Аннотация: Публикуется краткое Эссе на тему, относящуюся к математике.
Теорема Ферма
Правота Пьера Ферма и верность его теоремы легко доказываются довольно простой формулой:
A^n + B^n = A^n (1 + B^n : A^n) = A^n (1 + B^n:A^n)= A^n, умноженное на смешанное число - единицу плюс дробь - В в степени "n", делённое на A в степени "n".
ТЕОРЕМА ФЕРМА
Обычно в общем представлении в "Теореме Ферма" идёт речь о сложении двух одинаковых степеней двух разных целых чисел. В чём-то это похоже на суммирование двух материальных векторов. Это остроумная хитрая задачка для старшеклассников, основанная на подмене понятий. В теореме Ферма рассматривается только результат суммирования двух целых чисел, возведённых в одинаковую степень. В реальности практически приходится обращать внимание на то, как постоянно происходит суммирование скоростей и масс разных материальных объектов, что на много сложнее. Нужно обращать внимание и на траектории и направления движения этих объектов. Большая разница, имеем ли мы дело только с числами, либо с движущимися массами. Либо речь идёт о степенях каких-то чисел, либо о новых суммарных массах реальных объектов и новых их скоростях.
Далее выясняется ошибочная картина, что получится, если мы будем складывать
не скорости, а какие-то несогласованные степени двух разных чисел.
Придётся рассматривать не действительные - реальные - величины итоговой скорости, а фикции. В случайных расчётах может произойти фантастическое изменение соотношений. Возведение в какую-то степень целого числа отличается от той же операции над дробью. Целое число с увеличением степени растёт, дробное число, наоборот, - уменьшается. Дробная величины, когда степени слагаемых доходят до бесконеконечности.
"Великая теорема" Ферма: "Для любого натурального числа ("a", "b", и так далее) в степени "^n" (более второй) уравнение "a" в степени "^n" плюс "b" в степени "^n" равно "C" в степени "^n" - такое уравнение не имеет решений в целых ненулевых числах "a", "b" и "C"". После трёх с лишним столетий, затраченных многими математиками и любителями в попытках доказать эту теорему, она была доказана в 1993-1995 годах Эндрю Уайлсом с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора. В 2016 году Эндрю Уайлс получил за свой труд Абелевскую премию. Полученное доказательство изложено на 130 страницах. Появилось желание прокомментировать некоторые факты
на более простом уровне, доступном неспециалистам.
Пьер Ферма указал на имеющиеся исключения для первой степени (всегда) и для второй степени (иногда). При прочих степенях суммы двух разных целых положительных чисел не будут целыми положительными числами в той же степени, как
у каждого из двух слагаемых.
В чём сложность теоремы Ферма для понимания ? Она состоит, прежде всего в примитивности первого взгляда на суть дела. Кажется, будто речь идёт о сложении
двух целых чисел. Взглянув внимательнее, нетрудно убедиться в том, что в действительности рассматривается сложение целых чисел с дробными или составными,
так что результат обычно не может быть целым числом, за исключением случаев, указанных Пьером Ферма.
Два квадрата могут иногда дать в сумме квадрат, а два куба в сумме кубом не станут. Cумму двух целых положительых чисел во второй степени представим в виде формулы a^2 + b^2 = с^2. (Первая формула). Расшифруем её для примера.
4^2 + 3^2 = 5^2.
Для дальнейшего рассмотрения преобразуем эту формулу в другую:
a^2(1 + b^2: a^2) = с^2. (Вторая формула).
Расшифруем 4^2(1 + 3^2: 4^2) = 16(1 + 9:16)= 25
Обе формулы иллюстрируют одно из исключений, указанных Пьером Ферма к его теореме, относящееся ко второй степени.
Бином Ньютона при тех же слагаемых приводит к большему резльтату.
Используем третью формулу.
а^2 + 2ab + b^2 = d^2
Расшифруем. 4^2 + N + 3^2 = 49
Добавление числа N (данном случае оно равно 24) всегда обеспечивает получение
суммы двух исходных слагаемых в нужной степени. А в теореме Ферма рассматривается, как легко заметить, сумма целого числа и дроби, либо смешанного числа. Итог сложения в биноме Ньютона как правило больше, чем результат в теореме Ферма.
Появление дроби или смешанного числа, согласно теореме Ферма, в огромном большинстве случаев не позволит сумме двух разных
чисел во всех степенях выше второй - а так же и чаще всего и во второй степени -
быть целым числом.
Мы можем отдельно рассматривать случаи, когда "а" больше, чем "b" и наоборот.
Но предпочтительнее начинать рассмотрение с бОльшего слагаемого, иначе придётся
оперировать с большИми числами вплоть до бесконечных.
Получение в расчётах, вместо целочисленных результатов, дробных или смешанных
чисел будет свидетельством верности теоремы Ферма.
Обращение к биному Ньютона показывает, что при сложении двух целых чисел в степенях выше второй может дать нужную сумму в той же степени лишь добавление особо рассчитываемого числа N.
Без большого труда, ясно и убедительно объясняется причина исключения из теоремы Ферма некоторых вторых степеней. Из сравнения формулы бинома Ньютона
а^2 + 2ab + b^2 = d^2 и определения 2аb = N вытекает, что 2аb = d^2 - c
В ряде случаев, когда разность между числами "а" и "b" равна единице, формулы для вычисления суммы их квадратов принимают вид d^2 = a^2 + 2a(a-1) + (a - 1)^2 и c^2 = a^2 + (a - 1)^2. В данном случае, например, а = 4, b = 3, N =24,
c^2 = 25; d^2 = 49 Или иначе: a^2 = (c - b) (c + b) = 4^2 = (5 - 3)(5 + 3) = 16 Далее b^2 = (c - a)(c + a) = 3^2 = (5 - 4)(5 + 4)(5 - 4) = 9.
Все последние расчёты делаются в целых числах.
Во всех случаях, когда рассматриваются степени выше второй, число N оказывается
больше суммы степеней двух исходных чисел "а" и "b". Таким образом теорема Ферма
оказывается без большого труда доказанной без всяких сомнений и мистики.
Очень важно учесть то обстоятельство, что возведение в бОльшую стерень целого
числа увеличивает это целое число. Та же операция над дробью уменьшает эту дробь.
Рассмотрим, что произодёт при использовании второй формулы и нарастании используемых степеней. В скобках этой формулы два слагаемых. В какую степень ни
возводи, первое слагаемое - единица - останется неизменным. Второе слагаемое - дробь. С увеличением степени эта дробь будет уменьшаться. При увеличении степени до бесконечности это второе слагаемое превратится в нуль. В бесконечности мы будем иметь парадоксальный результат с исчезновеньем второго дробного слагаемого
в бесконечности. Вопрос: имеем ли мы дело с реальными объектами, имеющими массу,
энергию, скорость или иное измеримое качество, либо рассуждаем о нематериальных
фикциях ?
В чём же суть дела ? С чем связана вся путаница ? -
в различии измерительных шкал и оценок происходящего.
Математическое понятие СТЕПЕНЬ (Первая, Вторая, Третья - и т.д.) -
строится не по тому принципу, как физические величины: СКОРОСТЬ, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ. В этом и вся причина.