# Особые числа

Юрий Николаевич Васильев

В работе вводится новый класс натуральных чисел - "особые числа", определяемые через классификацию составных чисел на малые и большие. Предложен альтернативный подход к описанию примитивных полусовершенных чисел (OEIS A006036) с использованием параметризации вида 70p, 315p и т. д., где p - простое число. Установлено, что особые числа составляют около 1,4% от всех натуральных чисел в диапазоне до 7000, из них лишь 0,0857% - нечётные числа. Результаты получены аналитически, без использования вычислительной техники.

Особые числа

Аннотация: В работе вводится новый класс натуральных чисел - 'особые числа', определяемые через классификацию составных чисел на малые и большие. Предложен альтернативный подход к описанию примитивных полусовершенных чисел (OEIS A006036) с использованием параметризации вида 70p, 315p и т. д., где p - простое число. Установлено, что особые числа составляют около 1,4% от всех натуральных чисел в диапазоне до 7000, из них лишь 0,1% - нечётные числа. Результаты получены аналитически, без использования вычислительной техники.

Ключевые слова: особые числа, малые составные числа, большие составные числа, совершенные числа, примитивные полусовершенные числа.

Введение:

Множество натуральных чисел традиционно делится на чётные (2n) и нечётные (2n+1), а также на простые и составные. В I веке Никомах определил совершенные числа - такие числа, сумма собственных натуральных делителей которых равна самим числам. Примеры: 6, 28, 496, 8128 и т. д. Формула для генерации чётных совершенных чисел: 2^{n-1}(2^n - 1), где (2^n - 1) - простое число (число Мерсенна), причём n > 1.

Составные числа разделяют на недостаточные и избыточные. В данной работе предлагается дополнительная классификация составных чисел - на малые и *большие.

Цель работы - ввести и исследовать класс 'особых чисел', основанный на предложенной классификации, и выявить их свойства.

Новизна подхода состоит в аналитическом построении последовательности без привлечения вычислительных методов, что позволяет проследить логику формирования класса чисел 'из первых принципов'.

Основные определения

1. Малые числа - составные числа, удовлетворяющие двум условиям:

сумма их собственных натуральных делителей меньше самого числа;

все их собственные натуральные делители являются малыми числами.


2. Большие числа - составные числа, удовлетворяющие условиям:

сумма их собственных натуральных делителей больше самого числа;

хотя бы один их собственный натуральный делитель не является малым числом.

3. Особые числа - числа, удовлетворяющие следующим условиям:

сумма их собственных натуральных делителей равна или больше самого числа;

все их собственные натуральные делители являются малыми числами.

Формулы, определяющие особые числа (при n > 1)

1. (2^n)р, где р - простое число, 2^n < р < 2^(n+1).

2. (2^n)рq, где р, q - простые числа.

3. 70 p, (2 ×5 ×7) p, где p - простое число больше 3.

4. 315 p, 315 (3 × 5 ×7) p, где p - простое число больше 2.

Разберу связь между простыми и особыми числами подробно - как прямые, так и косвенные взаимосвязи.

Прямые связи

1. Простые числа как 'строительный материал'

Простые числа участвуют в формировании особых чисел вида b = (2^n)p, где p - простое. Условия для p: 2^n < p < 2^(n+1)

Примеры:

6 = (2^1)3 (2 < 3 < 4);

20 = (2^2)5 (4 < 5 < 8);

28 = (2^2)7 (4 < 7 < 8);

88 = (2^3)11(8 < 11 < 16).

2. Роль простых чисел в делителях.

Простые делители (включая 2) входят в состав собственных делителей особых чисел. При этом:

простые числа автоматически считаются 'малыми' (у них сумма собственных делителей 1 < p);

они обеспечивают выполнение условия 'все собственные делители - малые числа'.

3. Ограничение на простые числа.

Ключевое условие: 2^n < p < 2^(n+1):

нижняя граница (2^n) гарантирует, что p не будет слишком маленьким (иначе произведение может не быть особым числом); верхняя граница (2^(n+1)) контролирует сумму делителей, чтобы она оставалась b.

Косвенные связи:

1. Через классификацию составных чисел.

Простые числа служат 'границей' для малых и больших составных чисел:

малые числа могут иметь простые делители, но их сумма делителей остаётся меньше самого числа;

большие числа содержат хотя бы один делитель, который не является малым (часто это составное число с 'крупным' простым делителем).

2. Через совершенные числа.

Чётные совершенные числа (частный случай особых чисел) имеют вид 2^(n-1)(2^n - 1), где (2^n - 1)- простое число Мерсенна. Примеры:

6 = 2^1 × (2^2 - 1) = 2 × 3;

28 = 2^2 × (2^3 - 1) = 4 ×7.

3. Через плотность распределения.

Распределение простых чисел (по теореме о простых числах) влияет на количество кандидатов p для формулы

b = 2^n×p:

* в интервале (2^n, 2^(n+1)) есть конечное число простых p;

* чем больше n, тем больше простых чисел попадает в интервал, но растёт и сам интервал.

Анализ влияния простых чисел на свойства особых чисел.

1. На сумму делителей.

Для числа вида b = 2^(n) × p, где p - простое, (2^(n) < p < 2^(n+1)) сумма всех собственных делителей, вычисляется так:

(2^(n+1) - 1)(1 + p) - 2^(n)p = 2^(n+1) - 1 + p(2^(n) - 1).

Условие, при котором сумма собственных делителей не меньше самого числа (сумма делителей) b), записывается как:

2^(n+1) - 1 + p(2^(n) - 1) > 2^{n} ×p.

Упростим это неравенство:

1. Перенесём 2^(n) × p в левую часть:

2^(n+1) - 1 + p(2^(n - 1) - 2^(n)p > 0.

2. Раскроем скобки и приведём подобные:

2^(n+1) - 1 - p > 0.

3. Отсюда получаем:

p < 2^(n+1) - 1.

Это согласуется с верхней границей p < 2^(n+1), заданной в условиях построения особого числа.

Собственные делители b можно разбить на три группы:

1. Степени двойки (всего n 1 штук):

1, 2, 2^(2), ... 2^(n).

Их сумма: 2^(n+1) - 1.

2. Произведения степеней двойки на p (всего n штук):

p, 2p, 2^(2)p, 2^(n-1)p.

Их сумма: p(2^(n) - 1).

3. Само простое число p - оно автоматически считается 'малым', так как сумма его собственных делителей равна 1 (что меньше p).

Итого:

общее количество собственных делителей: (n+1) + n = 2n+1;

все делители удовлетворяют условию 'малости', что соответствует определению особого числа.

Для b = 2^n × p сумма собственных делителей:

Это согласуется с верхней границей p < 2^{n+1}.

2. На структуру делителей.

Собственные делители b:

степени двойки: 1, 2, 2^n (все малые);

произведения 2^k (0, k < n) - малые из‑за ограничения на p;

само p - простое, значит, малое.

3. На уникальность представления.

Каждое особое число вида (2^n × p) однозначно определяется парой (n, p). Разные p в одном интервале дают разные особые числа.

Примеры связи на конкретных числах


| Особое число | Формула | Простые делители | Роль простых чисел |

|-----------|-------|----------------|----------------|

| 6 | 2^1 × 3 | 3 | 3 - простое Мерсенна (2^2 - 1), образует совершенное число |

| 20 | 2^2 ×5 | 5 | 5 - простое в (4, 8), обеспечивает (20) = 22 > 20 |

| 28 | 2^2 × 7 | 7 | 7 - простое Мерсенна (2^3 - 1), образует совершенное число |

| 88 | 2^3 × 11 | 11 | 11 - простое в (8, 16), сумма делителей 88 даёт = 92 > 88 |

Ограничения и исключения.

1. Не все особые числа имеют вид: 2^n p,

Примеры:

945 = 315 × 3 = 3^3 × 5 × 7 - нечётное особое число;

350 = 70 × 5 = 2 × 5^2 × 7 - содержит квадрат простого числа.

2. Не все простые числа участвуют.

Только простые p, удовлетворяющие 2^n < p < 2^(n+1), порождают особые числа. Например: p = 2 - не подходит ни для какого n;

p = 3 - подходит только для n = 1 (2 < 3 < 4).

3. Влияние на плотность.

Доля особых чисел ~ 1,4% до (7000) связана с распределением простых чисел, доля простых чисел до (7000) ~ 12.87%:

интервалы (2^n, 2^(n+1)) содержат ограниченное число простых;

рост n увеличивает интервал, но плотность простых падает (по теореме о простых числах).

Итоговый вывод

Связь простых и особых чисел:

1. Конструктивная: простые числа - обязательные компоненты формул генерации особых чисел (например, 2^n × p).

2. Структурная: простые делители обеспечивают выполнение условия 'все делители малы'.

3. Количественная: распределение простых чисел определяет количество особых чисел в диапазонах.

4. Историческая: связь через совершенные числа и числа Мерсенна - классический пример взаимодействия простых и 'особых' структур.

Таким образом, простые числа не просто участвуют в построении особых чисел, а задают их ключевые свойства: существование, структуру делителей и статистическое распределение.


Статистические данные:

Особые числа составляют ~ 1,4% от всех натуральных чисел в диапазоне до (7000). Из них лишь ~ 0,0857% - нечётные числа.

Таблица особых чисел, не превосходящих 7000:

6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 836, 910, 945, 1184, 1190, 1312, 1330, 1376, 1430, 1504, 1575, 1610, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2030, 2090, 2170, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2590, 2870, 2990, 3010, 3128, 3190, 3230, 3290, 3410, 3496, 3465, 3710, 3770, 3944, 4070, 4095, 4130, 4216, 4270, 4288, 4408, 4510, 4544, 4672, 4690, 4712, 4730, 4970, 5032, 5056, 5110, 5170, 5312, 5336, 5355, 5530, 5576, 5624, 5696, 5704, 5810, 5830, 5848, 5985, 6208, 6230, 6232, 6392, 6464, 6536, 6592, 6790, 6808, 6848, 6976.

Дополнительные статистические данные:

малые составные числа составляют ~ 75,343% от общего количества составных чисел в рассматриваемом диапазоне; из них ~ 49,9% - нечётные;

большие составные числа, не превосходящие 7000, составляют ~ 23,257% от общего числа составных чисел.

Обсуждение:

Предложенный аналитический подход позволяет:

выявить структурные закономерности в распределении особых чисел;

* продемонстрировать эвристическую силу ручного анализа при построении числовых последовательностей;

использовать результаты в качестве эталона для верификации компьютерных алгоритмов генерации примитивных полусовершенных чисел.

Ограничение метода - объём данных ограничен первыми N членами, что типично для ручного расчёта. Однако прозрачность каждого шага рассуждений обеспечивает высокую надёжность выводов.

Исследование 'Особых чисел' демонстрирует жизнеспособность классического метода ручного построения и анализа числовых последовательностей. Несмотря на ограничения по объёму данных, этот подход: обеспечивает глубокое понимание внутренней структуры объекта;

минимизирует зависимость от технических средств; служит эталоном для верификации компьютерных алгоритмов.

Полученные результаты могут быть использованы как основа для: разработки тестов корректности вычислительных программ; поиска новых классов последовательностей с заданными свойствами.

Заключение:

В ходе исследования:

* введён новый класс чисел - 'особые числа', основанный на классификации составных чисел на малые и большие;

* предложены формулы для генерации особых чисел;

* выявлены статистические закономерности в их распределении;

* показано совпадение с последовательностью примитивных полусовершенных чисел (OEIS A006036).

Перспективы исследования:

* поиск комбинаторной интерпретации особых чисел;

* изучение делимости членов последовательности;

* применение результатов для тестирования алгоритмов генерации числовых рядов.

Примечания:

Собственные натуральные делители - все натуральные делители числа, кроме самого числа. Например, собственные делители 6: 1, 2, 3.

Число 1 не включено в список особых чисел, так как сумма его собственных делителей меньше самого числа, что не удовлетворяет первому условию.