# Алгебраические модели конструктивной (интуиционистской) логики и теория смыслов В. В. Налимова

Виталий Николаевич Щеглов

Щеглов Виталий Николаевич

Алгебраические модели конструктивной (интуиционистской) логики и теория смыслов В. В. Налимова

Origin: http://samlib.ru/s/sheglow_w_n/2006htm.shtml

Создан: 11/10/2006, изменен: 11/10/2006, 81k

Статья: Естествознание

Series: *@Математическая логика

____________________________________________________________

2006

В. Н. Щеглов

Алгебраические модели конструктивной (интуитивистской) логики и теория смыслов В.В. Налимова

Впервые основы построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ) в булевой форме были сформулированы автором данной статьи примерно в 1968 году, первая статья по этому вопросу была опубликована в 1970 г. [1], следующая - в1972 [2]. Эта работа была заранее доложена на заседании совета (под руководством В. В. Налимова) межфакультетской лаборатории по статистике в МГУ в 1971 г., который весьма внимательно отнесся к этому докладу. В результате появилась статья [2], (журнал "Заводская лаборатория" в то время публиковался миллионным тиражом и переводился на английский в США). Первая публикация В. В. Налимова [3], близкая по идейной направленности к статье [1] была опубликована в 1979 г. (1-е изд.). Этим вступлением мне хотелось бы лишь отметить возможную передачу математически интересных идей (в смысле мира идей Платона) между учеными, практически не связанными между собою использованием одного какого-либо определенного метода. Цель данной статьи заключается в подробной интерпретации АМКЛ как конструктивного вычислительного подхода, включающего в себя также и теорию смыслов В. В. Налимова [4].

Перед изложением нашего подхода к исследованию сложных объектов [5] вкратце отметим здесь основные этапы алгоритма построения АМКЛ (более подробно см. в [5]). В исходном массиве информации Х (n+1, m), где n - число переменных (столбцов в таблице Х) и m - число состояний объекта (строк в Х), выделяется один (или несколько) столбцов Y, для которых Y = f(X)., Значения Y разбиваются на k частей (обычно на 2 по медиане), и эти значения Z кодируются, например, Z = 0, 1,... Далее каждое состояние, где задано определенное целевое значение Z, сравнивается со всей окрестностью не целевых состояний, начиная с ближайших, и строятся конъюнкции К= (< х< )&( < x < )&..., являющиеся простыми импликациями (истинными формулами) для функции Z = f((X(n, m)). Аналогичные операции совершаются и в отношении не целевых состояний. Далее вычисляются оценки ½ Г½ для каждой К (число состояний, удовлетворяющих К), затем строятся тупиковые дизъюнктивные формы ( т. е. модели для каждой из Z = 0, 1,... в отдельности): начиная с наибольшей ½ Г½ , отбираются К и объединяются связкой "или"; предварительно отбрасываются те из них, множества состояний Г которых ("покрытия") уже входят в ранее выбранные К.

Интерпретации АМКЛ

1. Оценка максимальной ошибки модели. Хорошую оценку ошибки дает применение генератора случая. Выводы из случайного массива имеют малые оценки: каждый такой вывод соответствует обычно лишь одной строке. Для вычисления оценки вероятности максимальной ошибки р (ведь единичные выводы в логической модели продолжают оставаться истинными) будем суммировать эти единичные оценки по прямой и обратной моделям и относить их к общему числу строк. Можно дать следующую конструктивную интерпретацию такой ошибки: для сравнительно больших массивов данных, когда вычеркивание какой-либо одной строки мало сказывается на структуре рассчитываемой модели, ошибка распознавания очередной строки будет происходить с вероятностью, не превосходящей р.

Действительно, в данном случае ошибочно могут распознаваться лишь те строки, которые имеют единичные оценки, все остальные строки с большими оценками всегда распознаются точно (при вычеркивании лишь одной строки). Эта ситуация характерна для планируемого "следящего" использования АМКЛ. Пользователь (или автоматическое устройство) каждый раз заносит в память очередную строку (ситуацию) и модель тут же обновляется, т.е. прогноз более чем на шаг вперед в данной ситуации и не требуется. Использование такого вида оценок ошибок моделей проявляет принципиально иной гносеологический подход при использовании данного вида логических моделей. Предполагается предельный информационный детерминизм познающего субъекта (и, возможно, природы), однако в силу явной ограниченности наших познавательных и вычислительных ресурсов, большинство результатов нашей деятельности в более общем контексте всегда имеют явную неопределенность. Информационная ценность простых ("всеобщих") выводов, полученных из ограниченных массивов информации о весьма сложном объекте, проявляется лишь при их сравнении с более сложными соответствующими массивами, которые в неявном виде несут информацию, о которой познающий субъект практически ничего не знает.

2. Качественная интерпретация модели. Очевидна более высокая значимость (и устойчивость) вывода К с максимальной оценкой, однако на практике часто бывают случаи, когда пользователь включает в X переменные заведомо сильно закоррелированные с Z и поэтому сразу же включающихся в K||Г| = max. Обычно информационная ценность подобных K мала, эти переменные следует исключать из X, также как и переменные, например, линейно связанные между собой или несущие явный шум. Здесь следует отметить, что АМКЛ является хорошим тестом на качество генератора случая, для идеального генератора все |Гi| = 1 и r = n, т. е. исходную случайную таблицу X АМКЛ превращает в другой вид случайной таблицы.

Обычно в начале рассматривается целевая модель, K||Г| = max сравнивается с априорными (литературными) данными, и итогом такого сравнения является вывод (мажоранта) о принадлежности ситуации K1||Г| = max к более общей группе фактов или к некоторой теории. Эта теория уточняется при подобной интерпретации К2, К3 и т.д. вплоть до такого момента, когда содержательная интерпретация очередного Ki оказывается противоречащей интерпретации предыдущих K. Временно вывод Ki исключается из рассмотрения и процесс интерпретации продолжается далее. Следует иметь в виду, что формулы с единичными оценками также истины, однако принадлежат к редко встречающимся ситуациям. В смысле соответствия их вышеприведенному "семантическому соглашению" они могут быть шумом, но не исключается ситуация нахождения "жемчужного зерна" в X, информационное значение которого после дополнительных исследований окажется большим. Для исключенных Ki ищется иная интерпретация (теория), чем первоначальная. Далее подобным образом рассматривается не целевая (обратная в булевом случае) модель.

В более сложном положении оказывается исследователь, когда по полученной модели отсутствует априорная информация. В этом случае (и наиболее частом) полезные указания, стимулирующие интуицию пользователя, можно получить следующим образом. Пусть Z = (0, 1) и Z1 - цель исследования. Для вывода K1||Г1| = max | Z1 ищем соответствующей ей Ki |Z0, который или содержит тот же самый набор xj, или по крайней мере часть этого набора. Во всех случаях желательно использовать Ki |Z0 с наибольшей оценкой (при отсутствии требуемых xj просто выбирается K1||Г1| = max | Z0). Более точные данные о выборе пары представлены в п.3. Для наборов xj как из Ki|Z1 ,так и Ki|Z0 далее вычисляются взаимно недостающие интервалы (min xj, max xj) по дополняющим переменным, которых недостает как в прямых выводах по отношению к обратным, так и наоборот - в обратных по отношению к прямым.

Другими словами, вычисляются соответствующие контексты по блоку IV алгоритма. Если K являются формулами, необходимыми и достаточными для импликации Z, то соответствующие контексты являются лишь необходимыми условиями. Истинности новых сложных формул K с дополняющим контекстом сохраняются, т.к. [min xj, max xj] вычисляется по тому же множеству Гi строк, которые покрываются Ki. При этом ранг K увеличивается, каждый интервал из контекста присоединяется к исходной формуле с помощью логической связки "и. Следует, однако, помнить, что сам по себе контекст отображает лишь факт существования [min xj, max xj] на множестве Гi строк. Только в конъюнкции с существенными значениями переменных контекст приобретает черты условия, необходимого для истинности также и новых сложных формул К. В итоге сопоставление таких прямых и обратных выводов с одним и тем же набором переменных позволяет исследователю выявить комплекс причин (некоторый "синдром"), в результате действия которого выявляется существенное различие между целевыми и не целевыми К. Аналогичным способом сравниваем и последующие пары К. Этот метод имеет эвристический характер, в некоторых случаях исследователю удается таким путем "раскачивания" объекта выявить и содержательные причины отличия Z0 от Z1.

Отметим еще, что сам внешний вид моделей позволяет приближенно судить о сложности исследуемого объекта. Так, с информационной точки зрения большое число дизъюнктивных членов модели (т.е. отдельных выводов) свидетельствует о такой сложности. Соответственно, можно говорить в этом случае о большей неопределенности (информационной энтропии) выводов. Большое число переменных в отдельном выводе ("синдроме") также свидетельствует о его сложности. Сам процесс моделирования (процесс творческого сознания) направлен на получение малого числа наиболее кратких выводов, т.е. на получение наиболее ценной информации, которая дает минимальную сложность описания конечного объекта. Это описание соответствует минимальной длине программы (итоговой формы АМКЛ), содержащей всю требуемую информацию о заданном объекте, достаточную для его восстановления (в том смысле, что из этого восстановленного объекта всегда можно получить точно такие же, как и ранее, выводы).

Наконец, отметим, что мы можем получать непротиворечивые модели лишь для отделяемого исследуемого пространства. В противном случае соответствующая программа АМКЛ должна выдавать сообщения вида "целевое состояние... совпадает с не целевыми состояниями ...". Эти сообщения являются сигналом для исследователя о необходимости увеличения размерности входной информации, например, увеличения числа датчиков ("рецепторов") или, переходя к лингвистическим терминам, увеличения словаря (или, вообще говоря, сложности) используемого языка). Невозможно отобразить и понять сложные реальные процессы, используя примитивные средства общения с исследуемым объектом. "Непонимание" объекта исследования или непонимание исследователей друг друга чаще всего связано именно с этой неотделимостью исследуемого пространства (или с его отображением в сознании в социальном случае). Поскольку природа сама по себе в пределе, по-видимому, обладает свойством неотделимости (трансцендентальности), постоянное усложнение языка представляется необходимым историческим условием развития познания природы и условием развития самого сознания.

3. Аналитическая аппроксимация АМКЛ и метод построения эрмитовых моделей. Часто на практике требуется аппроксимировать подмножества К, соответствующие АМКЛ, с целью получения, например, переменной структуры управления в аналитическом виде. Ряды Эрмита удобны в данном случае тем, что с их помощью можно вводить обобщенные функции, т. е. задавать требуемую степень гладкости ряда эрмитовой модели (ЭМ). Для удобства расчетов примем, что вне интервалов (?, β)½ К целевая функция у принимает средние значения ус. В этом случае аппроксимация каждой К дает на графике (где по ординате отложен у½ К, а за ось х принята абсцисса, проходящая через среднее значение ус) некоторую кривую в простейшем случае в виде "волны". Если же х выходит за пределы (?, β)½ К, то эта кривая стремится к константе ус. В итоге, отображение модели в виде набора ("распределения") рядов Эрмита отображает некоторую обобщенную функцию, которая весьма удобна в различных приложениях. Так, в данном случае, можно весьма просто делать преобразование Фурье всей модели - ряды остаются прежними, лишь нечетные его члены умножаются на мнимое i. Более того, задавая всю исходную информацию в области мнимых чисел, мы получаем в итоге комплексные ряды функций Эрмита, что делает вычисляемые модели крайне привлекательными для отображения, например, объектов, зависящих от квантовых процессов.

Поскольку заранее (из АМКЛ) известно, что информация о поведении системы распределена среди некоторого конечного множества КÎ АМКЛ, необходимо подобрать кусочно-линейную (по функциям Эрмита hn) функцию таким образом, чтобы по возможности большее число К вошло бы в ЭМ, но при этом следует отдавать предпочтение тем К, которые имеют большие оценки (ввиду устойчивости этих К). Для этого обращаемся к АМКЛ, составленной из списка К, упорядоченного по убыванию оценок этих частных импликаций К. Аппроксимация (расчет ЭМ) проводится, начиная с использования Н0, вычисляя критерий Фишера V порознь по всем К (кроме тех, оценка которых равна 1). Помечаем те К, для которых выполняется заданный уровень значимости g. Затем упорядочиваем полученные V и удаляем половину того списка К, для которых V меньше V максимального (при хорошей аппроксимации остаточная дисперсия уменьшается, соответственно, V увеличивается). Затем рассчитываем V итоговый с учетом всех степеней свободы для всей выделенной половины множества К (вместе с помеченными К). Если g выполняется и для V итогового, то помечаем все соответствующие К, записываем соответствующие ЭМ. После этого список К восстанавливается, кроме помеченных К (вошедших в ЭМ), и производится аппроксимация оставшихся К с использование следующего полинома Эрмита. Для ранее помеченных К остается прежняя аппроксимация ("принцип минимизации общего числа подгоночных коэффициентов С в конечной модели на выходе алгоритма"). Подобным образом аппроксимация продолжается далее. Аналогичным образом производится аппроксимация при дальнейшем увеличении n, записывается вычисленная ЭМ. Если же g не достигнут (хотя бы для части списка К), и при увеличении n (пусть будет сделано еще два шага) наблюдается уменьшение V, то записывается (и специально помечается) ЭМ с максимальным V. Далее возможно задание другого уровня g, чтобы оценить статистическую значимость ЭМ по итоговой максимальной величине V (например, для оставшейся части списка К).

В тех случаях, когда при вычислении АМКЛ появляется сообщение "строки ... совпадают", т. е. при аналитических исследованиях теряются некоторые степени свободы (некоторые состояния объекта при заданном разбиении ус расположены в неотделяемом пространстве), можно использовать следующий простой прием. Усредняем значения у для совпадающих строк, затем вновь вычисляем ус, и АМКЛ. (Заметим, что в том случае, когда у имеет булевы значения 0 и 1, для совпадающих строк можно задать значение у равное 2, которое будем интерпретировать, как "неизвестные значения цели", соответствующая им АМКЛ будет описывать те области пространства, где цель у невозможно точно указать.)

Аппроксимация АМКЛ функциями Эрмита дает в итоге единое аналитическое описание объекта в r-мерном римановом пространстве - аналитическая функция для каждой Ki гладко (например, в точке (ус , a ) переходит в следующую функцию для Ki+1; там, где информация отсутствует (в процессе управления, например), задается ун = yс. Полезный геометрический образ такой "аналитической" АМКЛ - это вид раскрытой книги, где каждому листу соответствует евклидово r-мерное пространство для Ki, и все эти пространства "склеены" в линии сгиба yс. В тех случаях, когда заранее известно, что у отображает некоторый колебательный процесс, сходным образом производится аппроксимация K рядами Фурье.

Еще одна полезная геометрическая интерпретация "аналитической" АМКЛ - это сферическая поверхность yс = const, некоторые участки которой имеют локальные для каждого множества из К "всплески" или "углубления" (при отрицательном ун). Поверхность такой многомерной сферы здесь состоит как бы из отдельных малых плоских участков с евклидовыми координатами. Угол между этими малыми плоскостями соответствует изменению кривизны пространства при переходе от одного "объекта" К к другому.

Заметим, что последовательность (распределение) этих функций, вычисляемых из набора различных К в АМКЛ, соответствует всегда дифференцируемой так называемой обобщенной функции, аналитически отображающей в целом исследуемый сложный объект, расположенный в пространстве Римана.

Алгоритм построения эрмитовых моделей (ЭМ).

1. Задать упорядоченный по возрастанию оценок ½ Г½ список импликаций К (кроме К с единичными оценками) и выбрать очередную К.

2. Задать таблицу критерия Фишера для уровня значимости, например, 0,05.

3. Задать полиномы Эрмита Н0 = 1, Н1 = хн, Н2 = хн2 - 1, Н3 = хн3 - 3хн, Н4 = хн4 - 6хн2 + 3, ..., и формулу Нn+ 1 = хнНn - nHn - 1.

4. Вычислить ус - среднее всех у по всему столбцу исходных данных, пусть абсцисса графика функции проходит через ус (при этом условии нормированные у будут обозначаться как ун = у - ус), а ордината (для положительных х и ун) проходит через a (через левую границу набора открытых интервалов (a , b )Î К. Заметим, что сами a и b являются точками из иного класса эквивалентности, они не входят в К, но примыкают к нему, образуя его внешнюю границу). Имея в виду, что простейшая функция Эрмита для одного переменного и для Н1 имеет вид "волны" h = х ехр(-х2/4) с максимумом при х = ,

5. вычислить нормированный хн = (х - a )/[((хс ½ ун > унс½ К) - a )] по всем х, входящим в данное К. Эти операции соответствуют отбору точек, лежащих выше условного среднего унс, затем их абсциссы усредняются (хс). Для функции, лежащей на графике ниже ус условие отбора точек меняется на ун £ унс (в правом нижнем квадранте графика). Заметим, что такого рода нормировка производится с целью как ускорения сходимости рядов Эрмита, так и для упрощения вида формул в том случае, если ЭМ состоит из первых членов ряда (хотя бы для некоторых К). В том случае, если для них х равен условному хс, расположенному в знаменателе формулы для хн, то хн = , и ун имеет максимальное значение; соответственно, для графика, лежащего ниже абсциссы, у будет минимальным. Формулы нормировки для левых квадрантов графика будут аналогичны, лишь a заменяется на b (ордината будет проходить через b .

6. Задать Нn = 0, 1, 2, ....

7. Задать упорядоченный набор К1, К2, К3, ... и выбрать очередную К.

8. Вычислить эрмитову функции hn для очередной импликации К, включающей r переменных: , где r - ранг К.

9. Вычислить Cn = hnyн ╔ hn2 для каждой заданной К.

10. Вычислить yрк = Cnhn, где урк - расчетное у, т. е. функция от правой части формулы, для заданного К.

11. Определить максимальное V, упорядочить V по убыванию, пометить половину К, для которых V меньше максимального V.

12. Вернуться к п. 7. После исчерпания списка К

13. рассчитать модель и итоговый V для помеченных К:

14. Cn = S hnyн ╔ S hn2, где суммирование ведется по этим К (см. п.9).

15. Вычислить yр = S Cnhn (см. п.10).

16. Если итоговый критерий Фишера по этой модели больше или равен заданному уровню значимости, то записать эту модель, иначе переход к п.6. Дальнейшая аппроксимация производится аналогично, но лишь по тем К, где g не выполняется. Во всех случаях этот расчет в итоге производится по всем ранее вычисленным отдельным слагаемым.

17. Если итоговый критерий Фишера больше или равен заданному уровню значимости, то записать эту модель, иначе если после двух очередных вычислений с увеличением n критерий уменьшается, то записать модель для максимального значения критерия.

4. Интерпретация АМКЛ как рекурсивного процесса. Наиболее простая рекурсия для аналитической модели по п.3 - это наращивание числа членов ряда функций Эрмита, наибольшее сглаживание задается первыми членами ряда, последующие отображают более "острые" пики функции. Сжатие исходной информации в виде "аналитической" АМКЛ, т.е. в виде соответствующих эрмитовых моделей, последовательно задаваемых с требуемой степенью их приближения, аналогично так называемому wavelet analysis, используемому для этих же целей.

Другие виды рекурсии обуславливаются в основном различными практическими потребностями. Так, итоговая целевая функция Z может быть задана в начале исследования в булевой форме Z = (0,1), затем в форме k-значной логики Z = (0,1,2) и т.д. Однако на практике, когда возможна обратная связь с объектом, более эффективен другой способ рекурсии - способ усиления локальной разрешающей способности. Задается Z = (0,1), из полученной модели выбирается Ki, наиболее информационно значимая, например, при максимальной Г. Если х для нее является управляющим (или несколько xi), то функционирование объекта переводится в область определения (a i, b i) и набирают новый массив входных данных X, включающие эти новые области определения, затем рассчитывается новая модель и т.д. В том же случае, если xi не является управляющими, то набирается также новый массив X, включающий в себя лишь требуемые (a i, b i). Однако, поскольку этот процесс будет практически случайным, набор нового X потребует дополнительного времени и затрат - значительную часть состояний объекта, которые не включают требуемые (a i, b i) будет отбрасываться и не включаться в X. Пределом таких видов рекурсии является точность измерения xi, которая начинает совпадать с (a i, b i).

5. О связи АМКЛ с некоторыми теориями. Отметим здесь лишь некоторые общие теории (конечно, помимо алгебры), в которых более или менее явно отображается логическая (точнее, индуктивная в смысле АМКЛ) сторона творческого сознания.

5.1. Это прежде всего топология, соответствующие конструктивные операции ранее были приведены в описании алгоритма. Они определяют вводимое используемыми моделями топологическое пространство (Х, Т), где Х - точки (они задаются исходным массивом данных) и Т ("топология") - пересечения К конечного числа вычисляемых открытых интервалов, где К образуют импликации вида "если наблюдается К, то цель выполняется" для каждого состояния объекта. Далее определяется операция объединения этих К и их некоторого сокращения, т. е. строится итоговая АМКЛ. Принятие топологии как модели (т.е. как нашего приблизительного ожидаемого образца поведения исследуемого объекта) ведет к важным следствиям. Мы ожидаем наличия у объекта в некотором конструктивном, обнаруживаемом в процессе исследования, смысле непрерывности, гомеоморфизма, отделимости, компактности, связности, возможности введения метрики. Так, с этой точки зрения, например, можно ожидать, что каждая из точек Х, включенных в Т, имеет свою окрестность (это "пустые" места между известными значениями Х). Отсутствие же этих свойств, например, отделимости будет для нас сигналом к пересмотру исходных данных и, возможно, к введению новых датчиков, регистрирующих новые Х.

5.2. Далее, рассматривая более детально наборы К, можно сказать, что сам алгоритм построения АМКЛ как бы производит отбор различных геометрий, необходимых для более точного или более удобного для интерпретации отображения исследуемого сложного объекта. Так, различные К могут иметь разные ранги (размерности пространства). Более того, К, которые состоят из одних и тех же переменных, но интервалы которых имеют различные значения, удобнее представлять каждую в своей системе координат - представление всей модели в виде обобщенной функции дает для ее отдельных фрагментов более точную аппроксимацию, чем аппроксимация сложного объединения точек двух или более сходных К. Наконец, генерация алгоритмом определенного набора К соответствует отбору также определенного вида геометрии Римана.

5.3. Из физических теорий, прежде всего, отметим квантовую теорию, точнее, ее основные исходные положения. Каждое открытое пространство К (вывод, как класс эквивалентности некоторых отдельных импликаций для каждого состояния объекта) в АМКЛ в определенном конструктивном смысле может быть гомеоморфен некоторой информационной "частице", r-мерному кубику, конъюнкции К ранга r используемого нами языка, и в частности, творческого сознания. Эта конкретная К может быть или не быть (ее "корпускулярные" свойства), она также может быть отображена в виде определенного "пакета волн", имеющих информационный характер, например, в виде ортонормированного ряда эрмитовых функций (см. п. 4.3), а для периодических процессов, может быть и в виде ряда Фурье ("волновые" свойства К). В этой модели неразличимы "частицы" одного сорта - те частные выводы, которые соответствуют отдельным состояниям объекта (это многомерные "точки", "кванты", для каждого К их число равно | Г| ). Здесь выполняется и "соотношение неопределенности": при наперед заданном числе наблюдений m (при возможности проведения эксперимента) желание увеличить оценки для уже известного К путем повторения именно его реализации, увеличивает лишь его оценки. Однако эти действия приводят к уменьшению оценок для иных К: обострение "внимания" лишь на определенные ситуации вызывает ухудшение восприятия иных ситуаций (при ограничении на информационные ресурсы). Если отобразить АМКЛ в виде сферы Римана, где каждому К соответствует "всплеск" или "впадина" целевой функции, то последовательная реализация К соответствует перемещению по поверхности этой сферы, или для наблюдателя, фиксированного к каждой реализации нового К - к некоторому сложному вращению, "спину" этой сферы. В свою очередь при такой фиксации внимания наблюдателя относительно каждой вершины r-мерного "кубика" К происходит некоторое "вращение" и этой "частицы" (в исходном n-мерном пространстве) в порядке записи хj в К: первые из них выявляются при сравнении целевой строки с ближайшей своей окрестностью не целевых строк и более ценны при интерпретации К, последние - при сравнении с отдаленной окрестностью.

Рассмотрим теперь более детально возможности введения квантового формализма при построении АМКЛ при некотором гипотетическом (или далеком будущем) исследовании квантового процесса изменения, например, конформных состояний конформных состояний (КС) [7] молекул белка тубулина в нейронах коры головного мозга у исследователя, каким-то образом делающим выводы из накопленных данных. Поскольку теперь заведомо придется иметь дело с квантовыми процессами, перейдем к отображению объекта в комплексной области чисел. Пусть вся исходная информация в динамике (в том числе и целевая) записывается в виде мнимых чисел как ix или iy. Отобразим далее АМКЛ в виде обобщенной функции iУ, в частности, в виде набора (распределения) комплексных рядов функций Эрмита. Переход в комплексную область здесь явно виден, если рассматривать аппроксимацию отдельных K, т.е. некоторых многообразий, ограниченных точками из (a j, b j), рядом функций Эрмита (по системе полиномов: , , , и т.д.), где ,). Так, при ранге 1 конъюнкции К нечетные члены ряда будут мнимыми, а четные - действительными. При ранге > 1 возникает подобная ситуация чередования мнимых и действительных членов. После суммирования ряда функций Эрмита возникает комплексное число для каждого состояния объекта. В данном гипотетическом эксперименте мы получаем модель, которая отображает некоторую динамику квантовых конформных изменений, соответствующих последовательности "осознания" некоторого множества выводов.

Заведомо известно, что реальное исследование сознания не может быть ограничено только классическими квантовыми эффектами (согласно существующей в настоящее время квантовой теории). Метод АМКЛ в итоге реализует эту возможность исследования, как микро, так и макрообъектов. Так, можно принять, что в "квантовом" смысле суперпозиция состояний исследуемого объекта - это и есть его эрмитова модель (ЭМ) в виде сложного вида поверхности в комплексном пространстве. Точки, по которым производилось аппроксимирование, здесь являются "реальными" альтернативами существующего динамического объекта. Бесчисленное количество других точек, лежащих на этой поверхности между наблюдаемыми точками (состояниями), являются как бы "суперпозициями" некоторых "альтернативных" состояний, которые, возможно, еще могут быть реализованы в будущем. "Увеличению" таких альтернатив до классического уровня здесь может соответствовать существование исходных К, по которым, собственно, и производилось вычисление ЭМ.

Если под "частицами" подразумевать динамику изменений iх, то в К существует их взаимодействие (корреляция) - при изменении одной из iх изменяются и другие в соответствующей К - ЭМ (как и квантовая теория) не локальна, в то же время ЭМ не линейна по отношению к Х.

Квантовый формализм позволяет частично интерпретировать некоторые операции при вычислении АМКЛ также и для классических объектов. Так, сравнения по алгоритму АМКЛ векторов состояний приводят к их редукции, что в терминах квантовой теории соответствует "коллапсу" некоторой исходной весьма сложной квантово-волновой функции классического объекта. В итоге (при данном подходе) можно сказать, что АМКЛ есть конструктивная, уже реализованная в виде формул интерпретация волновой функции исследуемого объекта в терминах интуиционистского исчисления предикатов и ЭМ (и далее - в терминах содержательных теорий). Этот используемый логический оператор по своей сути разрывен (по сравнению с полностью детерминированной и непрерывной волновой функцией в ее классическом понимании. Еще раз напомним, что вероятностное описание всех непересекающихся классов эквивалентности К состояний объекта можно при необходимости получить следующим простым способом. Нужно пересекающиеся и оставшиеся части К обозначить как новые К с новыми индексами; затем следует нормировать новые оценки (путем деления на общее число состояний) и записать их в виде чисел, которые в сумме бы давали 1.

В используемом алгоритме, возможно, даже есть некоторый аналог эффекта Эйнштейна - Подольского - Розена. Выбор первого интервала определенной переменной путем сравнения его со значениями этой же переменной из ближайшей не целевой окрестности, является отдаленной, нелокальной причиной того, что по мере дальнейшего и, возможно, длительного функционирования алгоритма вполне определенный последний элемент из другой переменной, выбираемый при сравнении, например, с максимально удаленной во времени и пространстве ("нелокальной") окрестностью, войдет в К, т. е. образует единую непротиворечивую формулу, где эти, по крайней мере, два элемента связаны ("коррелированы") между собой. Информация о выборе на ближайшей окрестности здесь в итоге передается на большое расстояние и время, например, относительно функционирования изменений квантованных конформных состояний тубулина.

Поскольку АМКЛ в значительной мере отображают творческое сознание, их интерпретации в общем смысле квантовой теории весьма знаменательна: возможно, сама квантовая теория частично создавалась на основе весьма глубоких гипотез и догадок, имеющих в свою очередь своим основанием свойства глубинных механизмов сознания исследователей.

5.4. Сам процесс сопоставления каждого целевого состояния вначале с его ближайшей, а затем все расширяющейся окрестности не целевых состояний можно интерпретировать также как фильтрацию самых разнообразных (в том числе и тепловых) шумов, которые препятствуют получению непротиворечивых формул К при использовании больших массивов информации. Удачная физическая модель похожего процесса - это диффузия проявителя в глубину фотослоя: восстановление ионов серебра до металлического серебра вначале на тех кристаллических дефектах AgBr, которые возникли под влиянием фотонов, а затем, вследствие каталитического влияния мелких частиц Ag, и в ближайших областях кристаллов AgBr. При отсутствии такого упорядоченного каталитического процесса "сцепленности" частиц серебра, например, при повышенной температуре, не было бы достигнуто требуемое качество изображения (возникновение "вуали"). Роль времени здесь также велика: фотослой должен быть достаточно тонким, иначе при увеличении времени проявления продукты распада проявителя также вызвали бы помехи.

Поскольку АМКЛ частично формализует творческое сознание, можно сказать в итоге, что и квантовая теория (точнее, ее основные постулаты, как это было показано выше) также является существенной частью теории творческого сознания. Высказывание Эйнштейна при споре со сторонниками квантовой теории, что "Бог не играет в кости", можно при таком подходе решить почти полностью в его пользу ("если и играет, то с помощью субъекта - процесса творческого сознания", т. е. следует подчеркнуть его интерпретирующую, вероятностную и, часто, "интуитивную" роль).

5.5. Творческое сознание (и особенно его формализованный аналог АМКЛ) частично отображается также теорией калибровочных полей, обобщающей общую теорию относительности (требование локальной инвариантности теории) и являющейся в общих чертах аспектом геометрии. Здесь реализуется глубокая физическая и философская идея Эйнштейна о том, что геометрия пространства-времени сама по себе не существует, ибо она определяется взаимодействием физических тел. Иными словами, утверждается, что каждый вид взаимодействия создает свою геометрию, в нашем случае - это взаимодействие целевого и не целевого состояний ("строк", "квантов") исследуемого объекта. Утверждается существенно локальный характер (от точки к точке n-мерного пространства исследования) всех внутренних свойств симметрии этих состояний. В исследование вводится новый физический объект - калибровочное поле - особого рода геометрия "пространства творческого сознания", которая возникает при взаимодействии этих состояний Взаимодействие с этим определенного рода калибровочным полем в итоге обеспечивает инвариантность получаемых выводов относительно каждой заданной группы симметрии - в данном случае относительно каждой заданной целевой строки (см. алгоритм). Инвариантность будем здесь интерпретировать как независимость получаемых выводов от изменения множества других медленно изменяющихся и часто нерегистрируемых переменных.

При обычном планировании экспериментов эта идея получения "правильных" выводов находит свое отображение в подборе специальным образом организованных "контрольных" экспериментов. При обработке же результатов наблюдений с помощью логических методов приходится специальным образом организовывать сопоставление целевых и не целевых состояний объекта. Каждое целевое состояние сравнивается с упорядоченной последовательностью не целевых, начиная с ближайших в каком-либо смысле. Например, задается своя локальная норма времени отсчета от каждого целевого состояния до не целевого (т.е. независимо - вперед или назад по отношению к реальному времени реализации) и все не целевые состояния далее упорядочиваются по возрастанию этого локального времени и сравниваются в этом же порядке с определенным целевым состоянием. Некоторое приближение к независимости получаемых здесь выводов от медленно изменяющихся или вообще нерегистрируемых переменных здесь очевидно: уже первое сравнение с наиболее близким "контролем" задает список возможных существенных переменных, который в дальнейшем может лишь сокращаться (подробнее см. алгоритм).

Используемый здесь принцип локальной калибровочной инвариантности приводит в итоге к построению некоторого расслоенного пространства - вместо сложного n-мерного исходного пространства мы получаем набор более простых пространств К (т.е. АМКЛ). Можно представить, что вся модель в целом соответствует поверхности некоторой сложного вида сферы (некоторому риманову пространству). Тогда каждому локально полученному выводу К будет соответствовать маленький квадратик, касательный к поверхности этой сферы (евклидово пространство), на котором реализуется частичная модель К, угол же между этими квадратиками будет соответствовать коэффициенту их связности или при стандартной физической интерпретации - их гравитационному (калибровочному) полю. Переход от одного вывода К к другому здесь, возможно, соответствует изменению "кривизны" пространства конформных состояний некоторых функциональных групп в молекулах тубулина в нейронах, т. е. переходу от одного состояния к другому (включая и иные группы). В переводе на язык теории относительности этот процесс соответствует какому-то локальному изменению гравитации.

5.6. Отмеченная ранее при обсуждении основных положений квантовой теории формальное сходство каждого вывода К с некоторой "частицей" также имеет свое отображение в квантовой теории калибровочных полей - это частицеподобные решения соответствующих уравнений калибровочных полей (солитоны, вихри). Можно надеяться, что в будущем эти модели помогут нам уяснить механизм некоторых так называемых особых состояний сознания .

5.7. Существуют некоторые общие полезные аналогии между алгоритмом построения АМКЛ и "правильной" квантовой теорией гравитации (ПКТГ) [6]. Если для наглядности в качестве Х ввести в рассмотрение фазовое пространство, то сам механизм выделения единственного элемента (и, затем, его исчезновения - "сингулярности", "черной дыры", "одногравитонного уровня") на определенной стадии алгоритма соответствует слиянию линий тока. Это слияние соответствует потере в таком аналоге "черной дыры" информации о значениях всех других переменных в исследуемом целевом состоянии. Напомним, что по алгоритму эта информация все же сохраняется, но уже в виде "контекста". Его значение всегда относится к прошлому, к уже использованному для вычисления модели массиву Х. Еще отметим увеличение энтропии при этом процессе. Никаким образом, идя обратно по времени процедуры поиска этого единственного элемента, нельзя восстановить исходное целевое состояние (по всем переменным); вся информация стирается, кроме этого элемента. Другими словами, процедура этого поиска не является симметричной в этом времени (по модулю времени удаления от целевого состояния в окрестности не целевых состояний). Все эти операции как бы выявляют наличие в исследуемом пространстве окрестности некоторой неоднородности его "гравитационного поля". После вычисления итоговой модели она обычно используется для управления, прогнозирования, интерпретации, т. е. используется в условиях нового контекста - эта стадия соответствует расщеплению линий тока в фазовом пространстве. Вообще, согласно ПКТГ, будущее детерминировано, но не вычислимо даже в теоретическом плане из-за временных ограничений на процесс вычисления.

Всеми этими соображениями мы ограничимся здесь, указывая еще на причастность к творческому сознанию, конечно, теории управления и как важного ее старого раздела в физиологии, посвященного исследованию элементов сознания, - теории условных рефлексов И. П. Павлова.

6. О построении контекстно-развивающейся базы данных для дальнейшего развития логической интеллектуальной системы. Интеллектуальная система (ИС, [21]) является в своей основе моделью интуиционистского исчисления предикатов, отображающего индуктивную часть мышления - формулирование сравнительно небольшого набора кратких выводов из массивов информации большой размерности. Особенность ИС состоит в ее приспособленности к исследованию динамики сложных объектов, зависящих и от так называемых скрытых переменных. Система выявляет также контекст выводов, что позволяет уточнять их смысл, формирует пары прямых и "обратных" выводов с их контекстами, сопоставление которых стимулирует интуицию пользователя при интерпретации полученных выводов или при разработке новой теории. С общей точки зрения эту систему можно рассматривать как своеобразного "переводчика", согласующего информационные каналы сложного объекта и исследующего субъекта. Таким субъектом может быть также и некоторая достаточно мощная ИС и/или вся "история" взаимоотношений исследующего субъекта (в предельном случае - общества в целом) как с внешним, так и со своим внутренним развивающимся миром.

Основная цель вычисления АМКЛ состоит в том, чтобы получить по возможности наиболее краткие (и "понятные") суждения, отображающие способы достижения цели Y. Эти суждения можно рассматривать как своего рода ключевые фразы, которые помогают распознавать в априорных (литературных) данных сходные способы достижения Y или, возможно, подходящие теории. Для автоматизации всего интеллектуального процесса с помощью ИС для понимания (интерпретации) полученных выводов здесь требуется связь АМКЛ с соответствующими информационно-поисковыми системами или просто с новыми данными (библиотечными, служебными, лабораторными, Internet и т.п.). После такой интерпретации часто выясняется, что, например, соответствующая теория содержит некоторые дополнительные переменные, которых не было в К. Эти переменные, если они входили в Х ("контекст К"), также легко вычисляются в АМКЛ - им соответствует интервал значений Х, которые входят в "покрытие" Г - в список именно тех состояний объекта, которым соответствует К. Контекст увеличивает ранг r для К - число интервалов соответствующих переменных Х, соединенных логической связкой "и"; истинность формулы К (импликации, полученной из одной целевой строки) при этом сохраняется.

6.1. Построение контекстно-развивающейся базы данных. Из предыдущего изложения принципов функционирования ИС ясно, что понимание сложного объекта тесно связана с тем языком или базой данных, которую мы используем. Достаточная мощность языка, хотя бы его словарный запас (число переменных), и его выразительность (пусть это будет компактность, точнее не избыточность цепочек его слов К) без сомнения способствовали бы лучшему описанию и, соответственно, пониманию сложных объектов. Вся семантическая проблема состоит в том, как этого достичь наиболее экономным образом.

Известна общая концепция в конструктивной математике относительно некоторой иерархии алгорифмов, определяющих в итоге способы понимания сложных суждений. Здесь под алгорифмом будем понимать последовательность некоторых операций над сложными суждениями, в результате которых они становятся более простыми (более "ясными") в семантическом, т.е. содержательном смысле. Основное условие "ясности" (понимания) заключается в том, чтобы алгорифм строил бы, в частности, по любому состоянию объекта Х(t) в момент времени t суждение К такое, что оно было бы мажорантой по отношению к Х(t). Под мажорантой будем понимать такую формулу (или вообще - суждения, теорию), которая соответствует в нашем случае (или хотя бы потенциально - не противоречит) большему числу состояний объекта Х, чем | Г| для К (т.е. большему, чем число состояний-строк из Х, истинных для К). Действительно, если взять для наглядности даже одну какую-либо переменную входящую в виде открытого интервала в К, то можно сказать, что исходным состояниям соответствовало реально лишь | Г| точек, в то время как формуле К соответствует число точек, сплошь покрывающих этот интервал, и это число зависит лишь от точности прибора, регистрирующего данный х. Вычисление именно открытых интервалов (вплоть до точек, соответствующих не целевым состояниям) специально введено в алгоритм построения АМКЛ, чтобы осуществить хотя бы потенциально "выход" за пределы конкретных наблюдений. Отметим еще здесь, что увеличение сложности объекта ведет к увеличению ранга r для К, что уменьшает число степеней свободы для таких объектов. Здесь весьма желательно вычислять именно открытые интервалы, чтобы получать мажоранту в виде К - обобщенного, выходящего за пределы конкретных исходных данных вывода для | Г| состояний.

Приведем еще другой, более общий пример мажоранты, относящийся к библиотечному информационному поиску. Здесь, например, каталожные карточки являются аналогом отдельных выводов К, а книги, найденные по этим карточкам соответствуют их информационным расширениям, т. е. мажорантам. Если эти книги последовательно, например, уточняют К, то можно сказать, что некоторой иерархии алгоритмов, реализуемых с помощью АМКЛ (и продуцирующих К), соответствует иерархия способов приблизительного разъяснения (понимания) суждений К.

Следующая ступень иерархии этого алгорифма "понимания" объекта заключается в вычислении не только целевых моделей, но и не целевых (сравнение каждого такого состояния будет происходить по ближайшей окрестности всех целевых состояний). Однако эти модели уже выводят нас за рамки конструктивного направления - мы вычисляем лишь область, в которую попадать не следует. Скорее модели этого вида представляют собою лишь некоторые "наводящие соображения", они могут быть полезными, например, при управлении объектом, когда целевые области К соответствуют некоторому стационарному управлению, а не целевые К определяют области, из которых следует выйти с помощью соответствующего управления объектом. В случае же сложных объектов, когда управление практически невозможно и оценки | Г| малы, т.е. когда Х близок к генератору случайных чисел и велика "энтропия" К (число дизъюнкций в АМКЛ), использование отрицания обратных моделей позволяет отобрать малое число более "надежных" прямых К в том смысле, что и при дальнейшей работе с новыми данными будет чаще наблюдаться отделимость пространства прямых и обратных моделей. В целом можно сказать, что эта ступень состоит в обязательном построении обратных моделей, что приводит как бы к увеличению контрастности или "раскачиванию" объекта на две взаимно дополняющиеся модели.

Дальнейшая ступень улучшения этого "понимания" исследуемого объекта при сохранении старого списка переменных (при сохранении прежнего языка "диалога" с объектом) состоит в активном использовании априорных данных (т.е. новой базы данных) для распознавания в полученных моделях отдельных содержательных теорий или их фрагментов, или уже известных фактов и отображения их в терминах прежнего списка переменных. Во всех случаях при отсутствии в К каких-либо переменных, которые входят в опознанные теории, значения этих переменных (точнее, их замкнутые интервалы) вычисляются из контекста К, как это было пояснено выше.

Следующая ступень этой иерархии прямо вытекает из предыдущей - новая опознанная теория предполагает наличие переменных, которые не отображены в прежнем их списке. Здесь осуществляется переход к более мощному и выразительному языку в том смысле, что на его основе уже была компактно сформулирована некоторая теория, отображающая сложный объект. В связи с этим важным переходом отметим здесь как полезный аналог теорему Гёделя о неполноте формализованной арифметики как теории, в рамках терминов которой невозможно доказать выводимость (или опровергнуть) некоторые К, которые можно каким-то иным образом предложить вне рамок этой теории. Этот переход возможно здесь осуществить, используя более мощный язык и его выразительные свойства, т.е. используя регистрацию (если это возможно) совершенно новых переменных, соответствующих этой новой опознанной теории. Каждая К может соответствовать новой теории (или совместно с иными К). Например, формулы с большими | Г| могут выявлять основную теорию, которая затем уточняется с помощью остальных К.

Наконец, при отсутствии подходящих теорий или установленных априорных фактов, которые можно было бы привлечь для объяснения вычисленных моделей, иногда используется любое допустимое в данной конкретной ситуации расширение языка "общения" со сложным объектом, например, использование новых датчиков, сбор иных дополнительных сведений и т.п. Эти действия в данном случае в какой-то мере сходны со случайным поиском более оптимального управления в окрестностях уже существующего режима функционирования объекта. Естественно, в редких случаях отсутствия подходящей интерпретации после дополнительных проверок исследователь может выдвинуть и некоторую совершенно новую гипотезу, касающуюся природы объекта.

6.2. Построение более совершенной базы данных как улучшение согласования информационных потоков между объектом и исследователем. Построение любой модели (прежде всего АМКЛ) уже есть не что иное, как некоторое ограничение мощных информационных потоков сложного объекта и переложение их в виде, удобном для интерпретации, т.е. для понимания основных особенностей объекта в терминах, доступных исследователю. Переход к последовательному ряду более совершенных баз данных, генерируемых по ходу все уточняющихся исследований, можно сравнить с постепенным обучением исследователя "языку" объекта, на котором он ведет "диалог" с исследователем. Лишь в конце этого обучения, определяемого практическими соображениями, можно ожидать достаточно понятного по нашим меркам сообщения от объекта в виде модели его функционирования.

Пусть - упорядоченные на числовой прямой элементы х (значения определенной переменной на целевых строках) и у (значения на не целевых строках), взятых из исходной базы (массива) данных Х и соответствующих какому-либо столбцу из Х. Каждому такому элементу сопоставим множество [x] = {y| y - острый конус, порожденный х. Согласно алгоритму построения АМКЛ, здесь задается какая-либо целевая строка (состояние объекта) из Х и, в частности, значение определенной переменной х в этой строке. Оно сравнивается со всем множеством соответствующих значений у этой же переменной, взятых из не целевых строк, упорядоченных, например, в зависимости от удаления от заданной целевой строки. При этих сравнениях запоминается лишь открытый интервал, наиболее близких к х (соответственно, правило построения острого конуса надо задать и для у ( х). В частности, при больших базах данных обычно в итоге этих сравнений [x] = 0, что оправдывает название "острого конуса".

Напомним, что эти сравнения проводятся в векторном смысле - для всех переменных. Будем теперь последовательно один за другим записывать элементы множества [х] в виде строк (одна под другой), появляющихся после каждого такого сравнения с очередной упорядоченной не целевой строкой, будем также центрировать эти записи около их средних элементов. Касательные, проведенные по крайним элементам [x] (и по исходной целевой строке сверху), будут образовывать конус, направленный вершиной (острием) вниз. Исчезновение ("захлопывание") последнего открытого интервала является сигналом для его запоминания: происходит своего рода фильтрация с помощью этого конуса-воронки, выявление информационного "окна", т.е. интервала существенных целевых значений х. Обычно одного такого окна недостаточно для получения всегда истинной формулы К, далее определяется подобным образом интервал существенных значений для другой переменной и т.д. до получения истинности К. При их поиске каждый раз множества [x] (да и целевая строка) становятся все более редкими: последовательно генерируемые конусы становятся все "острее" и результатам вычислений здесь соответствует конъюнкция К выявляемых интервалов.

Аналогичным образом производятся вычисления по всем целевым строкам и далее определяется наиболее компактная форма (АМКЛ) - придерживаясь вышеприведенной терминологии, дизъюнкция множества "маленьких" информационных окон К заменяется небольшим количеством больших. С нейрофизиологической точки зрения этой модели, возможно, соответствует (при генерировании К) постепенное уменьшение числа колеблющихся конформных связей отдельных димеров молекул тубулина, образующих "микротрубочки" в ультрамикроструктурах нейронов мозга. Итоговой К, при данном подходе, соответствуют колебания ограниченного числа конформных связей, соответствующих рангу r для К; так, интервалы входящих переменных задают амплитуду этих колебаний, имеющих r степеней свободы.

Отметим еще, что вычисляемые семейства острых конусов задают порядковую топологию на М, которая лежит в основе теории построения АМКЛ. Эта топология, в частности, определяет инвариантность формул получаемых моделей при медленном (эволюционном) изменении несущественных (возможно и нерегистрируемых) переменных, что весьма важно при исследовании сложных объектов. Обращаясь вновь к вопросам рационального построения базы данных, можно сказать, что подобного рода модели сами организуют в этом смысле и свою базу данных (для дальнейших исследований). При этом выявляются не только существенные переменные, что облегчает создание базы данных, но и задаются интервалы изменений требуемых переменных, что также облегчает, например, создание некоторых датчиков и задает требования к их точности.

Вышеприведенная геометрическая модель в виде конуса, направленного вершиной вниз отображает в основном аналитическую и системную деятельность исследователя (или "сознание" ИС). Далее, возможно, начиная с процесса усложнения гипотез, т.е. построения конъюнкции К, а затем и их множеств по всем целевым строкам, входящим в базу данных, затем их сокращения до компактного набора, следует разработка множества конструктивных все уточняющихся во времени правил для достижения поставленной цели обычно в условиях больших помех. Приведенная выше иерархия алгорифмов понимания суждений в конструктивной математике, т.е. постепенно расширяющееся множество способов использования в конечном итоге обновляющейся базы данных, соответствует здесь в информационном смысле также простой геометрической модели - конусу конструктивных операций со все расширяющимся основанием. Если на этапе построения модели наибольшее значение имела аналитическая и системная деятельность ИС, то для последней стадии наибольшее значение имеет синтез: в новых условиях обновляемой базы данных и по новым моделям получать реальные возможности управления сложным объектом. Можно сказать, что в этом случае с психологической точки зрения разрабатываемая ИС начинает приобретать "волевые" качества.

6.3. АМКЛ как интеллектуальная система анализа данных. Отметим некоторые особенности алгоритма, связанные с активным применением метода Гёделя нумерации объектов используемого языка. В частности, синтаксическими объектами будут здесь названия столбцов (переменных величин), названия строк (состояний исследуемого объекта или объектов) и названия (семантика) значений дискретных переменных. Каждому такому объекту перечисленных выше типов будет однозначно ставиться в соответствие некоторое натуральное число 1, 2, 3, ... или для дискретных переменных 0, 1, 2, ..., k - 1 значений k-значной логики (метод гёделевской арифметизации используемого языка). Аналогично установленной Гёделем неполноты формализованных систем арифметики в нашем случае также следует иметь ввиду неполноту в этом смысле и языка АМКЛ - здесь можно записать, например, из литературных данных некоторые истинные суждения, которые не будут противоречить конкретному массиву данных, но эти суждения, возможно, нельзя будет вывести из заданного массива.

Другая особенность алгоритма АМКЛ заключается не только в кодировании натуральными числами входных синтаксических объектов, но и в активном построении некоторых вполне определенных натуральных чисел, которые в итоге дают конструктивное обоснование (реализуемость по Клини) получаемых выводов. Это построение границ конъюнкций открытых интервалов (соответствующих предикатам) и построение рангов для вычисляемых конъюнкций или выводов К.

Систему ("искусственный интеллект") желательно использовать или в начальной стадии исследования или в тех случаях, когда применение иных стандартных методов не позволяет получить достаточно краткие и непротиворечивые выводы, которые были бы удобны для их качественной интерпретации, например, с помощью литературных данных. Алгебраическая модель конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ) при геометрической интерпретации представляет собой наборы малого числа ячеек-параллелепипедов K малой размерности, выполнению цели здесь соответствует "попаданию" внутрь K | Г | точек-состояний. Другая полезная интерпретация этих моделей - это разложение исходной сложной системы на малое число более простых подсистем K, по отношению к которым более удобно использовать, например, традиционные методы статистического анализа.

В смысле получения выводов из накопленных данных ИС соответствует так называемому "искусственному интеллекту". С помощью ИС облегчается информационный поиск содержательных теорий, интерпретация полученных выводов, вычисление их контекста (значения интервалов переменных, не вошедших в K) и, при необходимости, аппроксимация подмножеств Г-состояний для некоторых К рядами функций Эрмита или Фурье.

При исследовании сложных систем для их моделирования с заранее заданным уровнем значимости обычно наблюдается недостаток информации - числа состояний системы. Разложение ее на более простые подсистемы K, обладающие меньшим числом степеней свободы (меньшим числом переменных) частично решает эту проблему. Во многих случаях возможно рекурсивное использование ИС: набор новых данных лишь для тех переменных, которые входят в K, что позволяет усилить "разрешающую способность" итоговых моделей. В случае невозможности получения таких дополнительных данных следует использовать интерпретационные возможности АМКЛ: поиски с помощью K ("ключевых слов") соответствующих априорных (литературных) данных или теорий. Используя их, можно, например, задать имитационный процесс, который будет генерировать новые состояния для K, итоговая модель здесь не будет противоречить и сложной системе и уже известному априорному опыту функционирования отдельных подсистем.

Известные признаки интеллектуальности программы АМКЛ в основном выполняются. 1)Программа выбирает лишь "существенные" переменные (в зависимости от заданной цели) и упорядочивает окончательные выводы, включающие эти переменные, также по их существенности (по числу их встречаемости в исходном массиве). 2)Программа порождает непротиворечивые на данном массиве гипотезы - импликации К (часть которых входит в тупиковую дизъюнктивную форму), с помощью которых облегчается информационный поиск соответствующих априорных данных или теорий. 3)Программа оценивает максимальную ошибку полученных результатов путем сравнения полученной модели с результатами обработки подобного массива, отображающего "белый шум". 4)Программа отвечает на вопрос "почему" - или просто указанием на выделяемые области пространства входных переменных, или путем выбора (мажорирования) подходящих априорных фактов или теорий (для реализации последнего требуется использование информационно-поисковых систем). 5)Программа реализует формализованную эвристику для синтеза одной из познавательных процедур - индукции. 6) Программа производит процесс обучения на заданном массиве информации. 7) Адаптация программы при изменении структур данных производится пользователем путем простого введения, например, новой нумерации объектов используемого языка (см. вводную часть этого подраздела).

Вкратце еще отметим, что ввиду сравнительно большого быстродействия программа АМКЛ, по-видимому, может быть в дальнейшем после требуемого усложнения использована и для работы с текстами.

Интерпретация теории смыслов с точки зрения теории и практики использования АМКЛ

Сравним теперь АМКЛ с основными положениями последней статьи [4] Налимова, отображающей, согласно автору, спонтанность сознания, вероятностную теорию смыслов и смысловую архитектонику личности. Эта работа является завершающей в длинной серии публикаций, посвященных развитию вероятностно ориентированной философии. Соответствующие термины или операции при интерпретации высказываний Налимова будут приводиться в скобках, выдержки из его книги будут помечены кавычками.

По Налимову "смыслы мира как бы спрессованы, как числа на действительной оси m (например, будущие смыслы при исследовании новых эволюционирующих объектов). "Метрика шкалы m предполагается изначально заданной и остающейся неизменной. Спрессованность смыслов - это не распакованный Мир, семантический вакуум (исходный и эволюционирующий массив данных в конструктивном смысле). Распаковывание, т. е. появление текстов, осуществляется вероятностной взвешиваемостью оси m: разным ее участкам приписывается разная мера". (Вероятностная взвешиваемость осуществляется в АМКЛ при построении тупиковой дизъюнктивной формы. Однако, здесь строки массива могут перекрываться соответствующими конъюнкциями К. Для введения вероятностей необходимо эти пересечения объявить также К и вновь перенумеровать все конъюнкции. Далее число строк массива, покрывающихся каждой К следует разделить на общее число строк массива; получаем для каждой К свою плотность вероятности p(m).

Соответственно, семантика каждого конкретного текста задается своей функцией распределения плотностью вероятности p(m). Будем полагать, что функция распределения достаточно гладкая и асимптотически приближается к оси абсцисс. Аппроксимируя множества точек из каждой К с помощью полиномов Эрмита, мы достигаем этого. В итоге получаем некоторую сложную многомерную риманову поверхность, которую для наглядности можно представить как шар, на котором имеется определенное число "всплесков" для К булевой целевой функции 1 или впадин для целевой функции 0). "В общем случае можно говорить о текстах, определяемых функцией распределения вероятности, задаваемой на многомерном пространстве. Функция p(m) оказывается тем окном, через которое нам дана возможность всматриваться в семантический мир.

Изменение текста - его эволюция - связана со спонтанным появлением в некоей ситуации y фильтра p(y/m), мультипликативно взаимодействующего с исходной функцией p(m). Взаимодействие задается известной формулой Бейеса:

p(m/y) = k p(m) p(y/m), где p(m/y) - функция распределения, определяющая семантику нового текста, возникающего после эволюционного толчка y; k - константа нормировки".

(Поясним эти формулы. Появление ситуации у может означать, что объект наблюдается в динамике. Выявляются и записываются новые строки, столбцы, затем производится вычисление новой АМКЛ. Соответственно, фильтр р(y/m) означает операции вычисления новых плотностей вероятности для новых К. Формула Бейеса p(m/y) = k p(m) p(y/m) у Налимова интерпретируется как силлогизм: из двух посылок - p(m) и p(y/m), т. е. из сопоставления старых плотностей вероятностей для К с новыми с необходимостью следует текст с новой семантикой p(m/y)).

"Развиваемая нами вероятностно ориентированная философия в целом направлена на то, чтобы по-новому осветить (некоторые) следующие проблемы:

Язык и логика

1. Почему мы понимаем друг друга, когда в нашей речи используются слова с полиморфными (а не атомарными) смыслами?" (АМКЛ вводит понятие контекста - замкнутых интервалов тех переменных, которые не вошли в К и которые присутствуют лишь в покрытии тех ситуаций, в которые входит К).

"2. Как мы понимаем метафоры? Почему метафоры и синонимы обогащают наш язык?" (Включение метафор и синонимов в список переменных улучшает интерпретацию АМКЛ за счет более легкого выявления смысла).

"3. Если наше обыденное мышление преимущественно аристотелево, то как возникают исходные предпосылки?" (Большое преимущество АМКЛ заключается в заранее предусмотренном избыточном введении исходных переменных - исходных предпосылок. При использовании алгоритма АМКЛ происходит быстрое отсеивание несущественных переменных, и вычисляются конъюнкции существенных интервалов значений лишь для некоторых переменных, т. е. исходных предпосылок, которые в основном берутся из коллективного опыта человечества).

"4. Можно ли раскрыть механизм возникновения предпосылок? Возможна ли такая формальная логика порождения предпосылок?" (АМКЛ как раз и представляет частный случай "механизма" порождения таких предпосылок, в данном случае, набора импликаций в каждой требуемой области знаний).

"Личность

1. Если сознание человека - это преобразователь смыслов, то, как возможно построение математическии заданной семантической модели личности?" (Интерпретация выводов, полученных с помощью АМКЛ при исследовании, например, творческого сознания, дает некоторое приближение к этой модели).

"2. Как возможно сравнение такой модели с тем, что ранее было сказано о природе человека в академической и религиозной философии?" (По-видимому, потребуются громадные усилия ученых для раскрытия конструктивного смысла многих философских и религиозных положений, см. также предыдущий пункт).

"Творчество и эволюция

1. Как возможна единая модель, задающая творчество в самом широком его понимании, включающем развитие как ноосферы, так и биосферы?" (Такая единая модель в настоящее время представляется, возможно, как модель творческого сознания, которая потенциально включает в себя, как развитие отдельных ветвей познания как объективного так и субъективного мира).

"2. Как возможно введение представления о собственном времени как о мере изменчивости?" ( В алгоритме построения АМКЛ приводится частный случай введения такого собственного времени). "Как возможны собственные ритмы?" (После вычисления итоговой модели АМКЛ в виде набора определенного вида импликаций, соответственные подмножества точек можно преобразовать в ряды Фурье с одним ограничением: чтобы начало функции совпадало с началом координат, соответствующему каждому К , см. построение эрмитовых моделей. Частоты, возможно, для К с наибольшей оценкой можно интерпретировать как собственные ритмы исследуемого объекта или субъекта).

"Терапия сознания

1 Если сейчас во всем мире со всей остротой ставится вопрос о том, что есть здоровая, гармонически развитая личность, то как можно задать математически семантическую модель такой личности?" (Следует, вообще говоря, описать именно его процесс творческого сознания, включая и его способности к смысловой интерпретации получаемых выводов). "Как можем мы сейчас попытаться представить семантический портрет человека будущего?" (Возможно, в частности, как человека, эффективно использующего не только свои достаточно большие возможности интерпретации, но также использующего информацию большого числа банков данных).

"Искусственный интеллект

1 Как возможен искусственный интеллект?" (Например, вычисление АМКЛ, см. алгоритм). "Что принципиально возможно и невозможно в моделировании сознания человека средствами ЭВМ?" (В настоящее время возможно моделировать основные алгоритмы творческого сознания человека при условии его связи с достаточно большим набором априорных данных, позволяющих интерпретировать получаемые выводы. Однако, всегда будет существовать недостаток, например, новой аппаратуры для исследования мозга при изучении возможных причин спонтанного появления новых идей, озарения и т. п. явлений).

"Смыслы и материя

1. Может быть, разумнее исходить из представления о том, что смыслы и материя - это две различные реальности, и искать их единую первооснову?" (Интерпретация АМКЛ позволяет в итоге приблизиться к пониманию того, что с помощью этой модели мы как бы вспоминаем уже существующие факты или теории, которые как бы существовали до нашей деятельности в некотором невидимом мире математических идей, о котором говорил Платон. В более широком понимании - это некоторая первооснова, в которую включен и этот мир Платона).

"2. В философской мысли как Запада, так и Востока издревле развивалось представление о том, что первоосновой Мира является Ничто. Можно ли Ничто редуцировать к представлению о Пространстве, геометрию которого можно содержательно обсуждать?" (Весьма перспективным с конструктивной точки зрения в этом смысле является геометрия пространства Эрмита).

"Запредельные вопросы

1 В чем главное отличие христианского миропонимания от буддисткого?" (Если говорить весьма кратко, христианство - это признание того что существуют некоторый класс эквивалентности ближних субъектов, духовное состояние которых по существу одинаково. В буддизме это класс эквивалентности ближних расширен до предела: весь Мир - это Я).

"2. В чем смысл жизни человека?" (В радости познания в самом широком смысле). "В чем смысл жизни Вселенной?" (В динамике реализации и проявления результатов изначально заложенных законов развития: "Не премудрость ли взывает?.. "Я родилась..., когда еще Он не сотворил ни земли, ни полей, ни начальных пылинок вселенной". Притч 8, 1, 25, 26")

.

"Нельзя сказать что-либо серьезное о сознании, не постулировав изначальное существование не проявленной семантики. Это, пожалуй, и есть главный вывод наших многолетних размышлений над проблемой сознания". (Не проявленная семантика - это, прежде всего, исходный массив данных. Интерпретация получаемой модели частично проявляет ее семантику).

"... личность соприкасается с бессмертным. Соприкасается через спонтанность. Спонтанность - это реальность другого мира, смежного нашему". (Конструктивно, другой мир - это чрезвычайно большое множество не учитываемых и принципиально неизвестных переменных, которые не вошли в исследуемый массив данных. Например, при возможном в будущем исследовании стереохимии концевых групп тубулина нейронов, изменение взаимного расположения этих групп может быть, в частности, обусловлена тепловыми колебаниями окружающих частиц, т. е. процессом с весьма большой энтропией).

Теория построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики, по-видимому, включает в себя теорию смыслов В. В. Налимова. В отличие от умозрительности многих положений этой теории, теория построения АМКЛ (и даже частично ее интерпретация) имеет конструктивный характер, т. е. значительная часть сознательной (и даже творческой) деятельности человека при наличии соответствующей информации может быть алгоритмизирована.

Литература

1. Щеглов В. Н., Ефанкин Г. А. Применение метода распознавания двоичных кодов для изучения влияния СО на синтез метанола в промышленных условиях/ Хим. пром. Украины. - 1970. - ╧1. - С. 29 - 31.

2. Щеглов В. Н. Получение булевой модели сложного технологического процесса по текущей информации/ Заводская лаборатория. - 1972. - ╧1. - С. 56 - 61.

3. Налимов В. В. Вероятностная модель языка. О соотношении естественных и искусственных языков. 3 издание. Томск-М. Водолей. 2003

http:/www.gileia.ru/

4. Налимов В. В. Спонтанность сознания. Вероятностная теория смыслов и

смысловая архитектоника личности, 2004. http:/kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_840.htm, (см. также http:/www.politstudies.ru/fulltext/1991/6/2.htm

).

5. Щеглов В. Н. Творческое сознание. Интуиционизм, алгоритмы и модели/ - Тула: Гриф и К, 2004. - 200 с. (см. также эл. б-ку Ершова, там помещены все публикации автора).

6. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

7. Hameroff S., Penrose R. Orchestrated objective reduction of quantum coherence in brain microtubules/ Mathematics and computer simulation. - 1996. - V. 40. - P. 453 - 480, цит. по "Парапсихология и психофизика". - 1998. - ╧2(26). - С. 81 - 85.

____________________________________________________________

© Щеглов Виталий Николаевич. Алгебраические модели конструктивной (интуиционистской) логики и теория смыслов В. В. Налимова

Origin: http://samlib.ru/s/sheglow_w_n/2006htm.shtml

Создан: 11/10/2006, изменен: 11/10/2006, 81k

Статья: Естествознание

Series: *@Математическая логика