить, явно используя весьма четкое представление Томасона о будущем времени.[16] Кроме того, все знают, что это избитая тема; думаю, что мне не придется возвращаться к вопросу о временах, не считая отдельных замечаний.

Становится более понятным и другое: если концепция ветвящегося пространства-времени верна, то выражения "наша история" или "действительная история" (при наличии несовместных возможностей) не имеют смысла.[17] Ученые, например, сколь практичными они ни желали бы быть, не должны ограничиваться рассмотрением "нашей истории" или "действительной истории". Они не просто не должны; они (если концепция ветвящегося пространства-времени справедлива) не имеют права делать это не в меньшей степени, чем математики ограничиваться рассмотрением "нечетных простых чисел", причем в точности по тем же причинам: существует более одного нечетного простого числа и существует более одной истории, которой мы принадлежим. С другой стороны, ученый, точно так же, как математик может иметь ограничится нечетными простыми числами, мог бы обойтись рассмотрением одних лишь "наших историй", то есть множества всех историй, которым принадлежит данный индексальный контекст высказывания. Действительно, такая стратегия подходит для астрономов; но в отличие от них физики, как правило, не ограничивают себя таким образом. Физика имеет дело с тем, что может произойти, равно как и с тем, что могло бы произойти; она имеет дело со всем Миром.[18] Поэтому физика меньше привязана к индексальному языку, чем, скажем, астрономия.[19]

Теперь можно дать определение пространственноподобного разделения.

3-8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Пространственноподобное разделение) Если e1 и e2 (1) не сравнимы отношением ≤, но (2) совместны, то они называются пространственноподобно разделенными. Их можно назвать также причинно одновременными (если учитывать отсутствие транзитивности вследствие (1)).[+8]

Заметим, что условие (2) является существенным. Именно поэтому нельзя ввести пространственноподобное разделение, не дав сначала определения данного раздела.

3-9 ФАКТ. (Пространственноподобные связи и несовместность) Несовместные точечные события не связаны ни причинно, ни пространственноподобно: по отношению друг к другу они не являются ни причинным будущим, ни причинным прошлым, ни причинно одновременными.

Этот факт является тривиальным, но полезным следствием из определений. Он не мешает представлению о несовместных точечных событиях, опосредуемому концепцией "пространственно-временного положения". Однако такая концепция сама по себе не дает возможности установить пространственно-временную связь между пространственно-временными положениями двух точечных событий, исходя из одного лишь факта их несовместности. В этом смысле несовместность, хотя она и определяется исходя из причинного отношения, не является сама по себе пространственно-временным отношением.


### 4 Связь историй

В этом разделе вводится новый постулат и глубже рассматриваются выводы из понятий причинного порядка, истории и совместности. В теории ветвящегося времени, истории которой являются цепями, можно постулировать, что любые две истории перекрываются, называя это, следуя Томасону, связью историй. Тот же постулат сохраняется и в теории ветвящегося пространства-времени, хотя "история" имеет теперь другой смысл:

4-1 ПОСТУЛАТ. (Связь историй) Пересечение любой пары историй непусто.

Позже, при рассмотрении факта 6-2, я выведу постулат 4-1 из другого постулата, а именно из 6-1.[+9] В теории ветвящегося времени связь историй означает, что любые два момента имеют общую нижнюю грань. Здесь, где вместо моментов рассматриваются точечные события, принцип "общей нижней грани" не эквивалентен связи историй и не постулируется. Подробнее см. ниже факт 4-7. Заметим, что этот постулат, в отличие от постулата 1, не допускает замену < его противоположностью, и поэтому чувствителен к направлению времени.

Рис. 2: Свойство M

Точку зрения Льюиса на упомянутые выше "подходящие внешние отношения" хорошо оправдывает следствие из связи историй: переход из одной точки Мира в другую может быть длинным, но он не обязан иметь сложную форму.

4-3 ФАКТ. (Свойство M) Любую пару точечных событий в Мире можно соединить по крайней мере последовательностью отношений ≤ и ≥ в виде буквы M.

См. рисунок 2. В рамках причинной временной логики можно сказать (находясь здесь и сейчас в точке e1): для любого точечного события e2 могло бы оказаться истинным (точка x) то, что до этого было бы истинным (точка e) то, что могло бы оказаться истинным (точка y) то, что до этого было бы истинным то, что произошло событие e2.[+10] (Временные формы здесь просто следуют сторонам буквы M. Также игнорируется возможность существования более простого пути.)

Рис. 3: Связь историй и обобщенная связь историй

Верно, но пока ниоткуда не следует, что всякое конечное множество историй имеет непустое пересечение. Ясность вносит следующее определение:[+11]

4-4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Обобщенная связь историй) Мир удовлетворяет условию обобщенной связи историй, если всякое конечное множество историй в Мире имеет непустое пересечение.

4-5 ФАКТ. (Связь историй и обобщенная связь историй) Обобщенная связь историй не зависит от того, что до сих пор постулировалось.

На рисунке 3 приведен небольшой (включающий шесть точечных событий) пример, иллюстрирующий факт 4-5. В каждой истории имеется три точечных события: h1 = {e1, e2, x}, h2 = {e1, e3, y} и h3 = {e2, e3, z}. Можно видеть, что каждая пара историй перекрывается (связь историй), но никакое точечное событие не принадлежит всем трем историям (как того требует обобщенная связь историй). Последний постулат исключает модель на рисунке 3 из списка возможных.

Стремясь, как правило, делать как можно меньше предположений о пространственно-временной структуре отдельных историй, я строю концепции, сочетающие индетерминизм и релятивизм так, чтобы как можно меньше зависеть от структуры отдельных историй. Во многих целях можно допустить даже конечные модели и возможность скачков и разрывов в Мире. Тем важнее придать смысл "моделям Минковского" или "моделям специальной теории относительности" ветвящегося пространства-времени:

4-6 НЕСТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Ветвящееся пространство-время Минковского) Ветвящееся пространство-время Минковского есть модель Мира, каждая история в которой является пространством-временем Минковского (в обычном смысле, подразумеваемом в литературе, посвященной этому вопросу).[+12]

Рис. 4: Пространство-время Минковского с двумя историями

На рисунке 4 показан частный случай картины пространства-времени Минковского, содержащий две истории h1 и h2. Рисунок 4 состоит из двух частей: одна для h1 и другая для h2, с точкой e, до которой истории перекрываются, и областью расхождения (фиксированная пара "треугольников", состоящих из точек, больших e). Так как истории замкнуты вниз, закрашенные части должны представлять картины, состоящие из одних и тех же точек. Поскольку дополнения историй замкнуты вверх, верхние световые конусы (включая соответствующие их границы) не перекрываются. Примечание: на этой и на последующих диаграммах принадлежность границ, которая иногда играет важную роль, указывается следующим образом: сплошные границы принадлежат нижней области, а штрих-пунктирные - верхней.

Состояние "крыльев" (областей, отмеченных на рисунке 4 знаками вопроса) в настоящее время не обусловлено какими-либо соглашениями. В некоторых источниках, использованных в работе Штейна (Stein 1991), задается вопрос, являются ли события в крыльях абсолютно либо относительно "онтологически определенными или неопределенными". Такая терминология наводит на размышления, но она не управляется строгой теорией. Предлагаемая методология позволяет поставить более точный вопрос: принадлежат ли точечные события в крыльях пересечению h1 ∩ h2 или же (на рисунке для h1) разности h1 − h2? Можно было бы принять волевое решение о разделении крыльев, проведя "срез одновременности" через e и относя точки ниже среза к пересечению, а точки выше среза - к разности историй. Это выглядело бы в духе релятивизма, однако оказывается абсолютно неверным; почему именно - пока нельзя видеть. Нам придется дождаться раздела 8, в котором предлагается определенное решение загадочной "проблемы крыльев". С другой стороны, уже сейчас очевидна справедливость следующего утверждения, которое может представлять некоторый интерес, хотя далее в этой статье оно не используется.

4-7 ФАКТ. (Направленность вниз) Предположим (*), что каждая отдельная история направлена вниз. Тогда направлен вниз и весь Мир в целом.

Предположение (*) справедливо, например, для ветвящегося пространства-времени Минковского, так что в такой модели даже несовместные точечные события будут ограничены снизу.

Доказательство: Для данных e1 и e2 из Мира согласно свойству M найдется точка e, содержащаяся в одной истории с каждым из них. Согласно (*), e1 и e имеют общую грань e3, которая должна, поскольку истории замкнуты вниз, также содержаться в одной истории с e2. Тогда согласно (*) e3 и e2 должны иметь общую нижнюю грань, которая будет и общей нижней гранью для e1 и e2, даже если они несовместны.


+9 - У Теда этим постулатом начинается ряд постулатов возрастающей силы, из которых лишь последний требует оставления в качестве фундаментального. Я сохранил этот ряд в данном постпринте, чтобы было легче видеть концептуальную мотивацию последовательного усиления. Чтобы не запутывать читателя временными постулатами, я привожу перечень всего ряда.

4-2. РЯД ПОСТУЛАТОВ. (От связи историй до принципа выбора.)

Ряд состоит из постулатов, каждый из которых сильнее предыдущего и заменяет его.

• Связь историй, постулат 4-1

• Принцип выбора, постулат 6-1

• Принцип предшествования выбора, вариант для точечных событий, постулат 7-1

• Принцип предшествования выбора, постулат 13-1


### 5 Ветвление и возможности в точечных событиях

При измерении спина возможны в точности два исхода: направление спина вверх и направление спина вниз. Поддающийся описанию исход, заключающийся в том, что электрон изменит свою массу покоя, невозможен. Что это означает? Возможное обычно относят к области разума, теории, закона или языковой или разговорной практики.[20] В этом разделе подробнее рассматривается, как именно происходит ветвление, и предлагается объективный и строгий подход к возможным исходам. Вначале я собираюсь разработать идеи "ветвления" и "возможных исходов" применительно к точечным событиям. Позже эти идеи нужно будет обобщить способом, требующим рассмотрения определенных множеств.

Непосредственный порядок действий примерно такой. В конечном счете мы хотим получить аксиоматический вариант выражения "все имеет причинное происхождение". Чтобы сформулировать его, необходима концепция возможностей в точечном событии. Для выработки такой концепции нужна абсолютная ясность в вопросе ветвления в точечном событии. Но технически оказывается значительно легче начать с определения отсутствия ветвления, для которого я ввожу термин "безусловная нераздельность".

5-1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Безусловная нераздельность) Две истории h1 и h2 из H(e) называются безусловно неразделенными (или нераздельными) в e, что обозначается как h1 ≈e h2, если они имеют общую точку, которая расположена собственно после e, если собственно более поздние точки вообще существуют. (Заключительное условие "если" подразумевает, что когда e является "последней точкой" Мира, h1 и h2 автоматически определяются как безусловно неразделенные в e.) В противном случае, при условии, что e ∈ (h1 ∩ h2), h1 и h2 явно расходятся, или разделяются в e, что обозначается как h1 ⊥e h2. (Таким образом, в данном случае, хотя и существуют точки после e, ни одна из них не является общей для h1 и h2.)

Заметим, что выражения "безусловно неразделены в e" и "явно разделены в e" (т.е. оба выражения h1 ≈e h2 и h1 ⊥e h2 предполагают, что e является элементом каждой из рассматриваемых историй.[+13]

Причиной употребления наречия "явно" является согласование с наречием "безусловно", а причиной употребления наречия "безусловно" - желание зарезервировать выражение "нераздельны" без наречия для важного отношения, возникающего при взятии рефлексивного и транзитивного замыкания отношения "безусловно нераздельны". Тогда в конечном счете окажется, что последнее уже является рефлексивным (см. факт 5-3) и, за исключением явно патологических случаев, транзитивным (см. факт 13-11). Наречия, следовательно, не несут постоянной полезной нагрузки. Однако временное их сохранение упростит анализ.[+14]

Я использую понятие безусловной нераздельности, чтобы упростить определение объективного понятия "элементарной возможности в e". В нескольких последующих абзацах я попытаюсь пролить свет на то, как стыкуются эти идеи. (Возможно, в них и заключена суть данной статьи.)

• Элементарную возможность можно представить как множество историй. Эта идея взята из теорий "возможных миров".

• Чтобы придать смысл возможности в определенном точечном событии Мира требуется, однако, большее. Можно было бы попытаться получить это "большее", рассматривая предложения, в которых упоминается e, но сделать это означало бы потерять надежду на объективность. Очевидно объективное (и очевидно неполное) ограничение заключается в том, что e должно принадлежать каждой истории из множества. Другими словами, любое множество, представляющее элементарную возможность в e, должно быть подмножеством H(e).

• Полное множество элементарных возможностей в e может быть представлено как "разбиение" H(e), то есть как семейство попарно непересекающихся подмножеств H(e), в совокупности исчерпывающих все H(e). Такое разбиение, раз уж оно определено, я буду обозначать Πe.[+15] Оно отвечает уже знакомому высказыванию о том, что если данное событие e произошло, то проявиться может в точности одна элементарная возможность в e.


Как словесно выразить Πe? Вот несколько вариантов, каждый из которых кажется мне корявым: "множество (или система) элементарных возможностей в e (или открытых в e)"; "элементарные e-возможности"; "разбиение по выборам для e". Выражаясь разговорным языком, Πe можно считать представляющим то, что могло бы произойти в e, или то, по какому пути все могло бы пойти сразу после e, или как возможные последствия, исходы или результаты e.


• То же самое можно представить по-другому как отношение эквивалентности на H(e), при котором истории в H(e) "эквивалентны" в e, если не существует открытой в e элементарной возможности, различающей эти истории. Такое отношение эквивалентности будет обозначаться как ≡e.

• Остается вопрос о том, какие разбиения H(e) относить к представляющим "элементарные возможности в e". Вот сильное ограничение: принцип отсутствия выбора между безусловно неразделенными историями, предложенный П. Кремером (P. Kremer) в контексте теории деятелей (см. FF). Этот принцип гласит, что истории, безусловно неразделенные в e, не различаются никакой элементарной возможностью, открытой в e. Предположим, что истории h1 и h2 не разделяются раньше, чем собственно после e, т.е. предположим, что h1 ≈e h2. Тогда h1 и h2 не могут различаться ничем, что может быть осуществлено (произойти, быть решено, быть выбрано, быть назначено и т.д.) в e. Это было бы слишком скоро. Другими словами, пусть точка e расположена собственно до некоторой точки из пересечения h1 и h2. Тогда e произошло слишком рано, чтобы влиять на разделение h1 и h2: "Нет выбора раньше времени". Если измерение спина не произойдет достаточно скоро, то возможности "измеренное направление спина вверх" и "измеренное направление спина вниз" не являются различимыми исходами для сейчас. Нам придется дождаться измерения, которое происходит собственно после точечного события, принадлежащего обеим историям, исключая тем самым то, что они являются различимыми возможностями сейчас.[21]

• Принцип отсутствия выбора между безусловно неразделенными историями не является однозначно определяющим, так как не исключено существование различных разбиений H(e), отвечающих этому принципу. Не исключено даже существование уникального разбиения такого рода, определяемого доктриной сущностей или иным путем. Основной гипотезой данной теории является то, что ничего подобного не имеет места: возможные исходы точечного события полностью определяются (т.е. определяемы) причинным порядком. Гипотеза заключается в том, что нет иного ограничения на элементарные возможности, чем условие отсутствия выбора между безусловно неразделенными историями. Таким образом, множество историй является элементарной возможностью в e, если оно является элементом наиболее мелкого разбиения H(e), которое не разделяет никакие две истории, безусловно неразделенные в e. Повторю еще раз: гипотеза заключается в том, что разнообразие элементарных возможностей, открытых в e, не ограничено ничем, кроме условия отсутствия выбора между безусловно неразделенными историями. Поэтому многообразие элементарных возможностей, открытых в e, не есть что-то надуманное. Это составляющая самой структуры Мира (т.е. может быть определена исходя из нее), порождаемой отношением ≤.

Эти соображения учтены в следующих определениях, хотя я подразумеваю их как самостоятельные.

5-2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Πe и ≡e) • В разбиении H(e) отсутствует выбор между безусловно неразделенными историями, если никакие две безусловно неразделенные в e истории не принадлежат разным элементам разбиения: если h1, h2 ∈ H(e) и h1 ≈e h2, то для каждого элемента H разбиения h1 ∈ H тогда и только тогда, когда h2 ∈ H. • Πe есть наиболее мелкое разбиение H(e), отвечающее условию отсутствия выбора между безусловно неразделенными историями. • Пусть ≡e - рефлексивное и транзитивное замыкание ≈e на H(e). Так как Πe и ≡e математически эквивалентны, я буду использовать их как равнозначные. • Элементарная возможность в e является элементом Πe.

Таким образом, элементарная возможность в e всегда есть множество историй, каждая из которых содержит e. В типичном случае или даже почти всегда может быть верно, что одноэлементное множество {h}, состоящее из одной истории, не является элементарной возможностью ни в каком e. Следовательно, конкурирующее определение элементарной возможности как одноэлементного множества историй было бы слишком широким (хотя, конечно, не для всех целей).

Существуют возможности, не являющиеся элементарными. По меньшей мере, любое объединение элементарных возможностей в e само по себе должно рассматриваться как возможность в e; рассмотрение этого выходит за рамки данной статьи. Таковы концепции менее непосредственных возможностей, важных постольку, поскольку они являются возможностями.

Я рассматриваю однозначно определенное разбиение Πe как собственное пространство для теории объективных вероятностей исходов (или переходов) в отдельно взятом случае. Это имеет следующий смысл: наиболее мелкое разбиение обеспечивается причинной структурой Мира, а не людскими интересами, языком, понятиями, бытием, другими возможными мирами или эволюционным становлением. Рассматриваемая возможность является условной по форме (причем условием является то, что точечное событие произошло), но сверх того, она имеет конкретное обоснование в Мире.

В какой мере это разбиение касается вероятностей? Я подозреваю, что в значительной. Не то чтобы их значения сами по себе порождались бы обязательно причинным порядком (Макколл высказал предположение, как это могло бы быть). Дело в том, что всякая серьезная теория природы вероятностей должна начинать с лежащего в основе пространства вероятностей, на котором основываются значения. Если это пространство происходит от людских интересов, языка, понятий, бытия, других возможных миров или эволюционного становления, окончательная теория не будет объективной. Так что Πe оправдывает себя как приемлемое базисное пространство для объективных вероятностей перехода в отдельно взятом случае.[22]

Такая схема таит в себе опасность, которую следует исключить, прежде чем продолжать далее. Суть дела можно изложить различными способами.

• Судя по внешнему виду определений, могло бы оказаться, что какая-то из элементарных возможностей в e "не может произойти" (не является реально возможной), поскольку ее не реализует ни один из путей, которыми продолжается Мир. То есть могло бы случиться следующее: Мир не прекращается в e, но некоторая история из H(e) прекращается в e (т.е. не содержит точек, расположенных собственно позже e).

• Было бы странно, если бы две истории h1 и h2 из H(e) "расходились" в e в определенном выше смысле в случае, когда одна из них не содержала бы точек после e; однако это представляется допустимым по определению выражения "расходиться". Если бы такое могло быть, было бы даже лучше не говорить о явном расхождении.

Вердикт таков: мы окажемся в концептуальной путанице, если только всякая история из H(e) не будет содержать собственную верхнюю грань для e (если e не является максимальной точкой в Мире). Однако путаницы нет; и как следствие, получаем то, что ≈e является рефлексивным.

5-3 ФАКТ. (Рефлексивность безусловной неразделенности) При условии, что e не является максимальной точкой Мира, всякая история из H(e) содержит точку собственно после e. Следовательно, безусловная неразделенность рефлексивна.[+16]

Доказательство. Предположим, что h ∈ H(e) и e < e1. Тогда {e2: e2 ≤ e} ∪ {e1} является направленным собственным подмножеством {e2: e2 ≤ e}, так что последнее подмножество h не является историей, не совпадает с h и является собственным подмножеством h. Пусть e3 ∈ (h − {e2: e2 ≤ e}). Верхняя грань e и e3 в h, существование которой обеспечивается направленностью h, должна следовать собственно после e.

Этот результат позволяет также рассматривать Πe как разбиение H(e) или как разбиение {e1: e < e1}, в зависимости от того, что удобнее. Тем же путем можно расширить и употребление ≡e, в том числе смешанное употребление точечных событий и историй, как следует ниже.

5-4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Неразделенность) Для e1 и e2, следующих собственно после e, определим, что e1 ≈e e2 тогда и только тогда, когда существуют истории h1 и h2 такие, что e1 ≈ h1 и e2 ≈ h2 и h1 ≡ e h2. Кроме того, тем же способом определим e1 ≡ e h2 и h1 ≡ e e2. Во всех случаях без изменения используются выражения неразделенные в e и разделенные (или расходящиеся) в e для ≡e и отрицания ≡e соответственно.

Таким образом, обозначения ≡e или "неразделенные в e" используются для любых пар, каждый элемент которых есть либо история, содержащая e, либо точечное событие, следующее собственно после e. Поскольку заложенные в них идеи равносильны, затруднений быть не должно.

5-5 ФАКТ. (≡e как отношение эквивалентности) ≡e является отношением эквивалентности для точечных событий, следующих собственно после e, а в смешанных случаях точечных событий и историй является симметричным и транзитивным.

Наконец, мы подошли к релятивизму и строгости в отношении индетерминизма.

5-6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Индетерминированность/детерминированность) Точечное событие e является индетерминированным, если Πe содержит более одного члена. В противном случае оно является детерминированным.

Риторически можно сказать, что Мир является индетерминированным в e. Заметим, что ввиду этого имеет абсолютно полный смысл вкладывать индетерминизм не в теорию, а буквально в наш мир. Имеет смысл говорить, например, что Мир был индетерминированным вчера в Бостоне, но может не оказаться таковым завтра в Остине.

Есть одно логически тривиальное, но психологически важное определение, которое я приведу, прежде чем сформулировать еще один постулат.

5-7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Точка выбора) • Точечное событие является точкой выбора, если оно индетерминировано. • Если h1, h2 ∈ H(e), но неверно, что h1 ≡ e h2, будем говорить, что e является точкой выбора между h1 и h2, то есть h1 и h2 принадлежат различным элементам Πe. То же выражение распространяется на случаи, когда один или оба аргумента являются не историями, а точечными событиями. • Если точечное событие не является точкой выбора, оно называется вырожденным.

Причиной введения "точки выбора" как синонима является то, что хотя в случае точечных событий нет разницы между понятиями "индетерминированная точка" и "точка выбора", в более общем плане они расходятся. Причина введения отдельного термина - подготовка к последующему постулату, который дается в нескольких вариантах, окончательным из которых является постулат 13-1, согласно которому точки выбора играют особую роль в Мире, представляя собой места (в буквальном смысле), где осуществляется выбор (в образном выражении).

5-8 ФАКТ. (Максимальность точек выбора) Точка выбора e между h1 и h2 максимальна в h1 ∩ h2, то есть e ∈ (h1 ∩ h2), причем никакая точка, следующая собственно после e, не обладает этим свойством.[+17]

Доказательство. Точка выбора e должна содержаться в пересечении, поскольку h1, h2 ∈ H(e), и должна быть максимальной, так как истории, имеющие общую точку, следующую собственно после e, всегда принадлежат одному и тому же элементу Πe.


### 6 Принцип выбора

В заключение я предложу постулат, называемый принципом предшествования выбора (постулат 13-1). Формулирование этого постулата во всей полноте потребует привлечения понятий, затрагивающих определенные множества точечных событий, но его смысл станет яснее, если я предварительно сформулирую два последовательно более строгих его варианта, касающиеся только точечных событий. Первый вариант называется принципом выбора.

Принцип выбора напоминает онтологический принцип Уайтхеда, ставившего вопрос различными способами. Вот извлечения из его работы (Whitehead 1929):[23]

"...Единственными причинами являются действительные сущности, так что искать причину означает искать одну или более действительную сущность". (Там же, с. 37)

"..."Решение" есть дополнительный смысл, привносимый словом "действительный" в выражение "действительная сущность". ... Слово "решение" не предполагает здесь осознанное суждение. ... Слово используется в коренном смысле "отсечения других вариантов". (Там же, с. 68)

"... Всякое решение выражает отношение действительной вещи, для которой принимается решение, к действительной вещи, путем которой принимается решение". (Там же, с. 68)

Я собираюсь отождествить "решение о некоторой действительной сущности" с Πe для некоторого точечного события e. Это поможет при желании избавиться от мотивировки; суть содержания останется той же.

Необходимо также выявить, какого рода вещи требуют причин в том контексте, что в определенной точке e1, принадлежащей, может быть, нескольким историям, мы находимся в одной истории, а не в другой, которая могла бы иметь место в точке e1.[24] Согласно предложенным выше соображениям, причину того, что в e1 мы находимся там, где находимся, а не в некоторой альтернативной истории, следует искать в выборе между элементарными возможностями Πe для некоторого точечного события e.

6-1 ПОСТУЛАТ. (Принцип выбора) Для всяких двух историй существует по меньшей мере одна точка выбора (этот постулат впоследствии будет усилен в постулате 13-1).

6-2 ФАКТ. (Выбор и связь историй) Принцип выбора 6-1 влечет за собой постулат 4-1 связи историй, поскольку это очевидно, но обратное неверно.

Доказательство: Несостоятельность обратного утверждения демонстрирует рисунок 5, на котором показан простой частичный порядок, отвечающий условию обобщенной связи историй (всякое конечное множество историй имеет непустое пересечение, определение 4-4), но не отвечающий принципу выбора. Картину следует истолковывать как конечную (шеститочечную) модель; линии обозначают порядок ≤. Историями являются h1 = {x, e1, e}, h2 = {y, e1, e2, e} и h3 = {z, e2, e}. Проблема заключается в паре h1 и h3, для которой нет точки выбора. Единственно возможным кандидатом на роль точки выбора является e, так как это единственная точка пересечения h1 и h3. Так как h1 ≈e h2 и h2 ≈e h3, то согласно транзитивности замыкания (определение 5-2) должно быть h1 ≡ e h3, так что единственный кандидат e не является точкой выбора для пары h1 и h3 (определение 5-7).

Рис. 5: Нарушение принципа выбора


### 7 Принцип предшествования выбора: вариант для точечных событий

Существует усиление принципа выбора, отвечающее глубоко укоренившемуся представлению о причинной связи: причины предшествуют своим следствиям.[+18] Таким образом, если я выиграю десять долларов в кости, причину того, что произошло именно это вместо чего-либо другого, я ищу в предыдущем броске кости. Я не рассматриваю события, причинно современные событию выигрыша, и не смотрю в будущее. Я ищу только в причинном прошлом. Вот формулировка этой убежденности, полностью свободная от ассоциаций со складом мышления. Это утверждение, я думаю, есть ключевой постулат данного рассказа о соединении индетерминизма с релятивизмом.

7-1 ПОСТУЛАТ. (Принцип предшествования выбора, вариант для точечных событий) Если e принадлежит (h1 − h2), то существует точка выбора между h1 и h2, лежащая в прошлом e (впоследствии будет предложен усиленный вариант этого постулата - постулат 13-1).

Принцип выбора, постулат 6-1, утверждает, что для расхождения двух историй всегда требуется по меньшей мере одна точка выбора. Принцип предшествования выбора 7-1 элементарно влечет это за собой, но утверждает большее: в прошлом каждого элемента h1 ⊕ h2 лежит некоторая точка выбора между h1 и h2. Последующее усиление этого принципа, постулат 13-1, утверждает, что цепи точечных событий, равно как и отдельные точечные события, нуждаются в причинах. Рисунок 3 отвечает принципу выбора (постулат 6-1), но не отвечает более строгому принципу предшествования выбора (постулат 7-1): e1, например, принадлежит h1 − h3, но собственно предшествующая точка выбора между h1 и h3 не существует.

Вот некоторые элементарные следствия из принципа предшествования выбора.

7-2 ФАКТ. (Следствия предшествования выбора) Всякая пара историй имеет непустое пересечение (историческая связь, постулат 4-1). Всякое конечное множество историй имеет непустое пересечение (обобщенная связь историй, определение 4-4).

Доказательство: Индуктивное доказательство обобщенной связи историй несложно. Пусть имеется множество историй H и согласно индуктивному предположению e ∈ ∩H. Возьмем историю h, которой e не принадлежит (для большей строгости). Тогда согласно принципу предшествования выбора существует точка e1 в прошлом e, которая принадлежит h, а также принадлежит каждому элементу H, так как истории замкнуты вниз. Следовательно, e1 ∈ ∩(H ∪ {h}).

Минимальные точки Мира (если таковые существуют) должны принадлежать всем историям.


### 8 Проблема "крыльев"

Значимость разработанной до сих пор теории заключается в том, что она принципиально решает проблему крыльев, поднятую на рисунке 4. Тем самым она помогает установить наш путь в релятивистски индетерминированной вселенной. Вспомним, в чем заключается проблема. Пусть у нас имеется измерение спина с двумя возможными исходами (идеализированными как истории) - измеренное направление спина вверх и измеренное направление спина вниз. Как событие измерения влияет на причинно одновременные с ним события? Принадлежат ли они пересечению двух историй или же только одной из них? Онтологически неопределенно или онтологически определенно (если такой стиль выражения способствует лучшему пониманию), относительно или абсолютно?

Я покажу вначале, что один лишь принцип выбора не решает вопрос убедительным образом. Затем я покажу, что принцип предшествования выбора решает его определенно и, надо сказать, не только для данного частного случая.

Чтобы понять, что принцип выбора неспособен решить вопрос, допустим, что представленные ниже рисунки 6 и 7 относятся к модели Мира, удовлетворяющей следующим допущениям (я назвал их так, чтобы можно было ссылаться на них впоследствии).

Рис. 6: Лежат ли крылья в разностях историй?

Рис. 7: Разделяются ли крылья срезом?

8-1 ДОПУЩЕНИЯ. (Две истории, одна точка выбора) • Существует в точности две истории. • Каждая история является пространством-временем Минковского. • Существует в точности одна точка выбора.

8-2 ФАКТ. (Соответствие) Рисунки 6 и 7 соответствуют условиям 8-1 и принципу выбора 6-1.

Очевидно, точка e на рисунке 6 является единственной максимальной точкой в пересечении h1 ∩ h2 и, следовательно, единственной точкой выбора. Заметим, что мы должны отнести нижние границы к пересечению, поскольку e, как точка выбора, должна лежать в пересечении, а истории замкнуты вниз.

На рисунке 7 из всех точек "среза одновременности" только e следует рассматривать как лежащую в пересечении. Поэтому точкой выбора является единственно e.

Доказательство факта 8-2. Доказательство геометрически-интуитивное: рисунки 6 и 7 безусловно изображают модели, которые (1) удовлетворяют допущениям 8-1, и (2) удовлетворяют принципу выбора 6-1. Поэтому принцип выбора сам по себе не дает определенного ответа на проблему крыльев. Далее рассматривается остальная часть вопроса.

8-3 ФАКТ. (Крылья лежат в пересечении) Предположим, что допущения 8-1 справедливы. Тогда принцип предшествования выбора требует, чтобы крылья лежали в пересечении историй h1 ∩ h2.

Доказательство: По предположению, что модель удовлетворяет допущениям 8-1, точки крыльев не имеют точки выбора в своем прошлом: e является единственной точкой выбора и она не находится в прошлом никакой точки крыльев. Поэтому, если какая-либо точка крыльев не лежала бы в пересечении h1 ∩ h2, нарушался бы принцип предшествования выбора 7-1.

Таким образом, при наличии принципа предшествования выбора рисунки 6 и 7 должны быть отвергнуты. Истинная картина двух историй Минковского в точности с одной точкой выбора должна быть такой, как на рисунке 8. Пересечение историй закрашено, а верхние границы принадлежат "световой стороне" соответствующих разностей. Этот формальный, но не только формальный результат требует дополнительных пояснений.

Рис. 8: Крылья должны принадлежать пересечению историй

1. Заметим, что разность, образуемая выбором в точке e, принадлежит только множеству будущих возможностей в e. Она не принадлежит множеству точечных событий, причинно одновременных с e.[+19]

2. Отрицание "не" является сильным: вопрос принадлежности выбора в точке e множеству точечных событий, причинно одновременных с e, не оставлен неопределенным: однозначно не принадлежит.

3. Может возникнуть мысль, что каждый раз, когда имеет место индетерминированная ситуация такого рода, как измерение спина, часть вселенной, причинно не связанная с событием измерения, одновременно расщепляется пополам. Теория ветвящегося пространства-времени дает точное объяснение того, как и почему такая картина неправильна. Она предлагает также конкурентоспособное строгое и четкое объяснение правильной картины: расщепление в Мире происходит в точечных событиях, не обязательно по срезу одновременности, и влияет лишь на причинное будущее.[25]

4. Конечно, в данной теории невозможно построить "срез одновременности", точно разбивающий h1 на h1 ∩ h2 и h1 − h2.[+20] Я не знаю, следует ли считать это противоречащим специальной теории относительности в какой-либо ее форме. Если да, то следует отвергнуть такую форму специальной теории относительности. Дух специальной теории относительности в данном контекте сохраняется, если всякая история является пространством-временем Минковского. Дистанцироваться от таких вопросов дает возможность, в частности, то, что данное исследование никоим образом не ссылается на концепцию "законов".

5. Рассмотрим обозначенную на рисунке 8 цепь E, которая из пересечения h1 ∩ h2 стремится к "пространственно-временному положению" на верхнем световом конусе. E будет иметь две минимальные верхние грани, скажем, e1 на верхнем световом конусе h1 и e2 на верхнем световом конусе h2. Таким образом, e1 и e2 будут в некотором смысле "весьма близки".[26] Неудивительно, что построить такую модель Мира с помощью бумаги и клейкой ленты трудно.

6. Более существенно, однако, то, что такая предельная ситуация позволяет нащупать решение следующей проблемы: что означает утверждение, что два несовместных точечных события делят одно и то же пространственно-временное положение?[27] Идея состоит в том, что если каждое из двух несовместных точечных событий, например, e1 и e2, есть минимальная верхняя грань одного и того же направленного множества E, то эти точки должны считаться занимающими одно и то же пространственно-временное положение.[28] Заметим, что такая схема не зависит от предварительно заданной метрики, какой обладает пространство-время Минковского. С другой стороны, хотя таким способом очень многие точечные события в историях можно отнести к занимающим одно и то же пространственно-временное положение, легко видеть, что весьма обширные области остаются незатронутыми. Я даже не знаю, появится ли общая доктрина пространственно-временного положения. Содержит ли Мир, как предполагал Штейн (Stein 1991), истории, принимающие после расхождения радикально различающиеся топологии?


### 9 Индетерминизм без выбора

Этот раздел является в известном смысле вставкой, но его суть достаточно важна, так что я решил изложить ее как можно раньше: возможен индетерминизм без выбора. К примеру, рассмотрим ситуацию на рисунке 8 в присутствии допущений 8-1. Пусть E - показанная на рисунке цепь, стремящаяся к e1 (а также к e2) из пересечения h1 ∩ h2. Если идти вдоль этой цепи, ситуация по мере приближения к концу остается недетерминированной независимо от того, окажемся мы в конечном счете в e1 или же в e2. Выбора не существует: все в руках причинно одновременного с ними события e. Разница между ними, как думается, заключается в следующем. Единственной причиной того, что E не определяет, произойдет ли e1 или e2, является то, что прошлое e1 и e2 не исчерпывается E: если дано множество всех собственных предшественников e1, исход e1 однозначно определен (то же самое верно для e2). В отличие от этого, всего прошлого, завершающегося в e, недостаточно для того, чтобы решить, что произойдет дальше. Подробнее см. факт 13-15.

Что требуется для расширения подхода к индетерминизму? Я предлагаю продолжить определения ≈, ≡ и Π с точечных событий на цепи.[29]

9-1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (H[E], ≈E, ΠE) • H[E] есть множество историй, продолжающих E, т.е. E является подмножеством каждого элемента H[E]. • Для h1, h2 ∈ H[E], h1 ≈ E h2 тогда и только тогда, когда истории имеют общую точку, следующую собственно после любого элемента E, либо E не ограничено в Мире. • ΠE есть наиболее мелкое разбиение H[E], для элементов которого выполняется ≈E. • ≡E есть отношение эквивалентности на H[E] - рефлексивное и транзитивное замыкание ≈E. Выражения "разделенность и неразделенность" и т.п. также продолжаются на E. • Цепь E является недетерминированной, если ΠE не вырождено (т.е. имеет более одного элемента), и вырожденной в противном случае.

Такая формулировка вносит строгость в утверждение, что цепь E на рисунке 8 является объективно недетерминированной, так как с очевидностью ΠE = Πe = {{h1}, {h2}}. Следовало бы также более строго рассмотреть, почему, хотя интуитивно это очевидно, следует говорить, что "выбор" находится в e и не является E, но в данной статье эту необходимость приходится оставить неудовлетворенной.[+21]

Рис. 9:


### 10 Расхождение по срезу одновременности

Запрещается ли категорически в ветвящемся пространстве-времени расхождение двух историй по срезу одновременности? Нет, однако ветвящееся пространство-время устроено настолько просто, что можно утверждать: по меньшей мере в одном случае такая ситуация выглядела бы неестественной. Соответствующая схема показана на рисунке 9. Пусть S обозначает срез одновременности. Заметим для начала, что каждое точечное событие из S должно принадлежать пересечению h1 ∩ h2; в противном случае нарушался бы принцип предшествования выбора. Это означает, что каждая точка S является точкой выбора между h1 и h2, так как каждая точка максимальна в их пересечении. Другими словами, каждая точка e1 из S является точкой индетерминированности: Πe1 невырождено. Заметим также, что точки из S связаны пространственноподобно, и никакая их пара не находится в причинном отношении. Неестественным здесь выглядит следующее: выборы (образно говоря), сделанные в каждой такой точке e1, полностью коррелируют, несмотря на (1) объективную индетерминированность выборов, и (2) полное отсутствие причинной связи между ними. Возможна ли такая сверхъестественная синхронизация? В частности, тогда определенным образом будут коррелировать точечные события из S, относимые к удаленным галактикам.

Не погружаясь в риторику, дадим определение "полной корреляции", поскольку здесь всякое понятие определяется исходя из одного лишь отношения ≤. Введем сначала в качестве вспомогательного определение совместности множеств историй.

10-1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Совместность) Два множества историй, например, две элементарные возможности, одно из Πe1 и другое из Πe2, совместны, если они пересекаются, т.е. если существует история, принадлежащая обоим множествам.

Обе элементарные возможности могут быть реализованы вместе в одной истории, если они совместны, и не могут быть в противном случае. Такая формулировка согласуется с определением 3-4, так как точечные события e1 и e2 совместны в смысле этого определения тогда и только тогда, когда множества историй H(e1) и H(e2) совместны в смысле последнего. (Более того, иногда мы говорим о совместности точечного события e с множеством историй H, имея в виду, конечно, совместность H(e) с H.)

10-2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Полная корреляция) Два точечных события e1 и e2 полностью коррелируют, если каждый исход из Πe1 совместен в точности с одним исходом из Πe2 и наоборот.[30]

Выражаясь эпистемологически, знания того, какой исход точечного события реализуется, всегда достаточно, чтобы решить, какой исход другого события реализуется. Очевидно, что для каждого e ∈ S на рисунке 9 Πe1 = {{h1}, {h2}}, так что каждое из них полностью коррелирует с любым другим, независимо от того, насколько они удалены друг от друга. Однако можно предположить, что такая согласованность не имеет места в Мире:

10-3 ГИПОТЕЗА. (Сплошная полная корреляция) Пусть E - максимальное множество попарно пространственноподобно отделенных точек выбора, принадлежащих некоторой истории h (например, срезу одновременности). Тогда неверно, что все пары элементов E полностью коррелируют.

Гипотеза эта является несомненно содержательной; мне не известны работы, затрагивающие этот вопрос. В конце следующего раздела приводится предположение, имеющее отношение к ней.


### 11 Удаленная корреляция: ЭПР

В этом разделе идеи ветвящегося пространства-времени используются для внесения ясности в одну из знаменитых головоломок современной философии науки: что делать с парадоксом "Эйнштейна-Подольского Розена" при истолковании квантовой механики.[31] Новым вкладом здесь является формулировка в строгих выражениях гипотезы о сущности этой головоломки. Дополнительное новшество заключается в сохранении строгости без ставящих в тупик обозначений. Суть явления ЭПР предлагается считать заключающейся в следующем:

11-1 ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. (Сущность феномена ЭПР) Существуют 1. пространственноподобно разделенные точечные события 2. каждое из которых является подлинной точкой выбора, но 3. исходы которых полностью коррелируют.

Думается, что некоторые из наиболее головоломных философских вопросов, касающихся явления ЭПР, возникают уже из этого абстрагированного варианта, без привлечения физики, вероятностей и т.п.[+22] Например, часто можно обнаружить, обычно в самой гуще пугающих обозначений, возможность явления, удовлетворяющего предложениям 11-1 (1)-(3), которая нас удивляет, поскольку мы привыкли полагать, что если нет причинной связи между подлинно случайными событиями,[32] то их возможные следствия должны быть полностью независимыми.

Заметим, что предположения 11-1 (1)-(3) сформулированы точно, причем с использованием лишь терминов причинного отношения. Принимая теорию ветвящегося пространства-времени, мы можем, не прибегая к неформальным рассуждениям о теориях, системах, высказываниях и тому подобном, прямо сказать, что представляет собой явление ЭПР, если оно действительно происходит в нашем мире. Такая возможность могла бы оказаться полезной даже для убежденных антиреалистов.

Ветвящееся пространство-время способно пролить свет на природу явления ЭПР, но оно неспособно решить, имеет ли оно место. Ниже приводится явно выраженное предположение.[33]

11-2 ГИПОТЕЗА. (Удаленная полная корреляция) Существует по меньшей мере две пространственноподобно связанные (11-1(1)) точки выбора (11-1(2)), которые полностью коррелируют (11-1(3)).

Отказ от этой гипотезы и строгой формулировки является, я думаю, частью (наверное, всего лишь малой) знаменитого принципа общей причины Райхенбаха, согласно которому всякая пара коррелирующих, но удаленных следствий должна иметь общую причину.[34]

С другой стороны, вот простая модель, выраженная в терминах трех допущений, при которых гипотеза 11-2 справедлива.

11-3 ДОПУЩЕНИЯ. (Для полной корреляции) a. Существует в точности две истории h1 и h2. b. Каждая история есть пространство-время Минковского. c. Существует в точности две точки выбора e1 и e2.

Рис. 10: Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена в миниатюре

Ситуация, характеризуемая указанными выше тремя допущениями (a)-(c), настолько проста, что можно легко видеть: она обладает тремя свойствами, которые предположение 11-1 считает существенными для феномена Эйнштейна-Подольского Розена. Схема на рисунке 10 призвана помочь убедиться в этом.

Допущение (a). Точки e1 и e2 разделены пространственноподобно. Это означает, что хотя они и принадлежат одной и той же истории, не существует никакой связывающей их причинной цепи. Необходимо убедиться в том, что пространственноподобное разделение e1 и e2 обусловлено отсутствием выбора между безусловно неразделенными историями. Разумеется, это так: более ранняя из двух точек, каждая из которых принадлежит обеим историям, не может быть точкой выбора между этими историями, следовательно, согласно факту 5-8, точки выбора максимальны в пересечении.

Можно сказать, что точки e1 и e2 на рисунке 10 причинно не связаны. Заметим, что отсутствуют какие-либо модальные выражения, касающиеся связанности. Каждая из точек просто "существует независимо от другой", поскольку они "находятся в разных частях пространства" (Einstein 1971, в письме, датируемом 1948 г.; с. 170).

Допущение (b). Каждая из точек e1 и e2 является точкой выбора. Это значит, что, к примеру, в e1 существует реальная возможность h1 без h2 и реальная возможность h2 без h1. Можно предположить, что в частном случае это равносильно следующим связанным исходам: h1 = вверх/вниз = сочетание "после e1 измеренный спин направлен вверх" и "после e2 измеренный спин направлен вниз", и h2 = вниз/вверх = обратное сочетание. Вопрос о том, каким будет продолжение истории: h1 = вверх/вниз или h2 = вниз/вверх, до точки e1  и в точке e1 остается нерешенным (по выражению Томасона, неурегулированным); то же самое верно в отношении e2. Точки являются индетерминированными; это означает попросту, что в каждой из двух точек существует пара расходящихся в них историй.

Все эти выражения являются достаточно осторожными; без привлечения концепции вероятности мы не можем утверждать, что выбор между h1 и h2 в точке e1  является случайным. Даже при таких обстоятельствах основополагающая идея представляет собой точно изложенную формулировку того, что имели в виду другие, исследовавшие феномен ЭПР (в том числе и Белл), говоря, что результат всякого точечного события измерения (направление спина вверх или направление спина вниз) является случайным.[35]

Допущение (c). Хотя каждая из точек e1 и e2 является подлинной точкой выбора, между их исходами существует полная корреляция.

Очевидно, что на небольшой модели явления ЭПР, изображенной на рисунке 10, имеем Πe1 = {{h1}, {h2}} = Πe2, и, следовательно, исходы событий e1 и e2 полностью коррелируют. По сути это вопрос существования всего лишь двух историй вместо четырех.

Несомненно, все это математически свидетельствует о том, что феномен ЭПР согласуется с тем, что до сих пор постулировалось, причем согласуется простым способом. Но я думаю, что концепция ветвящегося пространства-времени к тому же еще и дает возможность говорить о феномене (если он существует), не ставя себе подножку на каждом шагу.

1. Явно провозглашается, что в любой точке e, следующей вскоре после e1 (как показано на рисунке 10), решен вопрос о том, что происходит непосредственно после e2, хотя точечное событие e2 является индетерминированным и e лежит вне его причинного будущего. Эпистемологически выражаясь, наблюдатель в точке e может узнать, что произойдет сразу после e2. Он может сделать это, обладая информацией, полученной от события e1, лежащего в прошлом точки e, в которой пребывает наблюдатель, и зная то, что исходы e1 и e2 полностью коррелируют. Наше рассуждение никоим образом не затрагивает ни конкретные типы сигналов, например, световой, ни даже сам постулат существования наибыстрейшего сигнала, что бы это ни означало. Тем самым оно наглядно показывает, что неуместно рассматривать сигналы быстрее светового сигнала или, быть может, сигналы быстрее наибыстрейшего сигнала. Точечные события e1 и e2 являются либо не являются пространственноподобно разделенными. Если они разделены пространственноподобно, то нелогично предполагать существование причинной связи между ними.

2. Как доказательство того, что концепция ветвящегося пространства-времени помогает определиться, что делать с ЭПР, рассмотрим следующие вопросы.

• Может ли точечное событие e1 (1) быть совместным с другим точечным событием e2, но (2) оказаться несовместным с некоторым исходом e2? Ответ: Разумеется, если e2 < e1. В самом деле, если e1 лежит в одном из исходов e2, оно определенно не может быть совместным ни с каким другим его исходом.

• Теперь зададим тот же вопрос в предположении, что e1 и e2 пространственноподобно разделены. Было бы странно слышать, что некоторое точечное событие e1  в Остине может быть совместным с причинно одновременным с ним событием e2 в Бостоне, но не быть совместным с некоторым исходом e2 (в Бостоне). Но это в точности то, что происходит в явлении ЭПР. Рассмотрим рисунок 10. Очевидно, что e из h1 совместно с e2 (которое также принадлежит h1), но несовместно с одним из исходов e2, а именно с {h2}. Таким образом, ответ будет положительным при условии, что феномен ЭПР имеет место. Даже при полном незнании квантовой механики можно видеть, что это так.

3. Картина ветвящегося пространства-времени на рисунке 10 показывает, что попытка анализировать феномен ЭПР в терминах среза одновременности постоянно будет заводить в тупик. Можно, конечно, рассматривать e1 и e2 как одновременные события, поскольку они разделены пространственноподобно. В равной мере справедливо то, что из этого ничего путного не выйдет, поскольку можно также рассматривать e1 как одновременное с некоторым точечным событием, происшедшем в собственном будущем e2. В этом случае можно сказать, что возможности в e1 остаются открытыми в момент времени более поздний, чем чем время наступления e2, что представляется несовместимым с утверждением, что "после" e2 решен вопрос о том, какой исход e1 имел место в некоторый более ранний момент времени. Короче говоря, картина показывает, что для здравого рассуждения о феномене ЭПР следует либо удерживаться от модально-временных выражений, либо пользоваться конструкциями причинного времени. Это так, хотя (а может быть, именно потому, что) проблема ЭПР порождена квантовой механикой, являющейся нерелятивистской.

4. Если читатель хочет понять феномен ЭПР посредством контрфактуальных (противоречащих фактам) высказываний, то ему следует полагаться лишь на причинное их употребление. Надеюсь, он не найдет на рисунке 10 места для контекстно-зависимых "отношений подобия". И, пожалуй, следует добавить "воздействие" в список слов, которые, если они четко не определены, не следует привлекать для понимания феномена ЭПР.

5. Существует философский вопрос: требуют ли объяснения ЭПР-подобные корреляции (если они имеют место) (Fine 1989)? Можно многое сказать в пользу того или иного ответа с философских позиций и, я полагаю, ничего с позиций концепции ветвящегося пространства-времени. Рассмотрим, к примеру, два следующих риторических вопроса: (i) Как могла бы иметь место полная корреляция между исходами индетерминированного события в Остине и в Бостоне? (ii) В чем заключается проблема более чем одного максимума в пересечении двух историй?[+23] Эти вопросы риторически противоположны, но звучат они одинаково убедительно, хотя каждое из них сформулировано исключительно на языке концепции ветвящегося пространства-времени.

6. Кроме указанного выше философского вопроса, концепция ветвящегося пространства-времени позволяет рассмотреть следующий строго научный (но нестрого сформулированный) вопрос: Имеет ли каждая такая корреляция исходов объяснение в смысле некоторого аналога объяснения предшествования точки выбора? (Не следует путать это с требованием "общей причины". Обеспечить общую причину означает доказать, что предположительно индетерминированные пространственноподобно связанные события не являются на самом деле точками выбора.) Вот гипотеза, имеющая отношение к данному вопросу:

11-4 ГИПОТЕЗА. (Пространственноподобно связанные точки выбора) Пусть E - множество попарно пространственноподобно связанных точек выбора, принадлежащих некоторой истории. Если исходы любых двух элементов E полностью коррелируют, то E имеет нижнюю грань в Мире.

Правдоподобной гипотезу делает следующее обстоятельство: эксперименты с воссозданием ЭПР-подобного феномена всегда требуют тщательной подготовки. Выражаясь языком, которому не всегда следует доверять, поскольку он не является точным, сам по себе факт корреляции представляется обусловленным, хотя исходы коррелирующих измерений не имеют общей причины в смысле Райхенбаха,.

7. Концепция ветвящегося пространства-времени позволяет легко отличать в конструктивных выражениях "сплошную согласованность", которая согласно гипотезе 10 3 не имеет места, от более ограниченной удаленной корреляции, имеющей место в явлениях ЭПР (если они существуют). С одной стороны, две точки выбора на рисунке 10 несомненно имеют общую нижнюю грань, в которую можно поместить "подготовку", дающую начало их ограниченной корреляции. С другой стороны, срез одновременности в пространстве-времени Минковского не имеет нижней грани, в которую можно было бы поместить начало "подготовки" сплошной корреляции. Таким образом, взамен гипотезы 10-3 можно принять гипотезу 11-4, одновременно допуская неограниченность феномена ЭПР.


### 12 Выводы и задачи

Целью являлось внесение вклада в проблему объединения релятивизма и индетерминизма в строгую теорию. Язык теории основан всего лишь на двух примитивах: на Мире и на отношении ≤ (причинном порядке). Ключевой постулат 7-1 выражает в строго определенных релятивистских и индетерминистских терминах вариант принципа причинности: если нечто возможное становится существующим, то в его прошлом можно обнаружить определенную точку выбора. Попутно в терминах причинного порядка определено несколько центральных понятий, каждое из которых сочетает в себе (надеюсь, элегантно) идеи релятивизма и индетерминизма: история, совместность, пространственноподобное разделение, нераздельность и расхождение историй, элементарные возможности (возможности переходов) в точечном событии, локализованный индетерминизм и выбор.

Взятый в целом аппарат теории обеспечил прочную основу для мнения, которое иначе невнятно выражалось бы посредством утверждения, что индетерминизм локален и влияет лишь на причинное будущее. Изложение этого мнения в строгих выражениях дало возможность в целях объединения релятивизма и индетерминизма уверенно применить теорию для прояснения четырех проблемных областей, каждую из которых чрезвычайно трудно рассматривать без привлечения ограничительной теории: (i) статуса причинной одновременности индетерминированных событий; (ii) существования индетерминированных событий, которые сами не являются точками выбора; (iii) решения вопроса о том, расходятся ли истории в конечном итоге вдоль среза одновременности, и (iv) проблемы удаленной корреляции, обнаруженной Эйнштейном, Подольским и Розеном. В последнем случае теория оказалась способной обеспечить вариант абсолютно четкого описания того, что следует считать феноменом ЭПР. Это представление оказалось столь простым, что для его понимания не потребовалось детального знания физики.

Тем не менее, теория весьма абстрактна, примитивна и, вполне возможно, весьма ограничена. Надеюсь, мой подход достаточно полезен, чтобы воспринять эти особенности как вызов. Например, рассмотрение феномена ЭПР с позиций ветвящегося пространства-времени наводит на мысль о возможности более строгого и объективного подхода к (i) теореме Белла (или ее альтернативам) и к принципу общей причины, к (ii) опыту с двумя щелями, или даже к (iii) известной проблеме измерения. Все они апеллируют как к индетерминизму, так и к причинному порядку. Предложение, однако, не заключается в том, что их можно охватить только с помощью лексикона данной статьи; безусловно, подразумевается привлечение (i) вероятностей и (ii) частиц. Наконец, при наличии новаторского основополагающего представления о (iv) причинности в ветвящемся времени, которому мы обязаны фон Кучера (von Kutschera 1993),[+24] подобные идеи в контексте концепции ветвящегося пространства-времени было бы предпочтительно видеть успешными.


### 13 Приложение

Идеи ветвящегося пространства-времени могут и должны быть расширены за пределы простого применения к отдельным точечным событиям. Ближайшую привлекательную цель для их продолжения представляют цепи точечных событий. Я привожу здесь несколько уместных определений, постулатов и элементарных результатов. Определения и постулаты сопровождаются минимальными комментариями, а некоторые результаты даются без доказательств, так как цель состоит лишь в том, чтобы опровергнуть мнение, что исследование неспособно продвинуться далее достигнутого состояния.[+25]

#### 13.1 Принцип предшествования выбора, продолженный на цепи

Хотя матушка-природа вольна поступать так, как ей заблагорассудится, представляется уместным постулировать, что если она потрудилась обеспечить в прошлом каждого точечного события причину того, что событие принадлежит одной истории, а не другой, она не откажет в той же любезности и цепям событий. Поэтому я безропотно усиливаю принцип предшествования выбора следующим образом.

13-1 ПОСТУЛАТ. (Принцип предшествования выбора) Пусть E - непустая ограниченная снизу цепь точек в h1 − h2. Тогда существует точка выбора между h1 и h2, лежащая в прошлом E.

Очевидно, как направленная вниз максимальная цепь, так и пустая цепь могут не иметь причины. (Возможно, направленная вниз максимальная цепь пересекает каждую историю, как в концепции ветвящегося времени.)

Теория причин для более сложного вида множеств точечных событий выходит за пределы того, что я здесь излагаю. Я имею в виду, что цепи здесь важны лишь постольку, поскольку они имеют нижний конец; они выступают, так сказать, заменителями точечных событий. Направленные вниз множества вели бы себя точно таким же образом.

13-2 ФАКТ. (Выводимость) Из постулата 13-1 (принципа предшествования выбора) с очевидностью следует постулат 7-1 (вариант принципа предшествования выбора для точечных событий) и, следовательно, также и постулаты 6-1 (принцип выбора) и 4-1 (связь историй). С другой стороны, постулат 13-1 сильнее постулата 7-1.

Рисунок 11: Принцип предшествования выбора сильнее, чем его вариант для точечных событий

Доказательство: Чтобы убедиться в том, что постулат 13-1 сильнее постулата 7-1, примем, что Мир состоит ровно из двух историй h1 и h2, каждая из которых есть двумерное пространство-время Минковского. Распределим между ними точечные события так, как показано на рисунке 11.

13-3 ДОПУЩЕНИЯ. (Обоснование полного варианта принципа предшествования выбора) • Имеется выделенная точка e. Верхний световой конус e имеет два плеча - левое и правое. Имеется срез одновременности S. • Точка e и все точки выше правого светоподобного плеча принадлежат пересечению h1 ∩ h2. • Всякая точка выше левого плеча среза одновременности S принадлежит соответствующей разности: h1 − h2 либо h2 − h1. Всякая точка на срезе одновременности S или ниже его принадлежит пересечению.

По рисунку 11 можно видеть, что если e1 принадлежит левой части среза одновременности (за вычетом точки e), то она является точкой выбора. Ввиду этого e1 лежит в пересечении, но за вычетом точек собственно выше ее в пересечении.

Можно видеть также, что e не является точкой выбора. Причина: все такие точки находятся собственно выше ее над правым плечом верхнего светового конуса. (Точкой выбора не является также ни одна точка правого плеча верхнего светового конуса.)

Каждая точка из h1 ⊕ h2 лежит выше некоторой точки левой части среза одновременности. Следовательно, удовлетворяется принцип предшествования выбора 7-1 в варианте для точечных событий.

Рассмотрим какую-либо цепь E точек в h1 − h2, неограниченно нисходящую к e. E не имеет общих точек с h2. В чем же заключается причина начала ее существования (вместо продолжения h2)? Это не может быть точка из левой части среза одновременности, так как никакая из таких точек не лежит в прошлом цепи. Это не может быть e, так как она не является точкой выбора. Следовательно, на этой схеме вместо продолжения h2 начинает существовать цепь, не имеющая причины в своем прошлом в целом (хотя существует причина в прошлом каждого элемента цепи). Итак, модель на рисунке 11 допускается постулатом 7-1, но запрещается постулатом 13-1.

#### 13.2 Точные нижняя и верхняя грани, плотность и транзитивность

В этом подразделе рассматриваются некоторые дополнительные постулаты, имеющие отношение к цепям. Они играют здесь роль объектов исследования постольку, поскольку оказывают влияние на объединение индетерминизма и релятивизма, и именно поэтому я не отстаиваю их столь убежденно. Вначале определим терминологию.

13-4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Грани) Нижней гранью цепи E называется точка e такая, что e ≤ e1 для всякой точки e1 ∈ E. Максимальной нижней гранью цепи E называется такая нижняя грань E, что никакая другая нижняя грань E не лежит строго выше ее. Если существует такая нижняя грань e цепи E, что e1 ≤ e для всякой нижней грани e1 цепи E, то она будет единственной. Она обозначается inf(E) и называется точной нижней гранью E. Аналогично определяются верхняя грань, минимальная верхняя грань и точная верхняя грань, обозначаемая как sup(E), если она существует.

Следует ожидать, что в пространстве-времени Минковского (к примеру) всякое непустое ограниченное снизу множество точечных событий обладает семейством максимальных нижних граней (но не уникальной точной нижней гранью). В ветвящемся пространстве-времени аналогичное свойство не обязано иметь место. Обратимся, например, к хрестоматийному рисунку 8, на котором e1 и e2 изображены как альтернативные "наполнения" одного и того же пространственно-временного положения. Рассмотрим множество {e1 e2}. Легко видеть, что оно, хотя и ограничено снизу, не имеет и не обязано иметь максимальную нижнюю грань.

С другой стороны, естественно ожидать существование точных нижних граней у цепей.

13-5 ПОСТУЛАТ. (Существование точных нижних граней цепей) Всякая непустая ограниченная снизу цепь точечных событий имеет точную нижнюю грань.

Обратимся теперь к точной верхней грани непустой ограниченной сверху цепи, которая в пространстве-времени Минковского всегда существует. В ветвящемся пространстве-времени ее существование ожидать не следует. Хрестоматийным примером является множество E на рисунке 8, имеющее две несравнимые (и несовместные) минимальные верхние грани. Руководствуясь этим примером, легко видеть, что приемлем следующий постулат:

13-6 ПОСТУЛАТ. (Существование точных верхних граней цепей в историях) Всякая непустая ограниченная сверху цепь имеет точную верхнюю грань во всякой истории, подмножеством которой она является.

Имея этот постулат, можно через следующие свойства определить понятие относительной точной верхней грани suph(E).

13-7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Точная верхняя грань в истории: suph(E)) Пусть цепь E непуста и ограничена сверху в Мире, причем E ⊆ h. Тогда suph(E) характеризуется следующими свойствами: • suph(E) ⊆ h. • e1 ≤ suph(E) для всякой точки e1 ∈ E. • suph(E) является наименьшим элементом h1: если e2 ∈ E и e1 ≤ e2 для всякой точки e1 ∈ E, то suph(E) ≤ e2.

Следует подчеркнуть, что в ветвящемся пространстве-времени Минковского точная нижняя грань существует независимо от историй, в то время как точная верхняя грань существует лишь относительно историй. Таковы существенные особенности ветвящегося пространства-времени. Возьмем некий "процесс", представив его в виде ограниченного причинного интервала без начальной и конечной точек, и с позиции точечного события внутри интервала осмыслим следующие времена. То, "как завершится процесс" (т.е. точная верхняя грань процесса), определяется историями и зависит (возможно, метафорически) от выборов, сделанных в окрестности процесса. То, "как начался процесс" (т.е. точная нижняя грань процесса), напротив, не зависит от историй.

Третьим ключевым свойством ветвящегося пространства-времени Минковского (к примеру) является плотность.

13-8 ПОСТУЛАТ. (Плотность) Если e1 < e2, то существует точечное событие, находящееся собственно между e1 и e2.[+26]

Цель оставшейся части этого раздела двоякая: (i) подтвердить разницу между безусловной нераздельностью в определении 5-1 и (явной) нераздельностью в определении 5-2, и (ii) пояснить, что разница, тем не менее, представляет интерес лишь на конечных моделях или в иных крайних обстоятельствах, так как она исчезает при наличии точных нижней и верхней граней и плотности.

13-9 ФАКТ. (Невыводимость) Если не вводить постулаты для точных нижней и верхней граней и плотности, то нельзя вывести ничто нижеследующее: • Транзитивность ≈e (т.е. безусловную нераздельность - свойство наличия общей точки собственно после e); • Транзитивность ≈E для цепи E (даваемую в определении 9-1), и • Рефлексивность ≈E для цепи E.

Доказательство опускается.

Для объединения релятивизма и индетерминизма представляют интерес следующие факты, вытекающие из добавленных постулатов.

13-10 ФАКТ. (Рефлексивность) Существования точных верхних граней в историях достаточно для рефлексивности отношения ≈E для ограниченной сверху цепи E без последнего элемента. На самом деле достаточно иметь верхнюю грань в каждой истории; минимальность не является необходимым условием.

Существования точных верхних граней в историях достаточно также для транзитивности отношения ≈E для ограниченной сверху цепи E без последнего элемента.

13-11 ФАКТ. (Транзитивность) Из плотности и существования точной верхней грани следует транзитивность отношения ≈e (т.е. безусловной нераздельности); то же самое верно для отношения ≡e (т.е. нераздельности).

Доказательство: Пусть e ∈ e1 ∩ e2 ∩ e3, причем h1 ≈ e h2 и h2 ≈ e h3, но неверно, что h1 ≈ e h3, а также выполняется постулат плотности и существует точная нижняя грань непустых ограниченных снизу цепей. Покажем, что эти условия ведут к противоречию. Рассмотрим часть e1 ∩ e2, лежащую собственно выше e. Эта часть непуста, так как h1 ≈ e h2 и так как для невыполнения h1 ≈ e h3 требуется, чтобы e не была максимальной в Мире. Тогда, по лемме Цорна, пусть E - максимальная цепь таких точек. Так как e ограничивает E снизу, существует inf(E), причем e ≤ inf(E). Допустим, что e < inf(E). Это противоречит постулату плотности, поскольку согласно максимальности E нет точек собственно между e и E; таким образом, inf(E) = e.

Невыполнение h1 ≈ e h3 говорит о том, что никакая точка после e не принадлежит обеим историям, так что E ⊆ h2 − h3. Тогда по постулату 13-1 должна существовать точка выбора e1 между h2 и h3 до E. Где располагается e1? Так как e = inf(E), то должно быть e1 ≤ e, и получаем противоречие: предположение h2 ≈ e h3 исключает то, что e или какая-либо точка до нее может быть точкой выбора между h2 и h3.

13-12 СЛЕДСТВИЕ. (Добавленные постулаты) В присутствии добавленных постулатов для точных нижней и верхней граней и плотности разница между ≈e и ≡e исчезает. Более того, нет разницы между ≈E и ≡E для непустой ограниченной снизу цепи E.

Следующий схожий результат помещает транзитивность ≈e в формальную перспективу и придает четкость картине ветвящегося пространства-времени.

13-13 ФАКТ. (Невыводимость) Без постулатов точной нижней грани и плотности нельзя вывести, что если h1 ≡ e h3 не выполняется для h1, h3 ∈ H(e), то всякая точка после e в h1 − h3 несовместна ни с какой точкой после e в h3 − h1.

13-14 ФАКТ. (Транзитивность и сильное расхождение) В отличие от этого, транзитивность ≈e, когда она выполняется, например, в ветвящемся пространстве-времени Минковского (нечеткое определение 4-6), достаточна для такого рода сильного расхождения.

#### 13.3 Как неопределенность переходит в определенность

В заключение особо отмечу, что в представленной теории, при наличии постулатов данного раздела, причинное начало всегда имеет "последнюю точку неопределенности" (точку выбора) и никогда не имеет "первую точку определенности". Я нахожу, что это приводит в замешательство, так как не ясно ни то, как решала бы вопрос альтернативная теория, ни то, что она могла бы изменить. Во всяком случае, следующее следствие из постулата плотности убедительно показывает, насколько трудно безошибочно рассуждать о детерминизме и индетерминизме. Вопрос заключается в том, определяется ли будущее прошлым? Ответами являются да и нет.

13-15 ФАКТ. (Да и нет) • Да. Когда дано все прошлое какого-либо возможного точечного события, нет альтернативного пути достижения этого точечного события. А именно, возьмем любое точечное событие e и обозначим через J−(e) множество точечных событий, лежащих в собственном прошлом e. Тогда при данном J−(e) событие e однозначно произойдет: для всякой истории h, если J−(e) ⊆ h, то e ∈ h. • Нет. Неверно, что если дано все прошлое какой-либо ограниченной снизу цепи, то нет альтернативного пути достижения этой цепи. Пусть E - ограниченная снизу (возможно, открытая) цепь, а J−(E) - множество точечных событий, лежащих в собственном прошлом всего E. Неверно то, что для всякой истории h, если J−(e) ⊆ h, то   E ∩ h ≠ ∅.

Доказательство для ответа "да". Известно, что e принадлежит некоторой истории h1. "Трудным" является случай, когда e не принадлежит некоторой истории h2; нам нужно показать, что некоторый элемент J−(e) также не принадлежит h2. Согласно принципу предшествования выбора, некоторое точечное событие e1 предшествует e и максимально в e1 ∩ e2. Согласно постулату плотности, найдется такое e2, что e1 < e2 < e. Тогда e2 принадлежит J−(e), но не принадлежит h2, что и требовалось.

Доказательство для ответа "нет". Пусть e1 - некоторая точка выбора, а E - такая цепь, что inf(E) = e1. Пусть h1 - такая история, что h1 ∩ e ≠ ∅. Выберем историю h2, содержащую e1, такую, что h1 ⊥ h2. Очевидно, J−(E) ⊆ h2, но E ∩ h2 = ∅.

Первая половина факта 13-15 выглядит явно детерминистской. В псевдоэпистемологических выражениях, если известно все собственное прошлое точечного события, то известно, что произойдет далее. Вторая половина, однако, говорит, что мы наивно запутались. Даже если знать все прошлое открытой ограниченной снизу цепи, неизвестно, что произойдет далее. Это (в данной теории) совсем другое дело!


### Список литературы

____________________________________________________________

© Шаймарданов Ренат Гильмеханович. Ветвящееся пространство-время

Origin: http://samlib.ru/s/shajmardanow_r_g/branching_space-time-1.shtml

Создан: 22/10/2009, изменен: 22/10/2009, 173k

Статья: Естествознание

Series: Переводы