4 Примеры синтеза робастных САУ с максимальной степенью устойчивости
4.1 Синтез робастной САУ содержащей регулятор с одним настроечным параметром
На рисунке (4.1) приведена структурная схема следящей системы с электромашинным усилителем (ЭМУ).
Рисунок 4.1 Структурная схема САУ
На схеме обозначено:
,
Н1 - коэффициент передачи датчика угла рассогласования между задающим воздействием и управляемой величиной , В/рад.;
--
передаточная функция силовой части следящей системы, где
Т1 - постоянная времени цепи управления ЭМУ. Т1=0.01с,
Т2 - постоянная времени поперечной цепи ЭМУ. Т2=[0.02...0.08]с,
Т3 - электромеханическая постоянная времени системы. Т3=[0.5...0.2]с,
Н2 - коэффициент передачи силовой части системы, рад/(сВ).
В случае заданных значений Т1, степени устойчивости и интервально заданных Т2 и Т3 необходимо найти такую область устойчивости системы на отрезке вещественной оси, которая бы обеспечила качество системы не хуже заданного.
Согласно рисунку 4.1, передаточная функция следящей системы имеет вид:
, (4.1)
откуда получаем характеристическое уравнение системы в виде (4.2).
, (4.2)
где
,
,
и вместо параметров Н1, Н2 введен новый параметр:
.
Параметр Y является доступным к изменению варьируемым параметром, дающим возможность произвести максимизацию степени устойчивости. Для расположения свободных полюсов системы левее заданной линии (степени устойчивости ) сделаем подстановку в (4.2) S=+j, и разобьем характеристический полином на реальную и мнимую составляющие:
(4.3)
Согласно (2.18) и (4.3), необходимые условия оптимальности примут вид:
Теперь, рассматривая систему как многорежимную необходимо разрешить ее 2m-раз (по числу интервально-неопределенных параметров). В нашем случае имеем два интервальноно-неопределенных параметра, т.е. параметрический многогранник содержит четыре вершины, а следовательно, необходимо разрешить систему уравнений в четырех различных точках. Для разрешения этой системы уравнений воспользуемся пакетом Mathcad, дающим возможность решения систем нелинейных уравнений.
Разрешим систему в первой вершине параметрического многогранника:
Т.е. максимальная степень устойчивости в этом режиме =8.306 при настройке регулятора Y=3.713.
Произведем ту же процедуру во втором режиме:
Следовательно, в данном режиме максимальная степень устойчивости =4.834, при настройке регулятора Y=2.139.
Соответственно в третьем режиме:
Следовательно, в третьем режиме получаем максимальную степень устойчивости системы =2.402, при настройке регулятора Y=1.16.
Проведем аналогичный расчет максимальной степени устойчивости в четвертом режиме:
В четвертом режиме получаем максимальную степень устойчивости =2.171 при настройке регулятора Y=0.993.
Результаты проведенных расчетов снесем в таблицу 4.1:
Таблица 4.1
Режим 1
Т2=0.02
Т3=0.05
Режим 2
Т2=0.08
Т3=0.05
Режим 3
Т2=0.02
Т3=0.2
Режим 4
Т2=0.08
Т3=0.2
Максимальная
степень устойчивости
8.306
4.834
2.402
2.171
Настройка регулятора Y
3.713
2.139
1.16
0.993
Согласно таблице 4.1 определим наихудший режим, т.е. режим в котором степень устойчивости будет наименьшей. Таким режимом является режим 4.
Теперь необходимо проверить, будет ли режим 4 действительно наихудшим, т.е. будет ли степень устойчивости во всех режимах выше, чем в режиме 4, при настройке регулятора, обеспечивающей максимальную степень устойчивости в режиме 4. Проверим это, найдя корни характеристического полинома в каждом из режимов при Y=0.993.
Режим 1:
Режим 2:
Режим 3:
При настройках из режима 4, степень устойчивости в остальных режимах оказывается ниже, чем в режиме 4, поэтому последний нельзя считать наихудшим, а следовательно, нам необходимо найти тот режим, который действительно будет являться наихудшим. Такой режим можно найти в точке пересечения одной из пар кривых изменения степени устойчивости с изменением настройки регулятора i(Y). Так как мы заведомо не знаем, какая именно пара кривых даст искомую точку, проверим точки пересечения всех пар кривых. Найти эти точки пересечения, можно решив систему уравнений вида (3.1), содержащую равенства нулю вещественной и мнимой составляющих характеристического полинома для одного и другого режимов соответственно. Разрешим все системы уравнений и снесем результаты в таблицу 4.2.
Таблица 4.2
Режим 1
Режим 2
Режим 3
Режим 4
Режим 1
-
=4.448 Y=3.011
=2.339 Y=1.923
=1.982 Y=1.681
Режим 2
=4.448 Y=3.011
-
=2.362 Y=1.649
=2.030 Y=1.497
Режим 3
=2.339 Y=1.923
=2.362 Y=1.649
-
=2.127 Y=1.145
Режим 4
=1.982 Y=1.681
=2.030 Y=1.497
=2.127 Y=1.145
-
Теперь необходимо проверить, какая из найденных шести (1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4) точек пересечения даст искомый наихудший режим. Для этого найдем, при каждой из найденных в точках пересечения настроек, степень устойчивости в остальных (кроме пары режимов, для которых найдена точка пересечения) режимах. Результаты снесем в таблицу 4.3.
Таблица 4.3
Режимы и
настройки
Режим 1
Режим 2
Режим 3
Режим 4
1-2
Y=3.011
=4.448
-
-
=2.25
=1.67
1-3
Y=1.923
=2.339
-
=3.152
-
=1.92
1-4
Y=1.681
=1.982
-
=2.437
=2.359
-
2-3
Y=1.649
=2.362
=1.937
-
-
=1.99
2-4
Y=1.497
=2.030
=1.727
-
=2.374
-
3-4
Y=1.145
=2.127
=1.271
=1.408
-
-
Согласно таблице 4.3 выберем точку пересечения двух кривых, которая обеспечит во всех режимах работы системы степень устойчивости не меньшую, чем та, которую обеспечивает настройка регулятора в этой точке. В таблице 4.3 этому условию удовлетворяет только точка пересечения кривых 1 и 4 (третья строка таблицы), дающая при настройке регулятора Y=1.681 степень устойчивости =1.982 в первом и четвертом режимах функционирования системы, и при той же настройке более высокую степень устойчивости во втором и третьем режимах, а именно во втором режиме степень устойчивости системы =2.437 и в третьем режиме степень устойчивости =2.359. Следовательно, режим, получаемый в точке пересечения кривых 1 и 4, будет являться наихудшим и настройка регулятора Y=1.681 обеспечит в любом режиме функционирования системы степень устойчивости не меньшую, чем =1.982.
Последнее утверждение можно подтвердить, просканировав, при необходимости, всю область внутри параметрического многогранника, но в этом нет нужды, поэтому приведем проверку только в одной точке, равноудаленной от всех вершин - в центре параметрического многогранника, т.е. в точке, в которой интервально-неопределенные параметры принимают значения: Т2=0.05, Т3=0.125:
Т.е. при таких значениях интервально-неопределенных параметров степень устойчивости системы =3.41, что выше, чем в полученном наихудшем режиме, следовательно, полученная настройка регулятора Y является искомым решением поставленной задачи.
4.2 Синтез робастной САУ содержащей регулятор с двумя настроечными параметрами
На рисунке 4.2 приведена структурная схема следящей системы с электромашинным усилителем (ЭМУ).
Рисунок 4.2 Структурная схема
На схеме обозначено:
,
Н1 - коэффициент передачи датчика угла рассогласования между задающим воздействием и управляемой величиной , В/рад.;