ПЕРЕНОС ТРИАНГУЛЯЦИОННОЙ СЕТИ С ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА НА ПЛОСКОСТЬ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА -- КРЮГЕРА
Перенос триангуляционной сети с поверхности эллипсоида на плоскость заключается, в конечном счете, в переходе от эллипсоидальных треугольников к плоским с прямолинейными сторонами и в получении координат Гаусса -- Крюгера для всех пунктов сети.
Первоначальными исходными данными для построения триангуляционной сети являются широты и долготы одного или нескольких пунктов, длины базисных сторон и их азимуты и измеренные на местности углы (направления). Перенеся эти элементы триангуляции по правилам проекции на плоскость, координаты всех остальных пунктов триангуляционной сети получают вычислениями на плоскости.
Таким образом, переносят триангуляционную сеть с поверхности эллипсоида на плоскость в такой последовательности:
1) по известным широтам и долготам исходных пунктов вычисляют их прямоугольные координаты;
2) на концах базисных сторон вычисляют Гауссово сближение меридианов и дирекционные углы базисных сторон;
3) редуцируют на плоскость длины базисных сторон;
Редуцирование: стороны треугольников триангуляции при переносе с земной поверхности (с поверхности эллипсоида) на плоскость изображаются кривыми, вогнутостью направленными в сторону оси абсцисс. Углы между этими кривыми, считаемые как углы между касательными к кривым в вершине угла, по условию конформности проекции равны измеренным на местности. Чтобы иметь возможность решать треугольники, от криволинейных сторон переходят к прямолинейным, заменяя кривые хордами. Длины прямолинейных сторон практически равны длинам их действительных изображений. Углы в новых треугольниках с прямолинейными сторонами отличаются от углов с криволинейными сторонами, (а, следовательно, и от измеренных на местности), на величины, зависящие от углов между кривыми и хордами. Заменяя кривые (действительные) изображения сторон угла хордами, мы изменяем направления сторон угла на величину поправки к измеренным направлениям при переходе от криволинейного изображения линий, соответствующих этим направлениям, к прямолинейным изображениям.. Поэтому эти углы называются поправками за кривизну изображения геодезических линий на плоскости в проекции Гаусса -- Крюгера или, редукциями направлений. Направления же, в которые введены эти поправки, называются редуцированными на плоскость направлениями.
4) для измеренных направлений вычисляют поправки за кривизну изображения геодезических линий на плоскости и получают редуцированные на плоскость направления и углы.
В заполняющих сетях 3 класса исходными данными являются пункты, для которых известны координаты Гаусса -- Крюгера, поэтому перенос такой сети с поверхности эллипсоида на плоскость сводится только к вычислению поправок за редукцию направлений и в получении редуцированных направлений.
Суммарная поправка в направление вычисляется по формуле:
Значения ?1 ?2 ?3 вычисляются до 0?,01 и вводятся в направления, исправленные за центрорвку и редукцию.
1). Поправка за переход от прямого нормального сечения к геодезической линии ?1
2) Поправка за высоту наблюдаемой точки ?2
,
где H2= H02 + h - высота точки визирования над поверхностью референц-эллипсоида.
3) Поправка за уклонение отвесной линии от нормали к поверхности эллипсоида ?3
,
где ?1 и ?1 - составляющие (проекции) полного уклонения отвесной линии на плоскости меридиана и первого вертикала4
z1.2 - зенитное расстояние с точки 1 на точку 2
Редуцированная длина базиса триангуляции вычисляется по формуле:
,
где s0 - редуцированная поправка базиса на поверхность референц-эллипсоида;
H0m -средняя высота измеренного базиса над уровнем океана (геоидом), определяется при нивелировании
h - средняя высота геоида над референц-эллипсоидом в месте расположения базиса;
R?- радиус нормального сечения, в котором расположена линия базиса;
Hm= H0m + h
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ГАУССА -- КРЮГЕРА ИЗ ОДНОЙ ЗОНЫ В ДРУГУЮ
Ходы полигонометрии, проложенные между триангуляционными пунктами, нередко имеют начальный пункт, расположенный в одной зоне, а конечный в другой -- смежной. В триангуляционной сети, подлежащей уравниванию, одна часть пунктов может находиться в одной зоне, а другая в смежной. И в том, и в другом случае часть пунктов будет иметь координаты Гаусса -- Крюгера в одной системе (1-й зоны), а часть пунктов в другой системе (2-й зоны).
Уравнительные вычисления делают в одной системе координат, поэтому часто возникает необходимость еще до уравнивания иметь координаты всех твердых пунктов в системе одной (первой или второй) зоны.
Приходится решать следующую задачу: для пункта известны координаты Гаусса -- Крюгера ху, в зоне с осевым меридианом, имеющим долготу L1 (1-я зона); требуется вычислить коор- динаты Гаусса -- Крюгера х1 и у1 этого пункта в смежной зоне с осевым меридианом, имеющим долготу L2 = L1 + l (2-я зона).
Эта задача носит название "преобразование координат Гаусса-- Крюгера из одной зоны в другую" и может решаться различными способами. Рассмотрим некоторые из них.
Первый способ заключается в том, что по известным для пункта координатам х1 и у1 пункта Р вычисляют широту В и долготу L, затем по широте и долготе, принимая осевой меридиан 2-й зоны вычисляют искомые прямоугольные координаты вычисляют координаты х2 и у2. Способ достаточно прост, но достаточно большой объем вычислений, которые требуют значительного времени, поэтому указанный способ применяют редко, когда нужно преобразовать координаты небольшого числа пунктов с большой точностью.
Второй способ преобразования координат, который целесообразно применять для значительного числа пунктов, основан на переходе от редуцированных направлений и сторон в системе зоны I к направлениям и сторонам на сфероиде, а от них -- к редуцированным направлениям и сторонам в системе зоны II и вычислению искомых координат пунктов в этой зоне по обычным формулам. Могут иметь место некоторые вариации в применении этого способа в зависимости от конкретных условий задачи. Рассмотрим более детально один из типовых случаев.
На рис. 1 изображена триангуляция в виде ряда между твердыми сторонами АВ и CD. Координаты исходных пунктов А и В даны в системе зоны I, а пунктов С и D -- в системе зоны II. Уравнивание ряда должно быть выполнено в одной зоне. После уравнивания координаты пунктов 1--7 должны быть окончательно даны в системе зоны I, а координаты пунктов 4--9 -- в системе зоны II, что обеспечит взаимное перекрытие смежных зон. Так как большая часть ряда расположена в зоне I, то уравнивание следует вести в системе этой зоны.
Рис. 1
Задача решается в следующем порядке:
а) от координат пунктов С и D, данных в системе зоны II, переходят к координатам в системе зоны I описанным выше способом;
б) вычисляют приближенные координаты всех пунктов ряда, начиная от пунктов А и В в системе зоны I; при помощи этих координат определяют редукции направлений и вводят их в измеренные направления. В результате этих вычислений все элементы ряда получаются отнесенными к системе зоны I;
в) производят уравнивание ряда;
г) из уравненных направлений с пунктов 4 -- 9 вычитают вычисленные редукции направлений и получают, таким образом, уравненные направления на эллипсоиде;
д) по координатам пунктов С и D, отнесенным к зоне II, определяют приближенные координаты пунктов 4 -- 9 и вычисляют редукции направлений с этих пунктов; после введения этих редукций в уравненные сферические направления получают уравненные направления на плоскости с указанных пунктов в системе зоны II;
е) вычисляют окончательно координаты пунктов 1 -- 7 при помощи исходных координат пунктов А и В и уравненных направлений на плоскости, полученных после выполнения (в), и координаты пунктов 4 -- 9 при помощи координат пунктов С и D, отнесенных к системе зоны II, и уравненных направлений на плоскости, полученных в результате выполнения пункта (д).
Таким образом поставленная задача решена. При этом в связи с расположением ряда в двух зонах дополнительной работой явилось приближенное вычисление координат пунктов и редукций направлений для меньшей половины ряда (не считая преобразования координат пунктов В и С по первому способу).
Применение данного способа обеспечивает получение преобразованных координат с полной точностью, соответствующей данному классу триангуляции.
Третий способ (табличный). Большинство других способов основано на применении различного рода таблиц. Из них отметим таблицы, составленные А. М. Вировцем и Б. Н. Рабиновичем. При применении этих таблиц на вычисление отдельного пункта требуется 10 -- 15 минут. Преобразованные координаты получаются с ошибкой до 2 см. Есть таблицы составленные В. Л. Каганом, Е. Е. Бирюковым. Рассматриваемая задача может быть решена при помощи раннее упоминавшихся таблиц А. М. Вировца ("Таблицы координат Гаусса--Крюгера и таблицы размеров рамок и площадей трапеций топографических съемок"). Как указывалось, основное их назначение -- построение в проекции Гаусса рамок трапеций топографических съемок. Эти таблицы содержат также и некоторые вспомогательные данные, позволяющие преобразовывать координаты из зоны в зону с ошибкой порядка 0,2 м.
Формулы, служащие для преобразования координат при помощи указанных таблиц, получаются следующим образом.
Пусть требуется перевычислить координаты пункта А из зоны I в зону II. Обозначим через x1 , y1 данные координаты пункта А в зоне I, а через x2 , y2 -- искомые координаты в зоне II. Находим трапецию масштаба 1: 25 000, в пределах которой расположен пункт А. На рис. 2 и 3 показано изображение рамок этой трапеции в I и II зонах и изображение пункта А.
Пусть о1х и о2х -- изображения прямых, проходящих через юго-западную вершину трапеции и соответственно параллельных осям абсцисс в I и II зонах. От этих прямых отсчитываются дирекционные углы линий. Обозначим координаты вершины трапеции о2 в зоне II, известные из таблиц, через (xo)2 и (уо)2. Однако разности координат точек о и А известны только в системе зоны I; обозначим их ?х1 и ?у1. Очевидно, несовпадение разностей координат точек о2 и А2 с разностями координат точек о1 и А1 вызывается различием дирекционных углов и разными значениями масштабов линий о1А1 и о2А2. Отсюда следует, что разности координат ?х1 и ?у1 в зоне I могут быть преобразованы в зону II путем учета изменения дирекционного угла линии о1А1, которое можно считать вызванным поворотом координатных осей на угол ??.
Рис. 2 Рис. 3
Затем полученные выражения должны быть исправлены за изменение масштаба ?m при переходе из зоны I в зону II. Следовательно, можно написать:
(1)
(2)
Рассмотрим вывод формул, служащих для вычисления ?? и ?m. Введем обозначения:
?1 -- дирекционный угол линии о1А в зоне I;
(?o)1 --Гауссово сближение меридианов на плоскости в точке о1 в зоне I;
?1 -- поправка за кривизну изображения линии о1А1 на плоскости в зоне I;
d1 -- расстояние между точками о1 и А1 на плоскости зоны I.
Для аналогичных элементов в зоне II имеем обозначения: ?2, (?o)2, ?2, d2
Обозначив через А геодезический азимут линии на эллипсоиде, соответствующей прямой о1А1 (или о2А2) на плоскости, напишем:
для зоны I ?1 = А -- (?o)1 -- ?1,
для зоны II ?2 = А -- (?o)2 -- ?2
откуда
. (3)
Далее, имеем:
Отсюда, пренебрегая различием между ?х1 и ?х2 напишем:
Полагая
получаем
(4)
Построение формулы (4) позволяет для ?? составить таблицу, которая и используется в таблицах Гаусса-Крюгера. Величину ?? выбирают по аргументам ?х и ?уm . Значения ? тоже выбирают из таблиц. Следовательно окончательно
?? = (?o)1 - (?o)1 + ?? (5)
Далее находим изменение масштаба ?m, имеем:
d1 =sm1 и d2 =sm2 (6)
где m1 и m2 -- масштабы изображения для точек о1 и о2 в зонах I и II,
s -- расстояние на эллипсоиде, соответствующее расстоянию на плоскости о1А1 (или о2А2). Из формулы (6) получим:
Составляем производную пропорцию:
Пренебрегая малым членом
получим:
(7)
Отношение
и характеризует изменение масштаба при переходе из одной зоны в другую для линии оА, поэтому
Чтобы при вычислении иметь дело с меньшим количеством знаков, формулу (7) окончательно переписывается так:
?m = 1 + (m -1)2 - (m - 1)1 (8)
Величины (m -1)2 и (m - 1)1 выбирают из вспомогательной таблицы.
Формулы (1), (2), (5) и (8) решают задачу.
В табл. 1 приведен пример на перевод координат из зоны в зону при помощи указанных таблиц.
Пример перевычисления координат из зоны в зону с применением таблиц
Пункт Р задан в зоне N8 координатами x1 = 5 241 750,0
y1 = 8 752 000,0
или y1 =+ 252 000,0
Требуется перевычислить эти координаты в систему зоны N9
|
Элементы формул |
Пункт Р |
|
|
|
От юго-западной вершины трапеции |
От юго-восточной вершины трапеции |
|
B l1* l1** x1 (x0)1 ?x1 y1 (y0)1 ?y1 (?0)1 (?0)2 (?0)1- (?0)2 ?? ?? sin ?? cos ?? (m - 1)2 (m - 1)1 ?m = (m - 1)2 - (m - 1)1
(x0)2 ?x2 x2 (y0)2 ?y2 y2
|
47?15 ? 3 15 -2 45 5 241 750,0 5 240 259,9 + 1491,1 + 252 000,0 246 020,5 + 5 979,5 2?23 ?16? - 2 01 12 4 24 28 -1 +4 24 27 0,07685 0,99704 517 762 0,999755 +1027,2 +6076,4 5 238 802,4 +1026,9 5 239 829,3 - 208 173,7 +6 074,9 202 098,8 |
3?22 ?30? -2 37 30 5 241 750,0 5 240 661,1 +1089,9 +252 000,0 255 482,0 -3 482,0 2?28 ?47? - 1 55 42 4 24 29 -1 +4?24 ?28? 0,07685 0,99704 495 791 0,999704 +1353,3 -3388,0 5 238 476,3 +1352,9 5 239 829,2 -198 711,8 -3 387,0 -202098,8 |
l1*- для зоны N8, l1** - для зоны N9
7