Топология числовой прямой.
Вячеслав Тельнин
Аннотация
Эта статья имеет дело с числовой прямой. Обычно она считается одномерным объектом.
Но если учесть бесконечно большие и бесконечно малые числа, то эта линия окажется более сложным объектом с бесконечным числом самопересечений в неком многомерном пространстве.
Оглавление
1 Большие и маленькие числа 1
2 Пересечения и самопересечения положительной и отрицательной числовых прямых 3
1 Большие и маленькие числа.
Числовая прямая для средних чисел выглядит так:
Рассмотрим большие числа. Вот уравнение для первого большого числа:
X + 1 = X (1)
Обозначим решение уравнения (1) как N1. N1 очень похоже на число натуральных чисел.
И образуем второе большое число - N2- так:
N2 = 2 ^ N1 (2)
N2 > N1 (3)
А N2 очень похоже на число действительных чисел.
Третье большое число построим таким же образом:
N3 = 2 ^ N2 (4)
N3 > N2 (5)
Четвёртое большое число:
N4 = 2 ^ N3 (6)
N4 > N3 (7)
И так далее ...
Рассмотрим маленькие числа. Вот уравнение для первого маленького числа:
x + 1 = 1 (8)
Обозначим решение уравнения (8) как n1. Из (1) следует:
N1 - N1 = 1 (9)
N1*(1 - 1) = 1 (10)
Из (8) следует: n1 = 1 - 1 (11)
(10) + (11) = (12) n1 = 1/N1 (12)
Второе маленькое число n2 образуем так: n2 = 1/N2 (13)
(3) + (12) + (13) = (14) n2 < n1 (14)
And n3 = 1/N3 (15)
n3 < n2 (16)
n4 = 1/N4 (17)
n4 < n3 (18)
И так далее ... .
Итак, у нас есть теперь две числовые прямые:
-- Пересечения и самопересечения положительной и отрицательной числовых прямых.
Определение (11) даёт нам уравнение (19):
-n1=-(1-1)=-1+1=1-1=n1 ; -n1=n1(19) ; И мы рисуем:
Определение (1) даёт нам уравнение (20):
N1 + 1 = N1; -N1 - 1 = -N1; -N1 = -N1+1; -N1 = N1 (20) И мы рисуем:
(2)+(13)+(20): n2 = 1/N2 = 1/(2^N1)=2^(-N1)=2^(N1)=N2 n2 = N2 (21)
Теперь мы можем нарисовать:
Из (21) мы имеем:
n2 = N2
Умножим это уравнение на -1:
-n2 = -N2 (22)
И мы рисуем:
(4)+(21) дают нам: N3 = 2 ^ N2 = e ^ (n2*ln2) = 1 + n2*ln2 + ...
Определим M1 так: M1 = 1 + n2*ln2 + ... (23) Тогда N3 = M1 (24)
(15), (23), (24) дают нам: n3 = 1/N3 = 1-n2*ln2 + ...
Определим m1 так: m1 = 1 - n2*ln2 + ... (25)
Тогда n3 = m1 (26)
И из (24) и (26) мы имеем :
-N3 = -M1 (27)
-n3 = -m1 (28)
Теперь мы можем нарисовать:
Необходимо загнуть стрелку вместе с N4из N3 в 3-е измерение и перенести её через 2 линии а затем спуститься к M1 и пронзить её. И N4 со стрелкой окажутся с другой стороны плоскости рисунка. И N3 совпадёт с M1. Так же будет не только с (N3 и M1), но также и с другими 3-мя парами точек: (n3 и m1), (-N3 и -M1), (-n3 и -m1).
(6), (24), (23) : N4 = 2 ^ N3 = 2 ^ M1 = 2 ^ (1+n2*ln2+...= 2+2*n2*ln2+...
Определим M2 так: M2 = 2^M1 = 2 + 2*n2*ln2 + ... (29)
Тогда N4 = M2 (30)
Из (17), (30), (29) следует :
n4 = 1/N4 = 2^(-M1) = 2^(-1-n2*ln2-...) = 1/2-1/2*n2*ln2+...
Определим m2 так: m2 = 2^(-M1) = 1/2 - 1/2 * n2*ln2 + ... (31)
Тогда n4 = m2 (32)
И из (30), (32) следует: -N4 = -M2 (33) -n4 = -m2 (34)
Теперь мы можем нарисовать:
И этот процесс образования новых больших, маленьких, средних чисел и выявления между ними совпадений бесконечен.
Теперь мы видим, что такая простая числовая прямая имеет очень сложную топологическую структуру, которая требует для полного своего проявления применения многомерного векторного пространства.
9/9 - 2013
2