Полный текст статьи опубликован в журнале "Вестник науки" т.3 N 7(16) на Elibrary.ru
https://elibrary.ru/item.asp?id=38571728
Мой канал на Дзен:
https://dzen.ru/mix1
Действительные корни уравнения
Аннотация: Используя зависимость между коэффициентами многочлена и его корнями, можно через элементы последователь- ности построенной в зависимости от коэффициентов этого много- члена получить корни данного многочлена по общей формуле для числовых последовательностей, таких как Фибоначчи, совершенных, боковых чисел и других.
Теорема 1. Пусть Р (х)=хm+a1xm-1+a2xm-2+...+am-1x+am (m>1) (1) данный многочлен над полем действительных чисел, {Вn} (n=1,2,...)-последовательность, элементы которой определены рекуррентной формулой: Вi=1 (i=0, 1, ... , m-1)
Bn=-a1Bn-1-a2Bn-2-...-am-1Bn-(m-1)-amBn-m, тогда, если с1, с2, ...сm-1, cm действительные корни многочлена (1) такие, что |с1|>|с2|>...>|сm-1|>cm|, то
Limn->∞(Bn+a1Bn-1+...+(-1)m-1am-1Bn-(m-1))/(Bn-1+a1Bn-2+...+(-1)m-1am-1Bn-m)=ci (i=0, 1, ... , m-1) где
(-а1)=с1+с2+...+сm-2+cm-1,
a2=c1c2+c2c3+...cm-2cm-1
............................................
(-1)m-1am-1=c1c2c3...cm-2cm-1.
Квадратные уравнения.
Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой
Nn=-d1Nn-1-d2Nn-2, n>1
где N0=0, N1=1, d0=1, a коэффициенты d1, d2 взяты из квадратного уравнения х2+d1x+d2=0 (*)
тогда элементы последовательности {Nn} можно получить по формуле:
Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2) (2)
где х1, х2 корни квадратного уравнения (*)
Для удобства заменим коэффициенты -d1, -d2 на а и d. Тогда формула и квадратное уравнение будут выглядеть так:
Nn=aNn-1+dNn-2 (3)
x2=ax+d (4)
Запишем формулу (2) через коэффициенты а и b, где b - дискриминант квадратного уравнения (4) то есть b2=a2+4d, тогда х1=(а+b)/2, x2=(a-b)/2, b2-a2=4d,
[(a+b)/2][(b-a)/2]=d (5)
Nn=[(a+b)n-(a-b)n]/2nb (2.1)
Вычислим первые элементы последовательности {N} образованной по формуле (2), где (х1+х2)=а, х1х2=-d, (x1-x2)=b
N1=(x11-x21)/(x1-x2)=1, N1=1 (6)
N2=(x12-x22/(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2)/(x1-x2)=x1+x2=a, N2=a (7)
Докажем, что из формулы (3) можно получить формулу (2). Если Nn=aNn-1+dNn-2, где а=(х1+х2), (-d)=(x1x2), тогда
N2=(x1+x2)N1
N3=(x1+x2)N2-x1x2N1
подставим N2 в N3, получим N3=x12+x1x2+x22
Подставим N2 и N3 в N4, получим N4=x13+x12x2+x1x22+x23
Предположим, что Nn=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1), a
Nn-1=(x1n-2+x1n-3x2+x1n-4x22+...+x12x2n-4+x1x2n-3+x2n-2), тогда
Nn+1=aNn+dNn-1,
Nn+1=(x1+x2)(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1)-x1x2 × ×(x1n-2+x1n-3x2+x1n-4x22+...+x12x2n-4+x1x2n-3+x2n-2)=(x1n+x1n-1x2+x1n-2x22+...+
+x12x2n-2+x1x2n-1+x2n)
Значит Nn=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1)
(x1n-x2n)/(x1-x2)=(x1n-1+x1n-2x2+x1n-3x22+...+x12x2n-3+x1x2n-2+x2n-1) тогда
Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2)
Следовательно из формулы (3) можно получить формулу (2).
Докажем, что из формулы (3) можно получить квадратное уравнение (4).
Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой
Nn+1=aNn+dNn-1,
поделим это отношение на Nn
Nn+1/Nn=a+dNn-1/Nn
Найдем предел Limn->∞Nn+1/Nn
Limn->∞Nn+1=Limn->∞a+Limn->∞dNn-1/Nn
Дополним, как влияют знаки коэффициентов приведенного квадратного уравнения на знаки и относительную величину корней этого уравнения.
Абсолютная величина действительных корней |х1|, |х2| приведенного квадратного уравнения (4) изменяется, если изменится знак коэффициента d, так как корни квадратного уравнения вычисляются по формуле: х1х2=а/2+√ [(а/2)2+d], и не меняются, при изменении знака коэффициента а.
Числовая последовательность {Nn} образованная квадрат- ным уравнением (4) имеет общее решение по формуле (2) то есть зависит от значений х1 х2 и от знака коэффициента d. Следователь- но, в зависимости от знака этого коэффициента можно получить две последовательности, если для обоих случаев дискриминант приведенного квадратного уравнения больше нуля. Эти последо- вательности в свою очередь могут быть различны, но с одинако- выми по абсолютной величине элементами и зависит это от знака коэффициента а.
При а>1, последовательность {Nn} будет монотонно возрастаю- щая, ограниченная снизу, для Nn>1
Если (а, b)>0, то (a+b)>(a-b), x1>x2, тогда (a+b)n-(a-b)n>0 для форму- лы (2.1) при любой n-ной степени элементы последовательности {Nn}>0.
При а<-1, последовательность {Nn} будет неограниченная, зна- копеременная {Nn}>1
Если а<0, b>0, |(b-a)|<|(b+a)|, |x1|<|x2|, (b-a)>-(b+a)
Значит при четной степени элементы последовательности {Nn}<0, a при нечетной степени элементы последовательности {Nn}>0.
При а>0 х1>х2, тогда Limn->∞(x1/x2)n=∞, Limn->∞(x2/x1)n=0
При а<0 |х1|<|х2|, тогда Limn->∞(x1/x2)n=0, Limn->∞(x2/x1)n=∞
Если Nn=(x1n-x2n)/(x1-x2), то Nn+1=(x1n+1-x2n+1)/(x1-x2)
Nn+1/Nn=(x1n+1-x2n+1)(x1-x2)/(x1n-x2n)(x1-x2)=(x1n+1-x2n+1)/(x1n-x2n)=
=x1n+1/(x1n-x2n)-x2n+1/(x1n-x2n)
Произведем алгебраическое преобразование. Разделим знаменатель и делитель первой дроби на (х1n), а второй на (х2n).
Nn+1/Nn=(x1n+1/x1n)/[(x1n/x1n)-(x2n/x1n)]-(x2n+1/x2n)/[(x1n/x2n)-(x2n/x2n)]=
=x1/[1-(x2n/x1n)]-x2/[(x1n/x2n)-1] Limn->∞Nn+1/Nn=Limn->∞x1/[Limn->∞1-Limn->∞(x2n/x1n)]-
-Limn->∞x2/[Limn->∞(x1n/x2n)-Limn->∞1]
При а>0, Limn->∞Nn+1/Nn=x1/(1-0)-x2/(∞-1)=x1 Llmn->∞Nn+1/Nn=x1,
При а <0 Limn->∞Nn+1/Nn=x1/(1-∞)-x2/(0-1)=x2 Limn->∞Nn+1/Nn=x2
Значит Limn->∞Nn+1/Nn=|x| (8)
где число х-корень квадратного уравнения (4), имеющий наибольшее абсолютное значение.
Если Limn->∞Nn+1/Nn=x, то Limn->∞Nn/Nn+1=1/x тогда
Limn->∞Nn+1/Nn=Limn->∞a+Limn->∞dNn-1/Nn
x=a+d/x или х2=ах+d
Значит из формулы (3) можно получить уравнение (4).