# Исследование параметризаций полусовершенных чисел с двойным типом обрыва

Юрий Николаевич Васильев

Работе исследуются параметризации примитивных полусовершенных чисел вида N = 2^n × r , где r - множество чисел (простое, полупростые, сфенические, произведение 4 и более простых чисел). Основное внимание уделяется выявлению механизмов ограничения последовательностей и их типов. Выявлены два типа обрывов: арифметический (связанный с недостаточностью суммы делителей) и комбинаторный (обусловленный структурной невозможностью представления числа суммой делителей). Исследованы семейства чисел с различными ядрами, включая K = 2^n × r. Установлены закономерности формирования последовательностей и механизмы потери свойства полусовершенности. Особое внимание уделено основной последовательности вида N = 2^n × p при условии 2^n < p < 2^(n+1).

Васильев Юрий Николаевич

Исследование параметризаций полусовершенных чисел с двойным типом обрыва

Origin: http://samlib.ru/w/wasilxew_jurij_nikolaewich/mix57.shtml

Создан: 26/08/2026, изменен: 27/08/2026, 10k

Статья: Изобретательство

Работе исследуются параметризации примитивных полусовершенных чисел вида N = 2^n × r , где r - множество чисел (простое, полупростые, сфенические, произведение 4 и более простых чисел). Основное внимание уделяется выявлению механизмов ограничения последовательностей и их типов. Выявлены два типа обрывов: арифметический (связанный с недостаточностью суммы делителей) и комбинаторный (обусловленный структурной невозможностью представления числа суммой делителей). Исследованы семейства чисел с различными ядрами, включая K = 2^n × r. Установлены закономерности формирования последовательностей и механизмы потери свойства полусовершенности. Особое внимание уделено основной последовательности вида N = 2^n × p при условии 2^n < p < 2^(n+1).

____________________________________________________________

Исследование параметризаций полусовершенных чисел с двойным типом обрыва

Аннотация

В работе исследуются параметризации примитивных полусовершенных чисел вида N = 2^n × r , где r - множество чисел (простое, полупростые, сфенические, произведение 4 и более простых чисел, составные произведение простых чисел). Основное внимание уделяется выявлению механизмов ограничения последовательностей и их типов. Выявлены два типа обрывов: арифметический (связанный с недостаточностью суммы делителей) и комбинаторный (обусловленный структурной невозможностью представления числа суммой делителей). Исследованы семейства чисел с различными ядрами, включая K = 2^n × r. Установлены закономерности формирования последовательностей и механизмы потери свойства полусовершенности. Особое внимание уделено основной последовательности вида N = 2^n × p при условии 2^n < p < 2^(n+1).

Ключевые слова

Полусовершенные числа, параметризации чисел, комбинаторный обрыв, арифметический обрыв, избыточные числа, динамическое программирование, примитивные числа, структура делителей.

Основные результаты исследования

В ходе исследования параметризаций вида N = 2^n × r были выявлены уникальные свойства нескольких семейств чисел:

Семейство N = 2^n × p

Массовая последовательность при условии 2^n < p < 2^(n+1)

Отсутствие явных ограничений на n.

Сохранение свойства полусовершенности в широком диапазоне.

В ходе исследования параметризаций вида N = M × p были выявлены уникальные свойства двух семейств чисел:

Семейство N = 110 × p

p - простое число, 3 < p < 53, кроме p = 11.

550, 770, 1430, 1870, 2090, 2530, 3190, 3410, 4070, 4510, 5170.

Для параметризации с ядром 110 = (2 × 5 × 11) наблюдается следующая картина:

При малых значениях p (p = 5 и p = 7) числа являются избыточными и полусовершенными:

N = 550 (p = 5): сумма делителей превышает число на 16 единиц.

N = 770 (p = 7): избыточность сохраняется.

Первый тип обрыва наступает при p = 11:

N = 1210 становится недостаточным числом (s(N) < N)

Нарушается условие полусовершенности.

Второй тип обрыва проявляется при p > 47:

Числа остаются избыточными (s(N) > N)

Однако теряют свойство полусовершенства из-за невозможности подобрать подмножество делителей.

Семейство N = 130 × p

p - простое число, 3 < p < 31, кроме p = 13.

650, 910, 1430, 2210, 2470, 2990, 3770.

Параметризация с ядром 130 = (2 × 5 × 13) демонстрирует аналогичную структуру:

Начальные значения p дают полусовершенные числа:

Первый тип обрыва наступает при p = 13:

N = 1690 становится недостаточным числом (s(N) < N)

N = 2210 (p = 17) - избыточное и полусовершенное число.

N = 2470 (p = 19) сохраняет свойства.

Комбинаторный обрыв наступает при p > 29:

N =

Сохраняется избыточность.

Теряется возможность представления числа суммой делителей.

Общие закономерности.

Оба семейства демонстрируют:

Наличие двух различных механизмов ограничения.

Сохранение избыточности при потере полусовершенства.

Уникальную структуру делителей, определяющую тип обрыва.

Конечность последовательностей полусовершенных чисел.

Ещё четыре семейства:

N = 136 × p, где p - простое число. 17 < p < 127.

2584, 3128, 3944, 4216, 5032, 5576, 5848, 6392, 7208, 8024, 8296, 9112, 9656, 9928, 10744, 11288, 12104, 13192, 13736, 14008, 15368.

Для параметризации с ядром 136 = (23 × 17):

Комбинаторный обрыв наступает при p > 113:

Сохраняется избыточность.

N = 152 × p, где p - простое число. 19 < p < 61.

3496, 4408, 4712, 5624, 6232, 6536, 7144, 8056, 8968.

Для параметризации с ядром 152 = (23 × 19):

Комбинаторный обрыв наступает при p > 59:

Сохраняется избыточность.

N = 44 × p, где p - простое число, 11 < p < 23.

572, 748, 836.

Для параметризации с ядром 44 = (2^3 × 11):

Арифметический обрыв наступает при p = 23:

N = 1012 становится недостаточным числом (s(N) < N)

N = 154 × p, где p - простое число. p = 13, 154 = (2 × 7 × 11).

2002.

N = 50 × p, где p - простое число. 5 < p < 17

350, 550, 650.

N = 315 × p, где p - простое число. 2 < p < 103

N = 70 × p, где p - простое число.

Точки обрыва различаются для разных ядер.

Механизм ограничения зависит от структуры исходного ядра.

Оба типа обрыва могут сосуществовать в одной параметризации.

Потеря полусовершенства не всегда связана с потерей избыточности.

Все семейства:

N = 44 × p, (11 < p < 23)

N = 50 × p, (5 < p < 17)

N = 70 × p, (3 < p < 151)

N = 110 × p, (3 < p < 53, кроме p = 11)

N = 130 × p, (3 < p < 31, кроме p = 13)

N = 136 × p, (17 < p < 127)

N = 152 × p, (19 < p < 61)

N = 154 × p, p = 13

N = 315 × p, 2 < p < 103

N = 2^n × p, 2^n < p < 2^(n+1)

315 = (2^0 × 3^2 × 5 × 7)

44 = (2^2 × 11)

50 = (2^1 × 5 × 5)

70 = (2^1 × 5 × 7)

110 = (2^1 × 5 × 11)

130 = (2^1 × 5 × 13)

136 = (2^3 × 17)

152 = (2^3 × 19)

154 = (2^1 × 7 × 11)

Общие закономерности

Наличие двух механизмов ограничения в последовательностях

Сохранение избыточности при потере полусовершенства

Уникальная структура делителей, определяющая тип обрыва

Конечность последовательностей полусовершенных чисел

Поскольку множество натуральных чисел бесконечно, существует бесконечно много ядер Km. Таким образом, исчерпывающий перебор всех возможных ядер не имеет смысла: задача сводится не к перечислению, а к выявлению закономерностей в зависимости от структуры ядра N = 2^n × r.

Таким образом, задача исследования смещается с перечисления конкретных ядер на построение общей модели ограничений: определение условий, при которых для заданного N = 2^n × r существует (или не существует) простое p, дающее примитивное полусовершенное N, и описание типа обрыва при его отсутствии.

В ходе вычислительного поиска примитивных полусовершенных чисел в диапазоне N ≤ 33 × 10^6 была выявлена устойчивая структурная закономерность: все обнаруженные числа имеют вид

N = 2^n × r, n ≥ 0, а нечётная часть r принадлежит одному из следующих типов:

простое число;

полупростое число (произведение двух различных простых);

сфеническое число (произведение трёх различных простых);

произведение четырёх и более различных простых чисел.

Контрпримеры к этой структуре в проверенном диапазоне не обнаружены. Наблюдаемая закономерность не является доказательством того, что все примитивные полусовершенные числа имеют указанную форму, но служит сильным свидетельством структурной однородности данного класса чисел в исследованной области.

Методология

Проверка на полусовершенство осуществлялась методом динамического программирования, решающим задачу о подмножестве. Для каждого N строился булев массив p, где p[s] = True означало возможность получения суммы s из делителей N.

Заключение

Полученные результаты расширяют понимание природы полусовершенных чисел и механизмов их ограничения в параметризованных последовательностях. Установлено, что множество ядер K, для которых существуют простые p, дающие полусовершенные числа N = K × p, является бесконечным. Показано, что структура ядра K = 2^n × r существенно влияет на тип и наличие ограничений.

Список литературы:

A006036 - примитивные полусовершенные числа.

A006038 - примитивные полусовершенные нечетные числа.

A174535 - примитивные полусовершенные числа вида (2 × 5 × 7 × p)

____________________________________________________________

© Васильев Юрий Николаевич. Исследование параметризаций полусовершенных чисел с двойным типом обрыва

Origin: http://samlib.ru/w/wasilxew_jurij_nikolaewich/mix57.shtml

Создан: 26/08/2026, изменен: 27/08/2026, 10k

Статья: Изобретательство