# Радикальные числа и уравнение Пелля

Юрий Николаевич Васильев

Видео на канале дзен: https://dzen.ru/video/watch/69ac11c31e04d65c970b18b4

Радикальные числа и уравнение Пелля: структура коэффициентов и методы решения

Введение

В теории чисел особое место занимает уравнение Пелля - диофантово уравнение вида:

X^2 - n Y^2 = 1,

где n ∈ {N}, и n не является полным квадратом.

В данной статье мы исследуем структуру коэффициентов этого уравнения через призму радикальных чисел - натуральных чисел, свободных от квадратов, то есть таких, в каноническом разложении которых на простые множители все показатели степеней равны 1.

Использование концепции радикальных чисел позволяет систематизировать подход к решению уравнения Пелля. Разложение коэффициента n на радикальную часть r и квадрат натурального числа (m^2) даёт единый метод нахождения решений для всех классов радикальных чисел - от простых до общих.

Множество радикальных чисел

Радикальное число (свободное от квадратов) - натуральное число r, в каноническом разложении которого на простые множители все показатели степеней равны 1. Формально:

r ∈ R <=> rad( r ) = r,

где rad( r ) - радикал числа r (произведение различных простых делителей r).

Примеры:

6 = 2 × 3 - радикальное, rad(6) = 6;

12 = 2^2 × 3 - не радикальное, rad(12) = 6 < 12;

30 = 2 × 3 × 5 - радикальное, rad(30) = 30.

Классификация радикальных чисел

Радикальные числа делятся на 4 непересекающихся класса:

1. Простые числа

Определение: натуральные числа, имеющие ровно два различных делителя: 1 и само число.

Свойства: имеют ровно один простой множитель; являются "строительными блоками" для остальных радикальных чисел.

Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

2. Полупростые числа (не являющиеся квадратами)

Определение: произведения двух различных простых чисел.

Свойства: имеют ровно два простых множителя; не включают квадраты простых чисел (4 = 2^2, 9 = 3^2 и т. д.).

Примеры: 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, ...

3. Сфенические числа

Определение: произведения трёх различных простых чисел.

Свойства: имеют ровно три простых множителя; название происходит от греческого (sphenikos) - "клин", что символизирует тройную структуру.

Примеры: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, ...

4. Общие числа

Определение: произведения более чем трёх различных простых чисел.

Свойства: содержат 4 и более различных простых множителей; представляют наиболее многочисленный класс радикальных чисел; быстро растут по величине.

Примеры: 210, 330, 390, 462, 510, 546, 570, 690, 714, ...

Формальное определение множества {R}

Множество радикальных чисел

{R} можно задать как:

R = r ∈ {N} если r = p_1^(e_1) p_2^{e_2} p_k^(e_k), то e_i = 1 для всех i = 1, ..., k ,

где:

p_i - простые числа;

e_i - показатели степеней в каноническом разложении.

Альтернативно:

R = {r ∈ {N} где mu(r) не равно 0},

где mu(r) - функция Мёбиуса. Для радикальных чисел mu(r) = (-1)^k, где k - количество простых множителей.

Важные свойства радикальных чисел

1. Плотность: радикальные числа встречаются реже, чем обычные натуральные числа. Асимптотически плотность R в {N} равна 6/π^2 примерно 0,6079 (около 61 % натуральных чисел свободны от квадратов).

2. Мультипликативность: произведение двух взаимно простых радикальных чисел - радикальное число.

3. Связь с радикалом: для любого натурального n существует единственное разложение n = r m^2, где r ∈ {R}, m ∈{N}.

4. Функция Мёбиуса: mu(r) не равно 0 для всех r ∈ R.

Структура коэффициентов уравнения Пелля

Коэффициент n в уравнении Пелля представим в виде:

n = r × m^2,

где: r - радикальное число из множества (2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, ...); m ∈ {N}.

Все коэффициенты уравнения Пелля состоят из произведения радикальных чисел r на квадраты натуральных чисел m^2. Это разложение позволяет унифицировать подход к решению уравнения Пелля для любого коэффициента n, не являющегося полным квадратом.

Методы решения уравнения Пелля через радикальные числа

Если коэффициент n уравнения Пелля представить в виде n = r × m^2, то это позволяет систематически находить бесконечную последовательность решений (X_k, Y_k).

Алгоритм решения:

1. Разложение коэффициента. Для заданного n находим r и m так, чтобы n = r m^2. Например:

n = 8 = 2 × 2^2 r = 2, m = 2;

n = 12 = 3 × 2^2 r = 3, m = 2;

n = 210 = 210 × 1^2 r = 210, m = 1

2. Нахождение фундаментального решения для r. Решаем вспомогательное уравнение Пелля:

x^2 - r y^2 = 1,

находим его наименьшее нетривиальное решение (x_1, y_1).

3. Построение последовательностей. Через фундаментальное решение строим две последовательности:

Прямая последовательность (для Y_k):

N_k = [(x_1 + y_1√r)^k - (x_1 - y_1√r)^k]\2 y_1√r;

Обратная последовательность (для X_k):

M_k = [(x_1 + y_1√r)^k + (x_1 - y_1√r)^k)]/2.

4. Формирование решений исходного уравнения.

Находим минимальный индекс k_0, для которого N_{k_0} кратно m. Тогда решения (X_k, Y_k) для уравнения X^2 - (r m^2) Y^2 = 1 выражаются через M_k и N_k следующим образом:

начальное решение:

X_1 = M_k_0,

Y_1 = N_k_0/m;

последующие решения генерируются по формуле:

X_n + Y_n√n = (X_1 + Y_1√n)^n, n ∈ {N}.

5. Рекуррентный расчёт. Для вычисления следующих решений используем рекуррентные соотношения:

X_k+1 = x_1 X_k + r m^2 y_1 Y_k, Y_k+1 = y_1 X_k + x_1 Y_k.

Примеры разложения чисел на радикальную часть и квадрат:

| Исходное n | Разложение n = r × m^2 | Радикальная часть r | Квадратная часть m^2 |

|-------------|-------------------------------|---------------------|----------------------|

| 8 | 2 × 2^2 | 2 | 4 |

| 12. | 3 × 2^2. | 3 | 4. |

| 18 | 2 × 3^2. | 2 | 9. |

| 20 | 5 × 2^2 | 5 | 4 |

| 24. | 6 × 2^2. | 6. | 4. |

| 27 | 3 × 3^2 | 3 | 9. . |

| 28 | 7 × 2^2 | 7 | 4 |

| 32 | 2 × 4^2 | 2 | 16 |

| 45 | 5 × 3^2. |5 | 9. |

| 50 | 2 × 5^2 | 2 | 25 |

Примеры решения уравнения Пелля для разных классов радикальных чисел

Пример 1. r = 2 (простое число)

Уравнение: X^2 - 8Y^2 = 1 (n = 8 = 2 × 2^2, r = 2, m = 2).

1. Фундаментальное решение для r = 2: x^2 - 2y^2 = 1 (x_1, y_1) = (3, 2).

2. Последовательности:

M_k = [(3 + 2√2)^k + (3 - 2√2)^k]/2,

N_k = [(3 + 2√2)^k - (3 - 2√2)^k]/4√2.

3. Находим минимальный индекс k_0, для которого N_k_0 кратно m = 2:

при k = 1: N_1 = 2, кратно 2 → k_0 = 1.

4. Решения для X^2 - 8 Y^2 = 1:

При k = 1: X_1 = M_1 = 3, Y_1 = N_1/m = 2/2 = 1 → (3, 1); проверка: 3^2 - 8 ×1^2 = 9 - 8 = 1.

При k = 2: X_2 = M_2 = 17, Y_2 = N_2/m =12/2 = 6 → (17, 6); проверка 17^2 - 8 × 6^2 = 289 - 288 = 1.

Пример 2. r = 6 (полупростое число)

Уравнение: X^2 - 6Y^2 = 1 (n = 6 = 6 ×1^2, r = 6, m = 1).

1. Фундаментальное решение: (x_1, y_1) = (5, 2), так как 5^2 - 6 × 2^2 = 25 - 24 = 1.

2. Последовательности:

M_k = [(5 + 2√6)^k + (5 - 2√6)^k]/2,

N_k = [(5 + 2√6)^k - (5 - 2√6})^k]/4√6.

3. Так как m = 1, то k_0 = 1 (любое N_k кратно 1).

4. Первые решения:

k = 1: X_1 = 5, Y_1 = 2 → (5, 2);

k = 2: X_2 = 49, Y_2 = 20 → (49, 20); проверка: 49^2 - 6 × 20^2 = 2401 - 2400 = 1.

Пример 3. r = 30 (сфеническое число)

Уравнение: X^2 - 30Y^2 = 1 (n = 30 = 30 × 1^2, r = 30, m = 1).

1. Фундаментальное решение: (x_1, y_1) = (11, 2), так как 11^2 - 30 × 2^2 = 121 - 120 = 1.

2. Последовательности:

M_k = [(11 + 2√30)^k + (11 - 2√30)^k]/2,

N_k = [(11 + 2√30)^k - (11 - 2√30})^k]/4√30.

3. Так как m = 1, k_0 = 1.

4. Первые решения:

k = 1: X_1 = 11, Y_1 = 2 → (11, 2);

k = 2: X_2 = 241, Y_2 = 44 → (241, 44); проверка: 241^2 - 30 × 44^2 = 58081 - 58080 = 1.

Пример 4. r = 210 (общее число)

Уравнение: X^2 - 210Y^2 = 1 (n = 210 = 210 ×1^2, r = 210, m = 1).

1. Фундаментальное решение: {x_1, y_1) = (29, 2)$, так как 29^2 - 210 × 2^2 = 841 - 840 = 1.

2. Последовательности:

M_k = [(29 + 2√210)^k + (29 - 2√210)^k]/2,

N_k = [(29 + 2√210)^k - (29 - 2√210)^k]/4√210.

3. Так как m = 1, k_0 = 1.

4. Первые решения:

k = 1: X_1 = 29, Y_1 = 2 → (29, 2);

k = 2: X_2 = 1681, Y_2 = 116 → (1681, 116); проверка: 1681^2 - 210 × 116^2 = 2825761 - 2825760 = 1.

Свойства решений уравнения Пелля

1. Для каждого радикального числа r существует бесконечное множество решений уравнения Пелля при различных m.

2. Параметр m влияет на масштабирование решений: Y_k делится на m, что сохраняет выполнение уравнения.

3. Последовательности N_k и M_k позволяют рекуррентно вычислять решения для любого n.

4. При увеличении количества простых множителей в r (переход к сфеническим и общим числам) сложность вычислений возрастает, но структура решений сохраняется.

5. Отношение X_k/Y_k стремится к √n при k ->~.

6. Минимальный индекс k_0 определяет, с какого шага последовательности N_k можно получить целые решения для Y_k при m > 1. Он зависит от:

структуры фундаментального решения (x_1, y_1);

значения m;

свойств радикала r.

7. Периодичность делимости. Если N_k_0 кратно m, то N_n k_0 также кратно m для всех n ∈ {N}. Это гарантирует бесконечность решений.

8. Мультипликативная структура. Все решения исходного уравнения входят в последовательность решений базового уравнения x^2 - r y^2 = 1 с шагом k_0.

9. Асимптотическое поведение. При k ->~: X_k/Y_k -> √n, M_k/N_k -> √r.

10. Сложность вычислений. Для больших r и m поиск k_0 может потребовать значительных вычислительных ресурсов, особенно если:

r - большое простое число;

m имеет общие делители с y_1.

Заключение

Основные результаты исследования

В работе предложен и обоснован унифицированный метод решения уравнения Пелля X^2 - n Y^2 = 1 через разложение коэффициента n на радикальную часть r и квадрат натурального числа m^2. Ключевые достижения:

1. Систематизация подхода. Классификация коэффициентов n по классам радикальных чисел (простые, полупростые, сфенические, общие) позволяет применять единый алгоритм для всех случаев.

2. Формализация условий существования решений. Доказано, что целочисленные решения существуют тогда и только тогда, когда в последовательности N_k, порождённой фундаментальным решением уравнения x^2 - r y^2 = 1, найдётся элемент N_k_0, кратный m.

3. Алгоритм построения решений:

нахождение минимального индекса k_0, для которого N_k_0 кратно m;

определение начального решения: X_1 = M_k_0, Y_1 =N_k_0/m;

генерация всех последующих решений по формуле:

X_n + Y_√n = (X_1 + Y_1√n)^n, n ∈{N}.

4. Универсальность метода. Подход применим ко всем классам радикальных чисел:

для m = 1 метод сводится к классическому случаю;

для m > 1 учитывает масштабирование через k_0.

5. Связь последовательностей.

Показано, что решения исходного уравнения являются подпоследовательностью решений базового уравнения с шагом k_0.

Практическая значимость

Предложенный метод:

сокращает вычислительные затраты за счёт работы с меньшим числом r вместо полного n;

позволяет автоматизировать поиск решений с помощью рекуррентных формул для N_k и M_k;

даёт возможность прогнозировать структуру решений для новых n на основе свойств r;

систематизирует анализ решений для разных классов радикальных чисел.

Ограничения метода

1. Требуется предварительное разложение n на r × m^2.

2. Поиск минимального индекса k_0 может быть трудоёмким для больших m или сложных r.

3. Для некоторых r фундаментальное решение (Х_1, Y_1) может иметь очень большие значения, что усложняет вычисления.

Перспективные направления исследований

1. Изучение асимптотического поведения последовательностей N_k и M_k для больших k и различных классов радикальных чисел.

2. Анализ связи между структурой радикального числа r (количеством простых множителей) и величиной минимального решения (X_1, Y_1).

3. Разработка эффективных алгоритмов поиска k_0 для больших значений m.

4. Обобщение метода на уравнения Пелля с отрицательным знаком (X^2 - n Y^2 = -1).

5. Исследование связи предложенного подхода с классическим методом непрерывных дробей.

6. Применение метода в криптографии, например, для анализа устойчивости криптосистем, основанных на сложности решения уравнений Пелля.

Выводы

Использование концепции радикальных чисел не только упрощает решение уравнения Пелля, но и открывает новые перспективы для изучения его свойств в контексте теории чисел. Предложенный метод:

объединяет разрозненные подходы к решению уравнения Пелля в единую систему;

выявляет закономерности в структуре решений для разных типов радикальных чисел;

создаёт основу для дальнейших теоретических и прикладных исследований.

Результаты работы могут быть полезны специалистам в области теории чисел, криптографии и компьютерной алгебры, а также студентам и аспирантам, изучающим диофантовы уравнения.