Карев Дмитрий Виталиевич
Конечность или бесконечность (часть первая)

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Links
Кожевенное мастерство: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    "А самое главное, в гостинице было бесконечно много номеров. Выгонты надеялись, что теперь никому больше не придется слышать порядком надоевшую им за время скитаний фразу: "Свободных номеров нет". Виленкин Н.Я. "Межзвездные скитания Йона Тихого"


  Давным-давно, когда книги были деревьями... Люди уже умели считать, однако предел счета был ограничен. Трудно сказать, чем было вызвано ограничение числом шесть, но факт, что уже число семь воспринималось, скажем, еще у древних шумеров, как синоним слова много. Современные пословицы и поговорки, тому подтверждение ("Семь раз отмерь, один раз отрежь", "Один с сошкой, семеро с ложкой", "Семеро одного не ждут" и т. д.).
  Постепенно люди учились выражать все бОльшие и бОльшие числа. Переход к позиционной системе счисления позволил легко и компактно выражать огромные числа. Так еще Архимед в III веке до н. э. использовал оригинальный метод счисления, описанный им в сочинении "Исчисление песчинок", позволивший ему называть числа вплоть до (10^8)^(10^15) (Архимед разработал схему - эквивалент обозначения 10^n, согласно которой "Вселенная" - сфера, доходившая до Солнца, с диаметром, не превышающим 10^10 стадий, - будучи наполнена песком, содержит менее чем "1000 единиц седьмого разряда чисел", т. е. менее чем 10^51 песчинок).
  Сейчас мы способны с необычайной легкостью не только пересчитать все нейтроны в нашей Метагалактике (а их, кстати, в полностью заполненной ими Метагалактике будет "всего" около 10^250 нейтронов), но и придумать такие числа, что даже трудно будет представить их смысл.
  Тем не менее, любое из этих чисел будет конечным, а в математике широко применяется понятие бесконечно больших величин или, просто, бесконечность. Для этого существует специальное обозначение (упавшая на бок восьмерка). Существует так же плюс бесконечность и минус бесконечность. Определены и некоторые операции над ними, как скажем деление числа на бесконечность: есть ноль и т. д.
  Подобные приемы вводят в искушение представлять бесконечность, как обычное вполне определенное число, говоря о ней, как о существующей реальности. Однако это является недопустимой ошибкой.
  Бесконечность никогда не сможет быть выражена или определена не через какие числа, какими бы огромными они не были. Это понятие существует "вне чисел" и отражает факт нашего незнания о количественном описании. То есть оно является лишь качественной характеристикой. Как только мы попытаемся зафиксировать, определить бесконечность и точно выразить ее через конкретные численные обозначения, она перестанет ею быть. А раз так, то нельзя говорить о ней, как о объективно существующей реальности.
  Математики понимают это и различные бесконечно большие величиныопределяют через понятие предел. Но что означает "стремящимся к бесконечности"? Допустим мы задаем нулевое начальное значение аргумента (x=0), а затем беспрестанно увеличиваем его на единицу (x:=x+1). Этот процесс при этом должен длиться вечно, т. е. мы опять переходим к понятию бесконечности, но на этот раз времени. А так как мы не способны познать, что такое вечность, то и не можем "пощупать" бесконечное (например, известный метод математической индукции (итерационный способ доказательства утверждения) будет справедлив для любого наперед заданного числа, но опять же не для всей бесконечности значений.). Другими словами, бесконечность не может быть охарактеризована как статическая реальность, а лишь как динамический процесс самовоспроизводства.
  "Король математиков" Карл Фридрих Гаусс писал: "Я протестую против употребления бесконечной величины, как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими" [1; с. 21].
  В начале XX века среди ряда математиков, специалистов в теории множеств, разгорелся серьезный спор, вызванный, в первую очередь, так называемой континуум гипотезы (проблемой континуума). Ряд видных французских математиков (Адамар, Борель, Бэр, Лебег и Цермело) опубликовали свою переписку о том, что же такое бесконечность, и какие бесконечные множества следует считать существующими.
  Лузин Н. Н., русский математик, один из основателей Московской математической школы, так описывал этот спор. "Если анализировать взгляды творцов современной теории функции, легко подметить, что каждый из них в процессе своей работы исходит из определенной концепции возможного и допустимого, за пределами которого кончается область математики и начинается область, лежащая, по выражению Бореля, вне математики... Если, следуя примеру Максвелла, приписать область возможного и исполнимого того или иного автора соответствующему воображаемому существу, то получится следующая схема" [1; c. 141]. (Напомню, что Максвелл, пытаясь указать пример не выполнимости второго начала термодинамики, ввел образ "демона", который открывает и закрывает перед разными молекулами газа отверстия и этим путем (отделяя быстрые молекулы от медленных) нагревает газ в одной половине сосуда и охлаждает его в другой.) И далее Николай Николаевич приводит следующую "иерархию демонов" (в порядке возрастания их "могущества"): "демон" Брауэра, "демон" Бэра, "демон" Бореля, "демон" Лебега и, наконец, "демон" Цермело. Если указать для каждого из них сферу их "влияния", а также область не подвластную их "способностям" (трансцендентная область, выражаясь терминами Канта), то получим следующую таблицу.
 

  Демоны
  Область возможного
 
  Область "вне математики"

  Демон Брауэра
  Целое конечное ограниченное (путем указания верхней границы)
  Любое неограниченное сверху множество

  Демон Бэра
  Целое конечное без указания верхней конечной границы
  Любая бесконечность

  Демон Бореля
  Счетные множества
  Несчетные множества

  Демон Лебега
  Множества мощности континуума
  Множества, имеющие мощность больше континуума

  Демон Цермело
  Любые бесконечные множества
  Не существует

 
  Точка зрения самого Лузина по дискутируемым проблемам была не однозначной. Чаще всего он стоял на позиции Бореля (существование счетных множеств). К понятию же несчетной бесконечности относился как к "чисто отрицательному, не имеющему никакой объективной реальности" [1; c, 142], тогда же он склонялся даже к позиции Бэра, утверждая, что мы не имеем достаточно ясной концепции актуальной бесконечности. "Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной. Кажется, что она почти объективна и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле" [1; c. 142].
  Постараемся взглянуть на указанный квинтет "демонов от математики" с несколько другой позиции.
  Иерархия демонов [Карев Д.В.]  Какой аналог мы можем поставить демону Брауэра? На мой взгляд, лучшим примером может служить обычный современный цифровой компьютер. На самом деле, он, во-первых, состоит их ограниченного набора элементов, а, во-вторых, работа с этими элементами производится так же дискретным образом.
  "Каждая программа для ЭВМ, будучи воплощением некоторого алгоритма, представляет собой конструктивный объект. Это свойство конструктивности проявляется двояко: с одной стороны, программа строится посредством определенного конечного множества операцией, а с другой, все объекты, которыми она манипулирует, также создаются посредством некоторого конечного множества операций. Программа может иметь дело с любым множеством объектов, даже с потенциально бесконечным, но в любой данный момент времени это множество конечно" [2; c. 7].
  Скорее всего, мы, воспринимая окружающий нас Мир, так же имеем дело в определенное мгновение (квант времени) с ограниченным набором категорий. Такой вывод напрашивается исходя хотя бы из того, что количество нейронов, нервных окончаний и любых клеток в нашем организме ограничено.
  Норберт Винер, описывая ограниченность человеческого логического мышления, отмечает (курсив его): "Всякая логика, имеющая для нас смысл, не может содержать ничего такого, чего человеческий разум, а следовательно и человеческая нервная система не были бы способны объять. Всяка логика ограничена в силу ограничений человеческого ума, которым он подвержен в деятельности, именуемой логическим мышлением" [3; с. 193].
  Таким образом, наше поведение, как и работа полностью детерминированного цифрового компьютера попадает под "юрисдикцию" демона Брауэра, имеющего дело с целыми (дискретными) конечными, причем ограниченными (в каждый момент времени) множествами. Только в отличие от устройства ЭВМ, в реальной жизни мы не способны явно указать строгие границы нашего Мироздания. Это вовсе не должно означать, что мы имеем дело с бесконечной субстанцией. Просто пытаясь найти подобные границы окружающего нас Мегамира или предел элементарных частиц в микромире, мы будем постоянно наталкиваться на различные логические преграды. Поиски "края Земли" всегда будут заканчиваться неудачей. Этот "край" незаметно, но с видным постоянством будет ускользать от нас каждый раз, когда мы, казалось вот-вот приблизились к нему на достаточно близкое расстояние. Действительно, любые попытки добраться до горизонта всегда оказываются тщетными.
 
  Литература:
  [1] Цит. по Виленкин Н. Я. В поисках бесконечности. - М.: Наука, 1983. - 160 с.
  [2] Замулин А.В. Типы данных в языках программирования и базах данных. - Новосибирск: Наука, 1987. - 152 с.
  [3] Винер Норберт. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. - М.: "Советское радио", 1968. - 328 с.
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"