Прилепских Н.Н.
Релятивистская Проблема Кеплера В Пространстве-Времени Галилея

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Links
Кожевенное мастерство: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    В развитие предложенного автором подхода к описанию эффектов относительности в пространстве-времени Галилея рассмотрена релятивистская проблема Кеплера исходя из релятивистского обобщения закона всемирного тяготения и закона Кулона. Получены интегралы движения. Показано, что предлагаемая точка зрения позволяет получать разумные оценки в релятивистских задачах, в частности, величину смещения перигелия Меркурия.

 УДК 530.12
 
 Н.Н. ПРИЛЕПСКИХ
 
 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА
 В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ
 
  В развитие предложенного автором подхода к описанию эффектов относительности в пространстве-времени Галилея рассмотрена релятивистская проблема Кеплера исходя из релятивистского обобщения закона всемирного тяготения и закона Кулона. Получены интегралы движения. Показано, что предлагаемая точка зрения позволяет получать разумные оценки в релятивистских задачах, в частности, величину смещения перигелия Меркурия.
 
 Введение: терминология и обозначения
 
 Релятивистский аспект проблемы Кеплера остается актуальным от Леверье [1] и до настоящего времени [2-4] как фундаментальная задача физики и эталон для проверки новых идей. Цель настоящей работы - проиллюстрировать эффективность предлагаемого автором подхода [5,6] применительно к задаче о релятивистском движении точечной частицы 2, взаимодействующей с неподвижной частицей 1 по закону обратных квадратов.
 В общем виде уравнение движения в форме Минковского - обобщение второго закона Ньютона на пространство-время - запишется [7, с. 136]
  ,
 где - 4-импульс второй частицы; - ее собственное время - натуральный параметр, (длина дуги) деленный на размерную константу ; - 4-вектор силы взаимодействия частиц; - 4-векторы положения и скорости частиц 1 и 2.
 В [5] показано, что псевдоевклидова метрика пространства-времени возникает при пересчете пространственных и временных интервалов между наблюдателями, находящимися в различных инерциальных системах отсчета. В рассматриваемой задаче наблюдатель один, его система отсчета та, в которой покоится первая частица. Следовательно, для него пространство-время, в котором происходит движение частицы 2, евклидово или, иначе, , где , - угол между вектором скорости частицы и осью времени ; - трехмерные векторы положения и скорости второй частицы, а - абсолютное время (наблюдателя).
 Значит, квадрат элемента длины траектории второй частицы в евклидовом пространстве-времени в системе отсчета наблюдателя (первой частицы) . Это - инвариантная величина для всех наблюдателей, в том смысле, что для любого иного наблюдателя также , где - параметры движения второй частицы с точки зрения другого, "штрихованного", наблюдателя. Таким образом, .
 В [6] предложено релятивистское обобщение закона всемирного тяготения и закона Кулона в виде:
  ,
 где - 4-векторы положения, а - трехмерный вектор положения - той частицы в некоторой системе координат в момент времени ; ; , где - гравитационная постоянная - для случая закона всемирного тяготения и , где - электрическая постоянная - для кулоновского взаимодействия; - псевдоскалярное произведение 4-токов массы-импульса для гравитационного взаимодействия или 4-токов заряда-тока для кулоновского взаимодействия.
 Чтобы определить 4-векторы импульса и гравитационные, и кулоновские 4-токи частиц, удобно ввести 4-вектор скорости - той частицы:
  ,
 где - модуль трехмерного вектора скорости - той частицы; - единичный вектор скорости - той частицы (вид указывает на аналогии с пространством Лобачевского [2, с. 318]).
 Тогда 4-вектор импульса (он же - 4-ток массы-импульса) - той частицы запишется в виде , а 4-вектор заряда-тока соответственно, где верхние индексы и у токов указывают на вид взаимодействия - гравитационное или кулоновское, а и - масса и заряд покоя - той частицы.
 Таким образом, релятивистское уравнение движения частицы 2, взаимодействующей с частицей 1 по закону Кулона или по закону всемирного тяготения запишется в виде
  . (1)
 Для определенности далее речь пойдет о гравитационном взаимодействии двух частиц.
 
 Гравитационное взаимодействие частицы с точечным центром
 
 Конкретизируем задачу следующим образом: пусть частица 1 находится в начале координат, системой отсчета является та, в которой покоится частица 1, тем самым задача сводится к движению одной (второй) частицы в поле неподвижного центра. Тогда , , , , - трехмерный единичный вектор направления на вторую частицу из начала координат.
 Пространственная "проекция" 4-векторного соотношения (1) запишется
  . (2)
 Найдем первый интеграл уравнения (2). Для этого умножим обе части (2) скалярно на и учтем, что . Тогда
  , (3)
 где точка над символом означает производную по времени.
 Взятие в выражении (3) слева производной дает
  . (4)
 Умножением обеих частей соотношения (4) на модуль вектора скорости , а числителя и знаменателя правой части на модуль , (4) сводится к виду
  . (5)
 Так как , а , то из (5) следует первый интеграл
  , (6)
 где - постоянная интегрирования - "энергия" единицы массы точечной частицы в гравитационном поле другой точечной частицы массы .
 Существенно, что соотношение (6) является строгим следствием 4-мерного обобщение второго закона Ньютона (4-сила в форме Минковского), релятивистского обобщения закона всемирного тяготения (и/или закона Кулона) и евклидовой структуры пространства-времени.
 Соотношение (6) имеет структуру, аналогичную структуре полной энергии нерелятивистской системы - сумме кинетической энергии свободной релятивистской частицы и потенциальной энергии взаимодействия. Именно такова логика обычного рассмотрения этой задачи [8, с. 117]. Любопытно то обстоятельство, что в интеграле движения (6), в отличие от второго закона Ньютона (2), потенциальная энергия имеет точно такой же вид, как и в нерелятивистском случае.
 Цель решения задачи - установление траектории движения частицы - достигается учетом того обстоятельства, что, по аналогии с нерелятивистским случаем, предполагается наличие у рассматриваемой механической системы еще одного интеграла движения - момента импульса частицы.
 Закон сохранения момента импульса в нерелятивистской проблеме Кеплера
  (7)
 вытекает из элементарного тождества
  , (8)
 где точка над символом означает производную по времени.
 Действительно, векторное умножение выражения (7) справа на вектор , с учетом (8), дает или - искомый закон сохранения.
 По аналогии с нерелятивистским случаем векторное умножение соотношения (2) на дает
  , (9)
 где, очевидно, , и оно, вроде бы сводится к производной по времени (см. (8)) только в первом порядке разложения гиперболического синуса по степеням. Однако, если (9) представить в виде
  ,
 взять производную от произведения вектора на скаляр , умножить сумму почленно на вектор , то получится
  . (10)
 Если теперь в первом слагаемом полученного выражения учесть тождество (8), то (10) сведется к , что дает интеграл движения момент импульса в релятивистском случае в виде
  . (11)
 Учитывая, что , , , , , а , то
  .
 Тогда модуль вектора момента импульса можно представить в виде
  .
 Если выбрать в качестве плоскости орбиты плоскость , т.е. положить и , то модуль вектора момента импульса (единицы массы) примет вид
  , (12)
 где константа введена из соображений размерности и правильного нерелятивистского предела.
 Таким образом, получены два первых интеграла - два нелинейных ОДУ первого порядка (6) и (12) относительно функций и , которые, в зависимости от начальных условий, и определяют траекторию релятивистского движения частицы в гравитационном поле точечного центра.
 
 Смещение перигелия Меркурия
 
 Цель настоящего раздела - оценить влияние релятивистских эффектов на движение частиц в рамках предлагаемого автором подхода на примере хорошо изученной задачи о смещении перигелия Меркурия.
 Выбор такой иллюстрации определен тем, что эта задача на протяжении более чем полутора столетий, начиная еще с Вебера, Гаусса, Римана, Клаузиуса, обсуждалась в работах десятков исследователей, и о ней известно очень многое [1,10]. Автор далек от того, чтобы делать какие бы то ни было утверждения об этой задаче в контексте настоящей работы - это далеко выходит за рамки данного рассмотрения.
 Однако, для пояснения стиля дальнейшего изложения следует отметить, что автор разделяет ту точку зрения, в соответствии с которой полученное согласие расчетов сначала Гербера, а затем и Эйнштейна с величиной "аномального" смещения перигелия Меркурия не может быть в полной мере воспринято ни как объяснение астрономического эксперимента, ни как успех ОТО.
 Основанием для такой точки зрения служат, по меньшей мере, два обстоятельства. Во-первых, при всем уважении к беспрецедентной в свое время точности астрономических наблюдений, они совершенно не исключают иных причин, определяющих прецессию орбиты Меркурия, например, влияние на движение планеты вещества короны Солнца или пояса астероидов внутри орбиты Меркурия (зодиакальное свечение), что, разумеется, не учтено и в расчетах. И, во-вторых, то, что фигурирующая в расчетах скорость света является одновременно и скоростью распространения гравитационных волн, до экспериментального установления этого факта, правдоподобная, но не более того, гипотеза.
 Если тело движется - значит есть и факторы, сказывающиеся на параметрах движения тела вследствие этого самого движения. Оценим релятивистский эффект для перигелия Меркурия. Параметры задачи, взятые автором из различных доступных источников, таковы:
 Таблица 1.
 Параметр Обозначение Значение Единица измерения
 Масса Солнца
 1,9891×1030 кг
 Гравитационная постоянная
 6,672×10-11 м3/(кг×с2)
 Скорость света
 2,99792458×108 м/с
 Расстояние до Солнца в афелии
 
 км
 Расстояние до Солнца в перигелии
 
 км
 Скорость в афелии
 
 м/с
 Скорость в перигелии
 
 м/с
 Скорость средняя
 
 м/с
 Эксцентриситет
 
 --
 Сидерический период
 87,969 день
 
 Учитывая то, что , с точностью , что является очень хорошим приближением, выражение для момента импульса запишется
  . (13)
 Уравнение (6) удобно представить в виде
  , (14)
 где , - гравитационный радиус частицы массой , .
 Если исключить из (13) и (14) , то получится
  . (15)
 Подстановка выражения из (15) в (14) дает
  . (16)
 Требование в (16) дает "точки поворота" - модули радиус-векторов Меркурия в афелии и перигелии.
 Уравнение траектории в дифференциальном виде, как обычно, следует из (15) и (16)
  . (17)
 Удобно сделать замену переменной [9, с. 286]. Тогда, учитывая, что , уравнение (17) примет вид
  . (18)
 Под корнем в (18) полином 6-того порядка общего вида. Раскрыв в (18) скобки и приведя подобные члены, удобно (18) представить в виде
  , (19)
 где - соответствующие полиномиальные коэффициенты.
 Необходимые для дальнейшего количественные оценки проводились в MathCad 14 при значении параметров , .
 Пусть оценкой переменной будет величина, обратная среднему значению расстояния от Меркурия до Солнца м. Тогда оказывается, что , , , , , , . Следовательно, в сумме выражения (19) с точностью можно ограничиться первыми тремя членами, для которых
  ,
  ,
  ,
 где , а величина получается из соотношения (14) при подстановке параметров движения Меркурия в афелии или перигелии.
 Тогда (19) сводится к выражению
  (20)
 с и .
 С указанной выше точностью "точки поворота" для финитного движения получаются как корни уравнения , являющегося следствием (16): м, м.
 Следуя [9, с. 290], уравнение (20) представим в виде
  , (21)
 где , , .
 Его решением, с начальным условием , является
  . (22)
 Из вида (22) следует, что величина прецессии орбиты за один оборот составит величину
  .
 Учитывая, что , прецессия орбиты Меркурия за 100 лет (415 полных оборотов) составит . Известные получаются, если, например, параметр заменить на . Однако точность исходных параметров задачи не позволяет осуществить расчеты с достаточной точностью. В частности, , а . Более точные расчеты в этой работе не целесообразны.
 Таким образом, если в предыдущей работе автора показано, что релятивистское обобщение закона Кулона приводит к правильным точным экспериментальным следствиям [6], то в настоящей работе показано, что релятивистское обобщение закона всемирного тяготения дает разумные оценки.
 
 ЛИТЕРАТУРА
 
 1. Роузвер Н.Т. Перигелий Меркурия: от Леверье до Эйнштейна. - М.: Мир, 1985. - 244 с.
 2. Черников Н.А. Релятивистская задача Кеплера в пространстве Лобачевского. Сб. статей: Классическая динамика в неевклидовых пространствах. - Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, с. 315-339.
 3. Boyer T. H. Unfamiliar Trajectories for a Relativistic Particle in a Kepler or Coulomb Potential// Am. J. Phys. 72, 992-997 (2004).
 4. Chen J. Trajectories for relativistic particle in a Kepler potential, Coulomb potential, or scalar field// Department of Physics College of William and Mary, Williamsburg, VA 23187 (2005), http://web.wm.edu/physics/SeniorThesis2005/chenthesis.pdf.
 5. Прилепских Н.Н. "Относительность в евклидовом пространстве-времени. I. Кинематика СТО. II. Релятивистская кинематика точечных частиц" (В печати).
 6. Прилепских Н.Н. "Закон Кулона и взаимодействие токов" (В печати).
 7. Угаров В.А. Специальная теория относительности. - М.: "Наука", 1977, 384 с.
 8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 399 с.
 9. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 563 с.
 10. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Классические теории. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 512 стр.
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"