Задача #1
Найти все возможные пары натуральных чисел M и N, сумма квадратов которых равна 16000 (шестнадцать тысяч).
Задача #2
Найти три разных числа, из которых можно составить и арифметическую, и геометрическую прогрессии, если сумма этих чисел равна 9.
Задача #3.
На планете Нептуния десяти школьникам была предложена задача по математике:
сколько будет 51+35 ?
В результате девять из них написали в ответе 106, а один - 105.
Сколько пальцев на обеих руках у жителей планеты Нептуния?
Четыре может Винни-Пух
Представить двойкой после двух.
Задача #5.
Найти два разных натуральных числа, для которых
результат сложения их суммы, разности (меньшее вычитается из большего),
произведения и частного (большее делится без остатка на меньшее) равен 375.
Задача #6.
Задан угол величиной 19 градусов.
Используя его, с помощью циркуля и линейки построить угол величиной 1 градус.
Авось поможет этот стих
Делить углы, слагая их.
Задача #7
Найдите простой способ извлечения квадратного корня из числа 4444488889 без калькулятора.
Эта олимпиадная задача давно известна, и такой способ дан, например, здесь:
Известный метод решения. Попробуйте найти ещё более простой и наглядный способ.
Задача #8
Решить уравнение
p^2 = q^4 + 760,
где р и q - простые числа.
Учти, искатель красоты:
Простые числа - не просты.
Задача #9
Решить уравнение
2^Х - 3^У = 943,
где X и Y - натуральные числа.
Решить сумей без волшебства,
Деля на три, деля на два.
Задача #10
Построить треугольник АВС с помощью циркуля и линейки,
если даны сторона АВ (a), высота ВН (h) и медиана ВМ (m).
Скольно возможных решений существует в зависимости от параметров задачи?
Реши систему уравнений,
Увидев общие черты
И так достигнув простоты
Без очень долгих рассуждений.
Задача #16
Построить прямоугольный треугольник с помощью циркуля и линейки,
если даны гипотенуза и отрезок, длина которого равна сумме длин катетов этого треугольника.
Задача #17
Имеет ли решение задача о Буридановом осле:
Как выбрать оптимальный из двух равных вариантов?
Возможная подсказка:
Зря Буридановы ослы
Не в силах разделить соблазны.
Свет отличить легко от тьмы,
Но ведь и звезды в чём-то разны...
Проблема вовсе не в числе,
А в долго думавшем осле.
Задача #18
Вычислить сумму бесконечного ряда
1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + ...
Задача #19.
Найти все решения тригонометрического уравнения
sin(x) + [sin(x)]^2 + [cos(x)]^3 =0
в диапазоне значений х от нуля до 2*pi.
Сия задача - непроста
И для учёного кота,
Коль в Лукоморье ловкий вор
Компьютеры повсюду спёр.
Задача #20 (последняя в этом разделе).
В равнобедренном треугольнике биссектриса одного из углов при основании имеет ту же длину, что и основание треугольника.
Найти все углы треугольника и вычислить их синусы в виде формул с радикалами.
Тригонометрия - нужна
В геометрических задачах,
Но здесь и алгебра важна,
Хоть кто-то думает иначе.